2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：
1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式：
柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。
圆柱的侧面积公式：S cl =，其中c 是圆柱的地面周长，l 是圆柱的母线长。
球的体积公式：34
3
V R π=，其中R 是球的半径。 球的表面积公式：
，其中R 是球的半径。
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：
=
12
2
1
??,.n
i i
i n
i
i X Y nx y
a
y bx X
nx ==-=--∑∑ 如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B +=； 如果事件A 、B 独立，那么()()()P AB P A P B = 。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1、设集合{}
{}2
|60,|13,M x x x N x x =+-<=≤≤则M N =
(A) [1,2) (B) [1,2] (C) (2,3] (D) [2,3] 2、复数2()2i
z i i
-=
+为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
3、若点a （,9）在函数3x
y =的图象上，则tan
6
a π
的值为
(A) 0
(B)
3
(C) 1
(D) 4、不等式5310x x -++≥的解集是
(A) []5,7- (B) []4,6- (C) (][),57,-∞-+∞ (D) (][),46,-∞-+∞ 5、对于函数(),y f x x R =∈，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 6、若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间0,
3π??????上单调递增，在区间,32ππ??
????
上单调递减，则ω=
(A) 3 (B) 2 (C)
32 (D) 2
3
7、某产品的广告费用
与销售额
y
的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程 y bx
a =+ 中的
b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 (A) 63.6万元 (B) 65.5万元 (C) 67.7万元 (D) 72.0万元
8、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线均和圆C :22
650x y x +--=相切，且双曲
线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为
(A) 22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= (D) 22163
x y -= 9、函数2sin 2
x
y x =
-的图象大致是
(A) (B)
(C) (D)
10、已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3
()f x x x =-，则函数()y f x =
的图象在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 11、右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：
①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图； ②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；
③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。其中真命题的个数是 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
12、设1234A ,A ,A ,A 是平面直角坐标系中两两不相同的四点，若1312A A =A A R λλ∈
（），1412A A =A A R μμ∈ （）
，且11
+=2λμ
，则称34A ,A 调和分割12A ,A 。已知平面上的点C ,D 调和分割点A ,B ，则下面说法正确的是 (A) C 可能是线段AB 的中点 (B)
D 可能是线段AB 的中点
(C) C ,D 可能同时在线段AB 上 (D) C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 13、执行右图所示的程序框图，输入2,3,5l m n ===， 则输出的y 的值是_______. 14
、若6
(x 展开式的常数项为60， 则常数a 的值为_______. 15、设函数()(0)2x
f x x x =
>+，观察 1213243()(),
2
()(()),
34()(()),78()(()),
1516
x
f x f x x x
f x f f x x x
f x f f x x x
f x f f x x ==+=
=+=
=+==+……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当*
n N ∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -==____________.
16、已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠且，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点
*
0(,1),x n n n N
∈+∈，则n =__________. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17、（本小题满分12分）
在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
cos 2cos 2cos A C c a
B b
--=.
（Ⅰ）求
sin sin C
A
的值； （Ⅱ）若1
cos ,24
B b ==，求AB
C 的面积S .
18、（本小题满分12分）
红队队员甲、乙、丙与蓝队队员,,A B C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立. （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ. 19、（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，
090,ACB ∠=,EA ABCD ⊥平面
//,//,//,2EF AB FG BC EG AC AB EF =
（Ⅰ）若M 是线段AD 的中点，求证：//GM ABFE 平面； （Ⅱ）若2AC BC AE ==，求二面角A BF C --的大小. 20、（本小题满分12分）
等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-求数列{}n b 的前n 项和n S .
21、（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两
端均为半球形，按照设计要求容器的容积为
803
π
立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与
其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为
(3)c c >千元.设该容器的建造费用为y 千元。
（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小值时的r .
22、（本小题满分14分）
已知动直线l 与椭圆22
:132
x y C +=交于1122(,),(,)P x y Q x y 两不同点，且OPQ ?的面积
2
OPQ S ?=
，其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明：22221212x x y y ++和均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ 的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点,,D E G ，使得ODE ODG OEG S S S ???==？若存在，判断DEG ?的
形状；若不存在，请说明理由.
