先看看next数据值的求解方法
位序 1 2 3 4 5 6 7 8
模式串 a b a a b c a c
next值 0 1 1 2 2 3 1 2
next数组的求解方法是：
1.第一位的next值为0
2.第二位的next值为1 后面求解每一位的next值时，根据前一位进行比较
3.第三位的next值：第二位的模式串为b ,对应的next值为1;将第二位的模式串b与第一位的模式串a进行比较，不相等；则第三位的next值为1
4.第四位的next值：第三位的模式串为a ,对应的next值为1;将第三位的模式串a与第一位的模式串a进行比较，相同，则第四位的next值得为2
5.第五位的next值：第四位的模式串为a，对应的next值为2;将第四位的模式串a与第二位的模式串b进行比较，不相等；第二位的b对应的next值为1,则将第四位的模式串a与第一位的模式串a进行比较，相同，则第五位的next 的值为2
6.第六位的next值：第五位的模式串为b，对应的next值为2;将第五位的模式串b与第二位的模式中b进行比较，相同，则第六位的next值为3
7.第七位的next值：第六位的模式串为c，对应的next值为3;将第六位的模式串c与第三位的模式串a进行比较，不相等；第三位的a对应的next值为1，则将第六位的模式串c与第一位的模式串a进行比较，不相同，则第七位的next 值为1
8.第八位的next值：第七位的模式串为a，对应的next值为1;将第七位的模式串a与第一位的模式串a进行比较，相同，则第八位的next值为2 以上这种分析方法，位序是从1开始的，如果位序从0开始，则第一位的next 值为-1,后面的方法则相同
再来看求nextval数组值的第二种方法。
a b a a b c a c
模式串
next值0 1 1 2 2 3 1 2
nextval值0 1 0 2 1 3 0 2
1.第一位的nextval值必定为0，第二位如果于第一位相同则为0，如果不同则为1。
2.第三位的next值为1，那么将第三位和第一位进行比较，均为a，相同，则，第三位的nextval值为0。
3.第四位的next值为2，那么将第四位和第二位进行比较，不同，则第四位的nextval值为其next值，为2。
4.第五位的next值为2，那么将第五位和第二位进行比较，相同，第二位的next 值为1，则继续将第二位与第一位进行比较，不同，则第五位的nextval值为第二位的next 值，为1。
5.第六位的next值为3，那么将第六位和第三位进行比较，不同，则第六位的nextval值为其next值，为3。
6.第七位的next值为1，那么将第七位和第一位进行比较，相同，则第七位的nextval值为0。
7.第八位的next值为2，那么将第八位和第二位进行比较，不同，则第八位的nextval值为其next值，为2。
在这种AOE网中
最长的一条路径就是关键路径,因为图中每个活动都是必须的，只有最长的工期完成后，项目才真正完成了，图中10+9+20+10 也就是ADFHJ ，显然是最长的，所以为关键路径。
从左边开始每个活动所需要最长的时间就是最早开始时间，如C，只有A指向它，那么最早开始时间就是5； F，A->C->F 5+4=9，A->D->F10+9=19,两者比较，后者大，故19为最早开始时间，依次类推。
从右边倒推，可以求的最迟开始时间，如J为49，以I为例，I->J倒推 49-4=45 所以I最迟开始时间为45；H为例，H->J倒推49-10=39，H->I->J倒推
49-4-1=44，两者取最小的，所以H 的最迟开始时间为39。
前推法来计算最早时间
某一活动的最早开始时间（ES ）=指向它的所有紧前活动的最早结束时间的最大值。
某一活动的最早结束时间（EF ）=ES+T （作业时间） 逆推法来计算最迟时间
某一活动的最迟结束时间（LF ）=指向它的所有紧后活动的最迟开始时间的最小值。
某一活动的最迟开始时间（LS ）=LF-T （作业时间）
1 曲线y=x 2与y 2=x 所围图形绕y 轴一周所成旋转体的体积V=
(A)
π5 (B)310
π (C)π (D)π
2 2、.曲线y=x 2与y=x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积是( )
(A)π()x x d x -?20
1
(B)π()x x d x 242
1
-?
