第一章随机事件与概率
第一节随机事件
教学目的：了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事件等基本概念；掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。
教学重点：随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。
教学难点：事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。
教学内容：
1、随机现象与概率统计的研究对象
随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。
研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。
2、随机试验（E）
对随机现象的观察。特点①试验可在相同条件下重复；②试验的所有可能结果不只一个，但事先已知；③每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事先不知。
3、基本事件与样本空间
（1）基本事件：E中的结果（能直接观察到，不可再分），也称为样本点，用ω表示。
（2）样本空间：E中所有基本事件的集合称为这个随机试验E的样本空间，用Ω表示。
4、随机事件
（1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用A、B、C等表示。
（2）随机事件的集合表示
（3）随机事件的图形表示
必然事件（Ω）和不可能事件（E）
5、事件间的关系与运算
（1）包含（子事件）与相等
（2）和事件（加法运算）
（2）积事件（乘法运算）
（3）互斥关系
（4）对立关系（逆事件）
（5）差事件(减法运算)
6、事件间的运算规律
（1）交换律；（2）结合律；（3）分配律；（4）对偶律
教学时数：2学时
作业：习题一1、2
第二节概率的定义
教学目的：掌握概率的古典定义，几何定义，统计定义及这三种概率的计算方法；了解概率的基本性质。
教学难点：古典概率的计算，频率性质与统计概率。 教学内容： 1、概率
用于表示事件A 发生可能性大小的数称为事件A 的概率，用P(A)表示。 2、古典型试验与古典概率
（1）古典型试验：特点①基本事件只有有限个；②所有基本事件的发生是等可能的。 （2）古典概率，在古典型试验中规定
P(A)=
n
k
A =Ω中基本事件总数中含的基本事件数
3、几何型试验与几何概率 （1）几何型试验
向区域G 内投点，点落在G 内每一点处是等可能的，落在子区域1G 内(称事件A 发生)
的概率与1G 的度量成正比，而与1G 的位置和形状无关。
（2）几何概率。在几何型试验中规律定
P(A)=
的度量
的度量
G G 1
4、频率与统计概率 （1）事件的概率
设在n 次重复试验中，事件A 发生了r 次，则称比值
n
r
为在这n 次试验中事件A 发生的频率，记为n
r A f n =)( （2）频率的性质
○11)(0≤≤A f n ；○21)(=Ωn f ；○30)(=Φn f ； ○4Φ=AB 时，)()()(B f A f B A f n
n n +=+； ○5 随机性：r 的出现是不确定的；○6稳定性：)()(∞→→n p A f n
（3）统计概率，规定
P(A)=P
（4）统计概率的计算
n
r
A p ≈
)( (n 很大)
5、概率的基本性质
从以上三种定义的概率中可归纳得到： （1）0;1)(≤≤A P
（2）1)(=ΩP
（3）0)(=φP
（4）若AB=φ，则)()()(B P A P B A p +=+ 教学时数：2学时
作 业：习题 一 4、7、8、11
第三节 概率的公理化体系
教学目的：掌握概率的公理化定义及概率的性质；会用概率的基本公式求概率。 教学重点：概率的公理化定义；概率基本公式。 教学难点：用概率基本公式计算概率。 教学内容：
1、概率的公理化定义
（1）为什么要用公理定义概率 ○
1数学特点 ；○2深入研究的需要；○3是第二节中三种特殊形式的扩展。 （2）定义
设A 为随机试验E 中的任何事件，如果函数P(A)满足 公理一(范围) 01)(≤≤A P ； 公理二(正则性) 1)(=ΩP ；
公理三(可列可加性)。若可列个事件 n A A A A 321,,两个互斥，则
)()(1
1
∑∑∞
=∞==n n n n A P A p
则称P(A)为事件A 的概率。 2、概率的性质 从公理出发，可以严格证明
性质1：0)(=φP
性质2：若事件 n A A A A 321,,两两互斥，则)()(1
1
∑∑===n
n i
n n i
A P A p
性质3：对任何事件A ，)(1)(A P A P -= 性质4：若P(A)-P(B)B)-P(A ,=?则B A 性质‘
4 P(AB)-P(B)A)-P(B )A P(B ==
注：○1P(AB)-P(A)B)-P(A )B P(A ==
○2)()(B P A P B A ≤?
性质5 P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)
注：性质5对任意有限个事件情况可以扩展 教学时数：2学时
作 业：习题一 15、16
第四节 条件概率，乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式
教学目的：理解条件概率的定义和概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。使学生掌握条件概率和概率的乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式的应用。 教学重点：条件概率、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式。 教学难点：条件概率的确定，用全概率公式和贝叶斯公式计算概率。 教学内容： 1、条件概率
（1）实际问题中要确定在某事件已发生时，另一事件的概率，看书20p 例，在具体问
题求条件概率。 （2）定义：若P(B)>0，称
)
()
()|(B P AB P B A P =
为在事件B 发生的条件下事件A 的条件概率。 2、概率的乘法公式
(1) )()()(B A P B P AB P ?=
)()(A B P A P ?= (2) )()()()(AB C P A B P A P ABC P =
(3) ()
12121312121)()()()(-=n n n A A A A P A A A P A A P A p A A A P 3、概率的全概率公式与贝叶斯公式
(1)看书23p 。例3 分析和解决看两公式的实际背景。
(2) 定理1 设事件n A A A A 321,,两两互斥，且),2,1(0
)(n i A P i =>，对于任何
事件B ，若
B A
n
i i
?∑=1
，则有)()()(1
∑==n
i i i A B p A P B p (全概率公式)
(3) 定理2 ，定理1中的事件中，又0)(>B P ，则有
=
)(B A P m ∑=n
i i
i
m m A B p A P A B p A P 1
)
()()
()( (m=1,2,n )(贝叶斯公式)
教学时数：2学时
作 业：习题一 12、14、17、18
第五节 独立试验概型
教学目的：掌握独立性的概念。会判断数乘的独立性并进行概率计算；掌握贝努里概型，会用二项概率公式计算概率。 教学重点：事件独立性的概念，具有独立性的事件但相应的概率计算，贝努里概型与贝努里概型意义的正确理解。 教学内容： 1、两事件的独立性 定义1 对任意两事件A ，B ，如果P(AB)=P(A)P(B)则称事件A 、B 相互独立。 2、两事件独立的性质
若事件A 与B 独立，则事件A 与B ，B 与A ，B 与A 都相互独立。
3、三事件的独立性 定义2 设有事件A 、B 、C ，若有P(AB)=P(A)P(B)、P(AC)=P(A)P(C)、P(BC)=P(B)P(C)，则称事件A ，B ，C ，两两相互独立；又，若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A ，B ，C 相互独立。
