第七章弯曲变形 一、是非题 1 梁内弯矩为零的横截面其挠度也为零。 （ ） 2 梁的最大挠度处横截面转角一定等于零。 （ ） 3梁的最大挠度必然发生在梁的最大弯矩处。（ ） 4若两梁的抗弯刚度相同，弯矩方程也相同，则两梁的挠曲线形状完全相同。（ ） 5 绘制挠曲线的大致形状，既要根据梁的弯矩图，也要考虑梁的支承条件。（ ） 6 静不定梁的基本静定系必须是静定的和几何不变的。 （ ） 二、选择或填空 1 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率最大发生在（ ）处。 A. 挠度最大 B. 转角最大 C. 剪力最大 D. 弯矩最大 2 将桥式起重机的主钢梁设计成两端外伸的外伸梁较简支梁有利，其理由是（ ）。 A. 减小了梁的最大弯矩值 B. 减小了梁的最大剪力值 C. 减小了梁的最大挠度值 D. 增加了梁的抗弯刚度值 3 图示两梁的抗弯刚度EI相同，载荷q相同， 则下列结论中正确的是（ ）。 A. 两梁对应点的内力和位移相同 B. 两梁对应点的内力和位移不相同 C. 内力相同，位移不同 D. 内力不同，位移相同 4 为提高梁的抗弯刚度，可通过（ ）来实现。 A. 选择优质材料 B. 合理安排梁的支座，减小梁的跨长 C. 减少梁上作用的载荷 D. 选择合理截面形状 三计算题 1 图示梁，弯曲刚度EI为常数。试绘制挠曲轴的大致形状，并用积分法计算截面C的转角。
2 图示简支梁，左右端各作用一个力偶矩分别为M1和M2的力偶，欲使挠曲轴拐点位于离左端l/3处，则M1和M2应保持何种关系。 3图示梁，弯曲刚度EI为常数。试用叠加法计算截面B的转角和截面C的挠度。
4 图示电磁开关，由铜片AB与电磁铁S组成。为使端点A与触点C接触，试求磁铁S所需吸力的最小值F以及间距a的尺寸。铜片横截面的惯性矩I z=0.18×10-12m4，弹性模量E=101GPa。
34．答：（1）无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合的。或者说，它是表示能给消费者带来相同效用水平或满足程度的两种商品的所有组合。相对应的效用函数为：U=f（x1，x2），其中X1和X2分别是商品1和商品2的数量。如图3—23所示，横轴与纵轴分别代表A、B两种商品，它们有四种不同的组合，其坐标点分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ。I表示由1个单位A商品与6个单位B商品组合；Ⅱ表示由2个单位A商品与3个单位B 商品组合，等等。连接I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ形成的曲线L便是无差异曲线。 图3—23 无差异曲线 （2）无差异曲线具有以下三个基本特点：①由于通常假定效用函数是连续的，所以，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线。所有这些无差异曲线之间的相互关系是：离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高，离原点越近的无差异曲线代表的效用水平越低。②在同一坐标平面图上的任何两条无差异曲线不会相交。图3—24中，两条无差异曲线相交于a点，这种画法是错误的。其理由在于：根据无差异曲线的定义，由无差异曲线I1可得a、b两点的效用水平是相等的，由无差异曲线I2可得a、b 两点的效用水平是相等的。于是，根据偏好可传递性的假定，必定有b和c这两点的效用水平是相等的。但是，观察和比较图中b和c这两点的商品组合，可以发现c组合中的每一种商品的数量都多于b组合，于是，根据偏好的非饱和性假定，必定c有点效用水平大于b 点的效用水平。这样一来，矛盾产生了：该消费者在认为b点和c点无差异的同时，又认为c点要优于b点，这就违背了偏好的完全性假定。由此证明：对于任何一个消费者来说，两条无差异曲线相交的画法是错误的。③无差异曲线是凸向原点的。这就是说，无差异曲线不仅向右下方倾斜，即无差异曲线的斜率为负值，而且，无差异曲线是以凸向原点的形状向右下方倾斜的，即无差异曲线的斜率的绝对值是递减的。这取决于商品的边际替代率递减规律。 图3—24 违反偏好假定的无差异曲线
Fx-5800计算器程序 一、程序名称：B-F-PQX(非对称平曲线) 30→Dim Z:“ZX”?H: “ZY”?K:“A”?A:“R”?R:“LS1”?N：“LS2”?L：“JDL”?Q:“JX”?U：“JY”?V：“F”?F：180/π/R→Z:ZN/2→Z［9］:ZL/2→B:N2/24/R-N^(4)/2688/R^(3)+N^(6)/506880/R^(5)→Z［10］: L2/24/R-L^(4)/2688/R^(3)+L^(6)/506880/R^(5)→P:N/2-N^(3)/(240R2)+N^(5)/34560/R^(4)→Z［11］: L/2-L^(3)/(240R2)+L^(5)/34560/R^(4)→Z［14］ “T1=”：（（R+P）-（R+Z［10］）Cos（Abs（A））+Z［11］→Z［12］▲ “T2=”：（（R+Z［10］）-（R+P）Cos（Abs（A）））+Z［14］→Z［13］▲ “L=”:(Abs(A)-Z［9］-B)/Z+N+L→o▲ “ZH=”:Q-Z［12］→E▲ “HY=”:E+N→Z［1］▲ “QZ=”:E+N+(o-N-L)/2→Z［2］▲ “YH=”:E+o-L→Z［3］▲ “HZ=”:E+o→Z［4］▲ LbI 9:“XL”？M：Prog“FDP”：Goto 9
