北京市丰台区2015-2016学年度第一学期 初三数学
第24章 圆 综合练习题
一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）
1. 如图，BD 为⊙O 的直径，AC 为弦，AB AC =，AD 交BC 于E ，2AE =，4ED =． （1）求证：ABE ADB △∽△，并求AB 的长；
（2）延长DB 到F ，使BF BO =，连接FA ，判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由.
1．解：
AB AC =，ABC C ∴=∠∠. C D =∠∠，ABC D ∴=∠∠． 又BAE DAB =∠∠，
ABE ADB ∴△∽△． A B A E
A D A B
∴
=． ()()224212AB AD AE AE ED AE ∴==+=+
?=．
AB ∴=（舍负）．
（2）直线FA 与O 相切．
连接OA ．
BD 为O 的直径，90BAD ∴=∠．
在Rt ABD ?
中，由勾股定理，得
BD =
===
11
22
BF BO BD ∴==
=?=． 2AB =，BF BO AB ∴==．
（或BF BO AB OA ∴===，AOB ∴?是等边三角形，F BAF ∠=∠．
60OBA OAB ∴∠=∠=?，30F BAF ∠=∠=?．
） 90OAF ∴=∠．OA ∴⊥AF ．
又点A 在圆上，∴直线FA 与O 相切．
2. 已知：如图，以等边三角形ABC 一边AB 为直径的⊙O 与边AC 、BC 分别交于点D 、E ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ．
（1）求证：DF 为⊙O 的切线；
（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求DF 的长； （3）求图中阴影部分的面积．
2．（1）证明：连接DO .
∵ABC ?是等边三角形 ，∴∠C =60°，∠A =60°， ∵OA =OD ， ∴OAD ?是等边三角形. ∴∠ADO =60°. ∵DF ⊥BC ，∴∠CDF =30°.
∴∠FDO =180°-∠ADO -∠CDF = 90°.∴DF 为⊙O 的切线.
（2）∵OAD ?是等边三角形，∴CD =AD =AO =
2
1
AB =2. Rt CDF ?中，∠CDF =30°，∴CF =
2
1
CD =1. ∴DF =322=-CF CD . （3）连接OE ，由（2）同理可知E 为CB 中点，∴2=CE .
∵1=CF ，∴1=EF . ∴2
33)(21=?+=DF OD EF S FDOE
直角梯形． ∴ππ3
23602602=?=DOE
S 扇形．
∴π3
2
233-=
-DOE FDOE S S 扇形直角梯形．
3、如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF AD ⊥． （1）请证明：E 是OB 的中点； （2）若8AB =，求CD 的长．
3、（1）证明：连接AC ，如图
CF AD ⊥，AE CD ⊥且CF AE ，过圆心O
AC AD ∴=，AC CD =，ACD ∴△是等边三角形． 30FCD ∴∠=
在Rt COE △中，12
OE OC =
，1
2OE OB ∴=∴点E 为OB 的中点
（2）解：在OCE t ?R 中8AB =，1
42
OC AB ∴==
又BE OE =，2OE ∴=
3241622=-=-=∴OE OC CE
2C D C E ∴==
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC = 60?，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作OC CD ⊥交PQ 于点D ．
（1）求证：△CDQ 是等腰三角形；
（2）如果△CDQ ≌△COB ，求BP :PO 的值．
4． （1）证明：由已知得∠ACB =90°，∠ABC =30°，
∴∠Q =30°，∠BCO =∠ABC =30°. ∵CD ⊥OC ，∴∠DCQ =∠BCO =30°， ∴∠DCQ =∠Q ，∴△CDQ 是等腰三角形. （2）解：设⊙O 的半径为1，则AB =2，OC =1，AC =
12
1
=AB ，BC =3. ∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ =BC =3.
∵AQ =AC +CQ =1+3，AP =2
3
121+=
AQ ， ∴BP =AB －AP =2332312-=+- PO =AP －AO =2
1
31231-=
-+， ∴BP ∶PO =3.
5． 已知:如图, BD 是半圆O 的直径,A 是BD 延长线上的一点，BC ⊥AE ，交AE 的延长线于点C , 交半圆O 于点E ，且E 为DF 的中点. （1）求证：AC 是半圆O 的切线；
（2）若6AD AE ==，BC 的长．
5.解：（1）连接OE , ∵E 为DF 的中点，∴DE EF =． ∴ OBE CBE ∠=∠.
∵OE OB =，∴OEB OBE ∠=∠.∴ OEB CBE ∠=∠.∴OE ∥BC . ∵BC ⊥AC ， ∴∠C=90°. ∴ ∠AEO =∠C =90°. 即OE ⊥AC . 又OE 为半圆O 的半径，∴ AC 是半圆O 的切线. （2）设O 的半径为x ，
∵OE AC ⊥，∴222(6)x x +-=. ∴3x =. ∴12AB AD OD OB =++=. ∵OE ∥BC ，∴AOE ABC △∽△.∴
AO OE AB BC =
. 即93
12BC
= ∴4BC =.
6.如图，ABC △内接于⊙O ，过点A 的直线交⊙O 于点P ，交BC 的延长线于点D ，且AB 2
=AP ·AD （1）求证：AB AC =；
（2）如果60ABC ∠=，⊙O 的半径为1，且P 为弧AC
的中点，
求AD 的长.
