胡场一中八年级数学（上）讲学稿系列 2013-05-02
15.4.2 因式分解
主备人：周军涛备课组长签名：梁开佩教研组长签名：梁开佩
【学习目标】：理解平方差公式的意义，弄清平方差公式的形式和特点；掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式(最多两次）
【学习重点】：利用平方差公式分解因式
【学法指导】：先自学课本上第167页至168页，并独立完成讲学稿，然后小组讨论交流。
【学习过程】
一、【预习导学】
1．同学们，你能很快知道992-1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流。
2．你能将a2－b2 分解因式吗？你是如何思考的？
二、【合作探究】
问题：请同学们对比以上两题，你发现什么呢？
归纳总结：对于形如两数平方差形式的多项式可以用平方差公式进行因式分解的公式：
语言叙述：
【练一练】
⑴4a2=（）2 ⑵4
9
错误！未指定书签。b2=（）2 ⑶0.16a4=（）2 ⑷
a2b2=（）2
三、【小组合作，课堂展示】
例1把下列各式分解因式：
（1）36–25x2 (2) 16a2–9b2
（3）（a+b）2-c2（4）（x+2y）2－（x－3y）2；
特殊说明：平方差公式中的字母a、b，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．
例2把下列各式分解因式：
（1）x4–y4 (2)2a3–8a
(3) a3b3–ab（4）m2（16x－y）+n2（y－16x）．
注意：⑴分解因式时，如果多项式有公因式，应先，再进一步分解；
⑵分解因式时，必须分解到每一个因式都分解为止。
练习1 课本P168练习1、2
四、【课堂小结】
本节课你有哪些收获，还有哪些疑惑：
五、【作业设计】
自主检测
1．填空：⑴ 81x 2 - =(9x +y )(9x -y )；
⑵利用因式分解计算：22199201-= = 。
2. 已知x +y =7，x －y =5，则x 2－y 2= 。
3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A 22)(b a -+
B mn m 2052-
C 22y x --
D 92+-x
4. 把下列各式分解因式 A 组：①1—16 a 2 ②—m 2+9 ③ 4x 2—25y 2 ④ 64x 2－y 2z 2
B 组：①（a +bx ）2－1 ③（a +2b ）2－4（a +b ）2 ④ 49(a -b )2 —16(a +b )2
5.将下列各式分解因式：
（1）16x 4－y 4； (2) 12a 2x 2－27b 2y 2； （3）（x +2y ）2－4；
(4) 9(a+b )2–4(a –b )2 (5) 4x 2－9y 2+4x －6y 六、【作业批改记载】
存在问题： 主要优点： 改进措施： 七．【课堂反思】（教师：教学反思；学生：学习收获与感想）
十字相乘法分解因式练习题 1. 如果))((2b x a x q px x ，那么p 等于() A.ab B.a ＋b C.－ab D.－(a ＋b) 2. 如果 305)(22x x b x b a x ，则b 为() A.5 B.－6 C.－5 D.6 3. 多项式a x x 32可分解为(x －5)(x －b)，则a ，b 的值分别为( ) A.10和－2 B.－10和2 C.10和2 D.－10和－2 4. 不能用十字相乘法分解的是 () A.22x x B.x x x 310322C.242x x D.2 2865y xy x [5. 分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 () A. 20)(13)(22y x y x B.20)(13)22(2y x y x C.20)(13)(22y x y x D.20)(9)(22y x y x 6. 将下述多项式分解后，有相同因式 x －1的多项式有( ) ①672x x ；②1232x x ；③652x x ；④9542x x ；⑤823152x x ；⑥12 1124x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个7.10 32x x .8.6 52m m (m ＋a)(m ＋b).a ＝_____，b ＝__________. 9.3522x x (x －3)(). 10.2x ____22y (x －y)(__________). 11.1522x x =______________. 12. 当k ＝______时，多项式k x x 732有一个因式为__________. 13. 若x －y ＝6，3617 xy ，则代数式3 2232xy y x y x 的值为__________. 14. 把下列各式分解因式：
十字相乘法进行因式分解 1．二次三项式 多项式ax2 bx c ，称为字母x的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx为一次项， c 为常数项．例如，x2 2x 3和x2 5x 6都是关于x的二次三项式． 在多项式x2 6xy 8 y2中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式2a2b2 7ab 3 中，把ab 看作一个整体，即2(ab)2 7(ab) 3，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式(x y)2 7(x y) 12 ，把x＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是： (1)对于二次项系数为1 的二次三项式x2 px q ，如果能把常数项q 分解成两个因数a， b 的积，并且a＋b 为一次项系数p，那么它就可以运用公式 2 x (a b)x ab (x a)( x b) 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” ．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax2 bx c(a，b，c 都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数a1,a2,c1,c2，使a1 a2 a，c1 c2 c，且a1c2 a2c1 b， 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一
因式分解的几种方法 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。把一个多项式在一个范围(如有理数范围内分解，即所有项均为有理数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 因式分解的几种方法 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x3-2x2-x x3-2x2-x=x(x2-2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2+4ab+4b2 解：a2+4ab+4b2=(a+2b)2 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m2+5n-mn-5m 解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n
