空间向量与立体几何知方法总结
一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈
运算律：⑴加法交换律：a b b a
+=+
⑵加法结合律：)()(c b a c b a
++=++
⑶数乘分配律：b a b a
λλλ+=+)(
运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行
向量，a
平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a
＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=
<=>)1(=++=y x y x 其中
（4）与a
共线的单位向量为±
4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数
,x y 使
p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=
<=>)1(=++++=z y x z y x OP
其中
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有
序实数组,,x y z ，使
p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，
使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系
O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)
x y z ，使
++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作
(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z)
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表
示。空间中任一向量
k z j y i x a ++==（x,y,z ）
（3）空间向量的直角坐标运算律：
①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112
233(,,)a b a b a b a b +=+++，
112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，
112233a b a b a b a b ?=++，
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。
②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ③定比分点公式：若
111(,,)
A x y z ，
222(,,)
B x y z ，λ=，则点P 坐标为
)1,1,1(212121λ
λλλλλ++++++z z y y x x 。推导：设P （x,y,z ）则),,(),(22211,1z z y y x x z z y y x x ---=---λ,显然，当P 为AB 中点时，)2
,2,2(
2
12121z z y y x x P +++ ④
)
,,(),,,(,,,333222111z y x C z y x B ）z y ，A（x ABC 中?，三角形重心
P
坐标为
)2
,2,3(3
21321321z z z y y y x x x P ++++++
⑤ΔABC 的五心：
内心P
：内切圆的圆心，角平分线的交点。=λ（单位向量）
外心P
：外接圆的圆心，中垂线的交点。==
垂心P ：高的交点：PC PB PC PA PB
PA ?=?=?（移项，内积为0，则垂直）
重心P ：中线的交点，三等分点（中位线比）
)(3
1AP += 中心：正三角形的所有心的合一。
（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则2
||a a a a =?=+2||b b b b =?=+
（5）夹角公式：2cos ||||a b
a b a b a ??==?+ ΔABC 中①0>?<=>A 为锐角②0A 为钝角，钝角Δ
（6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)
B x y z ， 则2
||(AB AB == 或,A B d = 7. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，
则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作
,a b <>
；且规定
0,a b π
≤<>≤，显然有
,,a b b a <>=<>；若,2
a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥。
（2）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。
（3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ??<>叫做,a b 的数量积，记作a b ?，
即a b ?=||||cos ,a b a b ??<>。 （4）空间向量数量积的性质：
①||cos ,a e a a e ?=<>。②0a b a b ⊥??=。③
2||a a a =?。 （5）空间向量数量积运算律： ①()()()a b a b a b λλλ?=?=?。②a b b a ?=?（交换律）。
③()a b
c a b a c ?+=?+?（分配律）。
④不满足乘法结合率：)()(c b a c b a ?≠?
二．空间向量与立体几何(高考答题必考) 1．线线平行?两线的方向向量平行
1-1线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 1-2面面平行?两面的法向量平行
2线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 2-1线面垂直?线与面的法向量平行 2-2面面垂直?两面的法向量垂直 3线线夹角θ
两条异面直线所成的角：
1、定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线////,//a a b b ，则/a 与/
b 所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．
2、范围：两异面直线所成角θ的取值范围是
02π
θ<≤
3、向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为?，则有cos |cos |a b
a b
θ??==
?
4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
3-2线面夹角θ]90,0[O O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量n 的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.><=n AP ,cos sin θ ,
3-3面面夹角（二面角）θ]180,0[O
O :（1）若AB 、CD 分别是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂
直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角（如图（a ）所示）．
（2）设1n 、2n 是二面角l αβ--的两个角α、β
的法向量，则向量1
n 与2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b ）所示）．
若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量2,1n n 的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. ><±=21
,cos cos n n θ
02
π
θ≤≤
4点面距离h ：
如图（a ）所示，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度．若AB 是平面α的任一条斜线段，
则在Rt △BOA 中，cos ∠ABO=
如果令平面α的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到B 点到平面α的距离为
h=
4-1线面距离（线面平行）：转化为点面距离 4-2面面距离（面面平行）：转化为点面距离
应用举例：
例1：如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值. 解：（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系， 则D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2)
于是，11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DE EC FD =-==- 设法向量(,,2)n x y =与平面C 1DE 垂直，则有
1330
1320n DE x y x y x y z n EC ⊥-=?