(C) π()x x d
x 240
1
-? (D) ?-1
02242)(dx x x π
3、.旋轮线x=a(t-sint).y=a(1-cost) (a>0. 0≤t ≤2π)一拱与x 轴围成共区域面积为
( )
A.2πa 2
B.3πa 2
C.πa 2
D.1
2
2πa
填空题
1．函数f(x)=(
)()111-≥--?t d t x x
与x 轴所围成的面积为______________
应用题
1、求曲线xy=a(a>0)与直线x=a,x=2a 及y=0所围平面图形绕y 轴旋转所成旋转体的体积。
2、求心脏线r=a(1+cos θ)的周长.
3、 求x=acos 3t,y=asin 3t 所围图形的面积和绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.
4、过点（2a,0)向椭圆x a y b
222
21+=作两条切线，求椭圆与两条切线围成的区域绕
y 轴旋转所成的旋转体的体积。如图：
5、设平面图形由曲线y=(x-2)2 与直线2x+y-4=0,y=4所围成 1)求此平面图形的面积.
2)求此平面图形绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积
6、求曲线x y x 222+=位于x 轴的上半部分在[0,12]上与直线y=x,x=1
2
所围成的
平面图形面积,并求该图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.
7、求由曲面x a y b
222
21+= ,与z c a x = ,z=0所围成的体积
8、求椭圆 x a y b
a b 222
21+=>() 绕 x 轴旋转所产生的旋转椭球面的面积.
计算题
1、求曲线x a y a ==c o s ,s i n 33
θθ
所围成图形的面积.(10分) 2、 求星形线 x=acos 3? y=asin 3? a>0 0≤?≤2π 的全长. 3、.求心脏线r=a(1+cos θ)的全长
选择填空题答案
1、 2、(C) 3、(B) 1．22
13
-。 应用题答案
1、])()2([1
0212
1221
2?-?+?=dy a dy y a dy a V y π (得4分)
=ππ[]222222
a a a a
+-= (得6分) 2、 '
=-r a ()s i n θθ ∴=++?s a
a d 2222
021(c o s )s i n θθθπ
(得3分)
=a 220
2+?c o s θθπ
d =8a (得
6分)
3、1) x a ty a t
==c o s ,s i n 33
(得1分) ∴='=??
s x t y t d t a t t d t 4120
22420
2()()c o ss i n π
π
=12a t d t t d t 2460
20
2[c o s c o s -?
?π
π
=12a a
2
2
34122563412238
[]πππ-=
(得5分) 2)
V a ta t td t x
23322
0=-?ππs i n c o s (s i n ) =31322
32
ππa t t d t (c o s )c o s (c o s )-?
=313
230
1
2
πa u u d u u t ()
(c o s )-=?令 =33332401
68πa u u u ud u ()-+-?
=3133537191610533ππa a ()-+-=
∴
=V a x 32105
3
π 4、解:设切点的坐标为(α,β)(在第一象限)由对称性,只须 讨论位于第一象限绕 轴旋转的体
积再2倍即可 (得2分)
由解析几何知,切线方程为αβx a y
b
221+=
已知切线过点(2a,0) ,有211222
2ααβa a b
=+=,与 解得 α=a/2 , β=
32b 即切点坐标是(a b 232,) (得4分) 切线方程是x=2a(1-
3
2b
y ) (得5分) 于是绕y 轴旋转所得的旋转体的体积
V y a b d y a y b
d y =---??2413212
02
22
20πβ
β[()()
5、解:(1)作图并求交点
联立 y x y =-=???()24
2
得交点(0,4),(0,4)
联立 y x x y =-+-=???
()22402
得交点(2,0),(0,4)
联立 y x y =+-=?
??4240
得交点(0,4) (得2分)
所求平面图形面积为 S=[()][()]442422
24
--+--?
?x d x x d x (得5分) =244163283
2
24
02
x d x xxd x +-=+=??() (得7分) (2)所求旋转体的体积
V=π
π
[()][()]4424220
2
22
4
24??
