【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之141导数研究切线问题
一、选择题（共40小题；共200分）
1. 设 f? x 0 =0，则曲线 y =f x 在点 x 0,f x 0 处的切线 A. 不存在 B. 与 x 轴平行或重合 C. 与 x 轴垂直 D. 与 x 轴斜交
2. 若曲线 f x =x 4?x 在点 P 处的切线平行于直线 3x ?y =0 ，则点 P 的坐标为
A. 1,3
B. ?1,3
C. ?1,0
D. 1,0
3. 设函数 f x 存在导数且满足 lim Δx→0
f 2 ?f 2?3Δx
3Δx
=2，则曲线 y =f x 在点 2,f 2 处的切线斜
率为 A. ?1 B. ?2 C. 1 D. 2 4. 已知函数 f x =x 3+ax +1 的图象在点 1,f 1 处的切线过点 2,7 ，则 a =
A. ?1
B. 1
C. 2
D. 3
5. 设 a >0，f x =ax 2+bx +c ，曲线 y =f x 在点 P x 0,f x 0 处切处的倾斜角的取值范围为 0,π
4 ，则 P 到曲线 y =f x 对称轴距离的取值范围为
A. 0,1
a
B. 0,1
2a
C. 0, b 2a
D. 0, b?12a
6. 曲线 y =sin x +cos x 在 x =π4
处切线倾斜角的大小是
A. 0
B. π4
C. ?π
4
D. 3π
4
7. 已知直线 y =x +1 与曲线 y =ln x +a 相切，则 a 的值是
A. 1
B. 2
C. ?2
D. ?1
8. 已知双曲线
x 2a
?
y 2b =1 a >0,b >0 与函数 y = x 的图象交于点 P ，若函数 y = x 的图象在点
P 处的切线过双曲线左焦点 F ?1,0 ，则双曲线的离心率为
A.
5+1
2
B.
5+2
2
C.
3+1
2
D. 3
2
9. 曲线 y =x 3?2x +4 在点 1,3 处的切线的倾斜角为
A. π
6 B. π
4 C. π
3
D. 2π
3
10. 若直线 y =ax 是曲线 y =2ln x +1 的一条切线，则实数 a =
A. e ?1
B. 2e ?1
C. e 1
D. 2e 1
11. 函数 f x =e x ln x 在点 1,f 1 处的切线方程是
A. y =2e x ?1
B. y =e x ?1
C. y =e x ?1
D. y =x ?e
12. 已知曲线 f x =
x 2+a x +1
在点 1,f 1 处切线的斜率为 1，则实数 a 的值为
A. ?3
4
B. ?1
C. 3
2
D. 2
13. 曲线 y =e ?2x +1 在点 0,2 处的切线与直线 y =0 和 y =x 围成的三角形的面积为
14. 已知函数f x在R上满足f x=2f2?x?x2+8x?8，则曲线y=f x在点1,f1处
的切线方程是
A. y=?2x+3
B. y=x
C. y=3x?2
D. y=2x?1
15. 已知函数f x=ax3?3x2+1，若f?a，f a，f3a成公差不为0的等差数列，则过坐标
原点作曲线y=f x的切线可以作
A. 0条
B. 1条
C. 2条
D. 3条
16. 若曲线f x=x4?x在点P处的切线平行于直线3x?y=0，则点P的坐标为
A. ?1,2
B. 1,?3
C. 1,0
D. 1,5
17. 已知a>0，曲线f x=2ax2?1
ax
在点1,f1处的切线的斜率为k，则当k取最小值时a 的值为
A. 1
2B. 2
3
C. 1
D. 2
18. 已知曲线C1:y=x2与曲线C2:y=ln x x>2
2
，直线l是曲线C1和曲线C2的公切线，设直线l与曲线C1切点为P，则点P的横坐标t满足
A. 0 2e B. 1 2e 2 C. 1 2 2 D. 2 2 19. 已知曲线f x=ax+cos2x在点π 4,fπ 4 处的切线的斜率为?1，则实数a的值为 A. 0 B. ?1 C. 1 D. ?3 20. 已知曲线f x=a x （x>0，a>0）上任一点P x0,f x0，在点P处的切线与x，y轴分别交于A，B两点，若△OAB的面积为4，则实数a的值为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 21. 过函数f x=1 3 x3?x2图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为 A. 0,3π 4B. 0,π 2 ∪3π 4 ,π C. 3π 4,π D. π 2 ,3π 4 22. 已知S=x?a2+ln x?a2a∈R，则S的最小值为 A. 2 2B. 1 2 C. 2 D. 2 23. 已知函数y=x+1+ln x在点A1,2处的切线l，若l与二次函数y=ax2+a+2x+1的图 象也相切，则实数a的值为 A. 12 B. 8 C. 0 D. 4 24. 已知正数a，b满足a+b=4，则曲线f x=ln x+x b 在点 a,f a处的切线的倾斜角的取值范围为 A. π 4,+∞ B. π 4 ,5π 12 C. π 4 ,π 2 D. π 4 ,π 3 25. 已知直线ax?by?2=0与曲线y=x3在点P1,1处的切线互相垂直，则a b 为 26. 已知y=f x是0,+∞上的可导函数，满足x?12f x+xf?x>0x≠1恒成立， f1=2，若曲线f x在点1,2处的切线为y=g x，且g a=2016，则a等于 A. ?500.5 B. ?501.5 C. ?502.5 D. ?503.5 27. 曲线y=ln2x?1上的点到直线2x?y+3=0的最短距离是 A. B. 2 C. 3 D. 0 28. 已知曲线y=x4+ax2+1在点?1,a+2处切线的斜率为8，a= A. 9 B. 6 C. ?9 D. ?6 29. 曲线f x=x2+a x+1在点1,f1处的切线的倾斜角为3π 4 ，则实数a= A. 1 B. ?1 C. 7 D. ?7 30. 已知f x=x3?3x，过点A1,m m≠?2可作曲线y=f x的三条切线，则实数m的取值 范围是 A. ?1,1 B. ?2,3 C. ?1,2 D. ?3,?2 31. 曲线y=4x?x3在点?1,?3处的切线方程是 A. y=7x+4 B. y=7x+2 C. y=x?4 D. y=x?2 32. 已知两曲线y=x3+ax和y=x2+bx+c都经过点P1,2，且在点P处有公切线，则当x≥1 2 时，log b ax 2?c 2x 的最小值为 A. ?1 B. 1 C. 1 2 D. 0 33. 已知函数f x= 1+9x2,x≤0 1+x e x?1,x>0 ，点A，B是函数f x图象上不同两点，则∠AOB（O为坐 标原点）的取值范围是 A. 0,π 4B. 0,π 4 C. 0,π 3 D. 0,π 3 34. 设直线l1，l2分别是函数f x=?ln x,0 ln x,x>1,图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相 交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是 A. 0,1 B. 0,2 C. 0,+∞ D. 1,+∞ 35. 已知函数f x=kx?2,x≥0 ?ln?x,x<0的图象上有两对关于坐标原点对称的点，则实数k的取值范 围是 A. 0,1 B. 0,1 e C. 0,+∞ D. 0,e 36. 