二、子程序：FDP 180/π/R→Z:ZN/2→Z［9］:ZL/2→B:N2/24/R-N^(4)/2688/R^(3)+N^(6)/506880/R^(5)→Z［10］: L2/24/R-L^(4)/2688/R^(3)+L^(6)/506880/R^(5)→P:N/2-N^(3)/(240R2)+N^(5)/34560/R^(4)→Z［11］: L/2-L^(3)/(240R2)+L^(5)/34560/R^(4)→Z［14］ （（R+P）-（R+Z［10］）Cos（Abs（A））+Z［11］→Z［12］ （（R+Z［10］）-（R+P）Cos（Abs（A））+ Z［14］→Z［13］ (Abs(A)-Z［9］-B)/Z+N+L→o Q-Z［12］→E E+N→Z［1］ E+N+(o-N-L)/2→Z［2］ E+o-L→Z［3］ E+o→Z［4］ 0→W：0→Y：If M≤E：Then M-E→X：Goto 3：IfEnd：If M≤Z［1］：Then Goto 1：IfEnd：If M＜Z［3］：Then Goto 2：IfEnd：If M＜Z［4］：Then Goto 8：IfEnd：If M≥Z［4］:Then Z［4］-M→X：Goto 3：IfEnd LbI 1：M-E→G：G-G^(5)/(40R2N2)+G^(9)/(3456R^(4)N^(4))→X:G^(3)/(6RN)-G^(7)/(336R^(3)N^(3))+G^(11)/(42240R^(5)N^(5))→Y:ZG2/2/N→W:Goto 3 LbI 2:M-Z［1］→G:RSin(Z［9］+GZ)+Z［11］→X:R-RCos(Z［9］+GZ)+Z［10］→Y: Z［9］+GZ→W:Goto 3
弯曲变形 1. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为： (A) M e1/M e2=2； (B) M e1/M e2=3； (C) M e1/M e2=1/2； (D) M e1/M e2=1/3。 答：(C) 2. 外伸梁受载荷如 致形状有下列(A)(B)、(C)，(D)四种： 答：(B) 3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： (A)EI x M x w q x F F x M ) (d d ,d d , d d 2 2S S ===； (B)EI x M x w q x F F x M ) (d d ,d d , d d 2 2 S S =-=-=； (C)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -==-=； (D)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -=-==。 答：(B) 4. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图 示，自由端的挠度EI l M EI Fl w B 232 e 3+=（↓） 则截面C 处挠度为：
(A)2 e 3 322323??? ??+??? ??l EI M l EI F （↓）； (B)2 3 3223/323?? ? ??+??? ??l EI Fl l EI F （↓）； (C)2 e 3 322)3/(323? ? ? ??++??? ??l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2 e 3 322)3/(323? ? ? ??-+??? ??l EI Fl M l EI F （↓）。 答：(C) 5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。 答： 6. 7. (a)、(b)刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。 答：(C) 8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。 答：x =0, w 1=0, 1 w '=0；x =2a ，w 2 w 2；x =2a ，32 w w '='。 9. 试画出图示静定组合梁在集中力F 作用下挠曲线的大致形状。 (a) (b) (c) w ===θw w
路线平面计算案例——某低等级公路的计算（无坐标、虚交） 以下这个项目的直曲表，网友发给我已经有很长时间了，也请求过我好几次，但我一直未能帮他完成详细示抱歉，这段时间，实在没有精力，今天是周末，抽点时间来完成。
直曲表有两个特点： 1．象很早以前的低等级公路路线设计一样，没有坐标； 2．有三个虚交，其中一个虚交还是回头曲线（转角大于180度）。 对于没有坐标的直曲表，勘测中估计也没有做平面控制测量，也就没有已知坐标点来进行路线的坐施工中当然只能用老办法，这个老办法相信每本测量教科书中都有、而实际可能很少用到的那种—偏角法。 由于全站仪的普及，可能很多施工员也习惯使用坐标放样的方法，我们可以采用假定坐标系的方法并利用交点（对于低等级公路，一般在勘测时在实地上已经固定了）坐标作为平面控制点来进行放 具体方法如下： 首先，建立一个EXCEL表格，把直曲表上的交点的名称、转角、间距等提取并复制到这个表格中，最好转换成弧度格式，因为电子表格中的三角函数内的角度都要按弧度输入。然后新建方位角和坐点坐标为（1000,1000），起点至第一个交点直线方位角为0。根据各交点转角，可推算出各条路再根据起点坐标和方位角，可依次推算出各交点的坐标（公式应该每个人都知道吧，不知道的自己
根据各交点坐标，可在AUTOCAD中绘出路线导线图。 现在的问题是如何处理虚交，因为平常我们用交点法计算都是实交。其中，交点1和交点2都好办
