试探互斥事件与相互独立事件的区分方法
随机试验中事件的概率计算何时使用互斥事件概率的加法公式，何时使用相互独立事件概率的乘法公式，常是初学这部分知识的人难以把握的问题，引起麻烦的根源主要是无法确定事件间的关系究竟属于互斥事件还是独立事件。
判断两个事件之间的关系首先从定义入手，互斥事件发生在一次试验可能出现的不同结果中，这两个（或多个）事件不可能同时发生，而相互独立事件发生互不干涉的不同试验中，一个事件发生与否对另一个事件发生的概率不产生影响。
其次，从事件发生的结果入手判断事件间的关系，互斥事件若有一个发生，那么其他事件在试验中就不能再发生了；而相互独立事件中一个事件在试验中发生，对其它事件是否发生不产生任何影响。
再之，从事件的来源入手，即从产生事件的试验入手，互斥事件发生在同一次试验中，两个互斥事件A和B不会同时发生，但它们的概率相互影响，总有0≤P（A）+P（B）≤1相互独立事件发生于不同试验中，两个相互独立事件A和B是否发生互斥影响，产生事件的试验也相互独立互不影响，概率关系同样互不影响，总有0≤P（A）≤1、0≤P（B）≤1。
从两个概率公式入手，分析适应的事件关系也可以判断事件间的关系，对于互斥事件有一个发生的概率加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），要求事件A、B之一发生（且只能有一个发生），具有明确的排斥性；对于相互独立事件的概率乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），要求事件A、B同时发生，如果满足不了同时发生的条件，那么这两个事件肯定不是相互独立事件。
从两个概率公式的适用条件看，是否能够分清事件A和B的关系（这些事件是一次试验的结果还是几次独立试验的结果）到关重要，下面举两个例子加以阐述。
例1：甲乙两人各进行一次射击，如果两人击目标的概率都是0.8计算：
（1）工人都击中目标的概率
（2）其中恰有一人击中目标的概率
（3）至少有一人击中目标的概率
解（1）：把甲射击目标的过程看作一次试验，记“甲射击一次击中目标”为事件A，“乙射击一次击中目标”为事件B，两人各射击一次，这两个试验相互之间互不影响，因此，A、B为两个相互独立事件，2人都击中目标是A发生且B发生，即A、B同时发生，因此求解应利用相互独立事件的乘法公式。
P（A·B）=P（A）·P（B）=0.8×0.8=0.64
即甲乙两人都击中目标的概率为0.64
(2)”其中恰有一人击中目标”这一要求是把甲乙两人各射击一次的过程看作一次试验,这次试验含有两个过程,在由这两个过程形成的每一个事件中都抱括两种同时发生的情况,“恰有一人击中”包括A击中B没有击中（事件A·B，在这里A和B又是相互独立事件），或A没有击中B击中（事件A·B，在这里A和B相互独立）两个互斥事件，所以首先要利用相互独立事件的概率乘法公式分别计算A·B和A·B，再利用互斥事件的概率加法公式求A·B+A·B，所以其中恰有一人击中目标的概率为P（A·B+A·B）
=P（A·B）+P（A·B
=P（A）·P(B)+P（A）·P(B
=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32
（3）通过上面分析，对于“至少有一人击中目标的概率可直接求解，也可以从对立事件入手，易得：
P=P（A·B+ A·B+ A·B）=P（A·B）
=P（A·B）+P（A·B）+P（A·B）
=P（A）·P（B）+P（A）P（B）+ P（A）P（B）
=0.8×0.8+0.8×0.2+0.2×0.8=0.96
或P=P(A+B)=1-( A·B)
=1-P(A) ·P(B))
=1-(1-0.8)×(1-0.8)
=0.96 (对立事件法)
解2 有三种产品，合格率分别为0.9 0.85 0.85各抽取一件进行检验,求
恰有一件不合格品的概率
至少有两件不合格品的概率
解析:从抽取的结果看,每次在三件产品中各抽取一件,共三件,这三件产品合格与否互不影响,可以看作是相互独立的结果(把结果看成事件时,如三个相互独立事件),当把抽出的产品看成是一次试验(这个试验包含三个抽取过程)的结果时,不同质量的三件产品构成的事件为互斥事件.