4、n 个事件的独立性
定义3、设有事件n A A A A 321,,，若()
s i i i A p A p A P )()(21 其中(s i i i ,,,21 )为
(1,2，)n 中任意S 个不同的数。（2,3,,s n = ）则事件n A A A A 321,,相互独立。 5、独立情况的概率公式
定理1．设事件n A A A A 321,,相互独立，则
（1）11
(
)()n n
i
i
i i P A P A ===∑∑
（2）1
1
(
)1()n
n
i
i
i i P A P A ===-∑∑
定理2、若事件,,A B C 独立，则A B AB A B +-、、分别与C 独立。 6、贝努里概型
（1）贝努里试验：只有两个结果（A 和A ）的试验。
(),(),01,1P A p P A q P p q ==<<+=
（2）n 重贝努里试验：把同一个贝努里试验独立地重复n 次。也称贝努里概型。
7．二项概率公式
在n 重贝努里试验中，时间A 恰好发生k 次的概率为
(),0,1,2,,k k n k
n n P k C p q
k n -==
教学时数：2学时 作 业：习题一
19、23、26、27、28
第二章 随机变量及其分布
第一节
随机变量与分布函数
教学目的：掌握随机变量的概念，并利用其表示随机事件，掌握随机变量的分布函数的概念和性质。 教学重点：随机变量的概念；随机变量分布函数的定义及其性质。 教学难点：对随机变量及其分布函数的正确理解。 教学内容： 1．随机变量的概念 （1）引入随机变量的目的 深入研究随机试验；求概率；整体描述随机试验。 （2）定义
定义1、设随机试验的样本空间为Ω，若ω?∈Ω，有一个实数()ξω与之对应，则()
ξω称为随机变量，并简记为ξ。 2．事件的表示
（1）对ξ的取值加上<>=≠ 、、、形式的限制条件。 （2）S 为一个数集。{}S ξ∈ 3．概率分布
（1）随机变量ξ取得概率的点及其数量的分布情况。 （2）可用ξ的概率分布确定ξ表示的事件的概率 （3）两个大的类型：
离散型随机变量与连续型随机变量 4．分布函数
（1）定义2、设有随机变量ξ，对于任何实数x ，称概率()P x ξ≤为随机变量ξ的分
布函数。记为()()()F x P x x ξ=≤-∞<<+∞
（2）分布函数的几何意义
落在数轴x 点左侧（含x 点）处概率的数量。 （3）,()()()a b P a b F b F a ξ?<≤≤=- 5．分布函数的性质 （1）0()1F x ≤≤
（2）()0,()1F F -∞=+∞=
（3）()F x 是单调不减函数，a b ?<则()()F a F b ≤ （4）()F x 是右连续函数，即,(0)()x F x F x ?+= 教学时数：2学时 作 业：习题二5
第二节 离散型随机变量及其概率分布
教学目的：掌握离散型随机变量的概念及其概率分布的几种表示方法；掌握四种常见的离散性分布。 教学重点：离散型随机变量的概率分布；01-分布、二项分布、泊松分布、超几何分布四种常见分布。 教学难点：正确理解概率分布；四种常见分布与所描述试验的对立性。 教学内容： 1．离散型随机变量 如果随机变量ξ的所有可能取值只有有限个或可列个，则称ξ为一个离散型随机变量。 2．概率分布
ξ取值：12,,,,i x x x
（1）图形表示
（2）公式表示
(),1,2,i i P x p i ξ===
（3）表格表示
3．概率分布的基本性质
（1）0,1,2,i p i ≥=
（2）
1
1i
i p
∞
==∑
4．确定概率
()i i x S
P S p ξ≤∈=∑
5．求分布函数
()i i x x
F x p ≤=∑（阶梯型函数）
6．常见的离散型分布 （1）01-分布 （2）二项分布 （3）泊松分布 （3）超几何分布 教学时数：2学时
作 业：习题二 3、6、7、9
第三节 连续型随机变量及其概率密度函数
教学目的：掌握连续型随机变量及其概率密度函数的定义；会求概率；掌握均匀分布和指数分布。 教学重点：连续型随机变量；概率密度函数；均匀分布和指数分布。 教学难点：正确理解概率密度函数 教学内容： 1．连续型随机变量及其概率密度的定义 （1）说明当随机变量取值充满某区间时，象离散型情况那样给出概率分布的不可行性。
（2）连续取值随机变量的概率（线）密度
00()()()
()lim
lim ()x x P x x x F x x F x f x F x x x
ξ?→+?→+<≤+?+?-'===??
（在分布函数()F x '的可微点处） （3）定义
设随机变量ξ的所有可能取值充满某个区间，如果存在一个非负函数()f x ，使得ξ的分布函数()()()()F x P x f t dt x ξ+∞
-∞
=≤=
-∞<<+∞?
则称ξ为一个连续型随机变量。
()f x 称为ξ的概率密度函数（或分布密度函数）
2．()f x 的性质
（1）()f x 相当于离散型概率分布中的i p 。 （2）基本性质
○
1()0
f x ≥；○
2()1f x dx +∞
-∞
=?
（3）,()()b
a
a b P a b f x dx ξ?<<≤=?
（4）几何意义
（5）,()0a P a ξ?==，从而
()()()()()b
a
P a b P a b P a b P a b f x dx ξξξξ<<=≤≤=≤<=<≤=?
（6）()()f x F x '=（在()f x 的连续点处） （7）()F x 是连续函数。
3．两个常见的连续函型分布 （1）均匀分布 （2）指数分布 教学时数：2学时
作 业：习题二 11、14、15、16
第四节 正态分布
教学目的：正态分布是概率统计中最重要的分布，掌握正态分布的定义、特点，标准正态分布，正态分布中的概率计算。
教学难点：正态分布的定义、特点、标准正态分布，概率计算（查表） 教学难点：对正态分布的正确理解 教学内容： 1．正态分布
（1）定义：如果随机变量ξ
的概率密度为()()2
2
2()x f x x μσ--
=
-∞<<+∞，
其中μ，σ>0为常数，则称ξ服从于参数为μ和2σ的正态分布，记为2
~(,)N ξμσ
（2）实际问题中正态分布非常广泛和常见。 （3
）
22
t e dt +∞
-
-∞
=?
()1f x dx +∞
-∞
=?
（4）正态分布的分布函数
()2
2
2()t x
F x dt μσ--
-∞
=?
2．正态分布的概率密度曲线 3．标准正态分布
（1）0,1μσ==时的正态分布，记为(0,1)N （2）分布函数
2
2()
u x
x du -Φ=?
（3）()x Φ的性质
○1()x F x μσ-??=Φ
???
；○2
()1()x x Φ-=-Φ 4．概率计算（查表）
当0x ≥时，()x Φ可查表求得函数值。 （1）~(0,1)N ξ
○
1()()P b b ξ<=Φ；○2()()()P a b b a ξ≤≤=Φ-Φ；○3()2()1(0)P c c c ξ<=Φ->
（2）2~(,)N ξμσ，()()(
)b a P a b μ
μ
ξσ
σ
--≤≤=Φ-Φ
教学时数：1学时
作 业：习题二 12、18
第五节 随机变量函数的分布
教学目的：掌握求离散型和连续型随机变量函数的概率分布的方法；掌握正态分布的两个重要性质。
教学重点：离散型随机变量函数的分布；连续型随机变量函数的分布；正态分布的两个重要性质。
教学难点：连续型随机变量函数的分布 教学内容：
1．离散型随机变量函数的分布 （1）举例1（P62）。说明基本方法，总结归纳一般方法。
（2）ξ的分布为(),1,2,i i P x p i ξ=== ；12():,,,,i g y y y ξ 则()g ?ξ=的分布为()(),1,2,i i
j i g x y P y p j ?===
=∑
2．连续型随机变量函数的分布
设ξ的概率密度为()f x ，求()g ?ξ=的概率密度 （1）分布函数法
○1()()()(())()g x y
F y P y P g y f x dx ?
?ξ≤=≤=≤=?
○2()()f y F y ??
