空间插值方法汇总 Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法） Kriging（克里金插值法） Minimum Curvature（最小曲率） Modified Shepard's Method（改进谢别德法） Natural Neighbor（自然邻点插值法） Nearest Neighbor（最近邻点插值法） Polynomial Regression（多元回归法） Radial Basis Function（径向基函数法） Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法） Moving Average（移动平均法） Local Polynomial（局部多项式法） 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为 0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的 Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲
空间插值算法： 1、距离倒数乘方法 (Inverse Distanee to a Power ) 距离倒数乘方格网 化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于 一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0的权重。换 言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒 数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 (Kriging)克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 (Minimum Curvature )最小曲率法广泛用于地球科学。 用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的
长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准 4、多元回归法(Polynomial Regression )多元回归被用来确定你的数据 的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。 多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X和Y 组元的最高方次。 5、径向基本函数法 (Radial Basis Function )径向基本函数法是多个数据 插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力，其中的 复二次函数被许多人认为是最好的方法。所有径向基本函数法都是准确的插值器，它们都要为尊重你的数据而努力。为了试图生成一个更圆滑的曲面，对所有这些方法你都可以引入一个圆滑系数。你可以指定的函数类似于克里金中的变化图。当对一个格网结点插值时，这些个函数给数据点规定了一套最佳权重。 6谢别德法(Shepard's Method )谢别德法使用距离倒数加权的最小 乘方的方法。因此，它与距离倒数乘方插值器相似，但它利用了局部最小二乘方来消除或减少所生成等值线的"牛眼"外观。谢别德法可以是一个准确或圆滑插值器。在用谢别德法作为格网化方法时要涉及到圆滑参数的设置。圆滑参数是使谢别德法能够象一个圆滑插值器那样工作。当你增加圆滑参数的值时，圆滑的效果越好。
两种空间插值方法的比较研究 摘要：距离倒数加权法算法简单，容易实现，适合分布较均匀的采样点集，但容易出现“牛眼”现象；克里金法是一种无偏最优估计法，精度较高，适合空间自相关程度高的数据，但其算法复杂，实现较难。这两种 方法各有其适用情形，本文比较了这两种方法的优劣并提出算法优化的思路。 关键字：距离倒数加权，克里金，优化 1引言 空间插值是根据一组已知的离散数据或分区数据，按照某种假设推求出其他未知点或未知区域的数据的过程，简单的说就是由已知空间特性推求未知空间特性。它是地学研究中的基本问题，也是GIS 数据处理的重要内容。在利用GIS 处理空间数据的过程中，需要进行空间插值的场合很多，如采样密度不够、采样分布不合理、采样存在空白区、等值线的自动绘制、数字高程模型的建立、区域边界分析、曲线光滑处理、空间趋势预测、采样结果的2.5维可视化等[1]。通过归纳，空间插值可以简化为以下三种情形：（1）现有离散曲面的分辨率、像元大小或方向与所要求的不符，需要重新插值。例如将一个扫描影像（航空像片、遥感影像）从一种分辨率或方向转换为另一种分辨率或方向的影像。（2）现有连续曲面的数据模型与所需的数据模型不符，需要重新插值。如将一个连续曲面从一种空间切分方式变为另一种空间切分方式，从TIN 到栅格、栅格到TIN 或矢量多边形到栅格。（3）现有数据不能完全覆盖所要求的区域范围，需要插值。如将离散的采样点数据内插为连续的数据表面[2]。。 现有的空间插值方法多种多样，但每一种方法都有其适用情形和无法避免的缺陷，本文分析了距离倒数加权法和克里金法的插值结果，并提出改进的思路。 2方法 距离倒数加权法和克里金法都是建立在地理学第一定律之上的，即：空间距离越近，地理事物的相似性越大[3]。它们都是通过确定待插点周围采样点的权重来求取待插点的估计值，可统一表示。设n x x ,,1 为区域上的一系列观测点，)(,),(1n x Z x Z 为相应的观测值。待插点0x 处的值)(0x Z 可采用一个线性组合来估计： ∑==n i i i x Z x Z 10)()(λ （1）
牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序 程序框图#include 空间插值算法： 1、距离倒数乘方法（Inverse Distance to a Power）距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法（Kriging）克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法（Minimum Curvature）最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法（Polynomial Regression）多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回 五种插值法的对比研究 1. 选题依据 1.1 选题背景 插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。据考证，在公元六世纪时， 我国焯(zhuo) 已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时，Newton 和 Gregory(格雷格里) 建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时，Lagrange(拉格朗日) 给出了更一般的非等距节点插值公式。 而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应用也日益增多，特别是在计算机工程中。许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。 1.2 研究的目的和意义 插值法是数值分析中最基本的方法之一。 在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时， 要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值， 按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。 在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。在数值计算方法中，我们学习过五种基本的插值方法，即Lagrange 插值、Newton 插值、分段线性插值、分段三次Hermite 插值、样条插值函数。所以通过从这五种插值法的基本思想、特征、性质和具体实例入手，探讨五种插值法的优缺点和适用围，让学习者能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。 2. 研究的方法 从具体实例入手并结合Matlab 在科学计算中的优势，通过实验对它们的精度和效率进行比较分析。 3. 论文结构 3.1 论文的总体结构 第一部分 导言 主要介绍选题的背景、目的及意义、研究现状、文献综述等。 第二部分 五种插值法的基本思想、性质及特点 在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。 插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1 个实点0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…,f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1 个 离散数据对0n i i )}y ,{(x i .要估算f(x)在其它点x 处的函数值，最常见的一种办法就是插 值，即寻找一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y(i x )=f(i x )，i=0,1,…,n.，并以y(x)作为f(x)的近似值.其中y(x)称为插值函数，f(x)称为被插函数。 GIS空间插值（局部插值方法）实习记录 一、空间插值的概念和原理 当我们需要做一幅某个区域的专题地图，或是对该区域进行详细研究的时候，必须具备研究区任一点的属性值，也就是连续的属性值。但是，由于各种属性数据（如降水量、气温等）很难实施地面无缝观测，所以，我们能获取的往往是离散的属性数据。例如本例，我们现有一幅山东省等降雨量图，但是最终目标是得到山东省降水量专题图（覆盖全省，统计完成后，各地均具有自己的降雨量属性）。 空间插值是指利用研究区已知数据来估算未知数据的过程，即将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面。利用空间插值，我们就可以通过离散的等降雨量线，来推算出山东省各地的降雨量了。 二、空间插值的几种方法及本次实习采用的原理和方法 –整体插值方法 ?边界内插方法 ?趋势面分析 ?变换函数插值 –局部分块插值方法 ?自然邻域法 ?移动平均插值方法：反距离权重插值 ?样条函数插值法（薄板样条和张力样条法） ?空间自协方差最佳插值方法：克里金插值 ■局部插值方法的控制点个数与控制点选择问题 局部插值方法用一组已知数据点（我们将其称为控制点）样本来估算待插值点（未知点）的值，因此控制点对该方法十分重要。 为此，第一要注意的是控制点的个数。控制点的个数与估算结果精确程度的关系取决于控制点的分布与待插值点的关系以及控制点的空间自相关程度。为了获取更精确的插值结果，我们需要着重考虑上述两点因素（横线所示）。 第二需要注意的是怎样选择控制点。一种方法是用离估算点最近的点作为控制点；另一种方法是通过半径来选择控制点，半径的大小必须根据控制点的分布来调整。 S6、按照不同方法进行空间插值，并比较各自优劣 打开ArcToolbox——Spatial Analyst 工具——插值，打开插值方法列表，如下图： ArcGIS 中几种空间插值方法 1. 反距离加权法(IDW) ArcGIS 中最常用的空间内插方法之一，反距离加权法是以插值点与样本点之间的距离为权重的插值方法，插值点越近的样本点赋予的权重越大，其权重贡献与距离成反比。