记“三种产品各抽取一件，抽取的是合格产品”的事件分别为A、B、C，P（A）=0.9 P(B)=0.85 P(C)=0.85
(1)“恰有一件不合格品”的事件有ABC，ABC，ABC三种情况，其概率为
P=P（ABC+ABC+ABC）
=P（A·B·C）+P（A·B·C）+P（A·B·C）
=P（A）·P（B）·P（C）+P（A）·P（B）·P（C）+P（A）·P（B）·P（C）
=0.9×0.85×0.15+0.9×0.15×0.85+0.1×0.85×0.85
≈0.302
(2)至少有两件不合格品的概率为
P=P(A·B·C+ A·B·C + A·B·C + A·B·C)
=(1-0.9) ×(1-0.85) ×(1-0.85)+2×(1-0.9)(1-0.85) ×0.85+0.9×0.15×0.15
=0.048
总之，在利用两个公式计算事件概率时，确定出事件间的相互关系是正确利用公式的前提条件，能否在作题之前有珍上明确的思路判断和清楚的思想认识，显得尤为重要，也特别希望大家在学习过程中，不断研究，不断探索，在学习中提高，在总结中进步。
试用隔离法解“至少”的组合问题
对于初学排列与组合知识的学生而言解题非常困难，往往感到无从下手，那么我们谈谈一类组合问题的解法：有一类“至少”有一个的组合问题，用隔离法可快速求解。
例1：7个相同的小球全部装入3个不同的盒子，且每一个盒子至少装1个球，有多少种不同的装法？
解法1：设这三个盒子装入小球的个数分别为1x 23、x 、x 则1237x x x ++=，且1
x 23、x 、x 均为正整数，所以小球的不同装法数等于上述方程的解的组数。 若，则236x x +=，有5组不同的正整数解
若12x =，则235x x +=，有4组不同的正整数解
…… …… …… ……
若，则方程232x x +=，有一组不同的正整数解
所以方程1237x x x ++=
，共有5+4+3+2+1=15组不同的正整数解，故有15种不同的装法。
解法2：我们先把每一个盒子装入一个球，再求剩余4个球全部放入3个盒子的不同装法数，就是原题答案。
第一类4个球装入1个盒子有13C 种装法
第二类1个盒子装3个，一个盒子装1个有23A 种装法
第三类2个盒子各装2个，有种装法
第四类1个盒子装2个，其余两个盒子各装1个有13C 种装法
因此，共有13C +23A ++13C =15种不同装法。
解法2比解法1简捷且容易想到，但随盒子和小球数目的增加，难度将越来越大，还不是一般性方法，下面给出一种隔离法解答。
解法3：将7个球排成一列，它们之间有6个空位，从中取两个空位把7个球分成三个组，叫6个空取出2个空的一种隔离，显然所有这样隔离的个数，就是本题的解答，因此共=15种装法。
例2 20种相同的物品，全部分给5名学生，且每人至少一件，有多少种不同分法？
解：将20种物品排成一排，它们之间有19个空位中任取4个的隔离数为419C =3876，因此，共有3876种分法。
例3 10个相同的小球，全部装入3个盒子，要求每个盒子至少装两个小球，有多少种不同装法？
解：先把每个盒子各装一个球，则问题转化为7个小球全部装入3个盒子，每盒至少装一个球的问题，共有=15种装法。
例4 12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，每盒可空，有多少不同装法？
解：因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，插入法无法应用，现在建立如下模型，将三块隔板与12个球排成一排，则如下000||00000|0000，隔板将这
一排球分成4块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即1、2、3、4四个盒子相应放入3个、0个、5个、4个小球，这样每一种隔板与球的排列法，就对应了球的一种放法，排列的位置有15个，先将这15个位置中选出3个位置放隔板有315C 种选法，再在余下的位置放球，只有一种放法，所以球与隔板的排法
有315C 种，故球的放法有315C =455种。
相互独立事件的集合关系 互斥事件交集为空，那么相互独立事件呢？有交集的事件一定是相互独立事件吗？ 如果相互独立事件没有明确的集合关系，那么它们之间就没有集合图像吗？ 我来帮他解答 互斥事件交集为空，那么相互独立事件呢？ 独立事件的交集一般不为空,除非某一事件的概率为空. 你画一个正方形□,□内为全体事件,以面积的大小表示事件的多少. 再画一横线,变成了日,日的上面的框内为事件A, 然后画一竖线,变成了田.田的左侧两个框内为事件B, 此时,左上方为事件AB, AB为独立事件. 因为无论你如何上下移动横线,事件AB的面积除以事件A的面积始终等于事件B的面积除以全体事件的面积. 同样,无论如何移动竖线,事件AB的面积除以事件B的面积始终等于事件A的面积除以全体事件的面积. 当你把竖线换成斜线结果就不同了,或者当你把□形换成○形结果也会不同的.你试试,此时的AB就不是独立事件了. 相互独立事件可以这样理解: 在事件A的概率为P(A),事件B的概率为P(B),事件AB的概率为P(AB),则 P(AB)/P(A)=P(B),就是说在发生了A的事件中发生了B的概率的大小(这是条件概率)和所有事件中发生B的概率是相同的. 在不发生事件A的概率为P(A非),事件B的概率为P(B),不发生事件A发生B的概率为P(A非B),则 P(A非B)/P(A非)=P(B),就是说在不发生A的事件中发生了B的概率的大小(这是条件概率)和所有事件中发生B的概率是相同的. 换句话说,是否发生A与发生B的概率无关. 当然将所有的A换成B,将B换成A,上边的说法仍然成立. 有交集的事件一定是相互独立事件吗？ 不是的.前面说的将竖线变成斜线后的关系就是反例,我举一个实例: 事件A:今天西安城区平均温度高于30°, 事件B:明天西安城区平均温度高于30°.
互斥事件和独立事件 浙江奉化奉港高级中学 罗永高 315500 互斥事件和独立事件是高中数学概率中的两个重要概念,学生在学习这两个概念时,常常会混淆两着关系而导致判断错误和计算错误，怎样才能有效消除混淆，更好地区别这两个概念，本文结合实例，来阐述这两个概念的关系. 问题 抛掷一颗骰子，记A 为事件“落地向上的数为奇数”，B 为事件“落地向上的数为偶数”，C 为事件“落地向上的数为3的倍数”，D 为事件“落地向上的数为大于3的数”，E 为事件“落地向上的数为7”。判断下列每对事件是否互斥事件？是否对立事件？是否相互独立事件？ （1）A 与B ，（2）A 与C ，（3）B 与C ，（4）A 与D ，（5）A 与.E 分析解答 }.7{},6,5,4{},6,3{},6,4,2{},5,3,1{=====E D C B A ,0)(,2 1)(,31)(,21)(,21)(===== E P D P C P B P A P .0)(,61)(,61)(,61)(,0)(=====AE P AD P BC P AC P AB P 得结论如下 归纳方法 1 对于事件,,B A 若B A ,所含结果组成的集合彼此互不相交，则B A ,为互斥事件，其意义为事件A 与B 不可能同时发生. 思考 （1）若B A ,为互斥事件，问A 发生对事件B 发生的概率有影响吗？ （2）若)()()(B P A P B A P +=+，问B A ,为互斥事件吗？ （3）若,0)(=AB P 问B A ,为互斥事件吗？ 2对于事件,,B A 若),()()(B P A P AB P =则B A ,为相互独立事件，其意义为事件(A 或B ）发生件B （或)A 发生的概率没有影响，从集合角度看，若.0)(,0)(≠≠B P A P 则事件B A ,所包含的结果一定相交. 3 若B A ,为相互独立事件，则A 与B ，A 与,B A 与B 均为相互独立事件，事件B A B A B A ???,,为互斥事件.