?==-++=⊥??
????
??
11111(1,1,2),
(0,0,2),
cos 3
||||1tan 2
n AA CDE n AA C DE C n AA n AA θθθ∴=--=∴--?==
=
?∴=
向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角 （II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则
1111cos 14
||||
1EC FD EC FD β?=
=
=
?
例2：如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB=600，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点。
（1）证明平面PED ⊥平面PAB ；
cos cos BA BO ABO
ABO BO ??∠∠=BO BA =AB n
BO n ?=
（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值
证明：（1）∵面ABCD是菱形，∠DAB=600，
∴△ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD ∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，
如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=1
2
，
，
∴ P（0，0，1），E
（
2，0，0），B
（
2
，1
2
，0）
∴PB=
（
2
，1
2
，-1），PE=
（
2
，0，-1），
平面PED的一个法向量为DC=（0，1，0），设平面PAB的法向量为n=（x, y, 1)
由
11
(,,1)(,1)010
2222
(,,1)(1)010
22
x y x y x
n PB
n PE y
x y x
?
?
?-=--=
?
?=
⊥
????
???
???
⊥
???
?=
?-=-=?
???
∴n=
, 0, 1) ∵DC·n=0 即DC⊥n∴平面PED⊥平面PAB
(2)解:由(1)知平面PAB的法向量为n=
0, 1),设平面FAB的法向量为n1=（x, y, -1)，
由（1）知：F（0，0，1
2
），FB=
1
2
，-1
2
），FE =
，0，-1
2
），
由1
1
1111
(,,1)(,)00
222222
110
(,,1)()00
2222
x y x y x
n FB
n FE y
x y x
?
?
-?-=-+=
?
?=
⊥
????
???
???
⊥
???
?=
-?-=+=?
???
∴n1=（
, 0, -1)
∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ= |cos
1
n57
14
n
n
n
?
=
?
例3：在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC
1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.
解: (Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD 1, ∵棱长为4 ∴A （4，0，0），B （4，4，0），P （0，4，1） ∴AP = (-4, 4, 1) , 显然DC =（0，4，0）为平面BCC 1B 1的一个法向量
∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角θ的正弦值sin θ= |cos >|= 33 = ∵θ为锐角，∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角θ为 arcsin 33 (Ⅲ) 设平面ABD 1的法向量为n =（x, y, 1)， ∵AB =（0，4，0），1AD =（-4，0，4） 由n ⊥AB ，n ⊥1AD 得0 440 y x =?? -+=? ∴ n =（1, 0, 1)， ∴点P 到平面ABD 1的距离 d = 32 2 AP n n ?= 例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是底面中心，求A 1O 与B 1C 的距离。 解：如图，建立坐标系D-ACD 1，则O （1，1，0），A 1（2， 2，3），C （0，2，0） ∴1(1,1,3)AO =-- 1(2,0,3)B C =-- 11(0,2,0)A B = 设A 1O 与B 1C 的公共法向量为(,,1)n x y =，则 113(,,1)(1,1,3)0302(,,1)(2,0,3)023032 x n A O x y x y x y x n B C y ? =-??⊥?--=-+-=???????? ????--=--=⊥????? =?? ∴ 33 ( ,,1)22 n =- ∴ A 1O 与B 1C 的距离为 d = (110,2,0 || || A B n n ?== =? 例5：在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，求A 1到面BDFE 的距离。 解：如图，建立坐标系D-ACD 1，则B （1，1，0），A 1（1，0，1），E （1 2 ，1，1） ∴(1,1,0)BD =-- 1(,0,1)2 BE =- 1(0,1,1)A B =- 设面BDFE 的法向量为(,,1)n x y =，则 (,,1)(1,1,0)0021 12(,,1)(,0,1)01022 x y x y n BD x y x y x n BE ?--=--=???⊥=???? ???????=-?-=-+=⊥??????? ∴ (2,2,1)n =- ∴ A 1到面BDFE 的距离为d = ( 10,1,|||3| 13||A B n n ?-=== 附： 用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量， 其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||A O ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥ ，n b ⊥ ），则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植 于点面距离的求法）． 