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空中飞行器无源定位
摘 要
目标定位技术是导航与制导技术的重要基础。在现有的导航与制导技术中，卫星定位技术是精度最高的，也是较为理想的导航与制导技术。本文研究了利用同步卫星确定空中飞行器的位置参数及如何提高定位精度及定位效率的优化选择问题。
针对问题一，根据测向阵列方向和地球同步卫星夹角与飞行器位置的关系，建立了基于最小二乘法的测量、计算误差平方和目标函数模型，运用最小二乘法去逼近真实参数，当目标函数最小时，所得数据为最接近真实参数的数据。在此基础上，构造了以余弦夹角法分析的聚类模型，剔除误差较大的数据，以剩余数据为有效解，得到了更加接近真实参数的数据，是模型进一步得到优化。
针对问题二，运用问题一构建的数学模型，求得五个不同时刻飞行器的位置坐标，接着采用最小二乘法曲线拟合的方法拟合出x 值、y 值、z 值与时间t 的函数关系并计算其拟合曲线的皮尔逊相关系数，验证拟合曲线可靠性，进而解得70t s =时飞行器的空间位置坐标。然后将不同时刻的拟合值与计算所得值之间的空间距离作为原始非负时间序列，建立(1,1)GM 模型，对距离进行灰色预测，得到其距离误差的预测值，最后得出70t s =时飞行器的距离误差值作为其预测的可靠度。
针对问题三，本文以几何精度因子GDOP 作为卫星分布对定位精度影响的指标。通过分析卫星数目GDOP 的影响,得到了GDOP 随卫星数目增加单调递减,但递减幅度逐渐变小的变化规律。综合考虑卫星定位精度和定位效率认为6星组合方案最为适宜。计算所有的6星组合方案，找出其中GDOP 最小的卫星组合作为最终的优选方案。在测量角度存在0.1?误差限的情况下，我们对附表中的数据采用加入方差为0.1?正态分布的方法，然后进行500次仿真实验，观察加入方向误差后产生的定位误差。统计定位误差，发现加入噪声后有80%的定位结果误差在250km 以内，即定位精度可以认为250km 。
在本文的最后，针对每个问题对其结果进行了分析、对每个问题解决方法的优缺点进行了分析，并提出了相应的改进方案。
本文的特色在于运用灰色预测模型对飞行器位置的定位距离误差进行科学的分析，将误差的变化考虑进模型，进而提高了预测的精度。
关键词：无源定位 最小二乘法 灰色模型 几何精度因子
1 问题的重述
目标定位技术是导航与制导技术的重要基础。在现有的导航与制导技术中，卫星定位技术是精度最高的，也是较为理想的导航与制导技术。目前，较为成熟的卫星导航系统有GPS系统、Galileo系统等。卫星定位的基本原理是目标接收机通过接收多颗卫星的信号测量出目标距各卫星的距离（伪距），再通过一定的计算确定出目标的位置。
对于空中飞行器，在其飞行过程中很容易接收到太空卫星的信号。现在考虑通过测量飞行器与地球同步卫星的方向角来实现空中飞行器的自定位。在球心坐标系下，空中飞行器P 的空间坐标记为，不妨设它同时能接收到N 颗同步卫星的信号，其N 颗同步卫星的空间坐标分别记为。为了方便检测与同步卫星的方向角，在空中飞行器上固定安装了两个相互垂直的测向阵列，它们的指向分别为和。地球同步卫星与空中飞行器P的位置关系示意图如图所示，，分别表示空中飞行器P的测向阵列方向，与地球同步卫星
的夹角。现在请你们建立数学模型研究解决下面的问题：
（1）通过测量空中飞行器测向阵列方向和与多颗地球同步卫星的夹角和，建立空中飞行器定位的数学模型；对于附表1所给出的9颗同步卫星的数据，试确定空中飞行器P的位置参数。