'=，（连续点处）
（2）单调变换法
当()y g x =单调、连续、可导时，其反函数()x h y =存在且单调、连续、可导，则
()[()]|()|f y f h y h y ?'=
3．两个重要结论 （1）2~(,)N ξμσ，则
~(0,1)N ξμ
σ
-，一般地22~(,)(0)a b N a b a a ξμσ++≠ （2）22~(0,1),~(1)N ξξχ 教学时数：1学时
作 业：习题二、1，13
第三章 多维随机变量
第一节 多维随机变量及其分布函数
教学目的：掌握多维随机变量的概念，掌握二维随机变量的分布函数及其性质。 教学重点：多维随机变量的定义，二维随机变量的分布函数及其性质。 教学难点：正确理解多维随机变量及其分布函数。 教学内容：
1．多维随机变量的定义
定义1、如果12,,,n ξξξ 是定义在样本空间Ω上的n 个随机变量，则这n 个随机变量的整体（12,,,n ξξξ ）称为n 维随机变量，也称为n 元随机变量或n 元随机向量。
2n =时，二维随机变量记为(,)ξη
2．事件表示
二维数集22
S R ?，事件表示为{}
2(,)S ξη∈
3．二维随机变量的分布函数
定义2、设有二维随机变量(,)ξη，对于任何实数x 和y ，称概率(,)P x y ξη≤≤为
(,)ξη的（联合）分布函数，记为(,)(,)(,)F x y P x y x y ξη=≤≤-∞<<+∞
4．二维随机变量分布函数的性质 （1）0(,)1F x y ≤≤
（2）(,)0,(,)0,(,)0,(,)1,F y F x F F -∞=-∞=-∞-∞=+∞+∞= （3）(,)F x y 关于变量x 和y 分别为不减函数。
（4）(,)F x y 关于变量x 和y 分别为右连续函数。
（5）1212,x x y y ?
第二节 离散型二维随机变量
教学目的：掌握离散型二维随机变量及其联合分布、边缘分布和条件分布，会求这三种分布。
教学重点：离散型二维随机变量及其联合概率分布，边缘分布，条件分布，概率计算问题。
教学难点：正确理解联合分布，边缘分布，条件分布。 教学内容：
1．离散型二维随机变量
对于二维随机变量(,)ξη，如果分量ξ和η都是离散型随机变量，则称(,)ξη为离散型二维随机变量。
2．联合分布
ξ取值：12,,,,i x x x η取值：12,,,,j y y y
(,),,1,2,i j ij P x y p i j ξη==== 称为(,)ξη的联合概率分布。
注：也可以列成表格形式 3．边缘分布
(,)ξη中两个分量ξ和η的分布称为(,)ξη的边缘分布，可由联合分布来确定。
（1）1(),1,2,i ij
i j P x p
p i ξ∞
?
===
==∑
（2）1
(),1,2,i ij
j i P y p
p j η∞
?
===
==∑
注：可以在表格形式的联合分布上行列分别相加得到。 4．条件分布
（1）i y η=固定时，ξ的条件分布为：(|),1,2,(1,2,)ij i j j
p P x y i j p ξη===
==
（2）i x ξ=固定时，η的条件分布为：(|),1,2,(1,2,)ij j i i p P y x j i p ηξ===
==
注：条件分布可在表格上利用某一行（或列）上计算得到。 教学时数：2学时
作 业：习题三 2、3
第三节 连续性二维随机变量
教学目的：掌握连续型二维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布；掌握二维均匀分布和二维正态分布。
教学重点：连续型二维随机变量的概念与联合分布、边缘分布、条件分布；二维均匀分布和二维正态分布。
教学难点：正确理解三种分布；求分布和概率时所涉及的积分计算。 教学内容：
1．定义与联合分布
（1）定义1、对于二维随机变量(,)ξη，如果存在非负函数(,)f x y ，使得(,)ξη的分布函数(,)(,)(,)x y
F x y P x y f s t dsdt ξη-∞-∞
=≤≤=
??
，
则称(,)ξη为连续型二维随机变量，其中(,)f x y 称为(,)ξη的联合概率分布函数。
（2）(,)f x y 为(,)ξη在(,)x y 点处分布概率的面密度。
00(,)(,)lim
x y P x x x y y y f x y x y ξη?→+?→+
<≤+?<≤+?=??
2．(,)f x y 的性质 （1）对比性
○
1与一维情况对比，(,)f x y 相当于()f x ； ○2与离散情况对比，(,)f x y 相当于ij
p （2）基本性质
○
1(,)0f x y ≥，○2(,)1f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
=??
（3）设D 为任何平面区域，则[](,)(,)D
P D f x y dxdy ξη∈=
??
（4）2(,)
(,)F x y f x y x y
?=??，
（在(,)f x y 的连续点处） 3．边缘分布
连续型二维(,)ξη的边缘分布为连续性的。可由其联合密度(,)f x y 确定。
（1）关于ξ的边缘分布密度1()(,)f x f x y dy +∞
-∞=
?
（2）关于η的边缘分布密度2()(,)f y f x y dx +∞
-∞
=?
4．条件分布
（1）当y η=固定时，ξ的条件密度为2(,)
(|)()f x y f x y f y ξ=
（1）当x ξ=固定时，η的条件密度为1(,)
(|)()
f x y f y x f x η= 5．二维均匀分布
设G 为一个有界平面区域，若(,)ξη的概率密度为
1
,(,)()
(,)0,x y G S G f x y ?∈?
=???
其他 则称(,)ξη服从G 上的均匀分布。
注：二维均匀分布描述平面区域上的几何型试验。 6．二维正态分布
如果(,)ξη的概率密度为：
()()()()22
1122222
11221(,)[2]2(1)x x x y f x y μμμμρρσσσσ??----??=
--+??-????
其中1212,,0,0,||1μμσσρ>><是常数，则称(,)ξη服从二维正态分布，记作：
22
1212(,)~(,;,;)N ξημμσσρ
注：二维正态分布是常见的重要二维分布，其边缘分布和条件分布都是正态分布。
教学时数：2学时
作 业：习题三、4、5
第四节 随机变量的独立性
教学目的：掌握随机变量独立性的意义、定义，判断独立性的充分必要条件，会用意义和充分必要条件判断随机变量的独立性。
教学重点：随机变量独立性的定义，判断独立性的充分必要条件。 教学难点：正确理解由独立性意义所给出的独立性定义。 教学内容：
1．随机变量独立性的概念
（1）定义1 对于二维随机变量(,)ξη，设1S 和2S 为任何两数集，若
1212(,)()()P S S P S P S ξηξη∈∈=∈∈
则称ξ与η相互独立。
（2）意义
ξ与η相互独立的意义是ξ与η的取值情况互不影响，可由此直接判断ξ与η的独立
性。
（3）ξ与η相互独立?(,)()(),(,)F x y F x F y x y ξη=-∞<<+∞
2．离散型情况
(,)ξη的联合分布为(,),,1,2,i j ij P x y p i j ξη==== ，
则ξ与η独立?,,1,2,ij i j p p p i j == 3．连续型情况
(,)ξη的联合概率密度为(,)f x y ，
则ξ与η独立?12(,)()(),(,)f x y f x f y x y =-∞<<+∞
4．推广
（1）以上二维随机变量(,)ξη中ξ与η独立性的三个充分必要条件都可以推广到n 维随机变量12(,,,)n ξξξ 中分量12,,,n ξξξ 独立性的情况。
（2）12,,,n ξξξ 相互独立的意义是12,,,n ξξξ 的取值情况互相无任何影响，也可由此判断其独立性。 教学时数：2学时
作 业：习题三 9、11
第五节 多维随机变量函数的分布
教学目的：掌握离散型二维随机变量函数的分布，求连续型二维随即变量函数的一般方法。和的分布，商的分布，掌握数理统计中的几个常见分布。
教学重点：求离散型、连续型二维随机变量函数分布的一般方法，和的分布，商的分布，随机变量函数的独立性。四个统计常用分布。
教学难点：连续型二维随机变量函数的分布。 教学内容：
1．离散型二维随机变量函数的分布 联合分布为：
(,),,1,2,i j ij P x y p i j ξη==== 12(,):,,,,k g z z z ξη
(,)g ?ξη=的分布为
(,)(),1,2,i j k
k ij g x y z P z p k ?===
=∑
2．连续型二维随机变量函数的分布
(,)ξη的概率密度为(,)f x y ，(,)g ?ξη=
（1）先求?的分布函数
(,)()(,)g x y z
F z f x y dxdy ξ≤=
??
