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第一章集合与简易逻辑
第1课时集合的概念
一．课题：集合的概念
二．教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．
三．教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．集合、子集、空集的概念；
2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；
3．若有限集有个元素，则的子集有个，真子集有，非空子集有个，非空真子集有个．（二）主要方法：
1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；
2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；
3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；
4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．
（三）例题分析：
例1．已知集合，，，，，则
（）
解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．
例2．设集合，，若，求的值及集合、．
解：∵且，∴．
（1）若或，则，从而，与集合中元素的互异性矛盾，∴且；
（2）若，则或．
当时，，与集合中元素的互异性矛盾，∴；
当时，，，
由得①或②
1
2
由①得，由②得，
∴或，此时．
例3．设集合，，则 （ ）
解法一：通分；
解法二：从开始，在数轴上表示．
例4．若集合{}
2|10,A x x ax x R =++=∈，集合，且，求实数的取值范围． 解：（1）若，则，解得；
（2）若，则，解得，此时，适合题意；
（3）若，则，解得，此时，不合题意；
综上所述，实数的取值范围为．
例5．设，，，
（1）求证：；
（2）如果，求．
解答见《高考计划（教师用书）》第5页．
（四）巩固练习：
1．已知，，若，则适合条件的实数的集合为；的子集有 8 个；的非空真子集有 6 个．
2．已知：，，则实数、的值分别为．
3．调查100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那
么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75 ，最小值为 55 ．
4．设数集，，且、都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的长度的
最小值是．
五．课后作业：《高考计划》考点1，智能训练4，5，6，7，8，9，11，12．
第2课时 集合的运算
一．课题：集合的运算
二．教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用
数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方
法．
三．教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．交集、并集、全集、补集的概念；
2．，；
3．，．
3
（二）主要方法：
1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；
2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；
3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．
（三）例题分析：
例1．设全集，若，，，则，．
解法要点：利用文氏图．
例2．已知集合，，若，，求实数、的值．
解：由得，∴或，
∴，又∵，且，
∴，∴和是方程的根，
由韦达定理得：，∴．
说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．
例3．已知集合，，则；
；（参见《高考计划》考点2“智能训练”第6题）．
解法要点：作图．
注意：化简，．
例4．（《高考计划》考点2“智能训练”第15题）已知集合
222{|(1)(1)0}A y y a a y a a =-++++>，215{|,03}22
B y y x x x ==-+≤≤，若，求实数的取值范围．
解答见教师用书第9页．
例5．（《高考计划》考点2“智能训练”第16题）已知集合
{}2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，
{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤，若，求实数的取值范围．
分析：本题的几何背景是：抛物线与线段有公共点，求实数的取值范围．
解法一：由得 ①
∵，∴方程①在区间上至少有一个实数解，
首先，由，解得：或．
设方程①的两个根为、，
（1）当时，由及知、都是负数，不合题意；
（2）当时，由及知、是互为倒数的两个正数，
故、必有一个在区间内，从而知方程①在区间上至少有一个实数解，
综上所述，实数的取值范围为．
解法二：问题等价于方程组在上有解，
即在上有解，
4
令，则由知抛物线过点，
∴抛物线在上与轴有交点等价于 ①
或 ②
由①得，由②得，
∴实数的取值范围为．
（四）巩固练习：
1．设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有
（ D ）
①，②，③，④，
个 个 个 个
2．集合，，若为单元素集，实数的取值范围为．
五．课后作业：《高考计划》考点2，智能训练3，7， 10，11，12，13．
第3课时 含绝对值的不等式的解法
一．课题：含绝对值的不等式的解法
二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．
三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一
元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综
合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上两点间的距离
2．当时，或，||ax b c c ax b c +
当时，，．
（二）主要方法：
1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二
次）不等式（组）进行求解；
2．去掉绝对值的主要方法有：
（1）公式法：，或．
（2）定义法：零点分段法；
（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．
（三）例题分析：
例1．解下列不等式：
（1）；（2）；（3）．
解：（1）原不等式可化为或，∴原不等式解集为．
（2）原不等式可化为，即，∴原不等式解集为．
（3）当时，原不等式可化为，∴，此时；
5
当时，原不等式可化为，∴，此时；
当时，原不等式可化为，∴，此时．
综上可得：原不等式的解集为．
例2．（1）对任意实数，恒成立，则的取值范围是；