都小于180度，我们可以在AUTOCAD中作图查询的方法，获取这两个实交交点的坐标，分别是：交点1：（1322.324，1000.000） 交点2：（860.966，1061.258） 但交点4就麻烦了，它转角大于180度，必须采用分拆成两个实交的办法来处理。这个分拆有个前那两个交点连线必须切于圆曲线（这个不等同于虚交），这个也可以用作图的方法来确定，但问题没有绘出来。 有两条圆切线了，半径也知道，圆心就好找，圆心找到了，根据半径……考验大家的AUTOCAD作图 最后分拆的两个交点坐标是：（726.939，1188.535），（748.434，1220.547）。要说明一下的就线有无限多条，因此做出的两交点也有无限多种，我这两个交点坐标并不是唯一结果。 最后的结果如下：
无差异曲线 无差异曲线是一条表示能够给消费者带来相同满足程度的两种商品的所有组合的曲线。无差异曲线：消费者满足程度无差异、偏好无差异。 教材14页图l-7 教材14页图1-8：在同一个平面直角坐标系中，可以绘制出无数条无差异曲线，每一条都代表不同水平的偏好。
无差异曲线的特征： （1）离原点越远的无差异曲线，代表消费者的偏好程度越高。离原点越近，代表消费者的偏好程度越低。 （2）任意两条无差异曲线都不能相交。 （3）无差异曲线从左向右下倾斜，凸向原点。这是由商品边际替代率递减规律决定的。 商品边际替代率，就是指在效用水平不变的条件下，消费者增加一单位某商品时必须放弃的另一种商品的数量。 如果用MRS表示商品边际替代率，公式为： 15页图1-10：从A到B，消费者愿意放弃6个单位衣服以获得额外1个单位食品，边际替代率为6；从B到D，只
愿意用4个单位衣服来换取1个单位食品，边际替代率为4。 当商品数量变化趋于无穷小时，上述公式可以表示为： 边际商品替代率是无差异曲线的斜率。无差异曲线是凸向原点的，是因为边际商品替代率递减。 边际商品替代率递减规律：在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到
一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费量是递减的。 【例题1·单选题】无差异曲线的位置和形状取决于（）。 A.消费者的偏好 B.消费者的收入 C.商品的价格 D.效用的大小 [答疑编号911020103：针对该题提问] 【答案】A 【例题2·单选题】当边际替代率沿着无差异曲线递减时，一个前提条件是（）。 A.无差异曲线斜率为负值 B.无差异曲线斜率为正值 C.无差异曲线是凹的 D.无差异曲线凸向原点 [答疑编号911020104：针对该题提问] 【答案】D 【例题3·多选题】无差异曲线的
非对称缓和曲线坐标计算程序 CASIO fx-4800P QXZB曲线坐标计算 CASIO4800 QXZB可计算不等缓和曲线、圆曲线上的任意中、边桩坐标： 该程序适用于计算器 CASIO fx-4800P，可计算与线路中心成任意夹角的缓和曲线、圆曲线中、边桩坐标及待测点方位角和距离。 1、DK(JD)？输入交点桩号 2、X(JD)？输入交点坐标X 3、Y(JD)？输入交点坐标Y 4、T1？输入第一切线长(如果只有一条切线两者都输入一致) 5、T2？输入第二切线长(如果只有一条切线两者都输入一致) 6、FWJ？输入直线方位角(ZH→JD) 7、A？输入转角：左转为负，右转为正 8、R？输入圆曲线半径 9、LS1？输入第一缓和曲线长(如果只有一条缓和曲线两者都输入一致) 10、LY？输入圆曲线长(L-LS1-LS2) 11、LS2？输入第二缓和曲线长(如果只有一条缓和曲线两者都输入一致) 12、X(ZJD)？输入置镜点坐标X 13、Y(ZJD)？输入置镜点坐标Y 14、JSDK？输入前视点里程 15、PL？输入偏距 16、PA？输入偏角 程序下载地址： https://www.doczj.com/doc/3e11161401.html,/blog/post/QXZB-4800.html
评价答案 好:18 不好:1 原创:18 非原创:0 菲メ帆ぅ 回答采纳率:52.8% 2010-06-02 17:37 满意答案 好评率：57% （for Casio-fx4850） 扩展变量操作（15个）：Defm 15←┚ ( O为字母、0为数字) J-PQX (平面数据输入，自行切换到J-JSMS) Defm 15←┚ A“JD” B“JDX” C“JDY” F“FWJ” O“A0：Z-，Y+” RE“LS1” K“LS2”： E<1=>E=1E-9⊿K<1=>K=1E-9⊿Z[1]=EE÷24R-E∧4÷2688RRR:Z[2]= E÷2-EEE÷240RR:X=(EE-KK)÷24R÷sin Abs O :“T1=”:Z[3]=(R+Z[1])tan(Abs O÷2)+Z[2]-X◢“T2=”:Z[4]=(R+KK÷24R-K∧4÷2688RRR)tan(Abs O ÷2)+K÷2-KKK÷240RR+X◢ “L=”:L=Abs OπR÷180+(E+K)÷2◢ J=tan-1((R+Z[1])÷(Z[3]-Z[2]):“E=”:X=(R+Z[1])÷sin J-R◢ X=A-Z[3]:Y=X+E:E<1=>“ZY=”:X◢ ≠=> “ZH=”:X◢ “HY=”:Y◢ ⊿ “QZ=”:Y =X+(L-K-E)÷2+E◢ Y=X+L-K:X=X+L:K<1=> “YZ=”:X◢
无差异曲线的特征： （1）离原点越远的无差异曲线，代表消费者的偏好程度越高。离原点越近，代表消费者的偏好程度越低。 （2）任意两条无差异曲线都不能相交。 （3）无差异曲线从左向右下倾斜，凸向原点。这是由商品边际替代率递减规律决定的。 （掌握）商品边际替代率，就是指在效用水平不变的条件下，消费者增加一单位某商品时必须放弃的另 一种商品的数量。
如果用MRS表示商品边际替代率，公式为： 15页图1-10：从A到B，消费者愿意放弃6个单位衣服以获得额外1个单位食品，边际替代率为6；从B 到D，只愿意用4个单位衣服来换取1个单位食品，边际替代率为4。
