20 06 --20 07 学年第 二 学期考试试卷(A)
试卷名称： 高等数学（理工类）
一、填空题（每题3分，共39分）
1． 设22(,)f x y x y x y -+=-，则),(y x f =xy . 2．
极限2
00
lim
x y →→= 2 .
3． 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a = -5 . 4． 函数sin()u x yz =的全微分为 du =sin()cos()cos()yz dx xz yz dy xy yz dz ++ . 5． 已知平面区域D 是由直线1x y +=，1x y -=及0x =所围成，则D
ydxdy ??= 0
6．微分方程22,x y y e '=满足初始条件(0)2y =-的特解为22x y e -=-. 7．设123,,y y y 是微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的三个不同的解，且1223
y y y y -≠
-常数，则微
分方程的通解为 1122231()()y c y y c y y y =-+-+. 8．周期为2π的函数
()f x ，它在一个周期上的表达式为2
1,0
()1,0x f x x x ππ
--≤
叶级数的和函数在0x =处的值为 0 . 9． 设∑为平面
14
32=++z y x 在第一卦限中的部分，则4(2)3
z x y dS
∑
++
??
=.
10． 曲线2
sin
4,cos 1,sin t z t y t t x =-=-=在对应2
π
=
t
的点处的法平面方程是
40
2
x y π
++
-
-=.
11. 设L
为下半圆周y =2
2
x y
L
e
ds +?=42e π.
12．函数1()2f x x
=
-展开为x 的幂级数的形式为21
[1()()],222
222
n
x
x x x +
++++-<<
13．若级数1
(1)n n u ∞
=+∑收敛，则n u →∞
=n lim -1
二、（5分）函数(,)z z x y =由方程()x az y bz φ-=-所确定，其中()u φ有连续导数，,a b 是不全
为零的常数，证明：1z z a
b
x
y
??+=??
证明：方程()x az y bz φ-=-两边同时对,x y 求偏导 得
11()(1)z z z a
b
x
x x a b z z z a
b
y
y y a b φφφφφ???'-=?-?='???-'???-'-=?-?
=
'
???-
故 1z z a
b
x
y
??+=??
三、（5分）设2
3
x y
z e =，求
2
z x y
???
解：
2
3
2
3
2
3
2
3
5
2, (66)x y
x y
z z xy e
xy x y e
x x y
??==+???
四、（6分）求微分方程322x y y y e '''-+=满足条件(0)0,(0)1y y '==的特解.
解： 特征方程为：2
320r r -+= 特征根为：
122,1r r == 对应齐次方程的通解是：212x x y c e c e =+ 设原方程的特解为：*x y axe =，将其代入原方程待定系数得2a =-.所以 *2x y xe =-
故原方程的通解为2122x x x y c e c e xe =+- 由(0)0,(0)1y y '==解得123,3c c ==- 因此所求的特解是2332x x x y e e xe =--
五、（6分）计算二重积分2()D
x y dxdy +??，其中22{(,)49}D x y x y =≤+≤.
解: 23
22
2
2
65()(cos )4
D
D
x y dxdy x dxdy d r rdr πθθπ+=
=
=
????
?
?
六、（5分）利用格林公式，计算231
(22)(2)3
L
x y y dx x x dy -+-? ，其中L 为以2,y x y x ==围成
区域的正向边界.
解: 2
12322
01
1(22)(2)3
20
x
x
L
D
x y y dx x x dy x dxdy dx x dy -+-=-=-=-
?????
七、（6分） 设∑是由曲线2,
(0z 2)0,
z y x ?=≤≤?
=?绕z 轴旋转而成的曲面. (1) 写出∑的方程.（2）计算24(1)(81)y dzdx z y dxdy ∑
-++??，其中∑取下侧.
解: (1) ∑的方程是22z x y =+(0z 2)≤≤. (2) 设1∑为222,(2)z x y =+≤的上侧，则
2
1
22
2
4(1)(81)2y dzdx z y dxdy dv d d z πρ
θρρπ∑+∑Ω
-++=
==??
????
?
1
24(1)(81)2(81)24xy
xy
D D y dzdx z y dxdy y dxdy dxdy π
∑-++=
+==??????
2
4(1)(81)242y
dzdx z y dxdy πππ∑
-++=-=-??
八、（6分）求幂级数1
(1)2
n
n
n x n +∞
=-∑
的收敛半径与收敛区间，并求出它在收敛区间内的和函数.
解： 收敛半径2R =，收敛区间为[1,3)-，1
(1)()2
n
n
n x s x n +∞
=-=
∑
1
1
1
1
1
1(1)1
11()(
)
2
2
2
2
3n n n n n x x s x x
-+∞
+∞
--==--'=
?=
=
-∑
∑ (1)0s =，1
1
1(),
3()ln 2ln(3) (13)
x x
s x dx dx x
s x x x '==
-=---≤
九、（5分）设1
n n b ∞
=∑是收敛的正项级数，11
()n n n a a ∞
+=-∑收敛. 试讨论1
n n n a b ∞
=∑的敛散性，并说明
理由.
