高等代数习题库
第一章 行列式
1. 决定以下排列的反序数，从而决定它们的奇偶性. (1) 134782695 (2) 217986354 (3) 987654321
2. 如果排列12
1n n x x x x -的反序数为k ，排列1
21n n x x x x -的反序数是多少?
3. 写出4阶行列式中所有带有负号并且包含因子23a a 的项.
4. 按定义计算行列式
(1)
01000020
000
10
n n -; (2)
0010020
1
0000
00n n
-
5. 设 1
12111()32
11121
x x
f x x
x
-=
，不计算行列式，求展开式中3x 的系数.
6. 求
121
212
1
2
111222n n n
n
j j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑
，这里
12
n
j j j ∑
是对所有n 元排列求和.
7. 证明：
111111121212222122112
1()()()()()()()()()()
()()
()()
()
()()()
j n n n
n j n j n n nn n nj nn d
a t a t a t dt a t a t a t d
a t a t a t a t a t a t d dt dt
a t a t a t d
a t a t a t dt
==∑
8. 计算下列行列式.
(1) 2464273271014543443342721621-; (2) x y x y y
x y x x y
x
y
+++; (3)
1234
234134124123
(4)
1111111111111
1
1
1x x y y
+-+-; (5)
2
22222222
2
2
2
2
2
22(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++++++++
(6) 0111
101111011110; (7) 7
3
26
89497273
5334
---; (8) 1
2
3
4
5
2371013
3511162127772
145310-
9. 已知n 阶行列式
111212122212
n
n n n nn
a a a a a a D a a a =
12,,
,n b b b 为常数，若D 的值为c ，求下列行列式的值:
211112*********
222222
1122
n n n n n n n n nn n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b
10. 设D 是n 阶行列式，若D 的元素间满足关系：
(,1,2,
,)ij ji a a i j n =-
=
则称D 是一个反对称行列式. 求证：当n 是奇数时, n 阶反对称行列式的值为零.
11. 计算下列n 阶行列式
(1) 11111200103
0100
n
；
(2) 12222222
2232222
n
；
(3)
x a a a a a x a a a a a x a a a
a
a
x
a ----；
(4) 123
111111111111(0,1,2,
,)1
1
1
1i n
a a a a
i n a +++≠=+；
(5) 2
2
2
2121
1
2a a a a a a
； (6)
11
1
(1)()(1)()1111
n n n n n n a a a n a a a n a a a n ---------；
(7)
000
00
000
0x y x y x y y
x
； (8) 123123123
123
1111n n n n
a a a a a a
a a a a a a a a a a ++++
12. 证明
(1) 11
11111
1122
2222
22
2
2b c c a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++； (2)
22222
2
0111010;(0)01001
x y z x z y z y xyz y z x z x z
y
x
y x =≠
(3)
11000100;()010
1n n αβ
αβαβ
αβα
β
α
βαβ
αβ
αβ
++++-=≠+-+
(4)
cos 100012cos 100cos 012cos 0
12cos n αααα
α
=.
13. 计算下列行列式的值
(1)
1
1
1
11
122
111111111122
1222
22222122111
1;(0,0,1,2,
,1)n
n n n n n n n n n n
n n n n
i i n n n n n
n n
n a a b a b a b b a a b a b a b b a b i n a a b a b a b b +++++---------+++≠≠=
+;
(2) 123234
1345
213
1
n n n -; (3) x a a a a a x a a a a a x
a a a a a
a
x
-------; (4)
2111212212222
12
;(0)n n i n n n n x a a a a a a a x a a a x a a a a x a ++≠+
(5) 1
2
2221212111n
n n n n n
n n n
x x x x x x x x x ---; (6) x a a a a b
x a a a b b
x a a b b b x a b b b
b
b
x
;
(7) x y y y y z x y y y z z x y y z z z x y z z
z
z
x
；
(8)
750000027500000275
0000027000000075
000002750000
027
14. 利用Laplace 定理计算
(1) 11121
01012
2
1131122100
3
01
3
----; (2) 1
1
111
1
1
1
n n
n n n n
n
n
a b a b a b c d c d c d ----
15. 利用Laplace 定理证明
1111111,1
1,11,11,1,11,1
,1
1
,1
0000k k k k k n
k kk k k k k k k n k kk
n k nn
n nk
n k nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++=?
16. 设1212,,,;,,
,n n a a a b b b 都是实数，且0,1,2,
,,1,2,
,i
j a b i n j n +≠==.
计算行列式D 的值，其中
11
12121
2221
2
111111111n n n n n n
a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=+++
17. 用克拉默法则解下列方程组
(1) 12341234
123412342326223832242328x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=??---=??+-+=??-++=-? ; (2)
12341234
123412344142
524222x x x x x x x x x x x x x x x x +++=-??+++=??
+-+=-??+--=? (3) 12345123451234512345
12345224123428323434222
233x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=-??-+-+=??
+-+-=??++++=-??--+-=-?; (4)
12123234345
45561560560560
51
x x x x x x x x x x x x x +=??++=??
++=??++=??+=? 18. 设水银密度h 与温度t 的关系为
230123h a a t a t a t =+++
由实验测定得以下数据：
|0102030|13.60
13.57
13.55
13.52
t C
C C C
h ???? 求15,40t C C =??时水银密度(准确到小数两位).
19 在几何空间中有不在同一直线上的三点11112222(,,),(,,)M x y z M x y z 和
3223(,,)M x y z ，试建立用行列式表示的过这三点的平面方程.
