数学选修4-4 坐标系与参数方程
[基础训练A 组]
一、选择题
1．若直线的参数方程为12()23x t
t y t =+??=-?
为参数，则直线的斜率为（ ）
A ．23
B ．23-
C ．
32
D ．32
-
2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ
θθθ=??
=+?
为参数上的点是（ ） A
．1
(,2
B ．31
(,)42
-
C
． D
．(1, 3．将参数方程2
2
2sin ()sin x y θ
θθ
?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）
A ．201y y +==2x 或
B ．1x =
C ．201y +==2x 或x
D ．1y = 5．点M
的直角坐标是(1,-，则点M 的极坐标为（ ）
A ．(2,
)3
π
B ．(2,)3
π
-
C ．2(2,
)3
π D ．(2,2),()3
k k Z π
π+
∈
6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
二、填空题 1．直线34()45x t t y t
=+??
=-?为参数的斜率为______________________。
2．参数方程()2()
t t
t t
x e e
t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3．已知直线113:()24x t l t y t
=+??
=-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
则AB =_______________。
4．直线122()112
x t t y t ?
=-????=-+??为参数被圆22
4x y +=截得的弦长为______________。
5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。 三、解答题
1．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点， （1）求2x y +的取值范围；
（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。
2．
求直线11:()5x t l t y =+???
=-+
??为参数
和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，
及点P 与(1,5)Q -的距离。
3．在椭圆
2
2
116
12
x
y
+
=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。
数学选修4-4 坐标系与参数方程
[综合训练B 组]
一、选择题
1．直线l 的参数方程为()x a t
t y b t =+??=+?
为参数，
l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ）
A ．1t
B ．12t C
1 D
1
2．参数方程为1()2x t t t y ?
=+
???=?
为参数表示的曲线是（ ）
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．一条射线
D ．两条射线 3
．直线112()2
x t t y t ?
=+??
?
?=-??为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点， 则AB 的中点坐标为（ ）
A ．(3,3)- B
．(3) C
．3)- D
．(3, 4
．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ）
A ．4(5,)3
π--
B ．(5,
)3
π
- C ．(5,
)3
π
D ．5(5,
)3
π-
5
．与参数方程为)x t y ?=??
=??为参数等价的普通方程为（ ） A ．2
14y
+
=2
x B ．2
1(01)4y
x +
=≤≤2
x
C ．2
1(02)4
y
y +
=≤≤2
x D ．2
1(01,02)4
y
x y +
=≤≤≤≤2
x
6．直线2()1x t t y t
=-+??
=-?为参数被圆22
(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ） A
． B ．1404
C
D
二、填空题
1．曲线的参数方程是211()1x t t y t ?
=-?
≠??=-?为参数,t 0，
则它的普通方程为__________________。 2．直线3()14x at
t y t =+??=-+?
为参数过定点_____________。
3．点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。 4．曲线的极坐标方程为1tan cos ρθθ
=?
，则曲线的直角坐标方程为________________。
5．设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。 三、解答题 1．参数方程cos (sin cos )()sin (sin cos )
x y θθθθθθθ=+??=+?为参数表示什么曲线？
2．点P 在椭圆
2
2
116
9
x
y
+
=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。
3．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=，
（1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与圆42
2
=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。
数学选修4-4 坐标系与参数方程.
[提高训练C 组]
一、选择题
1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）
A ．1
21
2
x t y t
-?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 2．曲线25()12x t t y t
=-+??
=-?为参数与坐标轴的交点是（ ）
A ．2
1
(0,)(,0)5
2
、
B ．1
1
(0,)(,0)5
2
、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5
(0,)(8,0)9、
3．直线12()2x t t y t
=+??
=+?为参数被圆22
9x y +=截得的弦长为（ ） A ．125 B
．
C
．
D
．
4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t
?=?
=?为参数上， 则PF 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
5．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）
A ．极点
B ．极轴
C ．一条直线
D ．两条相交直线
6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）
A ．cos 2ρθ=
B ．sin 2ρθ=
C ．4sin()3
π
ρθ=+ D ．4sin()3
π
ρθ=-
二、填空题
1．已知曲线2
2()2x pt t p y pt ?=?=?
为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，
120t t +=且，那么M N =_______________。
2
．直线2()3x t y ?=--??=+??为参数上与点(2,3)A -
_______。
3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ
=+??
=-?为参数，则此圆的半径为_______________。
4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。
5．直线cos sin x t y t θθ
=??=?与圆42cos 2sin x y αα
=+??