互斥事件相对立事件的概率与几何概型 1．从装有黑球和白球各2个的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A ．至少有1个黑球，至少有1个白球 B ．恰有一个黑球，恰有2个白球 C ．至少有一个黑球，都是黑球 D ．至少有1个黑球，都是白球 2．设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%， 生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是 （ ）．A ．0.873 Ｂ．0.13 Ｃ．0.127 Ｄ．0.03 3．一批零件共100个，其中有95件合格品，5件次品，每次任取1个零件装配机器，若第2次取 到合格品的概率是2p ，第1次取到合格品的概率是1p ，则（ ） A ． 2p >1p B ． 2p =1p C ． 2p <1p D ．不能确定 4．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ） 5．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于 25 cm 2与49 cm 2之间的概率为（ ） 6．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂 色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的事件的对立事件的概率为（ ） 7．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则 求两人会面的 概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 8.如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率 为（ ） A ． B ． C ． D ． 9．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为 ，若向圆内投镖，如果某人每 次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 10．商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是6，5，2，9，0，4.参抽奖的每位顾客从0，1…，9这十个号码中抽出六个组成一组.如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，某位顾客可能获奖的概率为 （ ） 11．若过正三角形的顶点任作一条直线，则与线段相交的概率为（ ） 12．． 13．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示） 14．一个口袋中共有10个红、绿两种颜色小球，不放回地每次从口袋中摸出一球，若第三次摸到 红球的概率为5 4，则袋中红球有 个. 15．随机向边长为2的正方形ABCD 中投一点P,则点P 与A 的距离不小于1的概率是_______________．
§11.2 互斥事件、相互独立事件的概率 一、选择题： 1．若1)(=+B A P ，则事件A 与B 的关系是（ ） A ．A 、 B 是互斥事件 B ．A 、B 是对立事件 C ．A 、B 不是互斥事件 D ．以上都不对 2．两个事件对立是这两个事件互斥的（ ） A ．充分但不是必要条件 B ．必要但不是充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（ ） A ．35035C C B ．350352515 C C C C ++ C ．3503451C C - D ．350 1452524515C C C C C + 4．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射一个目标，则他们都中靶的概率是（ ） A ．1514 B ．2512 C ．43 D ．5 3 5．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（ ） A ．0.99 B ．0.98 C ．0.97 D ．0.96 6．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个上螺母，其中有180个A 型的，现从甲、乙两盒中各任取一个，则能配成A 型的螺栓概率为（ ）． A ．201 B.1615 C ．53 D ．20 19 7．流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，则流星数量为10个的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率约为（ ） A ．51032.3-? B ．81032.3-? C ．51064.6-? D ．81064.6-? 8．有10门炮同时向目标各发射一发炮弹，如果每门炮的命中率都是0.1，则目标被击中的概率约为（ ）
试探互斥事件与相互独立事件的区分方法 随机试验中事件的概率计算何时使用互斥事件概率的加法公式，何时使用相互独立事件概率的乘法公式，常是初学这部分知识的人难以把握的问题，引起麻烦的根源主要是无法确定事件间的关系究竟属于互斥事件还是独立事件。 判断两个事件之间的关系首先从定义入手，互斥事件发生在一次试验可能出现的不同结果中，这两个（或多个）事件不可能同时发生，而相互独立事件发生互不干涉的不同试验中，一个事件发生与否对另一个事件发生的概率不产生影响。 其次，从事件发生的结果入手判断事件间的关系，互斥事件若有一个发生，那么其他事件在试验中就不能再发生了；而相互独立事件中一个事件在试验中发生，对其它事件是否发生不产生任何影响。 再之，从事件的来源入手，即从产生事件的试验入手，互斥事件发生在同一次试验中，两个互斥事件A和B不会同时发生，但它们的概率相互影响，总有0≤P（A）+P（B）≤1相互独立事件发生于不同试验中，两个相互独立事件A和B是否发生互斥影响，产生事件的试验也相互独立互不影响，概率关系同样互不影响，总有0≤P（A）≤1、0≤P（B）≤1。 从两个概率公式入手，分析适应的事件关系也可以判断事件间的关系，对于互斥事件有一个发生的概率加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），要求事件A、B之一发生（且只能有一个发生），具有明确的排斥性；对于相互独立事件的概率乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），要求事件A、B同时发生，如果满足不了同时发生的条件，那么这两个事件肯定不是相互独立事件。 