数学评分标准与参考答案（理科）
一、选择题：DBADC CABBC AD
二、填空题：13. y=x －1；
km ；15. 14,75???
???； 16. 16140 三、解答题：
17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知2310a a +=，即12+310a d =，
由12a = ，解得2d =.
所以22(1)2n a n n =+-=，即2n a n = ,n *∈N . ……………3分
设满足条件的连续三项的中间项为m
a ， 由题意得354m a =，所以18m a =
故所求的中间项对应的项数为9……………………………………5分
（2）由（1）可得2(22)2
n n n S n n +==+，所以2k S k k =+. 又3236a =?=，12(1)k a k +=+，
由已知可得213k k a a S +=，即22(22)6()k k k +=+，………………8分
整理得 220k k --=，*k ∈N .解得1k =-（舍去）或2k =.
此时31,,k k a a S +为6,6,6，故公比q=1……………………………10分
18. 解：（1
）∵1(),(sin ,cos ),()22
a b x x f x a b ππ===?
∴1π()πcos πsin(π)26f x x x x =
+=+， ………2分 所以，其周期为2=2ππ ………4分
sin y x =图象上的 sin y x π=的图象--------------------------------------------------------5分 再把sin y x π=的图象 向左平移16
个单位 所有点的横坐标缩小为原来1/π倍
纵坐标不变
sin()6y x π
π=+的图象----------------------------------------------6分
另解: sin y x = sin 6
y x π=+（）的图象---------------------------------------------------5分 再把sin 6
y x π=+（）的图象 sin()6y x π
π=+的图象--------------------------------------------------6分
（2）令π()sin(π)06f x x =+
=得πππ,6x k k +=∈Z ．
∵[1,1]x ∈-，∴16x =-或56x =，∴不妨记15(,0),(,0).66M N - ……8分 由πsin(π)16x +=，且[1,1]x ∈-得13x =，∴ 1(,1),3P ………………10分 ∴11(,1),(,1),22PM PN =--=- 所以PM ·PN 13=-+1=44………………………………………………12分 19. 解：（1）由已知得112n n n S a a +=， 于是由1n =得，11221, 2.2a a a a =∴= ……..…….1分 2n ≥时，1111122n n n n n n S S a a a a -+--=-111(),2
n n n n a a a a +-∴=- 110,2(2).n n n a a a n +-≠∴-=≥ ……………………3分
111111232212111()()2(2).
2()
2()
2()
211
1
n n n n n n n n n n n n n n a a a a n a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-----∴-+-=≥-=---=---=---=-=∴-=法： 即 …… 又
故.n a n = ……………………………………………….6分
法2：211(1)21(1)221n a a n n n -=+-?=+-?=-
22(1)22(1)22n a a n n n =+-?=+-?= 图象向左平移6
π个单位 所有点的横坐标缩小为原来1/π倍 纵坐标不变
即.n a n =………………………………….6分
212121232132,
2,
2
2n n n n n a a a a a a a n +---+=+=+=+∴=+３１法： ……
１
同理，222n a n +=+2
故.n a n = ……………………………………………….6分 （2）∵12n n n
a a a ++2(1)(2)32n n n n n n ++++=
=233n n =++>+ …8分 1,2n ∴=， 236n n
++=…………………………………………9分 2336n n n
≥++>时， 1,2n ∴=时，12n n n
a a a ++的最小值为6………………………………………….12分 20. 解：（1）∵0=?AC AD ∴AD ⊥AC …………… 2分
