2010年北京市高级中等学校招生考试
数 学 试 卷【精品】
一、选择题 (本题共32分，每小题4分) 1. -2的倒数是( )
(A) -21 (B) 2
1
(C) -2 (D) 2。
2. 2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验 “火星-500”正式启动。包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480小时的 “火星之旅”。将12480用科学记数法表示应为 ( )
(A)12.48?103 (B) 0.1248?105 (C) 1.248?104 (D) 1.248?103
。
3. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分AB 、AC 边上，DE//BC ，若AD ：AB=3：4，AE=6，则AC 等于( )
(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8。
4. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为( )
(A) 20 (B) 16 (C) 12 (D) 10。 5. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中随机取出一个数，取出的数是 3的倍数的概率是( )
(A) 51 (B) 103
(C) 31 (D) 21。
6. 将二次函数y=x 2-2x +3化为y=(x -h)2
+k 的形式，结果为 ( )
(A) y=(x +1)2+4 (B) y=(x -1)2+4 (C) y=(x +1)2+2 (D) y=(x -1)2
+2。
7. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，它们的身高(单位：cm)如下表所示：
设两队队员身高的平均数依次为甲
x ，乙x ，身高的方差依次为2
甲S ，2
乙S ，则下列关系中完全正确的是
( )
(A) 甲x =乙x ，2甲S >2乙S (B) 甲x =乙x ，2甲
S <2
乙S
(C) 甲x >乙x ，2甲S >2乙S (D) 甲x <乙x ，2甲S >2
乙S 。
8. 美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部份围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是( )
A B C D
E (B) (A)
二、填空题 (本题共16分，每小题4分)
9. 若二次根式12-x 有意义，则x 的取值范围是_________________.
10. 分解因式：m 2
-4m=_______________.
11. 如图，AB 为圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，连结OC ， 若OC=5，CD=8，则AE=_______________.
12. 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A 、B 、C 、D 。请你按图中 箭头所指方向(即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式)从A 开始 数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是________; 当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是______；当字母C 第2n +1次 出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是_________(用含n 的代数式表示).
三、解答题 (本题共30分，每小题5分)
13. 计算：??
?
??31-1-20100+|-43|-tan60?. 14. 解分式方程423-x -
2-x x =21.
15. 已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA ⊥AD ， FD ⊥AD ，AE=DF ，AB=DC. 求证：∠ACE=∠DBF.
16. 已知关于x 的一元二次方程x 2
-4x +m -1=0有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根.
17. 列方程或方程组解应用题：
2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生 产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米.
B
A
C D E F
18. 如图，直线y=2x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B. (1) 求A 、B 两点的坐标；
(2) 过B 点作直线BP 与x 轴交于点P ，且使OP=2OA ，求△ABP 的面积.
四、解答题 (本题共20分，每小题5分)
19. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC=AD=2，BC=4。求∠B 的度数及AC 的长.
20. 已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，圆O 过D 、B 、C 三点，∠DOC=2∠ACD=90?. (1) 求证：直线AC 是圆O 的切线；
(2) 如果∠ACB=75?，圆O 的半径为2，求BD 的长.
A B
C D A B C D
O
21. 根据北京市统计局的2006-2009年空气质量的相关数据，绘制统计图如下： (1) 由统计图中的信息可知，北京全年 市区空气质量达到二级和好于二级
的天数与上一年相比，增加最多的
是______年，增加了______天； (2) 表上是根据《中国环境发展报告
(2010)》公布的数据会置的2009年 十个城市供气质量达到二级和好于
二级的天数占全年天数百分比的统 计表，请将表1中的空缺部分补充
完整(精确到1%)
表
(3) 百分比不低于95%的为A 组，不低于85%且低 于95%的为B 组，低于85%的为C 组。按此标
准，C 组城市数量在这十个城市中所占的百分
比为_________%；请你补全右边的扇形统计图.
22. 阅读下列材料：
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD=8cm ，AB=6cm. 现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着AB 边夹角为45?的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45?的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着BC 边夹角为45?的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45?的方向作直线运动，…，如图1
所示，问P 点第一次与D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合时所经过的路线的总长是多少. 小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD 沿直线CD 折迭，得到矩形A 1B 1CD ，由轴对称的知识，发现P 2P 3=P 2E ，P 1A=P 1E.