20. 设
123:0,:0,:0,
L x y L x y L x y αβγγαββγα++=++=++=
是三条不同的直线，若123,,L L L 交于一点，试证： 0αβγ++=
第二章 矩 阵
1. 设A 是n 阶矩阵，k 是一个数，试问det()kA 与det()k A 有什么关系？
2. 设311111212,210123101A B -???? ? ?
==- ? ? ? ?????
，计算,AB AB BA -.
3. 计算
(1) 2
211310012?? ?
? ???
; (2)
1101n
??
???
; (3) cos sin sin cos n
α
ααα-??
???
; (4) ()40
312573?? ? ?- ? ?-??; (5)
()40312573?? ?
?- ? ?-??
; (6) 100100n
λλλ?? ? ? ???
; (7) ()11
12121
2221
2
11a a b x x
y a a b y b b c ???? ??? ??? ???????; (8) 1111111111111111n
---??
?
---
? ?--- ?---??
4. 求所有与矩阵A 可交换的矩阵.
100010(1)012;(2)001312000A A ????
? ?== ? ? ? ?????
5. 证明：若n 阶矩阵A 与所有的n 阶矩阵可交换,那么A 一定是数量矩阵.
6. 在中学代数中,有平方差公式22()()a b a b a b +-=-,现设,A B 是两个n 阶矩阵,问对于矩阵是否有22()()A B A B A B +-=-成立?为什么?
7. 用ij E 表示i 行j 列的元素为1,而其余元素全为零的n n ?矩阵,而
()ij n n A a ?=.证明：
(1) 如果1212AE E A =,那么当1k ≠时10k a =,当2k ≠时20k a =; (2) 如果ij ij AE E A =,那么当k i ≠时0ki a =,当k j ≠时0jk a =且ii jj a a =; (3) 如果A 与所有的n 阶矩阵相乘可交换,那么A 一定是数量矩阵,即A aE =.
8. 如果1
()2
A B E =+,证明：2A A =当且仅当2B E =.
9. 矩阵A 称为对称的,如果T A A =,证明：如果A 是实对称阵且20A =,那么
0A =.
10. 矩阵A 称为反对称的,如果T A A =-,证明:任一n n ?矩阵都可以表示为一对称阵与一反对称阵之和.
11. 设()ij A a =是n 阶矩阵,则A 主对角线上元素之和1122nn a a a +++称为矩
阵A 的迹,记为trA . 设,A B 为n 阶矩阵,k 是常数,求证：
(1) ()tr A B trA trB +=+； (2) ()tr k A k trA ?=?； (3) ()()tr AB tr BA =. 12. 求证：
(1) 上(下)三角阵的逆矩阵也是(下)三角阵； (2) 对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵； (3) 反对称矩阵的逆矩阵也是反对称矩阵.
13. 设123045006A ?? ?
= ? ???
,用初等变换的方法求1A -,通过求1A -来回答下面的问
题：可逆的上三角阵
1112
122
2000
n n nn b b b b b B b ??
?
?
= ?
???
的逆矩阵还是上三角阵吗?为什么?
14. 解矩阵方程.
(1) 223110110111121201X -???? ? ?-=- ? ? ? ?-????
;
(2) 2X AX A E =-+,其中101020101A ?? ?
= ? ???
.
15. 若n 阶矩阵,A B 都可逆,问,A B AB +也可逆吗?为什么? 16. 把下列矩阵化为它的等价标准形.
(1) 2
1113
21011124
413A -?? ?
?= ?
- ???; (2) 01
1121
12320111
32A -??
?-
?
= ?--
???
17. 设120011110111A -??
?
=- ? ?
---??
,求可逆矩阵P 与Q ,使得000r
E PAQ ??
= ???
. 18. 求1A -,设
(1) 223110121A ?? ?=- ? ?-??; (2) 111210110A -?? ?= ? ?-??
;(3) 1111111111111111A ??
?
--
?= ?-- ?--??; (4) 12
3
42
31211111
026A ?? ?
?= ?
- ?--??; (5) 2100320057181316A ?? ?
?= ? ?
----??; (6) 2100002100002100002100002A ?? ? ?
?= ? ? ???
19. 若,A B 为n 阶矩阵, n E AB +可逆,求证：n E BA +也可逆. 20. 对n 阶矩阵,A B ,求证： ***()AB B A =. 21. 求证：若2n >,则**2()||n A A A -=. 22. 计算下列分块矩阵的乘法
.
23. 设有分块矩阵0
0A C B ??
=
???
,其中,A B 为可逆矩阵,求C 的逆矩阵.
24. 设,A B 为n 阶方阵,求证：
||||A B A B A B B
A
=+-
25. 设AB BA =,求证:
22||A B A B B
A
-=+
26. 设A 是4阶矩阵, ||2A =, 求1*|4|A A --的值. 27. 设A 是n 阶方阵且2A A =,求证: 2n E A -是可逆矩阵.
28. 若3n ≥,求证下列行列式的值为零.
111212122212
111111111n
n n n n n
x y x y x y x y x y x y x y x y x y +++++++++
29. 设,,,A B C D 都是n 阶矩阵,求证：
||||||||A B C D B A D C
M A B C D A B C D A B C D A B C D C
D
A B D C
B
A
=
=++++---+---+
30. 设,A B 分别是n m ?和m n ?矩阵.证明：
||||m n m n
E B E AB E BA A
E =--
31. 设,A B 分别是n m ?和m n ?矩阵, 0λ≠.证明：
||||n m n m E AB E BA λλλ--=-
32. 设,A B 分别是n 阶方阵,证明：若,A B A B +-都是可逆矩阵,则A B B A ??