可表示为： 1111() ()n n i p p i i i i Z Z D D ===∑∑ 其中Z 是插值点估计值，Z i (i=1Λn)是实测样本值，n 为参与计算的实测样本数，D i 为插值点与第i 个站点间的距离，p 是距离的幂，它显著影响内插的结果，它的选择标准是最小平均绝对误差。 2.多项式法 多项式内插法(Polynomial Interpolation)是根据全部或局部已知值，按研究区域预测数据的某种特定趋势来进行内插的方法,属统计方法的范畴。在GA 模块中，有二种类型的多项式内插方法，即全局多项式内插和局部多项式内插。前者多用于分析数据的全局趋势；后者则是使用多个平面来拟合整个研究区域，能表现出区域内局部变异的情况。 3.样条函数内插法 样条函数是一个分段函数，进行一次拟合只有少数点拟合，同时保证曲线段连接处连续，这就意味着样条函数可以修改少数数据点配准而不必重新计算整条曲线。样条函数的一些缺点是：样条内插的误差不能直接估算，同时在实践中要 解决的问题是样条块的定义以及如何在三维空间中将这些“块”拼成复杂曲面,又不引入原始曲面中所没有的异常现象等问题。 4.克里格插值法 克里格法是GIS 软件地理统计插值的重要组成部分。这种方法充分吸收了地理统计的思想，认为任何在空间连续性变化的属性是非常不规则的，不能用简单的平滑数学函数进行模拟，可以用随机表面给予较恰当的描述。这种连续性变化的空间属性称为“区域性变量”，可以描述象气压、高程及其它连续性变化的描述指标变量。地理统计方法为空间插值提供了一种优化策略，即在插值过程中根据某种优化准则函数动态的决定变量的数值。Kriging 插值方法着重于权重系数的确定，从而使内插函数处于最佳状态，即对给定点上的变量值提供最好的线性无偏估计。 对于普通克里格法，其一般公式为 01()()n i i i Z x Z x λ==∑，其中，Z(x i )(i=1, Λ,n)为n 个样本点的观测值，Z(x 0)为待定点值，i λ为权重，权重由克立格方程组： 011 (,)(,)1n i i j i i n i i C x y C x x λμλ==?-=????=??∑∑ 决定，其中,C(x i ,x j )为测站样本点之间的协方差，C(x i ,x 0)为测站样本点与插值点之间的协方差，μ为拉格朗日乘子。 插值数据的空间结构特性由半变异函数描述，其表达式为： () 21 1()(()())2()N h i i i h Z x Z x h N h ν==-+∑ 其中，N(h)为被距离区段分割的试验数据对数目，根据试验变异函数的特性，选 1. 克里金法（Kriging） 克里金法是通过一组具有z 值的分散点生成估计表面的高级地统计过程。与其他插值方法不同，选择用于生成输出表面的最佳估算方法之前应对由z 值表示的现象的空间行为进行全面研究。 克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择，IDW仅仅将距离的倒数作为权重，而克里金考虑到了空间相关性的问题。它首先将每两个点进行配对，这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。对于这种方法，原始的输入点可能会发生变化。在数据点多时，结果更加可靠。该方法通常用在土壤科学和地质中。 2. 反距离权重法（Inverse Distance Weighted，IDW） 反距离权重法（反距离权重法）工具所使用的插值方法可通过对各个待处理像元邻域中的样本数据点取平均值来估计像元值。点到要估计的像元的中心越近，则其在平均过程中的影响或权重越大。此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小。例如，为分析零售网点而对购电消费者的表面进行插值处理时，在较远位置购电影响较小，这是因为人们更倾向于在家附近购物。 反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。幂参数是一个正实数，默认值为2。 通过定义更高的幂值，可进一步强调最近点。因此，邻近数据将受到最大影响，表面会变得更加详细（更不平滑）。随着幂数的增大，内插值将逐渐接近最近采样点的值。指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响，从而导致更加平滑的表面。 由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联，因此无法确定特定幂值是否过大。作为常规准则，认为值为30 的幂是超大幂，因此不建议使用。此外还需牢记一点，如果距离或幂值较大，则可能生成错误结果。 3. 含障碍的样条函数（Spline with Barriers） 含障碍的样条函数工具使用的方法类似于样条函数法工具中使用的技术，其主要差异是此工具兼顾在输入障碍和输入点数据中编码的不连续性。 含障碍的样条函数工具应用了最小曲率方法，其实现方式为通过单向多格网技术，以初始的粗糙格网（在本例中是已按输入数据的平均间距进行初始化的格网）为起点在一系列精细格网间移动，直至目标行和目标列的间距足以使表面曲率接近最小值为止。 4. 地形转栅格（Topo to Raster） 地形转栅格和依据文件实现地形转栅格工具所使用插值技术是旨在用于创建可更准确地表示自然水系表面的表面，而且通过这种技术创建的表面可更好的保留输入等值线数据中的山脊线和河流网络。 5. 样条函数（Spline） 样条函数法工具所使用的插值方法使用可最小化整体表面曲率的数学函数来估计值，以生成恰好经过输入点的平滑表面。 牛顿插值法的分析与应用 学生： 班级： 学号： ： 指导教师： 成绩： 一．定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111 二. 