北京市2016届高三数学文一轮复习专题突破训练
圆锥曲线
一、填空、选择题
1、（2015年北京高考）已知()2,0是双曲线2
2
21y x b
-=（0b >）的一个焦点，则b = ．
2、（2014年北京高考）设双曲线C 的两个焦点为(
)，)
，一个顶点式()1,0，则C 的
方程为 .
3、（2013年北京高考）若抛物线y 2
＝2px 的焦点坐标为(1，0)，则p ＝________；准线方程为________.
4、（昌平区2015届高三上期末）双曲线13
:22
=-y x C 的离心率是_________；若抛物线mx y 22=与双曲线C 有相同的焦点，则=m _____________.
5、（朝阳区2015届高三一模）若抛物线2
2(0)y px p =>的焦点与双曲线2
2
2x y -=的右焦点重合，则p 的值为
A ．2 C ．4 D ．6、（东城区2015届高三二模）已知抛物线2
2y x =上一点P (,2)m ，则m = ，点P 到
抛物线的焦点F 的距离为 .
7、（房山区2015届高三一模）双曲线22
194
x y -=的渐近线方程是( )
A ．23y x =±
B ．49y x =±
C ．32y x =±
D ．9
4
y x =± 8、（丰台区2015届高三一模）双曲线
22
126
x y -=的渐近线方程为 9、（丰台区2015届高三二模）设O 是坐标原点，F 是抛物线2y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，
FA 与x 轴正向的夹角为6
π
，则||AF =
(A) 12 (B) 34
(C) 1
(D) 210、（海淀区2015届高三一模）抛物线2
=4x y 的焦点到准线的距离为（ ） （A ）
12
（B ） 1 （C ）2 （D ）4
11、（海淀区2015届高三二模）以坐标原点为顶点，(1,0)-为焦点的抛物线的方程为
12、（西城区2015届高三二模）抛物线24C y x =：的准线l 的方程是____；以C 的焦点为圆心，且与直线l 相切的圆的方程是____.
13、已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在
抛物线上且|||AK AF =，则AFK ?的面积为 （ ）
A ．32
B ．16
C ．8
D ．4
14、点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为
（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
15、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的
距离之和的最小值是 （ ）
A B ．2
C ．
115
D ．3
二、解答题
1、（2015年北京高考）已知椭圆C :2
2
33x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交
于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；
（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．
2、（2014年北京高考）已知椭圆C ：2
2
24x y +=. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.
3、（2013年北京高考）直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 2
4
＋y 2
＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．
(1)当点B 的坐标为(0，1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；
(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．
4、（昌平区2015届高三上期末）已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>，其四个顶
点组成的菱形的面积是O 为坐标原点，若点A 在直线2=x 上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥.
（I ） 求椭圆C 的方程； （II ）求线段AB 长度的最小值； （III ）试判断直线AB 与圆2
22x y +=的位置关系，并证明你的结论.
5、（朝阳区2015届高三一模）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点分别为
12(2,0),(2,0)F F -2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线
段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．
6、（东城区2015届高三二模）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>上的左、右顶点分别为A ，B ，
1F 为左焦点，且12AF =，又椭圆C 过点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2
2
+16x y =上（点,A B 除外），设直线PB ,QB 的斜率分别为
1k ,2k ，若123
4
k k =
，证明：A ,P ,Q 三点共线．
7、（房山区2015届高三一模）已知椭圆W ：122
22=+b
y a x )0(>>b a 的离心率为21，Q 是椭圆上
的任意一点，且点Q 到椭圆左右焦点1F ，2F 的距离和为4． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；
（Ⅱ）经过点()1,0且互相垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆交于A 、B 和C 、D 两点（A 、B 、C 、
D 都不与椭圆的顶点重合），
E 、
F 分别是线段AB 、CD 的中点，O 为坐标原点，若OE k 、OF
k 分别是直线OE 、OF 的斜率，求证：OE OF k k ?为定值．
8、（丰台区2015届高三一模）已知椭圆C ：2236x y +=的右焦点为F ．
（Ⅰ）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为P '，判断直线P Q '是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．
9、（丰台区2015届高三二模）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(0)a b >>的右焦点为F ，上下
两个顶点与点F 恰好是正三角形的三个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过原点O 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，如果△FAB 为直角三角形，求直线l 的方程．
10、（海淀区2015届高三一模）已知椭圆22
22:1(0)x y M a b a b
+=>>过点(0,1)A -，且离心率
e =
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）若椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称,求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ?∈，BC 的中点恒在一条定直线上.