6.解：（1）证明：联结BP ．
∵ AB 2
=AP·AD ，∴ AB AP =AD
AB
．
∵ ∠BAD=∠PAB ，∴ △ABD ∽△APB ， ∴ ∠ABC=∠APB ，∵∠ACB=∠APB ， ∴ ∠ABC=∠ACB ．∴ AB=AC.
（2）由（1）知AB=AC ． ∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形．
∴∠BAC=60°， ∵P 为弧AC 的中点，∴∠ABP=∠PAC=12 ∠ABC=30°，
∴∠BAP=90°， ∴ BP 是⊙O 的直径， ∴ BP =2， ∴ AP =1
2
BP=1，
在Rt △PAB 中，由勾股定理得 AB 2
= BP 2
－AP 2
=3， ∴ AD=AB 2
AP
=3．
7．如图，在△ABC 中，∠C =90°, AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点, 以OA 为半径的⊙O 经过
点D .
（1）求证： BC 是⊙O 切线；
（2）若BD =5, DC =3, 求AC 的长. 7.（1）证明: 如图1，连接OD .
∵ OA =OD , AD 平分∠BAC , ∴ ∠ODA =∠OAD , ∠OAD =∠CAD .
∴ ∠ODA =∠CAD . ∴ OD //AC . ∴ ∠ODB =∠C =90?. ∴ BC 是⊙O 的切线. 图1
（2）解法一: 如图2，过D 作DE ⊥AB 于E .
∴ ∠AED =∠C =90?. 又∵ AD =AD , ∠EAD =∠CAD ,
∴ △AED ≌△ACD .
∴ AE =AC , DE =DC =3.
在Rt △BED 中，∠BED =90?,由勾股定理，得 BE =422=-DE BD . 图2
设AC =x （x >0）, 则AE =x .
在Rt △ABC 中，∠C =90?, BC =BD +DC =8, AB =x +4, 由勾股定理，得x 2 +82= (x +4) 2. 解得x =6. 即 AC =6.
解法二: 如图3，延长AC 到E ，使得AE =AB .
∵ AD =AD , ∠EAD =∠BAD ,
∴ △AED ≌△ABD .
∴ ED =BD=5.
在Rt △DCE 中，∠DCE =90?, 由勾股定理，得 CE =422=-DC DE . ………… ……………5分
D
在Rt △ABC 中，∠ACB =90?, BC =BD +DC =8, 由勾股定理，得 AC 2 +BC 2= AB 2. 即 AC 2 +82=(AC +4) 2.解得 AC =6.
8．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于E ，连结AC 、OC 、BC.
（1）求证：∠ACO=∠BCD ；
（2）若BE=2，CD=8，求AB 和AC 的长.
8、证明：（1）连结BD ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，
∴
． ∴∠A=∠2．
又∵OA=OC ，∴∠1=∠A ．
∴∠１＝∠2．即：∠ACO=∠BCD ． 解：（2）由（1）问可知，∠A=∠2，∠AEC=∠CEB.
∴△ACE ∽△CBE ．
∴
.CE
AE
BE CE =∴CE 2=BE·
AE ． 又CD=8，∴CE=DE=4．∴AE=8．∴AB=10．
∴AC=
.548022==+CE AE
9．如图，已知BC 为⊙O 的直径，点A 、F 在⊙O 上，BC AD ⊥，垂足为D ，BF 交AD 于E ，且
BE AE =．
（1）求证：AF AB =； （2）如果5
3
sin =
∠FBC ，54=AB ，求AD 的长．
9．解：（1）延长AD 与⊙O 交于点G ．
∵ 直径BC ⊥弦AG 于点D ，
∴
． ∴ ∠AFB =∠BAE ．
∵ AE =BE ，∴ ∠ABE =∠BAE ．
∴ ∠ABE =∠AFB ． ∴ AB =AF ． （2）在Rt △EDB 中，sin ∠FBC =
5
3
=BE ED ． 设ED =3x ，BE =5x ，则AE =5x ，AD =8x ，在Rt △EDB 中，由勾股定理得BD =4x ． 在Rt △ADB 中，由勾股定理得BD 2+AD 2=AB 2．
∵ AB =45，∴ 2
22)54()8()4(=+x x ．
AB=GB
A
B
C
D
E
O G
F
O
G F
H A B
C D
E
C
B
A
∴ x =1（负舍）．∴ AD =8x =8．
10．如图，已知直径与等边ABC ?的高相等的圆O 分别与边AB 、BC 相切于点D 、E ，边AC 过圆心O 与圆O 相交于点F 、G 。
（1） 求证：DE AC ；
（2） 若ABC ?的边长为a ，求ECG ?的面积. 10. (1)
ABC ?是等边三角形,60B ?∴∠=,60A ?∠=,
AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，∴BD=BE .
60BDE ?∴∠=,60A ?∠=,有DE//AC .
(2)分别连结OD 、OE ,作EH ⊥AC 于点H .
AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，O 是圆心，
90ADO OEC ?
∴∠=∠=，OD=OE ，AD=EC .
ADO CEO ∴???,有AO=OC =1
2
a .
