一、应力状态的概念1.点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。
过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。
单元体三对面的应力已
知，单元体平衡
单元体三对面的应力已知，单元体平衡单元体任意部分平衡单元体任意部分平衡截面法和平衡条件求得
任意方位面上的应力，即点
在任意方位的应力。截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。2.一点应力状态的描述
以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。
以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。y x z
ατα
σxy τx σz σy σxz τyx
τ
yz τzx τzy τ
二、应力状态的分类
三个主应力不等于零。
三个主应力不等于零。两个主应力不等于零。
两个主应力不等于零。一个主应力不等于零。
一个主应力不等于零。三向应力状态
二向应力状态
单向应力状态
任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平面构成的六面体，作用三对主应力σ1≥σ2≥σ3 。任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平面构成的六面体，作用三对主应力σ1≥σ2≥σ3 。
αταστxy x σy τyx y
x αταστxy x σy
στyx y x 一、任意斜截面上的正应力和切应力
y x z αταστxy
y στyx x
στxy y στyx x σn t αn 0:F =∑d (d cos )sin (d cos )cos xy x A A A ασταασαα
+?(d sin )cos (d sin )sin 0
yx y A A ταασαα+?=0:
F τ=∑d (d cos )cos (d cos )sin xy x A A A ατταασαα
??(d sin )cos (d sin )sin 0y yx A A σααταα++=y x αταστxy y στyx x στxy y στyx x σ
sin 2cos 22ασστατα
?=+x y
xy σx 、τxy 是法线与x 轴垂直的面上的正应力与切应力，即x 面上的正应力与切应力；σy 、τyx 是法线与y 轴垂直的面上的正应力与切应力，即y 面上的正应力与切应力。
σx 、τxy 是法线与x 轴垂直的面上的正应力与切应力，即x 面上的正应力与切应力；σy 、τyx 是法线与y 轴垂直的面上的正应力与切应力，即y 面上的正应力与切应力。y x αταστxy y
στyx x στxy y στyx x σcos 2sin 222ασσσσσατα+?=
+?x y x y xy αn
正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元体内任意点的矩顺时针为正，反之为负。
正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元体内任意点的矩顺时针为正，反之为负。斜截面角度：从x 轴正向转到斜截面外法线所转过的角度，逆时针转为正，顺时针转为负。
斜截面角度：从x 轴正向转到斜截面外法线所转过的角度，逆时针转为正，顺时针转为负。sin 2cos 22x y
x ασστατα
?=+y x αταστxy y
στyx x στxy y στyx x σcos 2sin 222x y x y x ασσσσσατα+?=
+?αn
例：矩形截面简支梁在跨中作用集中力F 。已知F =100kN ，l = 2m ，b = 200mm ，h = 600mm ，α=40o ，求离支座l /4 处截面C 点在斜截面n -n 上的应力。
解：⑴求C 点所在截面的剪力、弯矩
S 50kN 2
==F F 25kN m 8
Fl M ==?⑵求C 点在横截面上的正应力、切应力
33
C 312251060010/4 1.04MPa 20060010/12
z M y I σ???×××===××*39
S C 33125010200150(15075)100.469MPa 2001020060010/12τ????××××+×===××××z z F S bI
C 1.04MPa σ=C 0.469MPa
τ=⑶作出点的应力状态图
1.04MPa x σ=?cos 2sin 222
x y x y xy ασσσσσατα+?=+?1.07MPa
=?sin 2cos 22
x y xy ασστατα?=+0.59MPa
=?0
y σ=0.469MPa xy τ=o 40
α=o o
1.04 1.04cos 800.469sin 8022
??=+×?×o o
1.04sin 800.469cos 802
?=×+×(压)
2τα=+?y x y xy 二、主应力及主平面位置
求与z 轴平行任意截面上的最大（小）正应力及方位求与z 轴平行任意截面上的最大（小）正应力及方位d 0d =ασα
00sin 2cos 202σσατα?+=x y
xy 02tan 2τασσ=??xy
x y
cos 2sin 22ασσσσσα+?x max 22min ()22
σσσσστσ+??=±+??x y x y xy
σmax 、σmin 作用面上τ= 0，即α0截面为主平面，σmax 、σmin 为主应力。σmax 、σmin 作用面上
τ= 0，即α0截面为主平面，σmax 、σmin 为主应力。
00sin 2cos 20
2σσατα?+=x y
xy 0
0=ατ对于同一点互相垂直面上的正应力之和是常量。
对于同一点互相垂直面上的正应力之和是常量。max 22min ()22σσσσστσ+??=±+??x y x y xy max min x y
σσσσ+=+sin 2cos 22ασστατα?=+x y xy
σmax 作用面方位角度α0σmax 作用面方位角度
α0x y
>σσo 045<αx y <σσo