= (m2-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且 ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2-19x-6 分析：1×7=7,2×(-3)=-6 1×2+7×(-3)=-19 解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x2+6x-40 解x2+6x-40=x2+6x+(9) -(9 ) -40 =(x+ 3)2-(7 )2 =[(x+3)+7]*[(x+3) – 7] =(x+10)(x-4) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)
高中数学因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题) x-2x-x=x(x-2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题) 解：a+4ab+4b=（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m+5n-mn-5m 解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n =(m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x-19x-6 分析：1-3 72 2-21=-19 解：7x-19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x+3x-40
解x+3x-40=x+3x+()-()-40 =(x+)-() =(x++)(x+-) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a +b) 7、换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x-x-6x-x+2 解：2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x =x[2(x+)-(x+)-6 令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6 =x[2(y-2)-y-6] =x(2y-y-10) =x(y+2)(2y-5) =x(x++2)(2x+-5) =(x+2x+1)(2x-5x+2) =(x+1)(2x-1)(x-2) 8、求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x) 例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6 解：令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1 则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x，则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知 识点归纳 ★★ 知识体系梳理 ◆ 分组分解法： 用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。 、分组后能提公因式； 2、分组后能运用公式 ◆ 十字相乘法： 、型的二次三项式因式分解： （其中，） 、二次三项式的分解： 如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式： 借助于画十字交叉线排列如下：
◆ 因式分解的一般步骤：一提二代三分组 ①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； ②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法； ③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。 ◆ 因式分解几点注意与说明： ①、因式分解要进行到不能再分解为止； ②、结果中相同因式应写成幂的形式； ③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 ★★ 典型例题、解法导航 ◆ 考点一：十字相乘法 、型三项式的分解 【例1】计算：
（1） （2） （3） （4） 运用上面的结果分解因式： ①、 ②、 ③、 ④、 方法点金：型三项式关键是把常数分解为两个数之积（），而这两个数的和正好等于一次项的系数（）。 ◎变式议练一： 、 2、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条的整数的个数为（ ） 、个 、个 、个 、个 3、把下列各式分解因式： ①、
因式分解的十二种方法全攻略 1.1提公因式法 【例1】 分解因式： 3222524261352xy z xy z x y z -++ 1.2公式法 平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+ 2222()a ab b a b -+=- 三项完全平方公式： 立方和差公式： 【例2】 分解因式：66a b - 附加：分解因式：333333()()()a b b c c a a b c ++++++++ 1.3选主元 【例3】 分解因式：1a b c ab bc ca abc +++++++. 练习：分解因式：1、2222a b ab bc ac --++ 附加：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++
1.4分组分解法 【例4】 分解因式：1、ax ay bx cy cx by -++--； 【例5】 3254222x x x x x --++- 【例6】 分解因式2244243x xy y x y ++---． 1.5拆添项法 【例7】 分解因式432433x x x x ++++ 【例8】 因式分解343a a -+． 【例9】 分解因式：310x x ++ 【例10】 分解因式：421x x ++ 42231x x -+
附加题：1、51x x ++ 2、541a a ++ 1.6十字相乘法 【例11】 分解因式：()()()222221a a x a x a a ---++ 1.7 重组重解 【例12】 分解因式：(6114)(31)2a a b b b +++-- 【例13】 分解因式：2 2(1)(1)(221)y y x x y y +++++ 附加：()()222222ax by ay bx c x c y ++-++ 1.8双十字相乘法 【例14】 分解因式：222332x xy y x y +-+++