设曲线f x=?e x?x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g x= ax+2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为 A. ?1,2 B. ?1,2 C. ?2,1 D. ?2,1 37. 集合M由满足以下条件的函数f x组成：对任意x1,x2∈?1,1，都有f x1?f x2≤ 4x1?x2．对于两个函数f1x=x2?2x+5,f2x= x ,以下关系成立的是 A. f1x∈M,f2x∈M B. f1x?M,f2x?M C. f1x?M,f2x∈M D. f1x∈M,f2x?M 38. 函数y=f x图象上不同两点A x1,y1，B x2,y2处的切线的斜率分别是k A，k B，规定 φA,B= k A?k B AB 叫做曲线y=f x在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题： ①函数y=x3?x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则φA,B>3； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A、B是抛物线y=x2+1上不同的两点，则φA,B≤2； ④设曲线y=e x上不同两点A x1,y1，B x2,y2，且x1?x2=1，若t?φA,B<1恒成立， 则实数t的取值范围是?∞,1．以上正确命题的序号为 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 39. 函数f x=e x+x2+x+1与g x的图象关于直线2x?y?3=0对称，P，Q分别是函数 f x, g x图象上的动点，则PQ的最小值为 A. 5 5B. C. 25 5 D. 2 40. 已知函数f x=x?a2+ln x2?2a2，其中x>0，a∈R，存在x0，使得f x0≤4 5 成立，则实数a的值为 A. 1 5B. 2 5 C. 1 2 D. 1 二、填空题（共40小题；共200分） 41. 曲线y=4x?x3在点?1,?3处的切线方程是． 42. 若曲线y=ax2?ln x在点1,a处的切线平行于x轴，则a=． 43. 若直线y=2x+b为曲线y=e x+x的一条切线，则实数b的值是． 44. 函数f x=x e x 在点1,f1处的切线方程是． 45. 曲线y=e x在x=0处的切线方程是 . 46. 若函数f x=x?a ln x的图象在点1,1处的切线方程为y=1，则实数a=． 47. 已知曲线f x=2x2+1在点M x0,y0处的瞬时变化率为?8，则点M的坐标为． 48. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+b x a,b为常数过点P2,?5，且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是． 49. 曲线y=x3?x+3在点1,3处的切线方程为． 50. 在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y=x2x>0和y=x3x>0均相切，切点分别为 A x1,y1和 B x2,y2，则x1 x2 的值为． 51. 已知直线y=b与函数f x=2x+3和g x=ax+ln x分别交于A，B两点，若AB的最小 值为2，则a+b=． 52. 设函数f x=g x 2 +x2，曲线y=g x在点1,g1处的切线方程为9x+y?1=0，则曲线y=f x在点2,f2处的切线方程为． 53. 曲线f x=2 x +3x在点1,f1处的切线方程为． 54. 已知函数f x=e x?mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=e x垂直的切线，则实 数m的取值范围为． 55. 若直线y=kx与曲线y=x+e?x相切，则k=． 56. 曲线y=ln x+2?3x在点?1,3处的切线方程为． 57. 函数f x=x2?x,x>0 1 2 ?1 2 +x,x≤0，关于x的方程f x=kx?k至少有两个不相等的实数根，则 实数k的取值范围为． 58. 若曲线f x=x在点 a,f a处的切线与两坐标轴围成的图形的面积为1 4 ，则a的值为． 59. 曲线f x=x e x在点P1,e处的切线与坐标轴围成的三角形面积为． 60. 已知函数f x=ax ln x+b a,b∈R，若f x的图象在x=1处的切线方程为2x?y=0，则 a+b=． 61. 已知曲线y=a?3x3+ln x存在垂直于y轴的切线，且函数f x=x3?ax2?3x+1在 1,2上单调递减，则a的范围为 62. 已知函数f x=?f?0e x+2x，点P为曲线y=f x在点0,f0处的切线l上的一点，点 Q在曲线y=e x上，则PQ的最小值为． 63. 如图所示，y=f x是可导函数，直线l：y=kx+3是曲线y=f x在x=1处的切线，若 x=xf x，则 x在x=1处的切线方程为． 64. 已知f x，g x分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f x?g x=e x+x2+1，则函数 x=2f x?g x在点0, 0处的切线方程是． 65. 曲线y=sin x+e x在点0,1处的切线方程是． 66. 已知f x为偶函数，当x<0时，f x=ln?x+3x，则曲线y=f x在点1,?3处的切线 方程是． 67. 已知f x为偶函数，当x≤0时，f x=e?x?1?x，则曲线y=f x在点1,2处的切线方程 是． 68. 曲线y=x2+1 x 在点1,2处的切线方程为． 69. 已知曲线C的参数方程为x=t, y=?t2,直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ=8，则曲线C上 的点到直线l的距离的最小值是． 70. 若曲线f x=ax3+ln?2x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是． 71. 已知a∈R，设函数f x=ax?ln x的图象在点1,f1处的切线为l，则l在y轴上的截距 为． 72. 已知曲线y=x+ln x在点1,1处的切线与曲线y=ax2+a+2x+1相切，则a=． 73. 函数f x=e x?sin x在点0,f0处的切线方程是． 74. 曲线y=x3ln x+1在点1,1处的切线方程为． 的两条互相平行的切线，则l1与l2的距离的最大值为． 75. 已知l1，l2是曲线C:y=1 x 76. 设P为曲线C1上动点，Q为曲线C2上动点，则称PQ的最小值为曲线C1，C2之间的距离， 记作d C1,C2，若C1:x2+y2=2，C2:x?32+y?32=2，则d C1,C2=；若C3:e x?2y=0，C4:ln x+ln2=y，则d C3,C4=． 77. 曲线y=e x在点2,e2处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为． 78. 若实数a，b，c，d满足b+a2?3ln a2+c?d+22=0，则a?c2+b?d2的最小值 为． 79. 设曲线f x=?e x?x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g x= 3ax+2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为． 80. 