（2）对任意实数，恒成立，则的取值范围是．
解：（1）可由绝对值的几何意义或的图象或者绝对值不等式的性质
|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得，∴；
（2）与（1）同理可得，∴．
例3．（《高考计划》考点3“智能训练第13题”）设，解关于的不等式：．
解：原不等式可化为或，即①或②，
当时，由①得，∴此时，原不等式解为：或；
当时，由①得，∴此时，原不等式解为：；
当时，由①得，∴此时，原不等式解为：．
综上可得，当时，原不等式解集为，
当时，原不等式解集为．
例4．已知，，且，求实数的取值范围．
解：当时，，此时满足题意； 当时，33|23|22
a a x a x -+-
综上可得，的取值范围为．
例5．（《高考计划》考点3“智能训练第15题”）在一条公路上，每隔有个仓库（如
下图），共有5个仓库．一号仓库存有货物，二号仓库存，五号仓库存，其余两个仓
库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输需要元运输费，那么最少要多少运费才行？
解：以一号仓库为原点建立坐标轴，
则五个点坐标分别为12345:0,:100,:200,:300,:400A A A A A ，
设货物集中于点，则所花的运费5||10|100|20|200|y x x x =+-+-，
当时，，此时，当时，；
当时，，此时，；
当时，，此时，当时，．
综上可得，当时，，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为元．
（四）巩固练习：
1．的解集是；的解集是；
2．不等式成立的充要条件是；
3．若关于的不等式的解集不是空集，则；
6
4．不等式成立，则．
五．课后作业：《高考计划》考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．
第4课时 一元二次不等式的解法
一．课题：一元二次不等式的解法
二．教学目标：掌握一元二次不等式的解法，能应用一元二次不等式、对应方程、函
数三者之间的关系解决综合问题，会解简单的分式不等式及高次不等
式．
三．教学重点：利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系；
2．分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零；
3．高次不等式要注重对重因式的处理．
（二）主要方法：
1．解一元二次不等式通常先将不等式化为或的形式，然后求出对应方程的根（若有
根的话），再写出不等式的解：大于时两根之外，小于时两根之间；
2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理；
3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．
（三）例题分析：
例1．解下列不等式：
（1）；（2）；（3）．
解：（1）；（2）；
（3）原不等式可化为
(1)(2)(2)(1)02 1 0 1 2(2)(1)0
x x x x x x or x or x x x +-+-≥??-<≤-≤<≥?+-≠?． 例2．已知，，
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
解：，
当时，；当时，；当时，．
（1）若，则；
（2）若，
当时，满足题意；当时，，此时；当时，不合题意．
所以，的取值范围为．
例3．已知，
（1）如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；
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（2）如果对，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）24(2)16004a a ?=--
（2）或或，
解得或或，∴的取值范围为．
例4．已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
解法一：∵即的解集为，
∴不妨假设，则即为，解得．
解法二：由题意：，
∴可化为即，解得．
例5．（《高考计划》考点4“智能训练第16题”）已知二次函数的图象过点，问是否
存在常数，使不等式对一切都成立？
解：假设存在常数满足题意，
∵的图象过点，∴ ①
又∵不等式对一切都成立，
∴当时，，即，∴ ②
由①②可得：，∴， 由对一切都成立得：22111()(1)222
x ax x a x ≤++-≤+恒成立， ∴的解集为，
∴且，即且，
∴，∴，
∴存在常数使不等式对一切都成立．
（四）巩固练习：
1．若不等式对一切成立，则的取值范围是．
2．若关于的方程有一正根和一负根，则．
3．关于的方程的解为不大于2的实数，则的取值范围为．
4．不等式的解集为．
五．课后作业：《高考计划》考点4，智能训练3，4，5，9，13，14，15．
第5课时 简易逻辑
一．课题：简易逻辑
二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的
含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．
三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题；
2．由真值表判断复合命题的真假；
3．四种命题间的关系．
（二）主要方法：
1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；
2．通常复合命题“或”的否定为“且”、“且”的否定为“或”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；
3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若，则”的形式；
4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．
（三）例题分析：
例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：（1）菱形对角线相互垂直平分．
（2）“”
解：(1)这个命题是“且”形式，菱形的对角线相互垂直；菱形的对角线相互平分，∵为真命题，也是真命题∴且为真命题．
（2）这个命题是“或”形式，；，
∵为真命题，是假命题∴或为真命题．
注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假．
例2．分别写出命题“若，则全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．
解：否命题为：若，则不全为零
逆命题：若全为零，则
逆否命题：若不全为零，则
注：写四种命题时应先分清题设和结论．
例3．命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．
解：方法一：原命题是真命题，
∵，∴，
因而方程有实根，故原命题“若，则有实根”是真命题；