十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522 --x x ； （2）2 265y xy x +-． 例2 把下列各式分解因式： （1）3522 --x x ；（2）3832 -+x x ．
例3 把下列各式分解因式： （1）9102 4 +-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ． 点悟：（1）把2 x 看作一整体，从而转化为关于2 x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；
因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
用十字相乘法分解因式 十字相乘法： 一．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 例1把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 变式 1、22215a b ab -- 2、422318a b a b -- 例2把下列各式因式分解： ⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++ 变式 1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +- 例3把下列各式因式分解 ⑴ 223310x y x y y -- ⑵2234710a b ab b -+ 变式 ⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----
二．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 例4把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +- 练习： 1、.因式分解：1、6732-+x x 2、 3832-+x x 例5把下列各式因式分解： （1）422416654y y x x +-； （2） 633687b b a a --； 练习：234456a a a --； 422469374b a b a a +-． 例6把下列各式因式分解 2222-+--+y y x xy x 练习： 233222++-+-y y x xy x 变式：分解因式：22 2456x xy y x y +--+- 变式：. 若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，求m 的值
几种常见的因式分解方法 1． 提取公因式法 2． 分组分解法 3． 应用公式法，常用的公式有： （1）222)(2b a b ab a ±=+± （2）))((22b a b a b a -+=- （3）))((2233b ab a b a b a +±=± （4）33223)(33b a b ab b a a ±=±+± （5）2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++ （6）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 公式（5）证明如下： ac bc ab c b a 222222+++++ 222)22()2(c bc ac b ab a +++++= 22)(2)(c c b a b a ++++= 2)(c b a ++= 公式（6）证明如下： abc c b a 3333-++ abc ab b a c b ab b a a 333332233223---++++= )333(])[(2233abc ab b a c b a ++-++= )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]3)())[((22ab c c b a b a c b a -++-+++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++= 在特殊情况下，当c b a ++＝0时，就有abc c b a 3333-++＝0，
于是， （7）abc c b a 3333=++ 这就是说，如果三个整式的和为零，那么这三个整式的立方和等于这三个整式乘积的三倍． 4．十字相乘法 （1）有二次三项式q px x ++2，如果常数q 能分解成两个因数a 、b 的积，并使a ＋b ＝p ，则有 ))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++ （2）有二次三项式c bx ax ++2，如果二次项系数a 分解成两个因数a 1和a 2，常数项c 分解成两个因数b 1和b 2，并且使b b a b a =+2211，则有 c bx ax ++2211221221)(b b x b a b a x a a +++= ))((2211b x a b x a ++= （3）二元二次多项式f ey dx cy bxy ax +++++22的因式分解． 设f ey dx cy bxy ax F +++++=22 ))((222111c y b x a c y b x a ++++= 则])][()[(222111c y b x a c y b x a F ++++= 211122212211)()())([(c c y b x a c y b x a c y b x a y b x a +++++++= 可以看出，a 1、a 2、b 1、b 2是由22cy bxy ax ++确定的，这样可对22cy bxy ax ++先进行因式分解，再把f 分解成因数c 1和c 2．如果 ey dx y b x a c y b x a c +=+++)()(112221 则F 就可分解成两个一次因式111c y b x a ++和222c y b x a ++的积．这种分解方法可视为双十字相乘法． 对一个较复杂的多项式进行因式分解时，经常要综合运用以上方法，有时需要拆项和增减项，但在拆项和增减项时，要注意和原来的多项式保持相等．
因式分解常用的几种方法 十字相乘法。 双十字相乘法运用很巧妙，可以将一个很复杂的数据简单地呈现，我们一起来学习一下吧！！ 双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。 双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下: ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f x、y为未知数，其余都是常数 用一道例题来说明如何使用。 例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12． 分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 解：图如下，把所有的数字交叉相连即可 x 2y 2 ① ② ③ x 3y 6 ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)． 双十字相乘法其步骤为： ①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中 x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)； ③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。 纯粹数学可以是实际有用的，而应用数学也可以是优美高雅的。下面，就来看看因式分解的题目了，你们想必也会乐在其中。 1．△ABC的三边a、b、c有如下关系式： -c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a+2b+c)=0． ∵a、b、c是△ABC的三条边， ∴a+2b+c>0． ∴a－c=0， 即a=c，△ABC为等腰三角形。 3证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33
