方型烤箱上平底锅最优设计
摘要
本文建立了基于不同形状下平底锅的热量分布模型，然后计算出它们的热平均度并结合各种形状的平底锅与烤箱本身的搭配是否能实现最大的利用率，从而选择出最优的平底锅形状。模型主要涉及的数学软件有EXCEL、MATLAB。
对于问题一的研究，我们根据热学的基本理论，考虑到热传递可以分成热辐射、热传导和热对流这三种形式，因此这里我们对热传递的每种方式分开考虑，然后分别给出热量分布模型。通过MATLAB里的PDE Toolbox，我们模拟出了不同形状的平底锅在烤箱内的热量分布情况，并根据所模拟出来的热量分布图进行图像变化分析以及图中数据的提取，接着又对所得的数据进行更深层次的分析，从而得出正多边形的平底锅随着边数的递增，温度方差会渐渐地变小，热量分布也会逐渐趋于均匀的结论。
而对于问题二，首先根据问题一的模型，可以直接得到不同形状下平底锅热平均度的结果，然后再根据题目给出的方形烤箱的宽长比，我们计算出各种平底锅在该烤箱内能够摆放的最大数量。虽然平底锅的面积恒定，但由于形状的差异而造成了在烤箱内的空间利用率有所不同，摆放的数量也会因此而产生变化，因此在这一过程中我们对摆放方式展开了分类讨论，同时还对个别正多边形存在的多种排列方式也进行了详细的讨论。基于前面的过程，再通过层次分析法，将平底锅的热平均度和在烤箱内的摆放数量这两个因素作为准则层构造判断矩阵，计算出每种平底锅的权重值，最后依据权重的大小选择出平底锅最好的形状是正六边形。
针对问题三，根据问题一和问题二的结果，结合平底锅的热平均度和烤箱的空间利用率这两个影响因素，选出最优的平底锅形状为正六边形，然后对我们的模型结果进行推广，设计了一份关于正六边形平底锅的宣传广告。
最后，对模型进行误差分析，提出了模型优化的方向。此外，文中第二问中构造的层次分析模型均进行了一致性检验，保证了结果的准确性。
关键词：热传递；热平均度；层次分析法
一、问题重述
在一个方形的大烤箱上，放上多个平底锅。如果这些平底锅是方形的，那在
烤饼时，热量会集中在四个角上，导致食物的四个角先被烤焦，而同时边上因受
热不足却没熟透。如果这些平底锅是圆形的，则整个边沿受热都会均衡，烤的效
果会很理想。
但是，现行使用的大部分的烤箱都是方形的，用圆形平底锅在烤箱内烤东西
的话空间利用率会很低。因此，考虑以下几个问题并建立数学模型解决它们。
问题一：建立一个模型，分析不同形状的平底锅，例如圆形、方形或者圆跟
方之间其他的任意变形，烤东西时的热量分布情况。
问题二：在以下条件下，建立一个模型来选择最好的平底锅形状：
条件1. 能在烤箱上放最多的平底锅；
条件2. 使热量分布的均匀程度最大化；
条件3. 最好地结合条件1和条件2，假设两条件分别占权重记为p 和1p ，请分析最优选择结果是如何随烤箱的宽长比l
w 及权重p 的变化而变化的。 问题三：以美食杂志社身份设计宣传广告，并说明设计理念和结果。
二、问题分析
问题一属于经典的热传递问题，根据热学的基本理论，热传递主要有3种方
式：热辐射、热传导和热对流。对于解决此类问题一般用MATLAB 软件PDE 工具
箱进行求解，这里我们可以对热传递的每种方式分开考虑，然后分别给出热量分
布模型。
对于问题二，在问题一的模型基础上，可以先对不同形状的平底锅在烤箱内
的热量分布情况进行简化，得到它们边缘热量的热平均度，然后将结果呈现出来。
接着再对不同形状下的平底锅在烤箱内能够摆放的数量进行建模，可以通过简化
模型的一些条件来达到模型的普遍适用性。由于需要确定最好的平底锅形状是受
热平均度和摆放数量这两个条件限制的，基于前面的过程，我们可以再通过层次
分析法对于如何选择最好形状的平底锅这一问题进行深入的研究。
经过问题一和问题二的建模过程，考虑选择何种形状的平底锅是最合适的，
然后给出设计思路和原因。
三、基本假设
假设一：烤箱是一个宽长之比值为
l
w 的方形烤箱； 假设二：每个平底锅的面积都相同，记为s ，且面积不随形状的变化而变化；
假设三：左右两个底座架子水平地支撑着大型烤箱，烤箱面板的各处受热均匀；
假设四：锅的材料是均匀和出现物理学各向同性；
假设五：侧墙的厚度和锅底可以忽略不计；
假设六：平底锅都是用金属制作的，导热性良好；
假设七：预热持续时间很短，可以忽略不计；
假设八：当烘烤温度达到和保持在一个稳定的水平，平底锅的高度可以忽略不计。
四、定义与符号说明
符号
含义 T 温度
g Q 内热源
ρ 材质密度
c 比热容
λ 热传导系数
h 热对流系数
ext T 外界温度
edge q 已知各面的法向热流密度
n
外法线的方向
五、模型的建立与求解
5.1问题一的模型
在烤箱中可以对各种不同形状的平底锅进行烧烤，根据热学的基本理论，热
传递主要有3种方式：热辐射、热传导[1]和热对流。而在本模型的烤箱中，由于
没有风扇，箱内空气的热对流情况只出现在平底锅金属材料之间的热传导过程
中，因此我们可以不单独考虑这一情况对平底锅热量分布的影响，而是将热对流
情况综合到热传导过程进行分析。下面我们分别对热辐射和热传导方式下不同形
状平底锅的热量分布情况展开具体研究。
5.1.1 热辐射导致的温度差异
当只研究热辐射对平底锅烧烤时的热量分布情况，我们了解到热辐射的发射
率和吸收率有空间方向的特性，这表明辐射传热与几何形状、大小以及相对位置
图1 辐射传热示意图 在了解角系数之前，我们已经知道了投入辐射以及有效辐射，因而角系数的
概念为有两个表面，编号分别为1和2，其间充满透明介质，则表面1对表面2
的角系数1,2X 是：表面1直接投射到表面2上的能量，占表面1辐射能量的百分
比，即
1,2121X =
表面到表面的辐射作用在表面上的有效辐射
。 由于角系数具有归一性：
11121,n X +X +...+X =1，，， 因此，可以用角系数来表征能量的分布规律，给定相同的比热容，如图1，可知
温度的分布规律为：
22122,23
cos 1A A d d d d h X r r φππ==。 12211121,2332211221222211112[()()]2()d A h A h A A d A d d X d dx A r d h d x d d h h d ππαβπα-∴==+++=+??。
当1α=时，
21,22222()A d h
X h d π=-+。 当1β=时，
1,2d h X =。
当0,0αβ==时，
1,2max d X = 其中1,21,2max T
t X X =。
这里我们借助MATLAB 软件中的PDE Toolbox [3]可以直接得到平底锅边缘的温
度分布情况如下所示。
图2 平底锅边缘温度分布情况图 5.1.2 热传导造成温度差异的修正
在研究不同形状的平底锅的热量分布情况时，主要研究的是金属平底锅的热
传导过程，这是因为在大部分温度可控的烤箱内，里面的气体温度可以保持恒定，
从而造成食物边缘的不均匀热量主要是来自于金属平底锅。不同金属平底锅的热
图3 矩形平底锅热流示意图 图4 圆形平底锅热流示意图
如图3所示，矩形平底锅在烤箱内每个角落均受到了来自三个方向的热量，
它不同于长方体的其他平坦面，在这里只从一个方向向外传递，并且有足够的空
间将热量传递给热而升温的内部部分。而这几个角从三个方向升温而来的热量大
多数还是积聚在此，由于缺乏开放的空间，故很难很快地扩散出去。因此，整个
矩形平底锅的热量分布不均匀，且四个角的温度会高于其他部分的温度。因此，
在平时生活中，我们易看到人们在用方形平底锅来烤饼时，烤出的食物其四个角
会先被烤焦，与此同时，边上的部分却因受热不足而没有熟透。
如图4所示，圆形平底锅的边缘温度之所以保持平稳，是因为它的底面和平
坦的弯曲侧面上都只从一个方向加热，它们都拥有足够开放的空间，从而将热量
传递到里面的其它部分，使温度保持在有目标水平的边缘温度上。因此，热量将
被均匀地分布在整个平底锅的外缘，温度不够高不足以将食物给烤焦掉。
下面我们根据热传导方程对不同形状的平底锅的热量分布情况进行深入研
究。由于恒温箱中平底锅各个面所接收的热流密度相同，因此，平底锅中热分布
不均是平底锅与空气之间的热对流和平底锅金属材料之间的热传导造成的。根据
热传导方程：
222222()g T T T T c Q t x y z
ρλ????-++=????， 其中，T 表示温度，g Q 表示内热源，ρ表示材质密度，c 表示比热容，λ表示热
传导系数。
在热传导过程达到稳态时，温度不再改变，故
0,T t t
?=→∞?， 由此可得含热对流因素、无内热源的稳态热传递方程为
222222()()ext T T T h T T x y z
λ???-++=-???。 其中h 表示热对流系数，ext T 表示外界温度。
如果仅考虑平底锅底面受热，忽略平底锅侧面，则平底锅表面的热分布将会