请你参考小贝的思路解决下列问题：
(1) P 点第一次与D 点重合前与边相碰_____次；P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时所经过的路径的总长是_________cm ；
(2) 进一步探究：改变矩形
ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD>AB ，动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上。若P 点第一次与B 点重合前与边相碰7次，则AB ：AD 的值为
________________. 天數2006-2009年北京全年市区空气质量
A 組 20% 2009年十个城市空气质量 达到二级和好于二级的天数
占全年天數百分比分組统计图 圖1 1
P 2 A 1 1 B 1 圖2
五、解答题 (本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)
23. 已知反比例函数y=
x
k
的图像经过点A(-3，1). (1) 试确定此反比例函数的解析式；
(2) 点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30?得到线段OB 。判断点B 是否在此反比例函数的图像上，并说明理由；
(3) 已知点P(m ，3m +6)也在此反比例函数的图像上(其中m<0)，过P 点作x 轴的垂线，交x 轴于点
M. 若线段PM 上存在一点Q ，使得△OQM 的面积是21
，设Q 点的纵坐标为n ， 求n 2
-23n +9的值.
24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线234
54122+-++--
=m m x m
x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.
(1) 求点B 的坐标；
(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；
若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM=QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值.
25. 问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA, 探究∠DBC与∠ABC 度数的比值.
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.
(1) 当∠BAC=90?时，依问题中的条件补全右图.
观察图形，AB与AC的数量关系为_________；
当推出∠DAC=15?时，可进一步推出∠DBC的度数为____________；
可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为__________；
(2) 当∠BAC≠90?时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.
B
A
C
2010年北京市高级中等学校招生考试
一、选择题 1.A ， 2.C ， 3.D ， 4.A ， 5.B ， 6.D ， 7.B ， 8.B ，
二、填空题 9. x ≥2
1
， 10. m(m +2)(m -2)， 11. 2， 12. B 、603、6n +3；
三、解答题
13. 解：原式=3-1+43-3=2+33。
14. 解：去分母，得3-2x=x -2。整理，得3x=5。解得x=35。经检验，x=3
5
是原方程式的解。
所以原方程式的解是x=3
5
。
15. 证明：∵AB=DC ，∴AC=DB ，∵EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，∴∠A=∠D=90?。在△EAC 与△FDB 中， ∵EA=FD ，∠A=∠D ，AC=DB ，∴△EAC ?△FDB ，∴∠ACE=∠DBF 。
16. 解：由题意可知?=0，即)(-4)2
-4(m -1)=0，解得m=5。当m=5时，
原方程化为x 2
-4x +4=0。解得x 1=x 2=2。所以原方程的根为x 1=x 2=2。
17. 解法一：设生产运营用水x 亿立方米，则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米，依题意，得 5.8-x=3x +0.6，解得x=1.3，5.8-x=5.8-1.3=4.5。
答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米
解法二：设生产运营用水x 亿立方米，居民家庭用水y 亿立方米，依题意，得?
??+==+6.038
.5x y y x ，
解这个方程组，得x=1.3，y=4.5。
答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米。
18. 解：(1) 令y=0，得x= -23。∴A 点坐标为(-2
3
，0)。令x=0，得y=3。∴B 点坐标为(0，3)。
(2) 设P 点坐标为(x,0)，依题意，得x=±3，∴P 点坐标分别为P 1(3，0)或P 2(-3，0)。
∴1ABP S ?=21?(23+3)?3=427，2ABP S ?=21?(3-23)?3=49，∴△ABP 的面积为4
27或49
。
四、解答题
19. 解法一：分别作AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，F 、G 是垂足。 ∴∠AFB=∠DGC=90?，∵AD//BC ，∴四边形AFGD 是矩形。 ∴AF=DG ，∵AB=DC ，∴Rt △AFB ?Rt △DGC 。∴BF=CG ，
∵AD=2，BC=4，∴BF=1，在Rt △AFB 中，∵cosB=AB BF =21
，