解: 1
n n n a b ∞
=∑是绝对收敛的. 因为11
()n n n a a ∞
+=-∑收敛,所以部分和1111
()m
m n
n m n s a
a a a ++==
-=-∑有
界,从而数列{}n a 有界，即存在常数0M >，使||(123
,)n a M n <=
，故||(123,)n n n
ab M b n <=
由于1
n n b ∞
=∑是收敛的正项级数，由比较审敛法知， 1
n n n a b ∞
=∑绝对收敛.
十、（6分）设可导函数)(x f 满足0
()cos 2()sin 1x
f x x f t tdt x +=+?，求)(x f .
解：方程 0
()cos 2()sin 1x
f x x f t tdt x +=+? 两边对x 求导得 ()cos ()sin 1f x x f x x '+=
即
1()tan ()cos f x x f x x
'+?=
，求解上面的一阶线性微分方程得
tan tan 1
()[]sin cos cos xdx xdx
f x e e dx C x C x
x
-??
=+=+?
，由于(0)f =，所以1C =，故
()s i n
c f x x x =
+ 十一、（5分） 证明: (sin sin )(cos cos )y y x dx x y x dy -++为某二元函数()y x f ,的全微分，并求()y x f ,，计算(1, 0)(0, 1)
(sin sin )(cos cos )y y x dx x y x dy
-++?
.
解 因为 sin sin ,cos cos P y y x Q x y x =-=+， cos sin P Q y x y
x
??=-=
??，
所以 (sin sin )(cos cos )y y x dx x y x dy -++为某二元函数()y x f ,的全微分
(s i n s i n )
(c o s
c (s i n c o s )(c o s s i n )
(s i n c o s
)
y y
x d x x y x d y
y d x x y d y x d y
y
x d x d x y
y x -++
=+
+-=+
故 (,)sin cos f x y x y y x c =++
(1, 0)
(
1,
)
(0
,
1)(
,
1
)
(s i n
s i n )(c o s c o s )[s i n c o s ]
y y x d x x y x d y x
y y x
-++=+=-?
十二、（6分）求抛物面221z x y =++的一个切平面，使它与抛物面及圆柱面22(1)1x y -+=所围成的立体的体积最小，并求出最小的体积，写出所求切平面方程. 解：设22(,,)1F x y z x y z =++-，得2,2,1x y z F x F y F ===- 抛物线在000(,,)x y z 处的切平面方程为 000002()2()()0
x x x y y y z z -+---= 即 220000221z x x y y x y =++--
该平面与抛物面及圆柱面所围成的立体的体积为
2
22
0000
2cos 120
2cos 2sin 12
220
03()22
r
x r y r x y V d rdr dz
x y x π
θπθθθ
πππ
+??+??+---
=
=++
-?
?
?
解
00
0220
20
V
x x V y y ππ
π??=-=???
???==???
得001,0x y ==，由提意可知V 的最小值一定存在，且只有一
个驻点，故可断定V 的最小值为 322
2
V π
πππ=+-=
，切平面为2z x =
北京林业大学2006--2007学年第2学期考试试卷
试卷名称：高等数学
一、填空题（每小题3分，共30分）
1、已知两点)2,2,2(1M 和)0,3,1(2M ,则模=21M M __ 2 。
2、以点)1,2,2(-O 为球心，通过坐标原点的球面方程是：
9)1()2()2(2
2
2
=-+++-z y x 。
3、曲面22y x z +=与平面01=+-z x 的交线平行于z 轴的投影柱面为122=+-y x x 。
4、设)ln(),(2
2
y x
x y x f --
=，其中0,0>>y x ，则=-+),(y x y x f )2ln(xy y x -+
5、设322),(y xy x y x f ++=，则=
??)
2,1(x
f 6 。
6、设)(xyz xy x f u ++=，则
=??x
u f yz y '++)1(。
7、设xy e z =，则全微分=z d y xe
x ye xy
xy d d + 。
8、交换二次积分的次序?
??
?--
+
x x x x
y
y x f x y y x f x 2
4
1
1
0d ),(d d ),(d
??
-+2
1
22
d ),(d y y
x
y x f y 。
9、微分方程3)0(,2)0(,023='==+'-''y y y y y 的特解=)(x y x x e e 2+。 10、微分方程1242+-=-''x e y y x 的特解形式可设为=)(*x y C
Bx Axe x
++2。
二、综合计算题（每小题6分，共66分）
11、设二元函数???
???+???