已知曲线C:y2=2x+a在点P n n,2n+a a>0,n∈N处的切线l n的斜率为k n，直线l n交 x轴，y轴分别于点A n x n,0，B n0,y n，且x0=y0．给出以下结论： ①a=1； ②当n∈N?时，y n的最小值为5 ； 4 ； ③当n∈N?时，k n<2sin 2n+1 ④当n∈N?时，记数列k n的前n项和为S n，则S n<2n+1?1． 其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（共20小题；共260分） x2在第一象限内交点为P． 81. 已知曲线C1:y2=2x与C2:y=1 2 （1）求过点P且与曲线C2相切的直线方程； （2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S． 82. 已知直线l:y=x+m与函数f x=ln x+2的图象相切于点P． （1）求实数m的值； （2）证明除切点P外，直线l总在函数f x的图象的上方； （3）设a，b，c是两两不相等的正实数，且a，b，c成等比数列，试判断f a+f c与2f b的大小关系，并证明你的结论． 83. 已知函数f x=ax3+bx2?3x在x=±1处取得极值． （1）讨论f1和f?1是函数f x的极大值还是极小值； （2）过点A0,16作曲线y=f x的切线，求此切线方程． 84. 已知a>0，函数f x=1?ax x ,x∈0,+∞．设0 a ，记曲线y=f x在点M x1,f x1 处的切线为l． （1）求l的方程； （2）设l与x轴交点为x2,0．证明： （ⅰ）0 a ；（ⅱ）若x1<1 a ，则x1 a ． 85. 设函数f x=x+ax2+b ln x，曲线y=f x过P1,0，且在P点处的切线斜率为2． （1）求a，b的值； （2）当x∈1,e时，求f x的最值； （3）证明：f x≤2x?2． 86. 已知函数f x=?1 3x3+1 2 x2+2ax． （1）若曲线y=f x在点P 2,f2处的切线的斜率为?6，求实数a； （2）若a=1，求f x的极值； （3）当0 3 ，求f x在该区间上的最大值． 87. 已知f x=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P，且f x在P处的切线方程为 9x?y?1=0，又知f x单调性为?∞,1单调递增，1,3单调递减，3,+∞单调递增．（1）求f x的解析式； （2）当x>0时，证明：f x>x3?6x2?1+9ln x+1 88. 设函数f x=ax3+3 2 2a?1x2?6x a∈R． （1）当a=1时，求曲线y=f x在点 ?1,f?1处的切线方程； （2）当a=1 3 时，求f x的极大值和极小值． 89. 已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=?x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1 和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段． （1）则a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程； （2）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分． 90. 已知函数f x=ax3+bx x∈R，g x=f x+3x?x2?3，t x=c x +ln x．（1）若函数f x的图象在点x=3处的切线与直线24x?y+1=0平行，且函数f x在x=1处取得极值，求函数f x的解析式，并确定f x的单调递减区间； （2）在（Ⅰ）的条件下，如果对于任意的x1,x2∈1 3 ,2，都有x1?t x1≥g x2成立，试求实数c的取值范围. 91. 设a,b∈R，a ≤1．已知函数f x=x3?6x2?3a a?4x+b，g x=e x f x． （1）求f x的单调区间； （2）已知函数y=g x和y=e x的图象在公共点x0,y0处有相同的切线， （i）求证：f x在x=x0处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式g x≤e x在区间x0?1,x0+1上恒成立，求b的取值范围．92. 已知函数f x=e x x ?a x?ln x． （1）当a=1时，试求f x在1,f1处的切线方程； （2）当a≤0时，试求f x的单调区间； （3）若f x在0,1内有极值，试求a的取值范围． 93. 已知函数f x=ln x?ax，a∈R． （1）若函数f x在点1,f1处切线方程为y=3x+b，求a，b值； （2）当a>0时，求函数f x在1,2上的最小值； （3）设g x=x2?2x+2，若对任意x1∈0,+∞，均存在x2∈0,1，使得f x1 94. 已知函数f x=ln x?ax在x=2处的切线l与直线x+2y?3=0平行． （1）求实数a的值； （2）若关于x的方程f x+m=2x?x2在1 2 ,2上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （3）记函数g x=f x+1 2x2?bx，设x1，x2x1 2 ， 且g x1?g x2≥k恒成立，求实数k的最大值． 95. 已知函数f x=1 2x2? a+1 a x+ln x，其中a>0． （1）当a=2时，求曲线y=f x在点1,f1处切线的方程；（2）当a≠1时，求函数f x的单调区间； （3）若a∈0,1 2，证明对任意x1,x2∈1 2 ,1x1≠x2， f x1?f x2 x12?x22 <1 2 恒成立． 96. 已知函数f x=x3+ax2+b的图象上一点P1,0，且在P点处的切线与直线3x+y=0平行． （1）求函数f x的解析式； （2）求函数f x在区间0,t0 （3）在（1）的结论下，关于x的方程f x=c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围． 97. 已知函数f x=ln x，g x=?k x ，k≠0 （1）求曲线y=f x在e,f e处的切线方程； （2）求函数 x=f x?g x的单调递增区间； （3）若对?x∈?∞,0∪0,+∞都有f x≥g x成立，试确定实数k的取值范围． 98. 已知函数f x=nx?x n，x∈R，其中n∈N?，且n≥2． （1）讨论f x的单调性； （2）设曲线y=f x与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g x，求证：对于任意的正实数x，都有f x≤g x； （3）若关于x的方程f x=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：x2?x1 1?n +2． 99. 已知函数f x=ax+x ln x a∈R． （1）若函数f x在区间e,+∞上为增函数，求a的取值范围； （2）若函数f x的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．且k∈Z时，不等式k x?1 （3）当n>m≥4时，证明：mn n m>nm m n． 100. 已知函数f x=4x?x4，x∈R． （1）求f x的单调区间； （2）设曲线y=f x与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g x，求证：对于任意的实数x，都有f x≤g x； +（3）若方程f x=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，且x1 3 413． 