平均。因此，平底锅热分布不均主要是侧面接收的热量向底面传导造成的，故可
将三维热传递模型近似简化为如下的二维平面热传递模型：
22220()()ext edge T T h T T x y T q q n λλ???-+=-???????=-=??? 。 其中edge q 表示为已知各面的法向热流密度，n 为外法线的方向。
对于二维热传递模型的稳态解可以利用有限元分析法[2]来求解。有限元分析
法的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解，它将求解域看成是由许
多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近
似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的
解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替，其
中的有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。相比于其它求解
边值问题，有限元求解法的基本步骤是相类似的，只是具体公式推导和运算求解
不同。有限元求解问题的基本步骤通常为：
第一步，问题及求解域定义。根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几
何区域。
第二步，求解域离散化。将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相
连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网
络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增
大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。
第三步，确定状态变量及控制方法。一个具体的物理问题通常可以用一组包
含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方
程化为等价的泛函形式。
第四步，单元推导。对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，
其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态
变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。
第五步，总装求解。将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），
反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条
件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在
结点处。
第六步，联立方程组求解和结果解释。有限元法最终导致联立方程组。联立
方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的
近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确
定是否需要重复计算。
简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建
立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简
便提取信息，了解计算结果。
本文将针对有限元分析法的精髓，并借助MATLAB 提供的PDETool 的工具箱，
来求解二维热传导模型的数值解。为了能很好地反映矩形、圆形以及正多边形等
其它各种形状的热分布情况，我们特地对其进行比较，以某特殊实验材料制作的
正方形平底锅为各项测试的标准状态，其中正方形平底锅的各项参数及边界条件
如下表所示：
表1 标准状态下各项参数设置表
物理量 参数值
50/(/())W K m h 2100/(/())W K m
ext T
330/K 0q 1000/(/())W s m
通过MATLAB 的PDETool 的工具箱，我们可得到如下的结果：
图5 正方形平底锅模型温度分布三维示意图图6 正方形平底锅边缘温度曲线图由上述两图可知，平底锅的四周温度偏高，中心温度最低，边缘温度变化比较明显。
等面积圆形平底锅的温度分布三维示意图如下图所示：
图7 圆形平底锅模型温度分布三维示意图
相对于正方形平底锅的温度分布示意图，我们可发现在温度的大小上，圆形平底锅的最大值要小于标准值，最小值也要大于正方形平底锅的最小值，可知圆形平底锅的温度热量分布变化趋势比较缓慢。而且相比于边缘温度易变的正方形平底锅，圆形平底锅沿边缘温度分布均匀，大多都集中在373-374T之间，且中间的温度较低，呈现着与方形平底锅相类似的热量分布。
现保持面积不变，以正方形为基准，将正多边形的边数增大，在此以正六边形为例，可得出以下几个基本图形，其余图形请见附录。
图8 正六边形平底锅模型温度分布三维示意 图9 正六边形平底锅边缘温度曲线图
这里我们将上述图像的边缘温度曲线一一地拟合出来，并经过MARLAB 程序
的拟合，将这些曲线都画到同一幅图当中，现以两条曲线为例，将其统一到同一
幅当中去。
假设现在有两条已画出的边缘温度曲线，并将它们保存为A.fig 和B.fig ，
那么我们可借助MATLAB 的程序，将A 、B 两个文件打开；再将A 图中的两条坐标
轴的数据拷贝出去，保存起来，关掉A 图后，在B 曲线原有的基础上添加A 的数
据，就可以在B 图中画出A 曲线，再进行比较就可以得出想要的相应结论了。具
体的程序请见附录，结果如下所示：
图10 边缘温度曲线图 然后，我们将上面两条拟合曲线合并到同一个图像中，如下图所示：
图11 两条拟合曲线合并示意图
当想要合并的拟合曲线较多时，也可采用相类似的办法。从而我们可以得到当面积保持不变时，将正多边形的边数增大，并使之趋近于圆形时的总体边缘温度曲线的变化规律，具体图形如下所示：
图12 不同形状平底锅的边缘温度曲线图
从上到下依次为正方形到n很大的正多边形的边缘温度曲线图，从中可以看到，边缘热分布成抛物线形式，且随着正多边形边数的增加，温度会逐渐平均，方差会渐渐地变小。
5.2问题二的模型
5.2.1 边数与热平均度
根据模型一的结果，我们计算出不同形状的平底锅的温度方差，并用它们的边缘温度方差代表热平均度，具体结果如下表所示：
表2 不同多边形平底锅温度方差表
正多边形边数 整体温度方差
边缘温度方差 4
4.3236 2.2918 5
3.2438 0.6959 6
2.8923 0.3416 7
2.7342 0.1716 8
2.6159 0.0961 10
2.5089 0.0535 12
2.4738 0.0347 14
2.4155 0.0090 16
2.3754 0.0057 5.2.2 已知烤箱的宽长的比例为
w l
，即设宽为w ,长为l ，同时烤盘的面积是恒定的为s 。为了在烤箱上摆放更多的烤盘，现在就对烤盘的形状及其摆放的数量进行分类讨论。这里我们设烤盘的边长为a ，得到正多边形的面积通用公式为
21804tan n s a n
?=正多边形面积。 其中n 表示边长数，N 为摆放的数目。
1.正四边形
图13 正四边形摆放示意图
根据正四边形的摆放方式，我们可以得出烤箱内可以摆放该形状的平底锅的最大数量为
N=w l wl a a s
=。 2.正五边形
图14 正五边形摆放示意图
根据正五边形的摆放方式，然后得到烤箱内可以摆放该形状的平底锅的最大数量为
1.0004
lw
s
=。
3.正六边形
对于六边形的摆放方式，这里我们将它分成两种情况进行考虑。
图15 正五边形摆放示意图（其一）图16 正五边形摆放示意图（其二）根据图15的摆放方式，我们可以得到它的摆放数量为
1.0023
lw
N
s
==，
再根据图16的摆放方式，我们得到该情况下的摆放数量应该是
0.7518
lw
N
s
==。
4.正八边形
对于正八边形摆放的研究，依旧存在两种摆放情况：
图17 正八边形摆放示意图（其一）图18 正八边形摆放示意图（其二）
根据图17的摆放方式，计算出摆放的最大数量为
0.7838
2
lw
N
s
==，
然后根据图18的摆放，得到该情况下的摆放数量
0.7838
lw
N
s
==。
下面我们依次对正多边形继续进行研究讨论，从而可得它们的摆放数量分别为：
=0.7840
lw
N
s
正十边形
，