∵AD=AC ∴∠ADC=45o…………………………… 3分
所以∠ABD=15o，在ABD ?中sin135sin15sin(4530)
AB AD AD ==???-? 得
AB=3+ 6分
（2）∵AEF ADF AED S S S ???=+……………8分
所以sin30sin120AE AD AD AF AE AF += …………… 10分
两边同时除以AE ·AD ·AF 得AD
AF AE ?=+120sin 21
1=21…………… 12分 另法：设α=∠AEF
sin sin AD AE ADE α==∠在△AFD A
sin(60)sin(30)
AD AF αα=-+ …………………… 10分 所以)30sin(2)60sin()30sin(sin 21
1
αααα+?-?++??=+AD AD AF AE =2
1……… 12分 21. 解：法1：（1）如图，设∠AON=θ，则BM ＝AOsin θ＝80sin θ，
AB ＝MO ＋AOcos θ＝80＋80cos θ，θ∈(0，π)．……3分
则S ＝12MB·AB＝12
×80sin θ×(80＋80cos θ) =3200sin θ(1+cos θ)，θ∈(0，π)．……6分
（2）结合（1），S′＝3200(2cos 2θ＋cos θ－1)
＝3200(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S′＝0，
得cos θ＝12
或cos θ＝－1(舍去)， 此时θ＝π3
. …………9分 当θ变化时，S′，S 的变化情况如下表：
所以，当θ＝3
时，S 取得最大值S max ＝24003m 2. …………… 12分
法2：（1）如图，设∠AMN=θ，则∠AON=2θ，
则BM ＝Aosin2θ＝80sin2θ，
AB ＝MO ＋Aocos2θ＝80＋80cos2θ，θ∈(0，π/2)．……3分
所以S ＝12MB·AB＝12
×80sin2θ×(80＋80cos2θ) =3200sin2θ(1+cos2θ) …………6分（至此也给6分））
=12800 sin θcos 3
θ，θ∈(0，π/2) …………6分
（2）结合（1），对S=3200sin2θ(1+cos2θ)求导得
S′＝6400(2cos 22θ＋cos2θ－1)
＝6400(2cos2θ－1)(cos2θ＋1)．令S′＝0， A N
O l B M
得cos2θ＝12或cos2θ＝－1(舍去)，此时θ＝6
π. …………9分 【另：结合（1），由S ＝12800 sin θcos 3θ得
S′＝12800（422cos 3sin cos θθθ-）=12800222cos (cos 3sin )θθθ-
由S′＝0得22cos 3sin 0θθ-=，即tan 3θ=
所以θ＝6π ……9分】 当θ变化时，S′，S 的变化情况如下表：
所以，当θ＝6
时，S 取得最大值S max ＝24003m 2. …………… 12分 22. 解：（1）x x x x F x x x x F -=-=
≥+-=111)('),4(2ln )(…………1分 当4≥x 时，01)('<-=
x x x F ．)(.x F ∴在),4[+∞上单调递减， ∴ max ()(4)ln 422ln 22F x F ==-=-．………………………3分
（2）函数H(x)= 2()ln[()]f x g x -在]1,21
[上有零点
323x x a -=
?在]1,2
1[∈x 上有解且()0g x >．………………………… 4分 令]1,21[,23)(3∈-=x x x x h ，因为2231()33()22h x x x '=-=-，
令0)('>x h ，所以12323)(x x x h -=∴在]22,21[∈x 上单调递增，]1,22[∈x
上单调递减，又)21
()1(h h <，(1)()h h x h ∴≤≤， 即22)(21≤≤x h ，故]2
2,21[∈a ．由()0g x >得34a < 综上可得]2
2,21
[∈a ………………………… 7分 （3）证明：因为max ()ln 422(ln 21)0F x =-=-<，