045>αx y =σσ0τ>xy o 045=?α0τ x y σmax 、σmin 作用面是互相垂直的面，为α0截 面和α0+90o 截面。σmax 、σmin 作用面是互相垂直的面，为α0截面和α 0+90o 截面。 xy 三、最大切应力及其作用平面的位置求与z 轴平行任意截面上的最大切应力及方位 求与z 轴平行任意截面上的最大切应力及方位d 0d ατα =11()cos 22sin 20σσατα??=x y xy 1tan 22σσατ?=x y xy max 22min ()2 σστττ??=±+??x y xy sin 2cos 22ασστατα ?=+x y 1tan 22σσατ?=x y xy 02tan 2τασσ=??xy x y τmax 、τmin 作用面是互相垂直的面，为α1截面和α1+90o 截面，α1=α0+45o 。 τmax 、τmin 作用面是互相垂直的面，为α1截面和α1+90o 截面，α1=α0+45o 。11()cos 22sin 20 σσατα??=x y xy cos 2sin 222ασσσσσατα+?=+?x y x y xy 12 x y ασσσ+=max min max 2 σστ?=max 22min ()22σσσσστσ+??=±+??x y x y xy 例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。 解：圆轴扭转时横截面边缘处切应力最大 P P τ==T M W W 作应力状态图 0x y ==σσmax 22min ()22 x y x y xy σσσσσττσ+??=±+=±??o 0o 2451arctan()245 xy x y τασσ??=?=???圆轴扭转时表面各点σmax 所在平面连成倾角为45o 的螺旋面，由于铸铁抗拉强度低，所以试件沿此螺旋面断裂破坏 xy ττ = 例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平均直径d = 50mm ，壁厚t = 2mm ，外力偶M = 600N·m ，拉力F = 20kN 。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为W P = πd 2t / 2。试用解析法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及最大切应力。 解：⑴求D 点在横截面上的正应力、切应力 3 N D 6201063.7MPa 50210 F F A dt ?×====×××σππD 229P 60076.4MPa /250210/2 τππ?====×××T M W d t (拉) ⑵作出D 点的应力状态图 63.7MPa x =σcos 2sin 222 x y x y xy ασσσσσατα+?=+?sin 2cos 22 x y xy ασστατα ?=+0 y σ=76.4MPa xy τ=?o 120 =αD 63.7MPa ==σD 76.4MPa =τo o 63.763.7cos 240(76.4)sin24022 =+×??×50.3MPa =?o o 63.7sin 240(76.4)cos 2402 =×+?×10.7MPa =(拉) ⑶求D 点的主应力和主方向及最大切应力 max 22min ()22 x y x y xy σσσσστσ+??=±+??123114.6MPa 050.9MPa ∴===?σσσ2263.763.7()(76.4)22=±+?114.6MPa 50.9MPa ?=???63.7MPa x =σ0y σ=76.4MPa xy τ=? 主应力作用面的方位角 o 0o 256.3111276.4arctan()arctan()2263.733.69 xy x y τασσ??×=?==???x y >σσo o 1333.6956.31∴==?ααD 点最大切应力 13max 114.6(50.9)82.75MPa 22 ???===σστ63.7MPa x =σ0y σ=76.4MPa xy τ=? 一、应力圆方程cos 2sin 222 ασσσσσατα+?=+?x y x y xy sin 2cos 22 ασστατα?=+x y xy 2222 ()()22αασσσσσττ+??+=+x y x y xy 应力圆上一点坐标对应单元体某斜截面的应力值，所有斜截面的应力值对应一个确定的应力圆。 应力圆上一点坐标对应单元体某斜截面的应力值，所有斜截面的应力值对应一个确定的应力圆。 第七章应力状态和强度理论习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a）] 解：A点处于单向压应力状态。 2 2 4 4 1 2 d F d F F A N Aπ π σ- = - = = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 3 3 16 16 1d T d T W T P Aπ π τ- = = = MPa mm mm N 618 . 79 80 14 .3 10 8 16 3 3 6 = ? ? ? ? = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 = ∑A M 4.0 2 8.0 2.1= ? - - ? B R ) ( 333 .1kN R B = A σ A τ )(333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa mm mm mm N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.1436=??????==σMPa mm mm mm N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(13334 33 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa mm mm N W M z A A 064.502014.332 1103.39333=????==σ MPa mm mm N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0 45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。 解：A F x =σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2 0x y x τσστ+-= A F 20 45= τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时， 15020 45≤= A F τ kN N mm mm N A F 6060000540/3003002 2 ==??