“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用
一、“一线三等角”模型的提炼
例1、（2015 年山东·德州卷）
(1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.
(2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.
(3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B相切，求t 的值.
变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究
如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1
和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK = ∠ACD1．作
D1M ⊥KH，D2N ⊥KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明．
( 2) 拓展延伸
1如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线K1H1
，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1 = ∠BH2K2 = ∠ACD1．作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由．
2如图8，若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)
二、添加辅助线后运用基本图形
例1、在△ABC中，AB =2，∠B = 45°，以点A为直角顶点作等腰Ｒt△ADE，点D 在BC 上，点E 在AC 上，若CE=5，求CD的长。
例2、( 2013 年海淀区一模22 题最后一问) 如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．
例3、如图，在矩形纸片AＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝４，在ＡＢ边上取点Ｇ，现将纸片沿ＥＧ翻折，使点Ａ落在ＣＤ边上的点Ｆ处，当ＡＥ＝３时，求ＢＧ的长。
三、应用举例
1、等腰三角形底边上的一线三等角
例1、如图5，在三角形ABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B.
(1)如图5，当射线DN经过A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与三角形ADE相似
的三角形。
(2)如图6，将∠MDN绕点D逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点，（E和A点不重
合），不添加辅助线，写出图中所有相似的三角形，并证明。
(3)在图6中，若AB=AC=10，BC=12，当三角形DEF的面积等于三角形面积的1/4时，求线段EF的
长。
例2、如图8，在Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45°角的顶点放在BC 中点O 处，三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、F，设BE =x，CF = y，∠BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°) ．
( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;
( 2) 试判断∠BEO 与∠OEF 的大小关系?并说明理由;
( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，⊿OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应
x 的值; 若不能，请说明理由．
【例3】（2012四川·成都卷）如图，△ABC和△DEF两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P，线段EF 与射线CA 相交于点Q．
（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
并求当BP=a，CQ=9a/2 时，P、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）
6、（东城一模24.）等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、
F.
（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.
2、四边形中的一线三等角
例1、如图，正方形ABCD 的边长为1cm，M、N 分别是BC、CD 上两个动点，
且始终保持AM ⊥ MN，设BM 的长为x cm，CN的长为y cm.求点M 在BC 上的运动过程中y 的最大值
例2
例3、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，BC = 4AD = 4 2，∠B = 45°，点 E、F 分别在边BC、CD 上移
动，且∠AEF = 45°，则点E 移动过程中，线段AF 长 的最小值是（ ）
例4．如图,在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，
60ABC ∠=，点E F ，分别在线段
AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合），且120BEF ∠=，设AE x =，． ⑴ 求y 与x 的函数表达式；
⑵ 当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？
例4、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AB =8，
34
tan =
∠CAD ，CA =CD ，E 、F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 与点A 、D 不重合），且∠FEC =∠ACB ，设DE=x ，CF=y .
（1）求AC 和AD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式；
（3）当△EFC 为等腰三角形时，求x 的值.
Ａ Ｅ
Ｄ Ｆ
Ｃ Ｂ
3、函数问题中的一线三等角．
例1、在直角坐标系中，点A 是抛物线y= x2在第二象限上的点，连结OA，过点O 作OB ⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB 为边构造矩形AOBC．如图，当点A 的横坐标为－1/2时，求点B 的坐标．
例2、如图，已知直线y = kx 与抛物线y = － 4/27 x2 + 22/3交于点A( 3，6) ．若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上( 与点O、A 不重合) ，点D( m，0 ) 是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE = ∠BED = ∠AOD．试探究: m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1 个、2 个?
一线三等角模型 一 . 一线三等角概念 “一线三等角” 是一个常见的相似模型， 指的是有 三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角， 也可以是锐角或钝角。 不同地区对此有不同的称呼， “K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角” 。二 . 一线三等角的分类 全等篇 C D D C A P B A P B 锐角 直角 D D D C A P B 同侧 钝角 D A A B P P B A B P C C 相似篇 C 异侧 D C D C A P B A P B 锐角 直角 D D C A P B 同侧 钝角 D D A B P A B P A B P C C C 异侧 三、“一线三等角”的性质 1. 一般情况下，如图 3-1 ，由∠ 1=∠ 2=∠ 3，易得△ AEC ∽△ BDE. 2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等 . 如图 3-1 ，若 CE=ED ，则△ AEC ≌△ BDE.