牛顿插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 = 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(0 10b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏= 为插值余项。 三.算法 步骤1：输入节点（xj ，yj ），精度ξ，计值点xx ，f0→p ，1→T ，1→i ； 步骤2：对k=1，2，……，i 依次计算k 阶均差 f[xi-k,xi-k+1,…,xi] = (f[xi-k+1,…,xi]- f[xi-k,…,xi])/( xi -xi-k ) 步骤3：（1）、若| f[x1,…,xi]- f[x0,…,xi-1]|< ξ，则p 为最终结果Ni-1(x)，余项Ri-1= f[x0,…,xi](xx-xi-1)T 。 （2）、否则(xx-xi-1)*T →T ，p+ f[x0,…,xi]*T →p ，转步骤4。 步骤4：若i 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X 和Y组元的最高方次。 5、径向基本函数法 径向基本函数法是多个数据插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力，其中的复二次函数被许多人认为是最好的方法。所有径向基本函数法都是准确的插值器，它们都要为尊重你的数据而努力。为了试图生成一个更圆滑的曲面，对所有这些方法你都可以引入一个圆滑系数。你可以指定的函数类似于克里金中的变化图。当对一个格网结点插值时，这些个函数给数据点规定了一套最佳权重。 6、谢别德法 谢别德法使用距离倒数加权的最小二乘方的方法。因此，它与距离倒数乘方插值器相似，但它利用了局部最小二乘方来消除或减少所生成等值线的"牛眼"外观。谢别德法可以是一个准确或圆滑插值器。在用谢别德法作为格网化方法时要涉及到圆滑参数的设置。圆滑参数是使谢别德法能够象一个圆滑插值器那样工作。当你增加圆滑参数的值时，圆滑的效果越好。 7、三角网/线形插值法 三角网插值器是一种严密的插值器，它的工作路线与手工绘制等值线相近。这种方法是通过在数据点之间连线以建立起若干个三角形来工作的。原始数据点的连结方法是这样：所有三角形的边都不能与另外的三角形相交。其结果构成了一张覆盖格网范围的，由三角形拼接起来的网。每一个三角形定义了一个覆盖该三角形内格网结点的面。三角形的倾斜和标高由定义这个三角形的三个原始数据点确定。给定三角形内的全部结点都要受到该三角形的表面的限制。因为原始数据点被用来定义各个三角形，所以你的数据是很受到尊重的。 8.自然邻点插值法 自然邻点插值法(NaturalNeighbor)是Surfer7.0才有的网格化新方法。自然邻点插值法广泛应用于一 EX07：空间插值 本实验包含3个任务，任务1是进行趋势面分析（Trend surface analysis）；任务2使用IDW方法进行局部插值；任务3使用普通克里格（Ordinary kriging）方法进行插值。上述任务都可以在地统计分析（Geostatistical analyst）中进行空间插值，此时可以使用交叉有效性统计（如均方根统计）进行模型比较。地统计分析提供了比空间分析（Spatial Analyst）及ArcToolbox中插值工具更多信息及更好的用户界面。 任务1：趋势面模型用于插值 所需数据：stations.shp，包含Idaho州内及附近175个气象站的shapefile；idoutlgd，Idaho 州边界栅格文件。 在任务1中，在进行趋势面分析之前，首先查看stations.shp中的平均年度降水量数据。本任务中7、8、9等步骤涉及到栅格数据运算，为选作内容。 1.运行ArcCatalog，连接到EX07文件夹。运行ArcMap，将数据框架命名为Task1，将 stations.shp和idoutlgd添加到Task1。确保Geostatistical analyst和Spatial Analyst在Tools 菜单下的Extensions中的复选框被设置，且相应的工具条在程序中显示出来。 2.单击Geostatistical analyst中的下拉键头，指向Explorer Data，选择Trend Analysis。在 Trend Analysis对话框的底部，选择数据源的Layer为stations.shp，Attribute为ANN_PREC。 3.将Trend Analysis对话框最大化。对话框中的3D图表达了两种趋势信息：在YZ平面 中由北向南倾斜，在XZ平面中先表现为由西向东倾斜，而后些微上升。南北方向的趋势比东西方向趋势更为明显，即Idaho州降水量由北向南递减。关闭对话框。 4.单击Geostatistical analyst中的下拉键头，选择Geostatistical Wizard。在第1页中进行输 入数据和地统计方法的选择。单击Input Data下拉键头，选择stations。将Attribute选择为ANN_PREC。在Methods框架中，选择Global Polynomial Interpolation。 5.在下一页可以选择趋势面模型采用的阶数（Power）。在Power列表中提供了1-10的选 择。选择1作为阶数。下一页绘制了预测值与观测值、误差与观测值之间的分布图及一次趋势面模型相关统计。RMS是对趋势面模型综合符合度的一种衡量，在此起数值为 6.073。按Back返回且将阶数设置为2，此时RMS变为6.085。重复调整阶数，选择具 有最小RMS数值的趋势面模型即为本本任务最佳综合模型。对于ANN_PREC，最佳阶数设置为5。将阶数设置为5后单击Finish。在Output Layer Information对话框单击OK。Q1：当阶数为5时，RMS统计值是多少？ 6.Geostatistical analyst（GA）的输出为Global Polynomial Interpolation Prediction Map，与 stations具有相同的范围。