从两个概率公式的适用条件看，是否能够分清事件A和B的关系（这些事件是一次试验的结果还是几次独立试验的结果）到关重要，下面举两个例子加以阐述。 例1：甲乙两人各进行一次射击，如果两人击目标的概率都是0.8计算： （1）工人都击中目标的概率 （2）其中恰有一人击中目标的概率 （3）至少有一人击中目标的概率 解（1）：把甲射击目标的过程看作一次试验，记“甲射击一次击中目标”为事件A，“乙射击一次击中目标”为事件B，两人各射击一次，这两个试验相互之间互不影响，因此，A、B为两个相互独立事件，2人都击中目标是A发生且B发生，即A、B同时发生，因此求解应利用相互独立事件的乘法公式。 P（A·B）=P（A）·P（B）=0.8×0.8=0.64 即甲乙两人都击中目标的概率为0.64 (2)”其中恰有一人击中目标”这一要求是把甲乙两人各射击一次的过程看作一次试验,这次试验含有两个过程,在由这两个过程形成的每一个事件中都抱括两种同时发生的情况,“恰有一人击中”包括A击中B没有击中（事件A·B，在这里A和B又是相互独立事件），或A没有击中B击中（事件A·B，在这里A和B相互独立）两个互斥事件，所以首先要利用相互独立事件的概率乘法公式分别计算A·B和A·B，再利用互斥事件的概率加法公式求A·B+A·B，所以其中恰有一人击中目标的概率为P（A·B+A·B）
高三一轮复习《互斥事件、独立事件与条件概率》 考纲考点：1、互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率 2、独立事件的意义，会用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率 3、条件概率的概念，会用条件概率公式计算条件概率 考情分析：互斥事件、独立事件（相互独立事件同时发生、独立重复）与条件概率是高考考查的中点内容，主要以应用题形式考查，以现实生活为背景，但实质仍是对互斥事件、独立事件与条件概率的考查。考查中选、填、解答题中都可出现。理科试题中往往与分布列、期望结合起来考查。试题总体难度不大。 知识点： 1、互斥事件：叫做互斥事件 互斥事件A、B有一个发生的概率计算公式：，则) P = 。 A (B 2、对立事件：叫做对立事件；A的对立事件通常 用表示，且) p= 。对立事件与互斥事件的关系：。 (A 3、独立事件：（1）若A、B为两个事件，如果，则称事件A与B 相互独立，即相互独立事件同时发生的概率满足乘法公式。 （2）独立重复试验：在相同条件下重复做n次试验，各次试验结 果相互不影响，那么就称为n次独立重复试验。若每次试验 事件A发生的概率都为p，则n次独立重复试验中事件A恰 = 。 好发生k次的概率) P (k n 4、条件概率：对于两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的 概率，称为事件A发生的条件下事件B的。记为，且B P= 。 | ) (A 题型一、事件的判断 1、下列说法正确的是（） A、事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B恰有一个发生的概率大 B、只有当事件A、B为对立事件时，A、B中至少有一个发生的概率才等于 事件A发生的概率加上B事件发生的概率 C、互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 D、互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 2、从装有3个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的是（） A、至少有一个白球；都是白球 B、至少有一个白球；至少有一个红球 C、至少有一个白球；都是红球 D、恰有一个白球；恰有2个红球 3、掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A=“a为3”，B=“a为 4”，C=“a为奇数”，则下列结论正确的是（） A、A与B为互斥事件 B、A与B为对立事件 C、A与C为对立事件 D、A与C为互斥事件 题型二、互斥事件与对立事件的概率及应用 1、中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军
考点24 随机事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、 相互独立事件同时发生的概率 1.（2010·江西高考文科·Ｔ９）有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都 是p (01)p <<，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率 为( ) （A ）(1)n p - （B ）1n p - （C ）n p （D ）1(1)n p -- 【命题立意】本题主要考查对立事件的概率、相互独立事件同时发生的概率． 【思路点拨】直接解决问题较困难时，可考虑逆向思维，从对立面去着手. 【规范解答】选D.所有同学都不通过的概率为,)1(n p - 故至少有一位同学通过的概率为 .)1(1n p -- 2.（2010·湖北高考理科·Ｔ4）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件,A B 中至少有一件发生的概率是( ) （A ）512 （B ）12 （C ）712 （D ）3 4 【命题立意】本题主要考查等可能事件、对立事件、相互独立事件，以及相互独立事件有一个发生的概率的求法，考查公式应用能力和运算求解能力． 【思路点拨】由()()()P A B P A P B P AB +=+-（）以及P AB P A P B =（）（）（），算出()P A ,()P B 代入即 可.或由对立事件的概率公式用1减去,A B 都不发生的概率即可. 【规范解答】选C.方法一：用间接法考虑.事件A ，B 一个都不发生的概率为 451615()()()212C P AB P A P B C =?=?=1 5 16 C 5C 12= . 则事件,A B 中至少有一件发生的概率 7 1()12P AB =-= ， 故C 正确. 方法二： 11117()()()()()()()()262612P A B P A P B P AB P A P B P A P B +=+-=+-= +-?= ., 或 117 ()1()1(1)(1)2612P A B P A B +=-+=---= . 【方法技巧】相互独立事件至少有一个发生的概率有两种求解的方法: （1）()()()P A B P A P B P AB +=+-（）()()P A P B =+-P A P B （）（）.