利用法向量解立体几何题 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需 要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos 则?ˉ //AA n ，所以∠BAA ＇ =<,BA n >（或其补角） ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设 (1,,0)n y =，下同）。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ， 在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、 B ，则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥ 用向量方法求空间角和距离 前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a r 、b r 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos ||||||a b a b r r g r r （２）求线面角 设l r 是斜线l 的方向向量，n r 是平面α的法向量， 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n r r g r r 则斜线l （３）求二面角 方法一：在α内a r l ⊥，在β内b r l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角 α=arccos |||| a b a b r r g r r 方法二：设12,,n n u r u u r 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=1212arccos |||| n n n n u r u u r g u r u u r 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n r 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==u u u r r u u u r g r 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO uuu r ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a βP ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． a r 、 b r 分别为异面直线a 、b 的方向 法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设 用向量方法求空间角和距离前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos | |||||a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方 向向量，n 是平面α的法向量， α所成的角α=arcsin ||||||l n l n 则斜线l 与平面 （３）求二面角 方法一：在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ --的平面角α=arccos |||| a b a b 12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的方法二：设 法向量，其方向 一个指向内侧，另一个指向外侧，则二的平面角α=1212arccos |||| n n n n 面角l αβ--2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|||||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示， 可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就 转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 方法二：在a 上取一点A, 在b 上 取一点B, 设a 、b 分别为异面直 线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|||||cos |||AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）． 例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是 棱1111,A D A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离 解：（Ⅰ）记异面直线1DE FC 与所成的角为α， 则α等于向量1DE FC 与的夹角或其补角， 图建立空间坐标系D xyz -， （II ）如1 1||||111111cos ||()()|||||| 222||,arccos DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC αα∴=++=-==∴= 法向量解立体几何专题训练 一、运用法向量求空间角 1、向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不 需要用法向量。 2、设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为sin θ= cos( 2π -θ) = |cos 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥ 四、应用举例： 例1：如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值. 