又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题．方法二：原命题“若，则有实根”的逆否命题是“若无实根，则”．∵无实根
∴即，故原命题的逆否命题是真命题．
例4．（考点6智能训练14题）已知命题：方程有两个不相等的实负根，命题：方程无实根；若或为真，且为假，求实数的取值范围．
分析：先分别求满足条件和的的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．解：由命题可以得到：∴
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由命题可以得到：∴
∵或为真，且为假∴有且仅有一个为真
当为真，为假时，
当为假，为真时，
所以，的取值范围为或．
例5．（《高考A计划》考点5智能训练第14题）已知函数对其定义域内的任意两个数，当时，都有，证明：至多有一个实根．
解：假设至少有两个不同的实数根，不妨假设，
由方程的定义可知：
即①
由已知时，有这与式①矛盾
因此假设不能成立
故原命题成立．
注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．
例6．（《高考A计划》考点5智能训练第5题）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）A.假设都是偶数 B.假设都不是偶数
C.假设至多有一个是偶数
D.假设至多有两个是偶数
（四）巩固练习：
1．命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是（）
A．若不正确，则不正确 B. 若不正确，则正确
C. 若正确，则不正确
D. 若正确，则正确
2．“若，则没有实根”，其否命题是（）
A. 若，则没有实根
B. 若，则有实根
C. 若，则有实根
D. 若，则没有实根
五．课后作业：《高考计划》考点5，智能训练3，4，8，13，15，16．
第6课时充要条件
一．课题：充要条件
二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．三．教学重点：充要条件关系的判定．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．充要条件的概念及关系的判定；
2．充要条件关系的证明．
（二）主要方法：
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1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；
2．判断是否正确的本质是判断命题“若，则”的真假；
3．判断充要条件关系的三种方法：
①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．
（三）例题分析：
例1．指出下列各组命题中，是的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）
（1）在中，，
（2）对于实数，，或
（3）在中，，
（4）已知，，
解：（1）在中，有正弦定理知道：
∴又由
所以，即是的的充要条件．
（2）因为命题“若且，则”是真命题，故，
命题“若，则且”是假命题，故不能推出，
所以是的充分不必要条件．
（3）取，不能推导出；取，不能推导出
所以，是的既不充分也不必要条件．
（4）因为，或，，
所以，是的充分非必要条件．
例2．设，则是的（）、是的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解：由图形可以知道选择B，D．（图略）
例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，
因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，
因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，
由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B．
例4．设，求证：成立的充要条件是．
证明：充分性：如果，那么，①②③于是
如果即或，
10
11 当时，，
当时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+，
总之，当时，．
必要性：由及
得即222222||x xy y x xy y ++=++
得所以故必要性成立，
综上，原命题成立．
例5．已知数列的通项，为了使不等式对任意恒成立的充要条件． 解
：∵11111111()()02425324262526n n a a n n n n n n n +-=+-=-+->+++++++， 则，
欲使得题设中的不等式对任意恒成立，
只须的最小项即可，
又因为， 即只须且22911log (1)log (1)02020
t t t t ----<， 解得，
即，
解得实数应满足的关系为且．
例6．（1）是否存在实数，使得是的充分条件？
（2）是否存在实数，使得是的必要条件？
解：欲使得是的充分条件，则只要或，则只要即，
故存在实数时，使是的充分条件．
（2）欲使是的必要条件，则只要或，则这是不可能的， 故不存在实数时，使是的必要条件．
（四）巩固练习：
1．若非空集合，则“或”是“”的 条件．
2．是的 条件．
3．直线和平面，的一个充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
五．课后作业：《高考计划》考点6，智能训练2，7，8，15，16．
{}9B =,;B A =B B = )()(); U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+ ()()card B card A B - ()U A =e()U A =e13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B). 有两相)(,2121x x x x <有两相等a b x x 221- ==无实根 有意义的
①一个命题的否命题为真，它的逆 命题一定为真. （否命题?逆命 题.）②一个命题为真，则它的逆 否命题一定为真.（原命题?逆 否命题.） 4.反证法是中学数学的重要方法。 会用反证法证明一些代数命题。 充分条件与必要条件 答案见下一页