--+--x d x x d x (得10分) =46
14
15
π (得12分) 6、解: S=[]()(s i n )21118
12
122
12x x x d x x d x x t --=----=??令 =81)2cos 1(81cos 2626
2
-+=-??π
ππ
πdt t tdt =π631
8-+ (得7分)
V x =π()222
1
2x x x d
x --? (得10分) =221213
2
1
22301
2
ππ()()x x d x x x -=-? =2
181246
ππ
()-= (得12分) 7、以平面y=常数去截曲面得三角形ABC 其面积为
s y A B B C x z c a x a c b
by ()()=?=?==-1212222222 (得6分) V=s y dy b
b
()-? (得8分)
=a c b b y d y a b c b b 223222()-=-
? 8、y y b a a a b a
x 1222
22
+=--/2
(得3分)
得ε2
22
2
=
-a b a 所求面积为 F=24222222
0πεπεb a a x d x b a
a x d x a a a -=--?? (得6分) =)arcsin 2
(2)arcsin (22222επεεεπa b b a a a a a b +=+- (得12分)
计算题答案
1、解: 由图形对称性知
S ydx a
=?40
(4分)
=-?
4332
20
a a d s i n (c o s s i n)θθθθπ (6分) =?122420
2a d s
i n c o s θθθπ
(7分) =?1214
222202a d s i n s i n θθθπ
(8分) =?-?32122
220
2
a d s i n c o s θθθ
π
=383πa (9分)
2、.s x y d =+?
412120
2
?π
(得2分)
=1222
2a d s
i n c o s ???π
? (得4分) =1260
2a d a s
i n c o s ???π
?= (得8分) 3、 s=2r r d 220
+'?
π
θ (得2分)
=2a 21
0(c o s )+?θθπ
d =4a c o s θ
θπ
2
80?=d a
. （初一）去绝对值常用“六招” （初一）六招”去绝对值常用“难度大，解绝对值问题要求高，绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。不易把握，解题易陷入困境。下面就教同学们去绝对值的常用几招。一、根据定义去绝对值的值-│c│c = - 8时，求3│a│-2│b│例1、当a = -5，b = 2，负数的绝所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，分析：这里给出的是确定的数，。代值后即可去掉绝对值。的绝对值是0对值是它的相反数，00 ＜ c = -8b =2＞0，解：因为：a = -5＜0，[ - ( - 8 ) ] = 7 2 ×2 --5）] –所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（”相关信息去绝对值二、从数轴上“读取c在数轴上的a、b、例2、有理数- │a│-a│+│c-b│+│a+b│位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对、a + bc - a、c-b分析：本题的关键是确定值。- a = b b 且＜c＜解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0 b ) ] + 0 - ( - a ) = b –故原式= c - a + [ - ( c c - b＜0，a + b = 0 从而 c –a ＞0 ，三、由非负数性质去绝对值22的值。= 0，求-25│+ ( b –2 )ab：已知例3│a 。分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”222 2 = 0 –由绝对值和非负数的性质：ab 解：因为│a-25 = 0 -25 │+ ( b – 2 )且= 0 ab = - 10 ab = 10或a = - 5 b = 2 故即a = 5 b = 2 或四、用分类讨论法去绝对值的值。abc≠0，求+ + 4例、若同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另、c，所以只需 考虑a、b分析：因abc≠0一个为负（正）号，共八种情况。但因为两正（负）、一负（正）的 结果只有两种情况，所以其值只有四种情况。异号。b、、c、b、c有同为正号、同为负号和aa 解：由abc≠0可知，= 3 + + + = + 、c都为“+”时，b当a、= - 3 ---”时，+ + = c当a、b、都为“-+ + = 1 时，“-”、a、bc中两“+”一当+ + = - 1 “+”时，中两“-”一ca 当、b、五、用零点分段法去绝对值的最小值。2│+│x -3│-例5：求│x + 1│+│x 的值的符号也在变化。关键是把各式绝对值x -3–x 2、、在有理数范围变化，分析：xx + 1解 这类问题的基本步骤是：的取值进行分段讨论，为此要对符号去掉。x然后选取其最小值。. . 求零点、分区间、定性质、去符号。即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间化简求值即可。。由绝对值意义分别讨论如下：，3可确定零点为- 1，2，解：由x + 1 = 0x - 2 = 0，x - 3 = 03 + 4 = 7 ＞– 3 ) ] = -3 x + 4 -1时，原式= -( x + 1 ) + [ - ( x –2 ) ] + [ - ( x 当x＜-2 + 6 = 4 3 ) ] = - x + 6 ＞时，原式= ( x + 1 ) + [ -( x –2 ) ] + [ - ( x –当-1 ≤x ＜2 2 + 2 = 4 x + 2 ≥= –2 ) + [ - ( x –3 ) ] 当2 ≤x ＜3时，原式= ( x + 1 ) + ( x - 4 = 5 4 ≥3×3 –2 ) + ( x 3 ) = 3x –x ≥3时，原式= ( x + 1 ) + ( x –当4。故所求最小值是六、平方法去绝对值-3│、解方程│x-1│=│x例6所以对所分析：对含有绝对值的方程，用平方法是去绝对值的方法之一，但可能产生增根，求解必须进行检验，舍去增根。22 x=2是原不等式的根。x=2 x经检验，- 2x +1= x - 6x + 9 有4x =8，得解：两边平方： c在数轴上的位置、b、练习1、已知实数a │a│=│c│，化简：如图，且- b│+│a││a+c
