剩余类环上的多项式环毕业论文

2014届本科毕业生毕业论文

z上的多项式环及因式分题目：剩余类环2

解和可约性

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目录

1 引言 (1)

2 群，环的相关理论................................ 错误！未定义书签。

2.1交换群，环的定义............................... 错误！未定义书签。

2.2 多项式环 (2)

2.3 剩余类环和模为2的剩余类环的证明 (3)

2.4 剩余类环上的多项式环 (5)

3 剩余类环上的因式分解及可约性 (5)

3.1 模为2的剩余类环上多项式环的的因式分解，可约不可约性 (5)

4 结论 (10)

附录 (11)

参考文献 (11)

致谢 (12)

剩余类环2z 上的多项式环及因式分解和可约性

摘要：给出群，交换群，环的定义，可逆元的判定；证明剩余类环2z 为

环，构造剩余类环

2z 上的多项式环，给出剩余类环2z 上的多项式环的因式分

解及判断可约性。

关键字：环；剩余类环；剩余类环上的多项式环；多项式环的因式分解；多项式环的可约性。

新疆师范大学2014届本科毕业论文

Factorization of polynomial ring and the residue class ring z decomposition and reducibility

2

Abstract: This paper presents group, abelian groups, rings, determination of invertible elements; prove the residue class ring ring, polynomial ring over residue class rings, given the residue class ring ring of polynomials factorization and determine the reducibility. Keywords:ring；residue class ring；polynomial ring over residue class rings；the ring of polynomials factorization；polynomial ring reducibility.

1 引言

19世纪以及整个20世纪里，人们建立并发展了众多的代数理论，其中对群，环，域等代数结构的研究获得了巨大的成功，使得代数成为20世纪最活跃的数学学科。在1930年与1931年，荷兰数学家范徳瓦尔登先后出版了两卷本的德文专著Moderne Algebra(近世代数)[1]

。目前，近世代数的理论，思想与方法已经浸透到数学的许多领域，并成为整个现代数学的主要组成部分。

模n 的剩余类环的问题不仅在近世代数中占有重要地位,也在解决生活实际问题时有一定的应用,学者们就对各种环进行了深入系统的的研究，并开辟了许多新的研究领域，取得了许多有意义的研究成果。模n 剩余类环就是其中研究比较透切的一种特殊的环。模n 的剩余类环为有限可换环，整环及域都提供了丰富的例证但其性质散见于各种论著之中。然而，在高等代数里我们已经看到，全体整数对于数的加乘做成一个环。本文我们进一步讨论整环，多项式环，模为2剩余类环，模为2的剩余类环上的多项式环的因式分解及可约性。

2 群，环的相关理论

2.1 交换群，环的定义，可逆的判定

2.1.1 群，交换群

定义4[2]

设G 是非空集合，在G 上有一个代数运算，叫做乘法，对G 的任意两个元,a b ，其运算的结果称为a 与b 的积，记为ab c =,如果还满足 1. 结合律:()()c ab bc a =,G c b a ∈,,. 2. 有单位元e ,使得a ae ea ==,G a ∈?

3. 对每个G a ∈,有G b ∈,使e ba ab ==,b 称为a 的一个逆元. 则称G 为一个群.

当群G 的运算满足交换律时，成G 为交换群，这时也常把其运算记成加法，并称它是一个加（法）群（注意 加群中零元相当于乘法群中的单位元，而负元相当于乘法群中的逆元）[2]

。

2.1.2 环的定义

定义[3]

一个集合R 叫做一个环.假如

1. R 是一个加群，换句话说，R 对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群；

2. R 对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；

3. 这个乘法适合结合律；

()()c ab bc a = 不管c b a ,,是R 的哪三个元； 4. 两个分配律成立：

()()a b c ab ac

b c a ba ca

+=++=+

不管c b a ,,是R 的哪三个元.