（2）()()f z F z ξξ'=（在()F z ξ的可微点） 3．和的分布
()(,)(,)f z f x z x dx f z y y dy ξη+∞
+∞
+-∞
-∞
=-=-?
?
4．商的分布
/()(,)||f z f zy y y dy ξη+∞
-∞
=?
5．随机变量函数的独立性
设有12k n n n +++ 个随机变量1111,,n ξξ ；2212,,n ξξ ；…；1,,k k kn ξξ 相互独立，
i Φ是i n 元连续函数，令1(,,),1,2,,i i i i in i k ηξξ=Φ= ，则12,,,k ηηη 相互独立。
6．数理统计中的几个常用分布 （1）正态随机变量函数的分布 （2）2
χ分布
（3）t 分布 （4）F 分布
注：以上分布主要记住其性质，概率密度曲线。 教学时数：2学时
作 业：习题三 14、7、16、18
第四章 随机变量的数字特征
第一节 数学期望
教学目的：掌握数学期望的概念，随机变量函数的数学期望，数学期望的性质，同时掌握常见随机变量分布的数学期望。
教学重点：随机变量及其函数的数学期望的计算。 教学难点：各种概念的正确理解。 教学内容：
1．讲解随机变量的数学期望
1） 定义1：设离散型随机变量ξ的概率函数为i i p x P ==)(ξ， ,2,1=i ，若级数
∑∞
=1
i i
i p
x 绝对收敛，则定义ξ的数学期望为=
ξE ∑∞
=1
i i
i p
x
2） 定义2：设连续型随机变量ξ的概率密度函数为)(x f ，若积分?
∞+∞
-dx x xf )(绝对收
敛，则定义ξ的数学期望为=
ξE ?
∞+∞
-dx x xf )(
2．讲解常见随机变量分布的数学期望 1）0-1分布 2）泊松分布 3）二项分布 4）均匀分布 5）指数分布 6）正态分布
3．讲解随机变量函数的数学期望及例题 （1）定理1：设)(ξηg =，)(x g 是连续函数
○
1当ξ是离散型随机变量，概率分布为i i p x P ==)(ξ， ,2,1=i ，，且 ∑∞
=1
)(i i i p x g 收敛，则有=ηE )(ξEg =
∑∞
=1
)(i i
i
p
x g
○
2当ξ是连续型随机变量，概率密度函数为)(x f ，且?
∞+∞
-dx x f x g )()(收敛，则有
=ηE )(ξEg =?
∞+∞
-dx x f x g )()(
（2）定理2：设),(ηξ?g =，),(y x g 是连续函数
○
1当（ξ，η）是二维离散型随机变量，概率分布为ij j i p y x P ===),(ηξ， ,2,1,=j i ，且
∑∑∞=∞
=11
),(i j ij j
i
p y
x g 收敛时，则有=?E ),(ηξEg =∑∑∞=∞
=11
),(i j ij j i p y x g
○
2当（ξ，η）是二维连续型随机变量，概率密度函数为),(y x f ，且dy dx y x f y x g ?
?∞+∞
-+∞∞
-),(),(收敛时，则有=?E ),(ηξEg =dy dx y x f y x g ?
?
∞+∞
-∞+∞
-),(),(
4．讲解数学期望的性质 （1）C EC =，C 为常数 （2）ξξCE C E =)(，C 为常数 （3）ηξηξE E E +=+)(
（4）若ξ与η相互独立，则ηξξηE E E ?=)( 教学时数：2学时
作 业：习题四 1、2、3
第二节 方差
教学目的：掌握随机变量的方差、标准差的概念性质，并在此基础上进行相关计算，同时掌握常见随机变量分布的方差。
教学重点：方差的计算及方差的性质。 教学难点：方差概念定义的正确理解。 内容提要： 1． 方差的概念
定义：设ξ是随机变量，若2)(ξξE E -存在，则称它为随机变量ξ的方差，记为ξD ，并称ξD 为标准差。
2． 常见随机变量分布的方差计算 1）0-1分布 2）泊松分布 3）二项分布 4）均匀分布 5）指数分布 6）正态分布 3．方差的性质 1）,0=DC C 为常数
2）ξξD C C D 2
)(=，C 为常数
3）若ξ与η相互独立，则ηξηξD D D +=+)( 4）0=ξD 的充要条件为1)(==a P ξ，a 为常数 教学时数：2学时
作 业：习题四 5、6、7、8、9、10、11
第三节 随机变量的其它数字特征
教学目的：掌握协方差、相关系数、矩的定义，性质，并在此基础上进行相关的运算。 教学重点：相关系数的含义及性质，相关系数与独立性的关系。 教学难点：相关系数的含义及性质。 内容提要： 1． 协方差
1） 定义：设（ξ，η）是一个二维随机变量，若))((ηηξξE E E --存在，则称它为ξ与η的协方差，记作),cov(ηξ，即),cov(ηξ=))((ηηξξE E E --
2） 协方差的性质
①),cov(
ηξ=),cov(ξη ②),cov(ηξb a =ab ),cov(
ηξ，,a b 为常数 ③=+),cov(21ηξξ),cov(1ηξ+),cov(2ηξ
④),cov(
ηξ=ηξξηE E E ?-)( ⑤0),cov(
=a ξ，a 为常数 2． 相关系数
（1）定义：设（ξ，η）是一个二维随机变量，若),cov(ηξ存在，且0>ξD ，0>ηD ，
则称
η
ξηξD D ),cov(为ξ与η的相关系数，记作ρ，即ρ=
η
ξηξD D ),cov(
（2）定义：当10≤<ρ时，称ξ与η正相关；当01<≤-ρ时，称ξ与η负相关；当
ρ=0，称ξ与η不相关。
（3）定理：设ρ为ξ与η的相关系数，则 ①1≤ρ
②
1=ρ的充要条件是存在常数b a ,，使1)(=+=ξηb a P
（4）定理：随机变量ξ与η不相关（ρ=0）与下面的每一个结论都等价：
①0),cov(
=ηξ ②ηξηξD D D +=+)(
③ηξηξE E E ?=?)( 3.矩的定义
设ξ与η为随机变量，若)(k E ξ存在，则称它为ξ的k 阶原点矩，简称k 阶矩；若k E E )(ξξ-存在，
则称它为ξ的k 阶中心矩；而)(21l
k
E ξξ?与l k E E E )()(2211ξξξξ-?-分别称为l k +阶混合矩和l k +阶中心混合矩。
教学时数：2学时
作 业：习题四 13、14、15、16
第五章 大数定律与中心极限定理
第一节 切贝谢夫不等式
教学目的：掌握切贝谢夫不等式及其运用。 教学重点：切贝谢夫不等式及其运用。 教学难点：切贝谢夫不等式的含义。 内容提要：
讲解切贝谢夫不等式及其举例。
定理（切贝谢夫不等式）：设随机变量ξ有期望值ξE 及方差ξD ，则对任意ε0>，有
2
)(εξ
εξξD E P ≤
≥-；2
1)(εξ
εξξD E P -
≥<-
教学时数：0.5学时 作 业：习题五 1、2
第二节 大数定律
教学目的：掌握切贝谢夫大数定律与贝努力大数定律及其含义。 教学重点：贝努力大数定律及其含义。 教学难点：频率与概率的关系。 内容提要：
1．切贝谢夫大数定律
定理：设1ξ，2ξ，......是相互独立的随机变量序列，各有期望值1ξE ，2ξE ，......及方差1ξD ，2ξD ，......，并对所有,......2,1=i 有l D i <ξ，其中l 是与i 无关的常数，则对
任意ε0>，有1)11(lim 1
1=<-∑∑==∞→εξξn
i i n i i n E n n P 。
工程数学（线性代数与概率统计） 习题一 一、 1. 5)1(1222 112=-?-?=-； 2. 1)1)(1(1112 32 22 2 --=-++-=++-x x x x x x x x x x ； 3.b a ab b a b a 2 2 2 2-= 4.536158273255984131 11=---++= 5.比例）第一行与第三行对应成(,00000 =d c b a 6.1866627811 3 2 2133 21 =---++=。 二．求逆序数 1. 55 1 2 4 3 1 2 2 =↓↓↓↓↓τ即 2. 52 1 3 4 2 3 =↓↓↓↓τ即 3. 2 ) 1(12)2()1(1 2 ) 1(0 1 ) 2() 1(-= +++-+-=-↓↓-↓ -↓ n n n n n n n n τ即 4. 2 ) 1(* 2]12)2()1[()]1(21[2 4 ) 22() 2() 12(3 1 1 2 1 1 1 -=+++-+-+-+++=--↓↓-↓-↓-↓↓↓n n n n n n n n n n n τ 三．四阶行列式中含有2311a a 的项为4234231144322311a a a a a a a a +- 四．计算行列式值
1. 071 1 8517002021 45900 1577 1 1 2021502 021******** 1 1 025102021421443412321=++------r r r r r r r r 2.31 010000101111301 1 1 101111011111301 1 3 1013110311130 1 1 1 1011110111104 321-=---? =? =+++c c c c 3.abcdef adfbce ef cf bf de cd bd ae ac ab 41 11 111 1 11 =---=--- 4. d c d c b a d c b a 1 10011 1 110 11 110011001--------按第一行展开 ad cd ab d c d a d c ab +++=-+ ---=)1)(1(1 10 111 1 5. b a c c b c a b a a c b a c c b c a b a a b b a c c c b c a b b a a a b a c c c b c a b b a a c b a --------------=------20 202220 2022222222222222 其中
