D
A B 2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及详解
2016年6月5日上午8:3011:00--
一、填空题（每小题7分，共56分）
1、若()22016log 65y x ax =-+的值域为R +，那么a 的取值范围是 ．
2、四面体ABCD 中，ABC ?是一个正三角形，
2AD BD ==，AD BD ⊥，
AD CD ⊥，则D 到面ABC 的距离为 ．
3、若对于所有的正数,x y ，
≤则实数a 的最小值是 ．
4、已知P 是正方形ABCD 内切圆上的一点，记,APC BPD αβ∠=∠=，则22tan tan αβ+= ．
5、等差数列2,5,8,,2015 与4,9,14,,2014 的公共项（具有相同数值的项）的个数是 ．
6、设x 为锐角，则函数sin sin 2y x x =的最大值是 ．
7、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张33?方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是
8、把从1到n (1)n >这n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n 的最小值是 ．
E
二、解答题（共64分）
9、（14分）如图，CD 是椭圆22221x y a b
+=过椭圆长轴的左顶点A 作CD 另一点N ，交椭圆短轴所在直线于M ，
证明：AM AN CO CD ?=?．
10、（15分）如图，D 是ABC ?的旁心，点A 关于直线DC 的对称点为E ．证明：
(1)、,,B C E 三点共线； (2)、,,,A B D E 四点共圆．
11、（15分）设,,x y z 为正数，满足：1xy yz zx ++=，证明：
22()()()(1)(1)(xyz x y y z x z x y +++≥--21-z )
12、（20分）设集合{}1,2,,2016A = ，对于A 的任一个1008元子集X ，若存在,x y X ∈，满足,x y x y <，则称X 为“好集”，求最大的正整数a ，
D
A B 2016年全国高中数学联赛江西省预赛详解
一、填空题（每小题7分，共56分）
1、若()
22016log 65y x ax =-+的值域为R +，那么a 的取值范围是 ．答案：1616a -<<．
解：由值域y R +∈，2651x ax ∴-+>，2640x ax ?-+> 24640a ∴?=-?<，∴1616a -<<.
2、四面体ABCD 中，ABC ?是一个正三角形，2AD BD ==，AD BD ⊥， AD CD ⊥，则D 到面ABC 的距离为
．答案：
解：如图，据题意得，AB ==
于是BC CA AB ===
2CD =
=， 因222BC BD CD =+，得BD CD ⊥，从而以D 为顶点的三面角是三直三面角，
四面体体积1433BCD V AD S ?=?=
，而2ABC S AB ?== 若设D 到面ABC 的距离为h ，
则13ABC V h S ?=?=，
43=，
得到h = 3、若对于所有的正数,x y ，
≤则实数a 的最小值是
．答案：
解：由22
1??+=
≤ 当x y =时取等号．
4、已知P 是正方形ABCD 内切圆上的一点，记,APC BPD αβ∠=∠=，则22tan tan αβ+= ．答案：8．
解：如图建立直角坐标系，设圆方程为222x y r +=，
则正方形顶点坐标为(,),(,),(,),(,)A r r B r r C r r D r r ----若点P 的坐标为(cos ,sin )P r r θθ，于是直线 ,,,PA PB PC PD 的斜率分别为
1sin 1sin ,1cos 1cos PA PB k k θθθθ++==-+-，1sin 1sin ,1cos 1cos PC PD k k θθθθ
--==--+， 所以222tan 4(cos sin )1PC PA PA PC k k k k αθθ??-==- ?+??
，
222tan 4(cos sin )1PD PB PB PD k k k k βθθ??-==+ ?+??
，
由此立得22tan tan 8αβ+=．
解2：取特例，P 在坐标轴上，则αβ=，
这时，2tan cot 2tan 1
αγβ====，2222tan tan 228αβ∴+=+= 5、等差数列2,5,8,,2015 与4,9,14,,2014 的公共项（具有相同数值的项）的个数是 ．答案：134．
解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,,2016 与等差数列5,10,15,,2015 的公共项个数；前者是{}1,2,3,,2016M = 中的全体能被3整除的数，后者是M 中的全体能被5整除的数，故公共项是M 中的全体能被15整除的数，这种数有201613415??=????