数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案 例1选A; 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A B =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-, {}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3a =±①当3 a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-. [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集 合中元素用字母表示，检验必不可少。 例4C 例5C 例6①?,②ü,③ü,④ 例7填2 例8C 例9? 例10解：∵M={y|y =x 2+1，x ∈R}={y |y ≥1}，N={y|y =x +1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y |y =f (x )，x ∈A}应看成是函数y =f (x )的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y =x 2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y ≥1}={x |x ≥1}。 例11填?注：点集与数集的交集是φ. 例12埴?,R 例13解：∵C U A = {1，2，6，7，8} ,C U B = {1，2，3，5，6}, ∴(C U A)∩(C U B) = {1，2，6} ,(C U A)∪(C U B) = {1，2，3，5，6，7，8}, A ∪ B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ C U (A ∪B) = {1,2,6} ,C U (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例145,6a b ==-; 例15原不等式的解集是{}37|<<-x x 例16 53|332 2x R x x ??∈-<-+-->+?? ≥或,即3344123x x x x ? 2或x <31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <31}.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1?4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ? x >2 或x < 31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3 1}. 例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1-
课 题：1.1集合－集合的概念（1） 教学过程： 一、复习引入： 1．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）； 2．“物以类聚”，“人以群分”； 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： （1）有那些概念？是如何定义的？ （2）有那些符号？是如何表示的？ （3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有关概念 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素. 定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合． 1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合。记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数 =Q （5）实数集：全体实数的集合。记作R {} 数轴上的点所对应的数 =R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括 数0 （2）非负整数集内排除0的集，记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示， 例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 3、元素对于集合的隶属关系 （1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 4、集合中元素的特性
解斜三角形（复习）公开课教案 [教学目标] 一：巩固对正弦、余弦、面积公式的掌握，并能熟练地运用公式解决问题。 二：培养学生分析、演绎和归纳的能力。 [教学重点] 正弦、余弦、面积公式的应用。 [教学难点] 选择适当的方法解斜三角形。 [教学过程] 一：基本知识回顾： 1.1、正弦定理及其变形； 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===（R 是三角形外接圆的半径） 变式一：sin 2a A R =、sin 2b B R =、sin 2c C R = 变式二：sin :sin :sin A B C ::a b c = 1.2、余弦定理及其变形； 余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+-，变式：222 cos 2b c a A bc +-= 2 2 2 2cos b a c ac B =+-， 222 cos 2a c b B ac +-= 2 2 2 2cos c a b ab C =+-。 222 cos 2a b c C ab +-= 1.3、面积公式 二：例题分析： 1、正弦定理 （1）在△ABC 中，已知 ，则 sin B= ( ) （2）在△ABC 中，若a = 2 ,b =0 30A = , 则B 等于60?或120? 111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===4,303 a b A ===?
2、余弦定理 （1）在△ABC 中，满足 ,则A ＝ 60° （2）已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 A ．4 1 - B ．41 C ．3 2 - D ． 3 2 3、三角形解的个数 （1）在△ABC 中，已知 , 这个三角形解的情况是:（ C ） A.一解 B.两解 C.无解 D.不能确定 （2）△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6== b a ，那么 满 足条件的△ABC （ ） A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解 D ．不能确定 4、判断三角形形状 （1）若c C b B a A cos cos sin = =则△ABC 为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．有一个内角为30°的直角三角形 D ．有一个内角为30°的等腰三角形 （2）关于x 的方程02 cos cos cos 2 2=-??-C B A x x 有一个根为1，则△AB C 一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 5、正余弦定理的实际应用 （1）有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要 伸长（ ） A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里 （2） 10105/4/o C v v B AB o 某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后立即测出该渔船在方向角为北偏东45，距离海里的处，渔船沿着方位角为的方向以海里小时的速度向小岛靠拢，我海军艇舰立即以海里小时的速度前去营救。设艇舰在处与渔船相遇，求方向的方位角的正弦值 18,20,150a b A ===?222a b c bc =+-