???也
是可逆矩阵,并求其逆矩阵.
(提示：000E
E A B E E A B E B A E B A B -+????????=
????? ?-????????
). 33. 设,,,A B C D 都是n 阶方阵, A 是可逆矩阵, 且AC CA =. 求证：
A B AD CB C D
=-.
(提示：11
10000E
A B A E A B CA
E C D D CA B E ---??-??????
= ? ??? ?--??????
??).
第三章 线性空间
1. 已知向量
()()()1231,0,3,0,0,1,1,0,0,0,1,2,===ααα
求解下列向量方程12352.+-=αααx
2. 已知向量
()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1====εεεε，()2,0,3,1=a .
求1234,,,x x x x 使得11223344x x x x =+++εεεεa .
3. 设向量组123,,ααα线性无关，234,,ααα线性无关，问1234,,,αααα是否线性无关？
4. 若α，β，γ是三个n 维向量，α与β线性无关，β与γ线性无关，α与
γ线性无关. 问α，β，γ是否线性无关？
5. 已知m 个向量12,,,m ααα线性相关，但其中任意1m -个向量都线性无
关，证明
（1）如果1122m m k k k ++
+=ααα0，则12,,
,m k k k 或者全为0，或全不为0.
（2）如果存在两个等式
1122m m k k k +++=ααα0， 1122m m l l l ++
+=ααα0，
其中10l ≠，则
12
12
.m
m
k k k l l l ===
6. 设α，β，γ线性无关，证明+αβ，+βγ，+γα也线性无关.
7. 设n 维列向量12,,,m ααα线性无关，A 是可逆阵，
则12,,,m αααA A A 线
性无关.
8. 设β可由向量组12,,
,m ααα线性表示，但不能由其中任何一个个数少于
m 的部分向量组线性表示，求证：12,,
,m ααα线性无关.
9. 设12,,,n ααα是一组n 维向量，如果单位向量12,,,n εεε可由它们线性
表示，则12,,
,n ααα线性无关.
10.设12,,
,n ααα是一组n 维向量，证明：12,,
,n ααα线性无关的充要条件
是任一n 维向量都可以由它们线性表示.
11. 设123213121,,,r r r r -=+++=+++=+++βαααβαααβααα，
证明12,,
,r βββ与12,,
,r ααα有相同的秩.
12. 设12,,,r ααα是一组线性无关的向量，1
,1,2,
,.r
i ij j j a i r ===∑βα 证
明：12,,
,r βββ线性无关的充要条件是
11121212221
2
0r r r r rr
a a a a a a a a a ≠.
13. 一个向量组的任何一个线性无关的向量组都可以扩充为一极大无关组. 14.求证：n 阶方阵A 是幂等矩阵（2=A A ）的充分必要条件是
()().n R R n +-=A E A
15.设A 是n 阶方阵，求证：2n =A E 的充分必要条件是
()()n n R R n ++-=E A E A
16.设A 是n 阶方阵，求证：()().n r r n ++≥E A A
17. 判别下列集合对于指定的运算是否构成相应的数域上的线性空间？ （1）次数等于(1)n n ≥的实系数多项式的集合，对于多项式的加法与实数与多项式的乘法；
（2）数域P 上n 维向量的集合，按通常的向量加法，而数乘定义为
1212(,,
,)(,,
,)n n k a a a a a a =.
（3）[0,1]区间上可导函数的全体在函数的加法及数乘下，这里数域是实数域；
（4）平面上全体向量，对于通常的加法及如下定义的数乘：
k =0α.
（5）全体正实数+R ，加法与数乘定义为：
;k a b b k a a ⊕==.
13.给出4维线性空间22P ?的一组基，并求矩阵2135??
= ?-??A 在所给的基下的
坐标.
14.求向量12(,,
,)n a a a =α在基
12(1,1,1,1),(1,1,1,0),
,(1,0,
0,0)n ===βββ
下的坐标.
15.设V 实数域上次数不超过n 的多项式全体所称的实线性空间，求证：
21,,,,n x x x 是V 的一组基.
16.设V 是数域P 上n 阶上三角阵所成的集合，证明：在矩阵的加法及数乘下V 是线性空间，并求出V 的维数.
17.设V 是数域P 上n 阶上对称矩阵所成的集合，证明：在矩阵的加法及数乘下V 是线性空间，并求出V 的维数.
18.设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基，12,,
,n ααα是V 中的一组向量，
如果12,,
,n ααα与12,,,n εεε等价，那么12,,
,n ααα也是线性空间V 的一组基.
19.设1W ，2W 是线性空间V 的两个子空间，且12W W ?，证明：如果
12dim dim W W =，则12W W =.
20.设n n P ?∈A ，
（1）证明：全体与A 可交换的矩阵组成n n P ?的一个子空间()C A ； （2）当=A E 时，求()C A ； （3）当
1
000200
n ?? ?
?= ? ???
A 时，求()C A 的维数及它的一组基.
21. 设12,,
,s W W W 是数域P 上线性空间V 的s 个真子空间，证明：在V 必
存在一个向量α，它不属于12,,
,s W W W 中任何一个.
22.设12,,
,n ααα是n 维线性空间V 的一组基，A 是一个n s ?矩阵，
1212(,,
,)(,,
,)s n =βββαααA .
证明：12(,,,)s L βββ的维数等于A 的秩.