=?相切，则θ=_______________。
三、解答题
1．分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 2
1()sin 2
t t
t t x e e y e e θθ--?=+????=-??化为普通方程：
（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数；
2
．过点0)2
P 作倾斜角为α的直线与曲线2
2
121x y +=交于点,M N ，
求PM PN ?的值及相应的α的值。
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组]
一、选择题 1．D 2331
22
y t k x t
--=
==-
-
2．B 转化为普通方程：21y x =+，当34
x =-时，12
y =
3．C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈ 4．
C
(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-==
===或
5．C 2(2,2),()3
k k Z ππ+∈都是极坐标
6．C 2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即 则,2
k π
θπ=+或22
4x y y +=
二、填空题 1．54
-
455
3
44
y t k x t
--=
=
=-
-
2．2
2
1,(2)416x y x -=≥ 22()()4
2
2
222
t
t t t t
t
y x e x e e y y x x y y e e x e
---?
?+==+???
??+
-
=??
=-??-
=???
3．5
2 将1324x t y t
=+??=-?代入245x y -=得12t =，则5(,0)2B ，而(1,2)
A ，得5
2A B = 4
． 直线为10x y +-=，圆心到直线的距
离2
d =
=
，弦长的一半
为
2
=
5．2
π
θα=
+ c o s c o s s i n s i n 0,c o s (ρθαρθαθα+=-=，取2
π
θα-=
三、解答题
1．解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ=??=+?
，
22cos sin 1)1x y θθθ?+=++=
++
121x y ∴≤+≤
（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥
(c o s s i n )2s i n ()1
4
1
a a π
θθθ∴≥-+-=+-
∴≥ 2
．解：将15x t y =+???
=-+
??
代入0x y --=
得t =，
得(1P +，而(1,5)Q -
，得PQ ==3
．解：设椭圆的参数方程为4cos x y θ
θ
=???=??
，d =
o s s i n 2c o s ()3
3
θ
θθθ=
-+- 当c o s ()13
π
θ+
=
时，m i n
5
d =，此时所求点为(2,3)-。
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数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B 组]
一、选择题
1．C
1=
2．D 2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线
3．D
2
21(1)()162
2
t ++-=，得2
880t t --=，12
128,
42
t t t t ++==
中点为114324
2
x x y y ?
=+??=???
???=???=-??4．A 圆心为5
(,)2
2
-
5．D 2
2
2
22
,
11,1,0,011,024
4
y
y
x t t x x t t y ==-=-+
=≥≤-≤≤≤而得
6．C
222
112
x x t y t y ?=-+??=-+?????
=-??
=-???，把直线21x t y t =-+??=-?代入 22(3)(1)25x y -++=得222
(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=
12t t -==
12t -=
二、填空题 1．2
(2)(1)(1)
x x y x x -=
≠- 111,,1x t t
x
-=
=
-而2
1y t =-，
即2
2
1(2)1(
)(1)1(1)
x x y x x
x -=-=
≠--
2．(3,1)- 143
y x a
+=-，(1)4120y a x -++-=对于任何a 都成立，则3,1x y ==-且 3
． 椭圆为
2
2
16
4
x
y
+
=
，设c o s ,2s i n )
P θθ，
24sin )x y θθθ?+=+=+≤
4．2x y = 2
2
2
2
1s i n t a n ,c o s s i n ,c o s s i n ,c o s c o s
θρθρθθρθρ
θθ
θ=?
=
==即
2
x y = 5．22
2
4141t x t t y t ?
=??+??=
?+? 22
()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =；当0x ≠时，241t x t =+； 而y t x =，即2241t y t =+，得22
2
4141t x t
t
y t ?
=??+??=?+?
三、解答题 1．解：显然
tan y x
θ=，则
22
22
2
2
111,cos cos 1
y y x
x
θθ
+=
=
+
2
2
2
2
1
1
2t a n c o s s i n
c o s s i n 2
c o s c o s
2
2
1t a n
x θθθθθθθθ=+=
+=?
++
即22222
2
2
2
2111,(1)12
111y y
y y x x x x y y y x
x
x
x
x
+=
?+=+
=
++
+
+
得2
1y
y x x
x
+
=
+，即22
0x y x y +--=
2．解：设(4cos ,3sin )P θθ，则12cos 12sin 24
5
d θθ--=
即5
d =
当cos()14
π
θ+=-
时，m ax 12(25
d =+
； 当cos()14
π
θ+
=
时，m in 12(25
d =
-
。
3．解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin
6x t y t ππ?=+????=+??
，即12
112x y t ?=+????=+??
（2
）把直线12
112
x y t ?=+????=+??代入422=+y x
得2
22
1(1)(1)4,1)202
2
t t t +++
=+-=
122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2
新课程高中数学训练题组参考答案（咨询139********）
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C 组]
一、选择题
1．D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制 2．B 当0x =时，25t =，而12y t =-，即15
y =
，得与y 轴的交点为1
(0,)5
；
当0y =时，12
t =
，而25x t =-+，即12
x =，得与x 轴的交点为1(
,0)
2
3．B
11221x x t y t y ?
=+??=+??
???
=+??=+
?
??