高三数学第二轮专题复习：概率与统计 高考要求 概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法 重难点归纳 本章内容分为概率初步和随机变量两部分第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差 涉及的思维方法观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化主要思维形式有逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维 典型题例示范讲解 例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下 ［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图 命题意图本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法
知识依托频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法 错解分析解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别 技巧与方法本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 解 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表 数据段频数频率累积频率 ［10,15) 4 0.08 0.08 ［15,20) 5 0.10 0.18 ［20,25)10 0.20 0.38 ［25,30)11 0.22 0.60 ［30,35)9 0.18 0.78 ［35,40)8 0.16 0.94 ［40,45) 3 0.06 1 总计50 1 (2)频率分布直方图与累积频率分布图如下
集合、简易逻辑 知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?；
第一章“集合与简易逻辑”教材分析 本章安排的是“集合与简易逻辑”，这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容．集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容，这部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系．简易逻辑知识则是新增加的内容，这部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要的基础．一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用． 逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科．学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分． 在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，这就是把它们安排在高中数学起始章的出发点． 本章共编排了8小节，教学时间约需22课时： 11 集合约2课时 12 子集、全集、补集约2课时 13 交集、并集约2课时
14 绝对值不等式的解法约2课时 15 一元二次不等式的解法约4课时 16 逻辑联结词约2课时 17 四种命题约2课时 18 充分条件与必要条件约2课时 小结与复习约4课时 说明：本章是高中数学的起始章，课时安排得相对宽松一些，像小结与复习部分安排4课时，其中考虑到了对初中内容进行适当复习、巩固的因素． 一内容与要求 大体上按照集合与逻辑这两个基本内容，第一章编排成两大节． 第一大节是“集合”．学生在小学和初中数学中，已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（圆）等，都有了一定的感性认识．在此基础上，这一大节首先结合实例引出集合与集合的元素的概念，并介绍了集合的表示方法．然后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念，此外，还给出了与子集相联系的全集与补集的概念．接着，又讲述了属于集合运算的交集、并集的初步知识．鉴于不等式的内容目前初中数学只讲述一元一次不等式与一元一次不等式组，考虑到集合知识的运用与巩固，又考虑到下一章讨论函数的定义域与值域的需要，第一大节最后安排的是绝对值不等式与一元二次不等式的解法．此外，在这一大节之后，还附了一篇关于有限集合元素个数的阅读材料． 这一大节的重点是有关集合的基本概念．学习集合的初步知识，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，可以使学生更好地使用集合语言表
等差数列及其前n 项和（二） 什邡中学数学组 廖美 重点：等差数列的判定与证明. 难点：①如何选择恰当的方法来证明或者判定等差数列； ②证明或者判定过程中如何根据已知条件化简. 教学目标：教会学生掌握简单的等差数列的证明与判定方法. 相关知识点： 1.证明等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 2．判定等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 ③通项公式法：是常数）b a b an a n ,(+= ④前n 项和公式法：是常数）b a bn an S n ,(2+= 例1.在数列{}n a 中，),2.(12,53*11N n n a a a n n ∈≥-==-,数列{}n b 满足1 1-=n n a b )(*N n ∈ （1） 求证：数列{}n b 是等差数列； （2） 求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由.
训练1.（01天津，2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2 n S n =，则{}n a 是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 训练2.数列{}n a 中，),2(112.1,2*1 121N n n a a a a a n n n ∈≥+===-+， 则其通项公式为=n a _________. 训练3.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31=a ，点),(1+n n S S 在直线11+++= n x n n y （)*N n ∈上. (1)求证：数列? ???? ?n S n 是等差数列； (2)求n S .