23.设1W ，2W 是线性空间V 的两个子空间，如果12,,
,r ααα与12,,
,s βββ分
别是1W 与2W 的基，且12W W +是直和，则1212,,,,,,,r s αααβββ就是12W W +的
一组基.
24. 设n 阶方阵()ij a =A 的行列式等于零，则*A 的秩不超过1. 25.设1W ，2W 分别是数域P 上的齐次线性方程组
12120
n
n x x x x x x ===??
+++=?. 证明：n 维列向量空间12V W W =⊕.
26.求下列齐次线性方程组的基础解系：
(1) 1234512345
2345123450,3230,2260,54330;x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??+++=??+++-=?
(2) 12341234
234123420,20,20,240.
x x x x x x x x x x x x x x x ++-=??-++=??++=??+++=?
27.讨论,,a b λ取何值是，下列方程组有解，并求解：
(1) 12312321231,,;
x x x x x x x x x λλλλλ?++=?
++=??++=?
(2) 1231231
234,3,2 4.
ax x x x bx x x bx x ++=??
++=??++=?
28.λ取何值时线性方程组
1231231
231,324,3 3.
x x x x x x x x x λλ+-=??
++=??++=? 无解？有唯一解和无穷多解？并求出一切解.
29.设四元齐次线性方程组（I ）为
1231
234230,
20.x x x x x x x +-=??
++-=? 已知另一四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为
12(2,1,2,1),(1,2,4,8)T T a a =-+=-+αα.
1）求方程组（I ）的一个基础解系；
2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零的公共解. 30.齐次线性方程组
（I ）12312312
3230
23500
x x x x x x x x ax ++=??++=??++=? 和（II ）1232
1230
2(1)0x bx cx x b x c x ++=???+++=?? 同解，求,,a b c 的值.
31.设
12
12323434541
55,,,,.x x a x x a x x a x x a x x a -=??
-=??
-=??-=??-+=? 证明：该方程组有解的充分必要条件是5
10i i a ==∑. 在有解的情形，求出它的一般
解.
32. 设,A B 是数域P 上的n 阶方阵，如果线性方程组=0Ax 和=0Bx 同解，且每个方程组的基础解系都含m 个线性无关的向量. 证明：()R n m -≤-A B .
33. 设A 是秩为r 的m n ?矩阵，求证：必存在一个秩为n r -的()n n r ?-的矩阵B ，使得=0AB
34. 设A 是秩为r 的m n ?矩阵，12,,,n r -ααα与12,,,n r -βββ是齐次线性方
程组=0Ax 的两个基础解系，求证：必存在n r -阶可逆矩阵Q ，使得
1212(,,
,)(,,
,)n r n r --=βββαααQ .
35. 设线性方程组
111122112122221,111,221,0,
0,......0n n n n
n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ---+++=??+++=??
?
?+++=?
的系数矩阵为
11
1212122
21,11,21,............
.........................n n n n n n a a a a a a a
a a ---??
?
?
= ?
?
???
A
设i M 是矩阵A 中划去第i 列剩下的(1)(1)n n -?-矩阵的行列式.
(1) 证明：112(,,
,(1))n n M M M ---是方程组的一个解；
(2) 如果A 的秩为1n -，则方程组的解全是112(,,
,(1))n n M M M ---的倍数.
第四章 线性变换
1. 判别下面的变换，哪些是线性变换，哪些不是：
(1) 在线性空间V 中，()=+A ηηα，其中V ∈α是一固定的向量； (2) 在线性空间V 中，()=A ηα，其中V ∈α是一固定的向量；
(3) 在线性空间[]n P x 中，()()f x f x '=A ；
(4) 在线性空间3P 中，22
1231233
(,,)(,,)x x x x x x x =+A ； 123123(,,)(0,,0)x x x x x x =A ；
123122331(,,)(,,)x x x x x x x x x =+++A ；
123123(,,)(0,,0)x x x x x x =++A ；
(5) 在n n P ?中，(),X AXB =A 其中,A B 是n n P ?中两个固定的矩阵. 2. 设A 是数域P 上线性空间V 上的线性变换，12,W W 是V 的两个子空间，且有12V W W =⊕.证明：A 可逆的充分必要条件是12()()V W W =⊕A A .
3. 证明：21,1,1x x x +++是线性空间3[]P x 的一组基. 并求出线性变换
()()f x f x '=A
在这组基下的矩阵.
4. 在22P ?中定义线性变换
1()a b X X c d ??
=
???A ； 2()a b X X c d ??
=
???
A ； 3()a b a b X X c d c d ????
=
? ?????
A . 分别求出1A ，2A ，3A 在基11122122,,,I I I I 下的矩阵.
5. 设在数域P 上的三维线性空间V 上的线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为
1112132122
233132
33a a a a a a a
a a ??
?= ? ???
A . 求
(1) A 在基321,,εεε下的矩阵；
(2) A 在基123,,k εεε下的矩阵，其中k P ∈，且0k ≠； (3) A 在基1223,,+εεεε下的矩阵.
6.设,A B 是线性变换，如果=,-A B B A E 证明：
1
=,k k
k k --A B B A
A
k 是大于1的正整数.
7.设n 阶矩阵A 和B 相似，且A 可逆. 则AB 与BA 相似.
8.设V 是数域P 上的二维线性空间，线性变换A 在基12,εε下的矩阵是
2110?? ?-??
. 12,ηη也是V 的一组基，且从基12,εε到12,ηη的过渡矩阵为
1112-?? ?-??
. 求A 在基12,ηη下的矩阵及21,10k
k ??
?-??
