第七节 数系的扩充与复数的引入
[例1] (1)(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i
(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
(2)(2013·山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )
A ．2＋i
B ．2－i
C ．5＋i
D ．5－i
[自主解答] (1)∵a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )
＝(a －3)－i 为纯虚数，∴a －3＝0，即a ＝3.
(2)由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝3＋52－i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )
＋3＝5(2＋i )5＋3＝5＋i ， ∴z ＝5－i.
[答案] (1)D (2)D
【互动探究】
若将本例(2)中的“z －3”改为“z －i ”，则z 为何值？
解：∵(z －i)(2－i)＝5，则z －i ＝52－i ，∴z ＝i ＋52－i
＝i ＋(2＋i)＝2＋2i ， ∴z ＝2－2i.
【方法规律】
解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．
1．设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数为z ＝a －b i ，则z －z 为 ( )
A ．实数
B ．纯虚数
C ．零
D ．零或纯虚数
解析：选D 由题意知z －z ＝(a ＋b i)－(a －b i)＝2b i ，
当b ＝0时，z －z 为0；当b ≠0时，z －z 为纯虚数．
2．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．－2
解析：选A ∵z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z 2＋z 2的虚部为0.
[例2] (1)(2013·江西高考)已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
(2)(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D
(3)(2013·辽宁高考)复数z ＝1i －1的模为( ) A.12 B.22
C. 2 D ．2 [自主解答] (1)由共轭复数的定义知：z ＝1－2i ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，位于第四象限．
(2)设z ＝－a ＋b i(a >0，b >0)，则z 的共轭复数z －＝－a －b i.它对应的点为(－a ，－b )，是
第三象限的点，即图中的B 点．
(3)∵z ＝1i －1＝i ＋1(i －1)(i ＋1)＝i ＋1－1－1
＝－12－12i ， ∴|z |＝ ????122＋????－122＝22
. [答案] (1)D (2)B (3)B
【方法规律】
判断复数在平面内的点的位置的方法
首先将复数化成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，其次根据实部a 和虚部b 的符号来确定点所在的象限．
1．在复平面内，复数6＋5i 、－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，
则点C 对应的复数是( )
A ．4＋8i
B ．8＋2i
C ．2＋4i
D ．4＋i
解析：选C 由题意得A (6,5)，B (－2,3)，所以AB 中点C 的坐标为(2,4)，所以点C 对应的复数为2＋4i.
2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C .O 为坐标原点，若OC ＝x OA ＋y OB ，则x ＋y 的值是________．
解析：由已知得A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)，
∵OC ＝x OA ＋y OB ，
∴(3，－2)＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )，
∴????? －x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得?
????
x ＝1，y ＝4，故x ＋y ＝5. 答案： 5
高频考点 考点三 复数代数形式的运算
1．复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容，题型为选择题或填空题，难度较
小，属容易题．
2．高考对复数代数形式的运算的考查主要有以下几个命题角度：
(1)复数的乘法运算；
(2)复数的除法运算；
(3)利用复数相等求参数．
[例3] (1)(2013·浙江高考)已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )
A ．5－5i
B ．7－5i
C ．5＋5i
D ．7＋5i
(2)(2013·新课标全国卷Ⅰ)1＋2i (1－i )2
＝( ) A ．－1－12i B ．－1＋12
i C ．1＋12i D ．1－12
i (3)(2013·广东高考)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
[自主解答] (1)(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝5＋5i.
(2)1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i (－2i )i
＝－2＋i 2＝－1＋12i. (3)由已知得x ＋y i ＝3＋4i i
＝4－3i ， 故|x ＋y i|＝42＋(－3)2＝5.
[答案] (1)C (2)B (3)D
复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．
(3)利用复数相等求参数．a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．
1．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )
A ．3＋5i
B ．3－5i
C ．－3＋5i
D ．－3－5i
解析：选A 由题意知z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )
＝15＋25i 5＝3＋5i. 2．i 为虚数单位，则? ??
??1＋i 1－i 2 014＝( ) A ．－i B ．－1
C ．i
D ．1
解析：选B ? ??
??1＋i 1－i 2 014＝i 2 014＝i 2＝－1. 3．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i 1－2i
(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________． 解析：∵11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )
＝25＋15i 5＝5＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＋b ＝8. 答案：8
———————————[课堂归纳——通法领
悟]————————————————
1个分类——复数的分类
对复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，
当b ＝0时，z 为实数；
当b ≠0时，z 为虚数；
当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数．
2个技巧——复数的运算技巧
(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．
(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．
3个结论——复数代数运算中常用的三个结论
(1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i
＝－i ； (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；
(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *.