（2）在某些特殊情况下，空中飞行器能直接检测到的同步卫星数量较少，可以利用空中飞行器在匀速飞行过程中多次检测的结果来实现定位。针对这种情况，试建立空中飞行器定位的数学模型；对附表2中给出的3颗同步卫星的检测数据，确定空中飞行器P在第70秒时的位置参数，并分析其可靠性。
（3）当可用同步卫星数量较多时，为了提高定位精度和定位效率，需要对可用的同步卫星进行一定的优选。试研究具体的优选策略，并通过仿真，分析在检测方向角误差限为0.1°时空中飞行器的定位方法和精度。
2 模型的假设
（1）假设附表中所有的数据都是真实可靠的；
（2）假设飞行器是一个质点，不考虑飞机的飞行姿态；
（3）卫星信号强度都足够的强；
（4）不考虑地球的实际曲率变化，认为地球是一个均匀球体。（5）卫星环绕运动以地心为中心的圆；
（6）固定在飞行器上的两个垂直测向阵列为单位向量；
3 符号说明
与测向阵列的夹角
与测向阵列的夹角
4 问题一模型的建立与求解
4.1问题一的分析
同步卫星处于地球赤道平面上，围绕地球自转轴旋转，并且相对地球上一点静止，因此可建立以地心为原点的三维坐标系，卫星位置参数可确定。分析测向阵列方向和地球同步卫星夹角与飞行器位置的关系，2个测向阵列以及飞行器位置参数属于未知参数，即至少需要9个包含上述参数的方程才能确定一个飞行器位置参数以及2个测向阵列。由于方向角以及测向阵列存在误差，故可求得多组未知参数解，因此，精度难以满足实际需求。因此，利用方向角测量、计算误差，以及飞行器高度为约束条件，得到使得计算误差平方和最小的目标函数，将9颗卫星同时代入关系式，利用最小二乘法，当目标函数最小时，可得到最逼近真实参数的参数解。
在上述方法考虑了所有飞行器参数解，即所有解都为有效解，并对最终结果产生影响。因此可进一步优化，可考虑按夹角余弦法聚类，将相近的参数解聚成一类，将个体或者数量明显较少的类别剔除，剩下类别的参数解作为有效解，并以坐标均值求解最终参数解。
4.2基于最小二乘法的模型建立
建立以地球中心为原点，以赤道平面为基本平面，轴在基本平面内由地心向外指
向0 经线与赤道的交点，轴过地心且垂直基本平面，轴与，轴组成右手系的三维直角坐标系(见图 1 )：
图 1 球心坐标系
在此坐标系下，同步卫星的位置是(,,)(1,2,,9)
X x y z i= ，飞行器的位置是
i i i i
P x y z，如图 2 所示：
(,,)
图 2 飞行器与卫星位置关系图
建立同步卫星位置参数模型：
γ地球同步卫星所处经度角）
（
i
将附表一的数据代入求得同步卫星在坐标系中的位置参数如下：
表 1 同步卫星的位置参数
测向阵列方向矢量为1111(,,)x y z d d d d →和2222(,,)x y z d d d d →
，矢量和、的夹角分
别为、，则利用矢量点乘关系
cos A B A B θ→→
→
→
?=?
利用一颗卫星可以得到如下非线性方程组：
()1122
cos 1,2,,9cos i i i i PX d PX d i PX d PX d θβ
→→
→→
→→
→→
??=???
=???=???
由于两个测向阵列本身相互垂直且模为1，但考虑到测量、计算过程中存在误差，因此可得
1212d d d d δ→
→
?=
111d d δ→
-=
221d d δ→
-=
式中，12d d δ、1d δ、2d δ分别为计算误差。
由上面的分析可知，方向角测量、计算等过程中误差，故可得
1122cos cos i i
i i i i PX d PX d PX d PX d αβθδβδ
→→
→→
→→
→→
??-?=??
???-?=??