=0.7842
lw
N
s
正十二边形
，
=0.7847
lw
N
s
正十四边形
。
然后我们再对圆形进行另外的讨论，这里设圆的半径为R，同时面积是固定的2
S R
π
=
图19 圆形的摆放示意图
根据上图对圆形平底锅的摆放方式，我们可以得到该方式下的摆放数量为
0.7853R w l lw N R s
==。 最后，综合以上的结果，并对有多种排列图的正多边形，我们选择最优的数据汇总成边数-数量的表格如下：
表3 边数与摆放数量的关系表
边数n
数量N 4
wl s 5
1.004wl s 6
1.0023wl s 7
0.7323wl s 8
0.7838wl s 10
0.7840wl s 12
0.7842wl s 14
0.7847wl s ∞（圆） 0.7853wl s 5.2.3 层次分析模型
由于需要确定最好的平底锅形状是受热平均度和摆放数量这两个条件限制的，基于前面的过程，我们需要对于如何选择最好形状的平底锅这一问题进行深入的研究。而在此情况下，层次分析法能得到很好的应用。层次分析法是是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法，它的思路主要体现在分层上，从最底层开始分析各层对上一层的权重，一直到目标层，最后才综合得出最底层对目标层的总权重，从而能达到我们的预定目标。现在根据选择平底锅的多种形状及两个准则，通过层次分析模型（AHP ）[4]，建立了三个层：平底锅形状的最优选择(目标层)、数量和热平均值（准则层）、正多边形平底锅的边数（方案层），具体的分层结构图如下所示：
图20 层次结构图
构造层次分析模型的建立具体应该包括以下几个过程：
Ⅰ.构造判断矩阵。判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。其形式如下：
?????????????????????=nn n n n n b b b b b b b b b A 212222111211 ，
其中ij b 表示对上一层A 层而言，该B 层中因素i b 对j b 的相对重要程度。在这里，我们通常可以使用1-9尺度来方便地表示它，具体含义如下表。
表4 1-9尺度ij b 的含义
尺度
含义 1
C ｉ与C ｊ的影响相同 3
C ｉ比C ｊ的影响稍强 5
C ｉ比C ｊ的影响强 7
C ｉ比C ｊ的影响明显的强 9
C ｉ比C ｊ的影响绝对的强 2,4,6,8
C ｉ与C ｊ的影响之比在上述两个相邻等级之间 1,1/2，…,1/9 C ｉ与C ｊ的影响之比为上面a ｉｊ的互反数
针对本文中的问题二，通过以上的步骤建立模型之后，由于准则层相对于目方案层
目标层
准则层
标层的比重已给出，其中平底锅的数量对目标层的权重为p ，且平底锅的热平均值相对于目标层的权重为1-p 。据于此，本文用成对比较法和1-9比较尺度对层次结构模型中的方案层对于上一层中的热平均值准则建立的9*9成对比矩阵为
1.0000 0.3333 0.2500 0.2500 0.2000 0.2000 0.1667 0.1667 0.14293.0000 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2500 0.2000 0.2000 0.16674.0000
2.0000 1.0000A = 0.3333 0.3333 0.2500 0.2000 0.2000 0.16674.0000
3.0000 3.0000 1.0000 0.5000 0.5000 0.3333 0.3333 0.25005.0000 3.0000 3.0000 2.0000 1.0000 1.0000 0.5000 0.5000 0.33335.0000
4.0000 4.0000 2.0000 1.0000 1.0000 0.5000 0.5000 0.33336.0000
5.0000 5.0000 3.0000 2.0000 2.0000 1.0000 1.0000 0.5000
6.0000 5.0000 5.0000 3.0000 2.0000 2.0000 1.0000 1.0000 0.5000
7.0000 6.0000 6.0000 4.0000 3.0000 3.0000 2.0000 2.0000 1.0000????????????
????????????
????。 Ⅱ.进行层次单排序和一致性检测。采用和法计算准则层的因素相对于目标层的层次单排序。
首先，对A 的每一列向量归一化，得到对i ?按行求和得：
1n
i ij j ??-=∑，
其次，将i ?归一化得
1i
i n i
i ?ω?
-=∑， 最后，计算矩阵的最大特征根
其中i A )(ω表示向量ωA 的第i 个元素。
此外，还需要计算一致性指标：
RI CI CR =，其中[1]
max 1n CI n λ-=-。 这里RI 为平均随机一致性指标，当CR<0.1，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当调整。
Ⅲ.进行层次总排序。需要将计算出来的层次单排序再次进行适当计算。假设层次结构模型是由目标层(A)、准则层(B)和方案层(C)所组成，准则层有2个因素，方案层有9个因素。
已知B 层对A 层的层次单排序为：
max 1()1n i i i
A n ωλω==∑ 。
T ),,,()2(6)2(2)2(1)2(ωωωω =，
则以)3(k ω为列向量构成矩阵， C 层对B 层的准则B k 的层次单排序为：
(3)(3)(3)(3)114(,,...,)T k k k k ωωωω=，
1,2,,6k = 。
同时，C 层各方案对A 层的层次总排序的方法为： ,)2()3()3(ωωW =
更一般地，若共有s 层，则第k 层对第1层（设只有1个因素）的组合权向量，即层次总排序满足其中
()()(1)k k k W ωω-=，
3,4,......,k s =。 其中)(k W 是以第k 层对第k-1的权向量为列向量组成的矩阵，于是最下层（第s 层）对最上层的层次总排序为
()()(1)(3)(2)......s s S W W W ωω-=。
再根据上面的步骤进行逐步计算，通过MATLAB 软件，可以得到多种正多边
形相对于准则层各准则的权重为：
表5 权重表
矩阵 权重向量
max λ CI RI CR 1B P - (3)2(0.1658,0.1835,0.2864,0.0269,0.0406,0.0470,0.0525,0.0768,0.1205)
T ω= 9.3998 0.0500 1.45 0.0345 2B P - (3)2(0.0220,0.0355,0.0440,0.0727,0.1022,0.1100,0.1734,0.1734,0.2666)T ω= 9.3738 0.0467 1.45 0.0322
又已知准则层相对于目标层的排序为
(2)(,1)T p p ω=-，
所以可得方案层相对于目标层的排序向量为
(3)(3)(2)
12(,)(0.14380.0220,0.14800.0355,0.24240.0440,
0.04580.0727,0.06160.1022,0.06300.1100,
0.12090.1734,0.09660.1734,0.14610.2666)T W p p p p p p p p p ωωω=?=+++-+-+-+-+-+-+。
IV ．组合一致性检验。我们可以逐层进行组合一致性检验，若第p 层的一致
性的指标为)()(2)(1,......,,p n
p p CI CI CI （n 是第p-1层因素的数目），随机一致性指标为)()(2)(1,......,,p n p p RI RI RI 。
定义
)
1()()(2)(1)(],,,[-=p p n p p p CI CI CI CI ω ，
)
1()()(2)(1)(],......,,[-=p p n p p p RI RI RI RI ω， 则第p 层的组合一致性比率为
s p RI
CI CR p p p ,......,4,3,)()
()(==。 同时，第p 层通过组合一致性检验的条件为
()0.1p CR <，
从而最下层（第s 层）对第1层的组合一致性比率为
∑==s p p CR CR 2)(*
。
当且仅当*
CR 适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验。
我们对上述结果进行组合一致性检验。因为已知准则层对目标层的权重，并且通过检验。
而在第3层中，有
(3)(3)(3)(2)12,* 0.0033p+0.0467CI CI CI ω??==??