细说“互斥”与“相互独立”事件 万晓红 事件的“互斥”和“相互独立”是两个不同的概念，虽然它们都是针对两个事件而言，但互斥事件是说两个事件不能同时发生，而相互独立事件可以同时发生，并且一个事件发生与否对另一事件的发生没有影响，一般来说，两个事件不可能既是互斥事件又是相互独立事件，因为相互独立事件是以它们能够同时发生（如果这些事件是同一个随机试验的不同结果，或同一结果的不同试验，并且其中没有不可能事件）为研究前提的。在解题过程中，如不注意区分这两个概率念，便会弄混事件的关系，错误地使用概率加法或乘法公式，导致结果出错。 例1 甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？ 错解：设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ，则两人都恰好投中2次为A+B 。 ∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=825.03.07.0C 2.08.0C 223223=??+??。 错因剖析：本题错解的原因在于把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人恰好投中2次理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的事件和。 正解：设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ，则两人都恰好 投中2次为事件AB ，则P （AB ）=P （A ）·P （B ）=169.03.07.0C 2.08.0C 223223=?????。 例2 某家庭电话在家中有人时，打进的电话铃响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？ 错解：设电话铃响第一声时被接的概率为P （A 1）=0.1；电话铃响第二声时被接的概率为P （A 2）=0.3；电话铃响第三声时被接的概率为P （A 3）=0.4；电话铃响第四声时被接的概率为P （A 4）=0.1，所以在电话铃响前4声内被接的概率是：P=P （A 1）·P （A 2）·P （A 3）·P （A 4）=0012.01.04.03.01.0=???。 错因剖析：本题错解的原因在于混淆了“互斥事件”与“相互独立事件”。事实上，电话铃在响前四声内，响每一声时是否被接是彼此互斥的。 正解：P=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3）+P （A 4）=0.1+0.3+0.4+0.1=0.9。 例3 猎人在距离100米处发现一只野兔并开枪射击，第一枪的命中率为0.5，如果第一枪没命中，则猎人进行第二次射击，但距离变为150米，其命中率为0.3，如果又没命中还可以进行第三次射击，但距离变为200米，其命中率为0.2，求命中野兔的概率。 错解：记事件B i 为猎人第i 枪命中野兔（i=1,2,3），则P （B 1）=0.5，P （B 2）=0.3，P （B 3）=0.2。由于事件B 1、B 2、B 3是互斥的，所以记命中野兔的事件为B ，则P （B ）=P （B 1+B 2+B 3）=P （B 1）+P （B 2）+P （B 3）=1。 错因剖析：上述解法误将相互独立的事件当做互斥事件来考虑，从而致错。 虽然猎人在第i 枪命中野兔事件的发生要受到前一次是否命中野兔事件的影响，但第i 枪命中野兔事件的概率只与猎人和野兔之间的距离有关，与前一次是否命中野兔事件无关，因此事件B 1、B 2、B 3是相互独立的，而命中野兔的事件B 是事件B 1、B 2、B 3有一个发生，即B=B 1+B 2+B 3，故所求概率P （B ）=P （B 1+B 2+B 3）。但此时不能使用概率加法公式，其原因在于事件B 1、B 2、B 3不是互斥事件，而应通过对立事件转化为概率乘法公式来计算。 正解：72.08.07.05.01)B B B (P 1)B B B (P 1)B (P 321321=??-=??-=++-=。
“互斥事件”与“相互独立事件”的概念辨析 江少芳 上海市上海大学附属中学 邮编 （200444） 电子邮箱： 联系电话： 通信地址：上海市宝山区上大路688号 互斥事件和相互独立事件是概率论中的两个重要概念，但是很多同学在学习了这两个概念之后产生了混淆，从而在解题时导致了一些不易察觉的错误，那么互斥事件和相互独立事件到底有什么联系与区别？下面就来对这两个概念做一个有效的辨析。 一、概念辨析： （1）互斥事件：对于事件A 、B ，若不可能同时发生，则称A 、B 为互斥事件。从集合的角度来认识，满足A B φ?=，进一步的，当A B =ΩU 时，事件A 、B 是对立事件。因此有概率加法公式：()()()P A B P A P B ?=+， 即()0P AB =，特别地，当A 、B 对立，记B A =，有()()=1P A P A +。 （2）独立事件：对于事件A 、B ，如果()()()P AB P A P B =?，那么称A 、B 是相互独立事件。直观解释就是，事件A （或B ）发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响。上述定义中的公式即相互独立事件的概率乘法公式。可以证明，如果A 与B 相互独立，则A B A B A B 与、与、与也都相互独立。 二、实例辨析： 判断下列事件A 、B 是否是互斥事件？是否是相互独立事件？ （1）将一枚硬币连抛两次，事件A ：“两次出现正面”，事件B ：“只有一次出现正面”； 解析：显然事件A 、B 不可能同时发生，故为互斥事件，()0P AB =。 ()()()()()11,42 P A P B P AB P A P B ==≠?Q 又，则，因此A 、B 不是相互独立事件。 （2）如图所示，用A 、B 两类不同的元件连接成系统S ，当元件A 、B 都正常工作时，系统S 正常工作，已知元件A 、B 正常工作的概率依次为、，求系统S 正常工作的概率；
(1(2(3 互斥独立事件的概率(文) 例,甲、乙两人独立地破译1个密码,他们能译出密码的概率分别为1/3和1/4,求下列事件的概率： (1)两人都译出密码; （2）两人都译不出密码; （3）恰有一人译出密码; （4）至多一人译出密码； （5）译出密码。 例,有4名学生参加体育达标测验,4人各自合格的概率分别是1/3,1/4,1/5,1/6,求以下的概率: （1）四人中至少有二人合格的概率; （2）四人中恰好只有二人合格的概率. 例,如图,电路中每个开关闭合的概率都为0.7,计算这段时间内线路正常工作的概率, 练习: 1、从一批乒乓球产品中任取1个，如果其质量小于2.45g 的概率是0.22，质量不小于2.50g 的概率是0.20，那么质量在[)2.45,2.50g 范围内的概率是________. 2、甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果他们预报准确的概率分别为0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是___________. 3、甲、乙两人下棋,甲不输的概率是80%,两个下成和棋的概率是50%,则甲获胜的概率为_______. 4、抛掷一枚骰子，若事件A 为“朝上一面的点数是奇数”，事件B 为“朝上一面的点数不超过3”，求P （A+B ） 5、如图:用A 、B 、C 、D 四类不同的元件连接成系统N,当元件A 正常工作且元件B 、C 都正常工作,或当元件A 正 常工作且元件D 正常工作时,系统N 正常工作.已知元件A 、B 、C 、D 正常工作的概率依次为.4 ,3,3,2 （1）求元件A 不正常工作的概率; （2）求元件A 、B 、C 都正常工作的概率; （3）求系统N 正常工作的概率. 