? ???=x y g x y x f y z ，求y x z y x z x ???+??2
22
。
解：
g x
y g f x
z '
-
+'=??（2分），
g x
y f y
x
z ''+
''=
??3
22
2
1（2
分），
g x
y f y
x y
x z ''-''-
=???2
2
2
（2分）， 0
2
2
2
=???+??y
x z y
x
z x
12、求由方程0sin 2=-+xy e y x 所决定隐函数)(x y 的导数x
y d d 。
解：2sin ),(xy e y y x F x -+=，2y e F x x -=（2分），
xy
y F y 2cos -=（2分），
xy
y y
e
F F dx
dy x
y
x 2cos 2
---
=-
=（2分）。
13、求函数2),(2
2
+-=y x y x f 在椭圆域}14
),{(2
2
≤+
=y
x y x D 上的
最大值和最小值。 解：
,02,
02=-=??==??y y
f x x
f 驻点（0，0）
（2分） =);,(λy x L )14
(22
2
2
2
-+
++-y x y x λ，（2分）
022=+=x x L x λ，02
12=+
-=y y L y λ，0
14
2
2
=-+
=y
x L λ，
可能极值点 （0，2），（0，-2），（1，0），（-1，0），
2)2,0()2,0(-=-=f f 最小，3)0,1()0,1(=-=f f 最大。（2分） 14、计算??
=
D
y x y
x I d d 2
2，D 是由直线x y x ==,2和曲线1=xy 所围成的闭区域。
解：??
=
2
1/12
2d d x
x
y y
x x I （2分）?-
=
2
1
2
d ]/1]
1
[x
x
x
y x （2分）
4
9d ][2
1
3
=
-=
?x x x 。（2分）
15、计算??
+=D
y x y x
I d d )(2
2
，其中}41),{(2
2
≤+≤=y x
y x D 。
解：???=
π
ρρρθ
20
2
1
2
d d I （4分）πρ
π2
151
24
124
=
?
=。
（2分） 16、求幂级数∑
∞
=-1
2
)3(n n
n
x 的收敛域。 解：令y x =-3，∑
∞=1
2
n n n
y ，1)
1(1/
1lim
2
2
=+=∞
→n n
R n y ，（3分）
当1±=y 时，∑
∞
=12
1
n n
，∑
∞
=-1
2
2
)1(n n
均收敛，
收敛域 11≤≤-y ，42≤≤x 。（3分） 17、判定级数∑∞
=-1
ln )1(n n n
n 敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛。
解：
,1ln n
n
n ≥ ∑
∞
=1
1i n
发散，∑
∞
=1
ln i n
n 发散。（2分）
设x x x f ln )(=，当e x >，0ln 1)(2
<-=
'x
x x f ，)(x f 单调递减，
（2分） 又0ln lim ==
∞
→n
n n ，∑
∞
=-∴
1
ln )
1(i n
n
n 条件收敛。（2分）
18、求幂级数
∑
∞
=++0
1
212n n n x
在收敛域)1,1(-内的和函数，
并求级数
∑∞
=++012)
21(121
n n n 的和。 解：∑
∞
=++=0
1
212)(n n n x
x S ，1,
11)(0
2
2≤-=
=
'∑
∞
=x x
x x S n n
，（3分）
1,
11ln
21d 11)(0
2
≤-+=
-=
?x x
x x x
x S x
（2分）
3ln 21)21()2
1(121
12==+∑∞
=+S n n n （1分）
19、求微分方程2
22d d x
xe
xy x
y -=+的通解。
解：
2d d =+xy x
y ，2
x
Ce
Y -=（2分），
设 2
)()(x
e
x u x y -=x
x u 2)(='?，（2分）
C x x u +=2
)(，2
)()(2x
e
C x x y -+=∴。（2分） 20、求微分方程x e y y y =+'-''2的通解。
解：02=+'-''y y y ，0122=+-r r ，1=r （二重根），（2分）
x e x C C Y )(21+=，设x
e Ax y 2*=，
（2分） 2
1=
?A ，x
x e
x e x C C Y 2212
1)(+
+=∴，（2分）
21、验证方程0d )cos ln (d )2ln (23=+-+--+y y x y x x xy y y y x
是全微分方程，并求其通解。 解：
x
y x
y x
y x y
xy y y y x
2-ln )
cos ln ()
2ln (2
3
=?+-?=
?--+?，（2分）
0d cos )d d 2(]d ln d )ln [(d 23=++-+-+y y y x x xy y y x x y y y x x ，（2分）
C
y y x y xy x
=+--+sin )1(ln 412
4
。（2分）
三、证明题（4分）
22、设函数)(x f 在],[b a 上连续且0)(>x f ，证明?
?-≥b a
b
a
a b x x f x x f 2
)(d )
(1)d (。
证明：??
?
?=
D
b a
b a
y x y f x f y y f x x f d d )
()(d )
(1)d (，b y a b x a D <<<<,:，
（2分） 2
)(d d d ]d )
()()
()([
2
1a b y x y x y f x f y f x f D
D
-=≥
+
??
??
。
（2分） 西北工业大学考试试题（卷）2006-2007学年第二学期期中
解 不封闭
：
)0(1Σ2
2≥--=z y x z
补充下侧，)1(0:Σ221≤+=y x z 则 .封闭，取外侧1∑+∑
分2
(
)]d d )1(3d d 2d d 2[d d )1(3d d 2d d 21
1
Σ233ΣΣΣ
2
33??
????