，把直线122x t y t
=+??
=+?代入
229x y +=得222
(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=
12125
t t -==
=
12t -=
4．C 抛物线为24y x =，准线为1x =-，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4 5．D cos 20,cos 20,4
k π
ρθθθπ===±
，为两条相交直线
6．A 4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切 二、填空题
1．14p t 显然线段M N 垂直于抛物线的对称轴。即x 轴，12122
2M N p t t p t
=-= 2．(3,4)-,或(1,2)-
2222
1()),,2
2
t t +==
=±
3．5 由3s i n 4c o s
4s i n 3c o s
x y θ
θθ
θ=+??
=-?得2225x y +=
4
．2
圆心分别为1
(
,0)2和1
(0,)2
5．
6
π
，或
56
π 直线为t a n y x θ=，圆为2
2
(4)4x y -+=，作出图形，相切时，
易知倾斜角为
6
π
，或
56
π
三、解答题
1．解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即1,0x y ≤=且；
当0t ≠时，c o s
,s i n 11()()
2
2
t
t
t
t
x y e e e e θθ--==
+-
而22
1x y +=，即
2
2
2
2
111()
()
4
4
t
t
t
t
x
y e e e e --+
=+-
（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2
t t
x e e -=±
+，即1,0x y ≥=且；
当,2
k k Z π
θπ=+
∈时，0x =，1()2
t
t
y e e -=±
-，即0x =；
当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t t
t t x e e y e e θθ--?+=???
?-=??，即222cos sin 222cos sin t t x y e x y e θθ
θθ-?=+????=-
??
得222222(
)(
)cos sin cos sin t t x y x y e e θ
θ
θ
θ
-?=+
-
即
222
2
1cos sin x
y
θ
θ
-
=。
2
．解：设直线为cos ()2
sin x t t y t αα?=
+???=?
为参数，代入曲线并整理得
2
2
3(1sin ))02
t t αα+++
=
则122
3
21sin PM PN t t α
?==
+ 所以当2sin 1α=时，即2πα=，PM PN ?的最小值为34，此时2
π
α=。
新课程高中数学训练题组
数学选修4-5 不等式选讲
[基础训练A 组]
一、选择题
1．下列各式中，最小值等于2的是（ ） A ．
x
y y x + B ．
4
52
2
++x x C ．1tan tan θθ
+
D ．22x x -+
2．若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271x y ++的最小值是（ ）
A ．
B ．1+
C ．6
D ．7 3．设0,0,1x y x y A x y
+>>=
++, 11x y B x
y
=
+
++，则,A B 的大小关系是（ ）
A ．A
B = B ．A B <
C ．A B ≤
D ．A B > 4．若,,x y a R +∈，且
y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（ ）
A ．2
B ．
C ．1
D ．12
5．函数46y x x =-+-的最小值为（ ）
A ．2
B ．
C ．4
D ．6 6．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）
A ．[2,1)[4,7)-
B ．(2,1](4,7]-
C ．(2,1][4,7)--
D ．(2,1][4,7)-
二、填空题
1．若0a b >>，则1()
a b a b +
-的最小值是_____________。
2．若0,0,0a b m n >>>>，则b
a , a
b , m
a m
b ++, n
b n a ++按由小到大的顺序排列为
3．已知,0x y >，且22
1x y +=，则x y +的最大值等于_____________。
4．设10
10
10
11
11112
2
12
2
2
1
A =
+
+
++
++- ，则A 与1的大小关系是_____________。
5．函数2
12
()3(0)f x x x x
=+>的最小值为_____________。
三、解答题
1．已知1a b c ++=，求证：22213
a b c ++≥
2．解不等式7340x x +--+>
3．求证：221a b ab a b +≥++-
4．证明：1)1...
