高三数学第二轮复习教案
第5讲 解析几何问题的题型与方法(二)
五、注意事项
1.(1) 直线的斜率是一个非常重要的概念,斜率k 反映了直线相对于x 轴的倾斜程度。当斜率k 存在时,直线方程通常用点斜式或斜截式表示,当斜率不存在时,直线方程为x =a (a ∈R )。因此,利用直线的点斜式或斜截式方程解题时,斜率k 存在与否,要分别考虑。
(2) 直线的截距式是两点式的特例,a 、b 分别是直线在x 轴、y 轴上的截距,因为a ≠0,b ≠0,所以当直线平行于x 轴、平行于y 轴或直线经过原点,不能用截距式求出它的方程,而应选择其它形式求解。
(3)求解直线方程的最后结果,如无特别强调,都应写成一般式。
(4)当直线1l 或2l 的斜率不存在时,可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直
(5)在处理有关圆的问题,除了合理选择圆的方程,还要注意圆的对称性等几何性质的运用,这样可以简化计算。
2.(1)用待定系数法求椭圆的标准方程时,要分清焦点在x 轴上还是y 轴上,还是两种都存在。 (2)注意椭圆定义、性质的运用,熟练地进行a 、b 、c 、e 间的互求,并能根据所给的方程画出椭圆。
(3)求双曲线的标准方程 应注意两个问题:(1) 正确判断焦点的位置;(2) 设出标准方程后,运用待定系数法求解。
(4)双曲线12222=-b
y a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为022
22=-b y a x 。若已知双曲线的渐近线方程是x n m y ±=,
即0=±ny mx ,那么双曲线的方程具有以下形式:
k y n x m =-2222,其中k 是一个不为零的常数。
(5)双曲线的标准方程有两个12222=-b y a x 和12222=-b
x a y (a >0,b >0)。这里2
22a c b -=,其中|1F 2F |=2c 。要注意
这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同。
(6)求抛物线的标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再求抛物线的标准方程,要线根据题设判断抛
物线的标准方程的类型,再由条件确定参数p 的值。同时,应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中一个,就可以求出其他两个。
六、范例分析
例1、求与直线3x +4y +12=0平行,且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l 的方程。
分析:满足两个条件才能确定一条直线。一般地,求直线方程有两个解法,即用其中一个条件列出含待定系数的方程,再用另一个条件求出此参数。
解法一:先用“平行”这个条件设出l 的方程为3x +4y +m =0①再用“面积”条件去求m ,∵直线l 交x 轴于)0,3
(m A -
,交y 轴于)4,0(m B -由244
321
=-?-
?m m ,得24±=m ,代入①得所求直线的方程为:02443=±+y x 解法二:先用面积这个条件列出l 的方程,设l 在x 轴上截距离a ,在y 轴上截距b ,则有242
1
=ab ,因为l 的倾角为钝角,所以a 、b 同号,|ab |=ab ,l 的截距式为148=+
a
y a x ,即48x +a 2y -48a =0②又该直线与3x +4y +2=0平行,∴2
4843482a a -≠=,∴8±=a 代入②得所求直线l 的方程为02443=±+y x
说明:与直线A x +B y +C=0平行的直线可写成A x +B y +C 1=0的形式;与A x +B y +C=0垂直的直线的方程可表示为B x -A y +C 2=0的形式。
例2、若直线mx +y +2=0与线段AB 有交点,其中A (-2,3),B (3,2),求实数m 的取值范围。
解:直线mx +y +2=0过一定点C (0,-2),直线mx +y +2=0实际上表示的是过定点(0,-2)的直线系,因为直线与线段AB 有交点,则直线只能落在∠ABC 的内部,设BC 、CA 这两条直线的斜率分别为k 1、k 2,则由斜率的定义可知,直线mx +y +2=0的斜率k 应满足k ≥k 1或k ≤k 2,∵A (-2,3) B (3,2)
∴2
5 3421-==k k ∴-m ≥
34或-m ≤25- 即m ≤34-或m ≥2
5 说明:此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题,这里要清楚直线mx +y +2=0的斜率-m 应为倾角的正切,而当倾
角在(0°,90°)或(90°,180°)内,角的正切函数都是单调递增的,因此当直线在∠ACB 内部变化时,k 应大于或等于k BC ,或者k 小于或等于k AC ,当A 、B 两点的坐标变化时,也要能求出m 的范围。
例3、已知x 、y 满足约束条件
??