例谈绝对值问题的求解方法 在初中数学竞赛试题中常出现绝对值问题，这是初中生较难把握的一类问题，现介绍若干种常见的解题方法，供参考。 一、定义法 ----- x —X—1597 = 0 例1 若方程^7' 只有负数解，则实数a的取值 范围是：。 分析与解 因为方程只有负数解，故'-■"!'，原方程可化 为： -一+1 x = -1997 11997 丿 +1> 0, ■ a >-1997 即-厂 说明绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的 二、利用非负性
例2 方程刪+1工7 + 1卜°的图象是( (A)三条直线：■「―|■工.-f ； (B) ................................. 两条直线：「:■' (C)一点和一条直线：(0, 0), - 1 1 1 (D)两个点：(0, 1), (- 1, 0)
=叶闵啊 -炖十血啊-问） =（同-01）（1 必 1+亦） =（卜卜怦）（70+处） =0 说明 本题根据公式1I = H ，将原式化为含有同 的 式子，再根据绝对值的定义求值。 四、分类讨论法 分析与解 由已知，根据非负数的性质，得 矽二0. 兀一尹+1 = 解之得: 故原方程的图象为两个点(0, 1), (- 1 说明 利用非负数的性质，可以将绝对值符 题转化为其它的问题来解决。 0)。 去掉，从而将问 三、公式法 例3 已知必V 。，求邢卜『同+必也卜购 分析与解 丫宀涉同牯圈， ...原式*冲|-甘巾|+必(同-同) 的值 或小
去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤?； |x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤? ；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 绝对值问题的求解方法 一、定义法 例1 若方程只有负数解，则实数a的取值范围是：_________。 分析与解因为方程只有负数解，故，原方程可化为： ， ∴， 即 说明绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。 二、利用非负性 例2 方程的图象是（） （A）三条直线： （B）两条直线： （C）一点和一条直线：（0，0）， （D）两个点：（0，1），（－1，0） 分析与解由已知，根据非负数的性质，得 即或 解之得：或 故原方程的图象为两个点（0，1），（－1，0）。 说明利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。 三、公式法 例3 已知，求的值。 分析与解， ∴原式 说明本题根据公式，将原式化为含有的式子，再根据绝对值的定义求值。 四、分类讨论法 例4 实数a满足且，那么 分析与解由可得 且。 当时， ； 当时， 说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。 五、平方法 例5 设实数a、b满足不等式，则 （A）且 （B）且 （C）且 （D）且 分析与解由于a、b满足题设的不等式，则有 ， 整理得 ， 由此可知，从而 上式仅当时成立， ∴，即且， 选B。 说明运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。 六、图示法 例6 在式子中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 分析与解问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是－1、－2，－3、－4，求一点P，使最小（如图）。 由于是当P点在线段AD上取得最小值3，是当P在线段BC上取得最小值1，故的最小值是4。选D。 说明由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。 去绝对值常用“六招”（初一） 去绝对值常用“六招” （初一） 绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。下面就教同学们去绝对值的常用几招。 一、根据定义去绝对值 例1、当a = -5，b = 2， c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值 分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。代值后即可去掉绝对值。 解：因为：a = -5＜0，b =2＞0，c = -8＜0 所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7 二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值 例2、有理数a、b、c在数轴上的 位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│ 分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。 解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b 从而 c – a ＞0 ， c - b＜0， a + b = 0 故原式= c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b 三、由非负数性质去绝对值 例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0，求ab的值。 分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且b – 2 = 0 即a = 5 b = 2 或a = - 5 b = 2 故ab = 10或ab = - 10 四、用分类讨论法去绝对值 例4、若abc≠0，求+ + 的值。 