所以由（1）知，4x ≥时， 2ln - 设()2(21)(1)()p k f k f k f k =+-+-， 则2441()ln[](1) k k p k k k ++=+ 4)1(1442>+++k k k k 所以22441441111()ln[]222(1)(1)(1)1 k k k k p k k k k k k k k k ++++=<-=+=+-++++ 所以2017 2017111[2(21)(1)()][()]22017120171 k k f k f k f k p k ==+-+-= 2 441(21)()ln[]ln ln 421(1)()2 k k k p k k k k +++=>=++ 所以2017 2017 11[2(21)(1)()][()]2017ln 44034ln 2k k f k f k f k p k ==+-+-=>=∑∑ 故结论成立………………………………………………………… 12分 数学评分标准与参考答案（文科） 一、选择题：DBADC CABBC AD 二、填空题：13. y=x －1； ； 15. 14,75??? ???； 16. 11 三、解答题： 17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知2310a a +=，即12+310a d =， 由12a = ，解得2d =. 所以22(1)2n a n n =+-=，即2n a n = ,n *∈N . ……………3分 设满足条件的连续三项的中间项为m a 由题意得354m a =，所以18m a = 故所求的中间项对应的项数为9……………………………………5分 （2）由（1）可得2(22)2 n n n S n n +==+，所以2k S k k =+. 又3236a =?=，12(1)k a k +=+， 由已知可得213k k a a S +=，即22(22)6()k k k +=+，………………8分 整理得 220k k --=，*k ∈N .解得1k =-（舍去）或2k =. 此时31,,k k a a S +为6,6,6，故公比q=1……………………………10分 18.解：（1 ）∵1),(sin ,cos ),()2 a b x x f x a b ππ===? ∴1π()πcos πsin(π)26f x x x x = +=+， ………2分 所以，其周期为2=2ππ ………4分 πππ2π- +2π+()262212-2+()33k x k k k x k k π≤≤∈∴≤≤∈Z Z Q 所以所求的单调递增区间为21[2- ,2+]()33k k k ∈Z ----------------------6分 （2）令π()sin(π)06f x x =+=得πππ,6 x k k +=∈Z ． ∵[1,1]x ∈-，∴16x =-或56x =，∴不妨记15(,0),(,0).66M N - ……8分 由πsin(π)16x +=，且[1,1]x ∈-得13x =，∴ 1(,1),3P ………………10分 ∴11(,1),(,1),22PM PN =--=- 所以PM ·PN 13=-+1=44………………………………………………12分 19. 解：（1）∵0=?AC AD ∴AD ⊥AC …………… 2分 ∵AD=AC ∴∠ADC=45o…………………………… 3分 所以∠ABD=15o，在ABD ? 得AB=3+（2）∵AB=3+BE=3在△AED 中，由余弦定理得 A 2222cos303632621 2 DE AE AD AE AD =+-?=+-??= ………11分所以 12分 20. 解：（1）由已知得 1 1 2 n n n S a a + =， 于是由1 n=得， 1122 1 , 2. 2 a a a a =∴=……..…….1分 2 n≥时， 111 11 22 n n n n n n S S a a a a -+- -=- 11 1 (), 2 n n n n a a a a +- ∴=- 11 0,2(2). n n n a a a n +- ≠∴-=≥ ……………………3分 11 11 112 3221 21 1 1()()2(2). 2() 2() 2() 211 1 n n n n n n n n n n n n n n a a a a n a a a a a a a a a a a a a a a a +- +- --- - ∴-+-=≥ -=-- -=-- -=-- -=-= ∴-= 法： 即 …… 又 故. n a n =……………………………………………….6分 法2： 211 (1)21(1)221 n a a n n n - =+-?=+-?=- 22 (1)22(1)22 n a a n n n =+-?=+-?= 即. n a n =………………………………….6分 2121 2123 21 32, 2, 2 2 n n n n n a a a a a a a n +- -- + =+ =+ =+ ∴=+ ３１ 法： …… １ 同理， 22 2 n a n + =+2 故. n a n =……………………………………………….6分 （2）∵12 n n n a a a ++ 2 (1)(2)32 n n n n n n ++++ = = 2 33 n n =++>+…8分 1,2n ∴=， 236n n ++=…………………………………………9分 2336n n n ≥++>时， 1,2n ∴=时，12n n n a a a ++的最小值为6………………………………………….12分 21. 