3.中点型“一线三等角” 如图 3-2，当∠ 1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△ BDE∽△ CFD∽△ DFE. 4. “中点型一线三等角“的变式( 了解 ) 如图 3-3，当∠ 1=∠2 且BOC 901 BAC 时，点O是△ABC的内心.可以考虑构2 造“一线三等角”. 如图 3- 4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， BOC901 BAC 这是内心的性质，反之未必是内心. 2 在图 3-4（右图）中，如果延长BE 与 CF，交于点 P ，则点 D 是△ PEF 的旁心 . 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5 ，以等腰三角形为例进行说明） 图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解 . 相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况 . a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；
基本图形：一线三等角，相似两边找 “一线三等角”这个基本图形性质虽然不同，就是可以得到一组相似三角形而已，但因为这组相似三角形的对应关系较难看出，因此根据这个基本图形先判断存在着一组相似三角形，就有其价值了。 例1：在等腰△ABC中，AB=AC,D是BC上的一点，作∠ADE=∠B,问：△ABD与△DCE相似吗？如果相似，请写出这组相似三角形顶点和边的对应关系。 讲评：从这个例子，我们可以提炼出如下基本图形：“三个相等的顶点在一直线上，就有两个三角形相似”这个结论。这就成为一个基本图形，简称“一线三等角”。 如图，当∠A=∠B=∠EDC时，就有△ADE∽△CDB； 其证明只要用到外角知识。“一线三等角”不能作为定理直接引用，因此在书写证明时，还得用外角知识重新证明。 数学上特别注意的是，这对相似三角形的对应关系不太“顺眼”，要把其中一个三角形转过一个角度后，才比较容易看出顶点的对应关系和对应边。比较好的记忆方法“逆时针比例法”：从图中的点E出发，沿逆时针沿外周绕，得比例EA:AD=DB:BC.
例2：在等边△ABC中，将角A翻折，使点A落在BC边的D点上，EF为折痕，求证：△BED∽△CDF.并写出对应线段比例式。 例3.在矩形ABCD中，AD=4，CD=5，点F在AD上，将角D沿CF翻折,使点D落在AB边的点E处，求 的值。 例4：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=2，BC=8，∠MEN=∠B.∠MEN的顶点E在边BC上移动，一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F,连接AF。设BE=，DF=，试建立关于的函数关系式，并写出函数定义域。
高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一：任意角的三角函数 一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边 相同的角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ ， 弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2112 2 s lr r α==， 二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22 r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1.平方关系： 22sin cos 1 αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质 1-1 y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x 1-1y=cosx -3π2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π 4π 3π 2π π -π o y x
2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图：五点分别为： 、 、 、 、 。 3、图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ?=?=+
“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用 一、“一线三等角”模型的提炼 例1、（2015 年·卷） (1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP. (2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由. (3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边AB 向点 B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t （秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B 相切，求t 的值. 变式1 ( 2012 年) ( 1) 问题探究 如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD 1E 1 和正方形BCD 2E 2，过点C 作直线KH 交直线AB 于点H ，使∠AHK = ∠ACD 1 ． 作 D 1M ⊥ KH，D 2N ⊥ KH，垂足分别为点M 、N ． 试探究线段D 1M 与线段D 2N 的数量关系，并加以证明． ( 2) 拓展延伸 1 如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线K 1H 1 ，K 2H 2，分别交直线AB 于点H 1、H 2，使∠AH 1K 1 = ∠BH 2K 2 = ∠ACD 1 ． 作D 1M ⊥K 1H 1，D 2N⊥K 2H 2，垂足分别为点M 、N ． D 1M = D 2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由． 2 如图8，若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变． D 1M = D 2N 是否仍成立? ( 要求: 在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)
—线三等角型相似三角形 强化训练： 1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ； (2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由． 2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F 在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ； (2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ??=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由． 3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点， 然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。 （1）求证△BPD ∽△CEP （2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。 C P E A B D A B C D E A B C D E F
4. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ， 设PC =x ，记PE =1y ，PF =2y （1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式 （2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。 5. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ， 设PC =x ，△PEF 的面积为y （1）写出图中的相似三角形不必证明； （2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。 6. 已知在等腰三角形ABC 中，4,6AB BC AC ===，D 是AC 的中点， E 是BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使EDF A ∠=∠，射线DF 交射线EB 于点F ，交射线AB 于点H . （1）求证：CED ?∽ADH ?； （2）设,EC x BF y ==. ①用含x 的代数式表示BH ； ②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域. C P E A B F C P E A B F H A B C D E F
函数概念及其表示---典例分析 例1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）. 选题理由：函数三要素。 A. 1,x y y x == B. 11,y x y = += C. ,y x y == D. 2||,y x y == 点评：有利于理解函数概念，强化函数的三要素。 变式： 1．函数f (x )= 2(1)x x x ??+? ,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）. A. 1 B .2 C. 3 D. 4 例2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ B ）. 选题理由：更好的帮助学生理解函数概念，同时也体现函数的重要表示法图像法，图形法是数形结合思想应用的前提。 变式： 1．下列四个图象中，不是函数图象的是（B ）. 2．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）. A. f ：x →y ＝ 1 2x B. f ：x →y ＝ 1 3x C. f ：x →y ＝1 4x D. f ：x →y ＝1 6 x A. B. C. D.
