高几习题集及参考解答
第一章 仿射几何的基本概念
1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。
证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与
一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。∵T 保留简比不变， 即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，
∴D'是B'C'的中点。因此线段中点是仿射不变性。 ∵在等腰△ABC 中，β=γ。
设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。 ∴角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD ?BC ，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。 由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。
由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。 设G 是△ABC 的重心，且G'=T(G)
∵G ∈AD ，由结合性得G '∈A'D'；
又∵（AGD ）=（A'G'D'）即 31A D A D G D
G
D ''==
'' 33
11
BE B E CF C F GE G E GF G F ''''====''''同理可得：，
∴G'是△A'B'C'的重心。 4、证明梯形在仿射对应下仍为梯形。
证明：设在仿射对应下梯形ABCD （AB??CD ）与四边形A'B'C'D'相对应，
由于仿射对应保持平行性不变，因此 A'B'??C'D'，所以A'B'C'D'为梯形。
5、证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形。
证明：设T 为仿射变换，A 1B 1C 1D 1与A 2B 2C 2D 2为两个全等矩形，其面积分别以S 1=S 2。
)
1(图2
图
由于T 保留平行性，所以：
T （A 1B 1C 1D 1）= 平行四边形A'1B'1C'1D'1, 面积记为：S'1
T （A 2B 2C 2D 2）= 平行四边形A'2B'2C'2D'2, 面积记为：S'2，
且 S'1=K S 1，S'2=KS 2，11
12
221S KS S S S KS '''?==?=' ∴ A'1B'1C'1D'1与A'2B'2C'2D'2是等积的平行四边形。
6、经过A （-3，2）和B （6，1）两点的直线被直线X+3y-6=0截于P 点，求简比（ABP ） 解：设P 点的坐标为（x 0，y o ）
()AP AP ABP BP PB λ==-=-（分割比）， 00362,11x y λλλλ
-++==++而: 且P 在直线x+3y-6=0上，362()3()6011λλ
λλ
-++∴+-=++
解得λ=1，即P 是AB 中点，且（ABP ）=－1。
7、证明直线Ax+By+C=0将两点P 1（x 1，y 1）和P 2（x 2，y 2）的联线段分成
的比是1122Ax By C
Ax By C
++-++
证明 设分点为P （x 0，y 0），则分割比λ= AP
PB
，
1212
00,(1)11x x y y x y λλλλλ++==≠-++
P （x 0，y 0）在直线Ax+By+C=0上， 1212
()()011x x y y A B C λλλλ
++∴++=++
Ax 1+By 1+C+λ(Ax 2+By 2+C)=0
1122Ax By C
Ax By C
λ++?=-
++ 8、证明一直线上二线段之比是仿射不变量。
证明：若直线a 上两线段AB 和CD 经仿射变换T 后与直线a'上的两段
A'B'和C'D'对应图（3）
,AB AB BC A B B C A B CD BC CD B C C D C D ''''''
∴=?=?=''''''
得证。
9、证明图形的对称中心是仿射不变性，图形的对称轴和对称平面是不是仿射不变性？ 证明：设仿射变换T 将中心对称图形F 变为图形F'，点O 是F 的对称中心，
A ，
B 为图形F 上关于点O 对称的任意一对对称点。 设T （O ）=O'，T （A ）=A' T （B ）=B'。
∵T （F ）=F'，由结合性，点A'，B'在图形F'上；
)
3(图
由简比不变性，（ABO ）= (A'B'O')。
所以F'是中心对称图形，从而图形的对称中心是仿射不变性。
如果点A 、B 关于直线l （平面π）对称，则线段AB ⊥1（AB ⊥π）。
但仿射变换不保留角的度量，所以当T （A ）=A'，T （B ）=B'， T （1）=1'（T （π）=π'）时，线段A'B'不一定垂直线1'（平面π'）。
10、在仿射坐标系下，直线方程是一次的。
证明：设在笛氏坐标系下直线方程为： Ax+By+C=0 （1） （x,y ）为笛氏坐标，（x'，y'）为仿射坐标。
笛氏到仿射的变换式为：12
120
12012
0(2)x x y y x y αααααβββ
ββ'=++?≠?'=++?
设其逆变换为： 12
120
12012
0(3)a a x a x a y a y b x b y b
b b ''=++?≠?''=++?
将（3）式代入（1），得
A （a 1x'+a 2y'+a 0）+
B (b 1x'+b 2y'+b 0) +C=0, 即：(A a 1+Bb 1)x'+(A a 2+Bb 2)y '+A a 0+Bb 0+C=0，
记为：0Ax By C ''++= 是x',y'的一次式。 其中A =Aa 1+Bb 1, B =Aa 2+Bb 2， C =Aa 0+Bb 0+C 0
且,A B 不全为0，若不然，Aa 1+Bb 1=0，Aa 2+Bb 2=0
1212
1212
00a a a a b b b b ?
=≠与矛盾。
11、利用仿射变换式，试求在仿射变换下，三角形的面积是怎样改变的？
（从而明确1.2定理5所指常数的意义）。 解：ΔA 1A 2A 3和ΔA'1A'2A'3的面积分别以S, S'表示，
1
122
3
311
12
1x y S x y x y '''''=''=11112113
21122123
112122132122222311312313
213223231
1
121
a x a y a a x a y a a x a y a a x a y a a x a y a a x a y a ++++++++++++ 1111212
212223
313
23
10
110211
x y a a x y a a x y a a =12D S =()S D
S '
?=常数
这结果与§1.2系2一致，三角形（从而多边形或曲线形）的面积经仿射变换后乘以一个常数k ，此地进一步明确了这常数就是仿射变换式的行列式的绝对值，仿射变换式不同，这常数也不同。
12、在等腰梯形中，两底中心，两对角线交点，两腰（所在直线）交点，这四点显
然共线（在对称轴上），试用仿射变换于此图形，得出什么推广了的命题？ 解：设E ，F ，Q ，P 分别是等腰梯形ABCD 下底，上底的中点，对角线交点，要腰
所在直线交点，T 为仿射变换，
则梯形ABCD T
→梯形A'B'C'D'，E T
→E'为B'C'中点， F T
→F'为A'D' 中点。
∵（BDQ ）=（B'D'Q'）,(ACQ)=（A'C'Q'）,
（BAP ）=（B'A'P'）,(CDP)=(C'D'P')
且E ，Q ，F ，P 共线，∴由结合性得E'，Q'，F'，P' 四点共线，但直线P'E'已不是对称轴（图4）。由此得出，任意梯形上、下底中点，对角线交点，两腰所在直线交点凡四点共线。
13、求仿射变换
{
34
42x x y y x y
'=-+'=-的自对应点和自对应直线；
解：求自对应点：设x=x', y =y'，因此得
{
240
430
x y x y -+=-=
解得自对应点的坐标为x=-6，y=-8。
求自对应直线，设任意直线l （u,v,w ）在所给的变换下的像1' 的方程为：
u'x'+v'y'+w'=0
u' (3x －y+4)+v' (4x －2y) +w' =0，或（3u'+4v'）x －(u'+2v')y+4u'+w'=0。 若1为自对应直线，则u=λu'，v=λv'，w=λw'，因此
()()()34034220(1)4410u v u v u u v v u v u w w u w λλλλλλ''-+=?'''+=???
'''''--=?--+=????'''+=''+-=??