11、（海淀区2015届高三二模）已知椭圆2
2:14
x C y +=，点D 为椭圆C 的左顶点. 对于正常数λ，如果存在过点00(,0)(22)M x x -<<的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，使得AOB AOD S S λ??=，则称点M 为椭圆C 的“λ分点”.
（Ⅰ）判断点1,0M （）是否为椭圆C 的“1分点”，并说明理由； （Ⅱ）证明：点10M （,）不是椭圆C 的“2分点”；
（Ⅲ）如果点M 为椭圆C 的“2分点”，写出0x 的取值范围. （直接写出结果）
12、（石景山区2015届高三一模）如图，已知椭圆C
短轴的右端点为B ， M （1，0）为线段OB 的中点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点M 任意作一条直线与椭圆C 相交于两点P ，Q 试问在x 轴上是否存在定点N ，使得∠PNM =∠QNM ？ 若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．
13、（西城区2015届高三二模）设1F ，2F 分别为椭圆22
22 + 1(0)x y E a b a b
=>>：的左、右焦点，
点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =. （Ⅰ）若椭圆E
3
E 的方程；
（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q . 若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：点P 在直线20x y +-=上.
14、已知椭圆M ：22
21(0)3
x y a a +
=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45 时，求线段CD 的长；
（Ⅲ）记ABD ?与ABC ?的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.
15、已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F
过焦点F 作直线l ，
交椭圆于,A B 两点．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．
参考答案
一、填空、选择题
1、【解析】
试题分析：由题意知2,1c a ==，222
3b c a =-=，所以b =2、【答案】122=-y x 【解析】由题意知：1,2==a c ，所以1222=-=a c b ，又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以C
的方程为122=-y x .
3、2 x ＝－1 [解析] ∵抛物线y 2
＝2px 的焦点坐标为(1，0)，∴p
2
＝1，解得p ＝2，∴准线方程为
x ＝－1.
4、
33
2
; 4± 5、C 6、2，52
7、A
8、y = 9、C 10、C 11、2
4y x =-
12、1x =-， 22(1)4x y -+= 13、 【答案】A
解：由题意知8p =，所以抛物线方程为2
16y x =，焦点(4,0)F ,准线方程4x =-，即(4,0)K -,
设2
(,)16
y A y ,
过A 做AM 垂直于准线于M,由抛物线的定义
可知AM AF =,所以AK AF ==,即AM MK =,所以2
(4)16
y y --=，整理得216640y y -+=，即2
(8)0y -=，所以8y =，所以11
883222
AFK S KF y ?=
=??=,选A. 14、 【答案】B
解：抛物线的准线为1x =-，根据抛物线的对应可知，P 到该抛物线焦点的距离等于P 到该准线的距离，即(1)4x --=，所以3x =，即点P 的横坐标为3，选B. 15、【答案】B
解：因为抛物线的方程为24y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。所以设P 到准线的距离为PB ,则PB PF =。P 到直线1:4360l x y -+=的距离为PA ，
所以P A P B P A P F F
D +=+
≥
,其中FD 为焦点到直线4360x y -+=的距离，所以
10
25
FD =
=
=，所以距离之和最小值是2，选B.
二、解答题
1、【答案】（1
）3
（2）1；（3）直线BM 与直线DE 平行. 【解析】
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用c
e a
=
计算离心率；第二问，由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与x=3相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；第三问，分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行.
试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2
213
x y +=.
所以a =1b =
，c =
所以椭圆C
的离心率c e a =
=. （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--. 令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率11
2131
BM y y k -+=
=-.
（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行.证明如下：
当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =. 又因为直线DE 的斜率10
121
DE k -=
=-，所以//BM DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为111
1(2)2
y y x x --=
--.
令3x =，得点1113
(3,
)2
y x M x +--.
由2233(1)
x y y k x ?+=?=-?，得2222(13)6330k x k x k +-+-=. 所以2122613k x x k +=+，2122
33
13k x x k
-=+
.
2、解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22
142
x y +=．
所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =
，c =C
的离心率c e a =
=． （Ⅱ）设点A ，B 的坐标分别为()2t ，
，()00x y ，，其中00x ≠． 因为OA OB ⊥，
所以0OA OB ?=
， 即0020tx y +=，解得0
2y t x =-
． 又220
024x y +=，所以
()()22
2002AB x t y =-+-
()2
2000022y x y x ??=++- ??