<+++
<
数学选修4-5 不等式选讲
[综合训练B 组]
一、选择题
1．设,a b c n N >>∈，且
c
a n c
b b
a -≥
-+
-11恒成立，则n 的最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6 2． 若(,1)x ∈-∞，则函数2
2222
x x y x -+=
-有（ ）
A ．最小值1
B ．最大值1
C ．最大值1-
D ．最小值1-
3．设P =
，Q =
R =
-,,P Q R 的大小顺序是（ ）
A ．P Q R >>
B ．P R Q >>
C ．Q P R >>
D ．Q R P >>
4．设不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．4
(1,)3
C ．4
[1,]3
D ．(0,1)
5．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(
1)(
1)M a
b
c
=---，则必有（ ）
A ．108
M ≤<
B ．
118
M ≤< C ．18M ≤< D ．8M ≥
6．若,a b R +
∈，且,a b M
≠=
+
N =，则M 与N 的大小关系是
A ．M N >
B ．M N <
C ．M N ≥
D ．M N ≤ 二、填空题
1．设0x >，则函数133y x x
=--
的最大值是__________。
2．比较大小：36log 4______log 7
3．若实数,,x y z 满足23()x y z a a ++=为常数，则2
2
2
x y z ++的最小值为 4．若,,,a b c d 是正数，且满足4a b c d +++=，用M 表示
,,,a b c a b d a c d b c d ++++++++中的最大者，则M 的最小值为__________。
5．若1,1,1,10x y z xyz ≥≥≥=，且lg lg lg 10x
y
z
x
y
z
??≥，则_____x y z ++=。
三、解答题
1．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，求参数a 的取值范围。
23
a b c
++≥
3．当3,n n N ≥∈时，求证：22(1)n n ≥+
4．已知实数,,a b c 满足a b c >>，且有222
1,1a b c a b c ++=++=
求证：413
a b <+<
数学选修4-5 不等式选讲
[提高训练C 组]
一、选择题
1．若log 2x y =-，则x y +的最小值是（ ）
A ． 2233
B ．
3323
C ．
2
33 D ．3
22
2．,,a b c R +∈，设a b c d S a b c
b c d
c d a
d a b
=+
+
+
++++++++，
则下列判断中正确的是（ ） A ．01S << B ．12S << C ．23S << D ．34S << 3．若1x >，则函数2
1161
x y x x
x =++
+的最小值为（ ）
A ．16
B ．8
C ．4
D ．非上述情况 4．设0b a >>，
且P =
211Q a b
=
+，
M = 2
a b N +=
，
R =，
则它们的大小关系是（ ）
A ．P Q M N R <<<<
B ．Q P M N R <<<<
C ．P M N Q R <<<<
D ．P Q M R N <<<< 二、填空题 1．函数2
3(0)1
x y x x x =
<++的值域是 .
2．若,,a b c R +
∈，且1a b c ++=，则c b a ++
的最大值是
3．已知1,,1a b c -<<，比较ab bc ca ++与1-的大小关系为 .
4．若0a >
，则1a a
+-的最大值为 .
5．若,,x y z 是正数，且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为______。
三、解答题
1． 设,,a b c R +
∈，且a b c +=，求证：2
2
2
333a b c +>
2．已知a b c d >>>，求证：1119a b
b c
c a
a d
+
+
≥
----
3．已知,,a b c R +∈，比较333a b c ++与222a b b c c a ++的大小。
4．求函数y =+的最大值。
5．已知,,x y z R ∈，且2
2
2
8,24x y z x y z ++=++= 求证：
4443,
3,
3
3
3
3x y z
≤≤≤≤≤≤
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-5 不等式选讲 [基础训练A 组]
一、选择题
1．D
20,20,222x x x x -->>∴+≥= 2．D
3331117x
y
++≥== 3．B 11111x y x
y x y B A x
y
x y
y x
x y
+=
+
>
+
=
=++++++++，即A B <
4．B
,()2
2
x y x y +≥
≥
+
，
2∴≥
，而y x a y x +≤+，
即1a
≥+
恒成立，得
12
a a
≤
≥即5．A 46462y x x x x =-+-≥-+-=
6．D 259
925927253,2534,1253
x x x x x x x x ?-<-<-<-<
二、填空题
1．3
1()3()
a b b b a b -++
≥=-
2．b b m a n a a
a m
b n b
++<<<++ 由糖水浓度不等式知
1b b m
a a m +<
<+，
且
1b b n a
a n
+<
<+，得
1a a n b b n
+>>+，即1a n a b n
b
+<<+
3
．
2
x y x y +≤
+≤=4．1A < 10
10
10
10
11
101010102
11111
11112
2
1
2
2
2
1
2222A =
+
+
++
<
++++=++-
个
5．9
2
212331212
()392
2x x f x x x
x =+=
+
+=
三、解答题
1．证明：2222()(222)a b c a b c ab bc ac ++=++-++
2
2
2
2
()2()a b c a b c ≥++-++
22223()()1
a b c a b c ∴++≥++= 22213
a b c ∴++≥
另法一：2
222
222
1()
3
3
a b c a b c a b c ++++-
=++-
22
2
2
2
2
1(222222)
31[()()()]0
3
a b c ab bc ac a b b c a c =
++---=-+-+-≥
222
13
a b c ∴++≥
另法二：2222222(111)()()1a b c a b c ++++≥++= 即222
3()1a b c
++≥，222
13
a b c ∴++≥
2
．解：原不等式化为73410x x +--+
>
当43
x >
时，原不等式为7(34)10x x +--+
>
得52x <+
，即
453
2
x <<+
；
当473
x -≤≤
时，原不等式为7(34)10x x ++-+
>
得12
4
x >--
，即142
4
3
x --<≤；
当7x <-
时，原不等式为7(34)10x x +--+
>
得62x >-，与7x <-矛盾；
所以解为152
4
2
x -
-
<<+