因为u'，v'，w'不全为零，所以方程组(1)有非零解。
故3401
2004
1λ
λλ
----=- 解得λ1=2，λ2=－1，λ3=1，
将λ1=2代入方程组(1)，得u'= 4, v' =－1，w' =16。
将λ2=－1代入方程组(1)，得u'=1, v'=－1，w'=－2。 将λ3=1代入方程组(1)，得u'=0, v'=0，w'=1。
就本章内容而言，λ=1时，自对应直线不存在，故所求自对应直线为：
4x －y+16=0和x －y －2=0。
第二章 欧氏平面的拓广
1、证明中心投影一般不保留共线三点的简比。 证：设△SAC 为等腰三角形（SA=SC ）,SB ⊥AC, 过A
作一射线平行于SC 交SB 的延长线于B 1, 交SC 于C ∞（图5），则A,B 1,C ∞在中心S 的投影下分别是A,B,C
)
4(
图A S
B
C
1
B
的像点， ∵（ABC ）=
2AC BC
=, 而（AB 1C ∞）=
11AC B C ∞
∞=， ∴（ABC ）≠（AB 1C ∞）, 即中心投影一般不保留共线三点的简比。
2、以下面的坐标表示的直线是怎样的直线？
（1）（1，1－1）； （2）（1，－1，0）；（3）（0，1，0）。 解 利用点线结合方程：u 1x 1+u 2x 2+u 3x 3=0.
(1) ∵u 1=1, u 2=1, u 3=－1, ∴x 1+x 2－x 3=0，非齐次化为：x+y －1=0. (2) x 1－x 2=0或x －y=0。（3）x 2=0或y=0是x 轴的方程。
3、求联接点（1,2,－1）与二直线（2,1,3），（1，－1，0）之交点的直线方程。 解 先求二直线（2,1,3），（1，－1，0）的交点坐标：
x 1：x 2：x 3=
1
33221
::3:3:31:1:1100111
=-=--- 再求两点（1，1，－1），（1，2，－1）的联线的坐标： u 1：u 2：u 3=
111111
::1:0:1211112
--=-- 所求直线方程为：x 1+x 3=0或x+1=0 4、求直线（1,－1,2）与二点（3，4，－1）,(5,－3,1)之联线的交点坐标。
解：先求二点（3，4，－1），(5,－3,1)的联线坐标：
u 1：u 2：u 3=
4
11334
::1:8:29311553
--=----
再求二直线（1,－1,2），（1，－8，－29）的交点坐标： x 1：x 2：x 3=
1
2
2
111:
:45:31:782929118
--=-----
所求交点坐标为（45，31，－27）。
∞
C
5、方程u 1－u 2+2u 3=0代表什么？u 12－u 22=0代表什么？ 解：方程u 1－u 2+2u 3=0表点（1，－1，2）的方程
或表示以点（1，－1，2）为中心的线束方程。
∵u 12－u 22=（u 1+u 2）（u 1－u 2）= 0，
∴u 1+u 2=0表示点（1，1，0）的方程；u 1－u 2=0表示点（1，－1，0）的方程。 ∴u 12－u 22=0表示两点（1，1，0）和（1，－1，0）的方程。
6、将2x －y+1表示成3x+y －2，7x －y 的线性组合，这种表达的几何依据何在？ 解：设2x －y+1=λ（3x+y －2）+μ（7x －y ）=（3λ+7μ）x+（λ－μ）v －2λ，
得方程组 372
121
λμλμλ+=??-=-??-=?11,22λμ-==解得：
∴2x －y+1=12-(3x+y －2)+ 12(7x －y)。依据是若令它们为零，所得三直线共点。
7、将（2，1，1）表成（1，－1，1）和（1，0，0）的线性组合，这说明什么几何性质？ 解：设（2，1，1）=λ（1，－1，1）+μ（1，0，0）（1）
则2
11
λμλλ+=??-=??=?此方程组无解， 即找不到λ和μ满足（1）式，这说明它们表示的三点（线）不共线（点）。
8、求直线x －2y+3=0上的无穷远点的坐标。 解：x 3=0是无穷远直线方程
∴12332300
x x x x -+=??
=? 从而x 1－2x 2=0, 取x 1=2, 得x 2=1, 所求无穷远点坐标为（2,1.0）。
9、下列概念，哪些是仿射的，哪些是欧氏的？
①非平行线段的相等； ②不垂直的直线； ③四边形； ④梯形； ⑤菱形； ⑥平行移动； ⑦关于点的对称； ⑧关于直线的对称； ⑨绕点的旋转； ⑩面积的相等。 答：①欧氏； ②欧氏；③仿射；④仿射；⑤欧氏；
⑥仿射； ⑦仿射；⑧欧氏；⑨欧氏；⑩仿射。
第三章 一维射影几何
C
1、设A 、B 、C 、D 、E 为直线上五点，证明(AB,CD)(AB,DE) (AB,EC)=1。 证明: (AB,CD)(AB,DE) (AB,EC)1AC BD AD BE AE BC
AD BC AE BD AC BE
???=??=???
2、证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共轭点。 证明：设C 为线段AB 的中点，D ∞为直线AB 上的无穷远点， （AB·CD ∞）1AC BD AC
AD BC BC
∞∞?=
==-?
3、直线上顺序四点A 、B 、C 、D 相邻两点距离相等，计算这四点形成的六个交比的值。
解:（AB ，CD ）224
313
AC BD AD BC ??=
==??
（AB ，DC ）13
(,)4
AB CD ==
(AC ，BD)=1－（AB ，CD ）41
133
=-=-
（AC ，DB ）1
3(,)
AC BD ==-
（AD ，BC ）31
1(,)144
AB DC =-=-=
（AD ，CB ）1
4(,)
AD BC ==
4、求四点（2，1，－1）,（1，－1，1）,（1，0，0）,（1，5，－5）顺这次序的交比。 解：以（2，1，－1）和（1，－1，1）为基底。
则（2，1，－1）+μ1（1，－1，1）=（1，0，0）
111
12111100
μμμμ+--+∴
==?=； （2，1，－1）+μ2（1，－1，1）=（1，5，-5）
222
2
2113
155
2
μμμμ+--+∴
==?=-- 所求交比为 122
3
μμ∴=-
5、设P 1,P 2,P 4三点的坐标为（1，1，1）,（1，－1，1）,（1，0，1）且（P 1P 2, P 3P 4）=2,求点P 3的坐标。
解：以 P 1，P 2为基底，则（1，1，1）+μ2（1，－1，1）∝（1，0，1）。
222
21111101
μμμμ+-+∴
==?= 设μ1是基底P 1，P 2表示P 3的参数，由已知条件（P 1P 2, P 3P 4）=
1
2
2μμ=，且μ2=1，
∴μ1=2，因此，P 3的坐标为（1，1，1）+2（1，-1，1）=（3，-1，3）。
6、设A 、B 、C 、D 为共线四点，O 为CD 的中点，且OC 2=OA·OB ，证明（AB ，CD ）=-1
证明：∵OC 2=OA·OB OC OB OA OC ?