当商品数量变化趋于无穷小时，上述公式可以表示为： 边际商品替代率是无差异曲线的斜率。无差异曲线是凸向原点的，是因为边际商品替代率递减。 边际商品替代率递减规律：在维
持效用水平不变的前提下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费量是递减的。 【例题1·单选题】无差异曲线的位置和形状取决于（）。 A.消费者的偏好 B.消费者的收入 C.商品的价格 D.效用的大小 [答疑编号911020103：针对该题提问] 【答案】A 【例题2·单选题】当边际替代率沿着无差异曲线递减时，一个前提
条件是（）。 A.无差异曲线斜率为负值 B.无差异曲线斜率为正值 C.无差异曲线是凹的 D.无差异曲线凸向原点 [答疑编号911020104：针对该题提问] 【答案】D 【例题3·多选题】无差异曲线的特征有（）。 A.无差异曲线凸向原点 B.任意两条无差异曲线都可以相交 C.任意两条无差异曲线都不能相交
一般圆曲线计算程序(5800P) （五）圆曲线坐标计算程序(xx-03-2519:27:05)转载▼标签：杂谈 五、圆曲线坐标计算程序：1、Deg:Fix 32、Lbl 0:3、“K0=”?K:?X:?Y:?A:?R4、“L=- 1,R=+1”：?G5、“ZS=0，FS≠0”：?S6、S≠0 =＞Goto 17、“Ki”?Z8、90(Z-K)（πR）→B9、2R sin B→D 10、“Xi=”:X+Dcos (A+GB)→P◢ 11、“Yi=”:Y+Dsin (A+GB)→Q◢ 12、A+180G(Z-K)（πR）→O 13、“ZBJ”?E 14、“XiL=”:P+Ecos(O-90)◢ 15、“YiL=”:Q+Esin(O-90)◢ 16、“YBJ”?F 17、“XiR=”:P+Fcos(O+90)◢ 18、“YiR=”:Q+Fsin(O+90)◢ 19、 Goto 0 20、 Lbl1 21、 “XC”?U:“YC”?V22．X+Rcos(A+90G)→M23．Y+Rsin(A+90G)→N 24、Pol(U-M,V-N)→H
25、J＜0 =＞J+360→J 26、“PJ=”:R-H→L◢ 27、“XCCZ=”:M+Rcos(J)→T◢ 28、“YCCZ=”:N+Rsin(J)→W◢29 、Pol(T-X,W-Y)→Z 30、“CZZH=”: K+sin-1(Z2R)πR90◢ 31、 Goto 0说明：1、设置小数保留三位。2、程序03、赋值起点桩号K0，赋值起点坐标X、Y，赋值半径R,赋值起点走向方位角A。4、赋值曲线转向，左转为-1，右转为+1。5、选择正算S=0，或反算S≠0、6、如果S≠0，进入反算程序。7、正算程序：输入所求桩号Ki。8、计算弦切角B。9、计算弦长D。 10、计算中桩坐标Xi并显示。 11、计算中桩坐标Yi并显示。 12、计算i点走向方位角O。 13、输入左边桩距中桩的距离E。 14、计算左边桩坐标XiL并显示。 15、计算左边桩坐标YiL并显示。 16、输入右边桩距中桩的距离F。 17、计算右边桩坐标XiR并显示。 18、计算右边桩坐标YiR并显示。 19、到程序0。 20、反算程序1。 21、输入测量坐标X
弯曲变形 1. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为： (A) M e1/M e2=2； (B) M e1/M e2=3； (C) M e1/M e2=1/2； (D) M e1/M e2=1/3。 答：(C) 2. 外伸梁受载荷如图示，其挠曲线的大致形状有下列(A)、(B)、(C)，(D)四种： 答：(B) 3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： (A)EI x M x w q x F F x M ) (d d ,d d , d d 2 2S S ===； (B)EI x M x w q x F F x M ) (d d ,d d , d d 2 2 S S =-=-=； (C)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -==-=； (D)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -=-==。 答：(B) 4. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示，自由端的挠度EI l M EI Fl w B 232 e 3+=（↓） 则截面C 处挠度为： (A)2 e 3 322323?? ? ??+??? ??l EI M l EI F （↓） ； (B)2 33223/323?? ? ??+??? ??l EI Fl l EI F （↓）；
(C)2 e 3322)3/(323? ? ? ??++??? ??l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2 e 3322)3/(323? ? ? ??-+??? ??l EI Fl M l EI F （↓）。 答：(C) 5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。 答： 6. 试画出图示梁的挠曲线大致形状。 答： 7.形截面梁分别按(a)、(b)两种形式放置，则两者间的弯曲刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。 答：(C) 8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。 答：x =0, w 1=0, 1w '=0；x =2a ，w 2=0，w 3=0；x =a ，w 1=w 2；x =2a ， 32 w w '='。 9. 试画出图示静定组合梁在集中力F 作用下挠曲线的大致形状。 答：