-++-
=
-++=
+y x z x z y z y x y x z x z y z y x I
分
4 由高斯公式，得
z
y x z y x y x z x z y z y x d d d )(6d d )1(3d d 2d d 2Ω
2
2ΣΣ2
331
++=
-++???
??
+
π
2d )(d d 62
102
1
π20
=+=?
?
?-z z ρρ
ρθ
ρ
分
7
π
3d d )3(d d )1(3d d 2d d 21
Σ2
3
3
2
2
1
=--
=-++????
≤+y x y x y x z x z y z y x 而
分
9
因此 .ππ3π2-=-=I 分10
四、(10分) 证明设,4:Ω222≤++z y x
.π3
64d 6π3
2
32
Ω
3
2
3
≤
+-≤
???
v z xy
证 .Ω),,(,6),,(2上可微在则令z y x f z xy z y x f +-= 由
???
??=-=====0200z f x f y f z
y x ，知f (x , y , z )在Ω内有唯一驻点(0,0,0), f (0,0,0)=6. 分2
.)4(6),,(2
222
-++++-=z y x λz xy z y x F 令
由 ???
???
?=-++==+-==+==+=0
402202022
2
2
z y x F z λz F y λx F x λy F λz y
x ，
分
4
得极值可疑点：).2,0,0(),0,2,2(),0,2,2(±±±±
.2)2,0,0(,4)0,2,2(,8)0,2,2(=±=±=±
±
f f f
比较函数值大小可知，f (x , y , z )在Ω上的最大值为8，最小值为2. 分6 因为f (x , y , z )与3),,(z y x f 有相同的最值点，
所以3),,(z y x f 在Ω上的最大值为M = 2，最小值为m =32. 分8 从而由重积分的估值定理得
Ω
Ω
Ω
2001—2002学年高等数学第二学期试题
一、填空（每题4分）
1．设),,(w v u f z =具有连续的一阶偏导数，其中y w e v x u y
ln ,sin ,2
===，则=
??y
z
2．设D 域是,12
2≤+y x 在
σ
d y x D
??
++2
21与
σ
d y x D
??
++4
41两者中比较大的值是
3．设幂级数
n
n
x a
)
1(0
+∑∞
的收敛域为（―4，2），则幂级数
∑∞
-0
)
3(n
n
x na
的收敛区间为
4．微分方程0
2
2
2
=-y dx
y
d 的通解是
二、试解下列各题（每题6分）
1、设),(y x f 是连续函数，改变二次积分??
?
?--+
a
x
a
a
x
a dy
y x f dx dy y x f dx 0
2
),(),()
0(>a 的积
分次序。 2．计算曲线积分xydy
dx y x L 2)(2
2++?。式中L 由极坐标方程?sin 2-=r 所表示的曲线上
从0=?到2
π
?=
的一段。
3．计算
dxdy
z dzdx y dydz x 3
3
3
++??
∑
，其中∑为球面12
22=++z y x 的外侧。
4．求微分方程x
e x y y y ++=-'-''1332的一个特解。
三、（8分） 设曲面为),,(,z y x M xe z x
y
=是此曲面上一点，试证曲面在点M 处的法线与向
径OM 垂直。
四、（10分） 修建一座容积为V 的形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的
造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高，使它的造价最小。
五、（8分） 函数),(y x z z =由方程1),(=++xz y yz x F 所确定，其中F 具有一阶连续偏导
数，求dz 。
六、（8分） 设Ω是由2
2y x z +=及2
2y
x z +=
所围的有界闭区域。试计算
dv
y
x e
I y
x ???
Ω
++=
2
2
2
2。
七、（6分） 求函数22y x u -=在（1，1）点沿{}3,4-=α方向的方向导数。
八、（6分） 设),(,),(y x v v y x u u ==都是具有二阶连续偏导数的二元函数，且使曲线积分
?
+1
L vdy
udx 与?
-2
L udy
vdx 都与积分路径无关。试证：对于函数),(,),(y x v v y x u u ==，恒
有
,
02
2
2
2
2
2
2
2
=??+
??=??+
??y
v x
v y
u x
u
。
九、（14分） 1．求幂级数
n
x
n n
∑
∞
1
2
!
的收敛区间及和函数。 2. 周期为2的函数)(x f ，它在
一个周期[)1,1-上的表达式为x x f =)(，将)(x f 展成傅立叶级数。 2001—2002高数2解答 一、填空（每题4分）
1．y f e e f f y
z
y
y 1cos 0321?
'+?'+?'=?? 2．
σ
d y x D
??
++2
21
3．（0 , 6）
4．
x
x
e
c e
c y 2
222
2
1-
+=
二、试解下列各题（每题6分）
1． 解： 设),(y x f 是连续函数，改变二次积分??
?
?--+
a
x
a
a
x
a dy
y x f dx dy y x f dx 0
02
),(),(＝
??
