梯形
一．选择题
1．（2013兰州，6，3分）下列命题中是假命题的是（）
A．平行四边形的对边相等B．菱形的四条边相等
C．矩形的对边平行且相等D．等腰梯形的对边相等
考点：命题与定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；等腰梯形的性质．分析：根据平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的判定与性质分别判断得出答案即可．解答：解：A．根据平行四边形的性质得出平行四边形的对边相等，此命题是真命题，不符合题意；
B．根据菱形的性质得出菱形的四条边相等，此命题是真命题，不符合题意；
C．根据矩形的性质得出矩形的对边平行且相等，此命题是真命题，不符合题意；
D．根据等腰梯形的上下底边不相等，此命题是假命题，符合题意．
故选：D．
点评：此题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、以及等腰梯形的判定与性质等知识，熟练掌握相关定理是解题关键．
2 ．（2013湖南张家界，6，3分）顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（）A．矩形B．正方形C．菱形D．直角梯形
考点：中点四边形．
分析：根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形．
解答：解：如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是各边的中点，
求证：四边形EFGH是菱形．
证明：连接AC、BD．
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF=AC．
同理FG=BD，GH=AC，EH=BD，
又∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
故选C．
点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，三角形的中位线定理和菱形的判定．用到的知识点：等腰梯形的两底角相等；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形．
3. （2013?宁波3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD
的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（）
A．B．C．D．2
【答案】B．
【解析】延长AE交BC于F，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AE∥CD，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=，BC=4，
∴CF=4﹣=，
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∴AD=CF=．
【方法指导】本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线．
4．（2013上海市，6，4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，
能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）
（A）∠BDC =∠BCD；（B）∠ABC =∠DAB；（C）∠ADB =∠DAC；（D）∠AOB =∠BOC．
5.（2013四川巴中，6，3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD 的中点且EF=6，则AD+BC的值是（）
A．9B．10.5 C．12 D．15
考点：梯形中位线定理．
分析：根据梯形的中位线等于两底和的一半解答．
解答：解：∵E和F分别是AB和CD的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF=（AD+BC），
∵EF=6，
∴AD+BC=6×2=12．
故选C．
点评：本题主要考查了梯形的中位线定理，熟记梯形的中位线平行于两底边并且等于两底边和的一半是解题的关键．
6．（2013湖北省十堰市，1，3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC的长为（）
A．8B．9C．10 D．11
考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质．
分析： 首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出∠B=60°，BF=EC ，AD=EF=5，
求出BF 即可．
解答： 解：过点A 作AF ⊥BC 于点F ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，
∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，
∴∠B=60°，BF=EC ，AD=EF=5，
∴cos60°===，
解得：BF=1.5，
故EC=1.5，
∴BC=1.5+1. 5+5=8．
故选：A ．
点评： 此题主要考查了等腰梯形的性质以及解直角三角形等知识，根据已知得出BF=EC 的
长是解题关键．
7．（2013广东广州，10，4分）如图5，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB=4，AD=6，则tanB=（ ）
A . 32
B . 22
C . 4
11 D . 455
【答案】 B .
【解析】如答案图，∵CA 是∠BCD 的平分线
∴∠1=∠2
∵AD ∥BC
∴∠1=∠3
从而∠3=∠2
∵AD=6
∴CD=AD=6
作DE ⊥AC 于E
可知AE=CE
∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC
∴△ABC ∽△EDC
∴AC
CE BC CD = ∵AE=CE ， CD=6
∴BC=12
在Rt △ABC 中，由勾股定理求得AC=82
所以，tanB=22，答案选B 。
【方法指导】1.一道几何题中，同时有角平分线和平行线，要注意角间的转化；2.对于等腰三角形，要注意运用“三线合一”的性质将问题转化．
8．（2013山东德州，7，3分）下列命题中，真命题是
（2）对角线相等的四边形是等腰梯形
（3）对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
（4）对角线互相垂直的四边形是菱形
（5）四个角相等的边形是矩形
【答案】D
【解析】A 、对角线相等的四边形是等腰梯形，是假命题，如：对角线相等的四边形可以 是矩形等；B 、对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，如：满足条件的四边形 可以是菱形，但菱形不是正方形哦；D 、四个角相等的边形是矩形是假命题，如：满足条件的四边形可以是正方形，但要注意矩形与正方形是一般与特殊关系.
【方法指导】本题考查了命题真、假的判断.实际可以记住我们已经学过的相关定义、定理、数学基本事实等，它们都是真命题.
9. （2013四川宜宾，12，3分）在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AB =BC ，E 为AB 边上的一点，∠BCE =15°，且AE =AD ，连接DE 交对角线AC 于H ，连接BH ．下列结论：①△ACD ≌△ACE ；②△CDE 等边三角形； ③2=BE
EH ；④CH AH S S EHC EDC =??．其中结论正确的是( )
A ．只有①②
B ． 只有①②④
C ． 只有③④
D ． ①②③④