作业： 1、某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中耙”的互斥事件是 （ ） （A ）至多有一次中耙 （B ）两次都中耙 （C ）两次都不中耙 （D ）只有一次中耙 2、甲、乙两种型号的导弹同时向一架敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，则敌机被击中的概率为 . 3、某射手在一次射击中射中10环，9环，8环的概率分别是0.24，0.28，0.19，计算这个射手在一次射击中 （1）射中10环或9环的概率 ;（2）不够8环的概率 . 4、两个事件互斥是这两个事件对立的______________条件. 5、一段外语录音，甲能听懂的概率是80%，乙能听懂的概率是70%，两人同时听这段录音，其中至少有一人能听懂的概率是多少？ 6,（03天津）有三种产品,合格率分别是0.90，0.95和0.95,各抽取一件进行检验。 （1）求恰有一件不合格的概率；（2）求至少有两件不合格的概率。 7,从甲乙丙三种零件中各取1件组成某产品所有三零件必须都是正品,所得产品才是合格品,已知三种零件的次品率分别是2%、3%、5%,求产品的次品率？（结果保留四位有效数字） 8、甲、乙2人分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8, 乙射中的概率为0.9，求： （1）2人都射中的概率； （2）2人中有一人射中的概率； （3）2人中至少有一人射中的概率； （4）2人至多有一人射中的概率。 9、一个元件能正常工作的概率叫做这个元件的可靠性,设构成系统的每个元件的可靠性为P(0 本周课题：互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验 本周重点： 1、互斥事件、对立事件的概率的求法 2、相互独立事件同时发生的概率乘法公式． 3、正向思考：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简单的互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件． 4、n次独立重复试验中某事件恰好发生n次的概率计算公式． 本周难点： 1、互斥事件、对立事件的概念 2、事件的相互独立性的判定，独立重复试验的判定 3、事件的概率的综合应用． 本周内容： 1、事件的和、事件的积的意义 (1)A+B表示这样一个事件：在同一试验下，A或B中至少有一个发生就表示它发生． 事件“A1+A2+…+A n”表示这样一个事件：在同一试验中，A1，A2，…，A n中至少有一个发生即表示它发生． (2)A·B表示这样一个事件：事件A与事件B中都发生了就表示它发生． 事件“A1·A2·…·A n”表示这样一个事件：A1，A2，…，A n中每一个都发生即表示它发生． 2、互斥事件 (1)不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件． 一般地：如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1，A2，…，A n，彼此互斥． (2)一般地：如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B) (说明：如果事件A，B不互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)) 如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1+A2+…+A n发生(即A1，A2，…，A n中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即 P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) 3、对立事件 (1)必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记作 (2) 导学案:相互独立事件同时发生的概率 学习目标: 1.了解相互独立事件的意义；理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式. 2.注意弄清事件“互斥”与“相互独立”是不同的两个概念. 学习重难点： 重点：相互独立事件的意义和相互独立事件同时发生的概率公式. 难点：对事件独立性的判定，将复杂的概率问题分解转化为基本概率模型.复习回顾: 什么叫互斥事件？什么叫对立事件？事件A+B表示的意义是什么？ 课题引入: 常言道“三个臭皮匠赛过诸葛亮”，这句话有道理吗？从数学的角度，你能做出解释吗？ 新知建构： 甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个白球，2个黑球。（球等大）（1）记“从甲坛子里摸出一个球，得到白球”为事件A，则P(A)= 。 （2）记“从乙坛子里摸出一个球，得到白球”为事件B，则P(B)= 。 （3）记“从两个坛子里分别摸出一个球，都是白球”为事件D，则事件D是？事件．P(D)= 事件D与事件A,事件B的关系是什么？ P(D)与P(A)，P(B)有什么关系？ 练一练： 1.篮球比赛中，“罚球二次”中事件A：第一次罚球，球进了；事件B：第二次罚球，球进了。判断A与B是否相互独立？ 2. 一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜色情况，记“第一个取出的是白球”为事件A，“第二个取出的是白球”为事件B，试问A与B是不是相互独立事件？ 例1．甲、乙2人各进行一次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，且相互之间没有影响，计算： (1)2人都击中目标的概率；(2) 恰有1人击击中目标的概率；(3)至少有1个击中目标的概率。 变式1：甲、乙、丙三人各射击一次，如果每人击中目标的概率都是0.6，求至多有2人击中目标的概率。 互斥事件，相互独立事件的概率复习讲义 一．复习目标：理解互斥事件，相互独立事件的概念，能求互斥事件有一个发生的概率、 相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验的概率． 二．知识结构： 1．事件的和： 设,A B 是两个事件，那么A B +表示这样一个事件：在同一试验下，A 或B 中至少有一个发生就表示它发生.它可以进一步推广，12n A A A +++表示这样一个事件，在同一试验中，12,,,n A A A 中至少有一个发生就表示它发生. 2．互斥事件与彼此互斥： 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件. 一般地，如果事件12,,,n A A A 中任何两个都是互斥事件，那么说事件12,,,n A A A 彼此互斥. 3．互斥事件有一个发生的概率： 如果事件,A B 互斥，那么事件A B +发生的概率，等于事件,A B 分别发生的概率的和 即 ()()()P A B P A P B +=+ . 如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么事件12n A A A +++发生的概率，等于这n 个事 件分别发生的概率的和.即 122()()()()n n P A A A P A P A P A +++=+++. 对立事件,A A 的和事件A A +是必然事件.即 ()()()1P A P A P A A +=+=. 