基本型曲线测设极坐标计算程序 基础理论 平面路线的计算和设计是铁路、公路测量工作中的一项重要的内容。主要包含平面曲线要素和平曲线主点桩号的计算，以及路线中桩逐桩坐标的计算。 随着全站仪、光电测距仪、计算机和Casio可编程系列计算器的广泛应用和飞速发展，测量的方法也随之改进，测量的效率和精度不断提高。但也存在部分测量基层人员对曲线理论了解不够深入，只会照搬程序和使用程序，如果程序出现问题、需要修改或自己编写时，却不知如何进行。 现在就目前现有的测量理论，将极坐标测设曲线基础由浅入深的介绍给广大测量人员，便于了解和读懂计算程序。当我们在现场测量时，只需携带编有曲线计算程序的计算器，输入所测点的点号（里程）或与之相关构造物的各点时，即刻得到测点的测量数据。操作简便灵活、计算快捷、便于掌握。既减轻了计算工作量，又改善了工作条件，提高了工作效率。 基本型曲线的综合理论 目前我国使用的基本型曲线主要分为两种类型：一种是圆曲线；另一种是圆曲线两端加设相等缓和曲线的曲线。 首先介绍圆曲线的综合要素的计算： 一、看图学曲线 Ⅰ
圆曲线的主点和要素的意义： JD……交点，两相邻直线相交的点； ZY……直圆点，按线路前进方向由直线（Ⅰ）进入圆曲线的分界点； QZ……曲中点，圆曲线的中点； ZY……圆直点，按线路前进方向由圆曲线进入直线（Ⅱ）的分界点； T ……切线长，为交点至直圆点或圆直点的长度； L ……曲线长，圆曲线的长度（即ZY至YZ的圆弧长度）； E ……外矢距，为交点至曲中点的长度； a……转向角，直线（Ⅰ）与直线（Ⅱ）的夹角，沿线路前进方向，直线（Ⅱ）向左转则为a左，直线（Ⅱ）向右转则为a右； R ……圆曲线的半径。 二、圆曲线要素的计算 a、R、交点里程、曲线的转向（左、右）是计算和编程时的必要资料，是已知值。其它的主要素值一般设计直接提供，也可以通过以下公式计算求得。 圆曲线要素的计算公式： 切线长 T＝Rtan（a/2） 曲线长 L＝R aπ/180° 外矢距 E＝R（sec（a/2）－1）＝R（1/cos（a/2）－1） 式中计算L时，a以度为单位。 三、圆曲线主点里程的计算 主点里程计算是根据计算出的曲线要素，由一已知里程来推算，一般设计直接提供的是交点的里程，我们先依据交点里程计算出直圆点里程，再沿里程增加方向由ZY→QZ→YZ进行推算。 ZY＝JD － T； QZ＝ZY + L/2； YZ＝QZ + L/2
无差异曲线是西方经济学中的一个概念，它是指这样一条曲线，在它上面的每一点，商品的组合是不同的，但是，它表示人们从中得到的满足程度却是相同的。 无差异曲线是一条表示线上所有各点两种物品不同数量组合给消费者带来的满足程度相同的线。IC={（y1,y2）~(x1,x2)}。是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合。或者说它是表示能够给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种商品的所有组合。 无差异曲线的描述 所谓无差异曲线就是表示能给消费者带来同等程度满足的两种商品的不同数量组合的点的轨迹。 因为同一条无差异曲线上的每一个点所代表的商品组合所提供的总效用是相等的，所以无差异曲线也叫做等效用线。 不同消费者的无差异曲线图，反映着他们不同的偏好。如果消费者A的无差异曲线相对于消费者B的无差异曲线来说比较陡峭，这意味着 若同样减少一单位商品x，要保持原来的满足程度不变，消费者A需要增加的商品y 的数量要大于消费者B。从这一点来看，相对于商品x而言 商品y对于消费者A不如对于消费者B重要，或者说，在x与y两种商品之间，消费者A比消费者B更偏爱商品x，消费者B比消费者A更偏爱商品y 无差异曲线的基本性质 (1)由于通常假定效用函数是连续的，所以，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线。所有这些无差异曲线之间的相互关系是：离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高，离原点越近的无差异曲线代表的效用水平越低。 （2）在同一坐标平面图上的任何两条无差异曲线不会相交。两条无差异曲线相交于a 点，这种画法是错误的。其理由在于：根据无差异曲线的定义，由无差异曲线1，可得a、b 两点的效用水平是相等的，由无差异曲线2，可得a、c两点的效用水平是相等的。于是，根据偏好可传递性的假定，必定有b和c这两点的效用水平是相等的。但是，观察和比较图中b和C这两点的商品组合，可以发现C组合中的每一种商品的数量都多于b组合，于是，根据偏好的非饱和性假定，必定有C点效用水平大于b点的效用水平。这样一来，矛盾产生了：该消费者在认为b点和C点无差异的同时，又认为c点要优于b点，这就违背了偏好的完全性假定。由此证明：对于任何一个消费者来说，两条无差异曲线相交的画法是错误的。
微观经济学 第二节无差异曲线 一、选择题 1.在维持效用水平不变的前提下，消费者每增加一单位某种商品的消费数量时需要( C )另一种商品的消费数量。 A.增加 B.维持不变 C.减少 D.不做理会 2.无差异曲线上的某一点的边际替代率是无差异曲线在该点的( D ) A.斜率 B.倒数 C.相反数 D.斜率的绝对值 3.两种商品之间的替代比例固定不变是指( C ) A.普通商品 B.完全互补品 C.完全替代品