在Global Polynomial Interpolation Prediction Map上单击右键选择Properties，在Symbology页包含4个显示选项：山体阴影（Hillshade）、等高线（Contours）、栅格（Grid）和填充等高线（Filled Contours），选择Filled Contours后单击分类（Classify）。在分类对话框中，选择手工分类，将其分为7类并将分类线设置为 10、15、20、25、30和35。单击OK关闭对话框。等高线（等雨量线）用不同色彩作 分类。 7.要将Global Polynomial Interpolation Prediction Map裁剪至与Idaho州边界相符，首先将 GA数据转化为栅格数据。在Global Polynomial Interpolation Prediction Map上单击右键，指向Data，选择Export to Raster，在弹出的对话框中，设置单元大小为200（米），并将输出命名为trend5_temp。单击OK进行数据输出。将trend5_temp添加到地图，检查trend5_temp中位于州边界外部的数值。 空间插值可以有很多种分类方法，插值种类也难以举尽。在网上看到这篇文章，觉得虽然作者没能进行分类，但算法本身介绍地还是不错的。 在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括： Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法） Kriging（克里金插值法） Minimum Curvature（最小曲率） Modified Shepard's Method（改进谢别德法） Natural Neighbor（自然邻点插值法） Nearest Neighbor（最近邻点插值法） Polynomial Regression（多元回归法） Radial Basis Function（径向基函数法） Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法） Moving Average（移动平均法） Local Polynomial（局部多项式法） 下面简单说明不同算法的特点。 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋 多种插值法比较与应用 （一）Lagrange 插值 1． Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式 ∏ ≠=--=n k j j j k j k x x x x x l 0)( n k ,,1,0ΛΛ= 称为Lagrange 插值基函数 2． Lagrange 插值多项式 设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件 )()(k k n x f x L =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 ∏∏ ∏=≠==--==n k n k j j j k j k k n k k n x x x x x f x l x f x L 0 00 ))(()()()( 为Lagrange 插值多项式，称 ∏=+-+=-=n j j x n n x x n f x L x f x E 0 )1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111ΛΛΛΛΛ 2． Newton 插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N ΛΛΛΛΛ 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(010b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏=ΛΛ 为插值余项。 （三）Hermite 插值 设],[)(1b a C x f ∈，已知互异点0x ，1x ，…，],[b a x n ∈及所对应的函数值为0f ，1f ，…，n f ，导数值为'0f ，'1f ，…，'n f ，则满足条件 n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(''1212Λ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为 )()()(0 '12x f x f x H j n j j j n j i n βα∏∏=++= 其中 )())((,)]()(21[)(2 2'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα 常见插值方法及其介绍 Inverse Distance to a Power（反距离加权 插值法）”、 “Kriging（克里金插值法）”、 “Minimum Curvature（最小曲率)”、 “Modified Shepard's Method（改进谢别德法）”、 “Natural Neighbor（自然邻点插值法）”、 “Nearest Neighbor（最近邻点插值法）”、 “Polynomial Regression（多元回归法）”、 “Radial Basis Function（径向基函数法）”、 “Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）”、 “Moving Average（移动平均法）”、 “Local Polynomial（局部多项式法）” 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数 控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被 给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。 