2.2 多项式环

假定0R 是一个有单位元的交换环，R 是0R 的子环，并且包括0R 的单位

元。我们在0R 里取出一个元x 来，那么 n n n n x a a x a x a x ++=+++......a 0110

0 ()i a R ∈

定义

[5]

一个可以写成n

n

x a a a +++.....10 (),0i a R n ∈≥ 形式的表达式，称为R 上的x 的一个多项式。i a 叫做多项式的系数。 现在我们把所有的R 上的

x 的多项式放在一起，作为一个集体，这个集合我

们用[]R x 来表示.我们要注意，对于m

0a ...0...0m m m n m m a x a a x x x +++=+++++

所以当我们只看[]R x 的有限个多项式的时候，可以假定这些多项式的系数都是一样的。因此，[]

R x 的两个元相加相乘适合以下公式： ()()()()0000a

.........n n n

n n n n a x b b x a b a b x +++++=++++

()()0

00a ...b ......m n m n m n m n a x b x c c x ++++++=++

这里 ∑=+-=

+++=k

j i j

i

k k k k b

a b a b a b a 0110...c

这两个式子告诉我们，[]

R x 对于加法和乘法来说都是闭的。由于我们也有 -()[]00a

......n n

n n

a x a a x R x ++=---∈ 所以[]R x 是一个环。[]R x 显然是0R 包括R 和x 的最小子环。

定义[5]

[]R x 叫做R 上的

x 的多项式环。

2.3 剩余类环的定义和模为2的剩余类环的证明

2.3.1 剩余类环的定义

本小节给出了剩余类环的定义，为证明模2的剩余类2Z 为环提供了理论基础。

给了一个环R 和R 的一个理想μ

[附录]

若我们只就加法来看，R 作成一个

群，μ作成R 的一个不变子群。这样μ的陪集 ],[],[],[c b a 作成R 的一个分类。我们现在把这些类叫做模μ的剩余类。这个分类相当于R 的元间的一个等价关系这个等价关系现在我们用符号)(μb a ≡来表示[9]

。

定理1[9]

假定R 是一个环，μ是它的一个理想，R 是所有模μ的剩余类

做成的集合。那么R 本身也是一个环，并且R 与R 同态。

定义[9]

R 叫做环R 的模μ的剩余类环。这个环我们用μ/R 来表示。

2.3.2 证明模2的剩余类2Z 是环

证明：已知模2的剩余类由2Z ={0,1}构成的一个集合.2Z 对加法和乘法满足 下列运算表：为方便记：00,11==，

⊕ 0 1 ? 0 1 0 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1

()1 对2,,Z c b a ∈?

2Z c b a ∈=+ 成立 (对加法是封闭的） ⑵ 对2,,Z c b a ∈?

()()c b a c b a ++=++成立 (对加法满足结合律） ⑶ 对2,,Z c b a ∈?

20Z b a ∈=+成立 （存在零元） ⑷ 对2,,Z c b a ∈?

a b b a +=+ （对加法满足交换律） 由⑴⑵⑶⑷可知2Z 对加法满足交环群. ⑸ 对2,,Z c b a ∈?

2·

Z c b a ∈= （对乘法的代数运算是封闭的） ⑹ 对2,,Z c b a ∈?

()()c ab bc a = （对乘法满足结合律）

⑺ 对2,,Z c b a ∈?

()()ca

ba a c b ac

ab c b a +=++=+ （对乘法满足两个结合律）

由⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺可知2Z 是环。

2.4 剩余类环上的多项式环 我们已得出2Z 是环而且是交换环。

定义[2]

R 为交换环，交换环

()}{

a ,,...,,...,...,10100≠∈=i n R a a a a a R 且只有限个正是

[]{10...n n n R x a x a a -=+++ n ?为非负数，}R a a n ∈?0,...，称为R 上

的多项式环。

所以可知，模为2的剩余类环2Z 上的多项式环的形式为：

[]{01...x a a x a Z n n n +++=-n ? 为非负数, }2

0,...Z a a n ∈?,{}1,02

=Z .

3 剩余类环上的因式分解及可约性

3.1 模为2的剩余类环上多项式环的的因式分解和可约性

设

[]0,,)(≠∈?∈c F c x F x f ，有)()(,)(x f x cf x f c ，

所以我们有以下面定义. 定义 2.5.1[4]

设[]0,,)(≠∈?∈c F c x F x f ，我们称c 与)(x cf 为多项

式)(x f 的平凡因式. 定义 2.5.2 [4]设

[]x F x f ∈)(，如果()x f 在[]x F 中有非平凡因式，则

称

()x f 在[]x F 中可约，否则称()x f 在[]x F 中不可约.

定理 2.4.3 [7]

()[]()()0

,0,f x F x f x n ?∈?

=≥()x f 在[]x F 中都可以

分解为不可约多项式的乘积. 证 若

()x f 在[]x F 中不可约，则结论成立。若()x f 在[]x F 中可约，则

()()[]()()()()()()()”

且“x f x f x f x f x f x F x f x f 201021210,,?