２０1５年四川省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共５0分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(5分)（２015?四川）设集合A={x|﹣１ 2015年上海市高考数学试卷（文科） 一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为． 2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=． 4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=． 5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=． 6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=． 8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为． 9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为． 10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是． 14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为． 数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页） 绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学 注意事项: 1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题. 2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息. 3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（共60分） 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求（本大题共12小题, 每小题5分,共60分）. 1.设集合2{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则M N = ( ) A .[0,1] B .(0,1] C .[0,1) D .(,1]-∞ 2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 ( ) A .93 B .123 C .137 D .167 3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数π3sin()6 y x k ?=++,据此函数可知,这段时间水深（单位:m ）的最大值为 ( ) A .5 B .6 C .8 D .10 4.二项式*(1)()n x n +∈Ν的展开式中2x 的系数为15,则 n = ( ) A .7 B .6 C .5 D .4 5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 ( ) A .3π B .4π C .2π+4 D .3π+4 6.“sin cos αα=”是“cos20α=”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 7.对任意向量a ,b ,下列关系式中不恒成立的是 ( ) A .|a b |≤|a ||b | B .|a -b |≤||a |-|b || C .(a +b )2=|a +b |2 D .(a +b )(a -b )=a 2-b 2 8.根据如图所示的程序框图,当输入x 为2 006时,输出的y = ( ) A .2 B .4 C .10 D .28 9.设()ln f x x =,0a b <<, 若p f =,( )2 a b q f +=,1 (()())2 r f a f b =+,则下列关系式中正确的是 ( ) A .q r p =< B .p r q =< C .q r p => D .p r q => 10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1 吨甲、乙产品可获利润分别为3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为 ( ) A .12 万元 B .16 万元 C .17 万元 D .18 万元 11.设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ,若||1z ≤,则y x ≥的概率为 ( ) A .31 42π+ B . 112π+ C .112π - D .1142π - 姓名________________ 准考证号_____________ --------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 2015年四川省高考数学试题及答案(理科)【解析版】 2015年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|（x+1）（x ﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x ＜3}，则A ∪B=（ ） A ． {x|﹣1＜x ＜3} B ． {x|﹣1＜x ＜1} C ． {x|1＜x ＜2} D ． {x|2＜x ＜3} 考点： 并集及其运算． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x ＜2}， 根据集合的并集可求解答案． 点评： 本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题． 3．（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ） A ． ﹣ B ． C ． ﹣ D ． 考点： 程序框图． 专题 图表型；算法和程序框图． ： 分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当k=5时满足条件k ＞4，计算并输出S 的值为． 解答： 解：模拟执行程序框图，可得 k=1 k=2 不满足条件k ＞4，k=3 不满足条件k ＞4，k=4 不满足条件k ＞4，k=5 满足条件k ＞4，S=sin =， 输出S 的值为． 故选：D ． 点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 4．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ． y=cos （2x+） B ． y=sin （2x+） C y=sin2x+cos2x D y=sinx+cosx 绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学 (银川一中第二次模拟考试) 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。 5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 第I 卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={x |ax =1}，B ={0,1}，若B A ?，则由a 的取值构成的集合为 A ．{1} B ．{0} C ．{0,1} D ． ? 2．复数 i i 21+的共轭复数是a +bi （a ，b ∈R ），i 是虛数单位，则点（a ，b ）为 A ．（2，1） B ．（2，﹣i ） C ．（1，2） D ．（1，﹣2） 3．在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好 落在正方形与曲线x y =围成的区域内（阴影部分）的 概率为 A ． 21 B ．32 C ．43 D ． 54 2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 理科数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞ 【答案】A 试题分析：{} {}2 0,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N =，故选A ． 考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算． 【分析及点评】 本题主要考察了集合的表示及其相关运算，并结合一元二次方程以及对数运算，属于基础题型，难度不大。 2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师 的人数为（ ） A ．167 B ．137 C ．123 D ．93 【答案】B 考点：扇形图． 【分析及点评】 本题主要考察了统计以及统计图表的相关知识，难度系数很小，属于基础题型。 3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6 y x k π ?=++，据此函数 可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 【答案】C 试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质． 【分析及点评】本题重在转化，将实际问题转化成三角函数问题，对三角函数的图像、性质有较高要求，但作为基础题型，难度不大。 4.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C 考点：二项式定理． 【分析及点评】本题主要考察了学生对二项式定理的理解，以及二项式系数的计算，难度不大，属于基础题型。 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ． 3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+ 【答案】D 试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是 ()1 211222342 ππ???++?