第三章 多维随机变量及其分布 一、教材说明 本章内容包括：多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数，随机变量的独立性概念，条件分布与条件期望。本章仿照一维随机变量的研究思路和方法。 1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是： （1）使学生掌握多维随机变量的概念及其联合分布，理解并掌握边际分布和随机变量 的独立性概念； （2）使学生掌握多维随机变量函数的分布，理解并掌握多维随机变量的特征数； （3）使学生理解和掌握条件分布与条件期望。 本章的教学要求是： （1）深刻理解多维随机变量及其联合分布的概念，会熟练地求多维离散随机变量的联合分布列和多维连续随机变量的联合密度函数，并熟练掌握几种常见的多维分布； （2）深刻理解并掌握边际分布的概念，能熟练求解边际分布列和边际密度函数；理解随机变量的独立性定义，掌握随机变量的独立性的判定方法； （3）熟练掌握多维随机变量的几种函数的分布的求法，会用变量变换法求解、证明题目； （4）理解并掌握多维随机变量的数学期望和方差的概念及性质，掌握随机变量不相关与独立性的关系； （5）深刻理解条件分布与条件期望，能熟练求解条件分布与条件期望并会用条件分布与条件期望的性质求解、证明题目。 2、本章的重点与难点 本章的重点是多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及条件分布、多维随机变量的特征数，难点是多维随机变量函数的分布及条件分布的求法。 二、教学内容 本章共分多维随机变量及其联合分布、边际分布与随机变量的独立性、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数、条件分布与条件期望等5节来讲述本章的基本内容。 3.1 多维随机变量及其联合分布 一、多维随机变量 定义3.1.1 如果12(),(),,()n X X X ωωω???是定义在同一个样本空间{}ωΩ=上的n 个随机变量，则称1()((),...,())n X X X ωωω=为n 维随机变量或随机向量。 二、 联合分布函数 1、定义3.1.2 对任意n 个实数12,,,n x x x ???，则n 个事件 1122{},{},,{}n n X x X x X x ≤≤???≤同时发生的概率 121122(,,,){,,,}n n n F x x x P X x X x X x ???=≤≤???≤ 称为n 维随机变量12(,,,)n X X X ???的联合分布函数。
专题二 概率统计（文科） （一）统计 【背一背基础知识】 一．抽样方法 抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围． 二．用样本估计总体 1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的 频率 组距 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于 1； 2.茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分. 3.样本的数字特征： （1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数； （2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数； （3）平均数：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则()121 n x x x x n = +++L 叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； （4）方差：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则 ()()() 2222 121n s x x x x x x n ? ?=-+-++-????L 叫做这n 个数的方差，方差衡量样本的稳定
《概率论与数理统计》课程教案 第一章随机事件及概率 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,； (3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解概率的公理化定义。 (5) 理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。 1）随机事件及随机事件之间的关系； 2）古典概型及概率计算； 3）概率的性质； 4）条件概率，全概率公式和Bayes公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理 四．教学过程中应注意的问题 1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件； 2）注意让学生理解事件的互斥关系； 3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律； 4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理； 5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回； 五．思考题和习题 思考题： 1. 集合的并运算 和差运算－是否存在消去律？ 2. 怎样理解互斥事件和逆事件？ 3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题： 第二章随机变量及其分布 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；
二．本章的教学内容及学时分配 学时 三．本章教学内容的重点和难点 a) 随机变量的定义、分布函数及性质； b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率； c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)。四．教学过程中应注意的问题 a) 注意分布函数的特殊值及左连续性概念的理解； b) 构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数之间的关系； c) 构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数关于x处处连续，且单点处概率为0，其中x为任意实数； e) 注意正态分布的标准化以及计算查表问题； 五．思考题和习题 思考题：1.会判别给定函数是否是某个随机变量的分布函数？ 2. 分布函数两种定义主要的区别是什么？ 3. 均匀分布与几何概率有何联系？ 4. 讨论指数分布与泊松分布之间的关系。 5．列举正态分布的应用。 第三章二维随机变量及其分布 一．教学目标及基本要求 (1) 了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和连续 型随机变量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。 (2) 会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。 (3) 掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。 (4) 会求两个独立随机变量的简单函数(如函数X+Y, max(X, Y), min(X, Y))的分布。 三．本章教学内容的重点和难点
第二章 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。 一个口袋中有5个红球和2个白球，从中任取一球，看过颜色后放回，再从中任取一球。设每次取球时口袋中各个球被取到的可能性相同，求： （1）第一次、第二次都取到红球的概率； （2）第一次取到红球、第二次取到白球的概率； （3）两次取得的球为红、白各一的概率； （4）第二次取到红球的概率。
一个盒子里有6个晶体管，2只不合格，现在不放回抽样，接连取2次，每次随机取一个，求下列事件概率。 （1）2只都是合格品； （2）1只是合格，1只不合格。 （3）至少有1只是合格。 2个骰子，求下列事件的概率： （1）点数之和为7； （2）点数之和不超过5； （3）点数之和为偶数。 设一质点一定落在xOy平面内有x轴、y轴及直线x+y=1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相同，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积成正比，计算这质点落在直线x=1/3的左边的概率。
设A.B是两个事件，一直P(A)=0.5 ,P (B)=0.7 P(A∪B)=0.8,试求P(A-B)与P(B-A).