解：（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系， 则D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2) 于是，11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DE EC FD =-==- 设法向量(,,2)n x y =与平面C 1DE 垂直，则有 1330 1320n DE x y x y x y z n EC ⊥-=? ?==-++=⊥?? ???? ?? 11111(1,1,2), (0,0,2), cos 3 ||||1tan 2n AA CDE n AA C DE C n AA n AA θθθ∴=--=∴--?== = ?∴= 向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角 （II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则 1111cos 14 |||| 1EC FD EC FD β?= = = ? 例2：（高考辽宁卷17）如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB=600，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点。 （1）证明平面PED ⊥平面PAB ； （2）求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值 证明：（1）∵面ABCD 是菱形，∠DAB=600， ∴△ABD 是等边三角形，又E 是AB 中点，连结BD ∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900， 立体几何（向量法）—建系难 例1 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3 BC CD AC ACB ACD π ===∠=∠=,F 为PC 的中 点,AF PB ⊥. (1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值. 【答案】 解：(1)如图，联结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP → 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CD sin π 3＝3，故A (0，－3，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)． 因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，得F ????0，－1，z 2，又AF → ＝????0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 2 2 ＝0，z ＝2 3(舍去－2 3)，所以|P A → |＝2 3. (2)由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF → ＝(0，2，3)．设平面F AD 的法 向量为1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为2＝(x 2，y 2，z 2)． 由1·AD →＝0，1·AF →＝0，得 ?? ?－3x 1＋3y 1＝0， 2y 1＋3z 1＝0， 因此可取1＝(3，3，－2)． 由2·AB →＝0，2·AF →＝0，得 ?? ?3x 2＋3y 2＝0， 2y 2＋3z 2＝0， 故可取2＝(3，－3，2)． 从而向量1，2的夹角的余弦值为 cos 〈1，2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1 8 . 故二面角B －AF －D 的正弦值为3 7 8 . 例2（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四 棱锥P ABCD -中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==?o ，与PAD ?都是等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小. 【答案】解：(1)取BC 的中点E ，联结DE ，则四边形ABED 为正方形． 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 联结OA ，OB ，OD ，OE . 由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A ＝PB ＝PD ， 所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE . 因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD . 用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ????1 2，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ?? －12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－1 2AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD . 用基底建模向量法解决立体几何问题 空间向量是高中数学新教材中一项基本内容，它的引入有利于处理立体几何问题，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，有利于丰富学生的思维结构，利用空间向量的坐标运算解立体几何问题，可把抽 象的几何问题转化为代数计算问题，并具有很强的规律性和可操作性，而利 用空间向量的坐标运算需先建立空间直角坐标系，但建立空间直角坐标系有时要受到图形的制约，在立体几何问题中很难普遍使用，其实向量的坐标形式只是选取了特殊的基底，一般情况下，我们可以根据题意在立体几何图形中选定一个基底，然后将所需的向量用此基底表示出来，再利用向量的运算进行求解或证明，这就是基底建模法.它是利用向量的非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法。 基向量法在解决立体几何的证明、求解问题中有着很特殊的妙用。 