?
2
220
20
44y x y x =+++
()2
202
2
24442x x x x --=+++ ()220020
84042x x x =++<≤． 因为()22
00
20
84042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB
长度的最小值为
3、解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．
所以可设A ? ??
??t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝± 3.
所以|AC |＝2 3.
(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．
因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.
由?
????x 2
＋4y 2
＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2
－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则 x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m
1＋4k
2. 所以AC 的中点为M ? ??
?
?－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－1
4k
.
因为k ·? ??
??－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．
4、解：（I
）由题意22c e a ab ?==???=?
，解得22
4,2a b ==.
故椭圆C 的标准方程为22
142
y x +=. ……………3分
（II ）设点A ，B 的坐标分别为00(2,),(,)t x y ，其中00≠y ，
因为OA OB ⊥，所以0OA OB ?=uu r uu u r
，即0020+=x ty ， ……………4分
解得0
2=-
x t y ，又220024+=x y ， 所以22200||(2)()=-+-AB x y t
=2
2
0000
2(2)()-++
x x y y =2
2
2
0002
044+++x x y y
=222
0002042(4)42--+++y y y y =22
002
84(04)2++<≤y y y ，……………5分
因为220020
8
4(04)2+≥<≤y y y ，当且仅当204=y 时等号成立，所以2||8AB ≥，
故线段AB
长度的最小值为……………7分 （III ）直线AB 与圆222x y +=相切. ……………8分 证明如下：
设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ，(2,)t ，其中00y ≠.
因为OA OB ⊥，所以0OA OB ?= ，即0020x ty +=，解得00
2x
t y =-. ……………9分
直线AB 的方程为00(2)2
y t
y t x x --=
--， 即0000()(2)20y t x x y y tx ----+=， ……………10分 圆心O 到直线AB
的距离d =
, ……………11分
由220024y x +=，0
2x t y =-
，
故
d =
=
=，
所以 直线AB 与圆222x y +=相切. ……………13分 5、解：（Ⅰ）由题意可得
2222,,c c a a b c =??
?=?
?=+??
解得a =
b =故椭圆的方程为22
162
x y +=． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为
(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，
33(,)M x y ，33(,)N x y --，
由22
1,62(2),x y y k x ?+=???=-?
得2222
(13)121260k x k x k +-+-=， 所以2
122
1213k x x k
+=+． 因为12122
4(4)13k
y y k x x k -+=+-=
+，
所以AB 中点222
62(
,)1313k k
D k k -++． 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k 1．
由2230,
1,62
x ky x y +=???+
=??解得2
32
213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ?=
，
即3333(2,)(2,)0x y x y -?---=． 所以2
2
3340x y --=．
所以22
2(91)
4013k k +-
=+．
解得3k =±
．故直线l
的方程为2)3
y x =±-． ……… 14分 6、解：（Ⅰ）由已知可得2a c -=
，b =2
2
2
12b a c =-=，
解得4a =.
故所求椭圆C 的方程为
22
11612
x y +=． …………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知(4,0)A -，(4,0)B .设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
所以2
111121114416
PA y y y k k x x x ?=?=
+--. 因为11(,)P x y 在椭圆C 上，
所以
22
1111612
x y +=，即22113124y x =-. 所以2
1
12
131234164
PA x k k x -
?==--. 又因为123
4
k k =
， 所以21PA k k ?=-. （1）
由已知点22(,)Q x y 在圆2
2
16x y +=上，AB 为圆的直径， 所以QA QB ⊥.
所以21QA k k ?=-. （2） 由(1)（2）可得PA QA k k =． 因为直线PA ，QA 有共同点A ，
所以A ，P ，Q 三点共线． …………………………14分
7、解：（Ⅰ）∵点Q 到椭圆左右焦点的距离和为4. ∴24a =，2a =.