第三章 设事件A的概率P(A)=0.5，随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率 P(A|B)=0.7，求P(AB)及P(AB) 一批零件总共100个，次品率10%，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率。 设某一工厂有ABC三个车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量，分别占该厂生产螺钉总产量的25%，35%，40%，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分比分别为5%,4%,2%，如果从全厂总产品中抽取一件产品。 （1）求抽取的产品是次品的概率； （2）已知得到的是次品，求它依次是车间A、B、C生产的概率
第五章统计量及其分布 一、教材说明 本章内容包括：总体与样本，样本数据的整理与显示，统计量及其分布，三大抽样分布。本章的基本概念和重要结论是学习数理统计的基础。 1、教学目的与教学要求 1）掌握数理统计的总体、样本、样本经验分布函数、统计量及常用统计量等基本概念。 2）掌握三大分布的定义，并能熟练应用来求随机变量的分布。 3）牢记Fisher定理的内容及其三大推论。 4）使学生了解数理统计研究问题的方法与概率论研究问题方法的不同。 5）了解如何对样本数据进行整理与现实。 2、本章重点与难点 本章重点是数理统计的基本概念、三大分布的定义、Fisher定理及其推论。难点是Fisher 定理结合三大分布来求随机变量的分布。 二、教学内容 本章共分总体与样本、样本数据的整理与显示、统计量及其分布、三大抽样分布等4节来讲述本章的基本内容。 §5.1总体与样本 一、总体与样本 在一个统计问题中，把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体。对于实际问题，总体中的个体是一些实在的人或物。比如，我们要研究某大学的学生身高情况，则该大学的全体学生构成问题的总体，而每一个学生即是一个个体。事实上，每一个学生有许多特征：性别、年龄、身高、体重等等，而在该问题中，我们关心的只是该校学生的身高如何，对其他的特征暂不考虑。这样，每个学生（个体）所具有的数量指标——身高就是个体，而所有身高全体看成总体。这样，抛开实际背景，总体就是一堆数，这堆数中有大有小，有的出现机会多，有的出现机会小，因此用一个概率分布去描述和归纳总体是合适的，从这个意义上说： 总体就是一个分布，而其数量指标就是服从这个分布的随机变量。 例5.1.1考察某厂的产品质量，将其产品分为合格品和不合格品，并以0记合格品，以1记不格品，若以p表示不合格品率，则各总体可用一个二点分布表示： 不同的p反映了总体间的差异。 在有些问题中，我们对每一研究对象可能要观测两个或更多个指标，此时可用多维随机向量及其联合分布来描述总体。这种总体称为多维总体。 若总体中的个体数是有限的，此总体称为有限总体；否则称为无限总体。实际中总体中的个体数大多是有限的，当个体数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种合理抽象。
第五章 方差分析 一、教学大纲要求 （一）掌握内容 1．方差分析基本思想 （1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。 （2） 多组均数比较的检验假设和F 值的意义。 （3） 方差分析的使用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析 （1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。 （二）熟悉内容 多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。 （三）了解内容 两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。 二、教学内容精要 (一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想 方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方和误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。 2．分析三种变异 （1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组 间 ）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间= 21 )(x x n k i i i -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。k 表示处理组数。 （2）组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异(variation within groups)，组内变异反映了随机误差的作用，其大小可用组内均方 (组内MS ) 表示， 组内组内组内ν/SS MS = ，其中∑∑==?? ? ???-=k i n j i ij i x x SS 112)(组内 , k N -=组内ν，为组内均方自由度。 （3）总变异：所有观察值之间的变异（不分组），这种变异叫做总变异(total variation)。其大小可用全体数据的方差表示， 也称总均方(MS 总 )。按方差的计算方法，MS 总= 总总ν/SS ，其中SS 总=211 )(∑∑==-k i n j ij i x x , k 为处理组数，i n 为第i 组例数，总ν=N -1为总的自由度， N 表示总例数。 （二）方差分析的使用条件 （1） 各样本是相互独立的随机样本，且来自正态分布总体。 （2） 各样本的总体方差相等，即方差齐性(homoscedasticity)。 （三）不同设计资料的方差分析 1．完全随机设计的单因素方差分析 （1）资料类型：完全随机设计(completely random design)是将受试对象完全随机地分配到各个处理组。设计因素
第六章方差分析 第一节完全随机设计的方差分析 菏泽医学专科学校 崔琳林
前面我们学过了两均数的比较，用的是t检验。如果是三个，或三个以上的均数比较，用什么方法呢？这时我们引入了方差分析。 我们先来看完全随机设计的方差分析 这里我先举一个例子来介绍完全随机设计的方差分析 例6.1 拟探讨枸杞多糖（LBP）对酒精性脂肪肝大鼠GSH （mg/gprot）的影响，将36只大鼠随机分为甲、乙、丙三组，其中甲（正常对照组）12只，其余24只用乙醇灌胃10周造成大鼠慢性酒精性脂肪肝模型后，再随机分为2组，乙（LBP治疗组）12只，丙（戒酒组）12只，8周后测量三组GSH值。试问三种处理方式大鼠的GSH值是否相同？ 实验设计三要素 实验对象——大鼠(三组) 处理因素——三组分别为正常对照组、酒精肝未经LBP治疗组，酒精肝使用LBP治疗组 实验效应——三种处理因素下大鼠体内GSH值有无异同
将上述三组大鼠体内GSH 值整理如下表 要比较三种处理方法下的大鼠GSH 值有无差别，我们可以看到三组样本的均数不相同，那三组样本的总体是否也不同呢？我们用方差分析的方法来推断。我们开始观察这组资料，发现各观测值和总的均数之间存在变异，这个变异我们把它叫做总变异记 为T SS ，我们用离均差平方和来表示，即 它所对应的自由度为 1-=n T ν 例6.1 三组大鼠GSH 值（mg/gprot ） 甲 乙 丙 合计 79.81 87.58 60.29 80.60 70.73 62.63 … … … 104.28 80.36 46.56 72.29 56.40 55.23 全部数据 i n 12 12 12 36 i X 83.15 75.63 52.27 70.35 i 12.30 11.07 10.85 17.35 ∑∑==-=k i n j ij T i X X SS 112 )(
8.2.2 条件概率 一、教学目标 （一）知识目标 在具体情境中，了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，并能运用条件概率公式解决有关的简单概率问题. （二）情感目标 创设教学情境，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质． （三）能力目标 在知识的教学过程中，培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力，渗透归纳、转化的数学思想方法． 二、教学重点 条件概率的概念，条件概率公式的简单应用. 三、教学难点 正确理解条件概率公式，并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题. 四、教学过程 （一）引入课题 [教师] （配合多媒体演示） 问题1：掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率. [学生] （回答） 6 1 [教师] （引导学生一起分析）本次试验的全集Ω＝｛1,2,3,4,5,6｝，设B ＝｛掷出点数为3｝，则B 的基本事件数为1. 6 1 )(＝中的元素数中的元素数Ω= ∴B B P [教师] （配合多媒体演示） 问题2：掷一个骰子，已知掷出了奇数，求这个奇数是3的概率. [学生] （回答） 3 1 [教师] （引导学生一起分析）已知掷出了奇数后，试验的可能结果只有3个，它们是1,3,5. 本次试验的全集改变为A ＝｛1,3,5｝，这时相对于问题1，试验的条件已经改变. 设B ＝｛掷出的点数为3｝，则B ＝｛3｝，这时全集A 所含基本事件数为3，B 所含基本事件数为1，则P （已知掷出奇数的条件下，掷出3）＝ 3 1 A ＝中的元素数中的元素数 B . [教师] （针对问题2再次设问）问题2与问题1都是求掷出奇数3的概率，为什么结果不一样？ [学生] 这两个问题的提法是不一样的，问题1是在原有条件（即掷出点数1,2,3,4,5,6的一切可能情形）下求得的；而问题2是一种新的提法，即在原有条件下还另外增加了一个附加条件（已知掷出点数为奇数）下求得的，显然这种带附加条件的概率不同于P(A)也不同P(A ∩B). [教师] （归纳小结，引出条件概率的概念）问题2虽然也是讨论事件B （掷出点数3）的概率，但是却以已知事件A （掷出奇数为前提的，这样的概率称为A 发生条件下的事件B 发生的条件概率. （板书课题——条件概率） （二）传授新知 1．形成概念 [教师] 在引入课题的基础上引出下列概念： （多媒体演示）设A 、B 是事件，用P(B|A)表示已知A 发生的条件下B 发生的条件概