=，由合分比得OC OA OB OC
OC OA OB OC
--=
++ 因此,AC CB
OA OD OB OD =--（∵OC=－OD ）
1(,)1AC CB AC BD AB CD DA DB AD BC
??=?=-=-?，即：，
7、设A 、B 、C 、D 成调和点列，即(AB ，CD)=－1，求证 1111
().2CD CA CB
=+ 证明：由假设得：(AB ，CD)1AC BD
AD BC
?=
=-????AC BD+BC AD=0 (1)
∵BD=CD －CB, AD=CD －CA,代入（1）式得 AC （CD －CB ）+BC （CD －CA ）=0，
化简得： AC·CD －AC·CB+BC·CD －BC·CA=0，
－CA·CD+CA·CB －CB·CD+CB·CA=0
2CB·CA=CA·CD+CB·CD （2）
以CA·CB·CD 除（2）式两边，得：1111
().2CD CA CB
=+
8、证明在X 轴上由方程a 11x 2+2a 12x+a 22=0和b 11x 2+2b 12x+b 22=0之根所决定的两个点偶成调和分割的充要条件是a 11b 22－2a 12b 12+a 22b 11=0。
证明：必要性，设两方程的根依次是x 1,x 2和x 3，x 4，则
x 1+x 2=12112a a -，x 1·x 2= 2211a
a
x 3+x 4=12112b b -，x 3·x 4= 2211
b
b （1）
若 (x 1x 2，x 3x 4)=－1，即13241423()()
1()()
x x x x x x x x --=---
有（ x 1－x 3）（ x 2－x 4）+（ x 1－x 4）（x 2－x 3）=0，
2（x 1x 2＋x 3x 4）－（x 1＋x 2）（x 3＋x 4）=0， （2）
将（1）代入（2），得：22221212111111112240b a a b
b a a b +-=
∴a 11b 22+a 22b 11-2a 122b 12=0。
充分性，以 1111
2
a b 乘a 11b 22+a 22b 11－2a 12b 12=0的两边，得
2222121211111111
22220b a a b
b a a b +-?=
将（1）代入上式后按必要性步骤倒推即得：(x 1x 2，x 3x 4)=－1。
9、试证四直线2x －y+1=0,3x+y －2=0, 7x －y=0,5x －1=0共点，并顺这次序求其交比。 证明：以2x －y+1=0和3x+y －2=0为基线表示 7x －y=0，5x －1=0， ∵7x －y=0与（2x －y+1）+λ1（3x+y －2）=0重合，
∴11117101
;231122
λλλλ-==?=+-+-
∵5x －1=0与（2x －y+1）+λ2（3x+y －2）=0重合.
∴22225011,23112λλλλ-==?=+-+- 所求交比为121
2
λλ=，由于交比存在，所以四直线共点。
10、试证，一角的两边和它的内外分角线成调和线束。 证明：设直线c 、d 是a 、b 为边的角的内外分角线， 以直线1截a 、b 、c 、d 分别于A 、B 、C 、D
∵（AB ，CD ）AC BD AC BD AD BC CB AD ?=
=-??1SA SB
SB SA
=-?=- ∴（ab ，cd ）=（AB ，CD ）=－1。
11、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，证明 A （BD ，CE ）=－1。
证明：设AC×BD=O ，AE×BD=P ∞（图7），
因此A （BD ，CE ）=（BD ，OP ∞）
=（BDO ）1BO
DO
=
=-
12、AB 为圆之直径，C 为直径延长线上一点，从C 向圆引切线CT ，证明T 在AB 上的
垂直射影D 是C 对于A 、B 的调和共轭点，若C 在线段AB 本身上，如何作它的调和共轭点？
证法1：设O 是AB 的中点，∴OT ⊥CT ，TD ⊥AB ∴OT 2=OD·OC ，即OA 2=OD·OC ，
由本章6题结论得（AB ，CD ）=－1。
证法2：∠ATD=∠ATE ，∠DTB=∠BTC ， ∴TB ，TA 是∠DTC 的内外分角线（图8），
因此（AB ，CD ）=T （AB ，CD ）=－1。
如果C 在线段AB 内部，过C 作CT ⊥AB 交圆于T ，过T 作圆的切线交AB 的 延长线于D ，则A ，B 调和分割C ，D ，因为当C 确定后，T 也确定，所以点D 唯一确定。
13、设两点列同底，求一射影对应使0，1，∞分别变为1，∞，
8
图6
图
7图
解：设第四对对应点为x ，x'，由于射影对应保留交比不变，
所以（01,∞x ）=（1∞，0x'）
由交比性质得：（10，x∞）=(0x'，1∞) ，即：（10x ）=（0x'1）， 展开得：011101
,1011011x x x x x
--'=?==≠'----且
14、设点列上以数x 为笛氏坐标的点叫做x ，试求一射影对应，使点列上的三点1,2,3
对应于点列上三点：
（1）4,3,2；（2）1,2,3；（3）－1,－2,－3. 解：设第四对对应点x ，x'， （1）∵（12，3x ）=（43，2x'） 152(2)2(3)
,5,1001(1)1(4)
x x x x x x -'---'?
=∴=-+=-≠'---且
（2）∵（12,3x ）=(12,3x')，∴x'=x 为恒等变换，10
1001=≠且
（3）∵（12,3x ）=（-1-2，-3x'），∴x' = - x 10
1001
-=-≠且
15、当射影对应使一点列上的无穷远点对应于另一点列上的无穷远点时，证明两点列的 对应线段成定比。
证法1：∵三对对应点A→A' ，B→B'，C ∞→C'∞，决定射影对应，
设M→M'为任一对对应点，则由（AB ，C ∞M ）=（A'B'，C'∞M'）得： （ABM ）=（A'B'M'），
即A M AM A M B M A M B M A B B M BM
AM
BM
AM BM
AB
''''''''''''-=?====''
-定比。
证法2：射影变换式为；0a b ax b x c d cx d
+'=≠+且,b
a x x d c x
+
'=
+
或：
因为当x→∞时，x'→∞，所以c=0。
此时射影变换式为：ax b x d
+'=
，或dx'－ax －b=0。
设x 1→x 1'，x 2→x 2' 为两对对应点，因此 dx 1'－ax 1－b=0 ① dx 2'－ax 2－b=0 ②
①式减②式，得d(x 1'－x 2')=a(x 1－x 2) 1
212x x a x x d
''-?
==-定比。
16、圆周上的点和其上二定点相联得两个线束，如果把线束交于
圆周上的两线叫做对应直线，证明这样的对应是射影的。
证明：设A ，A'为圆周上二定点，M i （i=1，2，3，4）为圆周上
任意四点（图9）
9
图
∵A （M 1M 2，M 3M 4）=
1324
1423
sin sin sin sin M AM M AM M AM M AM ∠?∠∠?∠
= 13241423
sin sin sin sin M A M M A M M A M M A M ''∠?∠''∠?∠ =A'（M 1M 2,M 3M 4） 。
∴A'（M 1M 2,M 3M 4∧A'（M 1M 2,M 3M 4）
17、从原点向圆（x －2）2+(y －2)2=1作切线t 1,t 2。试求x 轴，y 轴，t 1,t 2顺这次序的交比。（设t 1是邻近x 轴的切线）
解： 设直线y=kx
1=，两边平方得：2
3830k k -+=，
解得：k 1,2
=
∵t 1邻近x 轴，∴t 1的斜率为k 1
t 2的斜率为k 2
=
因此t 1的方程为y
－43-x=0，t 2的方程为y
－43，
