蔡甸二中2013学年第一学期高二期中考试
数学试卷（理科）
1. 如果直线l 过点P(1，2)，且l 不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( )
A ．[0，2]
B 、[0，1]
C 、[0，]
D 、[－ ，0]
2．如果执行下面的程序框图,输出的S=240,则判断框中为（ ）
第2题图 第7题图 A ．?15≥k B ．?16≥k C ．?15≤k D ．?16≤k
3. 若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2
＝1有两个不同交点，则点P(a ，b)与圆C 的位置关系是( ) A ．点在圆上 B ．点在圆内 C ．点在圆外 D ．不能确定 4.设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22
(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）
A ．[1-
B ．(,1[1)-∞+∞
C ．[22-+
D ．(,2[2)-∞-++∞
5. 圆C ：x 2
＋y 2
＋2x ＋4y －3=0上到直线l ：x ＋y ＋1=0的距离为2的点共有( )
A ．１个
B ．２个
C ．３个
D ．４个
6.若直线10x y -+=与圆2
2
()2x a y -+=有公共点,则实数a 取值范围是 （ ）
A ．[-3,-1]
B ．[-1,3]
C ．[-3,l ]
D ．(-∞,-3] ? [1.+∞)
7．执行右面的程序框图,如果输入的N 是6,那么输出的p 是
（ ）
A ．120
B ．720
C ．1440
D ．5040
8．运行如下程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出s 属于 （ ）
A ．[3,4]-
B ．[5,2]-
C ．[4,3]-
D ．[2,5]-
9. 在平面直角坐标系中,不等式组??
?≤-≤x
y x 44表示的平面区域的面积是 （ ）
A ．216
B ．16
C ．28
D ．8
10. 不等边ABC ?的三个内角所对边分别是a ，b ，c ，且lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，则直线2
sin sin x A y A a +=与直线2
sin sin x B y C c +=的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直
C ．重合
D ．相交但不垂直
二、填空题（每小题5分，共25分）
11.已知直线l ：210x y k +++=被圆O ：2
2
4x y +=所截得弦AB 的长为2，则OA OB
?
的值为 ．
12．定义某种运算b a S ?=,运算原理如图所示,则式
子:1
31100lg ln 45tan 2-?
?
?
???+???? ??e π的值
是 .
13. 设
)
,2
(ππθ∈，则直线01sin cos =++θθy x 的倾斜角α为______________.
14. 设,m n R ∈，若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ?面积的最小值为 ．
15.若,x y 满足约束条件1
122x y x y x y +≥??
-≥-??-≤?
,目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值,
则a 的取值范围是 _______________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（12分） 已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点。
（1）求AB 边所在的直线方程； （2）求中线AM 的长。
17. （12分）已知圆1C ：2
2
2x y +=和圆2C ，直线l 与圆1C 相切于点(1,1)A ，圆2C 的圆心在射线20(0)x y x -=≥上，圆2C 过原点，且被直线l
截得的弦长为 （1）求直线l 的方程；（2）求圆2C 的方程．
18. （12分）某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童吃这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
19. （12分） 过点)1,2(P 的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于B 、A 两点，求使： (1）△AOB 面积最小时l 的方程； (2）PB PA 最小时l 的方程.
20．（13分）若a ≥0，b ≥0，且当????
?
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≤1
时，恒有ax ＋by ≤1，求以a ，b 为
坐标的点
P (a ，b )所形成的平面区域的面积．
21.（14分）根据如图所示的程序框图，输入一个正整数n ， 将输出的x 值依次记为123,,,,n x x x x ；输出的y 值依次 记为123,,,,n y y y y ．
（1）求数列{}n x 的通项公式；
（2）写出1234,,,y y y y 的值，由此猜想出数列{}n y 的通项公式； （3）若1122.n n n z x y x y x y =+++ ，求n z ．
蔡甸二中2013学年第一学期高二期中考试
数学（理科）答题卷
一、选择题（每小题5分，共50分）
二、填空题（每小题5分,共25分）
11. 12. 13. 14.
15.
三、解答题（共75分） 16.
学校_________________ 班级___________________ 姓名___________________ 考号________________
17.
18.
19.
20.
21.