又1
2
c e a =
=，∴1c =，2223b a c =-=. ∴椭圆W 的标准方程为：22
143x y +=
…………………5分 （Ⅱ）∵直线1l 、2l 经过点(0,1)且互相垂直，又A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设1l ：1y kx =+，2l ：1
1y x k
=-
+；点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)E E E x y 、(,)F F F x y 由221
14
3y kx x y
=+???+=??得22
(34)880k x kx ++-= ∵点(0,1)在椭圆内，∴△0>
∴122834k
x x k +=-+，
∴1224234E x x k
x k
+==-+，23134E E y kx k =+=+ ∴3
4E OE E y k x k
=
=- 同理3314
4()F OF F
y k
k x K =
=-=-
∴9
16OE OF k k ?=-
…………………14分
8、解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22
162
x y +=
所以焦点(2,0)F
，离心率e =
……………………4分
（Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．
由2236(2)
x y y k x ?+=?=-?，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0?>）． 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
则2122
1231k x x k +=+，2122126
.31
k x x k -=+ ． 因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-．
所以，直线P Q '的方程可以设为21
1121
()y y y y x x x x ++=
--，
令0y =，
2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=
+=++21
1212(2)(2)
(4)kx x kx x k x x -+-=+-
12121222()(4)
x x x x x x -+=+-22
22
221261222313112(4)31
k k k k k k --++=
-+ 3=． 所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分
9、解：（Ⅰ）因为椭圆C
的右焦点为F
，则c =
因为上下两个顶点与F 恰好是正三角形的三个顶点，
所以1b =
，2a =．
所以椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）依题意，当△FAB 为直角三角形时，显然直线l 斜率存在，
可设直线l 方程为y kx =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．
（ⅰ）当FA FB ⊥
时，11()FA x y =
，22()FB x y =
． 22
44
y kx x y =??+=?，消y 得22
(41)40k x +-=． 所以120x x +=，122
441
x x k =-
+．
212121212((1))3FA FB x x y y k x x x x ?=+=+++
22
4
(1)3041
k k -=+?
+=+．
解得4
k =±
． ……………………9分 此时直线l
的方程为y x =． （ⅱ）当FA 与FB 不垂直时，根据椭圆的对称性，不妨设2
FAB π
∠=
．
也就是点A 既在椭圆上，又在以OF 为直径的圆上．
所以2
211222
1114
(x y x y ?+=????+=??
，解得1x =
，1y =
所以11y k x =
= 此时直线l
的方程为y x =． 综上所述，直线l
的方程为y x =
或y =． ……………………14分 10、解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，
所以 1b =. ………………1分 因为
2
22 2
c e a b c a =
==+， 所以 2a =.
所以 椭圆M 的方程为2
2 1.4
x y += ………………3分
（Ⅱ）方法一： 依题意得0k ≠.
因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，
所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221
,(,),(,)y x t B x y C x y k
=-
+. 由221,44y x t k x y ?=-+?
??+=?
得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分
由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ?=-+-=-+>， 得22240k t k --<.（*） 因为 12284
kt
x x k +=
+， ………………7分
所以 BC 的中点坐标为2224(,)44
kt k t
k k ++.
又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，
所以 2224144
k t kt
k k k =-++.
所以 22314
k t k =+. ………………9分
代入（*），得2k <-
或2
k >.
所以 {|S k k k =<>或. ………………11分 因为 221
43
k t k =+，
所以 对于k S ?∈，线段BC 中点的纵坐标恒为
13，即线段BC 的中点总在直线1
3
y =上. ………………13分
方法二：
因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称， 所以 AB AC =，且0k ≠.
设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.
则2
2
2
2
1122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分 又,B C 在椭圆M 上，
所以 2
2
2
2
112244,44x y x y =-=-.
所以 2
2
2
2
112244(1)44(1)y y y y -++=-++. 化简，得 2
2
12123()2()y y y y -=-. 所以 1201
23
y y y +=
=. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上，
所以 001y kx =-. 所以 043x k
=
. 由2
21,413x y y ?+=????=??
可得x =±所以
4033k <
<
，或4033k -<<
，即2k <-
，或2
k >. 所以
{|S k k k =<>或. ………………12分 所以 对于k S ?∈，线段BC 中点的纵坐标恒为
13，即线段BC 的中点总在直线1
3
y =上. ………………13分
11、（Ⅰ）解：点10M （,）是椭圆C 的“1分点”，理由如下： ………………1分
当直线l 的方程为1x =时，由
21
14y +=
可得(1,A B .（不妨假设点A 在x 轴的上方） 所以
1=
12AOB S ??
，1=22AOD S ??所以AOB AOD S S ??=，即点10M （,）是椭圆C 的“1分点”. ………………4分
（Ⅱ）证明：假设点M 为椭圆C 的“2分点”，则存在过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，使得2AOB AOD S S ??=.
显然直线l 不与y 轴垂直，设:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y .