高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想 高考要求 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解
例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和 （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *） 因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不
第一章：集合与常用逻辑用语 §·集合的概念及运算 一、知识清单 1.集合的含义与表示 （1）集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。 （2）常用的集合表示法：①列举法；②描述法；③数轴或图像表示法；④venn 图法 2.集合的特性 3.常用的集合 特 性 理 解 应 用 确定性 要么属于该集合，要么不属于，二者必居其一； 判断涉及的总体是否构成集 合 互异性 集合中的任意两个元素都是不同的； 1.判断集合表示是否正确； 2.求集合中的元素 无序性 集合的不同与元素的排列无关； 通常用该性质判断两个集合 的关系 集合 (){}0|=x f x (){}0|>x f x (){}x f y x =| (){}x f y y =| ()(){}x f y y x =|, (){}x f y =
常见数集的记法： 4.集合间的基本关系 （2）有限集合中子集的个数
【提醒】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。符号表示为：5.集合的运算 集），写作C S A。
二、高考常见题型及解题方法 1.解决集合问题的常用方法 2.集合问题常见题型 （1）元素与集合间关系问题 （2）集合与集合间关系问题 （3）集合的基本运算： ①有限集（数集）间集合的运算； ②无限集间集合的运算：数轴（坐标系）画图、定域、求解； ③用德·摩根公式法求解集合间的运算。 【针对训练】 例1.已知集合A={0,1,2}，则集合B={x-y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A.1 B.3 C.5 D.9 例2.设集合{} {}R x x x P R x x x y y M ∈≤≤-=∈--==,42|,,12|2 ，则集合M 与P 之间的关系式为（ ）
指数函数（一） 教学目标： 知识与技能： 理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图像和性质，并能自觉、灵活地应用其性质（单调性、底数变化图像的变化规律、中介值）比较大小。 过程与方法： (1). 体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，培养学生 观察、猜想、归纳、概括的能力。 (2). 从数和形两方面理解指数函数的性质，体会数形结合、分 类讨论的数学思想方法，提高思维的灵活性，培养学生直 观、严谨的思维品质。 情感、态度与价值观： (1). 体验从特殊到一般再到特殊的学习规律，认识事物之间的 普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题，激 发学生自主探究的精神，在探究过程中体验合作学习的乐 趣。 (2). 让学生在数形结合中感悟数学的统一美、和谐美，进一步 培养学生的学习兴趣。 教学重点：指数函数的图像和性质。 教学难点：指数函数的底数a对图像的影响。
教学过程： （一）、概念引入： 1. 某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，以此类推，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是什么？ 2．一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩余质量约是原来的12 ，设该物质的初始质量为1，经过x 年后的剩余质量为y ，你能写出,x y 之间的函数关系式吗？ 1. 2()x y x N +=∈ 2. 1()()2x y x N +=∈ 上述两个函数都是正整数指数函数，但在实际问题中指数不一定都是正整数，比如在实例（2）中，我们除了关心1年、2年、3年后该物质的剩余量外，还想知道3个月、一年半后该物质的剩余量，这就需要对正整数指数函数的定义域进行扩充，结合指数概念的的扩充，我们也可以将正整数指数函数的定义域扩充至全体实数，这样就得到了一个新的函数——指数函数。 一般地，函数(01x y a a a =>≠且）叫做指数函数，其中x R ∈。 结合指数的运算，引导学生分析为什么规定01a a >≠且，加深学生对概念的理解。 你能举出指数函数的例子吗？ 练习1：判断下列函数是否为指数函数。 （1）3x y -= （2）2y x = （3）23x y += （4）(2)x y =-
高考数学概念方法题型易误点技巧总结（一） 集合与简易逻辑 基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若 {0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。 （答：8）（2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________（答：5,1<->n m ）；（3）非空集合 }5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6” ，这样的S 共有_____个（答：7） 2.遇到A B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,2 a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7） 4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =??； ⑵A B B B A =??；⑶A B ?? u u A B ?痧； ⑷u u A B A B =???痧； ⑸u A B U A B =??e； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =） 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如 （1）设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =___（答： [4,)+∞） ；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+， }R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--） 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函 数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使 0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3(3,)2 -） 7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或
第二十教时 教材：四种命题 目的：要求学生掌握四种命题，给出一个简单的命题（原命题）要能写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 过程： 一、复习初中学过的命题与逆命题的知识 定义：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。其中一 个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。 例：“同位角相等，两直线平行”（1）条件（题设）：同位角相等。结论：两直线平行 它的逆命题：两直线平行，同位角相等。（2）二、新授： 1．看两个命题：同位角不相等，两直线不平行（3） 两直线不平行，同位角不相等（4）比较命题（1）与（3）：一个命题的条件和结论，分别是另一个命题 的条件的否定和结论的否定。…………互否 命题 比较命题（1）与（4）：一个命题的条件和结论，分别是另一个命题 的结论的否定和条件的否定。……互为逆否 命题 2．概括：（1）为原命题（2）为逆命题 （3）为否命题（4）为逆否命题 3．若p为原命题条件，q为原命题结论 则：原命题：若p 则q 逆命题：若p 则q 否命题：若?p 则?q 逆否命题：若?q 则?p 4．例一见P30 例一略 注意：关键是找出原命题的条件（p），结论（q） 然后适当改写成更明显的形式。 5．注意：1?为什么称“互为 ．．”逆命题（否命题，逆否命题）2?要重视对命题的剖析：条件、结论 三、练习（P31） 四、拓宽引申： 例：写出命题“若xy= 0 则x = 0或y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题解：逆命题：若x = 0或y = 0 则xy = 0
