2015年高考综合练习数学(理科)试卷
(时间:120分钟;满分:150分)
注意事项:
1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名;
2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置.)
1.已知全集U =R ,集合2{0}M x x x =->,则=M C U ( ) A .{|01}x x << B .{|01}x x ≤≤
C .{|01}x x x <>或
D .{|01}x x x ≤≥或
2.如图,在复平面内,若复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ,则复数12
z z +所对应的点位于( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
3.若一个几何体的三视图,其正视图和侧视图均为矩形、俯视图为正三角形,尺寸如图所示,则该几何体的体积为( )
A.23
3 B .332
C .3
D .23
4.下列命题正确的个数有( )
(1)命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件
(2)命题“R x ∈?,使得210x x ++<”的否定是:“对x R ?∈, 均有
210x x ++>”
(3)经过两个不同的点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线都可以用方程
121()()y y x x --=
12()(x x y -1)y -来表示
(4)在数列{}n a 中, 11=a ,n S 是其前n 项和,且满足22
1
1+=+n n S S ,则{}n a 是等比数列
(5)若函数223-)(a bx ax x x f ++=在1=x 处有极值10,则
114==b a ,
y
x
B A
O
第2题图 第3题图
D 1
C 1B 1
A 1
C A
B
P
D
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
5.如图,执行程序框图后,输出的结果为( ) A .8 B .10 C .12 D .32
6.在锐角三角形ABC 中,已知A>B>C,则cos B 的取值范围为( )
A. ???? ??22,0
B. ???????22,21
C. ()1,0
D. ???
? ??1,22 7.已知0AB BC ?=,1AB =,2BC =,0AD DC ?=,则BD 的最大值为( )
A.
2
55
B. 2
C. 5
D. 25 8.若从区间(0,)e 内随机取两个数,则这两个数之积不小于...e 的概率为
( ) A .1
1e - B. 21e - C.
1
e
D. 2e
9.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,若平面11A BCD 上 一动点P 到1AB 和BC 的距离相等,则点P 的轨迹为( ) A .椭圆的一部分 B .圆的一部分
C .一条线段
D .抛物线的一部分
10.已知双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点分别为1F 、2F ,过1F 作圆222
x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ,且2||||BC CF =,则双曲线的渐近线
方程为( )
A..3y x =± B .22y x =± C .(31)y x =±+ D .(31)y x =±-
11.已知定义在R 上的函数()f x 满足:⑴()(2)0f x f x +-=,⑵
(2)()f x f x -=-,
(3)在[1,1]-上表达式为21[1,0]()cos()(0,1]2
x x f x x x π
?- ∈-?
=? ∈??,则函数()f x 与函数20
()10
x x g x x x ≤? =?
- >? 的图像在区间[3,3]-上的交点个数为( ) A .5 B .6 C .7 D .8
12.定义空间两个向量的一种运算sin ,?=?<>a b a b a b ,则关于空间向量上述运算的以下结论中:
①?=?a b b a ; ②()()λλ?=?a b a b ; ③()()()+?=?+?a b c a c b c ;
④若1122(,),(,)x y x y ==a b ,则1221x y x y ?=-a b 。其中恒成立的有( ) A .①④ B.①③ C.②③ D.②④
第Ⅱ卷
第9题图
第5题图
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22-第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。
13.已知多项式10102210102)1()1()1(++???+++++=+x a x a x a a x x 则=9a _______
14.已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示, 则
(3)
(1)
f f '-=' .
15.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++,(x R ∈),则函数()f x 的单调增区间为
16. 定义函数I x x f y ∈=),(,若存在常数M ,对于任意I x ∈1,存在唯一的
I x ∈2,使得
M x f x f =+2
)
()(21,则称函数)(x f 在I 上的“均值”为M ,已知
]2,1[,log )(20142∈=x x x f ,则函数x x f 2log )(=在]2,1[2014上的“均值”为______. 三、解答题:本大题共共70分.解答写在答题卡相应位置,应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知等差数列{}n a 满足:*1(N )n n a a n +>∈,11a =,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,22log 1n n a b +=-. (Ⅰ)分别求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求证:数列{}n n b a ?的前n 项和n T 3<. 18.(本小题满分12分)
西安市某中学在每年的11月份都会举行“文化艺术节”,开幕式当天组织举行大型的文艺表演,同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示.其中有
4
3
的社长是高中学生,41的社长是初中学生,高中社长中有31
是高一学生,初中社长中有
3
2是初二学生.