故（xy ，t 1,t 2）=12k k
18、设点A （3，1，2），B （3，-1，0）的联线与圆x 2+y 2－5x －7y ＋6=0相交于两点C
和D ，求交点C ，D 及交比（AB ，CD ）。
解： 圆方程齐次化：x 12+x 22－5x 1x 3－7x 2x 3+6x 23=0, 设直线AB 上任一点的齐次坐标是
（3+3λ，1－λ，2），若此点在已知圆上，则
（3+3λ）2+（1－λ）2 －5（3+3λ）2－7（1－λ）2+6×22 =0， 化简得：10λ2－10=0， ∴λ1=1，λ2=-1，即直线AB 与圆有两个交点，
设λ1，λ2分别对应的交点是C ，D ，则C 的坐标是（3,0,1），D 的坐标是（0,1,1） 且（AB ，CD ）=
1
2
λλ=-1. 19、一圆切于x 轴和y 轴，圆的动切线m 交两轴于M 及M'，试证｛M ｝∧｛M'｝。 证明：设圆半径为r ，M （a,0），M'（0，b ），a ，b 为参数（图10），
则m 的方程为1x y
a b +
=或bx+ay-ab=0，由于m 与圆相切，
因此r =
得r 2a 2+r 2b 2+a 2b 2+2abr －2a 2br －2b 2ar ＝a 2r 2＋b 2r 2, 或 ab －2ra －2rb+2r 2=0
22
122022r
r r r
-=-≠-
∴点M ，M'的参数间有一个行列式不等于零的双一次函数， 故｛M ｝∧｛M'｝。
10
图
20、x 表直线上点的笛氏坐标，这直线上的射影变换x x x αβ
γδ
+'=
+,δα－βγ≠0,在什么条件下以无穷远点作为二重点。 解：设x=x'是无穷远点，因此
lim x x →∞ = lim
x x x
β
αδγ→∞+
+
= 0αγγ
=∞?= 所以，以无穷远点作为二重点的射影变换是
,,.x x ax b a b αβαβ
δδδ
+'=
=+==其中
21、设两个重迭一维射影几何形式有两个二重元素 S 1、S 2 ，证明它们之间的对应式
可以写作11
22S S k
S S μμμμ'--='--,k 是个常数。 证明：已知S 1→S 2，S 2→S 2，设μ1→μ'1是第三对对元素，μ→μ'是任一对对应元素，
因为三对对应元素确定唯一射影对应，
∴（S 1S 2 ，μ1μ'）=（S 1S 2 ，μ1'μ'），因而
112112112112()()()()
()()()()
S S S S S S S S μμμμμμμμ''----=
''---- 111121111
1221211221211()()()()()()(),()()()()()()()
S S S S S S S k S S S S S S S μμμμμμμμμμμμμμ'''-------=?='''-------故：其中k= =
22、设S 1，S 2是对合对应的二重元素，证明这对合可以写作:
11
22
0S S S S μμμμ'--+='-- 证明：设μ→μ'是对合对应下任一对对应元素，从而（S 1S 2 ，μμ'）=-1，即
12211S S S S μμμμ'--?=-'--或11
22
S S S S μμμμ'--=-
'-- ∴1122
0S S S S μμμμ'--+='--
23、一直线上点的射影变换是x'=
32
4
x x ++，证明这直线上有两点保持不变，且这两点跟任意一对对应点的交比为一常数。 证明：设固定点为 x=x' ，所以
x(x+4)=3x+2，即x 2+x －2=0，解得固定点为x= -2 和x=1 设任一对对应点为x ，
32
4x x ++ ， 交比：（1，—2，x 324x x ++）= 5(1)(2)5
()2(2)(1)2
x x x x -+?=+-常数
24、试证对合对应的二线束中，一般只有一对互相垂直的对应直线，若有两对互垂的对
应直线，则每对对应直线都互垂。
证明：取二线束公共顶点为原点，取对应线的斜率为λ、λ'，则对合方程为
aλλ'+b(λ+λ')+d=0, 且ad －b 2≠0，互垂对应线应满足λλ'=－1，
所以{
()01
a b d λλλλλλ''+++='=-222()0(1)()40b a d b a d b λλ?---=?=-+> 所以当方程（1）有两个不等实根λ1，λ2时，只有一对互垂对应线，
这是因为λ1λ2=－b b
=－1,因而λ1'= 11λ-=λ2，λ'2=2
1
λ-=λ1。
当方程（1）有两个相等实根时，必须a －d=0，b=0，这时对合变为λλ'=－1，
每对对应线都互垂。
25、设A ，A'；B ，B'；C ，C'是对合的三对对应点，试证（ABC'）（BCA'）（CAB'）=1。 证明：由对合对应的相互交换性，有A→A'，B→B'，A'→A ，C'→C ，
所以（AB ，A'C'）=（A'B'，AC ）， 于是得
1AA BC A A B C BC B C AC BA CB AC BA A C B A AC BA A C B A BC CA AB '''''''''
??=?=-???='''''''''''
????
∴（ABC'）（BCA'）（CAB'）=1
26、AB 是定圆直径，作一组圆使其中心都在直线AB 上并且都跟定圆正交，证明这
组圆跟直线AB 的交点构成一个双曲对合。
证明：设圆O'是与定圆O 正交的任一圆，T 为一个交点，且圆O'与直线AB 交于点和
P'（图11）
已知OT ⊥O'T ，∴OT 2=OP·OP'，即 OA 2=OB 2=OP·OP'。
∴点P ，P'是以A ，B 为二重元素，O 为中心的双曲对合 的一对对应点。
27、O 是笛氏正交坐标的原点，A 是y 轴上一定点，以A 为顶点的直角绕A 旋转，证
明直角两边被x 轴所截的点偶构成一个椭圆型对合。
证明：设直角边交x 轴的任意两个位置为A 1，A 2；B 1，B 2（图12）
设OA 2=k ，则OA 1·OA 2=OB 1·OB 2=OA 2=k ，
因为A 1，A 2；B 1，B 2在x 轴上的位置为一正一负， 故OA 1·OA 2=OB 1·OB 2＜0，
因而A 1，A 2；B 1，B 2，……在x 轴上构成椭圆型对合
第四章 代沙格定理、四点形与四线形
1、 设△ABC 的顶点，A ，B ，C 分别在共点的三直线α，β，γ上移动，
11
图12
图
且直线AB和BC分别通过定点P和Q，求证CA也通过PQ
上一个定点（图13）。
证：设A0是α上的一个定点，A O P交β于B0，B0Q交γ于C0，
则A0C0是定直线（图13）。若R是定直线A0C0与定直线PQ
的交点，从而R是PQ上的定点，若△ABC是合于条件的，
因为在△ABC及△A0B0C0中，A0A，B0B，C0C共点，
根据代沙格定理，P，Q及A0C0×AC共线，即AC通过A0C0×PQ=R（定点）。
2、△ABC的二顶点A与B分别在定直线α和β上移
动，三边AB，BC，CA分别过共线的定点P，Q，
R，求证顶点C也在一定直线上移动。
证：设α×β=0（定点），△A0B0C0是满足条件的定三角形，
△ABC是满足条件的任意三角形。
∵A0B0×BC=Q，A0C0×AC=R。由代沙格定理逆定理得，
三线A0A，B0B，C0C共点O，即C在定直线C0O上移动（图14）。
3、设P，Q，R，S是完全四点形的顶点，A=PS×QR，B=PR×QS，
C=PQ×RS，
证明A1=BC×QR，B1=CA×RP，C1=AB×PQ三点共线。
证：在△ABC及△PQR中（图15），∵AP，BQ，CR共点S。
∴对应边的交点C1=AB×PQ，B1=CA×RP，A1=BC×RQ三点共线。
4、已知线束中的三直线a，b，c求作直线d使（ab，cd）=－1。
解：设线束中心为S，以直线1分别截a,b，c于A，B，C
在直线c上
任意取一点Q，联AQ交d于R，联BQ交a于P，联
PR与1交于D （图16），则直线SD为所求。
因为，SPQR构成一完全四点形，∴（AB，CD）=－1，