课后答案网习w题w一w解.答https://www.doczj.com/doc/3514167690.html, 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A{两次出现的面相同} ； (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A { 一分钟内呼叫次数不超过3 次}；{ 寿命在2000 到2500 小时之间}。 解(1){( ,), ( ,), ( ,), (, )} ，A{( ,), ( ,)}. (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则 {X k | k0,1,2,LL} ， A {X k | k0,1,2,3} . (3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则 {X (0,)} ， A {X(2000,2500)} . 2. 袋中有10 个球，分别编有号码1 至10，从中任取1 球，设A {取得球的号码是偶数}，B {取得球的号码是奇数}，C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件： (1) A U B ；(2) AB ；(3) AC ；(4) AC ；(5) A C；(6) B U C ；(7) A C . 解(1) A U B是必然事件； (2) AB 是不可能事件； (3) AC {取得球的号码是2，4}； (4) AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}； (5) A C{取得球的号码为奇数，且不小于5} {取得球的号码为5，7，9}； (6) B U C B I C{取得球的号码是不小于5 的偶数} {取得球的号码为6，8，10}； (7) A C AC {取得球的号码是不小于5 的偶数}={取得球的号码为6，8，10} 3. 在区间[0 , 2] 上任取一数，记A (1) A U B ；(2) ；(3) ；(4) A U B .x 1 x 2 1 ，B x 1 x 4 3 ，求下列事件的表达式： 2 解(1) A U B x 1 x 3 ; 4 2 (2) A x 0 x 1 或1 x 2 2 I B x 1 x 4 1 U x1 x 3 ; 2 2 (3) 因为A B ，所以AB ； (4) A U B A U x 0 x 1 或 3 x 2x 0 x 1 1 x 1或 3 x 2 4. 用事件A, B, C 4 2 4 2 2 的运算关系式表示下列事件： (1) A 出现，B, C都不出现（记为E 1 ）； (2) A, B 都出现，C 不出现（记为E 2 ）； (3) 所有三个事件都出现（记为E 3 ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为E 4 ）； (5) 三个事件都不出现（记为E 5 ）； (6) 不多于一个事件出现（记为E 6 ）； (7) 不多于两个事件出现（记为E 7 ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为E 8 ）。 解(1) E 1 (3) E 3(5) E 5 AB C；(2) E 2 ABC ；(4) E 4
第一章随机事件与概率 第一节随机事件 教学目的：了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事件等基本概念；掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。 教学重点：随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。 教学难点：事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。 教学内容： 1、随机现象与概率统计的研究对象 随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。 研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。 2、随机试验（E） 对随机现象的观察。特点①试验可在相同条件下重复；②试验的所有可能结果不只一个，但事先已知；③每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事先不知。 3、基本事件与样本空间 （1）基本事件：E中的结果（能直接观察到，不可再分），也称为样本点，用ω表示。 （2）样本空间：E中所有基本事件的集合称为这个随机试验E的样本空间，用Ω表示。 4、随机事件 （1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用A、B、C等表示。 （2）随机事件的集合表示 （3）随机事件的图形表示 必然事件（Ω）和不可能事件（E） 5、事件间的关系与运算 （1）包含（子事件）与相等 （2）和事件（加法运算） （2）积事件（乘法运算） （3）互斥关系 （4）对立关系（逆事件） （5）差事件(减法运算) 6、事件间的运算规律 （1）交换律；（2）结合律；（3）分配律；（4）对偶律 教学时数：2学时 作业：习题一1、2 第二节概率的定义 教学目的：掌握概率的古典定义，几何定义，统计定义及这三种概率的计算方法；了解概率的基本性质。
教学难点：古典概率的计算，频率性质与统计概率。 教学内容： 1、概率 用于表示事件A 发生可能性大小的数称为事件A 的概率，用P(A)表示。 2、古典型试验与古典概率 （1）古典型试验：特点①基本事件只有有限个；②所有基本事件的发生是等可能的。 （2）古典概率，在古典型试验中规定 P(A)= n k A =Ω中基本事件总数中含的基本事件数 3、几何型试验与几何概率 （1）几何型试验 向区域G 内投点，点落在G 内每一点处是等可能的，落在子区域1G 内(称事件A 发生) 的概率与1G 的度量成正比，而与1G 的位置和形状无关。 （2）几何概率。在几何型试验中规律定 P(A)= 的度量 的度量 G G 1 4、频率与统计概率 （1）事件的概率 设在n 次重复试验中，事件A 发生了r 次，则称比值 n r 为在这n 次试验中事件A 发生的频率，记为n r A f n =)( （2）频率的性质 ○11)(0≤≤A f n ；○21)(=Ωn f ；○30)(=Φn f ； ○4Φ=AB 时，)()()(B f A f B A f n n n +=+； ○5 随机性：r 的出现是不确定的；○6稳定性：)()(∞→→n p A f n （3）统计概率，规定 P(A)=P （4）统计概率的计算 n r A p ≈ )( (n 很大) 5、概率的基本性质 从以上三种定义的概率中可归纳得到： （1）0;1)(≤≤A P （2）1)(=ΩP
《概率论与数理统计》课程教案 第一章 随机事件及其概率 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,； (3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解概 率的公理化定义。 (5) 理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。 二．本章的教学内容及学时分配 第一节 随机事件及事件之间的关系 第二节 频率与概率 2学时 第三节 等可能概型（古典概型） 2 学时 第四节 条件概率 第五节 事件的独立性 2 学时 三．本章教学内容的重点和难点 1） 随机事件及随机事件之间的关系； 2） 古典概型及概率计算； 3）概率的性质； 4）条件概率，全概率公式和Bayes 公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理 四．教学过程中应注意的问题 1） 使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件； 2） 注意让学生理解事件,,,,,A B A B A B A B AB A ???-=Φ…的具体含义，理解 事件的互斥关系； 3） 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律； 4） 古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组 合，复习排列、组合原理； 5） 讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回； 五．思考题和习题 思考题：1. 集合的并运算?和差运算－是否存在消去律？
2. 怎样理解互斥事件和逆事件？ 3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？ 习题： 第二章 随机变量及其分布 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续 型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律 或密度函数及性质； 二．本章的教学内容及学时分配 第一节 随机变量 第二节 第二节 离散型随机变量及其分布 离散随机变量及分布律、分布律的特征 第三节 常用的离散型随机变量 常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时 第四节 随机变量的分布函数 分布函数的定义和基本性质，公式 第五节 连续型随机变量及其分布 连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时 第六节 常用的连续型随机变量 常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学时 三．本章教学内容的重点和难点 a) 随机变量的定义、分布函数及性质； b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何 事件的概率； c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)； 四．教学过程中应注意的问题 a) 注意分布函数(){}F x P X x =<的特殊值及左连续性概念的理解； b) 构成离散随机变量X 的分布律的条件，它与分布函数()F x 之间的关系； c) 构成连续随机变量X 的密度函数的条件，它与分布函数()F x 之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数()F x 关于x 处处连续，且()0P X x ==，其中x 为任
第一节 随机事件 教学目的： 了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事件等基本概念； 掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。 教学重点： 随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。 教学难点： 事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。 教学内容： 1、随机现象与概率统计的研究对象 随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。 研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。 2、随机试验（ E ） 对随机现象的观察。 特点①试验可在相同条件下重复； ②试验的所有可能结果不只一个， 但事先已知；③每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事先不知。 3、基本事件与样本空间 （ 1）基本事件： E 中的结果（能直接观察到，不可再分） （ 2）样本空间： E 中所有基本事件的集合称为这个随机试验 示。 教学目的： 概率的基本性质。 教学难点： 古典概率的计算，频率性质与统计概率。 第一章 随机事件与概率 ，也称为样本点，用 表示。 E 的样本空间，用 表 4、 随机事件 （ 1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用 （2） 随机事件的集合表示 （ 3）随机事件的图形表示 必然事件（ ）和不可能事件（ E ） 5、 事件间的关系与运算 （1） （2） （2） （3） （4） （5） 6、 事件间的运算规律 （1）交换律； （ 2）结合律； （ 3）分配律； （ 4）对偶律 教学时数： 作 业： 包含（子事件）与相等 和事件（加法运算） 积事件（乘法运算） 互斥关系 对立关系（逆事件） 差事件 （减法运算 ） 2 学时 习题一 1、2 A 、 B 、 C 等表示。 第二节 概率的定义 掌握概率的古典定义，几何定义， 统计定义及这三种概率的计算方法； 了解