函数的表达式及定义域—典例分析 【例1】 求下列函数的定义域： （1）1 21 y x = +-；（2 ）y = . 选题理由：考查函数三要素，定义域是函数的灵魂。 解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞. （2 ）由30 20 x -≥??≠，解得3x ≥且9x ≠， 所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞. 选题理由：函数的重要表示法，解析式法。 变式： 1 ．函数y =的定义域为（ ）. A. (,1]-∞ B. (,2]-∞ C. 11(,)(,1]22-∞-- D. 1 1(,) (,1]2 2 -∞-- 2．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ ）. A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)- 【例2】已知函数1( )1x f x x -=+. 求： （1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式 解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1 (2)3f =-. （2）设11x t x -=+，解得11t x t -= +，所以1()1t f t t -=+，即1()1x f x x -=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等. 变式： 1．已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则f ＝______；f ［(2)f ］＝______． 2．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = . 【例 2】 已知f (x )=33x x -+?? (,1) (1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值. 选题理由：分段函数生活重要函数，是考察重点。 解：∵ 0(,1)∈-∞ ， ∴ f 又 ∵ >1， ∴ f )3)-3=2+ 12=52，即f [f (0)]=5 2 . 点评：体现了分类讨论思想。 2．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为 t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）.
相似三角形的判定---“一线三等角”
一、教学目标 1.学生会运用两组对应角分别相等的两个三角形为相似三角形的判定方法证明两个三角形相似。 2.学生经历观察、比较、归纳的学习过程，归纳出“一线三等角”图形的基本特征，并且能够在不同的背景中认识和把握基本图形。 3.学生在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的重要性。 二、教学重点、难点 1、重点：运用判定方法解决“一线三等角”的相关计算与证明 2、难点：在不同背景中识别基本图形 三、教学方法：教师主导与学生合作探究相结合。 四、教学过程
四知识巩固： 1已知，如图，在矩形ABCE 中， D 为EC 上一点，沿线段AD 翻折，使得点 E 落在BC 上，若BC=12,BE ∶EC=2∶1.求AB 的长 A B C D E 借助此题，让学生感到在矩形中因为矩形四个角为直角的特点，容易和“一线三直角”基本图形建立联系。 本题融入了轴对称的变换，让题目更鲜活 教师引导学生观察图形， 找基本图形。 师生共同完成 2. 在平面直角坐标系中，A(0,1),B （2,0），AC ⊥AB,AC=3. 求点C 的坐标。 B A C 在坐标系中感受基本图形的作用。 引导学生分析如果要求出点c 的坐标应求那条线段的长？鼓励学生添加辅助线，构造 基本图形。 学生到黑板上完成。 五课堂小结： 知识：（1）判断相似三角形的方法（2）“一线三等角”的基本特征（3）“一线三等角”在不同背景中的应用 思想方法：转化思想。 通过小结让学生可以梳理一 下本节课所学知识。学生及时的小结为下一阶段的学习打下基础。 教师提问、补充。 学生回答。
一线三等角问题 一、问题引入 如图，ABC ?中，90B ∠=?，CD AC ⊥，过D 作DE AB ⊥交BC 延长线与E 。 求证：△ABC ∽△CED 其他常见的一线三等角图形 （等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角） F （直角坐标系中一线三等角） （矩形，正方形中一线三等角） （1）等腰三角形中一线三等角 例1、 如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上 一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （ 3 ）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长． C (备用图)
（1、 本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必 有三角形相似； （2、 第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少时， 三角线相似。变式练习1就是这类题型； （3、 第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是DF 与底边平行， 一种是E 为中点； （4、 在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰 梯形中也适用。 变式练习1 （浦东新区22题） 如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 、 F 、E 分别在边AB 、BC 、AC 上，3BD =，E 为AC 中 点，当△BPD 与△PCE 相似时，求BP 的值. 变式练习2（宝山22题） 如图6，已知ΔABC 中，AB AC =,点E 、F 在边BC 上，满足∠EAF =∠C .求证： 2BF CE AB ?=； F E C B A （图6） （2）等腰梯形中一线三等角 例2.（长宁区18题）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD = BC =∠45B =?，直角三角板含45度角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F .若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于 . \ 第18题
函数的三要素练习题 （一）定义域 1 、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 2 _ _ _； 定义域为________； [1,1]-； [4,9] 3、若函数(1)f x + (21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。1][,)2 +∞ 4、知函数()f x 的定义域为[]1,1-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。11m -≤≤ 5、求下列函数的定义域 （1）2|1|)43(43 2-+--=x x x y 解：（1）???-≠≠?≠-+≥-≤?≥--3 102|1|410432x x x x x x x 且或 ∴x ≥4或x ≤－1且x ≠－3，即函数的定义域为 （－∞，－3 ）∪（－3，－1）∪[4，+∞] （2）y = {|0}x x ≥ （3）0 1(21)1 11y x x = +-++（二）解析式 1． 设X=｛x|0≤x ≤2｝，Y=｛y|0≤y ≤1｝，则从X 到Y 可建立映射的对应法则是( ) （A ）x y 32= （B ）2)2(-=x y （C ）24 1x y = （D ）1-=x y 2． 设),(y x 在映射f 下的象是)2 ,2(y x y x -+，则)14,6(--在f 下的原象是( ) （A ）)4,10(- （B ）)7,3(-- （C ）)4,6(-- （D ）)2 7,23(-- 3． 下列各组函数中表示同一函数的是 （A ）x x f =)(与2)()(x x g = （B ）||)(x x x f =与?????-=22)(x x x g )0()0(<>x x （C ）||)(x x f =与33 )(x x g = （D ）1 1)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t x g 4． 已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）