圆O 的直径等于ABC ?的高
,得半径OG ,∴CG=OC+OG =
12a .
,60EH OC C ?⊥∠=,30COE ?∴∠
=,EH a . 12ECG S ?=CG ?EH
=12(4a
+12a )·8a ,
ECG S ?∴=22364
32a a +=2364
a +.
11．如图，在△ABC 中，∠BCA =90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点P ，Q 是AC 的中点． （1）请你判断直线PQ 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若∠A
＝30°，AP =O 半径的长.
11、解：（1）直线PQ 与⊙O 相切. 连结OP 、CP .
∵ BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BPC ＝90° .
又∵ Q 是AC 的中点，∴ PQ =CQ =AQ . ∴ ∠3＝∠4.
∵ ∠BCA =90°，∴ ∠2+∠4=90°. ∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1+∠3=90°.
即 ∠OPQ =90°.
∴ 直线PQ 与⊙O 相切. （2）∵ ∠A ＝30°，AP
= ∴ 在Rt △APC 中，可求AC =4. ∴ 在Rt △ABC 中，可求BC
∴ BO
∴⊙O
12．如图，已知点A 是⊙O 上一点，直线MN 过点A ，点B 是MN 上的另一点，点C 是OB 的中点， 1
2
AC OB =，
若点P 是⊙O 上的一个动点,且∠30OBA =,AB
=△APC 的面积的最大值．
12、解:连结OA .
由C 是OB 的中点,且12AC OB =,可证得 ∠OAB =90°.
则 ∠O =60°. 可求得OA=AC=2.
过点O 作OE ⊥AC 于E ，且延长EO 交圆于点F ． 则 P(F)E 是△P AC 的AC 边上的最大的高. 在△OAE 中,OA =2,∠AOE =30°,
解得
OE = 所以
2PE =+ 故
11
2(222
PAC
S AC PE =
?=??. 即
2PAC
S
=
A
13．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13，BC =10，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点G ，过点D 作⊙O 的切线交AB 于点E ，交AC 的延长线与点F .
（1）求证：EF ⊥AB ； （2）求co s ∠F 的值.
13. 证明： （1）联结OD
∵OC =OD ∴∠ODC =∠OCD
又∵AB =AC ∴∠OCD =∠B
∴∠ODC =∠B ∴OD ∥AB
∵ED 是⊙O 的切线，OD 是⊙O 的半径
∴OD ⊥EF ∴AB ⊥EF
（2）联结AD 、CG
∵AD 是⊙O 的直径
∴∠ADC =∠AGC =90°
∵AB ⊥EF ∴DE ∥CG
∴∠F =∠GCA
∵AB =AC ∴DC =1
2
BC =5
R t △ADC 中，12AD =
∵AD BC =AB CG
∴CG =12013
AD BC AB =
R t △CGA 中，c os ∠GCA =120
169
GC AC =
∴c os ∠F =120
169
14．（应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°的直角三角尺按图示的方式测量.
(1)若⊙O 分别与AE 、AF 交于点B 、C ，且AB=AC ,若⊙O 与AF 相切. 求证: ⊙O 与AE 相切；
(2)在满足(1)的情况下，当Ｂ、Ｃ分别为AE 、AF 的三分之一点时，
且AF =3，求BC 的弧长.
第13题图
14.解:（1）证明：连结OB 、OA 、OC . 根据题意,∠OCA =90°. 在△ABO 与△ACO 中, AB =AC ,OA=OA ,OB=OC , 所以 △ABO ≌△ACO .
所以 ∠OCA =∠OBA =90°. 则 AE 是圆的切线. (2)因∠OCA =∠OBA =90°, 且 ∠EAD =∠F AG =30°, 则 ∠BAC =120°. 又 1
13
AC AF =
=,∠OAC =60°, 故
OC = 所以 BC
的长为3
.
二、圆与相似综合
15．已知：如图，⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC =45°，∠ABC =15°，AD ∥OC 并交BC 的延长线于D ，
OC 交AB 于E . （1）求∠D 的度数； （2）求证：2AC AD CE =?； （3）求
BC
CD
的值. 15．（1）解：如图3，连结OB .
∵ ⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC =45°，
∴ ∠BOC =2∠BAC =90°.
∵ OB=OC ，∴ ∠OBC =∠OCB =45°. ∵ AD ∥OC ，∴ ∠D =∠OCB =45°.
（2）证明：∵ ∠BAC =45°，∠D =45°，
∴ ∠BAC =∠D .
∵ AD ∥OC ，∴ ∠ACE =∠DAC . ∴ △ACE ∽△DAC ．
∴
AC CE
DA AC
=
． ∴ 2AC AD CE =?． （3）解法一：如图4，延长BO 交DA 的延长线于F ，连结OA .
∵ AD ∥OC ，∴ ∠F=∠BOC =90°.
∵ ∠ABC =15°，
∴ ∠OBA =∠OBC －∠ABC =30°.
B
C
A
F E
O
D
D
O
E
A
C
B
EB ∵ OA = OB ，
∴ ∠FOA =∠OBA ＋∠OAB =60°，∠OAF =30°.
∴ 12
OF OA =.