答案第一部分 1. B 2. D 3. D 【解析】因为函数f x存在导数且满足lim Δx→0f2?f2?3Δx 3Δx =2， 所以f?2=2，则曲线y=f x在点2,f2处的切线斜率为2． 4. B 【解析】函数f x=x3+ax+1的导数为：f?x=3x2+a，f?1=3+a，而f1=a+ 2， 切线方程为：y?a?2=3+a x?1，因为切线方程经过点2,7， 所以7?a?2=3+a2?1， 解得a=1． 5. B 【解析】提示：画出f x的草图，如图所示， f?x=2ax+b，由倾斜角的取值范围为0,π 4 可知斜率的取值范围为0,1，即0≤2ax+b≤1，解 得?b 2a ≤x≤1?b 2a ，所以点P距离对称轴的距离的取值范围是0,1 2a ． 6. A 7. B 【解析】设切点为x0,x0+1，则 1 x0+a =1, ln x0+a=x0+1, 解得 x0=?1, a=2. 8. A 【解析】设P x0,y0，y=x的导数为y?= 2x ，所以切线的斜率为 2x ． 因为在点P处的切线过?1,0，所以?y0= 2x ?1?x0．又因为y0=x0，解得x0=1,y0=1． 把1,1代入双曲线方程，得1 a2?1 b2 =1，又因为c=1，所以a2=3?5 2 ． 所以c 2 a =6+25 4 =5+1 2 2 ，所以e=5+1 2 ． 9. B 10. B 【解析】设直线y=ax与曲线y=2ln x+1的切点的横坐标为x0，则有y?x=x 0=2 x0 ，于是有 a=2 x0 , ax0=2ln x0+1,解得x0=e，a=2 x0 =2e?1． 11. C 【解析】函数f x=e x ln x的导数为f?x=e x ln x+e x?1 x ，所以切线的斜率k=f?1=e， 当x=2时，得f1=0， 所以切点坐标为1,0， 所以切线方程为y?0=e x?1，即y=e x?1． 12. B 【解析】由已知得，f?x=x2+2x?a x+12，又f?1=1，即3?a 4 =1， 所以a=?1． 13. A 【解析】因为y=e?2x+1， 所以y?=?2e?2x， 所以y?x=0=?2e?2x x=0=?2， 所以曲线y=e?2x+1在点0,2处的切线方程为y?2=?2x?0即2x+y?2=0．令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=2 3 ， 所以切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为1 2×1×2 3 =1 3 ． 14. D 【解析】因为f x=2f2?x?x2+8x?8， 所以f2?x=2f x?2?x2+82?x?8． 所以f2?x=2f x?x2+4x?4+16?8x?8． 将f2?x代入f x=2f2?x?x2+8x?8得f x=4f x?2x2?8x+8?x2+8x?8．所以f x=x2，f?x=2x，所以y=f x在1,f1处的切线斜率为y?=2． 所以函数y=f x在1,f1处的切线方程为y?1=2x?1，即y=2x?1． 15. C 【解析】因为f?a，f a，f3a成公差不为0的等差数列， 所以2f a=f?a+f3a， 代入化简可得a4?a2=0， 因为a≠0， 所以a=±1， a=?1，函数f x=?x3?3x2+1， 设切点A x0,y0， 因为f?x=?3x2?6x， 所以切线斜率为?3x02?6x0，又切线过原点， 所以?y0=3x03+6x02,???① 又因为切点A x0,y0在f x=?x3?3x2+1的图象上， 所以y0=?x03?3x02+1,???② 由①②得：2x03+3x02+1=0，方程有唯一解； a=1，函数f x=x3?3x2+1， 设切点A x0,y0， 因为f?x=3x2?6x， 所以切线斜率为3x02?6x0，又切线过原点， 所以?y0=?3x03+6x02,???① 又因为切点A x0,y0在f x=x3?3x2+1的图象上， 所以y0=x03?3x02+1,???② 由①②得：2x03?3x02?1=0，方程有唯一解． 16. C 17. A 18. B 【解析】设P t,t2，切线与曲线C2的交点为s,ln s s>2 2 ， y=x2的导数为y?=2x，即有切线的斜率为2t，可得直线l的方程为y?t2=2t x?t，即为y=2tx?t2； y=ln x的导数为y?=1 x ，即有切线的斜率为1 s ，可得切线的方程为y?ln s=1 s x?s，即为y=1 s x+ ln s?1．则有2t=1 s ，?t2=ln s?1，s>2 2 ，0 2 ，可得t2?ln2t?1=0，令f t=t2? ln2t?1，f?t=2t?1 t = 2 t?2 t+2 t ，即有f t在0,2 2 递减，在2 2 ,+∞ 递增，所以f t在 t=2 2处取得极小值也是最小值．由f2 2 =1 2 ?ln2?1<0，f1 2e =1 4e2 ?ln1 e ?1>0， f1 2=1 4 ?ln1?1<0，可得f t在1 2e ,1 2 内存在一个零点． 19. C 【解析】f x=ax+cos2x的导数为f?x=a?2sin2x，可得在点π 4,fπ 4 处的切线的斜 率为k=a?2sinπ 2 =a?2=?1，解得a=1．20. B 21. B 【解析】由函数f x=1 3x3?x2，得f?x=x2?2x，设函数f x=1 3 x3?x2图象上任一点 P x0,y0，且过该点的切线的倾斜角为α0≤α<π，则f?x=x2?2x=x?12?1≥?1， 所以tanα≥?1， 所以0≤α<π 2或3π 4 ≤α<π． 所以过函数f x=1 3x3?x2图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为0,π 2 ∪3π 4 ,π ． 22. B 【解析】S=x?a2+ln x?a2a∈R的几何意义为：两点x,ln x，a,a的距离的平方， 由y=ln x的导数为y?=1 x ，点a,a在直线y=x上，令1 x =1，可得x=1，即有与直线y=x平行 的直线且与曲线y=ln x相切的切点为1,0， 由点到直线的距离可得d= 2=2 2 ，即有S的最小值为2 2 2 =1 2 ． 23. D 24. C 【解析】设曲线在 a,f a处的切线的倾斜角为α， 则tanα=f?a=1 a +1 b ≥ ab ≥2 a+b =1， 故π 4≤α<π 2 ． 25. D 【解析】由导数的定义可得y?=3x2， 因为y=x3在点P1,1处的切线斜率k=y?|x=1=3， 由条件知，3×a b =?1，所以a b =?1 3 ． 26. C 【解析】令F x=x2f x， 由x?12f x+xf?x>0x≠1，可得 x>1时，2f x+xf?x>0即2xf x+x2f?x>0，即F x递增； 当0 即有x=1处为极值点，即为F?1=0，即有2f1+f?1=0， 由f1=2，可得f?1=?4， 曲线f x在点1,2处的切线为y?2=?4x?1， 即有g x=6?4x， 由g a=2016，即有6?4a=2016，解得a=?502.5． 27. A 【解析】设与直线2x?y+3=0平行的y=ln2x?1的切线为l，切点为x0,y0，由题意可求得y?=2 2x?1 ， 所以令y?x=x 0=2 2x0?1 =2． 所以x0=1， 所以切点为1,0，切线l为2x?y?2=0， 则易知最短距离为 22 =5． 28. D 【解析】因为y=x4+ax2+1， 所以y?