从而（ab，cd）=（AB，CD）=－1。
14
图
15
图16
图
5、 设AD ，BE ，CF 为△ABC 的三高线，EF×BC=D'，求证（BC,DD'）=－1，
在等腰三角形AB=AC 的情况，这命题给出什么结论？
证明：设P 为△ABC 的垂心，由完全四点形
AFPE （图17）的性质， 得（BC ，DD'）=－1。
在等腰△ABC 中，若AB=AC ，D 为垂足， 因而D 为BC 的中点。∵（BC ，DD'）=－1， 所以D'为BC 直线上的无穷远点，
因而FE ∥BC 。 即在等腰三角形中，底边的顶点到两腰的垂足的联线平行于底边。
第五章射影坐标系和射影变换
1、将一维笛氏坐标与射影坐标的关系：,0(1)x x αβ
λαδγβγδ
+=
-≠+以齐次坐标表达。 解 设一维笛氏坐标系中，一点的坐标为x ，则齐次坐标为（x 1，x 2），且x ＝12
x
x ，
一点的射影坐标为λ，齐次坐标为（λ1,λ2）且λ=12
λ
λ，将λ和x 代入关系式（1）
有112122
x x x x αβλλγδ+=+，化简得：12
12121(0)x x x x λλραβγδρ==≠++令
∴112
212
0x x x x αβρλαβρλγδγδ=+?≠?=+?且
为齐次变换式。
2、在直线上取笛氏坐标为 2，0，3的三点作为射影坐标系的A 1,A 2, E ，(i)求此直线上任
一点P 的笛氏坐标x 与射影坐标λ的关系；（ii ）问有没有一点，它的两种坐标相等？
解：笛氏坐标 0 ． 2． 3． x ． 射影坐标： A 2 A 1 E λ
（i ）由定义 λ=（A 1A 2，EP ）=（2 0，3x ）=
(32)(0)(2)(30)36
x x
x x --=
--- 10603636
x
x λ=
=≠-故：，且
(ii) 若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有36
x
x x =
-，即3x 2－7x=0， 17
图
∴当x=0及x=7
3
时两种坐标相等。
3、在二维射影坐标系下，求直线A 1E ，A 2E ，A 3E 的方程和坐标。
解：坐标三角形顶点A 1（1，0，0）,A 2（0，1，0）,A 3（0，0，1）和单位点E （1，1，
1） 设P （x 1，x 2，x 3）为直线A 1E 上任一点，其方程为：123
1000111
x x x =
即x 2－x 3=0，线坐标为（0，1, －1）
直线A 2E 的方程为：1
23
100111x x x =，即x 1－x 3=0，线坐标为（1，0，－1）
； 直线A 3E 的方程为：1
23
0101
1
1
x x x =，即x 2－x 1=0，线坐标为（－1，1，0）
4、写出分别通过坐标三角形的顶点A 1，A 2，A 3 的直线方程。 解：设平面上任意直线方程为
u 1x 1+u 2x 2+u 3x 3=0，过点A 1(1，0，0)时u 1=0，即为u 2x 2+u 3x 3=0 ， 过点A 2(0，1，0)时u 2=0，即为u 1x 1+u 3x 3=0 ，
过点A 3(0，0，1)时u 3=0，即为u 1x 1+u 2x 2=0 。
5、取笛氏坐标系下三直线x －y=0，x+y －1=0，x －2=0分别作为
坐标三角形的边A 2A 3，A 3A 1，A 1A 2，取E （31
,22
）为单位点， 求一点的射影坐标（x 1，x 2，x 3）与笛氏坐标（x ，y ，t ）的关系。
解：E （31,22），∴e 1
e 2
，e 3=12-。（图18）
任意一点M （x ，y ）到三边的距离为： ρ1
ρ2
= ，ρ3= 21x -
∴射影坐标（x 1，x 2，x 3）与笛氏坐标的关系为： ρx 1=
11e ρ=x －y ，ρx 2=22e ρ
=x+y －t ，ρx 3=33
e ρ=－2x+4t 即： 123110,,1116024204
x x y x x y t x x t ρρρ-=-??=+--=≠??=-+?-且
18
图
6、从变换式 112321233
123,,(1)x x x x x x x x x x x x ρρρ'=-++??'=-+??'=+-?求出每一坐标三角形的三边在另一坐标系下的方程。 解： △A 1'A 2'A 3'三边，A 1'A 2'：x'3=0；A 1'A 3'：x'2=0；A 2'A 3'：x'1=0。
从变换式（1）可求得△A 1'A 2'A 3'的三边在坐标系△A 1A 2A 3下的方程：
A 1'A 2'的方程为：x'3=0，即x 1+x 2－x 3=0；
A 1'A 3'的方程为：x'2=0，即x 1－x 2+x 3=0。 A 2'A 3'的方程为：x'1=0，即－x 1+x 2＋x 3=0。
由（1）可求出逆变换式为：12
3213312
,,(2)x x x x x x x x x μμμ''=+??''=+??''=+? △A 1A 2A 3的三边，A 1A 2：x 3=0；A 1A 3：x 2=0；A 2A 3：x 1=0。
从变换式（2）可求得△A 1A 2A 3的三边在坐标系△A 1'A 2'A 3'下的方程： x'1+x'2=0，即A 1A 2的方程。
x'1+x'3=0，即A 1A 3的方程。 x'2+x'3=0，即A 2A 3的方程。
7、若有两个坐标系，同以△A 1A 2A 3为坐标三角形，但单位点不同，那么两种坐标间的
转换式为何？
解：设变换式为： 1
11112213322112222333
311322333,,0ij x a x a x a x x a x a x a x a x a x a x a x ρρρ'=++??'=++≠??'=++?
已知（1,0,0）→（1,0,0）,（0,1,0）→（0,1,0）,（0,0,1）→（0,0,1）分别代入变换式
得
ρ1=a 11，a 21=0，a 31=0； ρ2=a 22，a 12=0，a 32=0；ρ3=a 33，a 13=0，a 23=0
故有 111122221122333333,,0ij x a x x a x a a a a x a x ρρρ'=??'==≠??'=? 又（1,1,1）→（a,b,c ） ∴112233
,
,a a b a c a ρρρ=??=??=?即a ：b ：c = a 11：a 22：a 33
故变换式为：1
1223
3,,0ij x ax x bx a abc x cx ρρρ'=??'==≠??'=?
8、在拓广欧氏平面上求平移 ,
x x a y y b '=+??'=+?
的二重元素。
解：设x=13x x ，y=23
x x ，则有1
132233
3,,x x ax x x bx x x ρρρ'=+??'=+??'=?
（1）求二重点：()3
100
10100
1a b μ
μμμ
--=-=-由得，即μ=1为三重根。
将μ=1代入方程组：13233(1)0
(1)0
(1)0
x ax x bx x μμμ-+=??-+=??-=?解得：30x =
所以在有限欧氏平面上，在平移变换下无二重元素，
在拓广欧氏平面上，1∞上的所有点（ x 1，x 2，0）皆为二重点。 （2）求二重直线： λ=1为三重根。 将λ=1代入方程组：12123(1)0(1)0(1)0
u u au bu u λλλ-=??-=??++-=?得u 1，u 2可取任意数，且au 1+bu 2+0u 3=0
所以二重直线是通过点（a ，b ，0）的一切直线，即以b
a
为斜率的平行线束及无穷远线，这平行线束即平移方向的直线集合。
9、求射影变换11223
3,,(1)x x x x x x ρρρ'=-??'=??'=?的二重元素。 解：（i ）求二重点：二重点（x 1，x 2，x 3）应满足123(1)0
(1)0(2)(1)0
x x x μμμ--=??-=??-=?