∵ AD ∥OC ，∴ △BOC ∽△BFD ．
∴ BC BO BD BF =
．∴ 2BC BO OA CD OF OF ===，即BC
CD
的值为2. 解法二：作OM ⊥BA 于M ，设⊙O 的半径为r ，可得
，OM =2r ，30MOE ∠=?
，
tan 30ME OM =??=
，BE
，AE
，所以2BC BE
CD EA
==.
16．如图⑴，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦AB CE ⊥，在 上取一点D ，分别作直线ED CD 、，交直线AB 于点M F 、.
⑴求COA ∠和FDM ∠的度数； ⑵求证：FDM ?∽COM ?；
⑶如图⑵，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在 上，仍作直线ED CD 、，分别
交直线AB 于点M F 、.试判断：此时是否仍有FDM ?∽COM ?成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。
（1） （第16题） （2）
16．解：（1）∵AB 为直径，AB CE ⊥，∴?
?
=AE AC ，EG CG =. 在COG Rt ?中，∵OC 2
1
OG =
，∴ 03G O =∠C .∴ 60=∠COA . 又∵o
60COA AC CAE 2
1CDE =∠===∠??的度数的度数的度数的度数,
∴
120CDE 180o =∠-=∠FDM .
（2）证明：∵
120COA 180o
=∠-=∠COM ,∴FDM COM ∠=∠.
在CGM Rt ?和EGM Rt ?中，??
?==EG
CG GM
GM ，
∴CGM Rt ?≌EGM Rt ?.∴E G C G M M ∠=∠. 又∵E G M DMF ∠=∠，∴DMF OMC ∠=∠. ∴FDM ?∽COM ?
（3）结论仍成立. 证明如下： ∵CDE 180o
∠-=∠FDM ，
CB
又∵的度数的度数的度数的度数COA CA CAE 2
1CDE ∠===∠??
，
∴COM COA 180o
∠=∠-=∠FDM . ∵AB 为直径，AB CE ⊥， 在CGM Rt ?和EGM Rt ?中，
?
?
?==EG CG GM
GM ， ∴CGM Rt ?≌EGM Rt ?.
∴E G C G M M ∠=∠. ∴FDM ?∽COM ?.
三、圆与三角函数综合
17．已知⊙O 过点D （4，3），点H 与点D 关于y 轴对称，过H 作⊙O 的切线交y 轴于点A （如图1）。
⑴求⊙O 半径；
⑵求sin HAO ∠的值；
⑶如图2，设⊙O 与y 轴正半轴交点P ，点E 、F 是线段OP 上的动点（与P 点不重合），联结并延长DE 、DF 交⊙O 于点B 、C ，直线BC 交y 轴于点G ，若D E F ?是以EF 为底的等腰三角形，试探索sin CGO
∠的大小怎样变化？请说明理由。
图1 图2
17．(1)点()4,3D 在⊙O 上， ∴ ⊙O 的半径5r OD ==。
（2）如图1，联结HD 交OA 于Q ，则HD ⊥OA 。联结OH ，则OH ⊥AH 。 ∴ ∠HAO=∠OHQ 。 ∴ 3
sin sin 5
OQ HAO OHQ OH ∠=∠=
=。 （3）如图2，设点D 关于y 轴的对称点为H ，联结HD 交OP 于Q ，则HD ⊥OP 。 又DE=DF ， ∴ DH 平分∠BDC 。
∴ BH CH =。 ∴ 联结OH ，则OH ⊥BC 。
图1 图2
∴ ∠CGO=∠OHQ 。 ∴ 3
sin sin 5
OQ CGO OHQ OH ∠=∠==
四、圆与二次函数（或坐标系）综合
18
、如图，⊙M 的圆心在x 轴上，与坐标轴交于A （0
、B （－1，0），抛物线2
3
y x bx c =-++经过A 、B 两点．
（1） 求抛物线的函数解析式；
（2） 设抛物线的顶点为P ．试判断点P 与⊙M 的位置关系，并说明理由；
（3） 若⊙M 与y 轴的另一交点为D ，则由线段PA 、线段PD 及弧ABD 围成的封闭图形PABD 的面积是
多少？
18．解：（1）∵抛物线经过点A 、B ，
∴??
???+--==.33
0,3c b c 解得 ??
???==.
3,33
2c b ∴.3332332++-=x x y （2）由33
32332++-
=x x y 得.334)1(332+--
=x y ∴顶点P
的坐标为（1，3
34）．
在Rt △AOM 中,MA 2－MO 2=OA 2,OA=3,OB=1,
MA 2－(MA －1)2=3, ∴MA=2. ∴MB=2, MO=1,即点O 的坐标为（1，0）． ∴MP=
3
3
4＞2. ∴顶点P 在圆外； （３）连结O D ，∵点M 在抛物线的对称轴上, ∴M P ∥y 轴, ∴PAD OAD S S ??= .