空间向量基本定理及应用 空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p存在惟一的有序实数组x、y、乙使p=x a+ y b+ z c. 1、已知空间四边形OAB（中, Z AOB Z BOC / AOC且OA=OB=OCM N分别是OA BC的中点，G是MN的中点. 求证：OGL BC 【解前点津】要证OGL BC只须证明OG?BC 0即可. 而要证OG?BC 0,必须把0G、BC用一组已知的空间基向量来表示 .又已知条件为Z AOB Z BOC Z AOC且OA=O母OC因此可选OA,OB,OC为已知的基向量. 【规范解答】连ON由线段中点公式得: 又 BC OC OB , 【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力 【例2】 在棱长为a 的正方体ABC —ABCD 中，求：异面直线 BA 与AC 所成的角. ■ 1 ■ 2 1 ■ 2 BB 1 ? BC 0,BA?AB =-a .所以 BA ^ ? AC =- a . OG OM ON) 彳 ] 彳 El I ： 丄 OA 丄(OB OC) 2 2 O B O C ), 所以 O G ? O B 1(O A 4 OB OC)?(OC OB) 丄(OA ?O C 4 OB?OC OC 2 OA?OB OB 2 OC?OB ) 1 = 4(O A? OC OA ?OB 2 2 OC 2 OB 2 ). 因为O A ?O C OA ? OC ? cos AOC OA?OB OA ? OB ? cos AOB 且 OC OB OA ，/ AOB Z AOC 所以 OG ? BC =0,即 OGL BC 【解前点津】 利用BA 1?AC BA 1 ? AC cos B AH , A C ,求出向量BA 1与AC 的夹角〈BA 1 , AC >, 再根据异面直线 BA , AC 所成角的范围确定异面直线所成角 【规范解答】 因为 BA 1 BA BB 1, AC AB 所以BA ] ?AC (BA BB 1)?(AB BC)= BA? AB 因为ABL BC BB L AB BB L BC 又 BA ] ? AC BA 1 ? AC ?cos BA ，AC , cos BA, AC a 2 所以〈B A],A C > =120° . 所以异面直线BA 与AC 所成的角为60°. 【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直 积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示 线上两向量的数量积， 而要求两向量的数量 例 3:如图，在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中, / ABC=6(o,PA L 面 ABCD , PA=AC=a,PB=PD= 2a , 点E 在PD 上，且PE:PD=2:1.在棱PC 上是否存在一点 F ,使BF //平面AEC ?证明你的结论. uuu uuir uuu 解析：我们可选取AB,AD,AP 作为一组空间基底 D L C L BC , BA?BC BB 1 ?AB BB 1 ?BC 所以BA?BC 0,BB<| ?AB =0, D 向量法解决立体几何问题 一．知识梳理 1、 平行问题 （1） ////l m a b ?，其中,a b 为直线,l m 的方向向量 （2） //l a n α?⊥，其中a 为直线l 的方向向量，n 为面α的法向量 //=+l a xb yc α?，其中a 为直线l 的方向向量，,b c 为面α内的两不共线向量 （3）12////n n αβ?，其中12,n n 分别为面α，β的法向量 2、垂直问题 （1）l m a b ⊥?⊥，其中,a b 为直线,l m 的方向向量 （2）//l a n α⊥?，其中a 为直线l 的方向向量，n 为面α的法向量 l a b a c α⊥?⊥⊥且，其中a 为直线l 的方向向量，,b c 为面α内的两不共线向量 （3）12n n αβ⊥?⊥，其中12,n n 分别为面α，β的法向量 3、角度问题 （1）线线角：cos cos ,a b θ=<>，其中,a b 为两直线的方向向量 （2）线面角：sin cos ,a n θ=<>，其中a 为直线方向向量，n 为面的法向量 （3）二面角：12cos cos ,n n θ=<>，其符号由图像而定 4、距离问题 （1）点点距：(AB x = （2）点线距：利用向量共线转化为点点距处理 （3）点面距：PA n d n ?=，其中P 为面外某点，A 为面内任何一点，n 为面的法向量，所求d 为面 外某点P 到面的距离 另外，平行线的距离转化为点线距，异面直线的距离转化为点面距，线面距和面面距都可化为点面距来处理 5、向量的坐标运算 （1）121212a b x x y y z z ?=++ （2）2a x = +（3）111222 //x y z a b x y z ? == 用向量方法求空间角和距离 前言: 在高考的立体几何试题中，求角与距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解法：“作图、 证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是教学和学习的难点?向量进入高中教材，为立体 几何增添了活力，新思想、新方法与时俱进，本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题. 1. 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角； 直线和平面所成的角；(平面和平面所成的角)二面 角. (1)求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, r r 则两异面直线所成的角 =arccos| $啤| |a||b| =arccos 1?唏 |n i ||n 21 ，n 是平面的法向量, =arcsin | r 1 那 | 在内b l ，其方向如图，则二 agb =arccos |a||b 的两个半平面的法向量，其方向 ，则二面角 l 的平面角 平面角 a l ， 2. 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求. (1)求点面距离 (II )求BC i 和面EFBD 所成的角; (III )求B 到面EFBD 的距离 解：(I)记异面直线DE 与F?