4.无差异曲线的形状取决于( B ) A.消费者收入 B.消费者偏好 C.生产者供应量 D.消费者比较 5.序数效用论认为商品给消费者带来的效用大小是可以( B ) A.加总 B.排序 C.衡量 D.相减 二、名词解释 偏好:指消费者对任意两个商品组合所做的一个排序。 无差异曲线:指用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合的。或说它是表示能够给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种商品的所有组合的。 效用函数:表示某一商品组合给消费者所带来的效用水平。 商品的边际替代率递减规律:指在维持效用水平不变的前提下，
随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。 三、简答题 1.简述序数效用论关于消费者偏好的三个基本的假定。 答案:第一个假定是偏好的完全性，指消费者总是可以比较和排列所给出的不同商品组合。 第二个假定是偏好的可传递性，指对于任何三个商品组合A、B 和C，如果消费者对A的偏好大于对B的偏好，对B的偏好大于对C的偏好，那么，在A、C这两个组合中，消费者必定有对A 的偏好大于对C的偏好。偏好的可传递性假定保证了消费者偏好的一致性，因而也是理性的。 第三个假定是偏好的非饱和性，指如果两个商品组合的区别仅在于其中一种商品的数量不相同，那么，消费者总是偏好于含有这种商品数量较多的那个商品组合，即消费者对每一种商品的消费都没有达到饱和点。或者说，对于任何一种商品，消费者总是认为数量多比数量少好。 2.简述无差异曲线的基本特征。 答案:无差异曲线具有以下三个基本特征。 第一个特征，离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高，离原点越近的无差异曲线代表的效用水平越低。
无差异曲线的形状和基本特征商品边际替代率及其递减规律 无差异曲线是一条表示能够给消费者带来相同满足程度的两种商品的所有组合的曲线。无差异曲线：消费者满足程度无差异、偏好无差异。 教材14页图l-7 教材14页图1-8：在同一个平面直角坐标系中，可以绘制出无数条无差异曲线，每一条都代表不同水平的偏好。
无差异曲线的特征： （1）离原点越远的无差异曲线，代表消费者的偏好程度越高。离原点越近，代表消费者的偏好程度越低。 （2）任意两条无差异曲线都不能相交。 （3）无差异曲线从左向右下倾斜，凸向原点。这是由商品边际替代率递减规律决定的。 （掌握）商品边际替代率，就是指在效用水平不变的条件下，消费者增加一单位某商品时必须放弃的另一种商品的数量。
如果用MRS表示商品边际替代率，公式为： 15页图1-10：从A到B，消费者愿意放弃6个单位衣服以获得额外1个单位食品，边际替代率为6；从B到D，只愿意用4个单位衣服来换取1个单位食品，边际替代率为4。
当商品数量变化趋于无穷小时，上述公式可以表示为： 边际商品替代率是无差异曲线的斜率。无差异曲线是凸向原点的，是因为边际商品替代率递减。 边际商品替代率递减规律：在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费量是递减的。 【例题1·单选题】无差异曲线的位置和形状取决于（）。 A.消费者的偏好 B.消费者的收入
C.商品的价格 D.效用的大小 [答疑编号911020103：针对该题提问] 【答案】A 【例题2·单选题】当边际替代率沿着无差异曲线递减时，一个前提条件是（）。 A.无差异曲线斜率为负值 B.无差异曲线斜率为正值 C.无差异曲线是凹的 D.无差异曲线凸向原点 [答疑编号911020104：针对该题提问] 【答案】D 【例题3·多选题】无差异曲线的特征有（）。 A.无差异曲线凸向原点 B.任意两条无差异曲线都可以相交 C.任意两条无差异曲线都不能相交 D.离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越低 E.无差异曲线向右下方倾斜 [答疑编号911020105：针对该题提问] 【答案】ACE
5800平曲线超高、加宽计算程序5800 CG JK JS LbI 0:Cls:“Z H”?C:“H Z”?E:“L B K”?A:“H P”?B:“Z-,Y+”?Z:“L S”?G:“C G”?P:“J K”?X←∣ P+B→O: 0.04G÷O→N:Goto 1←∣ LbI 1:Cls:D o：“C D，<0=﹥R e t u r n!”?S:I f S<0:T h e n G o t o0:I f E n d←∣ S＜C=﹥Goto5←∣ S>E=﹥Goto5←∣ S＞C+G=﹥Goto2←∣ N+C→H:(S-C)/G→L:L O-B→I:L X+A→J←∣ I f S＜H:T h e n-B J→D:A I→F:E l s e-I J→D:A I→F:IfEnd←∣ Goto4←∣ LbI 2:S＞E-G=﹥Goto3←∣ X+A→J:-P(A+X)→D:A P→F: Goto4←∣ LbI 3:E-N→K:(E-S)/G→L:(4L3-3L4)X+A→J:L O-B→I←∣ I f S＜K:T h e n-I J→D:A I→F:E l s e-B J→D:A I→F:IfEnd←∣ Goto4←∣ LbI 4:If:Z＜0: J→H:A→K:D→L:F→M:Goto6:IfEnd←∣ If Z≥0:T h e n A→H:J→K:F→L:D→M:Goto6:IfEnd←∣ LbI 5:A→H:A→K:-BA→L:-BA→M:Goto6←∣ Lbl 6:C l s←∣ “Z K=”:L o c a t e4,1,H←∣ “Y K=”:L o c a t e4,2,K←∣