?
??≤+-≤-≥3053431y x y x x 求目标函数z =2x -y 的最大值和最小值。
解:根据x 、y 满足的约束条件作出可行域,即如图所示的阴影部分(包括边界)。
作直线0l :2x -y =0,再作一组平行于0l 的直线l :2x -y =t ,t ∈R 。
可知,当l 在0l 的右下方时,直线l 上的点(x ,y )满足2x -y >0,即t >0,而且直线l 往右平移时,t 随之增大。当直线l 平移至1l 的位置时,直线经过可行域上的点B ,此时所对应的t 最大;当l 在0l 的左上方时,直线l 上的点(x ,y )满足2x -y <0,即t <0,而且直线l 往左平移时,t 随之减小。当直线l 平移至2l 的位置时,直线经过可行域上的点C ,此时所对应的t 最小。
由 ??
?=-+=+-0
30530
43y x y x 解得点B 的坐标为(5,3);
由 ?
??=-+=030531y x x 解得点C 的坐标为(1,527
)。
所以,最大值z =235-3=7;最小值z =231-527=5
17-。
例4、某运输公司有10辆载重量为6吨的A 型卡车与载重量为8吨的B 型卡车,有11名驾驶员。在建筑某段高速公路中,
该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次,B 型卡车7次;每辆卡车每天的成本费A 型车350元,B 型车400元。问每天派出A 型车与B 型车各多少辆,公司所花的成本费最低,最低为多少?
解:设每天派出A 型车与B 型车各x 、y 辆,并设公司每天的成本为z 元。由题意,得
????
???
≥+≤+≤≤60
564811510y x y x y x x ,y ∈N , 且z =350x +400y 。
即 ????
???≥+≤+≤≤55
7611510
y x y x y x x ,y ∈N ,
作出可行域,作直线0l :350x +400y =0,即7x +8y =0。
作出一组平行直线:7x +8y =t 中(t 为参数)经过可行域内的点和原点距离最近的直线,此直线经过6x +7y =60和y =5的交点A (
625,5),由于点A 的坐标不都是整数,而x ,y ∈N ,所以可行域内的点A (6
25,5)不是最优解。 为求出最优解,必须进行定量分析。
因为,736
25
+835≈69.2,所以经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点最小的直线是7x +8y =10,在可行域内满足该方程的整数解只有x =10,y =0,所以(10,0)是最优解,即当l 通过B 点时,z =350310+40030=3500元为
最小。
答:每天派出A 型车10辆不派B 型车,公司所化的成本费最低为3500元。
例5、已知点T 是半圆O 的直径AB 上一点,AB=2、OT=t (0 (1)写出直线B A ''的方程; (2)计算出点P 、Q 的坐标; (3)证明:由点P 发出的光线,经AB 反射后,反射光线通过点Q 。 解: (1) 显然()t A -1,1',(), ,‘ t B +-11 于是 直线B A ''的方程为1+-=tx y ; (2)由方程组? ??+-==+,1,122tx y y x 解出 ),(10P 、),(2 2 21112t t t t Q +-+; (3)t t k PT 1 001-=--= , t t t t t t t t t k QT 11112011222 22 =--=-+-+-=)(。 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知,由点P 发出的光线经点T 反射,反射光线通过点Q 。 说明:需要注意的是,Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式,有趣吗? 例6、设P 是圆M :(x -5)2+(y -5)2=1上的动点,它关于A (9,0)的对称点为Q ,把P 绕原点依逆时针方向旋转90° 到点S ,求|SQ|的最值。 解:设P (x ,y ),则Q (18-x ,-y ),记P 点对应的复数为x +y i ,则S 点对应的复数为: (x +y i )2i=-y +x i ,即S (-y ,x ) ∴22)()18(||x y y x SQ --++-= 2 22222222)9()9(281811818222363618++-?=+++-+?=+++-+-++=y x y x y x xy y x xy y x y x 其中2 2)9()9(++-y x 可以看作是点P 到定点B (9,-9)的距离,共最大值为1532||+=+r MB 最小值为 1532||-=-r MB ,则|SQ|的最大值为21062+,|SQ|的最小值为21062- 例7、 已知⊙M :x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点,QA ,QB 分别切⊙M 于A ,B 两点, (1)如果3 2 4||= AB ,求直线MQ 的方程; (2)求动弦AB 的中点P 的轨迹方程。 解:(1)由3 2 4||= AB ,可得 ,3 1 )322(1)2||( ||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理,得,3|||,|||||2=?