1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
从容说课
本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了
新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．
教学重点1.正弦定理的概念；
2.正弦定理的证明及其基本应用．
教学难点1.正弦定理的探索和证明；
2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．
教具准备直角三角板一个
三维目标
一、知识与技能
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；
2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．
二、过程与方法
1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；
2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；
3.进行定理基本应用的实践操作．
三、情感态度与价值观
1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．
教学过程
导入新课
师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．
师思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
生显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．
师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如右图，在Rt△ABC 中，设BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有
c a =sin A ，c b =sin B ，又sin C =1=c c ,则
c simC
c
B b A a ===sin sin .从而在直角三角形AB
C 中，
simC
c B b A a ==sin sin . 推进新课
[合作探究]
师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有
CD =A sin B =B sin A ,则
B b A a sin sin =，同理，可得B b
C c sin sin =.从而C
c
B b A a sin sin sin ==.
（当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
C
c
B b A a sin sin sin =
=
师是否可以用其他方法证明这一等式？ 生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以
及同弧所对的圆周角相等，来证明
C
c
B b A a sin sin sin ==这一关系． 师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△AB
C 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，
∴sin C =sin B′=R
c B C 2sin sin =
'=
∴
R C
c
2sin = 同理,可得
R B b
R A a 2sin ,2sin ==
∴
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===
这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式
C
c
B b A a sin sin sin =
=
点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学
生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫 [知识拓展
师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢
生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C os θ,其中θ为两向量的夹角
师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢
生 可以通过三角函数的诱导公式sin θ=Co s(90°-θ)进行转化
师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因
师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得
AB CB AC =+
而添加垂直于
AC 的单位向量j 是关键,为了产生j 与AB
、
AC 、CB 的数量积,
而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了
师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点
点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用
(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用 向量法证明过程
(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于
AC ,则
j 与
AB 的夹角为
-A ,j 与
CB 的夹角为90°-C
由向量的加法原则可得
AB
CB AC =+
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到
AB j CB AC j ?=+?)(
由分配律可得
AB
j CB j AC ?=?+
∴|j|
AC Co s90°+|j|CB Co s(90°-C )=|j|AB Co s(90°-A
∴A sin C =C sin A ∴
C
c
A a sin sin =
另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为
90°+B ,可得
B
b
C c sin sin =
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与AC 的夹角为
90°-C ,j 与AB 的夹角为90°-B
∴
C
c
B b A a sin sin sin =
=
(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与
AC 垂直的单位向量
j,则j 与
AB
的夹角为A -90°,j 与
CB 的夹角为90°-C
由AB CB AC =+,得j·
AC
CB =j·AB
即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -
∴A sin C =C sin A
∴
C
c
A a sin sin =
另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 夹角为
90°+B .
同理,可得
C c
B b sin sin = ∴C
c
B b simA a sin sin ==（形式1）
综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立 师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用
[教师精讲]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使A =ksin A ，B =ksin B ，C =ksin C ；
（2）
C c
B b A a sin sin sin == 等价于
C
c
A a
B b
C c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式
我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.
①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如B
A
b a sin sin =
.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如B b
a
A sin sin =
．此
类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结 ［例题剖析］
【例1】在△ABC 中，已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形
分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可
解：根据三角形内角和定理， C =180°-(A +B )=180°-
根据正弦定理，
b =o o
A B a 0.32sin 8.81sin 9.42sin sin =≈80.1(c m)
c =o
sin32.0
2.66sin 9.42sin sin o
A C a =≈74.1(c
[方法引导
(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理
(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器
【例2】在△ABC 中，已知A =20c m ，B =28c m ，A =40°，解三角形（角度精确到1°，边长精
确到1 c m ）．
分析:此例题属于B sin A ＜a ＜b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性 解：根据正弦定理，
sin B =20
40sin 28sin o
a A
b =
因为0°＜B ＜180°，所以B ≈64°或B
（1）当B ≈64°时，
C
=180°-（A +B ）=180°-（40°+64°）=76°，
C =
o
o
A C a 40sin 76sin 20sin sin =≈30(c
（2）当B ≈116°时，
C =180°-（A +B ）=180°-（40°+116°）=24°，
C =o
o
A C a 40sin 24sin 20sin sin =≈13(c
[方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会 变式一：在△ABC 中,已知A ＝60,B ＝50,A ＝38°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A ≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形