由22
1,41x y x my ?+=???=+?
得 22(4)230m y my ++-=. 所以 12224m y y m -+=
+， ① 12
23
4
y y m -=+. ② ………………6分 因为 2AOB AOD S S ??=，
所以 12111(||||)22||22
y y y +=??，即21||3||y y =. ………………8分
由②可知120y y <，所以213y y =-. ③
将③代入①中得 12
4m
y m =
+, ④ 将③代入②中得2
1214
y m =+, ⑤
将④代入⑤中得 2
2
14
m m =+，无解. 所以 点10M （,）不是椭圆C 的“2分点”. ………………10分
（Ⅲ）0x 的取值范围为(2,1)(1,2)-- . ………………14分 12、（Ⅰ）由题意知, 2b = …………………1分
由e =
a = …………………3分 椭圆方程为22
148
x y +=． …………………4分 （Ⅱ）若存在满足条件的点N ，坐标为（t ，0），其中t 为常数. 由题意直线PQ 的斜率不为0，
直线PQ 的方程可设为：1x my =+,()m R ∈ …………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,
联立221,148x my x y =+??
?+=??，消去x 得：22(12)460m y my ++-=, …………………7分
221624(12)0m m ?=++>恒成立，所以1212
22
46
,1212m y +y =
y y =m m --++ ……8分 由PNM QNM ∠=∠知：+0PN QN k k = …………………9分
1212,PN QN y y
k k x t x t
=
=--， 即
12120y y x t x t +=--，即12
1211y y my t my t
=-
+-+-， …………………10分 展开整理得12122(1)()0my y t y y +-+=，
即
22
2(6)4(1)
0,1212m m t m m ---+=++ …………………12分
即(4)0m t -=，又m 不恒为0，=4t ∴.故满足条件的点N 存在，坐标为(40),……14分 13
、（Ⅰ）解：设c
由题意，得224a b +=
，且
c a = ………………2分
解得a =1b =
，c =………………4分
所以椭圆E 的方程为2
213
x y +=. ………………5分
（Ⅱ）解：由题意，得22
4a b +=，所以椭圆E 的方程为2222
14x y a a +=-，
则1(,0)F c -，2(,0)F c
，c =. 设00(,)P x y ，
由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率1
0F P y k x c
=+， ………………6分 直线2F P 的斜率20
0F P y k x c
=
-， 所以直线2F P 的方程为0
0()y y x c x c
=
--， 当0x =时，00y c
y x c -=
-，即点00(0,)Q y c x c
--， 所以直线1F Q 的斜率为1
F Q y k c x =-， ………………8分 因为以PQ 为直径的圆经过点1F ， 所以11PF FQ ⊥.
所以110000
1F P F Q y y
k k x c c x ?=
?=-+-， ………………10分 化简，得2
2
2
00(24)y x a =--， ○1 又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，
圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．
文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=
圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.
2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.
圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程： 1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：22 13649 x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭 圆的离心率2e 之比为7 3，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线2 8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0, 27e = 由127 3 e e = 得13e =设双曲线的方程为2 2 221(,0)y x a b a b -=>则22222 13 139a b a b a ?+=??+=? ? 解得229,4a b == 双曲线的方程为 22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00 62 2 x x y y +? =????=??，∴00262x x y y =-??=?． 代入2008y x =得：2 412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5 3 sinA,求点A 的轨迹方程． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ， 8=c ，有6=b ，故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有???????='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为 ()01324 9002 2≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．
新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案
全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理）） 过点2,0) 引直线l 与曲线2 1y x = +相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜 率 等 于 （ ） A ．y E B B C CD =++3 B ．3 C ．3± D ．32 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 双曲线 2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ） A ．25 B ．4 5 C 25 D 453 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版）） 已知中心在原 点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程 是 （ ） A ．22 145 x -= B ．22 145 x y -= C ． 22 125 x y -= D ． 22 125 x -=
4 ．（2013年高考新课标1（理）） 已知双曲线C : 22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52 ,则C 的渐近 线 方 程为 （ ） A ．14y x =± B ．13 y x =± C ． 12 y x =± D ．y x =± 5 ．（2013年高考湖北卷（理）） 已知04π θ<<,则双曲线 22 122:1 cos sin x y C θθ -=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦 距相等 D ．离心率相等 6 ．（2013年高考四川卷（理）） 抛物线2 4y x =的焦点到双曲线 2 21 3 y x -=的渐近线的距 离 是 （ ） A ．12 B ．3 2 C ．1 D 3
1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。