因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35； (3)18x 2－21x+5； (4) 20－9y －20y 2； (5)2x 2+3x+1； (6)2y 2+y －6； (7)6x 2－13x+6； (8)3a 2－7a －6； (9)6x 2－11x+3； (10)4m 2+8m+3； (11)10x 2－21x+2； (12)8m 2－22m+15； (13)4n 2+4n －15； (14)6a 2+a －35； (15)5x 2－8x －13； (16)4x 2+15x+9； (17)15x 2+x －2； (18)6y 2+19y+10； (19) 2(a+b) 2+(a+b)(a －b)－6(a －b) 2； (20)7(x －1) 2+4(x －1)－20； 1.232++x x 2.562++x x 3.11122++x x
4.17182++x x 5.342++x x 6.342+-x x 7.322-+x x 8.322--x x 9.672+-x x 10.652--x x 11.62-+x x 12.62--x x 13.22625a a +- 14.2024--x x 15.8624++x x 16. 42718x x +- 17.2223y xy x +- 18. 22149b ab a +- 19.8722--ax x a 20.10322-+mn n m 21. 223613b yb y +- 22. 9102+--a a 23. a a a 12423+-- 24. 222265x y x y x -- 25. 3)(4)(2++-+x b a b a 26. 10)2(3)2(2-+++y x y x
十字相乘法分解因式 同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？ 观察=，可知=。 这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。这就是分解因式的十字相乘法。 下面举例具体说明怎样进行分解因式。 例1、因式分解。 分析：因为 7x + (-8x) =-x 解：原式=（x+7）（x-8） 例2、因式分解。 分析：因为 -2x+（-8x）=-10x 解：原式=（x-2）（x-8） 例3、因式分解。 分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。 因为 9y + 10y=19y 解：原式=（2y+3）（3y+5） 例4、因式分解。 分析：因为 21x + (-18x)=3x 解：原式=（2x+3）（7x-9） 例5、因式分解。 分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。
因为 -25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2） 解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2] =（2x-1）（5x+8） 例6、因式分解。 分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。 因为 -2+[-12]=-14 a + (-2a)=-a 3a +（-4a）=-a 解：原式=[-2][ -12] =(a+1)(a-2)(a+3)(a-4) 从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了 因式分解的一点补充——十字相乘法 宜昌九中尤启平 教学目标 1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解； 2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。 教学重点和难点 重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。 难点：灵活运用十字相乘法因分解式。 教学过程设计 一、导入新课 前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).
因式分解之十字相乘法几大类型 一. 基本十字相乘法 1、分解因式：2421x x --. 2、分解因式：2712x x -+. 3、分解因式：21118x x ++. 4、分解因式：2421a a --+. 5、分解因式：2522+-x x . 6、分解因式：2321a a --. 7、分解因式：23145b b +-. 8、分解因式： 2592a a -+. 二. 两个字母的十字相乘法. 9、分解因式：xy y x 2514422-+. 10、 分解因式：22152y ay a --. 11、 分解因式：2210116y xy x ++-. 12、 分解因式：()()2 20x y x y +++-. 13、 分解因式：2278a x ax +-. 14、 分解因式：222256x y x y x -+. 15、 分解因式：3)()(22-+++n m n m . 16、 分解因式：3)()(22----b a b a . . 三. 双十字相乘法 17、 分解因式：233222+++-+y x y xy x . 18、 分解因式：2023265622-++--y x y xy x . 19、 分解因式：y x y xy x 422322++++.
作业 1. 分解因式：20122-+-x x . 2. 分解因式：276x x -+. 3. 分解因式：2328b b --. 4. 分解因式：3522--x x 5. 分解因式：2257x x +-. 6. 分解因式：61362+-x x 7. 分解因式：226420x y xy ++- 8. 分解因式：2232x xy y -+ 9. 分解因式：3168)2(42++--y x y x . 10. 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y . 11. 分解因式：)()()(b a ab a c ca c b bc +--++. 12. k 为何值时，k y x y x +-+-7322可以分解成两个一次因式的乘积？ 13. 分解因式：1)1()2+-+ab b a （. 14. 已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且027334222=+--++b bc ab c ac a ，求证： c a b +=2.