此时迹有 ()()()()x f x f 020

0?

若()()x f x f 21,都不可约，则结论成立.

若

()()x f x f 21或都不可约，则继续分解。因为分解后的因式的次数降低，而

一次多项式不可约，所以分解必会终止。即

()()()()}{()x p k r x p x p x p x f r k ,,...,2,1,...21∈?= 不可约.

故结论成立.

上节我们已给出模为2的剩余类环2Z 上的多项式环的形式

[]{210

f(x)...n n n Z x a x a a -==+++n ? 为非负数,

}20,...Z a a n ∈?,{}1,02=Z ，模为2。

接下来我们讨论它的因式分解及可约性。

1.当x 的最高次方为0时，)(f x =0,)(f x =1为常数多项式。它为不可约多项式

[10]

。

2.当x 的最高次方为1时： )(f x =

x ,)(f x =1+x 最高次方为一时，该多项式不可约。

3.当x 的最高次方为2时，共有4个多项式： （1）)(f x =x x x

?=2

为可约多项式 。

（2）)(f x =()()11112

2

+-=-≡+x x x x 为可约多项式。

（3）)(f x =()12

+=+x x x x 为可约多项式。

（4）)(f x =12

++x x

为不可约多项式。

4.当x 的最高次方为3时，共有8个多项式： （1）)(f x =x x x x ??=3

为可约多项式。 （2）)(f x =()()

1111233

++-=-≡+x x x x x

为可约多项式。

（3）)(f x =()()113

+-=+x x x x x 为可约多项式。

（4）)(f x =13++x x

为不可约多项式。 （5）)(f x =()123

+?=+x x x x x

为可约多项式。

（6）)(f x =123

++x x 为不可约多项式。 （7）)(f x =()1

223

++=++x x x x x x

为可约多项式。

（8）)(f x =()()()111123

+++≡+++x x x x x x

为可约多项式。 5.当x 的最高次方为4时，总有16个多项式： （1）)(f x =x x x x x ???=4 为可约多项式。 （2）)(f x =()()()()11111144

+-+-≡-≡+x x x x x x 为可约多项式。

（3）)(f x =()()

1124+++≡+x x x x x x 为可约多项式。 （4）)(f x =14++x x 为不可约多项式。

（5）)(f x =()()1124

-+?≡+x x x x x x

为可约多项式。

（6）)(f x =12

4

++x x 为不可约多项式。 （7）)(f x =()1

324

++=++x x x x x x

为可约多项式。

（8）)(f x =()()

111224

+++=+++x x x x x x

为可约多项式。

（9）)(f x =()13

4

+??=+x x x x x x 为可约多项式。

（10）)(f x =134

++x x

为不可约多项式。

（11）)(f x =(

)1

2334

++=++x x x x x x

为可约多项式。

（12）)(f x =()()()11112

3

4

++--=+++x x x x x x x 为可约多项式。

（13）)(f x =()

12234

++?=++x x x x x x x 为可约多项式。

（14）)(f x =()()

1113234

++-=+++x x x x x x 为可约多项式。

（15）)(f x =()()()111234

+++=+++x x x x x x x x

为可约多项式。

（16）)(f x =1234

++++x x x x

为不可约多项式。

6.当x 的最高次方为5时，总有32个多项式： （1）=)(f x x x x x x x ????=5 为可约多项式。

（2）=)(f x ()()