=+，故选D ． 考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积． 【分析及点评】 三视图以及体积、面积求值几乎每年必考，今年也不例外，题目设置与往年没有改变，难度不大，变化也不大。 6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 试题分析：因为22 cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为 “sin cos αα=”?“cos 20α=”，但“sin cos αα=”?/“cos 20α=” ，所以“s i n c o s αα=” 2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（理工类） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 （选择题 共50分） 注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共10小题。 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．已知集合2 {|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ?= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 2．在6 (1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 A ．向左平行移动 12个单位长度 B ．向右平行移动1 2 个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c < 5． 执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =， c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是 2015年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分． 1．（4分）（2015?上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则 Α∩?UΒ=． 2．（4分）（2015?上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．3．（4分）（2015?上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣ c2=． 4．（4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=． 5．（4分）（2015?上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=． 6．（4分）（2015?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为． 7．（4分）（2015?上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为． 8．（4分）（2015?上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）． 9．（2015?上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程 为． 10．（4分）（2015?上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为． 11．（4分）（2015?上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）． 12．（4分）（2015?上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片， 2016年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6 2．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（） A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix4 3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（） A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（） A．24 B．48 C．60 D．72 5．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（） （参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30） A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年 6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（） A．9 B．18 C．20 D．35 7．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足， 则p是q的（） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1 9．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处 的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞） 10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足==， 上海市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练 平面向量 一、填空、选择题 1、（2015年上海高考）在锐角三角形 A BC 中，tanA=，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E⊥A B 于 E ，DF⊥AC 于F ，则 ? = ﹣ ． 2、（2014年上海高考）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱， (1,2,,8)i P i =L 是上底面上其余的八个点，则(1 , 2, , 8)i AB AP i ?=u u u r u u u r K 的不同值的个数为 （ ） P 2 P 5 P 6P 7 P 8 P 4 P 3 P 1 B A (A) 1. (B) 2. (C) 4. (D) 8. 3、（2013年上海高考）在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量 分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若,m M 分别 为 ()() i j k r s t a a a d d d ++?++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值，其中 {,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足（ ）. (A) 0,0m M => (B) 0,0m M <> (C) 0,0m M <= (D) 0,0m M << 4、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）如图，ABCDEF 是正六边形，下列等式成立的是（ ） F E D （A ）0AE FC ?=u u u r u u u r （B ）0AE DF ?>u u u r u u u r 2015年陕西省高考数学试卷（理科） 一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分 1．（5分）（2015?陕西）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1] 2．（5分）（2015?陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（） A．93 B．123 C．137 D．167 3．（5分）（2015?陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（） A．5B．6C．8D．10 4．（5分）（2015?陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n=（）A．7B．6C．5D．4 5．（5分）（2015?陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4 6．（5分）（2015?陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A． ||≤|||| B． ||≤|||﹣||| C． （）2=||2D． （）?（）=2﹣2 8．（5分）（2015?陕西）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（） A．2B．4C．10 D．28 9．（5分）（2015?陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a） +f（b）），则下列关系式中正确的是（） A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q 10．（5分）（2015?陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（） 甲乙原料限额 A（吨） 3 2 12 B（吨） 1 2 8 2015年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．（5分）设集合A={x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，集合B={x |1＜x ＜3}，则A ∪B=（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜3} B ．