， (3)(3)(3)(2)12,* 1.45RI RI RI ω??==??，
从而有
(3)
(3)(3) 0.0023p+0.0322CI CR RI
==。 均通过检验。
最下层（第3层）对第1层的组合一致性比率为
3
*
()20.1p p CR CR ==<∑。 因此组合一致性检验通过，前面得到的组合权向量W 可作为最终决策选择平底锅形状时的重要依据。
图21 不同正多边形的权重图
上图是方案层的9个正多边形（包括圆）对目标层所占权重的函数示意图，其中x轴表示p值，即所放平底锅的数量占目标选择的权重。在上述9条函数线中，我们可知权重最大的只有粗红线和粗蓝线，而它们分别代表着圆形及正六边形。经计算可求得，它们相交于（0.5730，0.1829），故有如下的结论：当p值小于0.5730时，圆形平底锅是最佳的选择，反之，正六边形平底锅才是我们应该要选择的平底锅。
5.3问题三
平底锅也能如此疯狂
你见过这么奇形怪状的平底锅
吗？你知道平底锅也可以有着独特
的个性吗？你知道平底锅也可以美
观又实用吗？这就是我们今天要推
出的正六边形平底锅，有了它，生活
可以变得so easy！
1.增加你的个人魅力
一款造型别致的平底锅不仅可以烹饪出美味的食物，更可以凸显主人与众不同的时尚眼光。除了是一名优秀的家庭厨师，你还可以是一名走在潮流前列的时尚达人。
2.让食物更美味
正六边形的平底锅，比一般的方形平底锅受热更加均匀，因此，用它更能发掘出每种食材本身的味道，而且完全不用担心食物会被烤焦。
3.让生活更节能
这款平底锅实现了空间利用率的优化，每个烤箱一次可以放置更多的这种平底锅，既省时又省电，完全是一次全新的节能之旅。
这么一款吸人眼球又好处多多的平底锅，还等什么，赶紧来体验一下吧！
六、模型的误差分析
本文的模型二中对于计算不同多边形平底锅在给定方形烤盘内的最多摆放数量的时候，对多边形摆放问题进行了简化，在对于五边形和六边形摆放上只分别考虑了两种摆放方式，没有对其他可能的摆放和排列形式进行更多的探究。而且对于边数大于7的正多边形，我们都只考虑了一种摆放方式，也就是传统的直接排列的方式。
而对多边形摆放方式这一问题的简化，可能会影响关于最优平底锅形状的选择。因此，本文的模型虽然是一个最优化的模型，但是也有一定的误差存在，有一定的局限性。
七、模型评价与推广
本文中我们分别建立了平底锅的热量分布模型和平底锅形状最优化的选择模型，这两个模型都是在热传递方程和有关空间摆放问题的研究基础上进行优化，然后重新建模。而在用层次分析法求解最优形状的平底锅时，本文过多地强调了可放平底锅的数量及热平均值在平底锅选择时的影响，而忽略了烤箱的宽长比对其的影响。因此，本模型存在着一定的片面性，需要继续优化。总而言之，本文的模型对于如何选择最合适的平底锅形状提出了很好的解决方案，但是由于投入市场过程中还需要考虑平底锅的成本、加工费用以及加工工艺等因素，所以对于我们选择出的最合适形状的平底锅进入大批量生产还需要做进一步的审核。对于本文给出的问题，如果上述模型十分合理，那么我们可以运用本模型得出的结论，在将来的制造生产环节多多生产圆形及正六边形的平底锅，从而减少了市场上各种琳琅满目的平底锅，提高了人们对平底锅的使用率。
2010-2011第二学期 数学建模课程设计 2011年6月27日－7月1日 题目大学生就业问题 第 11 组组员1 组员2 组员3 组员4 姓名 学号 0808060217 0808060218 0808060219 0808060220 专业信计0802 信计0802 信计0802 信计0802 成绩
论文摘要 本文讨论了在新的形势下大学生的就业问题。20世纪90年代以来，我国出现了一种前所未有的现象，有着“天之骄子”美誉的大学生也开始面临失业问题。大学生就业难问题已受到普遍关注。大学生毕业失业群体正在不断扩大，已成为我国扩大社会就业，构建和谐稳定社会的急需解决的社会问题。 本文针对我国现有的国情，综合考虑了高校毕业生的就业率和高校招生规模的扩大之间的关系，建立了定量分析的微分方程模型，随后又建立了了离散正交曲线拟合模型对得出的结果进行了检验，并分析模型得出的结果得合理性。最终得到生源数量与失业率之间的拟合多项式和拟合曲线，并预测出了未来高校招生规模的变化趋势。 在找到大学生失业规律以后，本文还具体的对毕业生的性别、出生地对失业的影响做出了定量分析。 关键词：大学生就业微分方程模型多项式曲线拟合MATLAB软件 1、问题重述 大学生就业问题：如果我们将每年毕业的大学生中既没有找到工作又没有继续深造的情况视为失业，就可以用失业率来反映大学生就业的状况。下面的表中给出了某城市的大学生失业数占城市总失业人数的比率，比率的计算是按照国际劳工组织的定义，对16岁以上失业人员进行统计的结果。 表 1
请建立相应的模型对大学生就业状况进行分析找出其中的规律并讨论下面两个问题： (1)、就业中是否存在性别歧视； (2)、学生的出生对就业是否有影响。 2、模型假设 2.1在本次研究中做出以下假设： (1)、假设毕业生求职时竞争是公平的； (2)、假设考研等继续深造的毕业生属于已就业人群； (3)、假设每个毕业生都有就业或者继续深造的意图 (4)、假设就业率和失业率之和为1； (5)、假设本文搜集的数据全部真实可靠； 2.2 在定量分析性别、出生地对失业的影响时还要做以下假设： (1)、假设毕业生就业情况只受性别、出生地等因素的影响； (2)、假设具有上述同等条件的毕业生间就业机会相同 (3)、假设附件中的数据信息均合理； 3、问题分析 3.1 对问题的分析 若要分析新失业群体产生的主要原因，并就其重要性给出各种因素的排序，就需要对搜集的数据进行整理，并进行系统的分析，划分为不同的体系和矛盾，然后我们考虑用Logistic模型分析。 为了得到新失业群体对高校招生生源的影响和预测未来高校招生规模的变
《数学建模与数学实验综合实验》课程设计任务书 一、设计目的 “数学建模与数学实验”是一门实践性、综合性、应用性较强的数学基础课程，是交叉学科和新兴边缘学科发展的基础，对学生动手能力要求很高。数学建模与数学实验综合实验是该课程的必要实践环节。通过实验学生实践数学建模的各个环节，以帮助学生强化数学建模基础知识与建模方法的掌握，激励学生勇于创新，全面提高学生解决实际问题的动手能力，掌握常用数学计算工具和数学软件，为从事科学研究和工程应用打下坚实基础。通过基础实验,使学生加深对“数学建模与数学实验”课程中基本理论和基本方法的理解,了解常用数学工具和方法，增强学生的实验技能和基本操作技能，在提高学生学习数学建模课程兴趣的同时，培养和提高学生的动手能力和理论知识的工程应用能力。 二、设计教学内容 1、生产计划制定 ; 2、利润最大化问题 ; 3、光纤铺设问题 ; 4、大学生的个人花费问题； 5、电站建设问题； ……… 26、印花税调整与证券市场； 27、学生成绩的综合评定； ……… （每个同学按照指定题目选题） 三、设计时间 2013—2014学年第1学期：第17周共计1周 教师签名: 2013年12月23日 目录
摘要 (3) 一、问题重述 (4) 二、问题假设 (5) 三、模型建立 (6) 四、模型求解 (10) 五、模型的评价与改进 (11) 六、模型以外的其他思考 (12) 八、文献参考 (13) 学生评教的数据分析与处理 摘要 学校是一个充满着评价人的场所，每时每刻都在对各个人进行评价。毫不夸
张地说评价教师是学校里每个人的“日常功课”。由于教师职业劳动的特殊性，它是复杂劳动。不能仅仅用工作量来评价教师的劳动，同时评价教师的人员纷繁复杂，方式多种多样。评价教师的标准往往束缚着学校的教学质量，教师教学的积极性。所以教师评价的确定就显的很重要。尤其是以学生为主题的评价。学生是顾客、是上帝，教师服务的满意度应有他们说了算，只有他们满意了，学校才能生存、发展。学生对教师的评价肯定不会看你在外面上了多少节公开课，他看你的上课就是平时实实在在的家常课上得怎么样。他也不会管你在报刊杂志上发表了多少文章，而只看你教学是否有条理，学生考试的成绩怎么样。他一般也不会在乎你受过什么级别的奖励，只要你对学生好，学生喜欢你并最终喜欢你的课就成。他们在评价教师的时候心里都有一杆看不见的称，即使这杆称不一定精确，可他们心目中好教师的形象一点也不比身处教育教学第一线的人来得模糊，由于他们的动机的单纯，他们对教师的个人经历不是很感兴趣，正是如此由于身处局外而看得异常清晰。新课程强调：评价的功能应从注重甄别与选拔转向激励、反馈与调整；评价内容应从过分注重学业成绩转向注重多方面发展的潜能；评价主体应从单一转向多元。那么如何公正、客观地评价教师的同时，有效地保护教师的教学积极性和帮助提高学校的办学水平呢？此模型的建立改变了以往同类模型的多种弊端，从另一角度更加合理地分析、评价，就是为了更公平，公正地对教师做出合理的评价，从而促进学生发展和教师提高。本模型主要用了模糊数学模型和对各项评价付权重的方法进行建模分析。 关键词：模糊数学模型权重学生各项评价 问题重述 在中学，学校常拿学生考试成绩评价教师教学水平，虽存在一定合理性，但这与素质教育相悖。在高校不存在以学生考试成绩评价教师教学水平的条件。很多高校让每一位学生给每一位授课教师教学效果打一个分，来评价教师的教学效果，这样能全面体现教师教学效果。现某高校要从下面教师中选一名优秀教师，