高三圆锥曲线专题测试题 一、选择题 1．椭圆222312x y +=的两焦点之间的距离为（ ） Ａ． Ｃ． 2．椭圆2 214 x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个 交点为P ，则2PF =（ ） Ｃ．72 Ｄ．4 3．双曲线22 22 1124x y m m -=+-的焦距是（ ） Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ． Ｄ．与m 有关 4．焦点为(06)，且与双曲线2 212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） Ａ．22 11224 x y -= Ｂ．22 12412y x -= Ｃ．2212412 x y -= Ｄ．22 11224 y x -= 5．抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（ ） Ａ．24y x = Ｂ．28y x = Ｃ．24y x =- Ｄ．28y x =- 6．焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） Ａ．216y x = 或 212x y =- Ｂ． 216y x =或 216x y = Ｃ． 216y x =或212x y = Ｄ．212y x =-或216x y = 7．椭圆22 213x y m m +=-的一个焦点为(01)， ，则m 等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2-或1 Ｄ．53 8．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是（ ） Ａ．14 Ｂ．12 9．以双曲线22312x y -+=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（ ）
Ａ．22 11612 x y += Ｂ．22 1164x y += Ｃ．22 11216 x y += Ｄ．22 1416 x y += 10．经过双曲线228y x -=-的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（ ） Ｃ． Ｄ．11．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） Ａ．(02)， Ｂ．(02)-， Ｃ．(20)， Ｄ．(40)， 12．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(18)A P -，，为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是（ ） Ａ．16 Ｂ．12 Ｃ．9 Ｄ．6 三、填空题 13．已知椭圆22 14924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12F F ，连线的夹角为直角，则 12PF PF =· ． 14．已知双曲线的渐近线方程为34 y x =±，则双曲线的离心率为 ． 15．圆锥曲线内容体现出解析几何的本质是 ． 16．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为 ． 三、解答题 17．若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个 1，求椭圆的方程．
圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲
7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y
) 圆锥曲线 一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①由线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. ？ 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满 足021=?PF PF ，2tan 21=∠F PF ，则该椭圆的离心率为 3.若0>m ，点?? ? ??25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是 （4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ． 6. 在ABC 中,7 ,cos 18 AB BC B ==- ．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 7.已知ABC ?的顶点B ()-3,0、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为 8.离心率3 5 = e ，一条准线为x ＝3的椭圆的标准方程是 .
9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为 . ^ 11、抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 . 12.已知F 1、F 2是椭圆2 2 22)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10＝的两个焦点，B 是短轴的一个端 点，则△F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 是抛物线上的一点， 与x 轴正向的夹角为60°，则||为 . 14.在ABC △中，AB BC =，7 cos 18 B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率e = ． 二.解答题 15、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1 2 -. . （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C. （Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=3 2 4时，求直线l 的方程.
第3讲 圆锥曲线中的综合问题 专题强化训练 1．已知方程x 2 2－k ＋y 2 2k －1 ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A.? ?? ??12，2 B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D.? ?? ??12，1 解析：选C.由题意可得，2k －1>2－k >0， 即? ????2k －1>2－k ，2－k >0，解得1 圆锥曲线 一、填空题 1、(201５年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中,P 为双曲线2 2 1x y -=右支上的一个动点,若P 到 直线10x y -+=的距离大于ｃ恒成立,则ｃ的最大值为＿ __ 2 _____＿____。 ２、（2013年江苏高考)双曲线19162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、(2０１3年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x , 右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ,若126d d = ，则椭圆C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模)在平面直角坐标系ｘoy 中,已知抛物线C ：y x 42 =的焦点为F,定 点)0, 22(A ，若射线FA 与抛物线C 相交于点M,与抛物线Ｃ的准线相交于点N,则ＦM ：ＭN ＝ 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研(二））已知双曲线22 221(,0)x y a b a b -=>的离心率等于2， 它的焦点到渐近线的距离等于１，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线 22 14x y m -= 的渐近线方程为2y x =±，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线2 8y x =的焦点F 与双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线＼F(x ２ ,a 2 )-＼F(ｙ2 ,b 2 )＝１(a ＞0,b >0)的渐近线方程 为y =±＼R(，3）x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研)已知双曲线 2 2 15 x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 1０、（南京市、盐城市 高三)若双曲线2 2 2 (0)x y a a -=>的右焦点与抛物线2 4y x =的焦点重合,则a = ▲ ． Y 第10讲 圆锥曲线 历年高考分析： 回顾2009～20XX 年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中2010、2011、20XX 年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高．