十字相乘法因式分解练习题 1、=++232 x x 2、=+-672 x x 3、=--2142 x x 4、=-+1522 x x 5 、 =++8624x x 6、=++-+3)(4)(2 b a b a 7、=+-22 23y xy x 9、=++342 x x 10、 =++1072a a 11、 =+-1272y y 12 =+-862q q 13、=-+202 x x 14 =-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822 t t 17、=--2024 x x 18、=-+8722 ax x a 19、=+-22 149b ab a 20、=++22 1811y xy x 21、=--2222 65x y x y x 22、=+--a a a 12423 23、=++101132 x x 24、=+-3722 x x 25、=--5762x x 26、=-+22 865y xy x 27、=++71522 x x 28、=+-4832 a a 29、=-+6752x x 30、=-+1023522 ab b a 31、=+-2222 10173y x abxy b a 32、=--22224 954y y x y x 33、=-+15442 n n 34、=-+3562 l l 35、=+-22 22110y xy x 36、=+-22 15228n mn m 一元二次方程的解法 1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322=- 3、 2260x y -+= 4、01072=+-x x 5、 ()()623=+-x x 6、()()03342 =-+-x x x
十字相乘法因式分解练习题 一、选择题 1 ． 如 果 ) )((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b ) 2 ． 如 果 30 5)(22--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6 3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2 4 ． 不 能 用 十 字 相 乘 法 分 解 的 是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )
①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题 7．=-+1032x x ___ ______． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__ ________，b ＝____ __ ____． 9．=--3522x x (x －3)(___ _______)． 10．+2x _ ___=-22y (x －y )(_____ _____)． 11．22____)(____(_____)+=++ a m n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(________ __)． 13．若x －y ＝6，36 17 =xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为_______ ___． 三、解答题 14．把下列各式分解因式： 2522++x x 3832-+x x 20322--x x 6732-+x x 25562--x x 2352--x x 6724+-x x ； 36524--x x ；
因式分解的十二种方法因式分解的方法顺 口溜 因式分解的十二种方法 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x3-2x2-x (2003淮安市中考题) x3 -2x2 -x=x(x2 -2x -1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 + 4ab + 4b2 (2003南通市中考题) 解：a 2 + 4ab +4b2 =（a+2b）2 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m 2 + 5n - mn - 5m 解：m 2 + 5n - mn - 5m= m2 - 5m - mn + 5n = (m2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n)
4、十字相乘法 对于mx 2 +px+q形式的多项式，如果a ×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x 2 -19x-6 分析： 1 - 3 7 2 2 - 21=-19 解：7x 2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x 2 +3x-40 33解 x 2 +3x - 40=x 2 + 3x + ( 2) 2 - ( 2 ) 2 -40 313=(x + 2 ) 2 - ( 2 ) 2 313313=(x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 ) =(x+8)(x-5) [1**********]注：( ) 2 + ==( ) 2=( ) 2 244422 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c – a + a +b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
十字相乘法分解因式 (1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式 它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 例5、分解因式：652 ++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2 解：652++x x =32)32(2?+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。 例1、分解因式：672 +-x x 解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1 =)6)(1(--x x 1 -6 （-1）+（-6）= -7 练习1、分解因式 (1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x 练习2、分解因式
板块二：选主元 【例1】 分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++ 【例2】 分解因式：(6114)(31)2a a b b b +++-- 【例3】 分解因式：2222a b ab bc ac --++ 【例4】 分解因式：2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++ 【例5】 分解因式：22(1)(1)(221)y y x x y y +++++ 【例6】 分解因式：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++ 【例7】 分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z --++- 板块三：双十字相乘 双十字相乘法： 对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++，可以看作先将关于x 的二次三项式 22()ax by d x cy ey f +++++的“常数项”2cy ey f ++用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。 由于这种方法两次使用了十字相乘法，故称之为双十字相乘法. 【例8】 分解因式：222332x xy y x y +-+++ 【例9】 分解因式：22344883x xy y x y +-+--
【例10】 分解因式：2265622320x xy y x y --++- 【例11】 分解因式：22276212x xy y x y -++-- 【例12】 分解因式：22121021152x xy y x y -++-+ 【例13】 分解因式：22243x y x y ---- 【例14】 分解因式：22534x y x y -+++ 【例15】 分解因式：2222()3103x a b x a ab b ++-+- 【例16】 分解因式：22265622320x xy y xz yz z ----- 【例17】 已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+=，求证： 2b a c =+ 【例18】 分解因式：2262288x xy y x y +-+-- 【例19】 分解因式：223224x xy y x y ++++ 【例20】 分解因式：222695156x xy y xz yz z -+-++