∴由线段PA 、线段PD 及弧ABD 形成的封闭图形PABD 的面积=扇形OAD 的面积. ∵在Rt △AOM 中,si n ∠AMO=
2
3
,∴∠AMO=60°. ∴封闭图形PABD 的面积=
212043603
MA ππ
?=
19．如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，以点C （1，1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A ，B 两点，
开口向下的抛物线经过点A ，B ，且其顶点P 在⊙C 上． （1）求∠ACB 的大小；
（2）写出A ，B 两点的坐标； （3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点D ，使线段OP 与CD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存
在，请说明理由．
19．解： （1）作CH ⊥x 轴，H 为垂足．
∵ CH =1，半径CB =2， ∴ ∠HBC =30°． ∴ ∠BCH =60°．
∴ ∠ACB =120°． （2）∵ CH =1，半径CB =2，
∴ 3=
HB ，故(1A ， )031(，
+B ． （3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P 的坐标为（1，3）．
设抛物线解析式为2
(1)3y a x =-+，把点)031(，
+B 代入解析式，
解得1a =-．所以
222y x x ∴=-++． （4）假设存在点D 使线段OP 与CD 互相平分，则四边形OCPD 是平行四边形．
所以，PC OD ∴∥且PC OD =． ∵ PC y ∥轴，∴ 点D 在y 轴上． ∵ 2=PC ，∴ 2OD ∴=，即)20(，D ． ∵ )20(，D 满足222y x x =-++， ∴ 点D 在抛物线上．
∴ 存在)20(，D 使线段OP 与CD 互相平分．
20．（以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为1的⊙1O 与x 轴交于A B 、两点，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2
y x bx c =-++的图象经过A B 、两点，其顶点为F ． （1）求b c ，的值及二次函数顶点F 的坐标；
（2）将二次函数2
y x bx c =-++的图象先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为C ，在经过点B 和点()0,3D -的直线l 上是否存在一点P ，使PAC ?的周长最小，若存在，求出点
P 的坐标；若不存在，请说明理由.
20.解：（1）由题意得，A (1 , 0) , B (3 , 0) .
则有10930.b c b c -++=??-++=?， 解得4,3.b c =??=-?
∴二次函数的解析式为()2
2
4321y x x x =-+-=--+．∴顶点F 的坐标为（2，1）．
（2）将()2
21y x =--+平移后的抛物线解析式为2
y x =-，其顶点为C (0,0).
∵直线l 经过点B （3，0）和点D （0，- 3），∴直线l 的解析式为3y x
=-． 作点A 关于直线l 的对称点A '，连接BA '、CA '， ∴AA '⊥直线l ，设垂足为E ，则有A E AE '=，
由题意可知，45ABE ∠=?, 2AB =，
∴45EBA '∠=?，2A B AB '== ． ∴90CBA '∠=?. 过点A '作CD 的垂线，垂足为F ,∴四边形CFA B '为矩形．
3FA OB '∴==． ∴ ()3,2A '-．
∴直线CA '的解析式为2
3
y x =-
. 2,33.y x y x ?=-??
?=-? 的解为 9,5
6.5x y ?
=????=-??
∴直线CA '与直线l 的交点为点96,55P ??- ???
五、以圆为背景的探究性问题
21．下图中, 图(1)是一个扇形OAB ，将其作如下划分：
第一次划分： 如图(2)所示，以OA 的一半OA 1的长为半径画弧交OA 于点A 1，交OB 于点B 1，再作∠AOB 的平分线，交AB 于点C ，交11A B 于点C 1， 得到扇形的总数为6个，分别为： 扇形OAB 、扇形OAC 、扇形OCB 、扇形OA 1B 1、扇形OA 1C 1、扇形OC 1B 1；
第二次划分： 如图(3)所示，在扇形OC 1B 1中， 按上述划分方式继续划分， 即以OC 1的一半OA 2的长为半径画弧交OC 1于点A 2，交OB 1于点B 2，再作∠B 1OC 1的平分线，交11B C 于点D 1，交22A B 于点D 2，可以得到扇形的总数为11个；
第三次划分： 如图(4)所示，按上述划分方式继续划分； ……
依次划分下去.
(1) 根据题意, 完成右边的表格；
(2) 根据右边的表格, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2008个?
为什么?
(3) 若图(1)中的扇形的圆心角∠AOB=m °，且扇形的半径OA 的长为R ．我们
把图(2)第一次划分的图形中，扇形11OA C （或扇形11OC B ）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为S 1；把图(3)第二次划分的最小扇形面积记为S 2；……，把第n 次划分的最小扇形面积记为S n..求1
n
n S S -的值.