1
d δ、2
d δ为计算误差,联立9颗卫星和测向阵列关系，建立21个方程组，使之满足
如下函数优化问题：
12
1
2
3
22222min 1
()d d d d i
i
i f αβδδδδδ==++++∑
222226367x y z R ++>=
式中为地球半径，表示飞行器到地球质心的距离大于地球半径，利用最小二乘法就可以求解出飞行器位置(,,)P x y z ，测向阵列1111(,,)x y z d d d d →
和2222(,,)x y z d d d d →
这9个未知参数，此时，所得解处于最逼近满足21个方程组的情况。
4.3基于聚类分析的模型优化
由于存在9个未知参数，因此需要9个方程组才能解出，观察关系式可知，3颗卫星反馈的的信号，利用最小二乘法，即能确定飞行器的最佳位置参数。因为实际过程中存在测向阵列和地球同步卫星夹角的测量误差，故极大可能存在每次选取3颗卫星所确
定的飞行器位置参数是不同的，根据9颗卫星可得5984C =个飞行器位置参数，对84个
参数解按夹角余弦法聚类，将数据进行标准化处理
841184i i x x ==∑，841184i i y y ==∑，84
1
184i i z z ==∑
1s =
2s =
3s ='1
i x x x s -=
，'2i y y y s -=，'3i z z
z s -=
因此，可以得到标准化的飞行器位置参数'i P （'i x ，'i y ，'
i z ），故其与地心远点构成的向量'
i OP →，设论域'
'
'
1
284{,,,}S OP OP OP →→
→
= ，'
i OP →
的观测值为''
'
1
23(,,)i i i i e OP OP OP →
→
→
=，即
数据矩阵
'
()ij n m A OP →
?=
利用夹角余弦法，可得相似系数：
,1,2,,84)ij r i j =
=
根据(,)i j ij R e e r =构造模糊相似矩阵R ，在矩阵R 为基础，用平方法求出R 的传递包闭
()t R ，模糊等价矩阵R *即等于()t R 。然后，由大到小取一组[]0,1λ∈，确定相应的λ截
矩阵，可以进行分类。
根据分类结果，剔除个体解或数目较少的类，将其视作测量、计算误差较大引起偏离真实位置的情况，利用所剩下的参数解，求得其坐标均值，该坐标值与真实位置参数基本吻合
1
m
i
i x
x m
==
∑，1
m
i
i y
y m
==
∑，1
m
i
i z
z m
==
∑
其中m 为剩余参数解个数。
然后代入利用测向阵列和地球同步卫星夹角得出的矢量关系式，求解出测向阵列
1111(,,)x y z d d d d →
和2222(,,)x y z d d d d →
。
4.4模型的求解
利用基于最小二乘法建立的模型，将9颗卫星数据同时带进方程组，利用MATLAB 求解出飞行器的位置为 (,,)(5202.27,6604.13,3129.29)P x y z =- ()km ,测向阵列
1(0.707059,0.70716,0.00019)d →
-和2(0.70715,0.707062,0.00087)d →
--。
4.5模型的结果评价
基于最小二乘法的求解模型，求解出比较接近真实参数的数据，充分利用所有卫星提供的参数，全面考虑测量、计算存在的误差，方法简明易懂，结果较为合理；再进一步优化的以夹角余弦法为基础的聚类分析模型，筛选出明显误差的数据并剔除，在此基础上求解，使结果更加合理，符合实际。
5 问题二模型的建立与求解
5.1问题二的分析
由问题一分析可知，三个卫星就可以确定飞行器的位置，但精度存在问题。所以当同步卫星数量较少时，可利用飞行器在匀速飞行过程中多次检测的结果来提高定位的精度。
利用问题二所给出的五组数据，可以分别确定五个时刻的位置坐标，然后分别对五个时刻位置坐标分别进行曲线拟合，得到飞行器的运动轨迹曲线方程，则可得卫星在时的位置参数。再利用此运动轨迹对前五组数据进行检验，即可得到一组残差值，将此值带入灰色预测模型，得到其残差预测值与拟合值相加即为所要预测飞行器更为精确的位置参数。通过计算前五个残差值的方差与飞行器在相应阶段内飞行距离的比值，即可算的飞行器位置参数的可靠性。 5.2.1利用最小二乘法进行拟合
