第9课时 §2.4 向量的数量积（2）
【教学目标】 一、知识与技能
（1）掌握平面向量数量积运算规律；
（2）能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
（3）掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 二、过程与方法
让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律 三、情感、态度与价值观
通过师生互动，自主探究，交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流
【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 【教学过程】 一、复习：
(1)两个非零向量夹角的概念；: (2)平面向量数量积（内积）的定义； (3)“投影”的概念； (4)向量的数量积的几何意义； (5)两个向量的数量积的性质。 二、新课讲解： 1．交换律：
证：设夹角为，则，
∴．
2． 证：若，，
， ，
若，，
，
a b b a ?=?,a b θ||||cos a b a b θ?=??||||cos b a b a θ?=??a b b a ?=?()()()a b a b a b λλλ?=?=?0λ>()||||cos a b a b λλθ?=()||||cos a b a b λλθ?=()||||cos a b a b λλθ?=0λ<()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ?=-=--=()||||cos a b a b λλθ?=
．
3．．
在平面内取一点，作, ，， ∵（即）在方向上的投影等于
在方向上的投影和，
即： ∴，
∴ 即：．
三、例题分析：
例1、已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角.
例2、 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ?=-=--=()a b c a c b c +?=?+?O OA a =AB b =OC c =a b +OB c ,a b c 12||cos ||cos ||cos a b a b θθθ+=+12||||cos ||||cos ||||cos c a b c a c b θθθ+=+()c a b c a c b ?+=?+?()a b c a c b c +?=?+?a b b a 3+b a 57-b a 4-b a
27-a
b θ θ1 θ
2
A
B
O
C
例3、已知，是两个非零向量，且=，求与的夹角
例4、四边形中， ，，，，且
，
试问四边形是什么图形?
例5、如图，是的三条高，求证：相交于一点。
例6、已知与的夹角为，且，是否存在满足条件的，使
a b ||a =||b ||b a +b b a -ABCD a AB =b BC =c CD
=d DA =a d d c c b b a
?=?=?=?ABCD ,,AD BE CF ABC ?,,AD BE CF a b ?60||||b a >a b 2||=+b a A
B
C
E
F
H
？请说明理由。
四、课时小结：1．向量数量积的概念；
2．向量数量积的几何意义； 3．向量数量积的性质；
4、平面向量数量积的运算律
五、反馈练习：
1.已知,,且与垂直，则的夹角是 ； 2．已知,,与之间的夹角为，那么向量的模为 ；
3.已知向量、的夹角为
，||=2,||=1,则|+|·|-|= 4.已知||=1,| |=, (1)若∥,求·；
(2)若、的夹角为，求|+|；
(3)若-与垂直，求与的夹角.
||-1||=a
2||=b )(b a -a b a ?2||=a 1||=b 3
πa m 4-= a b 3
π
a b a b a b 20
60
5.设、是两个单位向量，其夹角为，求向量与的夹角.
6.对于两个非零向量、，求使|+t |最小时的t 值，并求此时与+t 的夹角.
60n m +=2m n
32-=a b a b b a b