所成的角为 ， uuu uuur 则等于向量DE 与FC 1的夹角或其补角, 方法一：设n 是平面 uur 的距离d |AB||cos 的法向量，在 uuu r | 冲| |n| 内取一点B,则A 到 和点0在 内 uuu 的向量表示，可确定点 0的位置，从而求出|A0| . 方法二：设AO 于O,利用AO 方法一：找平面 使b 且a P ，则异面直线a 、b 的距离就 转化为直线a 到平面 的距离，又转化为点A 到平面 的距离. 方法二：在a 上取一点A,在b 上 uuu r d | AB || cos | ft n a 取一点B,设a 、b 分别为异面直 n b )，则异面直线a 、b 的距离 例1.如图，在棱长为2的正方体 棱AD i ,AB ,的中点. 移植于点面距离的求法). (I)求异面直线DE 与FC i 所成的角; a 线a 、b 的方向向量,求n (n a , B ABCD A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别是 D . C 二 B 1 ?如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABC助正方形，平面PADL平面ABCD点 M在线段PB上, PD//平面MAC PA=PD^, AB=4 (1)求证：M为PB的中点； (2)求二面角B- PD- A的大小； (3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 【分析】(1)设ACH BD=O则0为BD的中点，连接0M利用线面平行的性质证明OM/ PD再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； (2)取AD中点G,可得PGLAD,再由面面垂直的性质可得PGL平面ABCD贝U PGLAD，连接0G则PGL0G再证明OGLAD.以G为坐标原点，分别以GD GO GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B- PD- A的大小； (3)求出门；的坐标，由："与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直 线MC与平面BDP所成角的正弦值. 【解答】(1)证明：如图，设ACH BD=O ??? ABCD^正方形，二O为BD的中点，连接OM ??? PD//平面MAC PD?平面PBD 平面PBDH 平面AMC=OM ??? PD// OM则一-—，即卩M为PB的中点; BD BP (2)解：取AD中点G, ??? PA=PD- PGL AD ???平面PADL平面ABCD且平面PADH平面ABCD=AD ??? PG!平面ABCD 贝U PG!AD,连接OG 贝U PG1OG 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG/ DC贝U OGLAD. 以G为坐标原点，分别以GD GO GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标 向量法解立体几何 1、四川19．（本小题共l2分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ． （Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1； （Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值； 2. (全国大纲文)如图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形， 2,1AB BC CD SD ====． （I ）证明：SD ⊥平面SAB ； （II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。 3、重庆文．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 如题（20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ， ,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥==== （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积； （Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。 4、 . （湖北文）如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为3， 点E 在侧棱1A A 上，点F 在侧棱 1B B 上，且A E =,BF = （I ） 求证：1C F C E ⊥；（II ） 求二面角1E C F C --的大小。 5、、（2006年高考题）如图1，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，M N 是它们的公垂线，点A 、B 在1 l 上，C 在2l 上，MN MB AM ==。证明：NB AC ⊥。 6、如图，直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，D 、E 分别是BC 、A 1B 1的中点. （1）证明：BE//平面A 1DC 1； （2）若AB=BC=AA 1=1，∠ABC=90°求二面角B 1—BC 1—E 的正切值. 7、、如图，四棱锥ABCD P -的侧面PAD 垂直于底面ABCD ,090=∠=∠BCD ADC ,22====BC AD PD PA ,3=CD , M 在棱PC 上，N 是AD 的中点，二面角C BN M --为030。 （1）求 MC PM 的值；（2）求直线PB 与平面BMN 所成角的大小。 8、如图，在四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为平行四边形， SA ⊥平面ABCD ，2,1,AB AD ==SB =,120,BAD E ∠=在棱SD 上，且3SE ED =． （I ）求证：SD ⊥平面;AEC （II ）求直线AD 与平面SCD 所成角的大小 9、如图所示，三棱柱'''C B A ABC -中，四边形''B BCC 为菱形，o BCC 60'=∠，ABC ?