=MQ MQ MP MB 得 在R t △MOQ 中, 523||||||2222=-=-=MO MQ OQ , 故55-==a a 或, 所以直线AB 方程是 ;0525205252=+-=-+y x y x 或 (2)连接MB ,MQ ,设),0,(),,(a Q y x P 由 点M ,P ,Q 在一直线上,得 (*),2 2x y a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ?= 即(**),14)2(2 22=+?-+a y x 把(*)及(**)消去a , 并注意到2 1 )4 7(2 2 ≠= -+y y x 说明:适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在。 例8、直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点,且与抛物线相交于A ),(),(2211y x B y x 和两点。(1)求证:2214p x x =; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦CD ,直线l 不是CD 的垂直平分线。 解: (1)易求得抛物线的焦点)0,2 (P F 。 若l ⊥x 轴,则l 的方程为4 ,22 21P x x P x ==显然。 若l 不垂直于x 轴,可设)2(P x k y -=,代入抛物线方程整理得 4 ,04)21(2 2122 2P x x P x k P P x ==++-则。 综上可知 2214p x x =。 (2)设d c d p d D c p c C ≠且),2(),,2(2 2,则CD 的垂直平分线l '的方程为)4(2222p d c x p d c d c y +-+-=+- 假设l '过F ,则)42(2202 2p d c p p d c d c +-+-=+-整理得 0)2)((222=+++d c p d c 0≠p 02222≠++∴d c p ,0=+∴d c 。 这时l '的方程为y =0,从而l '与抛物线px y 22 =只相交于原点。 而l 与抛物线有两个不同的交点,因此l '与l 不重合,l 不是CD 的垂直平分线。 说明:此题是课本题的深化,课本是高考试题的生长点,复习要重视课本。 例9、已知椭圆13 422=+y x ,能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ,使它到左准线的距离为它到两焦点F 1、F 2距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不能找到,请说明理由。 解:假设存在满足条件的点,设M (x 1,y 1)a 2=4,b 2=3,∴a =2,3= b , c =1,∴2 1 = e , 2 12 12211214 14))((||||x x e a ex a ex a MF MF - =-=-+=?,点M 到椭圆左准线的距离 412 1+=+=x c a x d ,∴212121)4(414 ,+=-∴=x x d r r ,∴048325121=++x x ,∴41-=x 或5121-=x ,这与 x 1∈[-2,0)相矛盾,∴满足条件的点M 不存在。 例10、已知椭圆中心在原点,焦点在y 轴上,焦距为4,离心率为3 2 , (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设椭圆在y 轴正半轴上的焦点为M ,又点A 和点B 在椭圆上,且M 分有向线段AB 所成的比为2,求线段AB 所在直线的方程。 解:(Ⅰ)设椭圆方程为122 22=+b x a y 由2c =4得c =2 又32=a c 故a =3, 52 2 2 =-=c a b ∴所求的椭圆方程为22 195 y x += (Ⅱ)若k 2≠,若k 存在,则设直线AB 的方程为:y =kx +2 又设A ),()(221,1y x B y x 由?????=++=195 2 2 2y x kx y 得 02520)59(22=-++kx x k 122 2095k x x K -+= +① 122 2595x x K -?= +② ∵点M 坐标为M (0,2) ∴)2,()2,(2211-=--=y x y x 得2 =MB MB AM 2=∴)2,(2)2,(2211-=--y x y x ∴212x x -=代入①、②得222095k x k = +… ③ 2 2 2 25295x k =+④ 由③、④ 得 22202( )95k k =+22595k + ∴2 13k = k = ∴线段AB 所在直线的方程为:23 3 +± =x y 。 说明:有向线段所成的比,线段的定比分点等概念,本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入,使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式,也可以直接用有向线段的比解题。 另外,向量的长度,点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系,向量与解析几何的结合,为解决这些问题开辟了新的解题途径。 例11、已知直线l 与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 有且仅有一个交点Q ,且与x 轴、y 轴分别交于R 、S ,求以线段SR 为 对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程. 