最小二乘法曲线拟合原理：给定平面上的1122(,),(,)(,)i i x y x y x y ，…，点，求()f x ，使在12,,i x x x …，处函数值与实验数据12,,i y y y …，的偏差的平方和最小，即吻合度最高。 Step1：利用问题二不同时刻检测到的地球同步卫星的相关数据，运用问题一所建立的
数学模型，分别解得0,10,20,30,40t t t t t =====时刻空间飞行器的位置坐标（见表 2 ）：
表 2 不同时刻飞行器的坐标
Step2：通过以上表格数据，以时间t为横坐标，分别以x轴、y轴、z轴数据为纵坐标，建立平面坐标轴，运用MATLAB软件分别拟合出x值、y值、z值与时间t的函数
关系，如下图所示：
图 3 X的坐标和时间T的拟合曲线图
其中X的坐标值拟合方程：4187 3.62
x t
=-+
图 4 Y的坐标和时间T的拟合曲线图
其中Y的坐标值拟合方程：4604 2.76
=+
Y t
图 5 Z 的坐标和时间T 的拟合曲线图 其中Z 的坐标值拟合方程：6067 1.92z t =+
Step3：皮尔逊相关系数
ρ是趋势线拟合程度的指标，它的数值大小可以反映趋势线的估计值与对应的实际数据之间的拟合程度，拟合程度越高，趋势线的可靠性就越高。
,x y X Y
XY ρ-
=
∑∑∑经计算：X 坐标的皮尔逊相关系数为0.9848，Y 坐标的皮尔逊相关系数为0.9848，
Z 坐标的皮尔逊相关系数为0.9848，各坐标的皮尔逊相关系数都接近1，说明曲线拟合
吻合度较高，可靠性强。
Step4：根据以上函数关系，当70t =时，空中飞行器的位置坐标为(-3934.03、4797.28、
6201.73)
5.2.2建立(1,1)GM 模型对距离进行灰色预测
灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法。对于灰色量的处理不是寻求它的统计规律和概率分布，而是将无规律的原始数据，通过一定的方法处理，变成比较有规律的时间序列数据。即以数找数的规律，再建立动态模型。因为客观系统无论多么复杂，它总是联系的，有序的，有整体功能的。所以作为系统行为特征的数据，总是蕴含着某种规律。
灰色生成数列：对灰数的处理主要是利用数据处理方法去寻求数据间的内在规律，通过对已知数据列中的数据进行处理而产生新的数据列，以此来研究寻找数据的规律
性，这种方法称为数据的生成。 建立(1,1)GM 模型：
设原始非负时间序列为{}(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()x x x x n = ，(1)()x t 为累加生成序列，即：
(1)
(0)1
()(),1,2,,i
t x i x t i n ===∑
(1,1)GM 的白化微分方程为：
(1)(1)()
()dx t ax t u dt
+= a 为发展灰数；u 为内生控制灰数，亦称为灰作用量，设待辨识向量， a a u ??= ???
， ()()()()()
()01112+2+1=2x a x x u ????
()()()()()
()01113+3+2=2x a x x u ????
()()()()()
()0111++-1=2x n a x n x n u ???? 将上式写成矩阵的形式：
(1)(1)
(0)(1)(1)
(0)(0)(1)
(1)
1[(2)(1)]12(2)1[(3)(2)]1(3).2
1()1[()(1)]12
x x x a x x x u x n x n x n ??-+?
?????????-+??????=?????
??????
?????-+-????
按最小二乘法得 1()T T a
B B B y -=式中 (1)(1)(1)(1)(1)(1)
1
((2)(3))121((2)(3))1211((1)())2x x x x B x n x n -+-+=--+
000(2)(3)()x x y x n =
于是可得到灰色预测的 离散时间相应函数为：
(1)(0)(1)(1)at u u x t x e a a -?
?+=-+ ??
?