个．
9
876543216、设x 为锐角，则函数sin sin 2y x x =的最大值是 ．
答案：9
． 解：由22sin cos y x x =，
得2422224sin cos 2(1cos )(1cos )2cos y x x x x x ==--?
33222(1cos )(1cos )2cos 216223327x x x ??-+-+??≤=?= ? ?????
，
所以9
y ≤．当21cos 3x =时取得等号． 7、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张33?方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是 解答：（答案有多种）
8、把从1到n (1)n >这n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数
列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n 的最小值是 ．答案：15．
例如，排出的一个数列为
(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．
解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作．
记这n 个连续正整数的集合为{}1,2,,M n = ，由于1n >，
则M 中必有2，而279+=，所以7n ≥，当7n =时，从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段：
(1,3,6),(2,7),(4,5)，但它们不能连接成一个7项的数列，故应增加后续的数，增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6)，增加9可使得第二段扩充成(2,7,9)，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即10n ≥，而之前的数
若与8,9,10邻接，只有819,9716,+=+=10616+=，这三段扩充为 (8,1,3,6,10)，(2,7,9)，(4,5)，仍旧不能连接，应当借助新的平方数25，从1到10这10个数能搭配成和为25的最小数是15，则15n ≥，而当{}1,2,,15M = 时，可排出上面的情形：
(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．
二、解答题（共64分）
9、（14分）如图，CD 是椭圆22221x y a b
+=过椭圆长轴的左顶点A 作CD 另一点N ，交椭圆短轴所在直线于M ，
证明：AM AN CO CD ?=?． 证1：椭圆方程为cos ,sin x a y b θθ==， 点,A N 的坐标为(,0),(cos ,sin )A a N a b θθ-，则直线AN 方程为cos sin x a t y t θθ
=-+??=?， ……3' 代入椭圆方程得到222222(cos sin )2cos 0b a t ab t θθθ+-=，
222222cos cos sin ab AN t b a θθθ
==+，()cos 2a AM πθθ=≠，……6' 因此22
22222cos sin a b AM AN b a θθ
?=+，……9' 又据AN ∥CD ，则点,C D 坐标为：(cos ,sin )C OD OD θθ--，(cos ,sin )D OD OD θθ，……12'
因为,C D 在椭圆上，则22
2
2222cos sin a b CO b a θθ=+，而，
22
2
222222cos sin a b CO CD CO b a θθ?==+， 因此AM AN CO CD ?=?．……14'
证2：
易知CD 的斜率k 存在，不妨令:CD y kx =，与椭圆方程联系， 解得
C D ???? ?
、 ……3'
CO CD ∴==, ()22222221k a b CO CD b a k +∴?=+……6'
AN 方程为： ()(),0,y k x a M ka =+∴.
将AN 方程与椭圆方程联立，得()
222232222220b a k x a k x k a a b +++-= 32232
222222
2,A N N a k ab a k x x x b a k b a k -∴+=-∴=++
……9' 2
2222,N kab y AM b a k
=∴=+ (12)
'
AN == ()22222221a b k AM AN CO CD b a k +∴?=
=?+ …14'
10、（15分）如图，D是ABC
?的旁心，点A关于直线DC的对称点为E．证明：
(1)、,,
B C E三点共线；(2)、,,,
A B D E四点共圆．
证：1、延长DC到M，延长AC到N,连CE，D
为旁心，
CD
∴平分BCN
∠，……2'
又A E
、关于DC对称，
CM
∴平分ACE
∠DCN ACM
∴∠=∠,BCD MCE
?∠=∠
BCN ACE
∴∠=∠,B
∴、C、E三点共线。……5'
2、过C作//
CI AE交AD于I，则IC DC
⊥……7'
I
∴为ABC
内心。连BI,则BI平分ABC
∠,……10'
∴90
IBD?