为正整数.
9.证明：方阵
12
n a a a ??
?
? ?
??
? 与 1
2
n i i i a a a ??
?
? ? ? ??
?
相似，其中12,,
,n i i i 是1,2,
,n 的一个排列.
10.如果A 和B 相似，C 和D 相似，证明
?? ???00A B 与??
???
00
C
D 相似.
11. 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，且1
n -≠0A ，n
=0A
. 证明：
在V 中存在一组基，使得A 在这组基下的矩阵是
00
00100001000010?? ? ? ? ? ? ??
?
12.设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，线性变换A 在基1234
,,,εεεε下的矩阵是
102
11213125522
12??
?- ?
?
?--??.
(1) 求A 在基11242234334342,3,,2=-+=--=+=ηεεεηεεεηεεηε下的矩
阵；
(2) 求A 的值域与核；
(3) 在A 的值域中选择一组基，把它扩充为V 的一组基，并求A 在这组基下的矩阵；
(4) 在A 的核中选择一组基，把它扩充为V 的一组基，并求A 在这组基下的矩阵.
13. 设A 是有限维线性空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间. 证明：
1
dim ()dim[()]dim W W W -+=0A A
.
14. 设,A B 是n 维线性空间V 线性变换. 证明：
A B 的秩≥A 的秩+B 的秩n -.
15. 设12,,
,s A A A 是线性空间V 的s 个两两不同的线性变换，则在V 中必存
在向量η，使得12(),(),
,()s A A A ηηη也两两不同.
16. 设,A B 是线性空间V 线性变换，且2
=A A ，2
=B
B . 证明：
(1) ,A B 有相同的值域,?==A B B B A A ； (2) ,A B 有相同的核,?==A B A B A B . 17. 设A 是n 维线性空间V 线性变换. 证明：
A 的秩=2A 的秩1
()()V V -?=⊕0A A
18. 设W 是线性空间V 的一个子空间，A 是V 的一个线性变换. 证明：如果W 是A 的不变子空间，则可以选择适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：
??
???
0A C B . 19.设A 是n 维线性空间V 的可逆的线性变换，W 是V 的子空间，且对于A 不变.证明：W 也是1
-A
的不变子空间.
20. 设A 是n 维线性空间V 线性变换，且2
=A A . 证明：
(1) 1
(){()|}V -=-∈0A
A ξξξ；
(2) 若B 是V 线性变换，则1
()-0A 与()V A 都是B 的不变子空间的充要条件
是=AB BA
第五章 多项式
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共2 页第2 页
,,是的值域与核都是a b b a a ? ????? ,a b ≠上线性空间V 上的线性变换,多项式
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 10210 2 2T ?-????? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.
且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++，令112(),n n f x a a x a x -=++有 ()A f D =. B M ?∈，必P ?上1n -次多项式()g x ，使()B g D =，反之亦真. ()()()()AB f D g D g D f D BA ∴=== (3)由上可知：2 1,,, ,n E D D D -是M 的一组基，且dim M n =. 四.解：A 的行列式因子为3 3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==. 所以，不变因子为3 3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3 (2)λ+， 因而A 的Jordan 标准形为21212J -?? ??=-?? ??-?? 五．证："":()()() ()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴== ""?：()0,()0f A g A == 设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ?
《高等代数（上）》课程习题集 一、填空题1 1. 若3 1x -整除()f x ，则(1)f =( )。 2. 如果方阵A 的行列式 0=A ，则A 的行向量组线性（ ）关。 3. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3 1= A ，则=--1*A A （ ）。 4. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（ ）。 5. 已知1 21 1A ??=????，1 12 1B ?? =???? ，且3A B C A B +=+，则矩阵C =（ ） 。 6. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ）。 7. 设行列式01 49007 16 =--k ，则=k （ ） 8. 行列式 2 2 3 5 007425120403 ---的元素43a 的代数余子式的值为（ ） 9. 设矩阵?? ? ? ??????-=40 3 212221 A ，11k α?? ?= ? ???，若αA 与α线性相关，则=α（ ） 10. 设A 为3阶矩阵， 5 1= A ，则12--A =（ ） 11. 已知：s ααα,,,21 是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则系数矩阵A 的秩 =)(A R （ ） 12. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是（ ） 13. 多项式 )(x f 没有重因式的充要条件是（ ）
14. 若排列 n j j j 21的逆序数为k ，则排列11j j j n n -的逆序数为（ ） 15. 当=a （ ）时，线性方程组??? ??=++=++=++0 402032 21321321x a x x ax x x x x x 有零解。 16. 设A 为n n ?矩阵，线性方程组B AX =对任何B 都有解的充要（ ） 17. 设00 A X C ??=? ??? ，已知1 1 ,A C --存在，求1 X -等于（ ） 18. 如果齐次线性方程组0=AX 有非零解，则A 的列向量组线性（ ）关 19. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则（ ） 20. 设A 为4级方阵， 3-=A ，则=A 2（ ） 21. 设m ααα,,,21 是一组n 维向量，如果n m > .，则这组向量线性（ ）关 22. 设矩阵?? ? ? ??????-=40 3 212221A ，11k α?? ?= ? ???，若αA 与α线性相关，则k=（ ）。 23. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ） 24. 设A 为n 阶方阵，若I 2A -A -7=0，求()1 3A I --=（ ） 25. 如果2 4 2 11()|x A x B x -++，则A =（ ），B =（ ）。 26. 若行列式1 25 1 3202 5 x -=，则x =（ ）。 27. 向量α线性无关的充要条件是（ ） 28. 已知1 211A ??=????，1 12 1B ?? =???? ，且3A B C A B +=+，则矩阵C =（ ） 。 29. 行列式 2 2 3 5 007425120403 ---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）
习题2-1 一、判断题 若在n 阶行列式中等于零的元素个数超过2n n -个，则这个行列式的值等于零。（ ） 二、单选题 1．若行列式210 120312 x --=-, 则x =( ) A. –2 B. 2 C. -1 D. 1 2．n 阶行列式00010010 01001000 的值为（ ） A. (1)n - B. 1 (1)2 (1) n n -- C. 1 (1)2 (1) n n +- D. 1 3．设ij A 是行列式A 的元素(),1,2,,ij a i j n = 的代数余子式，当i j ≠时下列各式中错误的是（ ） A. 1122i j i j in jn A a A a A a A =++ B. 1122i i i i in in A a A a A a A =++ C. 1122j j j j nj nj A a A a A a A =++ D. 11220i j i j in jn a A a A a A =++ 4．行列式 0000 00000a b c d e f 的值等于（ ） A. abcdef B. abdf - C. abdf D. cdf 5． 1111 2 22 2 0000000 a b c d a b c d =( ) A. 11222121a c b d a b c d - B. 22112211()()a b a b c d c d -- C. 12121212a a bb c c d d D. ()12211221()a b a b c d c d -- 6.设行列式1112 223 33,a b c D a b c a b c = 则 111111 222 2223 33 333 223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c +++++++++ ＝（ ） A. -D B. D C. 2D D. -2D