4．相互独立事件 事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件. 设,A B 是两个事件，那么A B ?表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生. 5．相互独立事件发生的概率 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. ()()()P A B P A P B ?=?. 公式进一步推广：即122()()()()n n P A A A P A P A P A ?? ?=. 即：如果事件12,, ,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件 发生的概率的积. 案例4 对互斥事件的教学设计 [设计者] 房之华（江苏省苏州大学附属中学） 设计符合现代教育理念和新课程标准的教学方案，是当前教育探讨的热门话题，而概率又是新增加的高中数学内容，具有一定的难度，学生在学习中会产生许多困惑，为了让学生能正确地理解并掌握，精心地设计教学方案显得格外重要.笔者就概率中较难学习的一节内容“互斥事件有一个发生的概率”给出教学方案的一个设计，供大家参考. [课题] 互斥事件有一个发生的概率 [教学目标] 通过探究式教学，使学生能正确地理解并掌握“互斥事件”、“彼此互斥”和“对立事件”等概念，理解并掌握当AB互斥时“事件A+B”的含义及其概率的求法，了解对立事件的概率的和为1的结论，会应用所学知识解决实际问题. 通过探究式教学，引导学生学会学习“互斥事件有一个发生的概率”，学会如何观察、推理和评价，潜移默化地激发学生的情感，使学生形成一种积极的态度和正确的人生价值观. 通过探究式教学，让学生养成手、口、眼、耳、脑五官并用的良好习惯，强化动作技能的熟练. （点评：教学目标是对教学行动结果的预期.教学目标一般涉及三大领域：认知领域、情感领域和动作领域，认知领域的目标是现代学校教育最重要的领域，根据教学目标是重视学生的学习结果还是过程，教学目标又可分为行为目标和过程目标，我们在确定教学目标时应全方位地加以考虑.）[教学重点] 互斥事件的概念及其概率的求法 [教学难点] 对立事件与互斥事件的关系，事件A+B的概率的计算方法. [教学模式] 以探究为主导策略的教学模式，“帮助学生发展理智素养和理智技能”. （点评：在探究模式中，大部分时间由教师控制，但仍需要学生积极参与活动，教师的主要任务是为学生的探究活动去精心地创设问题情境，并对学生的探究结果给出客观性的评价） [教学程序] 1、创设情境，让学生的思维“动”起来 [问题1] 在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球.若从盒中摸出1个红球记为事件A，从盒中摸出1个绿球记为事件B，从盒中摸出1个黄球记为事件C，则事件A、B、C之间存在怎样的关系（如图1）？ 互斥事件，相互独立事件的概率 复习资料 一．复习目标：理解互斥事件，相互独立事件的概念，能求互斥事件有一个发生的概率、 相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验的概率． 二．知识结构： 1．事件的和： 设,A B 是两个事件，那么A B +表示这样一个事件：在同一试验下，A 或B 中至少有一个 发生就表示它发生.它可以进一步推广，12n A A A +++表示这样一个事件，在同一试验中， 12,,,n A A A 中至少有一个发生就表示它发生. 2．互斥事件与彼此互斥： 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件. 一般地，如果事件12,,,n A A A 中任何两个都是互斥事件，那么说事件12,,,n A A A 彼此互斥. 3．互斥事件有一个发生的概率： 如果事件,A B 互斥，那么事件A B +发生的概率，等于事件,A B 分别发生的概率的和 即 ()()()P A B P A P B +=+ . 如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么事件12n A A A +++发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和.即 122()()()()n n P A A A P A P A P A ++ +=+++. 对立事件,A A 的和事件A A +是必然事件.即 ()()()1P A P A P A A +=+=. 4．相互独立事件 事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立 事件. 设,A B 是两个事件，那么A B ?表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生. 5．相互独立事件发生的概率 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. ()()()P A B P A P B ?=?. 公式进一步推广：即122()()()()n n P A A A P A P A P A ?? ?=. 即：如果事件12,,,n A A A 相互独立， 那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. 说明：①事件A 与B (不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算： ()()()()P A B P A P B P A B +=+-?. ②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时 发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率 没有影响. 6．独立重复试验. 独立重复试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某种事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的. 一般地，如果在一次试验中某件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概 率为()(1)k k n k n n P k C P P -=-，()(1) k k n k n n P k C P P -=-可以看成二项式 [(1)]n P P -+的展开式中的第1k +项. 三．基础训练： 1．下列正确的说法是 （ ） ()A 互斥事件是独立事件； ()B 独立事件是互斥事件； ()C 两个非不可能事件不能同时互斥与独立； ()D 若事件A 与B 互斥，则A 与B 独立. 2．10张奖券中含有3张中奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率是（ ） 互斥事件和独立事件的概率及条件概率 【知识要点】 1．一般地，设A、B为两个事件，若A、B不可能同时发生，则A、B 为．P(A∪B)＝P(A)+P(B)． 2．一般地，设A、B为两个事件，且P(B|A)＝= 条件概率具有以下性质：(1) ； (2)如果事件B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝. 3．互相独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的没有影响，即P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，这样的两个事件叫做相互独立事件．