求曲线方程的几种常用方法 宜君县高级中学 马卫娟 已知动点所满足的条件，求动点的轨迹方程是平面解析几何的一个重要题型。下面就通过实例介绍几种求曲线方程的常用方法。 一.直接法：即课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系,这时,设曲线上动点的坐标为(x,y),再根据命题中的已知条件,研究动点形成的几何特征,运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式,从而得到轨迹方程。 例1.在直角△ABC 中,斜边是定长2a(a>0),求直角顶点C 的轨迹方程。 解法一：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系（如图所示）则有:A(-a,0)、B(a,0),设动点C 的坐标为(x,y) 则满足条件的点C 的集合为}/{2 2 2 AB BC AC C P =+= 所以( )( ) ()2 2 2 2 2 2 22)()(a y a x y a x =+-+++ 即222a y x =+ 因为当点C 与A 、B 重合时，直角△ABC 不存在，所以轨迹中应除去A 、B 两点，既a x ±≠。 故所求点C 的轨迹方程为2 2 2 a y x =+()a x ±≠。 解法二:如解法一建立直角坐标系,设A(-a,0)、B(a,0)、C(x,y) ∵A C ⊥BC ∴1-=?BC AC K K ∴ 1-=-? +a x y a x y （1）
化简得：2 22a y x =+（2） 由于a x ±≠时，方程(1)与(2)不等价, 所以所求点C 的轨迹方程为2 2 2 a y x =+()a x ±≠。 解法三：如解法一建立直角坐标系，则：A(-a,0)、B(a,0)，设C(x,y) 连接CO ，则有：AB CO 2 1= 所以 a a y x =?= +22 12 2 即2 2 2 a y x =+ 轨迹中应除去A ，B 两点（理由同解法一） 故所求点C 的轨迹方程为2 2 2 a y x =+()a x ±≠。 说明：利用直接法求曲线方程的一般步骤 (1) 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意点M 的坐标; (2) 写出适合条件P 的点M 的集合P={M\p(m)}; (3) 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0; (4) 化方程f(x,y)为最简形式; (5) 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。(此步骤常省略不写，但一定要注意所求方程中所表示的点是否都在曲线上，注意特殊点)。 直接法是求曲线方程的基本方法。本例虽给出了三种解法，但实质上都是利用等量关系，直接求出轨迹方程。 二 .中间变量法(相关点法) 如果所求轨迹上的动点P(x,y)与已知曲线上的动点M(x,y)相互制约，
无差异曲线名词解释 无差异曲线是西方经济学中的一个概念，它是指这样一条曲线，在它上面的每一点，商品的组合是不同的，但是，它表示人们从中得到的满足程度却是相同的。 无差异曲线是用来表示两种商品或两组商品的不同数量的组合对消费者所提供的效用是相同的，无差异曲线符合这样一个要求：如果听任消费者对曲线上的点作选择，那么，所有的点对他都是同样可取的，因为任一点所代表的组合给他所带来的满足都是无差异的。 无差异曲线的描述： 表示能给消费者带来同等程度满足的两种商品的不同数量组合的点的轨迹。 同一条无差异曲线上的每一个点所代表的商品组合所提供的总效用是相等的，所以无差异曲线也叫做等效用线。 不同消费者的无差异曲线图，反映着他们不同的偏好。如果消费者A的无差异曲线相对于消费者B的无差异曲线来说比较陡峭，这意味着若同样减少一单位商品x，要保持原来的满足程度不变，消费者A需要增加的商品y的数量要大于消费者B。从这一点来看，相对于商品x而言，商品y对于消费者A不如对于消费者B重要，或者说，在x与y两种商品之间，消费者A比消费者B更偏爱商品x，消费者B比消费者A更偏爱商品y。 无差异曲线的四个基本性质： （1）由于通常假定效用函数是连续的，所以在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间可以有无数条无差异曲线。所有这些无差异曲线之间的相互关系是：离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高，离原点越近的无差异曲线代表的效用水平越低。 （2）在同一坐标平面图上的任何两条无差异曲线不会相交。 （3）无差异曲线是凸向原点的。这就是说，无差异曲线不仅向右下方倾斜，即无差异曲线的斜率为负值，而且，无差异曲线是以凸向原点的形状向右下方倾斜的，即无差异曲线的斜率的绝对值是递减的。这取决于商品的边际替代率递减规律。 （4）在收入与价格既定的条件下，为了获得同样的满足程度，不能同时增加或者减少某一种商品的需求。
节1：公路平曲线计算资料 一、实用计算公式集成 1．辅助公式 切线角：(因而) L为缓和曲线长度变量 切线增加值：－ 曲线内移值： 2．缓和曲线坐标计算公式（图示坐标系） X坐标公式： Y坐标公式： 其中HY点坐标： 3．元素计算公式 切线长：+Q 园曲线长： 曲线总长： 外距： 切曲差： 4．园曲线 距离H1： 任意角：（变量X1为设定值，以此式算出中间量）B半曲线宽： 园曲线上任意点坐标：X1为设定值
对应： 5．坐标变换公式： 二、学以致用——经典例题之一的手工计算 图纸上说：交点桩号为：JD=20287.675M,转角A=30°,园曲线半径