选路的优化模型 摘要: 本题是一个有深刻背景的NPC问题，文章分析了分组回路的拓扑结构，并构造了多个模型，从多个侧面对具体问题进行求解。最短树结构模型给出了局部寻优的准则算法模型体现了由简到繁，确保较优的思想而三个层次分明的表述模型证明了这一类问题共有的性质。在此基础上我们的结果也是比较令人满意的。如对第一题给出了总长为599.9，单项长为216的分组，第二题给出了至少分四组的证明。最后，我们还谈到了模型的优缺点及推广思想。 一、问题描述 “水大无情，人命关天”为考察灾情，县领导决定派人及早将各乡（镇），村巡视一遍。巡视路线为从县政府所在地出发，走遍各乡（镇），村又回到县政府所在地的路线。 1.若分三组巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 2.假定巡视人员在各乡（镇）停留时间为T=2小时，在各村停留时间为t =1 小时， 汽车行驶速度为V=35公里/时，要在24小时内巡视完，至少分成几组；给出这 种分组下你认为最佳的巡视路线。 3.上述关于T，t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多 少？给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。 4.巡视组数已定（如三组）要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变时最佳路线的 影响（图见附录）。 二、问题假设 1、乡（镇）村只考察一次，多次经过时只计算一次停留时间。 2、非本县村不限制通过。 3、汽车的行驶速度始终一致。 三、符号说明 第i 人走的回路Ti=vv i(i) v2(i)v n(i) Ti=00表示第i人在0点没移动 四、模型建立
在这一节里，我们将提出若干个模型及其特点分析，不涉及对题目的求解。 最简树结构模型 在这个模型中我们依靠利用最短树的特殊结构所给出的准则，进行局部寻优，在一个不大的图里，我们较易得到较优解。 (a)分片 准则1利用最短树的长度可大致的估算出路程长，在具体操作中，各片中 的最短路程长度不宜相差太大。 准则 2 尽可能将最短树连成一个回路，这可保证局部上路程是较短的。 (b)片内调整 a2 a3 a4 a5 a6假设a3 a4有路相连 细准1对于右图的最短树结构，最好的走法是a 若a3 a4 进去重复走的话，它与上述的走法路程差w(a3, a2)+w(a2 ,a5)+w(a4, a5)—w(a3, a4)。由两点间最小原则上式是大于0的优劣可见 细准2若有如图所示结构，一般思想是：将中间树枝上的点串到两旁树枝，以便连成回路。 五、模型求解 问题一该问题完全可以用均衡模型表述 用算法模型 1 经过局部优化手工多次比较我们能够给出的最佳结果为第一组路径为 0—P—28—27—26—N—24—23—22-17—16—1—15—1—18—K—21—20—25— M--0 长191.1 经5 镇6 村 第二组路径为 0—2—5—6—L—19—J—11--G—13—14—H—12—F—10—F—9—E—8—E—7—6—5—2—0 长216.5 经6 镇11 村第三组路径为O—2—3—D—4—D—3—C—B—1—A—34—35—33—31—32—30—Q—29 —R 长192.3 经6 镇11 村总长S=599.9 公里 由算法2 给出的为 1组0—P—29—R—31—33—A—34—35—32—30—Q—28—27—26—N—24—33—22—23—N—2 6—P—0 5 乡13 村长215.2 公里 2组0—M—25—21—K—17—16—I—15—I—18—K—21—25—20—L—19—J—11—G—13—14 —O 5 乡11 村长256.2 公里 3组 O—2—5—6—7—E—9--F—12--H--—12—F—10—F—9—E-8—4—0—7—6—M—5-2—3—L —13—1—0 8 乡11 村长256.3 公里 总长727.7 公里
课程设计名称： 设计一：MATLAB 软件入门 指导教师： 张莉 课程设计时数： 8 课程设计设备：安装了Matlab 、C ++软件的计算机 课程设计日期： 实验地点： 第五教学楼北902 课程设计目的： 1. 熟悉MA TLAB 软件的用户环境； 2. 了解MA TLAB 软件的一般目的命令； 3. 掌握MA TLAB 数组操作与运算函数； 4. 掌握MATLAB 软件的基本绘图命令； 4. 掌握MA TLAB 语言的几种循环、条件和开关选择结构。 课程设计准备： 1. 在开始本实验之前，请回顾相关内容； 2. 需要一台准备安装Windows XP Professional 操作系统和装有数学软件的计算机。 课程设计内容及要求 要求：设计过程必须包括问题的简要叙述、问题分析、实验程序及注释、实验数据及结果分析和实验结论几个主要部分。 1. 采用向量构造符得到向量[1,4,7,,31] 。 //a=[1:3:31] 2. 随机产生一向量x ，求向量x 的最大值。 // a=rand(1,6) max(a) 3. 利用列向量(1,2,3,,6)T 建立一个范德蒙矩阵A ，并利用位于矩阵A 的奇数行偶数列的元素建立一个新的矩阵B ，须保持这些元素的相对位置不变。 4. 按水平和竖直方向分别合并下述两个矩阵： 100234110,5670018910A B ????????==???????????? 5. 当100n =时，求1121n i y i ==-∑的值。 6. 一个三位整数各位数字的立方和等于该数本身则称该数为水仙花数。输出全部水仙花数。 7. 求[1000,2000]之间第一个被17整除的整数。 8. 用MATLAB 绘制两条曲线，[0,2]x π∈，以10 π为步长，一条是正弦曲线，一条是余弦曲线，线宽为6个象素，正弦曲线为绿色，余弦曲线为红色，线型分别为实线和虚线，并给所绘的两条曲线增添图例，分别为“正弦曲线”和“余弦曲线”。
重庆交通大学学生实验报告 实验课程名称数学模型课程设计 开课实验室数学实验室 学院 XXX级 XXX 专业 1 班 开课时间 2013 至 2014 学年第 2 学期设计题目大学生就业问题
2013 年 12月 大学生就业问题 摘要：近年来，我国高校毕业生数量逐年增多，加之当前金融危机的影响，毕业生的就业形势受到前所未有的挑战，甚至出现了所谓“毕业即失业”的说法。因此大学生毕业后能否顺利就业，已成为全社会普遍关注的热点问题。大学生就业难不仅有社会原因，也有大学生自身的原因。如何解决大学生就业难的问题不仅关系到大学生的切身利益，更关系到社会的和谐稳定，需要政府、企业、高校和大学生共同的努力。本文从大学生自身，企业和社会三个大方面方面进行了分析和论述，从而总结出相关的结论及解决大学生就业难题的可行方法。 关键词大学生就业 Matlab 数据拟合 一、问题重述 据中国媒体援引人力和社会保障部的最新统计数据，二零一零年全国高校毕业生为630万人，比去年的611万多19万人，加上往届未能就业的，需要就业的毕业生数量很大，高校毕业生就业形势十分严峻。 随着九十年代末大学扩招和教育产业化政策推行以来，大学生人数的增幅远远超过经济增长所需要的人才增长，大学生就业不难才是怪事，"毕业即失业"成为中国大学生的普遍现象。 尽管如此，中国教育部决定继续扩大全日制专业学位硕士研究生招生规模，努力培养更多高层次、应用型人才。表面上看，研究生扩招能提高大学生学历层次，可以缓解就业难。但是，如果不清理高等教育积弊，扩招研究生来应对就业难将是饮鸩止渴，使就业矛盾更加突出。 现在大学生就业难的问题，是由许多原因造成的，既有社会原因，也有历史原因。 请用数学建模的方法从以下几个侧面探讨大学生就业问题： （1）利用网上大学生就业统计数据建立大学生就业供需预测模型，利用所建模型对2012年就业形势进行预测； （2）分析影响大学生就业的主要因素，建立就业竞争力评价模型，利用所建模型评估你的竞争力；
数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的
数学建模课程设计 报告 1 2020年4月19日
数学建模课程设计 题目： 学院： 专业： 班级： 姓名： 学号： 指导教师： 实验日期： 2 2020年4月19日