=4x3+2ax， 因为曲线y=x4+ax2+1在点?1,a+2处切线的斜率为8，所以?4?2a=8， 所以a=?6． 29. C 【解析】f?x=2x x+1?x2+a x+1=x2+2x?a x+1 ， 因为f?1=tan3π 4 =?1， 所以3?a 4 =?1， 所以a=7． 30. D 31. D 【解析】k=lim Δx→04?1+Δx??1+Δx3??4+1 Δx =lim Δx→0 1+3Δx?Δx2=1，故切线方程为 y+3=x+1，即y=x?2 . 32. D 33. A 【解析】当x≤0时，由y=2得y2?9x2=1x≤0，此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y=?3x，此时渐近线的斜率k1=?3， 当x>0时，f x=1+x e x?1， 当过原点的直线和f x相切时，设切点为a,1+a e a?1，函数的导数f?x=e x?1+x e x?1= x+1e x?1，则切线斜率k2=f?a=a+1e a?1，则对应的切线方程为y?1+a e a?1= 1+a e a?1x?a，即y=1+a e a?1x?a+1+a e a?1， 当x=0，y=0时，1+a e a?1?a+1+a e a?1=0，即a2e a?1+a e a?1=1+a e a?1，即a2e a?1= 1，得a=1，此时切线斜率k2=2，则切线和y=?3x的夹角为θ， 则tanθ=?3?2 1?2×3=5 5 =1，则θ=π 4 ， 故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是0,π 4 ． 34. A 【解析】设P1x1,ln x1，P2x2,?ln x2（不妨设x1>1，0 则由导数的几何意义易得切线l1，l2的斜率分别是k1=1 x1,k2=?1 x2 ． 由已知得k1k2=?1， 所以x1x2=1， 所以x2=1 x1 ． 所以切线l1的方程为y?ln x1=1 x1 x?x1， 切线l2的方程为y+ln x2=?1 x2 x?x2， 即y?ln x1=?x1 x?1 x1 ． 分别令x=0得A0,?1+ln x1，B0,1+ln x1． 又l1与l2的交点为P2x1 1+x12,ln x1+1?x12 1+x12 ． 因为x1>1， 所以S△PAB=1 2y A?y B?x P=2x1 1+x12 <1+x12 1+x12 =1， 所以0 35. D 【解析】依题意：作函数y=?ln?x x<0关于坐标原点对称的函数y=ln x x>0的图象，使它与函数y=kx?2x>0的交点个数为2个即可．当y=kx?2x>0与函数y=ln x x>0图象相切时，设切点为x0,ln x0，则由y=ln x的导函数得切线的斜率为1 x0 ，因为函数y=kx?2x>0 恒过点0,?2，故1 x0=ln x0+2 x0?0 解得x0=1 e ，所以切线的斜率为e，结合图象可知k∈0,e时y=kx? 2x>0与y=ln x x>0有两个交点． 36. A 【解析】由f x=?e x?x，得f?x=?e x?1．因为e x+1>1, 所以1 e x+1 ∈0,1． 由g x=ax+2cos x，得g?x=a?2sin x， 又因为?2sin x∈?2,2， 所以a?2sin x∈?2+a,2+a． 要使曲线f x=?e x?x上任意一点的切线为l1，总存在曲线g x=ax+2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2， 则?2+a≤0, 2+a≥1. 解得?1≤a≤2， 所以实数a的取值范围为?1≤a≤2． 37. D 【解析】f1x1?f1x2=x12?2x1+5?x22+2x2?5=x1?x2x1+x2?2． 因为x1，x2∈?1,1，所以x1+x2?2∈?4,0，所以f1x1?f1x2 ≤4x1?x2．即f1x∈M；令x1=0.01，x2=0.0001，所以f2x1?f2x2=0.09，4x1?x2=0.0396<0.09，所以 f2x?M． 其他方法： 对任意x1，x2∈?1,1x1≠x2，都有 f x1?f x2 x1?x2 ≤4，由其几何意义可知，函数f x在区间?1,1 上的切线斜率的绝对值都小于等于4．f1?x=2x?2x∈?1,1，所以f?1x ∈0,4x∈?1,1，所以f1x∈M．因为f2x为偶函数，所以仅考虑f2x=x x∈0,1就可以，f2?x= 2x x∈0,1，所以f2?x ∈1 2 ,+∞ ，所以f2x?M． 38. B 【解析】①错，由y?=3x2?2x，k A=1，k B=8，则| k A?k B=7，y1=1，y2=5，则 AB=17，φA,B= k A?k B AB = 17 <3； ②对，如函数y=1； ③对，φA,B= k A?k B AB =A B x A?x B2+ x A2?x B2 = A B 2 ≤2； ④错，φA,B= k A?k B AB =x1x2 x x2 ．t?φA,B<1恒成立，即t e x1?e x2<1+e x1?e x22 恒成立，则t=1也成立，故④错． 39. D【解析】过点P作函数f x的切线l，当l与直线2x?y?3=0平行时，则此时PQ最小，设点P x0,y0，则e x0+2x0+1=2，解得x0=0，即点P0,2，则点P到直线2x?y?3=0的距离为PQ min=25 . 40. A 【解析】函数f x可以看作是动点M x,ln x2与动点N a,2a之间距离的平方，动点M x,ln x2在函数y=2ln x的图象上，N a,2a在直线y=2x上，于是“存在x0，使得f x0≤4 5 成立”就转化为“求直线y=2x上的动点到曲线y=2ln x的最小距离”． 由y=2ln x，得y?=2 x ，令y?=2，解得x=1， 所以曲线y=2ln x上点M1,0到直线y=2x的距离最小，且最小距离为d= 5=25 5 ，则f x≥4 5 ． 根据题意，要使存在x0，使得f x0≤4 5成立，则f x0=4 5 ，此时点N恰好为垂足． 由k MN=2a?0 a?1=?1 2 ，解得a=1 5 ． 第二部分 41. x?y?2=0 42. 1 2 【解析】因为y?=2ax?1 x ，所以y?x=1=2a?1．因为曲线在点1,a处的切线平行于x轴，故其斜 率为0，故2a?1=0，a=1 2 ． 43. 1 44. y=1 e 45. x?y+1=0 46. 1 【解析】f?x=1?a x ，由题意得f?1=0，则a=1． 47. ?2,9 【解析】因为y=2x2+1， 所以y?=4x， 令4x0=?8，则x0=?2， 所以y0=9， 所以点M的坐标是?2,9． 48. ?3 【解析】因为曲线过点P2,?5，所以?5=4a+b 2 ， 又f?x=2ax?b x ，由已知得f?2=?7 2 ， 即4a?b 4=?7 2 ，解得a=?1，b=?2，所以a+b=?3． 49. 2x?y+1=0 【解析】曲线方程为y=x3?x+3，则y?=3x2?1， 又易知点1,3在曲线上，有y?x=1=2， 即在点1,3处的切线方程的斜率为2， 所以切线方程为y?3=2x?1，即2x?y+1=0． 50. 4 3 【解析】由y=x2，得y?=2x，切线方程为y?x12=2x1x?x1，即y=2x1x?x12，由y=x3，得y?=3x2，切线方程为y?x23=3x22x?x2，即y=3x22x?2x23， 所以2x1=3x22，x12=2x23， 两式相除，可得x1 x2=4 3 ． 51. 2 【解析】设点B x0,b，欲使AB最小，曲线g x=ax+ln x在点B x0,b处的切线与f x=2x+ 3平行，则有a+1 x0=2，解得x0=1 2?a ，进而可得a?1 2?a +ln1 2?a =b，??