线
封
密
线
封
密
线
封
密
线
封
密
蔡甸二中2013学年第一学期高二期中考试
数学试卷（理科）答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
8.【解析】有题意知,当[1,1)t ∈-时,3s t =[3,3)∈-,当[1,3]t ∈时,2
4s t t =-[3,4]∈,
∴输出s 属于[-3,4],故选A . 11. 2 12.8 13.
2π
θ-
14. 3 15. ()4,2-
16.（1）由两点式写方程得 1
21
515+-+=
---x y ，即 6x-y+11=0 或 直线AB 的斜率为 61
6
)1(251=--=-----=k 直线AB 的方程为 )1(65+=-x y
即 6x-y+11=0
(2）设M 的坐标为（00,y x ），则由中点坐标公式得
12
3
1,124200=+-==+-=
y x 故M （1，1）52)51()11(22=-++=AM 17.（1）∵ AO l ⊥，∴ 1
1l OA
k k =-
=-． 又 ∵ 切点为(1,1)A ，∴ 直线l 的方程是1(1)y x -=--，即20x y +-=．
（2）设圆心2C (,2)(0)a a a ≥，则r =
，
∵
2C 到直线l 的距离d =，∴
22(32)1252a a -+=，化简得212280a a +-=，解得2a =或14a =-（舍去）．∴ 2C 的方程是22
(2)(4)20x y -+-=．
18.解析 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z
元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足?????
x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，
6x ＋6y ≥42，
6x ＋10y ≥54，
即?????
x ≥0，y ≥0，
3x ＋2y ≥16，
x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.
让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z
＝2.5x ＋4y 在(4,3)处取得最小值．
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
19. 方法一 设直线的方程为1=+b
y
a
x (a ＞2,b ＞1), 由已知可得112
=+b
a
.
(1）∵2b a 12?≤b a 1
2+=1，∴ab ≥8.∴S △AOB =2
1ab ≥4.
当且仅当
a 2=
b 1=2
1
,即a=4,b=2时，S △AOB 取最小值4， 此时直线l 的方程为2
4
y x +=1,即x+2y-4=0.
(2）由
a 2+b
1
=1,得ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2, PB PA =
22)01()2(-+-a ·22)1()02(b -+-
=]4)1[(]1)2[(2
2
+-?+-b a ≥)1(4)2(2-?-b a .
当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4. 此时直线l 的方程为x+y-3=0. 方法二 设直线l 的方程为y-1=k(x-2) (k ＜0),
则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ???
?
?-0,1
2k
、B （0，1-2k ）.
(1）S △AOB =
21??
?
??-k 12（1-2k ）=21×??
?
??
?-+-+)1()4(4k k ≥21
（4+4）=4. 当且仅当-4k=-
k
1
,即k=-21时取最小值，此时直线l 的方程为y-1=-21(x-2),即x+2y-4=0.
(2）PB PA =22
441
)1(k k
++=
844
22++k k
≥4, 当且仅当
2
4k =4k 2
,即k=-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.
20.解析 作出线性约束条件????
?
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≤1
对应的可行域如图所示，在此条件下，要使ax
＋by ≤1恒成立，只要ax ＋by 的最大值不超过1即可．
令z ＝ax ＋by ，则y ＝－a b x ＋z b
.
因为a ≥0，b ≥0，则－1＜－a b ≤0时，b ≤1，或－a b
≤－1时，a ≤1. 此时对应的可行域如图，
所以以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的面积为1.
21. （1）由程序框图可知:{}n x 是等差数列，且首项11x =，公差2d = ∴12(1)21n x n n =+-=- ………………………4分
（2）1231y ==-，22322831y =?+==-，
333822631y =?+==-，4432628031y =?+==-，
故31n n y =-。………………………8分
（3） (21)(31)(21)3(21)n n n n x y n n n ?=--=-?--
23(31)(333)(535)[(21)3(21)]n n z n n =-+?-+?-++-?-- 2333353(21)3[135(21)]n n n =+?+?++-?-+++-
23233353(21)3n n n =+?+?++-?- …………………………10分
令2333353(21)3n n S n =+?+?++-?
2341333353(21)3n n S n +=+?+?++-?
∴23411232(3333)(21)32(1)36n n n n S n n ++-=+++++--?=-?-
∴1
(1)33n n S n +=-?+
∴12
(1)33n n z n n +=-?+-． ……………13分