分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。但因为两正（负）、一负（正）的结果只有两种情况，所以其值只有四种情况。 解：由abc≠0可知，a、b、c有同为正号、同为负号和a、b、c异号。 当a、b、c都为“+”时，+ + = + + = 3 当a、b、c都为“-”时，+ + = - - - = - 3 当a、b、c中两“+”一“-”时，+ + = 1 当a、b、c中两“-”一“+”时，+ + = - 1 五、用零点分段法去绝对值 例5：求│x + 1│+│x - 2│+│x -3│的最小值。 初一数学绝对值难题解析 绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义： （1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0） （2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|； 思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况） （2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。 （3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析： 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子： （1）|a－b|－|c－b| 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a （2）|a－c|－|a＋c| 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝（a－3）－(a－6) ＝3 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？ 答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b， 解得b＝0，这时a≥0； 第九讲 绝对值与一元一次方程 绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程． 解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧． 解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法． 例题 【例1】方程5665-=+x x 的解是 ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解． 【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )． A ．5 B ．4 C ． 3 D ．2 ( “希望杯；邀请赛试题) 思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径． 注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ， 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验． 【例3】解方程：413=+-x x ； 思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程． (天津市竞赛题) 【例4】解下列方程： (1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解． 【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解． 注 本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘 初一数学绝对值难题解析 令狐采学 绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义： （1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0） （2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－ b|≤|a|＋|b|； 思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况） （2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。 （3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析： 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c 的点在原点左侧，请化简下列式子： （1）|a－b|－|c－b| 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a （2）|a－c|－|a＋c| 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝（a－3）－(a－6) ＝3 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？ 去绝对值符号的几种常用方法 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤?； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤?； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>?? ?≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或 ax b +<－c ；|ax b +| 绝对值问题的解法 绝对值是初中代数中的重点内容，也是复习的难点，深刻的理解绝对值的概念，牢固地掌握绝对值的性质，是解决绝对值问题的关键，现将绝对值有关性质总结如下： ⑴若a＞0,则∣a∣=a; 若 a=0, 则∣a∣=a, 若 a＜0, 则∣a∣= - a。 ⑵∣a∣≧0,即绝对值的非负性。 ⑶∣a∣+∣b∣=0,则a=0,b=0。 ⑷∣a∣=m,则a=m或a=-m。 下面举例说明绝对值问题的解法。 一、运用绝对值概念： 例1、若x＜-2,则y=∣1-∣x+1∣∣等于（）。 （A）2+x (B) -2-x (C) x (D) –x 解：∵x＜-2, ∴1+x＜0 ∴∣1+x∣=(1+x)=-1-x 于是y=∣1-(-1-x)∣=∣2+x∣ 又∵2+x＜0,∴y=-(2+x)=-2-x,故选（ B ）。 二、平方法： 例2、已知实数 a满足∣1-a∣=1+∣a∣, = 。 解：原式两边平方得： 1-2a+ a 2 =1+2∣a∣+ a 2 ∵∣a∣=-a,即a≤0 ∴∣a-1∣=1-a 三、分类讨论法： 例3、若ab＞0,则∣a∣／a+ ∣b∣／b- ∣ab∣∕ab的值等于。 解：∵ab＞0,∴a、b同号。 ⑴若a、b同正，则∣a∣=a,∣b∣=b,∣ab∣=ab ∴∣a∣／a+ ∣b∣／ b-∣ab∣／ab=1+1-1=1。 ⑵若a、b同负，则∣a∣=-a,∣b∣=-b,∣ab∣=ab,∴∣a∣／a+∣b∣／b-∣ab∣／ ab=-1-1-1=-3。 综上所述，本题答案为1或-3。 四、应用非负数性质： 例4、若∣x-y+2∣与∣x+y-1∣=0 ∵ x+y-1=0 解绝对值不等式的几种常用方法以及变形 一. 前提: 0a >; 形式: ()f x a >; ()f x a <; (),()f x a f x a ≥≤等价转化为 ()()()f x a f x a f x a >?><-或; ()()f x a a f x a ()g x , ()()f x g x >型不等式 （1）︱f(x)︱ 去绝对值符号的几种常用方法 周健良 绝对值是初中数学的一个难点.如何化去绝对值的符号呢？下面介绍几种去绝对值符号的常用方法. 一、用绝对值的定义 例1 已知1＜a ＜3，求|1-a|+|3-a|的值. 分析 由1＜a 知1-a 是负数，由a ＜3知3-a 是正数，根据绝对值的定义可化去|1-a|+|3-a|的绝对值的符号. 解 ∵1＜a ＜3，∴1-a ＜0，3-a ＞0，故|1-a|+|3-a|= a -1+3-a=2. 例2 计算|2131-|+|3141-|+|4151-|+…+| 9 1101-| 解 原式=10191514141313121-+???+-+-+-5210121=-=. 评析 绝对值的定义也是去绝对值符号的一种方法.先判断绝对值符号里的代数式的值的符号，然后确定去绝对值符号后是原代数式本身还是它的相反数. 二、用绝对值的性质 例3 已知|a|=3，|b|=4，求|a +b|的值. 解 ∵|a|=3，|b|=4，∴a=±3，b=±4. ①当a=3,b=4时,|a+b|=3+4=7； ②当a=3,b=-4时,|a+b|=|3+（-4）|=1； ③当a=-3,b=4时,|a+b|=|-3+4|=1； ④当a=-3,b=4时,|a+b|=|（-3）+（-4）|=7. 例4 已知|a-1|+|ab-2|=0, 求()()()() ()()2006200612211111+++???+++++++b a b a b a ab 的值. 解 ∵|a-1|+|ab-2|=0, ∴|a-1|=0,|ab-2|=0,解得a=1,b=2. ∴原式=2008 20071541431321211?+???+?+?+?+? =2008120071514141313121211-+???+-+-+-+-=2008 2007200811=-. 评析 互为相反数的绝对值相等，任何一个数的绝对值都是非负数.运用这 解绝对值不等式的几种常用方法以及变形 前提：a 0； 形式：f （x ） =a ； f(x ） ca ； f （x ）∣κa ， f （x) Wa 等价转化为 f(x) >a = f(x ）〉a 或f （x)<—a ； f(x) va= -a 去绝对值常用“六招”（初一） 令狐文艳 去绝对值常用“六招” （初一） 绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。下面就教同学们去绝对值的常用几招。 一、根据定义去绝对值 例1、当a = -5，b = 2， c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值 分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。代值后即可去掉绝对值。 解：因为：a = -5＜0，b =2＞0， c = -8＜0 所以由绝对值的意义，原式 = 3 [ -（-5）] –2 ×2 -[ - ( - 8 ) ] = 7 二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值 例2、有理数a、b、c在数轴上的 位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c- b│+│a+b│-│a│ 分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。 解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b 从而 c – a ＞0 ， c - b＜0， a + b = 0 故原式 = c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b 三、由非负数性质去绝对值 例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0，求ab的值。 分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。 解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且 b – 2 = 0 即 a = 5 b = 2 或 a = - 5 b = 2 故 ab = 10或 ab = - 10 四、用分类讨论法去绝对值 例4、若abc≠0，求 + + 的值。 分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为 负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。但因为两正（负）、一负（正）的结果只有两种情况，所以其值只有四种情况。 