在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中A 级要求相符合． 预测在20XX 年的高考题中： (1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及． (2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解． 题型分类： (1)圆锥曲线的几何性质，如a ，b ，c ，p 的几何性质以及离心率的值或范围的求解； (2)解答题中简单的直线与椭圆位置关系问题； (3)以椭圆为背景考查直线方程、圆的方程以及直线和圆的几何特征的综合问题； (4)综合出现多字母等式的化简，这类问题难度较高． 例1：若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝10 5，则m 的值是________． 解析：当m >5时，105＝m －5m ，解得m ＝253；当m <5时，105＝5－m 5 ，解得m ＝3. 答案：3或253 例2：若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________． 解析：设M 的坐标为(x ，±2x )(x >0)，则x 2＋2x ＝3，解得x ＝1，所求距离为1＋12＝3 2. 例3：双曲线2x 2－y 2＋6＝0上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________． 解析：双曲线方程化为y 26－x 2 3＝1.设P 到另一焦点的距离为d ，则由|4－d |＝26得d ＝4＋26，或d ＝4－26(舍去)． 例4：(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2 m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4， ∴c ＝ m 2＋m ＋4，由 e ＝c a ＝5得m 2＋m ＋4m ＝5，解得m ＝2. 例5：已知椭圆()22 2210x y a b a b += >>的离心率32e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，则椭圆 的方程为 ． 例 6：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1:C ()22 2210x y a b a b += >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其中2F 也 1.已知动直线l 与椭圆C: 22 132 x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ?= 6 2 ,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和22 12y y +均为定值; （Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ?的最大值； （Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得6 2 ODE ODG OEG S S S ???===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由. 2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设1 2 e = ，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由 3.设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2 =上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程。 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA ?AB = MB ?BA ，M 点的轨迹为曲线C 。 （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。 5.在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22 221 x y a b +=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ； （Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程． 6.已知抛物线1C :2 x y =，圆2C :2 2 (4)1x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离； （Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线 l 的方程 7.如图7，椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的离心率为23，x 轴被曲线 b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长. ()I 求1C ，2C 的方程； ()II 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线 l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1 C 相交于点 D ， E . (ⅰ)证明： ME MD ⊥; (ⅱ)记MAB ?,MDE ?的面积分别为21,S S ，问：是否存在直线l ，使得32 17 21=S S ？请说明理由. 圆锥曲线综合练习 一、 选择题： 1．已知椭圆221102 x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 2．直线220x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ） A B ．12 C ．2 3 3．设双曲线22 219 x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2 2 1y x m +=的离心率是（ ） A B C D 5．已知双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ， 两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A B 6．已知点12F F ，是椭圆2 2 22x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +u u u r u u u u r 的最小值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．7．双曲线221259 x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A ．22或2 B ．7 C ．22 D ．2 8．P 为双曲线22 1916 x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点， 则||||PM PN -的最大值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =u u u r u u u r ，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ） A B 1 C 1 D 1 11．两个正数a b ，的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2b y x a =-的焦点坐标是（ ） A ．5(0)16- ， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1 (0)5 ， 12．已知12A A ，分别为椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P 高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） 一、2020年高考虽然推迟，但是一定要坚持多练习，加油！ 