否命题：若xy ≠ 0 则x ≠ 0且y ≠ 0 逆否命题：若x ≠ 0且y ≠ 0 则xy≠0 五、作业：P33 习题1．7 1 、2 《课课练》P28-29 课时15中选部分
高中数学教学设计大赛获奖作品汇编 （上部）
目 录 1、集合与函数概念实习作业…………………………………… 2、指数函数的图象及其性质…………………………………… 3、对数的概念………………………………………………… 4、对数函数及其性质（1）…………………………………… 5、对数函数及其性质（2）…………………………………… 6、函数图象及其应用…………………………………… 7、方程的根与函数的零点…………………………………… 8、用二分法求方程的近似解…………………………………… 9、用二分法求方程的近似解…………………………………… 10、直线与平面平行的判定…………………………………… 11、循环结构 ………………………………………………… 12、任意角的三角函数（1）………………………………… 13、任意角的三角函数（2）…………………………………… 14、函数sin()y A x ω?=+的图象………………………… 15、向量的加法及其几何意义……………………………………… 16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）……………… 17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）…………………… 18、正弦定理（1）…………………………………………………… 19、正弦定理（2）…………………………………………………… 20、正弦定理（3）……………………………………………………
21、余弦定理……………………………………………… 22、等差数列……………………………………………… 23、等差数列的前n项和……………………………………… 24、等比数列的前n项和……………………………………… 25、简单的线性规划问题……………………………………… 26、拋物线及其标准方程……………………………………… 27、圆锥曲线定义的运用………………………………………
集合、简易逻辑 集合知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为 A ? B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?； 命题知识梳理： 1、命题：可以判断真假的语句叫做命题。（全称命题 特称命题） ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示；
课 题：1.4 绝对值不等式的解法（二） 教学目的： （1）巩固c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法，并能熟练地应用它解决问题；掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式； （2）培养数形结合的能力，分类讨论的思想，培养通过换元转化的思想 方法，培养抽象思维的能力； （3）激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想 教学重点：分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式 教学难点：如何正确分类与分段，简单的参数问题授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：（略） 教学过程： 一、复习引入： a x <与)0(>>a a x 型不等式c b ax <+与)0(>>+ c c b ax 型不等 式的解法与解集 不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或, 不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ; 不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或 二、讲解范例： 例1 解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5. 分析：怎么转化？怎么去掉绝对值？ 方法：原不等式等价于???≥-<-1 |12|5|12|x x
? ?????≥-->-<-112512512x x x ① 或 ?? ???-≤-->-<-112512512x x x ② 解①得：1≤x<3 ; 解②得：-2< x ≤0. ∴原不等式的解集为 {x | -2< x ≤0或1≤x<3} 方法2：原不等式等价于 1≤2x-1<5或 –5<2x-1≤ -1 即2≤2x<6 或 –4<2x ≤0. 解得 1≤x<3 或 –2< x ≤0. ∴原不等式的解集为{x | -2< x ≤0或1≤x<3} 小结：比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是 a ≤| x |≤b ? a ≤x ≤b 或 -b ≤x ≤-a (a ≥0). 练习：解下列不等式:7522≤-
1 高中数学第一册（上） 第一章集合与简易逻辑 ◇教材分析 【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分： 【知识点与学习目标】 【高考评析】 集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法． ◇学习指导 【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆． 【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想； 3．分类思想；4．数形结合思想．
2 【解题规律】 1．如何解决与集合的运算有关的问题？ 1）对所给的集合进行尽可能的化简； 2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系； 3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素． 2．如何解决与简易逻辑有关的问题？ 1）力求寻找构成此复合命题的简单命题； 2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题． 引言 通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。 1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识； 2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识． 在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了． §1.1集合 〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求： (1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；(2)初步了解“属于”关系的意义； (3)初步了解有限集、无限集、空集的意义． 〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合． 〖教学过程〗 ☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子． 1、集合的概念： 在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集． 在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合． 一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度