R=300M,缓和曲线长LS=70M.求曲线元素及主要点里程桩,然后作曲线放线计算. 解: ①元素计算: 敷设角B0=LS/2R*180/3.1416=6.6845°=0.116673弧度. 切线增长值Q=LS/2-LS^3/240R^2=34.984M 曲线内移值P=LS^2/24R=0.681M 切线长TS=(R+P)TAN(A/2)+Q=115.551M 园曲线长LY=R(A-2BO)=87.08M 曲线总长L=LY+2LS=227.08M 外距E=(R+P)/COS(A/2)-R=11.287M ②主点里程桩计算 ZH=JD-TS=20172.124M HY=ZH+LS=20242.124M QZ=HY+LY/2=20285.664M YH=HY+LY=20329.204M HZ=YH+LS=20399.204M ③园曲线参数 H1=RCOS（（A-2B0）/2）=296.845M B=RSIN((A-2B0)/2)=43.387M 节2：新的计算方法
●教学目标 （一）教学知识点 根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤. （二）能力训练要求 1.会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程. 2.会判断曲线和方程的关系. （三）德育渗透目标 1.提高学生的分析问题能力. 2.提高学生的解决问题能力. 3.培养学生的数学修养. 4.增强学生的数学素质. ●教学重点 求曲线方程的步骤： （1）依据题目特点，恰当选择坐标系； （2）用M（x,y)表示所求曲线上任意一点的坐标； （3）用坐标表示条件，列出方程F(x,y)=0； （4）化方程F(x,y)=0为最简形式； （5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. ●教学难点 依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性. ●教学方法 启发引导法 启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线两个基本概念，借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y)所满足的方程f(x,y)=0.表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质. ●教具准备 投影片两张 第一张：记作§7.6.2 A 第二张：记作§7.6.2 B ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］上节课，咱们一起探讨了曲线的方程和方程的曲线的关系，下面请一位同学叙述一下，大家一起来回顾.
［生］（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点， 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. Ⅱ.讲授新课 不难发现，利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上点的坐标（x ,y )所满足的方程f (x ,y )=0表示曲线.那么我们就可以通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质. 而且，我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 当今，在数学中，用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何.所以说，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科. 它主要研究的是： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质. ［师］下面我们首先讨论求曲线的方程. ［例2］设A 、B 两点的坐标是（-1，-1），（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程. 分析：线段AB 的垂直平分线上的任一点M 应满足条件：｜MA ｜=｜MB ｜ （打出投影片§7.6.2 A) 解：（1）设M （x ,y ）是线段AB 的垂直平分线上任意一点，则｜MA ｜=｜MB ｜ 即2222)7()3()1()1(-+-=+++y x y x 整理得，x +2y -7=0 ① 由此可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解； （2）设点M 1的坐标(x 1,y )是方程①的解， 即x 1+2y 1-7=0, x 1=7-2y 1 点M 1到A 、B 的距离分别是 ｜M 1A ｜=2121)1()1(+++y x . )136(5)7()24()7()3(; )136(5)1()28(12121212 12111212121+-=-+-=-+-=+-=++-=y y y y y x B M y y y y ∴｜M 1A ｜=｜M 1B ｜ 即点M 1在线段AB 的垂直平分线上. 由（1）、（2）可知，方程①是线段AB 的垂直平分线的方程. ［例3］点M 与互相垂直的直线的距离的积是常数k (k ＞0)，求点M 的轨迹. 分析：应建立适当的坐标系，不妨就取互相垂直的直线为坐标轴. 解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系. （打出投影片§7.6.2 B) 设点M 的坐标为(x ,y )，点M 的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数k 的点的集合： P ={M ｜｜MR ｜·｜MQ ｜=k }, (其中Q 、R 分别是点M 到x 轴、y 轴的垂线的垂足） 因为点M 到x 轴、y 轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，