理科数学试题参考答案
一、选择题
ADDDB CBACB AD 二、填空题
68 4 (21)2n n
x
x -+ 2
三、解答题
17、（1）由正弦定理，设
sin sin sin a b c
k A B C
===， 则 22sin sin 2sin sin sin sin c a k C k A C A
b k B B ---==， 所以cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A
B B
--=，
即 (cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-， 化简可得 sin()2sin()A B B C +=+，
又 A B C π++=， 所以 sin 2sin C A =，
因此
sin 2sin C
A =. （2）由
sin 2sin C
A
=得 2c a =， 由余弦定理 222
2cos b a c ac B =+-及 1
cos ,24
B b =
=， 得 2
2
2
14444
a a a =+-?， 解得 1a =， 从而 2c =， 又因为 1
cos ,04
B B π=
<<， 所以
sin B =
因此
11sin 1222S ac B =
=??=
18、（1）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜的C 事件为F ， 则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件. 因为 ()0.6,()0.5,()0.5P D P E P F ===，
由对立事件的概率公式知 ()0.4,()0.5,()0.5P D P E P F ===， 红队至少两人获胜的事件有：,,,DEF DEF DEF DEF ， 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
()()()()
0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55
P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=??+??+??+??=
（2）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3.
又由（1）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥时间，且各盘比赛的结果相互独立， 因此
(0)()0.40.50.50.1
(1)()()()
0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35(3)()0.60.50.50.15
P P DEF P P DEF P DEF P DEF P P DEF ξξξ===??===++=??+??+??====??=
由对立事件的概率公式得
(2)1(0)(1)(3)0.4P P P P ξξξξ==-=-=-== 所以ξ的分布列为
因此 00.110.3520.430.15 1.6E ξ=?+?+?+?=
19、（1）证法一：
因为 0//,//,//,90EF AB FG BC EG AC ACB ∠=， 所以 090,EGF ABC EFG ∠=?? ， 由于 2AB EF =，
因此 2BC FG =， 连接 AF ，
由于 1
//,2
FG BC FG BC =
， 在ABCD 中，M 是线段AD 的中点，
则 //AM BC ，且1
2
AM BC =
因此 //FG AM 且FG AM =， 所以四边形AFGM 为平行四边形， 因此//GM FA ，
又 ,FA ABFE GM ABFE ??平面平面， 所以 //GM ABFE 平面
证法二：
因为 0
//,//,//,90EF AB FG BC EG AC ACB ∠=， 所以 0
90,EGF ABC EFG ∠=?? ， 由于 2AB EF =，
所以 2BC FG =.
取BC 的中点N ，连接GN ， 因此 四边形BNGF 为平行四边形 所以 //GN FB
在ABCD 中，M 是线段AD 的中点，连接MN ， 则 //MN AB
因为 MN GN N = ， 所以 //GMN ABFE 平面平面 又 GM GMN ?平面 所以 //GM ABFE 平面 （2）解法一：
因为0
90ACB ∠=，所以0
90CAD ∠= 又 EA ABCD ⊥平面 所以,,AC AD AE 两两垂直
分别以,,AC AD AE 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，
不妨设22AC BC AE ===，则由题意得(0,0,0),(2,2,0),(2,0,0),(0,0,1)A B C E -
所以 (2,2,0),(0,2,0)AB BC =-=
又 1
2
EF AB =
， 所以 (1,1,1),(1,1,1)F BF -=-
设平面BFC 的法向量为 111(,,)m x y z =
， 则 0,0m BC m BF ==
所以 111
0y x z =??=?
取 11z =，得11x =
所以 (1,0,1)m =
设平面ABF 的法向量为 222(,,)n x y z =
则 0,0n AB n BF ==
所以 22
20
x y z =??
=?
取21y =，得 21x =
则 (1,1,0)n =
所以 1
cos ,2
m n m n m n ==
因此二面角A BF C --的大小为0
60.
解法二：
由题意知，ABFE ABCD ⊥平面平面 取AB 的中点H ，连接CH 因为 AC BC = 所以 CH AB ⊥ 则 CH ABFE ⊥平面
过H 向BF 引垂线交于R ，连接CR ， 则 CR BF ⊥
所以 HRC ∠为二面角A BF C --的平面角 由题意，不妨设22AC BC AE ===, 则直角梯形ABFE 中，连接FH 则 FH AB ⊥ 又
AB =所以
1,HF AE BH ===因此 在Rt BHF ?
中，HR = 由于
1
2
CH AB =
=所以在Rt CHR ?
中，tan HRC ∠=
=因此二面角A BF C --的大小为0
60.
20、（1）当13a =时，不合题意；
当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意； 当110a =时，不合题意；
因此 1232,6,18a a a === 所以公比 3q = 故 123n n a -= （2）因为
[]
111
1(1)ln =23+(1)ln 23=23+(1)
ln 2(1)ln 3=23+(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3
n n n n
n n n n
n n n n b a a n n ----=+---+---+- （）
所以
n-12(13+3)111+(1)(ln2ln3)
123+(1)ln3
n
n n
S n ??=+++-+-+--????+-+-+-??………
所以
当n 为偶数时，132ln 33ln 311322n n n n n
S -=?