摘要 本文针对葡萄酒的质量分析与评价问题，以置信区间、优势矩阵、逐步回归分析等方法和方差分析理论为基础，首先分别构建了以评酒员和样酒为组别的方差数据序列，经过进行双向显著性检验，接着经过置信区间法处理的数据进行了方差分析，并确定可信的评价组别。然后以评酒员感官评价为主、葡萄酒的理化指标为辅，采用回归分析、聚类分析、判别分析法建立葡萄分级模型，继而使用相关系数矩阵确立葡萄酒与葡萄理化指标中具有较大相关性的指标，实现对葡萄理化指标的初步筛选，进行等级划分。再利用逐步回归的方法拟合酿葡萄酒理化指标与葡萄理化指标间一对多的函数关系得出二者之间的联系。最后经过上文函数关系，同时提取对香气与口感评分相关度较大的芳香物质，建立芳香物质与葡萄酒质量的函数关系，论证葡萄和葡萄酒的理化指标只在一定程度上对葡萄酒的质量有影响。 关键字：双向显著性检验；方差分析；置信区间；聚类分析；标准化； 1 2020年4月19日
一、问题重述 确定葡萄酒质量时一般是经过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的一级理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题： 1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？ 2. 根据酿酒葡萄的一级理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。 3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。 4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的一级理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的一级理化指标来评价葡萄酒的质 2 2020年4月19日
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名 参赛队员(打印并签名) ：1 2
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：2015年7 月27 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模 竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模 竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的 成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表 述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。 如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行 公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表 等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名 参赛队员 (打印并签名) ：1 2 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以 上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取 消评奖资格。） 日期： 2015年 7 月 27 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
从成都工业学院到西南交通大学最优路径设计 摘要 本文对现在生活中行车时间的不确定性进行了分析，并给出了最优路径的定义，即：行车所需期望时间最短且该路段行车时间的标准差最小。在将时间期望值和时间标准差值两个决策变量合成为一个决策变量时，为消除不同指标带来的不可公度性，我们对这两个指标进行了无量纲化。 对于问题一，建立双目标优化模型，给出最优路径的定义和数学表达式。将这两个目标相加合成单目标。利用MATLAB编程求解，将所建模型应用到例子中，得出的结论是：选择道路A。 对于问题二，在问题一定义的最优路径的基础上，建立图论模型，应用Dijkstra算法，利用MATLAB编程，得出最优路径选择结果为：成都工业学院→C→K→G→西南交通大学。 对与问题三，结合时间和空间上的相关性，采集足够多的时刻的车流速度，用神经网络算法可以拟合出该条路时刻关于车流速度的函数，建立图论模型分析时间和空间上的相关性。 关键词：多目标优化图论模型 Dijkstra算法
《数学建模》课程设计 报告 课题名称：___常染色体遗传模型 系（院）：理学院 专业：数学与应用数学 班级： 学生姓名：巫荣 学号： 指导教师：陈宏宇 开课时间：2011-2012 学年二学期 常染色体遗传模型摘要 为了揭示生命的奥秘, 遗传特征的逐代传播, 愈来愈受到人们更多的注意。我们通过问题分析，模型的建立，去解决生物学的问题。为了去研究理想状态下常染色体遗传的情况，我们通过建立随机组合时常染色体的遗传模型，可以计算出各种情况随机出现的百分率，并且可以通过常染色体遗传模型，算出各个情况的概率分布，并且通过模型，分析情况出现的稳定性。揭示了常染色体遗传的分布规律，揭示了下一代各情形变化的规律性和稳定性。 关键词：遗传; 随机; 百分率; 概率分布; 稳定 一、问题重述 问题产生背景
常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的，那么就有三种基因对，记为AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基因型是AA的金鱼草开红花，Aa 型的开粉红色花，而aa型的开白花。又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是AA或Aa 的人，眼睛为棕色，基因型是aa的人，眼睛为蓝色。这里因为AA和Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，也可以认为基因a对于A来说是隐性的。当一个亲体的基因型为Aa ，而另一个亲体的基因型是aa时，那么后代可以从aa型中得到基因a，从Aa 型中或得到基因A，或得到基因a。这样，后代基因型为Aa或aa的可能性相等。下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。 父体—母体的基因型 AA ??AA AA ??Aa AA ??aa Aa ??Aa Aa ??aa aa ??aa 后代AA 1 1/2 0 1/4 0 0 基因Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 型aa 0 0 0 1/4 1/2 1 问题描述 题目：农场的植物园中某种植物的基因型为AA, Aa和aa。农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布如何？ 二、问题分析 在本问题中要知道每一代的基因分布，首先要知道上一代的基因型分布，在自由组合后的所有子代可能出现的基因型（上面已经给出）。为了求出每一代的基因型分布，第一步写出第一代的基因型分布；第二步推出第n+1代的基因型分布与第n代的基因型分布的关系；第三步利用差分方程求出每一代的每种基因型分布通项从而求得任一子代三种基因型的概率分布。 现该农场的植物园中某种植物的基因型为AA,Aa和aa.采用AA型基因的植物相结合培育后代，求若干年后这种植物的任一代的三种基因型分布，首先分析出初始里，AA,Aa,aa这三种基因型植物的大致分布，首先必须分析出初
2015-2016第1学期数学建模课程设计题目：医疗保障基金额度的分配 ： 学号： 班级： 时间：
摘要 随着人们生活水平的提高及社会制度的发展,医疗保险事业显得越来越重要,各企业也随之越来越注重员工的福利措施，医疗保障基金额度的分配也成为了人们的关注热点。扩大医疗保障受益人口也是政府和企业面临的难题，因而根据历史统计数据，合理的构造出拟合曲线，分析拟合函数的拟合程度，从而为基金的调配以及各种分配方案做方向上的指导。 本文针对A,B两个公司关于医疗保障基金额度的合理分配问题，根据两公司从1980-2003年统计的医疗费用支出数据，科学地运用了MATLAB软件并基于最小二乘法则进行了多项式曲线拟合，成功建立了医疗保障基金额度的分配模型。最后，对不同阶数的多项式拟合曲线的拟合程度进行了残差分析，并输出相关结果，得出拟合程度与多项式阶数的关联。 此问题建立在收集了大量数据的基础上，以及利用了MATLAB编程拟合曲线，使问题更加简单，清晰。该模型经过适当的改造，可以推广到股票预测，市场销售额统计等相关领域。