① 又点A坐标为b?3 2 ,b ， 所以AB=x0?b?3 2=1 2?a ?b?3 2 =2，??②联立方程①②可解得，a=1，b=1， 所以a+b=2． 52. x+2y+6=0 【解析】由已知得g?1=?9，g1=?8， 又f?x=1 2g?x 2 +2x， 所以f?2=1 2g?1+4=?9 2 +4=?1 2 ， f2=g1+4=?4， 所以所求切线方程为y+4=?1 2 x?2，即x+2y+6=0．53. x?y+4=0 【解析】f x=2 x +3x?f1=5， f?x=?2 x +3?k=f?1=1?y?5=x?1?y=x+4． 54. 1 e ,+∞ 【解析】函数f x=e x?mx+1的导函数为f?x=e x?m，要使曲线C存在与直线y=e x垂直的切线， 则需e x?m=?1 e 有解，即m=e x+1 e 有解， 由e x>0，得m>1 e ． 则实数m的取值范围为1 e ,+∞ ． 55. 1?e 【解析】设切点为x0,y0，则y0=x0+e?x0，因为y?=x+e?x?=1?e?x，所以切线斜率 k=1?e?x0，又点x0,y0在直线上，代入方程得y0=kx0，即x0+e?x0=1?e?x0x0，解得 x0=?1，所以k=1?e． 56. 2x+y?1=0 【解析】y=ln x+2?3x的导数为y?=1 x+2 ?3， 可得在点?1,3处的切线斜率为k=1?3=?2， 即有在点?1,3处的切线方程为y?3=?2x+1，即为2x+y?1=0． 57. k≥?1 3 且k≠1 【解析】由f x=kx?k至少有两个不相等的实数根，得f x=k x?1至少有两个不相等的实数根， 设g x=k x?1，则等价为f x与g x至少有两个不同的交点， 作出函数f x的图象如图： g x=k x?1，过定点C1,0， 当x>0时，f x=x2?x的导数f?x=2x?1， 在x=1处，f?1=2?1=1， 当k=1时，g x=x?1与f x=1 2+1 2 +x=x+1平行， 此时两个图象只有一个交点，不满足条件． 当k>1时，两个函数有两个不相等的实数根， 当0≤k<1时，两个函数有3个不相等的实数根， 当k<0时，当直线经过点A ?1 2,1 2 时，两个图象有两个交点，此时k ?1 2 ?1=1 2 ，即k=?1 3 ， 当?1 3 综上要使方程f x=kx?k至少有两个不相等的实数根，则k>?1 3 且k≠1．58. 1 【解析】对y=x求导数可得y?= 2x ，所以曲线在P a,a 处的切线斜率为k= 2a ，所以切线方 程为：y?a= 2a x?a，令x=0，可得y=a 2 ，即直线的纵截距为a 2 ，令y=0，可得x=?a， 即直线的横截距为?a，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为：S=1 2a 2 ? ?a=1 4 ，解得a=1． 59. e 4 【解析】f?x=e x+x e x=e x x+1， 所以切线斜率k=f?1=2e， 所以f x在1,e处的切线方程为y?e=2e x?1，即y=2e x?e， 因为y=2e x?e与坐标轴交于0,?e，1 2 ,0． 所以y=2e x?e与坐标轴围成的三角形面积为S=1 2×e×1 2 =e 4 ． 60. 4 【解析】f x=ax ln x+b的导数为f?x=a1+ln x，由f x的图象在x=1处的切线方程为2x?y=0，易知f1=2，即b=2，f?1=2，即a=2，则a+b=4． 61. 9 4 ,3 62. 2 【解析】f x=?f?0e x+2x， 可得f?x=?f?0e x+2， 即有f?0=?f?0e0+2， 解得f?0=1， 则f x=?e x+2x， f0=?e0+0=?1， 则切线l：y=x?1， y=e x的导数为y?=e x， 过Q的切线与切线l平行时，距离最短． 由e x=1，可得x=0， 即切点Q0,1， 则Q到切线l的距离为 2 =2． 63. x?y+1=0 【解析】直线l：y=kx+3是曲线y=f x在x=1处的切线，所以点1,2为切点， 故f?1=k，f1=k+3=2， 解得k=?1， 故f?1=?1，f1=2， 由 x=xf x可得 ?x=f x+xf?x， 所以 ?1=f1+f?1=1， 1=f1=2， 则 x在x=1处的切线方程为y?2=x?1， 即为x?y+1=0． 64. x?y+4=0 【解析】f x?g x=e x+x2+1，f x+g x=e?x+x2+1． 所以f x=e x+e?x+2x2+2 2 ，g x=e ?x?e x 2 ． 所以 x=2f x?g x =e x+e?x+2x2+2? e?x?e x =3 2 e x+ 1 2 e?x+2x2+2. 所以 ?x=3 2e x+1 2 e?x??1+4x． 即 ?0=3 2?1 2 =1． 又因为 0=4， 所以切线方程是：x?y+4=0． 65. y=2x+1 【解析】y=sin x+e x的导数为y?=cos x+e x，在点0,1处的切线斜率为k=cos0+e0=2，即有在点0,1处的切线方程为y=2x+1． 66. 2x+y+1=0 【解析】f x为偶函数，可得f?x=f x， 当x<0时，f x=ln?x+3x， 即有x>0时，f x=ln x?3x，f?x=1 x ?3， 可得f1=ln1?3=?3，f?1=1?3=?2， 则曲线y=f x在点1,?3处的切线方程为y??3=?2x?1， 即为2x+y+1=0． 67. y=2x 【解析】当x>0时，?x<0，f?x=e x?1+x，而f?x=f x，所以f x=e x?1+x x>0，点1,2在曲线f x=e x?1+x x>0上，易知f?1=2，故曲线y=f x在点1,2处的切线方程是y?2=f?1?x?1，即y=2x． 68. x?y+1=0 69. 4 3 【解析】曲线C的方程可化为y=?x2，直线l的方程可化为4x+3y?8=0， 设与直线l平行且与抛物线相切的直线为l?，切点为x0,y0，因为y?=?2x，k l?=?2x0=?4 3 ， 所以x0=2 3 ， 代入y=?x2．得y0=?4 9 ， 所以点2 3,?4 9 到直线l的距离为4× 2 3 ?3×4 9 ?8 5 =4 3 ． 70. 0,+∞ 71. 1 72. 8 【解析】方法一：由y=x+ln x得y?=1+1 x ，所以曲线y=x+ln x在点1,1处的切线的斜率k=2，故切线方程为y=2x?1． 因为y=2x?1与曲线y=ax2+a+2x+1相切， 所以y=2x?1, y=ax2+a+2x+1,消去y得ax 2+ax+2=0． 因为a≠0且Δ=a2?4×2a=0， 所以a=8． 方法二：同方法一，得曲线y=x+ln x在点1,1处的切线方程为y=2x?1． 因为直线y=2x?1与曲线y=ax2+a+2x+1相切，设切点的坐标为x0,y0， 所以y0=2x0?1???①． 由y?=2ax+a+2，得2ax0+a+2=2???②． 由题意知a≠0，由②可得x0=?1 2 ． 把x0=?1 2 代入①，得y0=?2， 所以点 ?1 2 ,?2在曲线y=ax2+a+2x+1，故a=8． 73. y=x 【解析】因为f x=e x?sin x，f?x=e x sin x+cos x，所以f?0=1，f0=0，所以函数f x 的图象在点A0,0处的切线方程为y?0=1×x?0，即y=x． 74. y=4x?3 【解析】求导函数，可得y?=3ln x+4， 当x=1时，y?=4， 所以曲线y=x3ln x+1在点1,1处的切线方程为y?1=4x?1，即y=4x?3． 75. 