== [习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于 060~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切 应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3 ， A τ B τ B σA τA σ 西南交it 大学应用力*与工程系材#^力学教研i 图示拉伸甄压缩的单向应力状态，材料的破 坏有两种形式： 塑性屈服；极限应力为0■力=<5；或bpO2 腌性斷裂；极限应力为O ■必= CJ\ 此时，4 O>2和偽可由实验测得.由此可建 互如下S 度余件： ^mai 其中n 为安全系数? 2）纯剪应力状态： 图示纯剪应力狀态，材料的破 坏有两 种形式： 塑性屈服：极限应力为 腌性斯裂：极限应力为5 = 5 %和昭可由实验测得.由此可建立如下 =(^■1 it §7.7强度理论及其相当应力 1、概述 1）单向应力状态: a. ＜亠［6 n 其中, ?度条件: 前述a 度条件对材料破坏的原因并不深究.例如 图示低碳钢拉（压）时的强度条件为： r V J - b, b|nw W — — — // n 然而，其屈服是由于 YnurJl 起的,对?示单向 应力状态，有： 「niu 依照切应力强度条件，有： 4）材料破坏的形式 常温、静栽时材料的破坏形式大致可分为: ?腌性斷裂型： 例如：铸铁：拉伸、扭转等； "钢：三向拉应力状态. -塑性屈月艮型： 例如：低碳钢：拉伸、扭转寻； 铸铁：三向压缩应力状态. 可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关. , 5）强度理论 根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，分别针对它们发生破坏的原因提出假说，并认为不论材料处于何种应力状态，某种类型的破坏都是由同一因素引起，此即为强度理论. 常用的破坏判据有： 旎性断裂：5,磁可皿 ?性斷裂：V； 下面将讨论常用的-基于上述四种破坏判据的?虞理论. 第七章应力状态分析强度理论 7.1 应力状态概述 一、工程实例 1. 压缩破坏 2. 弯曲拉伸破坏 3. 弯曲剪切破坏 4. 铸铁扭转破坏 5. 低碳钢扭转破坏 二、应力状态的概念 1. 点的应力状态 过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。2. 一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。 3. 求一点应力状态 （1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡 （2）单元体任意部分平衡 （3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。 三、应力状态的分类 1. 单元体：微小正六面体 2. 主平面和主应力： 主平面：无切应力的平面 主应力：作用在主平面上的正应力。 3. 三种应力状态 单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零 四、应力状态分析的方法 1. 解析法 2. 图解法 7.2 应力状态分析的解析法 一、解析法 图示单元体，已知应力分量x σ、y σ 、xy τ和yx τ。 x x x （一）任意截面上的正应力和切应力： 利用截面法，考虑楔体bef 部分的平衡。设ef 面的面积为dA ， ∑=0 F n 0sin )Asin (cos )sin A (cos )cos A (sin )cos A (A =-+-+αασααταασαατσαd d d d d y yx x xy ∑=0F t sin )Asin (cos )sin A (sin )cos A (cos )cos A (A =++--ααταασαασαατταd d d d d yx y x xy 根据切应力互等定理： y x xy ττ= 三角函数关系：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2 αα-=，?=cos sin 22sin αα 解得： ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 x x xy y y --+ += （7-1） ατασστα2cos 2sin 2 x xy y +-= （7-2） （二）主应力即主平面位置 将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。 令0αα=时，0d d =α σα 即： y x xy xy y x σσταατασσασα -- ==?? ????+--=22tan 02cos 2sin 22d d 000 将0α和ο 900+α代入（8-1），求出最大及最小的正应力为： 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=??? （三）最大切应力及其作用平面的位置 将式（8-2）对α取一次导数，并令其等于零可确定切应力的极值和它所在平面的位置。 第 七 章 应力状态 强度理论 一、 判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×) 原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×) 原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态 二、 选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥ 7.1已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求： ⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力； ⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。 解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0 30α=- （1）cos 2sin 2211.622 x y x y x ασσσσ σατα+-= + -=sin 2cos 293.32 x y x MPa ασστατα-=+= （2）max 261.82 x y MPa σσσ+= = min 38.22x y MPa σσσ+== MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ （3）13 max 130.92 MPa σστ-== 7.2扭矩m kN T ?