21．解：（1）
（2）不能得到2008个扇形，因为满足5n+1=2008的正整数n 不存在；
（3）22
111
122223603608
n n n n n n m R m R S S ππ---???????? ? ?????=
÷=．
22．圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作AOB AB ∠（如图①）；
圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”， 记作1
()2
AOB
AB CD ∠+（如图①）请回答下列问题： （1）如图②，猜测APB AB CD ∠与、
有怎样的等量关系,并说明理由； （2）如图③，猜测APB AB CD ∠与、
有怎样的等量关系,并说明理由. （提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）
22．（1）1
()2
PAB
AB CD ∠+ 理由如下： 过O 点分别作,EF
AC MN BD o 交
于E 、F 、M 、N ，
∴APB EOM ∠=∠
,,AE CF BM DN ==
AB CD ∴+
=EM NF +
1
()2
EOM
EM NF ∠+ ∴
1
()2
PAB
AB CD ∠+
图②
图①
图③
图②
图③
（2）1
()2
PAB
AB CD ∠-， 理由如下： 过O 点分别作,EF AC MN BD o 交
于E 、F 、M 、N ，
∴APB EOM ∠=∠
,,AE CF BM DN ==
AB CD ∴-=EM NF + 1
()2EOM
EM NF ∠+ ∴1
()2
PAB AB CD ∠-
23．已知：半径为R 的⊙O '经过半径为r 的⊙O 圆心，⊙O '与⊙O 交于M 、N 两点．
（1）如图1，连接O O '交⊙O 于点C ，过点C 作⊙O 的切线交⊙O '于点A 、B ，求OA OB 的值； （2）若点C 为⊙O 上一动点. ①当点C 运动到⊙O '内时，如图2，过点C 作⊙O 的切线交⊙O '于A 、B 两点．请你探索OA OB 的值与（1）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由；
②当点运动到⊙O '外时，过点C 作⊙O 的切线，若能交⊙O '于A 、B 两点．请你在图3中画出符合题意的图形，并探索OA OB 的值（只写出OA OB 的值，不必证明）．
23．解：（1）如图1，延长OO ′交⊙O 于点D ，连接AD ．
∵ OD 是⊙O ′的直径， ∴ ∠DAO=90°． ∵ AB 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥AB ． ∴ ∠BCO=∠DAO=90°．
又 ∠B=∠D ， ∴ △BOC ∽△DOA ．
∴
OB OC
OD OA
=
． ∴ OA?OB =OC?OD =2Rr ． 即OA ?OB=2Rr ．
（2）①答：OA ?OB=2Rr 不变．
理由：如图2，作⊙O ′的直径OD ，连接AD 、OC ， ∴ ∠DAO=90°．
∵ AB 与⊙O 相切于点C ， ∴ ∠BCO=90°．
∴ ∠BCO=∠DAO ． 又 ∠B=∠D ，
∴ △BCO ∽△DAO ． ∴
OC OB
OA OD
=
． ∴ OA ?OB= OC?OD =2Rr ． ②答：OA ?OB=2Rr 不变．
2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表 示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a
（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元
人教版九年级上册数学 全 册 教 案 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 教学目标 知识技能 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2.了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．
数学思考与问题解决 通过丰富的实例，列出一元二次方程，让学生体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识． 情感态度 使学生经历类比一元一次方程得到一元二次方程概念的过程，减少学生对新知识的陌生感，提高学生学习数学的兴趣． 重点难点 重点：通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点：一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项系数的识别． 教学设计 活动一：创设情境 1．什么是方程？什么是一元一次方程？ 2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别是什么方程？ (1)3x＋4＝1；(2)6x－5y＝7；(3)－＝0；(4)y＝5；(5)x2－70x ＋825＝0；(6)7＋＝4；(7)x(x＋5)＝150；(8)－＝0. 3．什么是“元”？什么是“次”？
活动二：一元二次方程及其相关概念的学习 自学教材第2～3页，思考教师所提下列问题： 1．问题1中列方程的等量关系是________，所列方程为________，化简后为________． 2．问题2中列方程的等量关系是________，为什么要乘？所列方程为________，化简后为________． 3．观察上面化简后的方程，会发现：等号两边都是________，只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的方程，叫做一元二次方程． 4．任何一个方程都要化成它的一般形式，一元二次方程的一般形式为________(a≠________)．为什么？ 5．说出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项，在确定各个系数时要注意什么？ 设计意图：通过设问的方式来加深学生对一元二次方程的理解，排除学生对一元二次方程及其相关概念理解的障碍，让学生体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型，同时，通过设问也给学生学习探究搭建了交流平台． 活动三：尝试练习 1．判断下列方程是否为一元二次方程． (1)3x＋2＝5y－3；(2)x2＝4；(3)3x2－＝0；(4)x2－4＝(x＋2)2；
人教版九年级数学上册讲义（全册） 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）． （3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·； =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点 1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神． 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式3课时 21．2 二次根式的乘法3课时 21．3 二次根式的加减3课时 教学活动、习题课、小结2课时
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 数学教案（七年级上册） 第1章有理数 第2章整式的加减 第3章一元一次方程 第4章图形认识初步 第一章有理数 1.1正数和负数 教学目标： 1、了解正数与负数是从实际需要中产生的。 2、能正确判断一个数是正数还是负数，明确0既不是正数也 不是负数。 3、会用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量。 重点：正、负数的概念 重点：负数的概念、正确区分两种不同意义的量。 2、正数和负数 教师：如何来表示具有相反意义的量呢？我们现在来解决问题4提出的问题。 结论：零下5℃用－5℃来表示，零上5℃用5℃来表示。 为了用数表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量。如零上、向东、收入和高于等规定为正的，而把与它相反的量规定为负的。正的用小学学过的数（0除外）表示，负的用小学学过的数（0除外）在前面加上“－”（读作负）号来表示。根据需要，有时在正数前面也加上“+”（读作正）号。 注意：①数0既不是正数，也不是负数。0不仅仅表示没有，也可以表示一个确定的量，如温度计中的0℃不是没有表示没有温度，它通常表示水结成冰时的温度。②正数、负数的“+”“－”的符号是表示量的性质相反，这种符号叫做性质符号。