-a
y
y
dx
y x f dy 0
),(
2． 解：y
y
P x
Q
2=??=
?? 积分与路径无关，选择沿坐标轴由点(2,0)到(0,1)
原积分＝3801
02
2
-
=+
??
dy dx x
3． 解：由高斯公式，原积分＝
(
)??????=
=++πππφφθ20
1
4
2
225
12sin 33dr r d d dv
z
y x v
4． 解：特征方程：3,10
32212
=-==--r r r r
设
x
x
x
x
e
x y y y e
y x y Ce
y B Ax y e y y y y x y y y y 413
14
1,3
1,
32,133221212121-+
-=+=-=
+-==+==-'-''+=-'-''*
*
*
*
*
**
*
*
原方程的一个特解：
用待定系数法确定出
的解是的解是。
三、
解：法线方向向量：
{}0
,
,,,1,,1=?=??????-???
??--=OM n z y x OM e x y e n x y
x y
故曲面在点M 处
的法线与向径OM 垂直。
四、 解：设仓库的长、宽、高分别为x 、y 、z,容积为V=xyz 。 设地上造价每单位面积为单
位1，地上总造价为S 1=2(xy+xz+yz),地下总造价为S=3xy+xy+2(2xz+2yz)=4(xy+xz+yz)，x>0,y>0,z>0，由条件极值，设F=4(xy+xz+yz)+λ(xyz-v),求偏导，令偏导为零 得驻点：
(
)
333
000,,),,(v v v z y x =
，由问题的最小值存在，且在定义域内有唯一驻点，其即为所求。
五、 解：
x F y F F z F z x
F y F z F F z dy
z dx z dz y x y x ?+??+?-
=?+??+?-
=+=2121212111其中
六、解：设Ω
是由
2
2y
x z +=及
2
2y
x z +=所围的有界闭区域。计算
)
2(220
1
2
2
2
2
2
2-==
+=
??????
Ω
+e r d z r
e
dr d dv y
x e
I r
r
r y
x πθπ
。
七、
{}{}5143,4512,2)1,1(=
-?-=??l u 解：
八、0
0),(2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
=??+
??=??+
??=???=
?????-
=????=????=
??y
v x
v y
u x
u y x v v y
x v y
u x
y v x
u y
v x
u x
v
y u 同理有：
故代入有
种二阶混合偏导相等，
具有二阶连续偏导则两
由于是有
－
知：解：由积分与路径无关
九、1． x
x
x
n n
x
n n
n n n e
x x S e x S xe
x
n x x
n dx S xS x
n n x x n n
S R a a )1()1()!
1(1)!
1(1
)!
1(!
)
,(0
lim
11
1
1
1111
12
1+=+==-=-=
=-==
+∞-∞∞
==∑
∑
?∑
∑
∞
-∞
∞
-∞
+∞
→设 收敛区间＝解：ρ
2．
()()
()
()
)
1,1[cos 1122
1)(,2,11
12cos 21
2,2,10)(1
2
2
2
2
1
1
0-∈--+
=
=--=
=====∴∑
??∞
=x x n n x f n n xdx n x a xdx a n b x f n n n
n n ππ
π
π
是偶函数，解：
高等数学（下）模拟试卷二 一．填空题（每空3分，共15分） z= 的定义域为；（1 ）函数 xy （2）已知函数z=e，则在(2,1)处的全微分dz=； （3）交换积分次序， ? e1 dx? lnx0 f(x,y)dy 2 ＝； )点B(1,1)间的一段弧， 则（4）已知L是抛物线y=x上点O(0,0与之 ? = （5）已知微分方程y''-2y'+y=0，则其通解为 . 二．选择题（每空3分，共15分） ?x+y+3z=0? （1）设直线L为?x-y-z=0，平面π为x-y-z+1=0，则L与π的夹角为（）；πππ A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 ?z=33 z=f(x,y)z-3xyz=a（2）设是由方程确定，则?x（）； yzyzxzxy2222 A. xy-z B. z-xy C. xy-z D. z-xy （3）微分方程y''-5y'+6y=xe的特解y的形式为y=（）； A.(ax+b)e B.(ax+b)xe C.(ax+b)+ce D.(ax+b)+cxe （4）已知Ω是由球面x+y+z=a
三次积分为（）； A 2 2 2 2 2x 2x 2x 2x 2x * * dv???所围成的闭区域, 将在球面坐标系下化成Ω ? 2π0 π2 dθ?sin?d??rdr a 2 B. ? 2π0 π20 dθ?d??rdr a a0 C. ? 2π0 dθ?d??rdr 0∞ πa D. ?