第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示 二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性 替换和矩阵的合同. 三 教学重点：矩阵表示二次型 四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程： 定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,( n n x x a x a 2222222 (2) n nn x a (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型. 例如：2 3 322231212 13423x x x x x x x x x 就是有理数域上的一个3元二次型. 定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4) 称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0 ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的. 二次型的矩阵表示：
令 ji ij a a ，j i 由于 i j j i x x x x ,那么二次型(3)就可以写为 n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,( n n x x a x a x x a 2222221221 …+2 2211n nn n n n n x a x x a x x a n i n j j i ij x x a 11 (5) 把(5)的系数排成一个n n 矩阵 nn n n n n a a a a a a a a a A 21 22221 112 11 它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a ，n j i ,,2,1, ，所以 A A . 我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的. 令 n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来， n x x x AX X 2 1 nn n n n n a a a a a a a a a 21 22221 11211 n x x x 21 n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 221 122221 21121211121 n i n j j i ij x x a 11. 故 AX X x x x f n ),,,(21 .
第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 752 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01 222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.
本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解：运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、(){ }321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n i i i x 1αβ，那么 ∑== n i i x 1 2 β。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()() ()()()n n n x g x f x g x f ,,=； ②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=?=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=； ④若()()()()()()()()1,1,=-+?=x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
高等代数第四次作业 第二章 行列式 §1—§4 一、填空题 1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，5 2．四阶行列式4 4?=ij a D 中,含24a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a 3．设 .21 22221 11211 d a a a a a a a a a nn n n n n = 则 ._____1 221 22 211 121=n n nn n n a a a a a a a a a (1) 2(1)n n d -- 4．行列式1 1 1 111 11 ---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题 1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√ 2. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 则 12 111222212 1 n n n nn n a a a a a a a a a =d （ ）× 3. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 则d a a a a a a a a a n nn n n n -=112112122221 （ ）× 4. abcd z z z d y y c x b a =000000 ( ) √ 5. abcd d c x b y x a z y x -=0 000 00 （ ）× 6. 00 00000=y x h g f e d c b a （ ）√ 7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。（ ）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。（ ）× 9. n n a a a a a a 212 1 = （ ）× 10. 0 10000 2000 010 n n -=n ！ （ ）× 三、选择题
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中
高等代数（1）复习题 一、判断题 1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。（ ） 2、设D 为六阶行列式，则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。（ ） 3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。（ ） 4、排列()3211Λ-n n 的逆序数为n 。（ ） 5、排列()3211Λ-n n 为偶排列。（ ） 6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。（ ） 7、若22B A =，则B A =或B A -=。（ ） 8、若AC AB =，0≠A ，则C B =。（ ） 9、若矩阵A 满足A A =2，则0=A 或E A =。（ ） 10、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。（ ） 11、若矩阵A 满足02=A ，则0=A 。（ ） 12、若矩阵B A ,满足0AB =，且0A ≠，则0B =。（ ） 13、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111 ---=B A AB 。（ ） 14、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111 ---+=+B A B A 。（ ） 15、设A ，B 为n 阶方阵，则必有B A B A +=+。（ ） 16、设A ，B 为n 阶方阵，则必有BA AB =。（ ） 17、若矩阵A 与B 等价，则B A =。（ ） 18、若A 与B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵。（ ） 19、若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r 。（ ） 20、设n m A ?，n m B ?为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。（ ） 21、设A =0，则()0=A R 。（ ）