三、巩固知识 1、课本P3 练习 2、课本P4例 义。 四、总结 ①什么是具有相反意义的量？②什么是正数，什么是负数？③引入负数后，0的意义是什么？ 五、布置作业 课本P5习题1.1第1、2题。 1.2.1有理数 教学目标： 1、正确理解有理数的概念及分类，能够准确区分正整数、0、负整数、正分数、负分数。 2、掌握有理数的分类方法，会对有理数进行分类，体验分类是数学上常用的处理问题的方法。 重点：正确理解有理数的概念 重点：有理数的分类 教学过程： 一、知识回顾，导入新课 什么是正数，什么是负数？ 问题1：学习了负数之后，我们对数的认识范围扩大了，你能写出三个不同类型的数吗？（请三位同学上黑板上写出，其他同学在自己的练习本上写出，如果有出现不同类型的数，同学们可上黑板补充。）问题2：观察黑板上的这么数，并给它们分类。 先让学生独立思考，接着讨论和交流分类的情况，得出数的类型有5类：正整数、0、负整数、正分数、负分数。 二、讲授新课 1、有理数的定义 引导学生对前面的数进行概括，得出：正整数、零、负整数统称为整数；正分数和负分数统称分数。整数可以看作分母为1的分数，正整数、零、负整数、正分数和负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数，即整数和分数统称有理数。 2、有理数的分类 让学生在总结出5类数基础上，进行概括，尝试进行分类，通过交流和讨论，再加上老师适当的指导，逐步得出下面的两种分类方式。 （1）按定义分类：（2）按性质分类：
人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方
根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号 右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，
第二十一章 二次根式 1、一个正数有两个平方根；在实数范围内，负数没有平方根。 2、一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 3、a （a ≥0）是一个非负数.当a 为带分数是，要把a 改写成假分数，即5322要写成538 4、二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0）， 2a =a （a ≥0） 5、用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 6、二次根式的乘法规定：a ×b =ab （a ≥0,b ≥0） 7、二次根式的除法规定：b a =b a （a ≥0,b ＞0） 8、最简二次根式条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 9、二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 12、二次根式除法没有分配率，任何非零数的零次幂都是1，（ab ）m =a m b m 第二十二章 一元二次方程 1、 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2、 一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0),其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 3、 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 4、 解一元二次方程的方法： （1） 直接开方法：如果方程能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p(p ≥0)的形式，那么可得x=p ±或mx+n=p ± （2） 配方法：步骤：第一步，把方程化成一般形式（二次项系数是1）；第二步，把常数项移到方程的右边；第三步，配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式，即（x-k ）2=h(h ≥0)；第五步，用直接开平方法解方程。 （3） 公式法：Δ=b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的判别式。当Δ＞0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个相
九年级数学上册期末测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有（ ） A ．221 x x + B ．02=++c bx ax C ．()()121=+-x x D ．05232 2 =--y xy x 2．化简 1 321 21++ -的结果为（ ） A 、23+ B 、23- C 、322+ D 、223+ 3.已知关于x 的方程2 60x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2- 4．要使二次根式1-x 有意义，那么x 的取值范围是（ ） （A ）x ＞－1 （B ） x ＜1 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1 5．有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上（如图 2），从中任意一张是数字3的概率是（ ） A 、61 B 、31 C 、21 D 、3 2 6．已知x 、y 是实数，3x ＋4 ＋y 2 －6y ＋9＝0，则xy 的值是（ ） A ．4 B ．－4 C ．94 D ．－94 7、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A B C D 8．已知两圆的半径分别是5cm 和4cm ，圆心距为7cm ，那么这两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．内切 C ．外切 D ．外离 9．如图3，⊙Ｏ的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（ ） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 10．已知：如图4, ⊙O 的两条弦AE 、BC 相交于点D,连接AC 、BE. 若∠ACB ＝60°,则下列结论中正确的是（ ） A ．∠AO B ＝60° B ． ∠ADB ＝60° C ．∠AEB ＝60° D ．∠AEB ＝30° 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．方程 x 2 = x 的解是______________________ 12．如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个 五角星可以由一 个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度． 13．若实数a 、b 满足1 112 2+-+-= a a a b ，则a+b 的值为 ________． 14．圆和圆有不同的位置关系.与下图不同的圆和圆的位置关系是_____.(只填一种) 15．若关于x 方程kx 2–6x+1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 . 16．如图6，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=2。分别以A 、B 、C 为圆心，以2 1AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是______. 17．已知：如图7，等腰三角形ABC 中，AB=AC=4，若以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，DE ∥AB ，DE 与AC 相交于点E ，则DE=____________。 18. 如图，是一个半径为6cm ，面积为π12cm 2的扇形纸片，现需要一个半径为R 的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R 等于 cm 三．解答题 19．（6 分）计算：÷ （6分）解方程：2（x+2）2=x 2 -4 图2 O A B M 图3 图4 图5 图7 图 6 12题图
人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章二次根式 一、二次根式 1.二次根式：把形如詔（a_0）的式子叫做二次根式，“表示二次根号。 2.最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母;② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3.化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数 (包括小数）或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的 形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5.代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6.二次根式的性质 (1)（心)2=a(a 一0) 「a(a≥0） (2)Q a2 = a =Y J - a(a"） （3）ab = 。 a ?。b(a 一0，b 一0）（乘法） j a 芈（a”，b”） （4）’ b b （除法) 二、二次根式混合运算