2π0 dθ?sin?d??r2dr π 2n-1n x∑ n 2（5）已知幂级数n=1，则其收敛半径 （）. 2 B. 1 C. 2 D. 三．计算题（每题8分，共48分） 1、求过A(0,2,4)且与两平面π1:x+2z=1和π2:y-3z=2平行的直线方程 . ?z?z x+y 2、已知z=f(sinxcosy,e)，求?x，?y . 22 D={(x,y)x+y≤1,0≤y≤x}，利用极坐标计算3、设 ??arctan D y dxdyx . 22 f(x,y)=x+5y-6x+10y+6的极值. 4、求函数 5、利用格林公式计算 ? L (exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy ，其中
模拟试卷一 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。
【注】 高等数学考试时间：7月13日（第二十周周二) 地点:主教楼１6０1教室 以下题目供同学们复习参考用！！！! 《高等数学》(二）期末模拟试题 一、填空题：(15分） 1．设,y x z =则=??x z .1-y yx 2. 积分=??D xydxdy ．其中Ｄ为40,20≤≤≤≤y x 。 16 3． L 为2x y =点(０,0)到(１,1)的一段弧，则=? ds y L .121 55- 4. 级数∑∞ =-1)1(n p n n 当p 满足 时条件收敛.10≤
（C)?? ?+----2 22 2 1 1 1 1 y x x x dz dy dx ; (D ）??? 1 1 0 2 0 dz rdr d π θ。 5.方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为 。B （A ）x e b ax )(+ （B)x cxe b ax ++ (C ）x ce b ax ++ (D ）x xe b ax )(+ 三、),(2 2 x y f z -=其中)(u f 有连续的二阶偏导数,求22x z ??.(８分) 解：)2(x f x z -?'=?? )2()2(222-?'+-?''=??f x f x z f f x '-''=242 例、设)](,[2 xy y x f z ?-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，求x y z ???2． x f f y z ?'?'+-?'=???21)1( ]2[1211 2y f x f x y z ?'?''+?''-=????x y f x f ?'??'?''+?''+??]2[2221??' ?'+??''?'+22f x y f 11 22)(f x xy f ''-''+'?'=??222122)2(f xy f y x ''?'+''?'-+?? 四、计算?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (,L 为由点A （1,０）到B(0,1），再到 C(-1,0)的有向折线。（8分） 解：2cos ,2sin -=-=y e Q y y e P x x y e x Q y e y P x x cos ,2cos =??-=?? .,,围成的区域为由设CA BC AB D 由格林公式 ?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (???-+--??-??=CA x x D dy y e dx y y e dxdy y P x Q )2cos ()2sin ()( 02-=??dxdy D =2 五、计算 ?? ∑ ++dxdy zx dzdx yz dydz xy 2 22,其中∑为球体4222≤++z y x 及锥体22y x z +≥的公共部分的外表面。(８分） 解：,围成的空间区域为由设∑Ω
《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知
成人高考高等数学二模拟试题和答案解析一
成人高考《高等数学(二)》 模拟试题和答案解析（一） 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内． 1．设函数?(x)在点x 处连续，则下列结论肯定正确的是（）． A． B． C．当x→x 0时, ?(x)- ?(x )不是无穷小量 D．当x→x 0时, ?(x)- ?(X )必为无穷小量 2．函数y-=?(x)满足?(1)=2?″(1)=0，且当x<1时，?″(x)<0；当x>1时，?″(x)>0，则有（）．A．x=1是驻点 B．x=1是极值点 C．x=1是拐点 D．点(1，2)是拐点
3． A．x=-2 B．x=-1 C．x=1 D．x=0 4． A．可微 B．不连续 C．无切线 D．有切线，但该切线的斜率不存在5．下面等式正确的是（）．A． B． C． D． 6． A．2dx B．1/2dx C．dx D．0 7． A．
B． C． D． 8． A．0 B．2(e-1) C．e-1 D．1/2(e-1) 9． A． B． C． D． 10．设函数z=x2+y2，2，则点(0，0)（）．A．不是驻点 B．是驻点但不是极值点 C．是驻点且是极大值点 D．是驻点且是极小值点 二、填空题：1～10小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上·
11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 19． 20． 三、解答题：21～28小题，共70分。解答应写出推理、演算步骤． 21． 22．(本题满分8分)设函数Y=cos(Inx)，求y'．23． 24． 25． 26．
大一高数试题及解答
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处 的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ， 则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0
ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
年入学测试高等数学模拟题(专升本)
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
东北农业大学网络教育2018年专科起点本科入学测试 模拟试题高等数学（一） 一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. （） A. B.1 C. D. 2. 设函数，在处连续，则（） A. B. C. D. 3. 设函数，则（） A. B. C. D. 4. 设函数，则（） A. B. C. D. 5. （） A. B. C. D. 6. （） A. B. C. D. 7. 设函数，则（） A. B. C. D. 8. （） A. B. C. D. 9. 设函数，则（） A. B. C. D. 10. 若，则（） A. B. C. D. 二、填空题：请把答案填在题中横线上。 11. . 12. 设函数，则. 13. 设事件发生的概率为0.7，则的对立事件发生的概率为. 14. 曲线在点（1，0）处的切线方程为. 15. .。 16. . 17. 设函数，则. 18. 设函数，则. 19. 已知点（1，1）是曲线的拐点，则. 20．设是由方程所确定的隐函数，则.