(1)(1)x t +为所得累加的预测值，将预测值还原即为：
(0)
(1)
(1)
(1)(1)(),(1,2,,)
t t t t n x
x
x
+=+-=
残差序列
{})
(),2(),1()0(n εεεε = (0)ε{})(?)(,),2(?)2(),1(?)1()0()0()0()0()0()0(n x n x x x x
x ---= 相对误差序列
??????=?)()(,,)
2()2(,)1()1()0()0()0(n x n x x εεε {}n
k 1?=
由此可知，70t s =
时，空中飞行器的可信位置范围为以(-3934.03、4797.28、6201.73)
为圆心，以距离残差预测值53.75km 为半径的球体内，位置可靠度即为53.75km 。
表 4 灰色预测模型的检验：
平均相对误差：
1
(0.01+0.02+0.02+0.01) 1.63%4
=
=相对误差 说明灰色预测模型相对误差较小，可靠性强，对于空中飞行器有良好的定位性。 5.3问题二的结果分析
问题二，利用5个时刻的测量数据，运用问题一中数学模型，解得5个时刻空间飞行器的空间位置坐标，在利用最小二乘法进行曲线拟合，得到其函数关系，进而得到所求时刻空间飞行器的位置坐标，最后再利用灰色模型求得距离误差值，并将其作为可靠性指标，说明灰色模型可靠性强，对飞行器有较好的定位性。
6 问题三模型的建立与求解
6.1问题三的分析
当可用同步卫星数量较多时，为了提高定位精度和定位效率，需要对可用的同步卫星进行一定的优选，因此需要建立具体的优选策略，也就是如何选，选几颗，选哪几颗。而选择几何分布好的卫星组合可以提高定位精度和定位效率。通常我们用几何精度因子
GDOP 来表征用户和可见卫星在空间几何分布的好坏。从M 颗卫星中选择N 颗卫星，
共有N M C 种选择方案。从可见卫星中选择参加导航定位计算的卫星数目不同, GDOP 的
取值也不相同, GDOP 与卫星数目之间有一定的变化规律，分析卫星数目和GDOP 之间的关系，从而找到一个合适的卫星数目。同时，卫星数目越多，意味着方程数量越多，计算量越大，定位效率也就越低。因此，为了兼顾定位的效率，应该在保证定位精度的前提下，尽可能减小定位卫星的数量。根据对定位精度和定位效率的要求，确定一个合适的卫星数目。确定卫星数目为N 之后，还需对卫星的几何布局进行优选，遍历从所有卫星中选择N 颗卫星的所有方案，从中选择GDOP 最小的卫星组合，即为优选的结果。确定定位卫星后，给测量角度加上最大为0.1°的高斯噪声，进行多次的仿真实验，统计定位精度。
6.2基于几何精度（GDOP ）因子模型
几何精度GDOP ：是衡量定位精度的很重要的一个系数，它代表GPS 测距误差造成的接收机与空间卫星间的距离矢量放大因子。实际表征参与定位解的从接收机至空间卫星的单位矢量所勾勒的形体体积与GDOP 成反比，故又称为几何精度因子。实际上，GDOP 的数值越大，所代表的单位矢量形体体积越小，即接收机至空间卫星的角度十分相似导
致的结果，此时的GDOP 会导致定位精度变差。好的GDOP, 是指其数值小，代表大的单位矢量形体体积，导致高的定位精度。好的几何因子实际上是指卫星在空间分布不集中于一个区域，同时能在不同方位区域均匀分布。
假设地球同步卫星的数目为4个，定义下列向量和矩阵：
1234=ρρρρρ???
????????
??????，111222333444x y z x y z x y z x y z a a a a a a H a a a a a a ??????=????????
，=s s s x x y z ??????????????(1,2,3)i a i N = 可将上式进一步简化，得到：
H x ρ?=? 由于H 阵阶数为4*3，故在上式两侧左乘H 的转置矩阵就能获得最小二乘解x ?。
1()T T x H H H ρ-?=?
若将用分量形式表示，即：
11
1213121
22
2331
32
33()T D D D H H D D D D D D -????=??????