1112345++++-=+x x x x x x 为可约多项式。

（3）)1)(1)(1)(1()(f 5++--=+=x x x x x x x x 为可约多项式。

（4）()1f 5++=x x x 为不可约多项式。

（5）())1)(1(f

225++-?=+=x x x x x x x x 为可约多项式。

（6）1)(f 25++=

x x x 为不可约多项式。

（7）

)1()(f 4

25++=++=x x x x x x x 为可约多项式。 （8）)1)(1)(1(1)(f 325

++--=+++=x x x x x x x x 为可约多项式。

（9）)1)(1()(f 35-+??=+=

x x x x x x x x 为可约多项式。

（10）

1)(f 35++=x x x 为不可约多项式。 （11）)1()(f 2435++=++=x x x x x x

x 为可约多项式。 （12）)1)(1(1)(f 3435

+++=+++=x x x x x x x 为可约多项式。

（13）)1()(f 3235++?=++=x x x x x x x x 为可约多项式。

（14）)1)(1)(1(11)(f 2235++-++=+++=x x x x x x x x x ）（ 为可约多

项式。

（15）)1)(1()(f 23235+++=+++=

x x x x x x x x x 为可约多项式。

（16）

1)(f 2

35++++=x x x x x 为不可约多项式。 （17）)1()(f 45+???=+=x x x x x x x x 为可约多项式。

（18）1)(f 45++=

x x x 为不可约多项式。

（19）

)1()(f 3445++=++=x x x x x x x 为可约多项式。 （20）

)1)(1)(1)(1)(1(1)(f 45--+++=+++=x x x x x x x x x 为可约多项式。

（21）

)1()(f 23245++?=++=x x x x x x x x 为可约多项式。 （22）)1)(1(1)(f 4245+++=+++=x x x x x x x 为可约多项式。

（23）)1)(1)(1()(f 2245++-+=+++=

x x x x x x x x x x 为可约多项式。

（24）

1)(f 245++++=x x x x x 为不可约多项式。 （25）

)1()(f 2345++??=++=x x x x x x x x x 为可约多项式。 （26）)1)(1)(1(1)(f 23345

-+-+=+++=x x x x x x x x 为可约多项式。

（27）)1)(1()(f 3345+++=+++=

x x x x x x x x x 为可约多项式。

（28）

1)(f 345++++=x x x x x 为不可约多项式。 （29）)1)(1)(1()(f 2345-++?=+++=x x x x x x x x x x 为可约多项

式。

（30）

1)(f 2345++++=x x x x x 不可约多项式。 （31）)1()(f 2342345++++=++++=x x x x x x x x x x x 为可约多

项式。

（32）

)1(11)(f 242345+++=+++++=x x x x x x x x x ）（为可约多项式。

4 结论

我们已给出了剩余类环和模为2的剩余类环的证明，模为2的剩余类环上多项式环的的因式分解和可约性，显然，我们可发现，模为2的剩余类环上多项式环因式分解后，它的可约不可约性有以下的几个规律：

（1）多项式的最高次数低于二次（不包含二次）的多项式一律不可约。

（2）多项式的最高次数高于二次方（包含二次）时，当多项式的项的个数为奇数且含有常数项时，该多项式不可约。

（3）多项式的最高次数高于二次方（包含二次）时，在多项式的最高次方为奇数的，包含常数项的情况下，多项式缺项（项的系数为零）时，该多项式不可约，反而不缺项时，该多项式都可约。

n。

（4）多项式的最高次方为n时，多项式的最多项数为1

我们有了以上的规律后，以后碰到模为2的剩余类环上多项式环中的高次多项式的时候都可以判断各种多项式的可约不可约性。

附录 定义

[10]

环R 的一个非空自己μ叫做一个理想子环，简称理想，假若

)(i μμ∈-?∈b a b a ,

）（ii

μμ∈?∈∈ar ra R r a ,,

参考文献：

[1]近世代数 研传:科学出版社2010年9月第一版,前言(ii).

[2]近世代数初步（第二版）石生明：高等教育出版社，2002年7月第一版，第4页. [3]近世代数基础（修订本）张禾瑞:高等教育出版社，2012年5月第49出版，第82页. [4]高等代数 高孝忠:清华大学出版社，2013年4月第一版,第30页.

[5]近世代数基础（修订本）张禾瑞:高等教育出版社，2012年5月第49出版，第102页. [6]近世代数 赵淼清：浙江大学出版社2005年8月第一版，第131页. [7]高等代数 张志让，刘启宽：高等教育出版社2008年1月第一版，第129页. [8]抽象代数I 陈良云：科学出版社，2010年1月第一版，第49页. [9]近世代数初步 石生明：高等教育出版社，2006年3月第一版，第93页. [10]高等代数 熊全淹主审：高等教育出版社，2000年7月第14版，第21页.

致谢

大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实。当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多。

首先我非常感谢我的论文导师曾吉文老师。导师润博专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，宽以待人的崇高风范，朴实无华，平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树立了远大的学术目标，掌握了基本研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师的大量心血。在此向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！

感谢四年中陪伴在我身边的老师，同学，宿友，朋友们，感谢他们为我提出的有益的建议和意见，有了他们的支持，鼓励和帮助，我才能度过了四年的学习生活。