2 【解析】设两个切点为A x1,y1，B x2,y2，x1≠x2，因为y?=?1 x ，所以k l 2 =?1 x2 ，k l 1 =?1 x1 ， 因为l1∥l2，所以?1 x1=?1 x2 ，即x2=?x1，又l1:x+x12y?2x1=0，点B到l1距离为 d=1 1+x14 = x12 +x12 ≤22, 当x12=1 x12 ，即x1=±1时取"="． a - a (- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分 类标准是零） 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减； 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围 1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时， 底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程. 2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． ） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围． 导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0 解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b) 高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 数学导数练习（文） 一、1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t^2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.－1 D. 0 3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ）A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3y x x =+的递增区间是（ ）A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ）A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 7．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 8．函数313y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C (0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +> 10．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在 ),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内 有极小值点（ ） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、11．函数3 2 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 . 13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________. 14. 曲线3 x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 __________。 15. 已知曲线3 1433 y x = + ，在点(2,4)P 的切线方程是______________ a b x y ) (x f y '=O 导数练习题（含答案） 【编著】黄勇权 一、求下函数的导数 （1）f （x ）=2x 2+3x+2 （2）f （x ）=3sinx+7x 2 （3）f （x ）=lnx+2x （4）f （x ）=2x +6x （5）f （x ）=4cosx -7 （6）f （x ）=7e x +9x （7）f （x ）=x 3+4x 2+6 （8）f （x ）=2sinx -4cosx （9）f （x ）=log2x （10）f （x ）= x 1 （11）f （x ）=lnx+3e x （12）f （x ）=2x x （13）f （x ）=sinx 2 （14）f （x ）=ln （2x 2+6x ） （15）f （x ）=x 1x 3x 2++ （16）f （x ）=xlnx+9x （17）f （x ）= x sinx lnx + （18）f （x ）=tanx （19）f （x ）=x x e 1e 1-+ （20） f （x ）=（x 2-x ）3 【答案】 一、求下函数的导数 （1）f /=4x+3 （2）f /=3cos+14x （3）f /=x 1+2 （4）f /=2x ln2+6 （5）f /= -4sinx （6）f /=7e x （7）f /=3x 2+8x （8）f /=2cosx+4sinx （9）因为f （x ）=log2x =2ln lnx =lnx 2 ln 1? 所以：f /=（lnx 2ln 1?）/ =（2ln 1）?（lnx ）/ =2ln 1?x 1 =ln2 x 1? （10）因为：f （x ）=x 1 f /=2x x 1x 1） （）（）（'?-?'= x x 1210?- = x x 21- = 2x 2x - （11）f /= x e 3x 1+ （12）f （x ）= 2x x =23x - f /=（2 3-）25x -= 3 x 2x 3- （13）f /=（sinx 2）/?（x 2）/=cosx 2?（2x ）=2x ?cosx 2 （14）f /=[ln （2x 2+6x ）]/?(2x 2+6x)/ = x 6x 212+? (4x+6) = x 3x 3x 22++ （15）f （x ）=x 1x 3x 2++ = x+3+x 1 f /=（x+3+x 1）/= 1+0 -2x 1 =22x 1-x （16）f /=（x ）/（lnx ）+（x ）（lnx ）/+9 =lnx+x 1x ?+9 =lnx+10 2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值． 2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数． 高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点． 5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点． 当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2) 导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 3、(2015课标全国Ⅰ，文21）.（本小题满分12分） 设函数2()ln x f x e a x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x ）（ (I)讨论)(x f 的单调性； (II)若)(x f 有两个零点，求的取值范围. 