关键字：matlab，最小二乘多项式拟合,阶数，残差分析 一．问题重述 某集团下设两个子公司：子公司A、子公司B。各子公司财务分别独立核算。每个子公司都实施了对雇员的医疗保障计划，由各子公司自行承担雇员的全部医疗费用。过去的统计数据表明，每个子公司的雇员人数以及每一年龄段的雇员比例，在各年度都保持相对稳定。各子公司各年度的医疗费用支出见下表（附录1）。 试利用多项式数据拟合，得到每个公司医疗费用变化函数，并绘出标出原始数据的拟合函数曲线。需给出三种不同阶数的多项式数据拟合，并分析拟合曲线与原始数据的拟合程度。 二．模型假设 1．假设A,B两公司在1980年底才发放医疗保障基金。
数学模型课程设计
文档仅供参考，不当之处，请联系改正。 攀枝花学院 学生课程设计（论文） 题目：蔬菜的运输问题 学生姓名：孟蕾 学号： 1080 所在院(系)：数学与计算机学院 专业：信息与计算科学 班级：级信本 指导教师：李思霖 6 月 29 日 攀枝花学院教务处制
攀枝花学院本科学生课程设计任务书
课程设计（论文）指导教师成绩评定表
摘要 本文针对蔬菜的运输问题进行分析，针对蔬菜运输时所需要注意的蔬菜供应量，需求量，运输距离，运输补贴，短缺补偿等约束性条件，运用lingo编程的方法解决如何进行蔬菜运输来分别使各类要求的支出最少的问题。 问题一中，要求如果不考虑短缺补偿，只考虑运费补贴最少，请为该市设计最优蔬菜运输方案。我们将供货商和销售点需求分别编号a和b，数量是从1~8和1~35。从题中能够看出其约束条件，所有销售点从第 A基地获得的蔬菜数量应该等于该基地所 i 生产的蔬菜数量；所有基地给 B销售点提供的蔬菜数量要大于等 j 于0，而且应该小于或等于该点的需求量。 问题二中，增添了对短缺补缺的考虑，规定各蔬菜销售点的短缺量一律不超过需求量的30%，在同时考虑短缺补偿和运费补贴的情况下再次设计最有蔬菜方案。由题意即是要求总费用，具体步骤仍同问题一，需要变化的分别是总费用w的表示式和关于销售点需求的约束条件。w变为原运输补贴的公式再加上每个销售点每吨短缺蔬菜的数量乘上各个销售点不同的短缺补偿，短缺数量需要用各个销售点的需求减去所有基地供给给这个的销售点的蔬菜数量之和。 问题三中，要求增加任意两个基地的生产数量，使得不存在短缺情况出现，然后视运费补贴最小的情况来确定哪两个基地分
2016《环境数学模型》课程设计说明书 1.题目 活性污泥系统生化反应器中底物降解与微生物增长数学模型的建立 2.实验方法与结果 2.1.实验方法 2.1.1.工艺流程与反应器 本设计采用的工艺流程如下图所示： 图2-1 活性污泥系统工艺流程图 本设计工艺采用活性污泥法处理污水，工艺的主要反应器包括生化反应器和沉淀池。污水通过蠕动泵恒速加到生化反应器中，反应器内活性污泥和污水在机械搅拌设备和鼓风曝气设备的共同作用下充分接触，并在氧气充足的条件下进行反应。经处理后，污泥混液通过管道自流到沉淀池中，在里面实现泥水分离。分离后的水通过溢流堰从周边排出，直接被排放到下水道系统，沉淀下来的污泥则通过回流泵，全部被抽回进行回流。 系统运行过程中，进出水流量、进水质量、污水的停留时间、生化反应器的容积、机械搅拌设备转轴转速、鼓风曝气装置的曝气风量气速、污泥回流量等参数在系统运行的过程中都保持不变。待系统持续运行一周稳定后再取样进行分析。 实验的进水为实验室配置的污水，污水分别以葡萄糖、尿素、磷酸二氢钾为碳源、氮源和磷源，其中C：N：P=100：40：1（浓度比），TOC含量为200mg/L。生化反应器内污泥混液的容量为12L，污水停留时间为6h。系统运行时间为两周，第一周是调适阶段，第二周取样测试，测得的数据作为建模的原始数据。 表2-1 污水中各营养物质的含量 2.1.2.取样方法
每隔24h取一次样，通过虹吸管取样。每次取样时，先取进水和出水水样用于测水体的COD指标，其中进水直接取配得的污水溶液，出水取沉淀池上清液。取得的水样过膜除去水中的悬浮固体和微生物，保存在5ml玻璃消解管中，并在4℃下冷藏保存。 取完用于测COD的水样后，全开污泥回流泵，将沉淀池中的污泥全部抽回生化反应器（由于实验装置的原因，沉淀池排泥管易堵，污泥易积聚在沉淀池中，为更准确测定活性污泥的增长情况，在此实验中将泥完全抽回后再测定），待搅拌均匀后，取5ml污泥混液于干净、衡重的坩埚中，待用于测污泥混液的SS。 2.1. 3.分析方法 本实验一共分析进出水COD和污泥混液SS两个指标。其中COD采用《水质快速消解分光光度法》（HJ/T 399-2007）方法进行分析，SS采用《水质悬浮物的测定重量法》（GB 11901-89）方法进行分析。 准确取2ml经过膜处理的水样于5mlcod消解管中，以重铬酸钾为氧化剂，硫酸银-浓硫酸为催化剂，硫酸汞为抗氯离子干扰剂，按一定比例与水样混合均匀。将消解管放在COD 消解仪中，在150℃条件下消解2h。待经消解的溶液冷却后，以空白样为参比液，在COD 分析仪上读出待测水样的COD值，记录数据。 将装在已衡重称重的坩埚中的污泥混液放在烘箱中，在105℃温度下烘3h以上，保证污泥中的水分被充分除去。坩埚冷却后衡重称重，记录干污泥的质量，求得活性污泥的SS。 实验过程的所有样品都设置两个平行样，最后结果取平行样的算术平均值。 2.2.实验结果 2.2.1.实验数据 实验测得数据如下表： 表2-2 活性污泥系统水质分析结果 2.2.2.数据分析
运输问题 摘要 本文主要研究的是货物运输的最短路径问题，利用图论中的Floyd算法、Kruskal算法，以及整数规划的方法建立相关问题的模型，通过matlab，lingo编程求解出最终结果。 关于问题一，是一个两客户间最短路程的问题，因此本文利用Floyd算法对其进行分析。考虑到计算的方便性，首先，我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中；然后，逐步分析出两客户间的最短距离；最后，利用Matlab软件对其进行编程求解，运行得到结果：2-3-8-9-10总路程为85公里。 关于问题二，运输公司分别要对10个客户供货，必须访问每个客户，实际上是一个旅行商问题。首先，不考虑送货员返回提货点的情形，本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法，结合题中所给的邻接矩阵，很快可以得到回路的最短路线： 1-5-7-6-3-4-8-9-10-2；然后利用问题一的Floyd算法编程，能求得从客户2到客户1（提货点）的最短路线是：2-1，路程为50公里。即最短路线为：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2-1。但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形，不宜进一步推广，因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型；最后，利用LINGO软件对其进行编程求解，求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。 关于问题三，是在每个客户所需固定货物量的情况下，使得行程之和最短。这样只要找出两条尽可能短的回路，并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。因此我们在问题二模型的基础上进行改进，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，对于模型求解出来的结果，本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。得到优化结果为：第一辆车：1-5-2-3-4-8-9-1，第二辆车：1-7-6-9-10-1，总路程为280公里。 关于问题四，在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。根据matlab运行结果分析得出4条最优路线分别为：1-5-2，1-4-3-8，1-7-6，1-9-10。最短总路线为245公里，最小总费用为645。 关键词： Floyd算法 Kruskal算法整数规划旅行商问题 一、问题重述 某运输公司为10个客户配送货物，假定提货点就在客户1所在的位置，从第i个客户到第j个客户的路线距离（单位公里）用下面矩阵中的(,) i j(,1,,10) i j=位置上的数表示（其中∞表示两个客户之间无直接的路线到达）。 1、运送员在给第二个客户卸货完成的时候，临时接到新的调度通知，让他先给客户10送 货，已知送给客户10的货已在运送员的车上，请帮运送员设计一个到客户10的尽可能短的行使路线（假定上述矩阵中给出了所有可能的路线选择）。 2、现运输公司派了一辆大的货车为这10个客户配送货物，假定这辆货车一次能装满10个 客户所需要的全部货物，请问货车从提货点出发给10个客户配送完货物后再回到提货点所行使的尽可能短的行使路线？对所设计的算法进行分析。 3、现因资源紧张，运输公司没有大货车可以使用，改用两辆小的货车配送货物。每辆小