∠=,B
∴、D、C、I四点共圆，……12'
CBD CID EAD
∴∠=∠=∠,
A
∴、B、D、E四点共圆。……15'
11、（15分）设,,
x y z为正数，满足：1
xy yz zx
++=，证明：
22
()()()(1)(1)(
xyz x y y z x z x y
+++≥--2
1-z)
证：据条件，即要证22
(1)(1)(
x y
≥--2
xyz(x+y+z-xyz)1-z)①也即22222222
)()
y z x y y z x z
≥+++++
2
xyz(x+y+z)1-(x
②……3'
将此式各项齐次化，因为
2222222
1()2()
xy yz xz x y y z x z xyz x y z
=++=+++++……6'
222222
()()
x y z x y z xy yz xz
++=++++=
333()()()()x y z y x z z x y xyz x y z ++++++++代入②，
只要证()xyz x y z ++≥
2222223332()()()()()x y y z x z x y z y x z z x y xyz x y z ++-++++++++即333222222()()()2()0x y z y x z z x y x y y z x z +++++-++≥……12' 也即222()()()0xy x y yz y z xz x z -+-+-≥。
此为显然，故命题得证．…15'
证2：由题设得：
()()()1,1,1y x z zx x y z yz z x y xy +=-+=-+=-，
三式相乘，故原不等式等价于证明：
()()()()()()222111111zx yz xy x y z ---≥---……3'
上式两边展开并化简得：
()222x y z xy yz zx ++-++≥
()222222222x y y z z x x yz xy z xyz ++-++ ……6'
配方得：
()()()()()()222222x y y z z x xy xz yz xy yz zx -+-+-≥-+-+-
()()()222222x y z y z x z x y =-+-+- ……9'
即()()()()()()2222221110z x y x y z y z x --+--+--≥()*……12' 2220,,1,10,10,10,x y z x y z <<∴->->->
()∴*显然成立. ……15' 12、（20分）设集合{}1,2,,2016A = ，对于A 的任一个1008元子集X ，若存在,x y X ∈，满足,x y x y <，则称X 为“好集”，求最大的正整数a ，（a A ∈），使得任一个含a 的1008元子集皆为“好集”．
解：因任何正整数n 可以表为2n t α
=形式，其中N α∈，t 为正奇数，于是集合A 可划分为以下1008个子集： {}2(21),,12016j A m m j N m αα==-∈≤≤，1,2,,1008j = ……4' 对于集合A 的任一个1008元子集X ，只要集X 中含有某一个j A 中的至少两个元素,,()x y x y <，因122(21),2(21)k k x j y j =-=-，12k k <，则x y ；此时X 为好集；
以下证明正整数a 的最大值为671： ……8'
若671a =时，对于A 的任一个1008元子集X ，如果X 中含有某个j A 中的至少两个元素，则X 便是好集；如果{}
j A 中的1008个集合，每个集合中恰有一个元素在X 中，那么1007A 也有一个元素在X 中，
但{}10072013A =为单元素集，于是2013X ∈，而2013a ，(201367133)a =?=，这说明X 仍是好集，
因此671a =合于要求． ……12'
下面说明当672a ≥时，存在含a 的集X 不是好集；分两种情况：
(1)、若1009a ≥，取1008元集{}01009,1010,,2016X = ，则0a X ∈，
因0X 中任两个不同元素x y <，均有x y ，故0X 不为好集，这种a 不合要求．……15'
(2)、若6721008a ≤≤，记{}16720,1,,336X j j =+= ， {}20\2(672)0,1,,336X X j j =+= ，令12X X X = ，则1008X =，且1a X ∈，
若X 中存在,x y x y <，因672x ≥，2016y ≤，则3y x ≤；
若672x =，如果,x y x y <，只有2y x =或者3y x =，此时y 的取值只能是：26721344y =?=，或者36722016y =?=；由于13442(6720),20162(672336)=+=+，这说明，这两个数已被挖去，不在集合X 中； ……18'
若672x >，假若x y ，只有2y x =，这种数y 也已悉数被挖去，即y X ?，因此X 不是好集，这种a 也不合要求．
综上所述，a 的最大值为671． ……20'