三、解答题：解答应写出推理，演算步骤。 21.（本题满分8分） 计算. 22.（本题满分8分） 设函数，求. 23. （本题满分8分） 设函数，求，. 24. （本题满分8分） 计算. 25. （本题满分8分） 计算. 26. （本题满分10分） 求曲线，直线和轴所围成的有界平面图形的面积及该平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积. 27. （本题满分10分） 设函数，求的极值点与极值. 28 . （本题满分10分） 已知离散型随机变量的概率分布为 0 10 20 30 0.2 0.2 0.3 （1）求常数； （2）求的数学期望及方差.
北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2222315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.1y x =+，/ y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.（10分） 设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b a a b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使 得()0a f x dx ξ =?. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。 五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥
高等数学模拟试题1 一、填空题 1.函数1 ||)3ln(--= x x y 的定义域为_____________. 2..____________1lim =?? ? ??+-∞→x x x x 3.曲线33)4(x x y -+=在点（2，6）处的切线方程为__________. 二、选择题 1. 设)(x f 在点0x 处可导，且2)(0-='x f ,则=--→h x f h x f h ) ()(lim 000 ( ) 21).A ( 2).B ( 2 1 ).C (- 2).D (- 2. .当0→x 时, 2 x 与x sin 比较是 ( ). (A).较高阶的无穷小 (B). 较低阶的无穷小 (C). 同阶但不等价的无穷小 (D).等价的无穷小 3.设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3,则点M 的坐标为( ) )0,1).(A ( )0,1).(B (- )4,2).(C ( )0,-2).(D ( )cos(arcsin ).C (C x y += C x +arcsin ).D ( 三、计算题 1.计算) 1ln(arctan lim 3 x x x x +-→ 2.设,cos ,,sin t v e u t uv z t ==+=求全导数.dt dz 3.求微分方程x x y y x cos =+'的通解.
4.求幂级数∑∞ =--1 2 1)1(n n n x n 的收敛域. 答案 一、填空题： 1.分析 初等函数的定义域，就是使函数表达式有意义的那些点的全体. 解 由? ??>->-010 3|x |x 知，定义域为{}131-<< 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 【最新整理，下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为： 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面， 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数 (,)f x y 具有连续偏导 数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： . ,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是： 《高等数学》模拟题 一.单选题 1.设五次方程有五个不同的实根,则方程 最多有()个实根. A.5 B.4 C.3 D.2 [答案]:B 2.函数在点处连续是在该点处可导的() A.必要但不充分条件 B.充分但不必要条件 C.充要条件 D.无关条件 [答案]:A 3.设函数,则在点处(). A.连续但不可导 B.连续且 C.连续且 D.不连续 [答案]:B 4.设,则=(). A.3 B.-3 C.6 D.-6 [答案]:D 5.已知函数,则在处 A.导数 B.间断 C.导数 D.连续但不可导 [答案]:D 6.设函数可导且下列极限均存在,则不成立的是(). A. B. C. D. [答案]:C 7.点是函数的(). A.连续点 B.第一类非可去间断点 C.可去间断点 D.第二类间断点 [答案]:C 8.设,要使在处连续,则a=(). A.0 B.1 C.1/3 D.3 [答案]:C 9.(). A. B. C.0 D.1/2 [答案]:A 10.(). A.1/3 B.-1/3 C.0 D.2/3 [答案]:C 11.(). A. B.不存在 C.1 D.0 [答案]:C 12.如果与存在,则(). A.存在且 B.存在但不一定有 C.不一定存在 D.一定不存在 13.若函数在某点极限存在,则(). A.在的函数值必存在且等于极限值 B.在的函数值必存在,但不一定等于极限值 C.在的函数值可以不存在 D.如果存在则必等于极限值 [答案]:A 14.当时,()是与sin x等价的无穷小量. A. B. C. D. [答案]:C 15.,若存在,则必有(). A., B., C., D.为任意常数, [答案]:D 16.函数在点处有定义,是在该点处连续的(). A.充要条件 B.充分条件 《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?，则=（ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设2 2()D I x y dxdy =+??，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 22 4 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ??-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 10 1 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 《高等数学二》模拟题（开卷）（补） 一．填空题 1．设xy x y x f sin ),(= 则(1,0)x f '= ___0____ ,(1,0)y f '= __1_____． 2．已知2 3 (,)f x y x y =, 则d z = _3 2 2 23xy dx x y dy +______． 3. 