定义几何精度因子如下：
GDOP =
图 6 GDOP 计算流程图
6.3优选方法的确定
由于在最优定位卫星的选择中，问题可抽象为一个组合问题，即已知n颗地球同步卫星，从中选出m颗组合用于定位计算，以GDOP作为目标函数，进而计算出每一种组合对应的GDOP值，即相同数量的卫星条件下，有m
C种组合。考虑卫星
n
空间分布对精度的影响和方便计算的要求，在地球同步卫星数量相同的条件下，选取两组分布差别较大的组合，运用问题（1）的方法联立方程组即可求得飞行器的位置参数，并根据所构建的GDOP模型。计算出不同数量下的卫星不同组合得到的GDOP值，(见表 5 )：
表 5 不同卫星组合位置参数对照表
表 6 不同数量卫星组合GDOP均值表
图 7 卫星数量对GDOP 的影响
由上图可知：GDOP 值随地球同步卫星数目的增加而显著减小，地球同步卫星数目在4-6时，GDOP 值显著降低，下降速率较大，而当定位卫星的数量达到6颗以后，即卫星数量为6-9颗时，其GDOP 值变化不大，即此时增加卫星数量，对GDOP 的改善已经不明显。因此综合考虑定位精度和定位效率，6颗同步卫星较为适宜。
从9颗卫星选择6颗卫星，共有6
984C =种选择方案，根据问题一所构建的数学模
型计算出每一种方案对应的GDOP 值，我们选择其中对应GDOP 最小的一种选择方案。经计算，当选择第1,2,3,5,7,9颗卫星时，其GDOP 值最小。经度分别为76E ?，89E ?，
110E ?，130E ?，142E ?，172E ?，该组合对应的GDOP 为51.1510?。
6.4角度误差影响的仿真
正态分布：是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布。若随机变量
x 服从一格数学期望μ、方差为2σ的高斯分布，记为2(,)N μσ。其期望值μ决定了其位置，其标准差2σ决定了分布的幅度。
在多次测量中，设备的测量误差是正态分布的，而且均值为0。问题中给出的精度
00.1可以认为是测量误差的标准差。在这种理解下，用各自的误差限对测量误差进行无
量纲化(也可以看成是一种加权法)处理是合理的，即求解的无约束优化问题更合理。由6.3的分析可知，当六颗卫星定位时，定位精度和效率最优，故构建数学模型如下：
Min 1(,,)i n
i E x y z ===运用计算机仿真技术进行500次仿真实验得到实验定位位置与未加入误差时定位位置的距离误差，统计这些距离误差，得到其分布图(见 图 8 )：
图 8 距离误差分布图
由上图可以看出，绝大部分距离误差都分布在250km 以内,因此，认定定位精度为250km 。
6.4问题三的结果分析
问题三，利用几何精度因子GDOP 来衡量卫星几何分布的好坏，遍历所有方案后，发现6星组合定位的平均精度和效率较好，其定位结果与9星定位的结果很接近，说明6星定位的组合是较为合理的。在给测量值加入最大为0.1°的高斯分布后，大量的仿真实验显示，加入的误差给定位带来了250km 的偏差。说明模型建立的定位方法对于角度测量有着很高的要求，否则就有可能造成较大的误差，即说明本模型对测量误差有很高的要求，测量误差是影响定位准确与否的重要因素。
7 模型的优缺点分析与改进方向
7.1优点：
（1）问题一基于最小二乘法的求解模型，求解出比较接近真实参数的数据，充分利用所有卫星提供的参数，全面考虑测量、计算存在的误差，方法简明易懂，结果较为合理；再进一步优化的以夹角余弦法为基础的聚类分析模型，筛选出明显误差的数据并剔除，在此基础上求解，使结果更加合理，符合实际。
（2）问题二在问题一的基础上利用同一时刻给出的三颗卫星的参数算出各时刻对应的飞行器位置参数，然后利用最小二乘法拟合成曲线，推算出运动模型。并用()
1,1
GM模型预测拟合位置与实际位置距离，则其实际位置等于拟合值跟预测值的和，将误差的变化考虑进模型，提高了定位的精度。
（3）在解决问题三时，考虑卫星优选策略时使用了精度几何因子GDOP的方法，兼顾定位的精度和效率，选择了合适的卫星个数和卫星分布，这种方法精度比较高。
当测量角度发生偏差时，假设偏差符合正态分布，通过500次的仿真，得出距离误差分布图，更加形象直观。
7.2缺点：
（1）在问题一求解过程中没有考虑到那些个别会引起测量偏差较大的卫星对结果的影响，即没有对卫星进行优选。
（2）在问题二中仅仅利用三颗卫星提供的参数得出飞行器在不同时刻的位置参数本身就存在较大误差，求解过程中飞行器的位置参数在Z轴上的数据残差过大。（3）在问题三中，本文仅仅只考虑了卫星个数带来的运算量对定位效率的影响，没有没有考虑其他因素的影响，这是不符合实际情况的。
7.3改进方向：
问题二求解过程中，将飞行器各轴上的位置参数分别进行数据拟合，最后得到t s
=时飞行器的位置在一个球体范围内，难以定位，可综合各轴位置参数进行拟合得70
出飞行器的空间轨迹随时间得变化规律，可得预测到更为精确直观的飞行器位置参数。
问题三中，考虑到选取卫星组合的人为主观因素，可尽量多的选取卫星组合对飞行器进行定位，然后根据需要赋予不同权重，从而得到最优解。
参考文献
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