《概率论与数理统计(经管类)》复习题 一、单项选择题： 1．设A ，B 为两随机事件，且A B ?，则下列式子正确的是（ ）。 A. ()()B P B A P = B. ()()B P AB P = C. ()()B P A B P = D. ()()()A P B P A B P -=- 2．设随机变量X 的可能取值为21,x x ， 随机变量Y 的可能取值为321,,y y y , 如果()()()1111,y Y P x X P y Y x X P =====, 则随机变量X 与Y （ ）。 A.一定不相关 B.一定独立 C.一定不独立 D.不一定独立 3．下列函数为正态分布密度的是（ ）。 A. 2221x x e +-π B. ()2122 +-x e π C. ()2221μσπ--x e D. 41 221 --x e π 4．对随机变量X 来说，如果DX EX ≠，则可断定X 不服从（ ）。 A.二项分布 B.指数分布 C.泊松分布 D.正态分布 5．若二维随机变量()Y X ,的联合概率密度为()()()()0,011,22>>++= y x y x A y x p ，则系数=A （ ） 。 A. 24 π B. π2 C. 1 D. π2 - 6．事件A ，B 相互独立，且()()()=-==B A P B P A P ,2.0,7.0（ ）。 A.0.46 B.0.42 C.0.56 D.0.14 7．设随机变量X 服从()10，N , 其分布密度函数为()x ?, 则()=0?（ ）。 A.0 B.1 C. π 21 D. 21 8．设X 服从参数为λ的指数分布()λe ，则（ ）。 A. ()λ2 12=+X E B. ()12 122+=-λX D
多因素方差分析 是对一个独立变量是否受一个或多个因素或变量影响而进行的方差分析。SPSS调用“Univariate”过程，检验不同水平组合之间因变量均数，由于受不同因素影响是否有差异的问题。在这个过程中可以分析每一个因素的作用，也可以分析因素之间的交互作用，以及分析协方差，以及各因素变量与协变量之间的交互作用。该过程要求因变量是从多元正态总体随机采样得来，且总体中各单元的方差相同。但也可以通过方差齐次性检验选择均值比较结果。因变量和协变量必须是数值型变量，协变量与因变量不彼此独立。因素变量是分类变量，可以是数值型也可以是长度不超过8的字符型变量。固定因素变量(Fixed Factor)是反应处理的因素;随机因素是随机地从总体中抽取的因素。 [例子] 研究不同温度与不同湿度对粘虫发育历期的影响，得试验数据如表5-7。分析不同温度和湿度对粘虫发育历期的影响是否存在着显著性差异。 表5-7 不同温度与不同湿度粘虫发育历期表
1）准备分析数据 在数据编辑窗口中输入数据。建立因变量历期“历期”变量，因素变量温度“A”，湿度为“B”变量，重复变量“重复”。然后输入对应的数值，如图5-6所示。或者打开已存在的数据文件“DATA5-2.SAV”。 图5-6 数据输入格式 2）启动分析过程 点击主菜单“Analyze”项，在下拉菜单中点击“General Linear Model”项，在右拉式菜单中点击“Univariate”项，系统打开单因变量多因素方差分析设置窗口如图5-7。 图5-7 多因素方差分析窗口 3）设置分析变量 设置因变量:在左边变量列表中选“历期”，用向右拉按钮选入到“Dependent Variable：”框中。
概率论与数理统计英 文版总结
Sample Space样本空间 The set of all possible outcomes of a statistical experiment is called the sample space. Event 事件 An event is a subset of a sample space. certain event（必然事件）： The sample space S itself, is certainly an event, which is called a certain event, means that it always occurs in the experiment. impossible event（不可能事件）： The empty set, denoted by?, is also an event, called an impossible event, means that it never occurs in the experiment. Probability of events （概率） If the number of successes in n trails is denoted by s, and if the sequence of relative frequencies /s n obtained for larger and larger value of n approaches a limit, then this limit is defined as the probability of success in a single trial. “equally likely to occur”------probability（古典概率） If a sample space S consists of N sample points, each is equally likely to occur. Assume that the event A consists of n sample points, then the probability p that A occurs is ()n p P A N == Mutually exclusive(互斥事件) Mutually independent 事件的独立性 Two events A and B are said to be independent if ()()() P A B P A P B =? I Or Two events A and B are independent if and only if (|)() P B A P B =.
教案 2006-2007学年第二学期 课程名称：概率论与数理统计 课程编号： 学院、专业、年级：信工学院、计算机、二年级任课教师： 教师所在单位：信息科学与工程学院 山东师范大学
课程简介 《概率论与数理统计》课程是高等学校各理科专业学生的一门重要的基础必修课、学位课和研究生入学考试课，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。概率论与数理统计是本科相关各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的基础。通过本课程的学习，要使学生概率论的基本概念，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律及中心极限定律，样本及抽样分布，参数估计，假设检验。通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，利用概率论和数理统计的知识解决实际问题，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。
教学大纲 课程名称：概率统计 课程编号：4111105 课程类别：基础课 学时数：76学时（理论76学时，实验0学时） 学分数：4 先修课程：高等数学、线性代数 适用年级：二年级 适用专业：计算机科学与技术 一、内容简介 本课程是信息科学与工程学院计算机专业基础课，内容包括概率论的基本概念，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律及中心极限定律，样本及抽样分布，参数估计，假设检验。 二、本课程的性质、目的和任务 概率论与数理统计是本科相关各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的基础。 通过本课程的学习，要使学生概率论的基本概念，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律及中心极限定律，样本及抽样分布，参数估计，假设检验。 通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，利用概率论和数理统计的知识解决实际问题，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。 三、本课程与其它课程的关系 本课程是信息科学与工程学院计算机科学与技术专业的基础课。本课程的学习情况事关学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的走向。课程基础性、理论性强，与相关课程的学习联系密切，是全国硕士研究生入学考试统考科目，关系到学生综合能力的培养。本课程的学习情况直接关系到学院的整体教学水平。 四、本课程的基本要求 基本了解概率论与数理统计的基础理论，充分理解概率论与数理统计数学思想。掌握概率论与数理统计的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地概率论与数理统计的思想方法解决应用问题。 五、课程内容与学时分配 （一）概率论的基本概念（12学时） 基本要求：
统计学教案习题05方 差分析 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第五章 方差分析 一、教学大纲要求 （一）掌握内容 1．方差分析基本思想 （1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。 （2） 多组均数比较的检验假设与F 值的意义。 （3） 方差分析的应用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析 （1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。 （二）熟悉内容 多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。 （三）了解内容 两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。 二、教学内容精要 (一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想 方差分析（analysis of variance ，ANOVA ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。 2．分析三种变异 （1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x x n k i i i -∑= ， 组间ν=k -1为组间自由度。k 表示处理组数。 （2）组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异(variation within groups)，组内变异反映了随机误差的作用，其大小可用组内均方 (组内MS ) 表示， 组内组内组内ν/SS MS = ，其中∑∑==?? ????-=k i n j i ij i x x SS 112)(组内 , k N -=组内ν，为组内均方自由度。