在手机普遍流行的今天，建设基站的问题分析对于运营商来说很有必要。本文针对现有的条件和题目的要求进行讨论。在建设此模型中，核心运用到了0-1整数规划模型，且运用lingo 软件求解。 对于问题一： 我们引入0-1变量，建立目标函数：覆盖人口最大数=所有被覆盖的社区人口之和，即max=15 1j j j p y =∑，根据题目要求建立约束条件，并用数学软件LINGO 对其模型求解，得到最优解。 对于问题二： 同样运用0-1整数规划模型，建立目标函数时，此处假设每个用户的正常资费相同，所以68%可以用减少人口来求最优值，故问题二的目标函数为：max=∑=15 1j j j k p 上述模型得到最优解结果如下： 关键字：基站; 0-1整数规划；lingo 软件
1 问题的重述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2 问题的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 3 模型的假设与符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 3.1模型的假设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 3.2符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4 模型的建立及求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 5 4.1模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4.2 模型的求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 5 模型结果的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 6 优化方向．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 7 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 8、附录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9
攀枝花学院 学生课程设计（论文） 题目：产品广告费用分配对销量及利润的影响模型学生姓名：梁忠 学号： 201210802007 所在院(系)：数学与计算机学院 专业：信息与计算科学 班级： 12信本1班 指导教师：马亮亮职称：讲师 2014年12 月19 日 攀枝花学院教务处制
攀枝花学院本科学生课程设计任务书 题目具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型 1、课程设计的目的 数学建模课程设计是让学生通过动手动脑解决实际问题，让学生学完《数学建模》课程后进行的一次全面的综合训练，是一个非常重要的教学环节。 2、课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等） 根据指导教师所下达的课程设计题目和课程设计要求，在规定的时间内完成设计任务；撰写详细的课程设计论文一份。 3、主要参考文献 【1】姜启源，数学模型（第二版），高等教育出版社，北京。 【2】寿纪麟，数学建模——方法与范例，西安交大出版社。 【3】（美）JOHN A.QUELCH 等著吕—林等译，市场营销管理教程和案例, 北京大学出版社 2000。 【4】戴永良广告绩效评估，中国戏剧出版社，2001。 4、课程设计工作进度计划 序号时间（天）内容安排备注 1 2 分析设计准备周一至周二 2 4 编程调试阶段周三至周一 3 2 编写课程设计报告周二至周三 4 2 考核周四至周五 总计10（天） 指导教师（签字）日期年月日 教研室意见： 年月日 学生（签字）： 接受任务时间：2014 年12 月15 日
注：任务书由指导教师填写。 课程设计（论文）指导教师成绩评定表题目名称具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型 评分项目分 值 得 分 评价内涵 选题15% 01 能结合所学课程知识，有 一定的能力训练。符合选 题要求 5 遵守各项纪律，工作刻苦努力，具有良好的科学 工作态度。 02 工作量适中，难易度合理10 通过实验、试验、查阅文献、深入生产实践等渠 道获取与课程设计有关的材料。 能力水平35% 04 综合运用知识的能力10 能运用所学知识和技能去发现与解决实际问题， 能正确处理实验数据，能对课题进行理论分析， 得出有价值的结论。 05 应用文献的能力 5 能独立查阅相关文献和从事其他调研；能提出并 较好地论述课题的实施方案；有收集、加工各种 信息及获取新知识的能力。 06 设计（实验）能力，方案 的设计能力 5 能正确设计实验方案，独立进行装置安装、调试、 操作等实验工作，数据正确、可靠；研究思路清 晰、完整。 07 计算及计算机应用能力 5 具有较强的数据运算与处理能力；能运用计算机 进行资料搜集、加工、处理和辅助设计等。 08 对计算或实验结果的分析 能力（综合分析能力、技 术经济分析能力） 10 具有较强的数据收集、分析、处理、综合的能力。 成果质量45% 09 插图（或图纸）质量、篇 幅、设计（论文）规范化 程度 5 符合本专业相关规范或规定要求；规范化符合本 文件第五条要求。 10 设计说明书（论文）质量30 综述简练完整，有见解；立论正确，论述充分， 结论严谨合理；实验正确，分析处理科学。 11 创新10 对前人工作有改进或突破，或有独特见解。 成绩 指 导 教 师 评 语 指导教师签名：年月日
营销生产策略的制定 姓名：xxxxxxx 时间：xxxxxxx 问题描述： 现有企业（甲）想在杭州市场上推销某种新产品A，请你用所学知识，根 据下设情形，分别为企业（甲）制定一个合理的营销生产策略。 1、假定杭州市场上还没有出现过产品A或类似的产品； 2、假定杭州市场上有类似的产品，且市场占有率已达到15%； 3、假定杭州市场上还没有产品A或类似的产品，但新产品A有一个服从均值为5（年）的寿命分布。
摘要： 在数学建模中，产品营销问题是一类常见的典型问题。对于产品的销售情况 一般都用Logistic模型去描述，所以本实验都用了Logistic销售模型的建模思路。Logistic回归模型，主要是用来对多因素影响的事件进行概率预测，它是普通多元线性回归模型的进一步扩展，Logistic模型是非线性模型。对于题中的三种假定，结合微分方程基本理论对在杭州市场上推销的新产品A进行研究，并为企业（甲）制定一个合理的营销生产策略。 问题1：设定新产品A价格、质量以及销售人员的销售情况等其他影响新产品销售的外在因素是相对稳定，杭州市场对产品的需求量有限，产品的销售速度与销售量和剩余需求量的积成正比三个假设，建立了Logistic销售模型并求解。得出结论，在销售量达到最大销售量的一半时，产品最为畅销。 问题2：设定类似产品A的销售速度与销售量和剩余需求量的积成正比，新产品A的需求量、类似产品的需求量、剩余需求量之和为总需求量，在假定一和假定二下，不考虑新产品A的使用寿命三个假设，不考虑消费者同时拥有新产品A 和其类似产品，建立了微分方程组销售模型并求解。得出结论，问题2中的微分方程组的驻定解不稳定。 问题3：设定了新产品A服从均值为5（年）的指数寿命分布，其的报废量与新产品A的销售量成正比，新产品A报废后，人们仍愿意进行购买三个假设，参照Logistic销售模型，建立了微分方程销售模型并求解。给出了最大需求量A及销售速度的曲线。 问题分析与解题思路 在杭州市场还没有出现过A产品或类似产品的条件下，A产品刚刚进入市场，人们对A产品不熟悉，A产品的销售速度较慢，但在逐渐的增加，人们对A产品的熟悉度增加，此时A产品的销售速度逐渐增快，当产品销售到一定数量时，人们就会停滞购买，A的销售速度减慢。 在杭州市场上有类似的产品，且市场占有率已达到15%的条件下，不考虑消费者同时拥有新产品A和其类似产品的情况，认为类似产品的市场占有率会影响新产品A的销售，且类似产品的销售模型与新产品A的销售模型相同。 在杭州市场上还没有出现过产品A或类似的产品时，考虑新产品A的寿命是有限的，即新产品A有一个服从均值为5（年）的寿命分布，新产品A的报废会使市场上的剩余销售量增加，所以，有理由认为新产品的销售速度不仅受销售量，剩余量的影响，还受到新产品A的寿命的影响。