(Ⅰ)若校园电视台记者随机采访3位社长,求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率;
第14题图
x
y
C B
N M T
O
A
(Ⅱ)若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长,设初二学生人数为X ,求X 的分布列及数学期望EX .
19.(本小题满分12分)
如图,三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,90BAC ∠=?,2,6AB AC ==, 点D 在线段1BB 上,且11
3
BD BB =,1
1AC AC E =.
(Ⅰ)求证:直线DE 与平面ABC 不平行;
(Ⅱ)设平面1ADC 与平面ABC 所成的锐二面角为θ,若7
cos 7
θ=,求1AA 的
长;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设平面1ADC 平面ABC l =,求直线l 与DE 所成的角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
如图,圆C 与y 轴相切于点()0,2T ,与x 轴正半轴相交于两点,M N (点M 在点N 的左侧)
,且3MN =.
(Ⅰ)求圆C 的方程;
(Ⅱ)过点M 任作一条直线与椭圆22
:148
x y Γ+=相交于两点
A B 、,连接AN BN 、,求证:ANM BNM ∠=∠.
21.(本小题满分12分) 已知函数x e x f =)(
(Ⅰ)当a ex x f +≥)(对任意的实数x 恒成立,求a 的取值范围; (Ⅱ)若??
?
???+++<--∈<)2(2)()(21)()(求证:
,,,b a f b f a f a b a f b f R b a b a .
请考生从22、23、24题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分. 22.(本题满分10分) 选修4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标平面内,以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
已知点A 、B 的极坐标分别为(1,)3π、2(3,)3π,
曲线C 的参数方程为cos ,(sin x r y r ααα=??=?为参数).
第19题图
第20题图
(Ⅰ)求直线AB 的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线AB 和曲线C 只有一个交点,求r 的值. 23.(本题满分10分) 选修4—5:不等式选讲
已知关于x 的不等式21x x m -++<对于任意的[1,2]x ∈-恒成立 (Ⅰ)求m 的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下求函数()2
1
(2)f m m m =+
-的最小值.
24.(本题满分10分) 选修4—1:几何问题选讲
如图,已知AB 是⊙O 的直径,弦CD 与AB 垂直,垂足为M ,E
是CD 延长线上的一点,且AB=10,CD=8,3DE=4OM ,过F 点作⊙O 的切线EF ,BF 交CD 于G (Ⅰ)求EG 的长;
(Ⅱ)连接FD,判断FD 与AB 是否平行,为什么?
第24题图
2015年高考综合练习数学(理科)
理数学试题参考答案及评分参考
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.B
2.A
3. D
4. B
5.B ;
6.A
7. C
8. B
9.D. 10. C ;11. B. 12.A
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
13. -10 14. 5- 15. 3[,]()88k k k Z ππ
ππ-
+∈
16.1007 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)设d 为等差数列{}n a 的公差,且0d >
由,21,1,1321d a d a a +=+==分别加上1,1,3成等比数列, 得),24(2)2(2d d +=+
0d >,所以2=d ,所以122)1(1-=?-+=n n a n , 又因为212log n n a b =--,
所以n b n -=2log 即n n b 2
1
= .…………… .............................6分
(Ⅱ),21225232132n
n n T -++++= ① .21
2252321211432+-++++=n n n T ② ①—②,得 )2
12121(212132n n T ++++= .21
21+--n n ……………. ..................10分
1
21121121232133 3.1222212
n n n n n n n n n T -----+∴=+-=--=-<-……….. ..............12分
18.(本小题满分12分) 【解析】(Ⅰ)由题意得,高中学生社长有27人,其中高一学生9人;初中学
生社长有9人,其中初二学生社长6人。
事件A 为“采访3人中,恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生”。
1190297
)(3
36
2
9193361181919=+=C C C C C C C A P ……………………........ 6分
(Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2,3
841)0(3933===C C X P , 143
)1(3
9
2
316===C C C X P https://www.doczj.com/doc/3a12226858.html, 2815
)2(3
9
1
326===C C C X P , 215)3(==X P ,https://www.doczj.com/doc/3a12226858.html, 所以X 的分布列为
2
5214318410?+?+?