()()2
100
010*******μμμμμ
---=---=-由得，∴μ1=1为二重根，μ2=－1为单
根。
将μ1=1代入（2）式得x 1=0，x 2，x 3为任意数，所以二重点为（0，x 2，x 3），
但x 2，x 3不同时为零，此为坐标三角形的边x 1=0上的一切点；
将μ2=－1代入（2）式得二重点（x 1，0，0），此为坐标三角形的顶点A 1（1，0，
0）。
（ii ）求二重直线： λ1=1及λ2=－1，
将λ1=1代入123(1)0
(1)0(3)(1)0
u u u λλλ--=??-=??-=?得二重直线u 1=0，即过A 1（1，0，0）的一切直
线；
将λ=－1代入（3）得二重直线x 1=0，为坐标三角形的边A 2A 3。
10、求射影变换112223
3,,(1)x x x x x x x ρρρ'=+??'=??'=?的二重元素。
解：（i ）求二重点：（x 1，x 2，x 3）满足1223(1)0
(1)0
(2)(1)0
x x x x μμμ-+=??-=??-=? ()3
110
010010001μμμμ
--=-=-由得，有三重根μ=1，
将μ=1代入（2）式得二重点为x 2=0, 即坐标三角形的边A 1A 3上所有的点。 （ii ）求二重直线：λ=1为三重根，
将λ=1代入1123(1)0
(1)0(3)(1)0u u u u μμμ-=??+-=??-=?得u 1=0, u 2, u 3为任意数，
即二重直线为以A 1(1,0,0)为中心的线束。
11、求射影变换1122123
1234,63,(1)x x x x x x x x x x ρρρ'=-??'=-??'=--?的二重元素。 解 （i ）求二重点：二重点（x 1，x 2，x 3）满足1212123(4)0
6(3)0
(2)(1)0
x x x x x x x μμμ--=??+--=??-+--=? 410
63001
1
1μμμ
----=---由，得(μ+1) (μ+2) (－μ+3) = 0，所以特征根μ=-1，-2，3。
取μ=－1代入（2）得二重点为（0，0，x 3）即（0,0,1），
取μ=－2代入（2）得二重点为（1，6，5），
取μ=3 代入（2）得二重点为（1，1，0）。
（ii ）求二重直线：特征根λ=－1，－2，3。
取λ=－1代入1231233(4)60
(3)0(3)(1)0u u u u u u u λλλ--+=??-+---=??--=? 得二重直线为（1，－1，－1）
取λ=－2代入（3）得二重直线为（1，－1，0）
取λ=3 代入（3）得二重直线为（－6，1，0）。
12、证明射影变换1122233
3,,(1)x ax x x ax x x ax ρρρ'=+??'=+??'=? 只有一个二重点及通过该点的一条二重直线。 证：若有二重点（x 1，x 2，x 3）则满足12233()0
()0(2)()0
a x x a x x a x μμμ-+=??-+=??-=?
310010)000a a a a μμμμ
--=-=-由，得(，即μ = a 为三重根，
将μ = a 代入（2）得二重点为（1，0，0）。
若有二重直线（u 1，u 2，u 3），得λ=a 为三重根，
将λ=a 代入11223()0
()0()0a u u a u u a u μμμ-=??+-=??+-=?，得二重直线为（0，0，u 3）即x 3=0，
所以二重直线A 1A 2通过二重点A 1（1，0，0）。
13、（i ）求变换：x'=
21x x -，y'=21
y
x -的二重点。 （ii ）设O 为原点，P 为直线x=1上任一点，m'为直线OP 上一点M 的对应点， 求交比（OP ，MM'）；
（iii ）从这个交比得出什么结论？解出逆变换式以验证这结论。
解（i ）求二重点：
由题设有x=
21x
x -，解出x=0, 1。 y=21
y x -，化简为：y(2x －2)=0，所以x=1时，y 为任何值都行， 故二重点为（0，0）及直线x=1上的任意点。
（ii ）交比（OP ，MM'）=（01，xx'）=（0 1，x 21
x
x -）=－1. (iii) 从原变换求其逆变换： x' =
21
x
x -→ x=21x x ''-；
y' =21
y
x -→ y=21y x ''-
所以在每条直线OP 上有一个对合对应，对合的两个二重点是原点及P 点。
14、求证1
111()
RST T S R ----=这里的R ，S ，T 表示变换。
证：设A'=T （A ），A"=S （A'），A"'=R （A"）， ∴ A'''=(RST)（A ），则（RST ）-1（A"'）=A 。
而R -1（A"'）=A"，S -1（A"）=A'，T -1（A'）=A ∴1
111()RST T S R ----=
15、证明直线上非奇异射影变换11121111122
2
2112222122,0a a x a x a x A x a x a x a a ρρ'=+?=≠?'=+?构成群。
证：设T ：11121111122
2
2112222122,0a a x a x a x A x a x a x a a ρρ'=+?=≠?'=+?，
S ：11121111
1222
2112222122,0b b x b x b x A x b x b x b b ρρ'''''=+?'=≠?
'''''=+?，
所以S·T ：1112111211121111122
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211222212221222122,0c c a a b b x c x c x D x c x c x c c a a b b ρρ''''=+?==?≠?
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《高等几何》考试试题A 卷(120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1 平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。
数学与应用数学专业《高等几何》试卷B 一、 填空题（2分?12=24分） 1、仿射变换的基本不变性与不变量有 同素性、结合性、简比不变、保持平行性 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 32221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程 063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E , D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,, E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ， B A ''属于同一条二级曲线（ C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
（0464）《高等几何》复习大纲 仿射坐标与仿射变换 一、要求 1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。 二、考试内容 1.单比的定义和求法。 2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。 射影平面 一、要求 1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。 2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。 3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。 4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。 5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。 二、考核内容 1.中心投影与无穷远元素：中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。 2.笛萨格（Desargues）定理：应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。 3.齐次点坐标：齐次点坐标的计算及其应用。 4.线坐标：线坐标的计算及其应用。 5.对偶原则：作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。 射影变换与射影坐标 一、要求 1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。 2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。 3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。 4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。 5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。 二、考试内容 1.交比与调和比：交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。 2.完全四点形与完全四线形：完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。 3.一维基本形的射影对应：一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。。 4.二维射影变换 5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。 6.射影坐标：一维射影坐标、二维射影坐标。 7.一维、二维射影变换的不变元素：求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。 变换群与几何学 一、要求 1.了解变换群的概念。 2.理解几何学的群论观点。 3.弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象。 二、考试内容 1.变换群与几何学的关系。 2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。 二次曲线的射影理论 一、要求 1.掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置，二阶曲线的切线，二阶曲线与二级曲线的关系。2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。 3.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。 4.了解二阶曲线的射影分类。 二、考试内容 1.二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程。 2.应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题，解决相在的作图问题。 3.二阶曲线的射影分类。 二次曲线的仿射性质和度量性质 一、要求和考试内容 1.掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。
高等几何试题 一、填空题（每题3分，共27分） 1、 两个三角形面积之比是（ ）。 2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。 3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。 4、一点123(,,)x x x x =在一直线[]123,,u u u u =上的充要条件是 （ ）。 5、 已知1234(,)3p p p p =,则4321(,)p p p p =（ ），1324(,)p p p p =（ ）。 6、 如果四直线1234,,,p p p p 满足1234(,)1p p p p =-，则称线偶34,p p 和12,p p （ ）。 7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是 （ ）。 8、 不在二阶曲线上的两个点P 123()p p p ，Q 123()q q q 关于二阶曲线 0ij i j S a x x ≡=∑成共轭点的充要条件是（ ）。 9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。 二、计算题（每题8分，共56分） 1、 计算椭圆的面积（椭圆方程：22 221x y a b += ,0a b >） 2、 求共点四线11:l y k x =，22:l y k x =，33:l y k x =，44:l y k x =的交比。 3、 求射影变换11 2233x x x x x x ρρρ?'=-?? '=?? '=?? 的不变元素。 4、 求二阶曲线22212323624110x x x x x --+=经过点(1,2,1)P 的切线方程。
5、 求双曲线2223240x xy y x y +-+-=的渐近线方程。 6、 求抛物线22242410x xy y x ++-+=的主轴和顶点。 7、 求使三点(0,)O ∞，(1,1)E ，(1,1)P -顺次变到点(2,3)O '，(2,5)E '， (3,7)P '- 的仿射变换。 三、已知(1,2,3)A ，(5,1,2)B -，(11,0,7)C ，(6,1,5)D ，验证它们共线并求 (,)AB CD 的值。 （8分） 四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条 二阶曲线。（9分）