+=+-- 当n 为奇数时，131
2(ln 2ln 3)()ln 3
13213ln 3ln 21
2n n n n S n n --=?--+---=--- 综上所述， 3ln 312
13ln 3ln 212
n n n n
n S n n ?+-??=?
-?---??为偶数
为奇数
21、（1）设容器的容积为V ， 由题意知 2
343V r l r ππ=+
，又803
V π=， 故 3
22
24
8044203()333V r l r r r r r
ππ-==-=- 由于 2l r ≥， 因此 02r <≤
所以建造费用 2
22420
2342()343y rl r c r r r c r
ππππ=?+=?-?+ 因此 2
1604(2),02y c r r r
π
π=-+
<≤
（2）由（1）得，3221608(2)20
'8(2)(),022
c y c r r r r r c πππ-=--
=-<<- 由于 3c >，所以 20c ->，
当 3
2002r c -
=-时，r =
令 r m =
=，则 0m > 所以 22
2
8(2)'()()c y r m r rm m r
π-=
-++ ① 当02m <<即9
2
c >时，
当r m =时，'0y = 当(0,)r m ∈时，'0y < 当(,2)r m ∈时，'0y >
所以 r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点.
② 当2m ≥即932
c <≤
时 当(0,2)r ∈时，'0y <，函数单调递减， 所以，2r =是函数y 的最小值点. 综上所述，当9
32
c <≤
时，建造费用最小时2r =
当92c >
时，建造费用最小时r = 22、（1）解:（Ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称， 所以2121,x x y y ==-， 因为11(,)P x y 在椭圆上，
因此 22
11132
x y += ①
又因为 2
OPQ S ?=
所以112
x y =
② 由①、②得
11,1x y =
= 此时 222212123,2x x y y +=+=
（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+
由题意知0m ≠，将其代入22
132
x y +=得 222(23)63(2)0k x kmx m +++-= 其中 22223612(23)(2)0k m k m ?=-+->
即 2
2
32k m +> (*)
又 2121222
63(2),2323km m x x x x k k
-+=-=++
所以PQ == 因为点O 到直线l
的距离为d =
所以
12OPQ
S PQ d ?===
又
OPQ S ?=
， 整理得 2
2
322k m +=，且符合(*)式，
此时 22
2
2
212121222
22222212121263(2)
()2()23,2323222
(3)(3)4()2
333
km m x x x x x x k k y y x x x x -+=+-=-+?=+++=-+-=-+=
综上所述，2222
12123,2x x y y +=+=，结论成立.
（2）解法一：
（Ⅰ）当直线l 的斜率不存在时
由（1）知
11,22OM x PQ y ==
== 因此
22
OM PQ =
?= （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，由（1）知：
122221212222
221212222222
2222222
3,223321
(),2222916211()()(3)
2244224(32)2(21)1(1)2(2)(23)x x k
m y y x x k k m k m m m m m
x x y y k m OM m m m m
k m m PQ k k m m +=-++-+=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++
所以 2
2
222222
2111(3)2(2)211(3)(2)113225(
)24
OM PQ m m
m m m m =
?-??+=-+-++≤=
所以 52OM PQ ≤ ，当且仅当2211
32m m
-=+，
即m =等号成立.
综合（Ⅰ）、（Ⅱ）得 OM PQ 的最大值为5
2
.
解法二：
22
2222
121212122
2
22
1
21
24()()()()2()()10
OM PQ x x y y x x y y x x y y +=++++-+-??=+++=??
所以 2
2
410
2522
OM PQ OM PQ +≤==
即 5
2
OM PQ ≤
，当且仅当2OM PQ ==. 因此 OM PQ 的最大值为5
2
.
（3）椭圆C 上不存在三点,,D E G
，使得2
ODE ODG OEG S S S ???===
证明：假设存在1122(,),(,),(,)D u v E x y G x y
满足2
ODE ODG OEG S S S ???=== 由（1）得
22222212122
222
22
1
21
23,3,3;2,2, 2.
u x u x x x v y v y y y +=+=+=+=+=+=
解得 22
2
22212
123
;1.2
u x x v y y ====== 因此 12,,u x x
只能从±
12,,v y y 只能从1±中选取. 因此 ,,D E G
只能在(1)±这四点中选取三个不同点 而这三点的两两连线中必有一条过原点
与ODE ODG OEG S S S ???===
矛盾 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点,,D E G .