二、高考分析 1、分值、题型、难度设置 圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，分值约占14﹪，即20分左右，题型一般为二小一大，例如，2005年高考为一道选择题，一道填空题一道解答题。小题基础灵活，解答题一般在中等以上，一般具有较高的区分度。 考试内容：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单的几何性质，椭圆的参数方程。 主要题型：（1）定义及简单几何性质的灵活运用；（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；（3）直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦及斜率、对称问题），确定参数的取值范围；（4）在导数、不等式、函数、向量等知识网络交汇点上的问题。 2、命题方向 解析几何内容多，范围广，综合度高，其特点是：数形结合，形象思维，规律性强，运算量大，综合性好。主要考察运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的综合能力。 涉及函数、方程、不等式、三角、向量和导数等方面的内容，以及数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法。 要注意一些立意新，角度好，有创意的题目，特别要关注在向量和解析几何交汇点上的命题趋势，两者通过坐标自然融合，既考查基 础知识、基本方法，又平淡之中见功夫，强化区分功能，突出对能力的考查，从不同的思维层次上考察能力，有较好的思维价值。 三、 专题复习 2.1考查直线和圆锥曲线方程等有关基础知识和基本方法，要特别重视圆锥曲线定义的灵活应用，反映思维品质。 例1．1)如图，在正方体ABCD D C B A -111的侧 面1AB 内有 动点P 到直线AB 与直线11C B 距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为： （ ） 1 11 A B 1 (A) (B) 1A B 1 A 1 B (C) B A B 1 (D) 分析：本题主要考查抛物线定义，线面垂直关系及点到直线的距离等概念，情景新，角度好，有创意，考查基础知识和基本方法。 ∵11C B ⊥面1AB ，1PB ∴即为点P 到直线11C B 的距离，故动点P 的轨迹应为过B B 1中点的抛物线，又点1A 显然在此抛物线上，故选C 。 2)已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作 正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．324+ B ．13- C ． 2 1 3+ D ．13+ 2.2 求曲线的方程，考查坐标法的思想和方法，从不同思维层次上反映数学能力。 1. 已知动直线 l 与椭圆 C: x 2 y 2 1 交于 P x 1 , y 1 、 Q x 2 , y 2 两不同点，且△ OPQ 的 3 2 面积 S OPQ = 6 , 其中 O 为坐标原点 . 2 （Ⅰ）证明 x 12 x 22 和 y 12 y 2 2 均为定值 ; （Ⅱ）设线段 PQ 的中点为 M ，求 |OM | | PQ | 的最大值； （Ⅲ）椭圆 C 上是否存在点 D,E,G ，使得 S ODE S ODG S OEG 6 ?若存在，判断△ 2 DEG 的形状；若不存在，请说明理由 . 2. 如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O ，长轴左、右端点 M ，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN ，且 C1， C2的离心率都为 e ，直线 l ⊥MN ， l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大 到小依次为 A ， B ， C ， D. （I ）设 e 1 ，求 BC 与 AD 的比值； 2 （II ）当 e 变化时，是否存在直线 l ，使得 BO ∥ AN ，并说明理由 3. 设 ，点 A 的坐标为（ 1,1 ），点 B 在抛物线 y x 上 运动，点 Q 满足 BQ QA ，经过 Q 点与 x 轴垂直的直线 交抛物线于点 M ，点 P 满足 QM MP , 求点 P 的轨迹 方程。 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ，B 点在直线 y = -3 上， M 点满足 MB//OA ， MA ?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。 （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。 圆锥曲线综合训练一Revised on November 25, 2020 圆锥曲线综合训练一 一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分) 1. 若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y + =的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 2. 若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是 A ．[1-+ B ．[1 C ．[11 -+， D ．[1- 3. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 A ． 4 B ． 6 C ． 8 D ．12 4.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂 足，如果直线AF PF = （A ）（B ）8 （C ） （D ）16 5.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 C 1 2 D 1 2 6.已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>，过右焦点F 且斜率为 (0)k k >的直线与C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =，则k = A ． 1 B ． C ．． 2 7.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为 A 1 2 B 1 C 2 D 4 8.已知双曲线E的中心为原点，(30) F，是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为(1215) N--，，则E的方程为 A 22 1 36 x y -=B 22 1 45 x y -= C 22 1 63 x y -= D 22 1 54 x y -= 9.设O为坐标原点，F1，F2是双曲线 2 2 x a － 2 2 y b ＝１（a＞0，b＞0）的焦点，若 在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，OP a，则该双曲线的渐近线方程为 A x=0 x±y=0 C x y=0 D x±y=0 10.若点O和点(20) F-，分别为双曲线 2 2 2 1(0) x y a a -=>的中心和左焦点，点P为 双曲线右支上的任意一点，则OP FP ?的取值范围为 ( ) A．[3) -+∞B．[3) ++∞ C． 7 [) 4 -+∞ ， D． 7 [) 4 +∞， 二．填空题（本小题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若双曲线 2 4 x - 2 2 y b =1（0 b>）的渐近线方程为 1 2 y x =±，则ｂ等 于． 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 22 1 412 x y -=上一点M的横坐标为 3，则点M到双曲线的右焦点的距离为． 13. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C 于点D， 且2 =，则C的离心率为． 14. 已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线1 :- =x y l被该圆所截得的弦长为2 2，则圆C的标准方程为．高考数学一轮复习专题突破训练圆锥曲线
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