计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距 离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个 观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点 被给予一 个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。 距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可 以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的 权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数 据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。 克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最 小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的 曲面。 使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛 标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类 型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作 各种插值法的对比研究 目录 1.引言 (1) 2.插值法的历史背景 (1) 3.五种插值法的基本思想 (2) 3.1拉格朗日插值 (2) 3.2牛顿插值 (3) 3.3埃尔米特插值 (3) 3.4分段线性插值 (4) 3.5三次样条插值 (5) 4.五种插值法的对比研究 (5) 4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (5) 4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (6) 4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (6) 4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (6) 5.插值法在实际生活中的应用 (6) 6.结束语 (6) 致谢 (7) 参考文献 (7) 各种插值法的对比研究 摘要：插值法是一种古老的数学方法,也是数值计算中的一个算法.插值法不仅是微分方程、数值积分、数值微分等计算方法的基础,而且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文首先介绍了插值的背景以及常用的五种插值法的基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应的算法与MATLAB 程序,根据已学的知识对五种插值方法与被插函数的逼近程度进行对比研究,找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点,最后在此基础上进一步研究插值法的实际应用,以提高插值法的实用性,从而能让我们在以后的应用中看到一个问题,就知道哪种方法更适合于它,然后大大地快速的提高效率. 关键词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用 1.引言 在很多解题以及应用生活中,常常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言准确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数的表达式表示出来.比如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系的,但是根据观察和测量或者实验只能得到有限个函数值,我们可以利用这几点来确定函数表达式.或者有一些函数表达式是已经知道的,但是它们的计算是十分繁琐复杂的,不容易发现它的本质,而且它的使用方法也比较局限.函数是表达数与数之间的联系,为了能很好地用数学语言表达出函数的关系,一般通过给定的数据构造一个函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 的特点,又方便计算,用)(x P 近似)(x f .通常选一个简单的函数)(x P ,而且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候的)(x P ,从要表达的函数规律来看,就是我们需要的插值函数[1] .所用方法就是插值法,由于所选用的)(x P 的多样化,得到不同的插值法. 2.插值法的历史背景 插值法的历史源远流长,在很早的时候就涉及到了它.它是数值计算中一个古老的分支,它来源于生产实践. 因为牛顿力学的物理理论知识在一千年前没有出现,所以我们的祖先没有办法用很准确的数学解析式来表达日月五星的运行规律.后来,古代的人们有着聪慧的头脑,想出了插值方法,然后发现了日月五星的运行规律.例如唐朝数学家张遂提出了插值法的概念以及不等距空间插值算法汇总
五种插值法的对比研究开题报告
arcgis空间内插值教程
ArcGIS中几种空间插值方法
插值方法比较Word版
牛顿插值法的分析与应用
常见几种插值方法
空间插值
各种插值方法比较
几种插值法比较与应用
常见插值方法及其介绍
各种插值法的对比研究
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