《高等几何》试题（１） 1.试确定仿射变换，使y 轴，x轴的象分别为直线x y 1 0 ， x y 1 0 ，且点（1，1） 的象为原点 .( 15 ) 2.利用仿射变换求椭圆的面积 .( 10 ) 3. 写出直线3x x x 轴,y10 2x +2-3=0,轴 , 无穷远直线的齐次线坐标.() 1 4.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 5.已知A(1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5),验证它们共线,并求(AB, CD)的值.( 8 ) 6.设P(1,1,1),P (1,-1,1),P (1,0,1)为共线三点,且(P P , P P)=2,求P的坐标.(12) 124 1 2 3 43 7.叙述并证明帕普斯 (Pappus) 定理 .( 10 ) 8.一维射影对应使直线 l 上三点 P (-1),Q(0),R (1)顺次对应直线 l上三点P (0),Q(1), R (3),求这个对应的代数表达式.( 10 ) 9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 ) 《高等几何》试题（２） 1. 求仿射变换x 7 x y 1, y4x 2 y 4 的不变点和不变直线. (15 ) 2.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 3.求证 a (1,2,-1) ,b(-1,1,2), c (3,0,-5)共线 , 并求l的值 , 使 c i la i mb i(i 1,2,3). (10) 4.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2x3 0 ， x1x2 x3 0 ， x10 ，且 (l1 l2 , l3 l 4 )2 l 2的方程.(15)，求 3 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 ) 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应 . ( 10) 7. 求两对对应元素 , 其参数为1 1 ,02, 所确定对合的参数方2
某高校《高等几何》期末考试试卷 (120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1、平行四边形的仿射对应图形为: 平行四边形 ; 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。(10分) 证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A ' ' AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所 以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0,13x +2x -32x =0, 17x -2x =0,15x -3x =0, 求证四直线共点,并求(1l 2l ,3l 4l )的值。(10分) 解:因为 1 7213 112---=0且1 5 01 7213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x 轴(2x =0)的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(- 21,0),B(32,0),C(0,0),D(5 1,0), 所以 (1l 2l ,3l 4l )=(AB,CD)= ) 2 151)(320() 32 51)(210(+--+=21 五、求两对对应元素,其参数为12 1 →,0→2,所确定的对合方程。(10分) 解 设所求为 a λλ'+b(λ+λ')+d=0 ①
浙江省2002年4月高等教育自学考试 高等几何试题 课程代码：10027 一、填空题(每空2分，共20分) 1._______，称为仿射不变性和仿射不变量. 2.共线三点的简比是_______不变量. 3.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一_______. 4.点坐标为(1，0，0)的方程是_______. 5.u u 1222- =0代表点_______的方程. 6.已知共线四点A 、B 、C 、D 的交比(AB ，CD)=2，则(CA ，BD)=_______. 7.对合由_______唯一决定. 8.二阶曲线就是_______的全体. 9.证明公理体系的和谐性常用_______法. 10.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_______直线. 二、计算题(每小题6分，共30分) 1.求直线x -2y+3=0上无穷远点的坐标。 2.求仿射变换 '=-+'=++??? x x y y x y 71424 的不变点. 3.求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比. 4.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束 x 1-λx 3=0与x 2-'λx 3=0 ('λ=λλ-+12 )所决定的. 5.求二次曲线2x 2+xy -3y 2+x -y=0的渐近线. 三、作图题(每小题6分，共18分) 1.给定点A 、B ，作出点C ，使(ABC)=4. 作法： 2.过定点P ，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点. 作法：
3.如图，求作点P关于二次曲线Γ的极线 作法： 四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分) 1.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PS×QR,B=PR×QS,C=PQ×RS,证明A1=BC×QR,B1=CA×RP, C1=AB×PQ三点共线. 证明： 2.过二次曲线的焦点F，引两条共轭直线l,l′，证明l⊥l′. 证明： 3.将△ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形(图甲)，求证它的三双对顶连线共点。 证明(按以下程序作业)： 第一步：将△ABC仿射变换为等边△A′B′C′(图乙)，为什么这样变换存在? 第二步：在图乙中，画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。第三步：证明：变换后的相应命题成立。这样原来命题也就成立，为什么?
某高校《高等几何》期末考试试 卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程
063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得，
1 浙江省2018年7月自学考试高等几何试题 课程代码：10027 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在三角形的以下性质中是仿射性质的是( ) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 2.以下四条直线中所含的无穷远点与其他三条不同的是( ) A.x y x y 121)1(2+=++ B.11)(2=++x x y C.x +2y =0 D.过点(1,3),(3,2)的直线 3.已知A ,B ,C ,D 四点是调和点列，任意调整它们次序后所得交比不会出现的是( ) A.1 B.2 C.-1 D. 2 1 4.椭圆型射影对应的自对应元素是( ) A.两个互异的实元素 B.两个互异的虚元素 C.两个重合的实元素 D.两个重合的虚元素 5.唯一决定一条二阶曲线需无三点共线的( ) A.3点 B.4点 C.5点 D.6点 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.两点-3u 1+u 2+2u 3=0,2u 1-u 2+3u 3=0连线的坐标是_________. 7.若对合a μμ′+b (μ+μ′)+c =0是椭圆型的,则系数满足_________. 8.完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列,即这直线上的两个顶点和_________. 9.椭圆上四定点与其上任意第五点所联四直线的交比为_________.
2 10.平面上任一圆通过的两个固定点称为_________. 三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求使三点A (0,0),B (1,1),C (1,-1)变到三点A ′(1,1),B ′(3,1),C (1,-1)的仿射变换. 12.已知平面上有点A (2,1),B (4,2),C (6,-3),D (-3,2),E (-5,1),求A (BC ,DE ). 13.求射影变换式,使它的不变元素的参数是λ1=-1,λ2=3,并且使λ3=1变为3 λ'=0. 14.求射影变换??? ??--='-='-='3213 212 211 36 4 x x x x x x x x x x ρρρ的二重直线. 15.求两个成射影对应的线束x 1-λx 2=0，x 2-λ′x 3=0,(λ′= λ λ +1)所构成的二阶曲线的方程. 16.求二次曲线x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=0的中心. 四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）（第18题写出作法） 17.作出下列图形的对偶图形: 题17图 18.已知二阶曲线上五点A ,B ,C ,D ,E ,求作该曲线上点A 处的切线. 题18图 五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)
； 系 专业 班 学号 姓名 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 试卷类型： A 高等几何 使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共 6 页 题号 一 二 三 四 五 六 合计 得分 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1、设1P (1)，2P (-1)，3P (∞)为共线三点，则=)(321P P P 。 2、写出德萨格定理的对偶命题： 。 3、若共点四直线a,b,c,d 的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。 4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为： 。 5、二次曲线的点坐标方程为042 2 31=-x x x ，则其线坐标方程为是 。 二、 选择题（每小题2分，共10分） 1.下列哪个图形是仿射不变图形？( ) A.圆 B.直角三角形 C.矩形 D.平行四边形 2. 22 1122280u u u u +-=表示( ) A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点
B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点 C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点 D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点 3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( ) A.一次 B.两次 C.三次 D.四次 4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( )： A. 三角形的垂心 B. 梯形 C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D.椭圆 5.二次曲线按射影分类总共可分为( ) A.4类 B.5类 C.6类 D.8类 三、判断题（每小题2分，共10分） 1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。（） 2.两直线能把射影平面分成两个区域。（） 3.当正负号任意选取时，齐次坐标)1 ± ±表示两个相异的点。（） ,1 ,1 (± 4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此 射影变换一定是对合。（） 5.配极变换是一种非奇线性对应。（）
北京师范大学珠海分校 期末考试试卷 开课单位：应用数学学院课程名称：高等几何 任课教师：hj考试类型：闭卷考试时间：120分钟 学院___________班级____________姓名___________学号______________ 题号一二三总分 得分 阅卷人 试卷说明：（本试卷共4页，满分100分） ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 一、填空题：（每题4分，共20分.请把答案填在题中横线上.） 1．正交变换的基本不变量是.仿射变换的基本不变量是. 射影变换的基本不变量是.射影变换的基本不变形是. 2.若（P1P2，P3P4）=3，则（P1P2，P4P3）=.（P1P3，P2P4）=. （P2P3，P1P4）=.（P3P1，P2P4）=________. 3．两个射影点列成透视对应充要条件是. 两个射影线束成透视对应充要条件是. 4．“若两个完全四线形的五对对应顶点连线通过同一点，则其第六对对应顶点的连线也通过此点，其四对对应边交点必共线”的对偶命题 为 . 5．直线3x-y+3=0上无穷远点的坐标，其方程为. 二、作图题，要求写出简单步骤。（每题5分，共10分.) 1．做出下列图形的对偶图形.