=EX …………
…………12分
19.(本小题满分12分)
【解析】依题意,可建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,设1AA h =,则
()()()()112,0,0,0,6,0,2,0,,0,0,,0,6,,0,3,32h h B C D A h C h E ???
? ? ????
?........................2分
(Ⅰ)证明:由1AA ⊥平面ABC 可知()10,0,1n =为平面ABC 的一个法向量.
∴ ()12,3,0,0,1066
h h
DE n ???=-?=≠ ??
?
. ·
··················· 3分 ∴ 直线DE 与平面ABC 不平行. ················· 4分 (Ⅱ)设平面1ADC 的法向量为()2,,n x y z =,则
()()()22
1,,2,0,2033,,0,6,60
h h n AD x y z x z n AC x y z h y hz ????=?=+= ?????
??=?=+=?, ··········· 5分 取6z =-,则x y h ==,故()2,,6n h h =-. ········ 6分 ∴12
1221267
cos cos ,71236
n n n n n n h θ?=<>==?+=, ····································· 7分 解得63h =.
∴ 163AA =. ···························································································· 8分 (Ⅲ)在平面11BCC B 内,分别延长1CB C D 、,交于点F ,连结AF ,则直线AF 为平面1ADC 与平面ABC 的交线.······································································· 9分
∵ 1//BD CC ,111
1==33
BD BB CC , ∴
11
3
BF BD FC CC ==. X
1
2
3
P
1
84
314
1528
521
第19题图
∴ 1
2
BF CB =,
∴ ()()()112,0,02,6,03,3,022
AF AB BF AB CB =+=+=+-=-.·················· 10分
由(Ⅱ)知,63h =,故()2,3,2,3,36h DE ??=-=- ??
?
,
∴ 155
cos ,28
324
AF DE AF DE AF DE
?-<>=
=
=-
?. ·
······································· 11分 ∴ 直线l 与DE 所成的角的余弦值为55
2288
-
=. ·
·························· 12分 20.(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)设圆C 的半径为r (0r >),依题意,圆心坐标为(,2)r .… · 1分
∵ 3MN =
∴ 2
2
2322r ??=+ ???
,解得2
254r =
. ······························································· 3分 ∴ 圆C 的方程为()2
2525224x y ?
?-+-= ???. ················································· 5分
(Ⅱ)把0y =代入方程()2
2525224x y ?
?-+-= ??
?,解得1x =,或4x =,
即点()1,0M ,()4,0N . ················································································ 6分 (1)当AB x ⊥轴时,由椭圆对称性可知ANM BNM ∠=∠. ···················· 7分 (2)当AB 与x 轴不垂直时,可设直线AB 的方程为()1y k x =-. 联立方程()
22
128y k x x y ?=-?
+=?
,消去y 得,()
22222280k x k x k +-+-=. ·············· 8分 设直线AB 交椭圆Γ于()()1122,,A x y B x y 、两点,则
2122
22k x x k +=+,212282
k x x k -?=+. ··································································· 9分 ∵ ()()11222,2y k x y k x =-=-, ∴ ()()1212
1212114444
AN BN k x k x y y k k x x x x --+=
+=+---- ()()()()
()()
122112141444k x x k x x x x --+--=
--. ···························································· 10分
∵()()()()()()
22
122112122
2281014142588022
k k x x x x x x x x k k ---+--=-++=-+=++, ······················································································································· 11分 ∴ 0AN BN k k +=,ANM BNM ∠=∠.
综上所述,ANM BNM ∠=∠. ···································································· 12分
21.(本小题满分12分) 【解析】解:(Ⅰ)设g(x)=f(x)-ex-a ,则
)上递增;
,在(∞+<>?>-=1)(,10)(;10)(,)(g ''|x g x x g x x g e e x x