为等边三角形，面 ⊥ABC 面''B BCC ，F E 、分别为棱'CC AB 、的中点； （Ⅰ）求证：//EF 面BC A '＇；（Ⅱ）求二面角B AA C --'的大小。 巧用向量的方法解立体几何题 现在考查立体几何的热点之一是空间角与距离问题，空间角包括三种角：两条直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角；距离包括六种距离：点到点的距离、点到直线的距离、点到面的距离、两条平行直线的距离、直线与平行平面的距离、两个平行平面之间的距离。六种距离中着重测试点到面的距离。试题中往往先给出柱、锥具体几何图形或不规则图形，在特定的图形环境中测试有关空间角与距离问题，从而达到考查学生空间想象能力和逻辑推理能力以及计算表达能力的目的。解决这类问题除了常规方法外，如果能比较巧妙地建立三维空间直角坐标系，通过将空间几何点、线、面、体的位置关系转化为数量关系，将传统的形式逻辑推理和证明转化为数量计算，即利用向量的方法解决此类问题将能化繁为简，化抽象为具体，从而大大降低因空间想象能力的障碍影响解题，提高解题的速度和得分率。 下面谈谈几种应用向量解决考题中有关空间角与距离问题的方法： 一：利用向量数量积定义式求异面直线的夹角（或夹角的余弦值） 向量数量积定义 ：若a 和b 是空间中两个向量， a =（ x 1 , y 1 , z 1 ），b =（ x 2 , y 2 , z 2 ）则 a · b = │a │·│b │cos ＜a ，b ＞，.把公式变形得 cos ＜a ，b ＞ = a b a b ?=? 例1．已知：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为AA 1，BB 1的中点， 求CM 和D 1M 所成角的余弦值。 分析：要想利用向量定义式求异面直线的夹角，首先得建立适当的空间直角坐标系，再找出 对应C 、M 、D 1、、M 点的坐标，从而找出CM 和1D N 的坐标，最后利用上述公式求解。 解：建立以D 为坐标原点 ，DA 为x 轴 ， DC 为y 轴 ，DD 1为Z 轴的直角坐标系 ∵正方体的棱长为2 ∴C （ 0，2，0 ），M （2，0，1） D 1（0，0，2 ），N （2，2，1） 则CM = （2，－2 ，1）， 1D N = （2，2，－1） ∴cos ＜CM ， 1D N ＞=4411 99 --=- ∵两条直线的夹角取值范围是［ 0°，90°］，其余弦值为非负 ∴CM 与1D N 所成的余弦值为1 9 例2．已知长方体1111,ABCD A B C D -12,1,AB AA ==直线 D 1 A A 1 B C1 M 向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积：cos ?= a b a bθ ? 2.射影公式：向量a在b上的射影为a b b 3.直线0 - ++=的法向量为(),A B，方向向量为(),B A Ax By C 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 利用法向量解立体几何题 向量法在解决求立几中的角和距离两大问题中，是行之有效的方法，它解决了以前旧版教材立几中的这两个难点，在旧版教材中，运用几何法解决这两类问题，要通过“作”、“证”、“求”，既要有较强的空间想象能力，又要求学生对空间中，线、面之间的判定、性质等定理非常熟悉并能熟练应用，对学生，特别是中下水平的学生是一个大难点，而现在向量法则很好解决了这个难点，所以它对人们研究立几问题有着普及的意义。同时向量法对立几中的线面平行和线面垂直、面面垂直和面面平行等位置关系的证明，也非常简便，现把教学中得到的这些方法进行归类，供同行参考。 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量''AA BB 和，则角 <','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ='' '' AA BB AA BB ?? , 不需要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α 所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos(2π -θ) = |cos 设异面直线a 、b 的公共法向量为(,,)n x y z = ，在a 、b 上任取一点A 、B ，则异面直线a 、b 的距离 d =AB ·cos ∠BAA ＇=|||| AB n n ? 略证：如图，EF 为a 、b 的公垂线段，a ＇ 为过F 与a 平行的直线， 在a 、b 上任取一点A 、B ，过A 作AA ＇//EF ，交a ＇于A ＇ ， 则?ˉ //AA n ，所以∠BAA ＇=<,BA n >（或其补角） ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇=|||| AB n n ? * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得 n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=???? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y = ，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为d =|||| AB n n ? ，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设(1,,0)n y = ，下同）。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y = ，在直线a 上任取一点A ，在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离d = |||| AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y = ，在平面α、β内各任取一点A 、B ，则平面α到平面β的距离d = |||| AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，用向量方法解立体几何题(老师用)
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