2010年高考福建数学试题（文史类解析）
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，则A B ?等于（ ）
A. {}x|2 B. {}x|x 1≥ C. {}x|2x<3≤ D. {}x|x>2 【答案】A 【解析】A B ?={}x|1x 3≤≤?{}x|x>2={}x|2 的结果等于( ) A. 12 B.22 C.33 D.32 【答案】B 【解析】原式=2 cos 45 故选B. 【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值. 3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧．面积．．等于 ( ) 3 B.2 C.23 D.6 【答案】D 【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为 244 ? =3216??=，选D. 【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。 4．i 是虚数单位,4 1i ( )1-i +等于 ( ) A.i B .-i C.1 D.-1 【答案】C 【解析】41i ()1-i +=244 (1i)[]=i =12 +,故选C. 【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力. 7．函数2x +2x-3,x 0 x)=-2+ln x,x>0 f ?≤? ?（的零点个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 【解析】当0x ≤时，令2 230x x +-=解得3x =-； 当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。 【命题意图】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识。 11．若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大 值为 A.2 B.3 C.6 D.8 【答案】C 【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22 003(1)4 x y =-， 因为00(1,)FP x y =+ ，00(,)OP x y = ，所以2000(1)OP FP x x y ?=++ =00(1)OP FP x x ?=++ 203(1)4x -=2 0034x x ++，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ? 取得最大值2 22364 ++=，选C 。 【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。 12．设非空集合|||S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2 x S ∈。给出如下三个命题工：①若1m =，则|1S =； ②若12m =- ，则114l ≤≤；③若12l =，则2 0m ≤≤。其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D 【解析】 【命题意图】 第II 卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。 13. 若双曲线2x 4-2 2y b =1(b>0)的渐近线方程式为y=1x 2±，则ｂ等于 。 【答案】1 【解析】由题意知 1 22 b =，解得b=1。 【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。 14. 将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于 。 【答案】60 【解析】设第一组至第六组数据的频率分别为2,3,4,6,4,x x x x x x ，则234641x x x x x x +++++=，解 得120x = ，所以前三组数据的频率分别是234 ,,202020 ， 故前三组数据的频数之和等于234202020 n n n ++=27，解得n=60。 【命题意图】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键。 15. 对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）： 其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）。 【答案】②③ 【解析】 【命题意图】 16. 观察下列等式： ① cos2a=22 cos a -1; ② cos4a=84 cos a - 82 cos a + 1; ③ cos6a=326 cos a - 484 cos a + 182 cos a - 1; ④ cos8a=1288cos a - 2566cos a + 1604cos a - 322 cos a + 1; ⑤ cos10a= m 10cos a - 12808cos a + 11206cos a + n 4cos a + p 2 cos a - 1. 可以推测，m – n + p = . 【答案】962 【解析】因为122,=382,=5322,=7 1282,=所以9 2512m ==；观察可得400n =-， 50p =，所以m – n + p =962。 【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。 三、解答题 ：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分12分 ） 数列{n a } 中a ＝13，前n 项和n S 满足1n S +-n S ＝1 13n +?? ? ?? （n ∈* N ）. ( I ) 求数列{n a }的通项公式n a 以及前n 项和n S ； （II ）若S 1, t ( S 1+S 2 ), 3( S 2+S 3 ) 成等差数列，求实数t 的值。 18.（本小题满分12分） 设平顶向量m a ＝ （ m , 1）, n b = ( 2 , n )，其中 m ， n ∈{1,2,3,4}. （I ）请列出有序数组（ m ，n ）的所有可能结果； （II ）记“使得m a ⊥（m a -n b ）成立的（ m ，n ）”为事件A ，求事件A 发生的概率。 19.（本小题满分12分） 已知抛物线C ：22(0)y px p =>过点A （1 , -2）。 （I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程； （II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线L ，使得直线L 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L 5 L 的方程；若不存在，说明理由。 20. （本小题满分12分） 如图，在长方体ABCD – A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH//A1D1。 过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G。 （II）设AB=2AA1=2a。在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点， 记该点取自于几何体A1ABFE – D1DCGH内的概率为p。当点E，F分别 在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。 21．(本小题满分12分) 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以υ海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？[ (Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(Ⅲ)是否存在υ， 使得小艇以υ海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定υ的取值范围；若不存在，请说明理由。 22.（本小题满分14分） 已知函数f （x ）= 3 213 x x ax b -++的图像在点P （0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2 (Ⅰ)求实数a,b 的值； (Ⅱ)设g （x ）=f(x)+ 1 m x -是[2,+∞]上的增函数。 （i ）求实数m 的最大值； (ii)当m 取最大值时，是否存在点Q ，使得过点Q 的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由。
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