5、（(2016全国新课标二，20）（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间； (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.（12分） 已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 2018全国卷)（12分） 已知函数()1 ln f x x a x x = -+． ⑴讨论()f x 的单调性； ⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明： ()()1212 2f x f x a x x -<--． 导数高考题专练（答案） 1 2解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， 高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由． 3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围. 2019年高三数学重点知识：导数及其应用查字典数学网高中频道收集和整理了2019年高三数学重点知识：导数及其应用，以便高中生在高考备考过程中更好的梳理知识，轻松备战。祝大家暑假快乐。 一基础再现 考点87简单复合函数的导数 1.曲线在点处的切线方程为____________。 2.已知函数和的图象在处的切线互相平行，则=________. 3.(宁夏、海南卷)设函数 (Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值. 考点88定积分 4.计算 5.(1)；(2) 6. 计算= 7.___________ 8.求由曲线y=x3，直线x=1，x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积. 二感悟解答 1.答案： 2.答案：6 3.解：的定义域为. 当时，；当时，；当时，. 从而，分别在区间，单调增，在区间单调减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为. 又. 所以在区间的最大值为. 4.答案：6 5.答案：(1) 死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 (2)利用导数的几何意义：与x=0，x=2所围图形是以(0，0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为(图略) 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重 高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： （1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点； （2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< （1）求函数)(x f 的极大值； （2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 3.如图所示，A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点，且AB//x 轴，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点. （1）设点B 的横坐标为t ，△ABC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式)(t f S =； （2）求函数)(t f S =的最大值，并求出相应的点C 的坐标. 4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式； （II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--，试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域； （2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围； （3）求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ，使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -，且()2p f e qe e =--，其中e 是自然对数的底数. （1）求p 与q 的关系； 精心整理 高二数学导数专题训练 一、选择题 1.一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（） A.1 B.2 C.－1 D.0 3()f x 与(f x A (f C (f 4.函数y A (5.若函数A.f(x)6.0'()f x A C 7．曲线f A (1,0)C (1,0)8．函数y A.C.9.对于R A (0)(2)2(1)f f f + 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（） A ．' 0()f x B ．' 02()f x C ．' 02()f x -D ．0 二、填空题 11．函数32 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是. 13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为__________. 14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ??+?? 的前n 项和的公式是 . 三、解答题： 15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3 2 35y x x =+-相切的直线方程 16 17 （1）求y （2）求 y 18（I （II （III 19（I （II 20.已知x （1）求m （2）求f （3）当x AABCBACCDB 二、填空题 11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（1 3 -，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，1 3 ）∪（1，+∞）） 12．(,0)-∞13．3 4 π 14．1 2 2n +-()()/ 112 22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为， 导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=． 故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ，2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练
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