1.二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2.二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程. 2、一元二次方程的一般形式 ax bx O（^^ O)，其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；C叫做常数项. 二、降次-——-解一元二次方程 1. 降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程（不管用 什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次） 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 2 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如χ2=b或（X a ）=b的一元
数学九年级上册（人教版）知识点总结 第二十一章二次根式 21.1 二次根式 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方 数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简 二次根式，而，，5 ，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次 根式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2 ， =3 ，它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这 两个代数式互为有理化因式。如与，a+ 与a- ，- 与+ ，互为有理化因式。 二次根式的性质： 1. (a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= 2（a ≥0,b≥0）。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、 都是非负数； （2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥ 0）；（≥0，≥0，≥0，≥0）。 （3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（ ≥0，≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。 2. 二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围， ≥0，在分母中，因此＞0； （2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）； （3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。 3. 最简二次根式 一个二次根式如果满足下列两个条件： （1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；
九年级上期数学期末检测 一、精心选一选（每小题3分，共30分） 1、下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）。 A. y=x --2 B.y= x x 2- C.y=2 4x - D.y=2 1--x 2．如图中∠BOD 的度数是（ ） A ．55° B ．110° C ．125° D ．150° 3.如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE 的度数 是（ ） A.55° B.60° C.65° D.70° 第2题 第3题 4.有一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同。小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能 是（ ） A ．6 B ．16 C ．18 D ．24 5．化简x x 1 - 得（ ）。 A.x -- B.x - C.x - D.x 6．一元二次方程ax 2+bx+c=0中，若a >0，b <0，c <0，则这个方程根的情况是（ ）。 A.有两个正根 B.有两个负根 C.有一正根一负根且正根绝对值大； D.有一正根一负根且负根绝对值大。 7．在⊿ABC 中，∠A ＝50°，O 为⊿ABC 的内心，则∠BOC 的度数是（ ）。 A.115° B.65° C.130° D.155° 8．关于x 的一元二次方程（k-1）x 2－2x ＋3=0有两不等实根，则k 的取值范围是（ ）。 A.k < 34 B.k <34 且k ≠1 C.0 新人教版九年级数学上册教案 第二十一章一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 活动1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x－1 (2)mx＋n＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x2＝1 3．下列哪个实数是方程2x－1＝3的解？并给出方程的解的概念． A．0 B．1 C．2 D．3 活动2 探究新知 根据题意列方程． 1．教材第2页问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量能够得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果能够设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题： (1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？ 人教版九年级数学上册22.3实际问题与一元二次方程导学案及随堂测试 ，大多可用算术方法解．而用一元二次方程解的应用题，一般不能用算术方法求解． 由于一元二次方程的次数为二次，所以其应用相当广泛，其中面积问题，平均增长率问题和储蓄问题，经营问题，数字问题等涉及到积的一些问题，都是代表类型． 基础准备 一、数字问题 1．三个连续的整数，设中间一个为，则其余两个分别为__________，___________．2．三个连续的偶数（或奇数），设中间一个为，则其余两个为__________，___________．3．十位上的数字为，个位上的数字为，则这个两位数为_______________． 4．个位，十位，百位上的数字分别为，，，则这个三位数为_______________． 问题1．若两个连续正整数的平方和是313，则这两个连续正整数的和是___________．二、图形面积问题 5．常见的面积公式：_______________________________________________________．6．常见的体积公式：_______________________________________________________． 问题2．有一批长是宽的2倍的长方形铁皮，四角各截去一个正方形，做成高是5cm，容积是360cm3的长方体容器，求这批铁皮的长和宽． 三、平均变化率问题 7．设基数为，平均增长率为，则连续增长次后的值为___________，若增长后的量为，则可列方程______________；如果平均降低率为，则可列方程______________． 问题3．我市某企业为节约用水，自建污水净化站，7月份净化污水3000吨，9月份增加到3630吨，则这两个有净化污水量平均每月增长的百分率为__________． 四、一元二次方程根与系数关系 8．一元二次方程的两根为__________，__________，__________，__________．9．一元二次方程的两根为__________，__________，__________，__________．10．设一元二次方程的两个根为和，则__________，__________． 问题4．两根分别为、的一元二次方程是（） （A）．（B）． （C）．（D）． 要点探究 探究1．数字问题 例1．一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位与原来的两位数的积为736，求原来的两位数． 解析：设十位数字为，则个位数字为，则此两位数为．则新两位数为，用未知数表示新旧两位数是解题的关键． 答案：设原来两位数的十位数字为，则个位数字为，依题得 ，整理，得，解这个方程，得，．当时，，两位数为23；当时，，两位数32．答：原来的两位数为32或23． 智慧背囊：此类问题要明确数与数字之间的关系，准确地表示出两位数． 活学活用：一个两位数，个位上的数字是十位数字的平方还多1，若把个位上的数字与十位上的数字对调，所得的两位数比原数大27，求原两位数． 探究2．与几何图形面积相关的问题新人教版九年级数学上册教案
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