∴∠B=60?，∵BF=1，∴AF=3，∵FC=3，由勾股定理，
得AC=23，∴∠B=60?，AC=23。
解法二：
过A 点作AE//DC 交BC 于点E ，∵AD//BC ，∴四边形 AECD 是平行四边形。∴AD=EC ，AE=DC ， ∵AB=DC=AD=2，BC=4，∴AE=BE=EC=AB 。
可证△BAC 是直角三角形，△ABE 是等边三角形， ∴∠BAC=90?，∠B=60?。在Rt △ABC 中， AC=AB ?tan60?=23，，∴∠B=60?，AC=23。
20. (1) 证明：∵OD=OC ，∠DOC=90?，∴∠ODC=∠OCD=45?，
∵∠DOC=2∠ACD=90?，∴∠ACD=45?，∴∠ACD +∠OCD=∠OCA=90?， ∵点C 在圆O 上，∴直线AC 是圆O 的切线。
A B C
D F G
图1 A B
C
D
E 图2 A B
C
D E O
(2) 解：∵OD=OC=2，∠DOC=90?，可求CD=22，∵∠ACB=75?， ∠ACD=45?，∴∠BCD=30?，作DE ⊥BC 于点E ，∴∠DEC=90?， ∴DE=DC ?sin30?=2，∵∠B=45?，∴DB=2。 21. 解：(1) 2008；28； (2) 78%； (3) 30； 22. 解：(1) 5； (2) 242；解题思路示意图：
五、解答题：
23. 解：(1) 由题意得1=3-k ，解得k= -3，∴反比例函数的解析式为y= -x 3
；
(2) 过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ，在Rt △AOC 中，OC=3， AC=1，可得OA=22AC OC +=2，∠AOC=30?，由题意，∠AOB=30?，
OB=OA=2，∴∠BOC=60?，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点D 。 在Rt △BOD 中，可得BD=3，OD=1，∴B 点坐标为(-1，3)， 将x= -1代入y= -x
3
中，得y=3，∴点B(-1，3)在反比例函 数y= -
x 3
的图像上。 (3) 由y= -x 3得xy= -3，∵点P(m ，3m +6)在反比例函数y= -x
3
的图像上，其中m<0，
∴m(3m +6)= -3，∴m 2
+23m +1=0，∵PQ ⊥x 轴，∴Q 点的坐标为(m ，n)。
∵△OQM 的面积是21，∴21OM ?QM=2
1，∵m<0，∴mn= -1，∴m 2n 2+23mn 2+n 2
=0，
∴n 2-23n= -1，∴n 2-23n +9=8。
24. 解：(1) ∵拋物线y= -41-m x 2+4
5m
x +m 2-3m +2经过原点，∴m 2-3m +2=0，解得m 1=1，m 2=2，
由题意知m ≠1，∴m=2，∴拋物线的解析式为y= -41x 2+2
5
x ，∵点B(2，n)在拋物线
y= -41x 2+2
5
x 上，∴n=4，∴B 点的坐标为(2，4)。
(2) 设直线OB 的解析式为y=k 1x ，求得直线OB 的解析式为 y=2x ，∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的 坐标为(10，0)，设P 点的坐标为(a ，0)，则E 点的坐标为 (a ，2a)，根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1。可求 得点C 的坐标为(3a ，2a)，由C 点在拋物线上，得
2a= -41?(3a)2+25?3a ，即49a 2-211a=0，解得a 1=9
22，a 2=0
(舍去)，∴OP=9
22
。
依题意作等腰直角三角形QMN ，设直线AB 的解析式为y=k 2x +b ，由点A(10，0)，
点B(2，4)，求得直线AB 的解析式为y= -2
1
x +5，当P 点运动到t 秒时，两个等腰
直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：
D
1 A B C D A
2 A 1 B 1 C 1
B 2
角形。此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。∴PQ=DP=4t ，
∴t +4t +2t=10，∴t=
7
10。 第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM 为等腰直角三 角形。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴OQ=10-2t ，∵F 点在 直线AB 上，∴FQ=t ，∴MQ=2t ，∴PQ=MQ=CQ=2t ，∴t +2t +2t=10，∴t=2。 第三种情况：点P 、Q 重合时，PD 、QM 在同一条直线上，如图4所示。此时OP 、
AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴t +2t=10，∴t=
10
。综上，符合题意的
t 值分别为10，2， 10
。
25. 解：(1) 相等；15?；1：3。
(2) 猜想：∠DBC 与∠ABC 度数的比值与(1)中结论相同。 证明：如图2，作∠KCA=∠BAC ，过B 点作BK//AC 交CK 于点K ， 连结DK 。∵∠BAC ≠90?，∴四边形ABKC 是等腰梯形，
∴CK=AB ，∵DC=DA ，∴∠DCA=∠DAC ，∵∠KCA=∠BAC ，
∴∠KCD=∠3，∴△KCD ?△BAD ，∴∠2=∠4，KD=BD ，
∴KD=BD=BA=KC 。∵BK//AC ，∴∠ACB=∠6，
∵∠KCA=2∠ACB ，∴∠5=∠ACB ，∴∠5=∠6，∴KC=KB ， ∴KD=BD=KB ，∴∠KBD=60?，∵∠ACB=∠6=60?-∠1， ∴∠BAC=2∠ACB=120?-2∠1，
∵∠1+(60?-∠1)+(120?-2∠1)+∠2=180?，∴∠2=2∠1， ∴∠DBC 与∠ABC 度数的比值为1：3。
A 图1
B A
C
D K 1 2 3
4 5 6 图2