解:从直线l 所处的位置,设出直线l 的方程, 由已知,直线l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y 代入椭圆方程,222222b a y a x b =+ 得 .)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++ 化简后,得关于x 的一元二次方程 .02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a 于是其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=? 由已知,得△=0.即.2222m b k a =+ ① 在直线方程m kx y +=中,分别令y =0,x =0,求得).,0(),0,(m S k m R - 令顶点P 的坐标为(x ,y ), 由已知,得?????=-=????? =-=y m x y k m y k m x ,.,解得 代入①式并整理,得 122 22=+y b x a , 即为所求顶点P 的轨迹方程. 说明:方程12 2 22=+y b x a 形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗? 例12、已知双曲线12222=-b y a x 的离心率332=e ,过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23 (1)求双曲线的方 程; (2)已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ,D 且C ,D 都在以B 为圆心的圆上,求k 的值。 解:∵(1),3 32=a c 原点到直线AB :1=-b y a x 的距离. 3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d 。 故所求双曲线方程为 .13 22 =-y x (2)把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ,整理得 07830)31(22=---kx x k 。 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ,则 . 11,315 5311520020 02210k x y k k kx y k k x x x BE -=+=-=+=?-=+= ,000=++∴k ky x 即7,0,031531152 2 2=∴≠=+-+-k k k k k k k 又 故所求k=±7。 说明:为了求出k 的值,需要通过消元,想法设法建构k 的方程。 例13、过点)0 ,3(-P 作直线l 与椭圆3x 2+4y 2=12相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,求△OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 分析:若直接用点斜式设l 的方程为)3(0+=-x k y ,则要求l 的斜率一定要存在,但在这里l 的斜率有可能不存在,因此要讨论斜率不存在的情形,为了避免讨论,我们可以设直线l 的方程为3-=my x ,这样就包含了斜率不存在时的情形了,从而简化了运算。 解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),l :3-=my x )(3|)||(|3||||2 1 ||||21212121y y y y y OP y OP S AOB -=+=?+?= ? 把3-=my x 代入椭圆方程得:0124)332(3222=-++-y my y m ,即 0336)43(22=--+my y m ,4 3362 21+= +m m y y ,433221+-=m y y 481444 314312)43(108||2 2 222221++=+++=-x m m m m y y 3 )13(1 33443133443394222222+++?= ++?=++=m m m m m m 23 23 41 33133422=≤ ++ +=m m m ∴3223=?≤ S ,此时1 331322+= +m m 36 ±=m 令直线的倾角为α,则266 3±=± =αtg 即△OAB 面积的最大值为3,此时直线倾斜角的正切值为2 6 ±。 例14、(2003年江苏高考题)已知常数0>a ,向量(0,),(1,0).c a i == 经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点A (0,a )以2i c λ-为方向向量的直线相交于点P ,其中.R ∈λ试问:是否存在两个定点E 、F ,使得|PE|+|PF|为定值。若存在,求出E 、F 的坐标;若不存在,说明理由。 解:∵i =(1,0),c =(0,a ), ∴c +λi =(λ,a ),i -2λc =(1,-2λa )。 因此,直线OP 和AP 的方程分别为 ax y =λ 和 ax a y λ2-=-。 消去参数λ,得点),(y x P 的坐标满足方程222)(x a a y y -=-。 整理得 .1)2 ()2(812 2 2 =-+ a a y x ……① 因为,0>a 所以得: (i )当2 2 = a 时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点E 和F ; (ii )当2