2．已知两个射影点列的三对对应点，求作其他对应点。 三、计算题：要求写出主要计算步骤（每题10分，共60分) 1．已知四点A（1,2,3），B（5，-1,2），C（11,0,7），D（6,1,5），验证它们共线，并求（AB,CD）的值. 2．设直线l上的点P（-1），Q（0），R（1）经射影对应，顺次对应l’上的点 P’(0),Q’(1),R’(3)求射影对应式。.
某高校《高等几何》期末考试试卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1
二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB I C B ''=D AB I C A ''=E B A ''I BC=D ' B A ' 'I AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0， 13x +2x -32x =0, 17x -2x =0，15x -3x =0, 求证四直线共点，并求（1l 2l ,3l 4l ）的值。（10分） 解：因为
《高等几何》试题（１） 1. 试确定仿射变换，使y 轴，x 轴的象分别为直线01=++y x ，01=--y x ，且点（1，1） 的象为原点.(51') 2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(01') 3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01') 4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 5. 已知A (1,2,3),B (5,-1,2),C (11,0,7),D (6,1,5),验证它们共线,并求(CD AB ,)的值.(8') 6. 设1P (1,1,1),2P (1,-1,1),4P (1,0,1)为共线三点,且(4321,P P P P )=2,求3P 的坐标.(21') 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(01') 8.一维射影对应使直线l 上三点P (-1),Q (0),R (1)顺次对应直线l '上三点 P '(0),Q '(1),R '(3),求这个对应的代数表达式.(01') 9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(01') 《高等几何》试题（２） 1.求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51') 2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 3.求证a (1,2,-1) ,b (-1,1,2),c (3,0,-5)共线,并求l 的值,使 ).3,2,1(=+=i mb la c i i i (01') 4.已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ， 01=x ，且=),(4321l l l l 3 2 - ，求2l 的方程.(51') 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (01') 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应. (01') 7.求两对对应元素,其参数为12 1 → ,0→2,所确定对合的参数方
某高校《高等几何》期末考试试卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1
11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
《高等几何》练习题 一 、判断题 （ ）1、两个三角形的面积之比是仿射不变量。 （ ）2、变换群越大，它所对应的几何内容越丰富。 （ ）3、无穷远直线与二阶曲线没有交点。 （ ）4、一点的极线是其所有调和共轭点的轨迹。 （ ）5、三角形的三中线共点是仿射性质。 （ ）6、一直线的齐次线坐标唯一。 （ ）7、仿射变换把单位向量仍变为单位向量。 （ ）8、交比是射影不变量。 （ ）9、透视对应必是射影对应。 （ ）10、平面内不共线三点可以确定一条二阶曲线。 （ ）11、渐近线是二次曲线的自共轭直径。 二、填空题 1、 梯形的仿射图形是 。 2、 等边三角形的仿射图形是 。 3、 “点”与“ ”叫做平面上的对偶元素。 4、 设)8,1(),2 1,21(),2,1(C B A ---为共线三点，则=)(ABC 。 5、 已知点)1,0,1(),1,1,1(),1,1,1(=-==D B A 且2),(=CD AB ，则=C _________。 6、 四点)1,0,1(),3,1,3(),1,1,1(),1,1,1(4321P P P P --在同一直线上，则 =),(4321P P P P _________。 7、 无穷远直线的齐次方程为________________________________。 8、 012=++y x 上的无穷远点的坐标是 。 9、 直线]1,2,[i i -上的实点坐标为 。 10、 一点),,(321x x x x ≡在一直线],,[321u u u u ≡上的充要条件是 _________________。 11、 已知点A 的坐标)1,1,2(-及点P 的方程032321=++u u u ，则直线AP 的方 程为 。 12、 设二直线]3,1,2[],1,1,1[交点为A ，点P 的线坐标方程为032321=++u u u ， 则直线AP 方程为 。
《高等几何》试题（A ） 一、 填空题（每题3分共15分） 1、 是仿射不变量， 是射影不变量 2、 直线30x y +=上的无穷远点坐标为 3、 过点（1,i,0）的实直线方程为 4、 二重元素参数为2与3的对合方程为 5、 二次曲线2 2 611240x y y -+-=过点(1,2)P 的切线方程 二、 判断题（每题2分共10分） 1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ） 2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ） 3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边 （ ） 4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集 （ ） 5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ） 三、(7分)求一仿射变换，它使直线210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1,-1） 变为（-1，2） 四、（8分）求证:点(1,2,1),(1,1,2),(3,0,5)A B C --三点共线，并求,t s 使 ,(1,2,3)i i i c ta sb i =+= 五、(10分)设一直线上的点的射影变换是/ 32 4 x x x += +证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。 六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
七、（10分） （1）求点（5，1，7）关于二阶曲线222 123121323236240x x x x x x x x x ++---=的极线 （2）已知二阶曲线外一点P 求作其极线。（写出作法，并画图） 八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理 九、（10分）求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]a b -交点且属于二级曲线 222 123420u u u +-=的直线 十、（10分）已知,,,,A B P Q R 是共线不同点， 如果(,)1,(,)1,(,)PA QB QR AB PR AB =-=-求
《高等几何》考试试题A 卷（120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 32221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程 063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A ' ' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0，13x +2x -32x =0, 17x -2x =0， 15x -3x =0, 求证四直线共点，并求（1l 2l ,3l 4l ）的值。 （10分） 解：因为 1 7213 112---=0且1 5 01 7213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x 轴（2x =0）的交点顺次为 A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(- 21,0),B(32,0),C(0,0),D(51 ,0)， 所以 （1l 2l ,3l 4l ）=（AB ，CD ）= ) 2 151)(320() 3251)(210(+--+=21 五、求两对对应元素，其参数为12 1 →，0→2，所确定的对合方程。（10分）
一、填空题（每小题3分，共15分） 1 经过中心射影后图形的不变性质称作图形的 。 2 如果两直线有相同的无穷远点，则两直线 。 3 设p 是线段12,p p 的中点，则()12p p p = 。 4 以两条不同直线0α=，0β=的交点为顶点的线束中的任一直线的齐次坐标方程能够写作 。 5在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是 。 二、选择题（每小题3分，共15分） 1 仿射变换是射影变换。（ ） 2两共轭复直线的交点为一复点。（ ） 3 两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应。 （ ） 4 设四个不同的共线点中的三点及其交比值为已知，则第四点必唯一确定。（ ） 5射影平面上所有射影变换的集合构成群。（ ） 三、（10 分） 1 求点()3,4，()0,1，()2,0-，()0,0的齐次坐标。 2求直线310x y --=，123360x x x -+=上的无穷远点的齐次坐标。
四、（10分） 求对合的方程，这个对合的二重元素的参数为2与3。 五、（10分） 求射影变换 112 22 33 x x x x x x x ρ ρ ρ ?'=+ ? ?' = ? ?' = ?? 的不变点坐标.
六、（10分） 已知四点()13,1,2p -， ()21,3,1p ，() 32,2,3p --，()41,5,4p --，求 ()1234,p p p p
七、（15分） 证明圆上任一点与与圆内接正方形的四个顶点的连线组成调和线束。（即如图）求() EA EC EB ED=- ,1 E