高等代数试题附答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ）
高等代数（北大第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章—矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！
12．设 A 为一个 n 级实对称矩阵，且 A 0 ，证明：必存在实 n 维向量 X 0 ，使 X AX 0 。 证 因为 A 0，于是 A 0 ，所以 rank A n ，且 A 不是正定矩阵。故必存在非 退化线性替换 X C 1Y 使 XAX YC 1 ACY Y BY y 12 y 22 y p 2 y p 2 1 y p 2 2 y n 2 ， 且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在 Z C 1Y 中，令 y y 2 y p 1 0, y p 1 y p 2 y n 1, 则可得一线性方程组 c 11 x 1 c 12 x 2 c 1n x n c p 1 x 1 c p 2 x 2 c pn x n ， c p 1,1 x 1 c p 1, 2 x 2 c p 1,n x n 1 c n1 x 1 c n 2 x 2 c nn x n 1 由于 C 0 ，故可得唯一组非零解 X s x 1s , x 2s , , x ns 使 X s AX s 0 0 0 1 1 1 n p 0 ， 即证存在 X 0，使 X AX 0 。 13 ．如果 A, B 都是 n 阶正定矩阵，证明： A B 也是正定矩阵。 证 因为 A, B 为正定矩阵，所以 X AX , X BX 为正定二次型，且 X AX 0 ， X BX 0 ， 因此 X A B X X AX X BX 0 ， 于是 X A B X 必为正定二次型，从而 A B 为正定矩阵。 14 ．证明：二次型 f x 1 , x 2 , , x n 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 证 必要性。采用反证法。若正惯性指数 p 秩 r ，则 p r 。即 f x 1 , x 2 , , x n y 2 y 2 y 2 y 2 y 2 ， 1 2 p p 1 r 若令
《高等代数》试题库 一、选择题 1．在里能整除任意多项式的多项式是（）。 ．零多项式．零次多项式．本原多项式．不可约多项式 2．设是的一个因式，则（）。 ．1 ．2 ．3 ．4 3．以下命题不正确的是（）。 . 若；.集合是数域； .若没有重因式； ．设重因式，则重因式 4．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。 . 充分 . 充分必要 .必要．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 .如果，那么 .如果，那么 .如果，那么，有 .如果，那么 6．对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 .甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；.甲, 乙均成立；．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。 . 奇数次实系数多项式必有实根； . 代数基本定理适用于复数域； ．任一数域包含；．在中, 8．设，为的代数余子式, 则=( ) 。 . . . ． 9.行列式中，元素的代数余子式是（）。 ．．．． 10．以下乘积中（）是阶行列式中取负号的项。 .； .；．；. 11. 以下乘积中（）是4阶行列式中取负号的项。 .； .；．； . 12. 设阶矩阵，则正确的为（）。 . . ． . 13. 设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是（） . . ． . 14. 设为四阶行列式，且，则（） . . ． . 15. 设为阶方阵，为非零常数，则（） . . ． . 16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（）。 .；. ；
．； . 17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（） . . ． . 18.如果，那么矩阵的行列式应该有（）。 .； .；．； . 19.设, 为级方阵, , 则“命题甲：；命题乙：”中正确的是( ) 。 . 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；．甲, 乙均成立；.甲, 乙均不成立 20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（）。 . . ． . 21.若矩阵，满足，则（）。 .或；.且；．且；.以上结论都不正确 22.如果矩阵的秩等于，则（）。 .至多有一个阶子式不为零； .所有阶子式都不为零；．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；.所有低于阶子式都不为零 23.设阶矩阵可逆，是矩阵的伴随矩阵，则结论正确的是（）。 .；.；．；. 24. 设为阶方阵的伴随矩阵，则=（） . . ． . 25.任级矩阵与-, 下述判断成立的是( )。 . ； .与同解； .若可逆, 则；．反对称, -反对称 26.如果矩阵,则（） . 至多有一个阶子式不为零；.所有阶子式都不为零．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；．所有低于阶子式都不为零 27. 设方阵，满足，则的行列式应该有（）。 . . ． . 28. 是阶矩阵，是非零常数，则 ( )。 . ； . ；． . 29. 设、为阶方阵，则有（）. .，可逆，则可逆 .，不可逆，则不可逆 ．可逆，不可逆，则不可逆.可逆，不可逆，则不可逆 30. 设为数域上的阶方阵，满足，则下列矩阵哪个可逆（）。 . . ． 31. 为阶方阵，，且，则（）。 .； .；．；. 32. ，，是同阶方阵，且，则必有（）。 . ； . ；．． 33. 设为3阶方阵，且，则（）。 .；.；．；. 34. 设为阶方阵，，且，则（）. . .或． . 35. 设矩阵，则秩=（）。 ．1 ．2 ．3 ．4
第一章多项式自测题 一、填空题 1. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的一个最大公因式为 ． 2. 1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x --=++ ++∈,若|()x f x ,则0a = ;若 1()x f x =是的根,则012n a a a a +++ += . 3.若((),())1f x f x x '=+,则 是()f x 的 重根. 4.44x -在有理数域,实数域,复数域上的标准分解式为 , , . 二、选择题(以下所涉及的多项式,都是数域P 上的多项式) 1.设()|(),()|(),()0,()()x f x x g x x g x f x ???≠且与不全为0,则下列命题为假的是( ). A.()|(()()()())x u x f x v x g x ?+ B.deg(())min{deg (),deg(())}x f x g x ?≤（deg 意思为次数） C.若存在(),()u x v x ,使()()()()(),u x f x v x g x x ?+=则((),())()f x g x x ?= D.若|(),x a x ?-则()()0f a g a == 2.若((),())1f x g x =,则以下命题为假的是( ). A.23((),())1f x g x = B.1))()(),((=+x g x f x f C.()|()()g x f x h x 必有()|()g x h x D. 以上都不对 3.下列命题为假的是( ). A.在有理数域上存在任意次不可约多项式 B.在实数域上3次多项式一定可约 C.在复数域上次数大于0的多项式都可约 D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根 4.下列命题为真的是( ). A.若2()()p x f x ,则()()p x f x 是二重因式 B.若()(),(),()p x f x f x f x '''是的公因式,则()p x 的根是()f x 的三重根 C.()f x 有重根(),()f x f x ''?有一次因式