4．如果两个事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都是事件． 5．设事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为. 6．两个相互独立事件A、B同时发生的概率为P(A·B)＝． 【基础检测】 1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A．恰有1个白球与恰有2个白球B．至少有1个白球与都是白球C．至少有1个白球与至少有1个红球D．至少有1个白球与都是红球2．同时掷3枚均匀硬币，至少有2枚正面向上的概率为( ) A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.375 3．甲、乙两位同学独立地解决一道数学试题，他们答对的概率分别是0.8和0.9，则甲、乙都答对的概率为. 4．袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回的每次抽取一个球，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为. 5．一位学生每天骑车上学，从他家到学校共有5个交通岗．假设他在每个交通 岗遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率为1 3，则他在上学途中恰好遇 到3次红灯的概率为，他在上学途中至多遇到4次红灯的概率为. 互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： ? 本周课题:互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验 本周重点： 1、互斥事件、对立事件的概率的求法? 2、相互独立事件同时发生的概率乘法公式． 3、正向思考：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解,转化为简单的互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件.? 4、n次独立重复试验中某事件恰好发生n次的概率计算公式.??本周难点：?1、互斥事件、对立事件的概念 ２、事件的相互独立性的判定,独立重复试验的判定?３、事件的概率的综合应用． (1）A＋B表示这样一个事件：在同一试?本周内容：?1、事件的和、事件的积的意义? 验下,Ａ或Ｂ中至少有一个发生就表示它发生．?事件“A1＋A2+…+A n”表示这样一个事件:在同一试验中,A1，A2,…,Aｎ中至少有一个发生即表示它发生. (2)A·Ｂ表示这样一个事件:事件A与事件Ｂ中都发生了就表示它发生．?事件“A １·A2·…·A n”表示这样一个事件:Ａ1，Ａ２，…,Aｎ中每一个都发生即表示它发生. ?2、互斥事件?(1)不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．?一般地:如果事件A１， A2，…,A n中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1,A2，…，Aｎ,彼此互斥．??(2)一般地:如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，Ｂ分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P（Ｂ)?（说明：如果事件A,B不互斥,则P(A+B)＝P(A）＋Ｐ（Ｂ)-P（Ａ·Ｂ))??如果事件A1，A２，…，Aｎ彼此互斥，那么事件A1＋A2+…+A n发生（即A1，Ａ２,…，A n中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和,即P(A1+A2+…＋Ａｎ)=P（Ａ1)+P(A2)＋…+P(Ａｎ) 3、对立事件?(1)必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记作 ??(２)? (３)对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：?第一：互斥事件研究的是两个事件之间的关系；?第二：所研究的两个事件是在一次试验中涉及的； 第三:两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的． 从集合角度来看,Ａ、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集．? 对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集 合A的对立事件记作,从集合的角度来看,事件所含结果的集合正是全集Ｕ中由事件A所含结果组成集合的补集，即?.对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件. (4)分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.??４、相互独立事件 (1)事件A（或B)是否发生对事件Ｂ（或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件??（2）两个相互独立事件Ａ、B同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.?即:P(A·Ｂ)=P(A）·P(B) 互斥事件和独立事件 互斥事件和独立事件是高中数学概率中的两个重要概念,学生在学习这两个概念时,常常会混淆两着关系而导致判断错误和计算错误，怎样才能有效消除混淆，更好地区别这两个概念，本文结合实例，来阐述这两个概念的关系. 问题 抛掷一颗骰子，记A 为事件“落地向上的数为奇数”，B 为事件“落地向上的数为偶数”，C 为事件“落地向上的数为3的倍数”，D 为事件“落地向上的数为大于3的数”，E 为事件“落地向上的数为7”。判断下列每对事件是否互斥事件？是否对立事件？是否相互独立事件？ （1）A 与B ，（2）A 与C ，（3）B 与C ，（4）A 与D ，（5）A 与.E 分析解答 }.7{},6,5,4{},6,3{},6,4,2{},5,3,1{=====E D C B A ,0)(,2 1)(,31)(,21)(,21)(===== E P D P C P B P A P .0)(,61)(,61)(,61)(,0)(=====AE P AD P BC P AC P AB P 得结论如下 归纳方法 1 对于事件,,B A 若B A ,所含结果组成的集合彼此互不相交，则B A ,为互斥事件，其意义为事件A 与B 不可能同时发生. 思考 （1）若B A ,为互斥事件，问A 发生对事件B 发生的概率有影响吗？ （2）若)()()(B P A P B A P +=+，问B A ,为互斥事件吗？ （3）若,0)(=AB P 问B A ,为互斥事件吗？ 2对于事件,,B A 若),()()(B P A P AB P =则B A ,为相互独立事件，其意义为事件(A 或B ）发生件B （或)A 发生的概率没有影响，从集合角度看，若.0)(,0)(≠≠B P A P 则事件B A ,所包含的结果一定相交. 3 若B A ,为相互独立事件，则A 与B ，A 与,B A 与B 均为相互独立事件，事件B A B A B A ???,,为互斥事件. 揭示关系互斥事件有一个发生的概率相互独立事件同时发生的概率独立重复试验
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