=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成ο 30=α方向上的正应变。设E=200GPa, 0.3υ=。 解：表面上任一点处切应力为： max 59P T MPa W τ= = 表面上任一点处单元体应力状态如图 30sin 251MPa στα=-=- 120sin 251MPa στα=-= () 00430301201 3.310E εσυσ-= -=? 2 στ τ 7.3用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成ο45方向上的正应 变4 100.2-?=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传 递的功率。 解：表面任一点处应力为 max 9550P P P T n W W τ== max 9550 P W n P τ∴= 纯剪切应力状态下，0 45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=- 由广义胡克定律 ()11311E E υ εσυστ+= -= 又()21E G υ=+Q V 2G τε∴= 代入max 9550 P W n P τ= ，得109.4P KW = 7.4图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成ο 60 方向上的正应变4 60101.4-?=ο ε，E=200GPa ，0.3υ=， 试求荷载P 。 解：0P A σ= 204D P πσ=? 斜截面上 02 060cos 4 σσσα== 2001503cos 4 σσσα== 由广义胡克定律 () 0006015060134E E υεσυσσ-= -= 将060043E εσυ = -代入2 04 D P πσ=? 解得P=36.2KN ο 已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求： ⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力； ⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。 解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0 30α=- （1）cos 2sin 2211.622 x y x y x MPa ασσσσσατα+-= + -= sin 2cos 293.32 x y x MPa ασστατα-=+= （2）2 2max 261.82 2x y x y x MPa σσσσστ+-??= += ??? 2 2 min 38.222x y x y x MPa σσσσστ+-??=+= ??? MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ （3）13 max 130.92 MPa σστ-== 扭矩m kN T ?=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成 30=α方向上的正应变。设E=200GPa, 0.3υ=。 解：表面上任一点处切应力为： max 59P T MPa W τ= = 表面上任一点处单元体应力状态如图 30sin 251MPa στα=-=- 120sin 251MPa στα=-= () 00430301201 3.310E εσυσ-= -=? 100100 200 60T α A 2 σ1 στ τ 用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成 45方向上的正应变 4100.2-?=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传递 的功率。 解：表面任一点处应力为 max 9550P P P T n W W τ== max 9550 P W n P τ∴= 纯剪切应力状态下，0 45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=- 由广义胡克定律 ()11311E E υ εσυστ+= -= 又()21E G υ=+V 2G τε∴= 代入max 9550 P W n P τ= ，得109.4P KW = 图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成 60方向上的正应变460101.4-?= ε，E=200GPa ，0.3υ=，试求荷载P 。 解：0P A σ= 204D P πσ=? 斜截面上 02 060cos 4 σσσα== 2001503cos 4 σσσα== 由广义胡克定律 () 0006015060134E E υεσυσσ-= -= 将060043E εσυ = -代入2 04 D P πσ=? 解得P= 45A 80120 60 A P 《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解. 第七章应力状态和强度理论习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a）] 解：A点处于单向压应力状态。 2 2 4 4 1 2 d F d F F A N Aπ π σ- = - = = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 3 3 16 16 1d T d T W T P Aπ π τ- = = = A σ A τ MPa mm mm N 618.798014.3108163 36=????= [习题7-1（b ）] 解：A 点处于纯剪切应力状态。 0=∑A M 04.028.02.1=?--?B R ) (333.1kN R B = ) (333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa mm mm mm N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.14 36=??????