设}14|),{(22 ≤+=y x y x D ，则??=D dxdy 2π ． 4．dx y x f dy I y y ? ?= ),(10 改变积分次序后，I=___210 (,)x x I dx f x y dy =??_________． 5. 设L 是圆周：t a y t a x sin ,cos ==, 则曲线积分? +L y x 22ds =__22a π______． 6. d d d V xy x y z ??? =____2____, 其中31,20,10:≤≤≤≤≤≤z y x V . 7．若级数 ()∑∞ =-11n n u 收敛，则 =∞ →n n u lim 1 ． 8．幂级数∑∞ =1n n n x 的收敛区间是 (-1,1) ． 9．→a =(1，-5，8)，→ b =(-1，-1，4)，则||a b -= 6 ． 10．函数1 z x y = +的间断点是 0x y += ． 11．21 (,)y y I dy f x y dx = ? ?改变积分次序后，I=__1 0(,)x I dx f x y dy =?__________． 12. 设L 是圆周：cos ,sin x t y t ==, 则曲线积分 22()L x y +?ds =__2π______． 13．若级数 ()121n n u ∞ =-∑收敛，则 =∞ →n n u lim 1 2 ． 14．幂级数1 (1)n n n x n ∞ =-∑的收敛区间是 (-1,1) ． 二．单项选择题 1．函数y x z -=2ln 的定义域是（ A ）。 A ．}|),{(2 y x y x > B ．}|),{(2 y x y x ≥ C ．}|),{(2 y x y x < D ．}|),{(2 y x y x ≤ １ 高等数学（A2）试卷（二） 答案及评分标准 一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1. B, 2. D, 3. B, 4. C, 5. D, 6. B, 7. D, 8. B. 二、计算题（本大题共4小题，没题7分，共28分） 1． 设),(y x z z =是由方程333a xyz z =-确定的隐函数, 求dz . 解: 方程两边对x 求导,得 03332='--'x x z xy yz z z (1分) 解得 xy z yz z x -= '2 (3分) 方程两边对x 求导,得 xy z xz z y -= '2 (5分) 所以, )(2 xdy ydx xy z z dz +-= (7分) 2． 求?? -= D dxdy y x I 22, D 由1,==x x y 及x 轴围成. 解: x y x D ≤≤≤≤0,10:, 故有 ? ? -= 10 22x dy y x dx I (2分) 令t x y cos =, 则有 ? ?=10 20 22 sin π tdt dx x I (6分) 12 π = (7分) 3． 求函数)1ln()(432x x x x x f ++++=的麦克劳林展开式及收敛区间. 解: x x x f --=11ln )(5 (2分) 由∑ ∞=-≤<--= +11 )11() 1()1ln(i n n t n t t , 可得 (4分) ∑∞ =<≤--=-155 )11()1ln(i n x n x x (5分) ∑∞ =<≤--=-1)11()1ln(i n x n x x (6分) 所以, ∑∑∞=∞ =<≤--=151)11()(i n i n x n x n x x f (7分) 4． 求微分方程1 cos 1222-=-+'x x y x x y 满足1)0(=y 的特解. 解: 方程两边同乘1)(2122-=?=-- x e x dx x x μ得 (2分) x y x dx d cos ])1[(2=-, c x y x +=-sin )1(2 (4分) 通解为, 1 sin 2 -+=x c x y (5分) 由1)0(=y 得1-=c , 所求特解为1 1 sin 2 --=x x y (7分) 三、计算题(本题8分) 用高斯公式计算?? ∑ ++= dxdy z dzdx y dydz x I 222, 其中∑为立体 c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:的表面外侧. 解: 由高斯公式可得 武汉大学网络教育入学考试 专升本 高等数学 模拟试题 一、单项选择题 1、在实数范围内，下列函数中为有界函数的是( b ) A.x y e = B.1sin y x =+ C.ln y x = D.tan y x = 2、函数2 3 ()32 x f x x x -= -+的间断点是( c ) A.1,2,3x x x === B.3x = C.1,2x x == D.无间断点 3、设()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在0x x =处( b ) A. 一定可导 B. 必不可导 C. 可能可导 D. 无极限 4、当x →0时，下列变量中为无穷大量的是（ D ） A.sin x x B.2x - C. sin x x D. 1sin x x + 5、设函数()||f x x =，则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( d ) A.1 B.1- C.0 D.不存在. 6、设0a >，则2(2)d a a f a x x -=? ( a ) A.0 ()d a f x x - ? B.0 ()d a f x x ? C.0 2()d a f x x ? D.0 2()d a f x x -? 7、曲线2 3x x y e --= 的垂直渐近线方程是( d ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在 8、设()f x 为可导函数，且()() 000lim 22h f x h f x h →+-=，则0'()f x = ( c ) A. 1 B. 2 C. 4 D.0 9、微分方程''4'0y y -=的通解是( d ) A. 4x y e = B. 4x y e -= C. 4x y Ce = D. 412x y C C e =+ 10、级数 1 (1)34 n n n n ∞ =--∑的收敛性结论是（ a ） A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法判定 11 、函数 ()f x =的定义域是( d ) A. [1,)+∞ B.(,0]-∞ C. (,0][1,)-∞?+∞ D.[0,1] 12、函数()f x 在x a =处可导，则()f x 在x a =处( d ) A.极限不一定存在 B.不一定连续 C.可微 D.不一定可微 13、极限1lim(1)sin n n e n →∞ -= ( c) A.0 B.1 C.不存在 D. ∞高等数学上考试试题及答案
高等数学竞赛试题(完整资料).doc
高等数学(二)-模拟题
高数二期末复习题及答案.doc
高等数学试卷和答案新编
高等数学二模拟题(开卷)
高等数学试卷2及答案
高等数学模拟试题及答案
相关主题
文本预览