{x |﹣1＜x ＜1} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3} 2．（5分）设i 是虚数单位，则复数 i 3﹣2i =（ ） A ．﹣i B ．﹣3i C ．i D ．3i 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ） A ．﹣√32 B ．√32 C ．﹣12 D ．12 4．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．y=cos （2x +π2） B ．y=sin （2x +π2 ） C ．y=sin2x +cos2x D ．y=sinx +cosx 5．（5分）过双曲线x 2﹣y 23 =1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |=（ ） A ．4√33 B ．2√3 C ．6 D ．4√3 6．（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个 7．（5分）设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|=6，|AD →|=4，若点M 、N 满足 BM →=3MC →，DN →=2NC →，则AM →?NM → =（ ） A ．20 B ．15 C ．9 D ．6 8．（5分）设a 、b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 9．（5分）如果函数f （x ）=12 （m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x +1（m ≥0，n ≥0）在区间[12 ，2]上单调递减，那么mn 的最大值为（ ） A ．16 B ．18 C ．25 D ．812 10．（5分）设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，与圆（x ﹣5）2+y 2=r 2（r ＞0）相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） A ．（1，3） B ．（1，4） C ．（2，3） D ．（2，4） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11．（5分）在（2x ﹣1）5的展开式中，含x 2的项的系数是 （用数字填写答案）． 12．（5分）sin15°+sin75°的值是 ． 13．（5分）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系y=e kx +b （e=2.718…为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 小时． 14．（5分）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cosθ的最大值为 ． 2015年陕西省高考数学试卷（文科） 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（每小题5分，共60分） 2 2．（5分）（2015?陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（） 3．（5分）（2015?陕西）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线 4．（5分）（2015?陕西）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（） 5．（5分）（2015?陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） 7．（5分）（2015?陕西）根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（） 8．（5分）（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） ||||||| =|（﹣ 10．（5分）（2015?陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a） 11．（5分）（2015?陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润 ） +B +﹣﹣ 二.填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2015?陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为． 14．（5分）（2015?陕西）如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为． 15．（5分）（2015?陕西）函数y=xe x在其极值点处的切线方程为． 16．（5分）（2015?陕西）观察下列等式： 1﹣= 1﹣+﹣=+ 1﹣+﹣+﹣=++ … 据此规律，第n个等式可为． 三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5小题，共70分）17．（12分）（2015?陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a， b）与=（cosA，sinB）平行． （Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积． 数学试卷 第1页（共15页） 数学试卷 第2页（共15页） 数学试卷 第3页（共15页） 绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（文科） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ） A ．{|13}x x -<< B ．{|11}x x -<< C ．{|12}x x << D ．{|23}x x << 2．设向量a ()2,4=与向量b (),6x =共线，则实数x = （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 （ ） A ．抽签法 B ．系统抽样法 C ．分层抽样法 D ．随机数法 4．设,a b 为正实数，则“1a b >>”是“22log log 0a b >>”的 （ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 5．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是 （ ） A ．sin(2)2 π y x =+ B ．π cos(2)2 y x =+ C ．sin 2cos2y x x =+ D ．sin cos y x x =+ 6．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 （ ） A ．2 - B ． 2 C ．12- D ． 12 7．过双曲线2 213 y x - =的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线 的两条渐近线于A ，B 两点，则||=AB （ ） A ．3 B ． C ．6 D ． 8．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃） 满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=…为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保 鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 （ ） A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时 D ．28小时 9．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +?? +??+? ≤， ≤，≥，则xy 的最大值为 （ ） A ．25 2 B ．492 C ．12 D ．16 10．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点， 与圆222 (5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 （ ） A ．(1,3) B ．(1,4) C ．(2,3) D ．(2,4) 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 注意事项: 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效. 第Ⅱ卷共11小题. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11．设i 是虚数单位，则复数1 i i -＝__________. 12．2lg0.01log 16+的值是___________. 13．已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是___________. 14．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形， 俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ， 11B C 的中点，则三棱锥1P A MN -的体积是__________. 15．已知函数()2x f x =，2 ()g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数1x ，2x ，设 1212()()f x f x m x x -= -，1212 ()() g x g x n x x -=-，现有如下命题： ①对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >； ②对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 其中的真命题有__________（写出所有真命题的序号）. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 设数列{}n a (1,2,3,)n =???的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数 列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列1 { }n a 的前n 项和为n T ，求n T . 17．（本小题满分12分） 一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客1P ，2P ，3P ，4P ，5P 的-------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________ 左视團 C . 2 n +4 D . 3 n +4 2015年陕西省高考数学试卷（理科） 一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分 2 1. ( 5 分)(2015?陕西)设集合 M={x|x 2=x} , N={x|lgx O }，贝U M U N=( ) A . [0, 1] B . (0, 1] C . [0, 1) D . ( - s, 1] 2. （ 5分）（2015?陕西）某中学初中部共有 110名教师，高中部共有 150名教师，其性别比 例如图所示，则该校女教师的人数为（ 3. （ 5分）（2015?陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 4. ( 5分)(2015?陕西)二项式(x+1 ) n ( n 3 +)的展开式中x 2的系数为15,则n=( A . 7 B . 6 C . 5 D . 4 5. （ 5分）（2015?陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ C . 137 D . 167 y=3sin m ）的最大值为（ ） D . 10 6. （ 5 分）（2015?陕西）sin a =cos a 是 Cos2%=0”的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 /输也/ r —■~ 结束 C . 10 D . 28 9. ( 5 分)(2015?陕西)设 f (x ) =lnx , 0v a v b ,若 p=f (真E ), q=f (牟半)，r* (f ( a ) +f ( b)),则下列关系式中正确的是( ) A . q=r v p B . p=r v q C . q=r > p D . p=r >q 10. （5分）（2015?陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用 A 、B 两种原料.已知生产 1 吨每种产品所需原料及 每天原料的可用限额如表所示. 如果生产一吨甲、乙产品可获得利润 分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ） 甲 乙 原料限额 A （吨） 3 2 12 B （吨） 1 7. （ 5分）（2015?陕西）对任意向量 (-■ ■) ? (「- ,'.) = r 2- I ， & （ 5分）（2015?陕西）根据如图框图，当输入 x 为2006时，输出的y （ / 输 Ax / F 列关系式中不恒成立的是（ X-X-2 2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年四川，理1，5分】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C 【解析】由题可知， {}2,1,0,1,2A =--Z ，则A Z 中元素的个数为5，故选C ． 【点评】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般是结合不等式，函数的 定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答． （2）【2016年四川，理2，5分】设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ） （A ）415x - （B ）415x （C ）420i x - （D ）420i x 【答案】A 【解析】由题可知，含4x 的项为242 46 C i 15x x =-，故选A ． 【点评】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容 易题．一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6(i)x +的展开式可以改为6()x +i ，则 其通项为66r r r C x -i ，即含4x 的项为46444615C x x -=-i ． （3）【2016年四川，理3，5分】为了得到函数πsin 23y x ? ?=- ?? ?的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 （ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π 3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π 6个单位长度 【答案】D 【解析】由题可知，ππsin 2sin 236y x x ??? ???=-=- ? ?????? ???，则只需把sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，故选D ． 【点评】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变 换有两种顺序：一种sin y x =的图象向左平移φ个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来的1 ω 倍， 纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把sin y x =的图象横坐标变为原来的1 ω 倍，纵坐标不 变，得sin y ωx =的图象，向左平移φ ω 个单位得sin()y ωx φ=+的图象． （4）【2016年四川，理4，5分】用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个 位数有13C ，再将剩下的4个数字排列得到44A ，则满足条件的五位数有14 34C A 72?=，故选D ． 【点评】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的 完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置． （5）【2016年四川，理5，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发 资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg20.30=） （A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年 【答案】B 【解析】设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，()130112%200x +=， 2015年上海高考数学理科含答案word版 2015年上海高等学校招生数学试卷（理工农医类） 一. 填空题（本大题共有14题，每题4分，满分56分） 1．设全集U=R ，若集合{}A=12,3,4，，{}23B x x =≤≤，则 U A C B = I ； 2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则 z = ； 3．若线性方程组的增广矩阵为122 30 1c c ?? ?? ? ，解为 35 x y =??=? ，则1 2 c c -= ； 4．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为 3 a = ； 5．抛物线2 2(p 0) y px =>上的动点Q 到焦点的距离的 最小值为1，则p = ； 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角大小为 ； 7．方程()()1 12 2log 9 5log 322 x x ---=-+的解为 ； 8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 ；（结果用数值表示） 9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的 纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为1 C 和2 C ，若1 C 的 渐近线方程为3y x =，则 2 C 的渐近线方程 为 ； 10．设 () 1f x -为 ()222 x x f x -=+ ，[]0,2x ∈的反函数，则 ()() 1y f x f x -=+的最大值为 ； 11．在 10 201511x x ? ?++ ? ? ?的展开式中， 2 x 项的系数 为 ；（结果用数值表示） 12．赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1、2、3、4、5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）；若随机变量1 ξ和2 ξ分别表示赌客在一局 赌博中的赌金和奖金，则1 2 E E ξξ-= 元； 13．已知函数 ()sin f x x =，若存在 12,,m x x x L 满足1206m x x x π ≤<<<≤L ， 且()()()()()()() *12231++=122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+--≥∈L ，则m 的最小值为 ； 14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD V 与ACD V 的面积分别为2和4， 过D 作DE AB ⊥2015年上海市高考数学试卷文科(高考真题)
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