解：由abc≠0可知，a、b、c有同为正号、同为负号和a、b、c异号。 当a、b、c都为“+”时， + + = + + = 3 当a、b、c都为“-”时， + + = - - - = - 3 绝对值常见题型及其解法分析 绝对值是初中数学的重点和难点，为了帮助同学们深刻理解和牢固掌握这一基本知识，本文列举了几例绝对值常见题型及它们的解法分析，供同学们参考. 例1 （1）绝对值等于本身的数是__________数. （2）绝对值等于相反数的数__________数. 分析：本题运用了绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.值得注意的是：零的绝对值是零包括两层意思：其一，零的绝对值是它本身；其二零的绝对值是它的相反数，熟练掌握了这种特殊性质，可知，第一题正解为非负数，第二题正解为非正数. 例2 24x -=，求x. 分析：本题应用了绝对值的一个基本性质：互为相反数的两个数的绝对值相等.即 或，由此可求出正确答案或. 解：∵24x -= 或 或 例3 33x x -=-，求x 的取值范围. 分析：本题有两种思路：一是运用绝对值的另一个基本性质：任何一个数的绝对值都是非负数，由此可知 即 ；二是运用绝对值的代数意义：负数的绝对值是它的相反 数，零的绝对值是零.由此可知，，即.注意不能忽略 的情况. 解法一：由绝对值性质可知：任何一个数的绝对值均为非负数. ，即 解法二：33(3)x x x -=-=-- ，即 例4 210x y -++= ，求x y +的值. 分析：本题运用了任何一个数的绝对值均为非负数以及几个非负数的和为零，则每个非负数均为零.由此可得：2,1,2(1)1x y x y ==-+=+-= 解：∵210x y -++= 20,1 x y \-=+= 2,1x y \==- 2(1) 1 x y \+=+-= 例5. 已知 ，化简A B B C C A -+-+-. 分析：本题必须先判断绝对值符号里的代数式的符号，再根据绝对值的代数意义进行化简. 解：∵ 0,0,0 A B B C C A \-<-<-> A B B C C A \-+-+- ()[()]A B B C C A =--+--+- B A C B C A =-+-+- 绝对值知识点及练习 1、定义：（1）几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作｜a｜,读作“绝对值a”。 （2）代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.实数a的绝对值是：|a| ①a为正数时，|a|=a(不变) ②a为0时，|a|=0 ③a为负数时，|a|= -a(为a的绝对值) 任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。 2、实数的绝对值具有以下性质： (1)|a|大于等于0(实数的绝对值是非负实数); (2)|-a|=|a|(互为相反数的两实数绝对值相等); (3)-|a|小于等于a小于等于|a|; (4)|a|>b可以推出a<-b或a>b，a<-b或a>b可以推出|a|>b; (5)|a·b|=|a|·|b|; (6)|a|/|b|=|a/b|(b≠0); (7)|a+b|小于等于|a|+|b|，当且仅当a、b同号时，等式成立; (8)|a-b|大于等于||a|-|b||，当且仅当a、b同号时，等式成立; (9)a属于R时，|a|的平方等于|a|的平方。 特别提醒：（1）绝对值具有非负性，即|a|≥0； （2）绝对值相等的两个数，它们相等或互为相反数； （3）0是绝对值最小的有理数。 3、利用绝对值比较大小 (1)利用绝对值比较两个负数的大小 两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 比较的具体步骤： ①先求两个负数的绝对值； ②比较绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断． (2)几个有理数的大小比较 ①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数，绝对值大的反而小． ②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较． 4、利用绝对值解决实际问题 绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类： (1)判断物体或产品质量的好坏 可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．方法： ①求每个数的绝对值； ②比较所求绝对值的大小； ③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断． (2)利用绝对值求距离 上海初一数学绝对值难题 解析 Revised final draft November 26, 2020 2016上海初一数学绝对值难题解析 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。 （3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左 侧，请化简下列式子： （1）|a－b|－|c－b| （2）|a－c|－|a＋c| 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？ 第二类：考察对绝对值基本性质的运用 5、已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，求x＋y＋2012的值？ 6、设a、b同时满足： (1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1； (2) |a－4|＝0；那么ab等于多少？ 7、设a、b、c为非零有理数，且|a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c＝0, 请化简：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c| 。 8、满足|a－b|＋ab＝1的非负整数（a，b）共有几对？去绝对值符号的几种常用方法
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