==σMPa mm mm mm N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(1333433 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa mm mm N W M z A A 064.502014.332 1103.393 33=????==σ MPa mm mm N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ A τ B τ B σA τA σ 第 七 章 应力状态 强度理论 一、 判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×) 原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×) 原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态 二、 选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥ 第七章 应力状态分析 强度理论 §7.1 应力状态概述 一、工程实例 1. 压缩破坏 2. 弯曲拉伸破坏 3. 弯曲剪切破坏 4. 铸铁扭转破坏 5. 低碳钢扭转破坏 二、应力状态的概念 1. 点的应力状态 过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。 2. 一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。 3. 求一点应力状态 （1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡 （2）单元体任意部分平衡 （3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。 三、应力状态的分类 1. 单元体：微小正六面体 2. 主平面和主应力： 主平面：无切应力的平面 主应力：作用在主平面上的正应力。 3. 三种应力状态 单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零 斜裂缝 垂直裂缝斜向主拉应力 四、应力状态分析的方法 1. 解析法 2. 图解法 §7.2 应力状态分析的解析法 一、解析法 图示单元体，已知应力分量x σ、y σ、xy τ和yx τ。 x y σx x x σ xy τ y n x σn （一）任意截面上的正应力和切应力： 利用截面法，考虑楔体bef 部分的平衡。设ef 面的面积为dA ， ∑=0 F n 0sin )Asin (cos )sin A (cos )cos A (sin )cos A (A =-+-+αασααταασαατσαd d d d d y yx x xy ∑=0F t sin )Asin (cos )sin A (sin )cos A (cos )cos A (A =++--ααταασαασαατταd d d d d yx y x xy 根据切应力互等定理： y x xy ττ= 三角函数关系：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2 αα-=，?=cos sin 22sin αα 解得： ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 x x xy y y --+ += （7-1） ατασστα2cos 2sin 2 x xy y +-= （7-2） （二）主应力即主平面位置 将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。 令0αα=时， 0d d =α σα 即： y x xy xy y x σσταατασσασα -- ==?? ????+--=22tan 02cos 2sin 22d d 000 将0α和ο 900+α代入（8-1），求出最大及最小的正应力为： 2 2 min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=??? （三）最大切应力及其作用平面的位置 将式（8-2）对α取一次导数，并令其等于零可确定切应力的极值和它所在平面的位置。 令1αα=时， 0d d =ατα 即： xy y x τσσα22tan 1-= 2 2min max )2 ( xy y x τσσττ+-±=??? 所以有：2 2201παα+=，4 01π αα+= 即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为ο45 第七章应力状态（训练题）答案 （一）填空与改错题： 1、有 一 个 主 应力不为零时称为单向应力状态；当有 二 个 主 应力不为零时称为二向应力状态或 平面 应力状态；当 三 个 主 应力都不为零时称为三向应力状态或 空间 应力状态； 2、构件受力如图所示，图A ）的危险点在 固定端（如考虑自重），应力状态为 单 向 应力状态，应力大小为（2 4 F d σπ=）；图B ）的危险点在 BC 段表面，应力状 态为 纯剪切应力状态，应力大小为（max 3 32e M d τπ=）；图C ）的危险点在 固定端上下边缘，应力状态为 二向应力状态，应力大小为（max 332Fl d σπ=，max 3 16e M d τπ=）；图D ）的危险点在 轴表面 ，应力状态为 二向 应力状态，应力大小为 （max 24F d σπ=，max 3 16e M d τπ=）。 3、图（1）所示为一单元体的应力状态，已知正应力为σ，切应力为τ=σ/2，则单元体的最大切应力τmax 和沿z 方向的正应变εz 应为 C） 。 ), 1(,23),,2)max max μσ εστσεστ?====E B E A z z )21(,2),,43)max max μσ εστσεστ?====E D E C z z 解： E E z σσσμσεσσστσ σσ σσσ= ??= =?= ∴?== =)]22([1 4 32 2 ,2 ,3 1max 321∵ 4．图（2）所示为A 、B 两点的应力状态，设σ>τ>0，则A 点处于 三 向应力状态；B 点处于 二 向应力状态，其主应力σ2= σ － τ ；若为脆性材料时，按第一理论进行强度计算，两点中 B 点更危险。《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解.
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