解：法1：（1）如图，设∠AON=θ，则BM ＝AOsin θ＝80sin θ， AB ＝MO ＋AOcos θ＝80＋80cos θ，θ∈(0，π)．……3分 则S ＝12MB·AB＝12 ×80sin θ×(80＋80cos θ) =3200sin θ(1+cos θ)，θ∈(0，π)．……6分 （2）结合（1），S′＝3200(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝3200(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S′＝0， 得cos θ＝12 或cos θ＝－1(舍去)， 此时θ＝π3 . …………9分 当θ变化时，S′，S 的变化情况如下表： 所以，当θ＝3 时，S 取得最大值S max ＝24003m 2. …………… 12分 法2：（1）如图，设∠AMN=θ，则∠AON=2θ， 则BM ＝Aosin2θ＝80sin2θ， AB ＝MO ＋Aocos2θ＝80＋80cos2θ，θ∈(0，π/2)．……3分 所以S ＝12MB·AB＝12 ×80sin2θ×(80＋80cos2θ) =3200sin2θ(1+cos2θ) …………6分（至此也给6分） =12800 sin θcos 3 θ，θ∈(0，π/2) …………6分 （2）结合（1），对S=3200sin2θ(1+cos2θ)求导得 S′＝6400(2cos 22θ＋cos2θ－1) ＝6400(2cos2θ－1)(cos2θ＋1)．令S′＝0， A N O l B M 得cos2θ＝12 或cos2θ＝－1(舍去)， 此时θ＝6 π. …………9分 【另：结合（1），由S ＝12800 sin θcos 3θ求导得 S′＝12800（422cos 3sin cos θθθ-）=12800222cos (cos 3sin )θθθ- 由S′＝0得22cos 3sin 0θθ-=，即tan θ= 所以θ＝6 π， …………9分】 当θ变化时，S′，S 的变化情况如下表： 所以，当θ＝6 时，S 取得最大值S max ＝24003m 2. …………… 12分 22.解：（1）13()()2x f x x ?=+ -，所以221.11)('x x x x x -=-+=?，…………1分 ∴ 当4≥x 时，()0x ?'>，)(x ?∴单调递增， 所以4 54ln 23414ln )4()(-=-+ =≥??x ． )(x ?∴的最小值为4 54ln -．………………………… 3分 （2）函数H(x)=2()ln[()]f x g x -在]1,2 1[上有零点 323x x a -=?在]1,2 1[∈x 上有解且()0g x >．………………………… 4分 令]1,21[,23)(3∈-=x x x x h ，因为2231()33()22h x x x '=-=-， 令0)('>x h ，所以12323)(x x x h -=∴在]22,21[∈x 上单调递增，]1,22[∈x 上单调递减，又)21 ()1(h h <，(1)()h h x h ∴≤≤， 即22)(21≤≤x h ，故]2 2,21[∈a ．由()0g x >得34a < 综上可得]2 2,21 [∈a ………………………… 7分 （3）设()2(21)(1)()p k f k f k f k =+-+-，则2441()ln[](1) k k p k k k ++=+ 因为24411()ln[]ln[4](1)(1) k k p k k k k k ++==+++ 又111(1)(1)2 k k k k ≤++递减，所以 即2441119()ln[]ln[4]ln[4]ln (1)(1)22 k k p k k k k k ++==+≤+=++………………9分 由（1）知，当1=a 时，)4(04 54ln )(min ≥>-=x x ?， )4(123ln ≥->∴x x x ， 4)1(1442>+++k k k k 所以224413(1)315()ln[](1)2244 441k k k k p k k k k k +++=>->->+++ 即52(21)(1)()4 f k f k f k +-+-> 故结论成立………………………………………………………… 12分 另：因为22 2 441(21)()ln[]ln ln 421(1)()2 k k k p k k k k +++=>=++ 而5 44554 54141256ln 4ln 4ln ln ln ln 0444243e e e -=-==>>， 即5ln 44 > 所以52(21)(1)()4f k f k f k +-+-> 故结论成立………………………………………………………… 12分
相关主题
文本预览