《高等代数》（上）题库 第一章多项式 填空题 (1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数 是。 (1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或 p(x)|g(x)。 (1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 (1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b 。 (1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。 (1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。 (1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。 (1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为 f(x)= 。 (1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根 是。 (1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。 (1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。 (1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。 (1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。 (1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。 (1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。 (1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。 (1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。 (1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。 (1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。 答案 1、-x+6 2、不可约 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=±2
高等代数例题 第一章 多项式 1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有2 3 1x mx x px q +-++ 2．45P 7 设3 2 ()(1)22f x x t x x u =++++，3 ()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、 u 的值。 3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3 x px q ++有重根的条件。 5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x - 6．46P 25 证明：如果233 12(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1n x -在复数域内和实数域内的因式分解。 8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？ 9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。求证： 11((),())((),())f x g x f x g x =。 10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最 小公倍式。证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()() [(),()]((),()) f x g x f x g x f x g x = 。 11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2m n f x x x =+-所得余式为 。 12． 求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与 ()g x 的一个最大公因式。 13． 14 3 4141)g( , 21212321)(23423456 -+--=+--+-- =x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。 14． 设22()(1) 21m n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证：()g x |()f x 。
第五讲二次型 一、二次型的概念及标准形 1、 二次型的概念及几种表述 数域F 上的n 元二次齐次函数称为数域F 上的n 元二次型。有以下几种表述方式： （1）1211 (,,,)n n n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑； （2）22 2 12111222(,,,)2n nn n ij i j i j f x x x a x a x a x a x x <=++ ++∑； （3）12(,, ,)T n f x x x X AX =，其中12(,,,)T n X x x x =，()ij n n A a ?=，且T A A =，并 称A 为二次型的矩阵。 2、矩阵合同 （1） 设,,n n A B F ?∈若存在可逆矩阵n n T F ?∈，使T B T AT =，则称A B 与是合同的。 （2） 合同是矩阵间的一种等价关系。 （3） 二次型经过非退化的线性替换仍变为二次型，且新老二次型的矩阵是合同的。 3、 标准形 （1） 二次型22 2 121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =++ +称为标准形。 （2） 任何二次型都可以通过非退化线性替换化成标准形。 （3） 任何对称矩阵都合同于一个对角阵。 4、 复数域上二次型的规范形 （1） 复二次型22 2 121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =++ +，其中1i d =或0，称为复 数域上的规范形。 （2） 任何复二次型12(,, ,)T n f x x x X AX =都可以通过非退化线性替换化成规范 形22 21212(,, ,)n r f x x x y y y =++ +，其中r A =秩，且规范形是唯一的。 （3） 任何复对称矩阵A 都合同于对角阵000r E ?? ??? ，其中r A =秩。 （4） 两个复对称矩阵合同的充要条件是秩相等。 5、 实数域上二次型的规范形 （1） 实二次型22 2 121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =++ +，其中1,1i d =-或0，称为 实数域上的规范形。 （2） 任何实二次型12(,, ,)T n f x x x X AX =都可以通过非退化线性替换化成规范 形22 22 212121(,, ,)n p p r f x x x y y y y y +=+++-- -， 其中r A =秩，p 是正惯性指数，且规范形是唯一的。 （3） 惯性定理 任何实二次型经过非退化线性替换化成的标准形中，正平方项的个数
第二章 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 1． 设f (x )，g (x )和h (x )是实数域上的多项式．证明：若f (x )2 = x g (x )2+x h (x )2 ，那么 f (x ) = g (x ) = h (x ) = 0． 证明概要：比较等式两边的次数可证． 2． 求一组满足上一题中等式的不全为零的复系数多项式f (x )，g (x )和h (x )． 解：取f (x ) = 2ix ，g (x ) = i (x +1)，h (x ) = x-1即可． 或取f (x ) = 0，g (x ) = 1，h (x ) = i 即可． 3． 证明： (1)(1)(1) 1(1) 2! ! (1)() (1) ! n n x x x x x n x n x x n n ---+-+-+---=- 证明提示：用数学归纳法证之． 2.2 多项式的整除性 1． 求f (x )被g (x )除所得的商式和余式： (i) 14)(24--=x x x f ,13)(2 --=x x x g (ii) 13)(235-+-=x x x x f ,23)(3 +-=x x x g 解：(i) 35)(,2)(2 --=--=x x r x x x q (ii) 56)(,2)(2 2++=+=x x x r x x q 2． 证明：k x f x )(|必要且只要)(|x f x 证明：充分性显然．现证必要性．反证法：若x 不整除)(x f ，则c x xf x f +=)()(1，且 0≠c ．两边取k 次方得k k c x xg x f +=)()(，其中0≠k c ．于是x 不整除)(x f k ．矛盾．故必 要性成立． 3． 令)(),(),(,)(2121x g x g x f x f 都是数域F 上的多项式，其中0)(1≠x f 且 )()(21x g x g |)()(21x f x f ，)(1x f |)(1x g ．证明：)(2x g |)(2x f ． 证明：反复应用整除定义即得证． 4． 实数m, 满足什么条件时多项式12 ++mx x 能够整除多项式q px x ++4？ 解：以12 ++mx x 除q px x ++4得一次余式．令余式为零得整除应满足的条件：当且仅