几何模型：一线三等 角模型
一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类 全等篇 同侧 锐角直角钝角 P 异侧 相似篇 A 同侧锐角直角钝角 异侧
三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC ∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 3.中点型“一线三等角” 如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1 902 BOC BAC ∠=?+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 1 902 BOC BAC ∠=?+∠这是内心的性质，反之未必是内心. 在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ） 图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用
专题17 一线三等角模型 破解策略 在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ． 1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BP D ． 321D B P A C （2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BP D ． 3 C D B P A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CP A ，∠C ＝180°－∠1－∠CP A ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD （3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP ∽△BP D ． 231D B P A C 2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．
32 1C P D B A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CP A ，∠C ＝180°－∠1－∠CP A ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD 3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ． 32 1C D B A P 证明：∵∠C ＝∠1－∠CPB ，∠BPD ＝∠3－∠CPB ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠BP D ． ∵∠1＝∠2，∴∠P AC ＝∠DBP ．∴△ACP ∽△BP D ． 例题讲解 例1：已知：∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与点A ，B 重合）．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ．记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2． （1）如图1，当△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝∠A 时，若AB ＝6，AD ＝4，求S 1S 2的值； （2）当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α． ①如图2，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b 和a 的三角函数表示）． ②如图3，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1 S 2的表达式．
如图，AB=12 米，CA⊥AB 于点A，DB⊥ AB 于点B，且AC=4 米，点P 从 B 向 A 运动， 每分钟走1米，点Q从B点向D 运动，每分钟走2米，P、Q两点同时出发，运动几分钟 如图①所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，过点 C 在△ABC 外作直线MN，AM⊥M N 于点M，BN⊥MN 于点N． (1)求证：MN=AM＋BN． (2)如图②.若过点C 直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于N，(1)中的 结论是否仍然成立？说明理由. 图① 图②
如图,已知∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC. 1）求证：AM 平分∠DAB 2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？ 3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果。 如图，△ABE≌△EDC，E 在BD 上，AB⊥BD，垂足为B，△AEC 是等腰直角三角形吗？为什么？
练3】正方形ABCD,E 是BC上一点,AE ⊥EF,交∠DCH 的平分线于点F，求证AE=EF
交AC 于点E，CB 的延长线于点F。求证：AB=BF 。(8 分) 如图(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE， (1)试判断AC与CE的位置关系，并说明理由． (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形，其余条件不变，此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请任选一个说明理由． 如图，在△ABC 中，AB=AC，DE 是过点A 的直线，BD⊥DE 于D，CE⊥DE 于点E；如图所示，在Rt ABC中，ABC = 90，
一线三等角专题 1．如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，连接AC ，将纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置．若点B 的坐标为（4，8），则点D 的坐标是____． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，四边形ABCD 是正方形，曲线在第一象限经过点D.则________． 3．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=AD=6, ∠ABC=∠C=70°，点E 、F 分别在线段AD 、DC 上，且 ∠BEF=110°, 若AE=3，求DF 的长． 4．点E 为线段BC 上一点，若 ∠B=∠AEF =∠C=90°, 连接AF ，AB=7,CF=4,BC=11,当△ABE 与△EFC 相似时，求BE 的长． 5．如图设M 为线段AB 中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=α，且DM 交AC 于F ，EM 交BD 于G ． （1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明； （2）连接FG ，设α=45°，AB=4 ,AF=3，求FG 长． 6．如图，已知y 1=k 1x+k 1（k 1≠0）与反比例函数 (k 2≠0)的图象交于点A 、C ，其中A 点坐标（1，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出在第一象限内，当取何值时，y 1＜y 2？ （3）若一次函数y 1=k 1x+k 1与x 轴交于B 点，连接OA ，求△AOB 的面积： （4）在（3）的条件下，在坐标轴上是否存在点P ，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知：在矩形AOBC 中，OB=3，OA=2．分别以OB 、OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点F 是边BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数（k ＞0）的图象与边交于点E ． （1）直接写出线段AE 、BF 的长（用含k 的代数式表示）； 设△AOE 与△FOB 的面积分别为S 1，S 2，求证：S 1=S 2； （3）记△OEF 的面积为S ． ①求出S 与k 的函数关系式并写出自变量k 的取值范围； ②以OF 为直径作⊙N ，若点E 恰好在⊙ N 上，请求出此时△OEF 的面积S ． （4）当点F 在BC 上移动时，△OEF 与△ECF 的面积差记为S ，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？ （5）请探索：是否存在这样的点E ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． A B C D O y x 图4 F E C B A
【例1】已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG． （1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明； （2）将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G（如图②），问（1）中的结论是否仍然成立．证明你的结论； （3）将图①中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接DF，取DF的中点G（如图③），问（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论．
【例2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF． （1）求证：△MEF∽△BEM； （2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； （3）若EF⊥CD，求BE的长．
【例3】如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P 由B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD 于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE∥AB； （2）设△PEQ 的面积为y（cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=25 2S△BCD？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；(4)连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．
张长巧 一线三等角相似专题复习 【“K 型”相似】 1．如图，正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△； （2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位 置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积； 6．如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过 F 点的反比例函数k y x = (k >0)的图像与AC 边交于点E 。 (1)若BF ＝1，求△OEF 的面积； (2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由
第2页 3．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠= ，点E F ，分别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合），且120BEF ∠= ，设AE x =，DF y =． （1）求y 与x 的函数解析式； （2）当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ 4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不能到达点B 、C ），过点D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E 。 （1）求证：△ABD ∽△DCE （2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。 （3）当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长。 B B
-- 一线三等角专题 1．如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，连接AC ，将纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置．若点B 的坐标为（4，8），则点D 的坐标是____． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，四边形ABCD 是正方形，曲线在第一象限经过点D.则________． 3．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=AD=6, ∠ABC=∠C=70°，点E 、F 分别在线段AD 、DC 上，且 ∠BEF=110°, 若AE=3，求DF 的长． 4．点E 为线段BC 上一点，若 ∠B=∠AEF =∠C=90°, 连接AF ，AB=7,CF=4,BC=11,当△ABE 与△EFC 相似时，求BE 的长． 5．如图设M 为线段AB 中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=α，且DM 交AC 于F ，EM 交BD 于G ． （1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明； （2）连接FG ，设α=45°，AB=4 ,AF=3，求FG 长． 6．如图，已知y 1=k 1x+k 1（k 1≠0）与反比例函数 (k 2≠0)的图象交于点A 、C ，其中A 点坐标（1，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出在第一象限内，当取何值时，y 1＜y 2？ （3）若一次函数y 1=k 1x+k 1与x 轴交于B 点，连接OA ，求△AOB 的面积： （4）在（3）的条件下，在坐标轴上是否存在点P ，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知：在矩形AOBC 中，OB=3，OA=2．分别以OB 、OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点F 是边BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数（k ＞0）的图象与边交于点E ． （1）直接写出线段AE 、BF 的长（用含k 的代数式表示）； 设△AOE 与△FOB 的面积分别为S 1，S 2，求证：S 1=S 2； （3）记△OEF 的面积为S ． ①求出S 与k 的函数关系式并写出自变量k 的取值范围； ②以OF 为直径作⊙N ，若点E 恰好在⊙N 上，请求出此时△OEF 的面积S ． （4）当点F 在BC 上移动时，△OEF 与△ECF 的面积差记为S ，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？ （5）请探索：是否存在这样的点E ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． A B C D O y x 图4 F E C B A
函数定义域的求法及常见题型 一、函数定义域求法 （一）常规函数 函数解析式确定且已知，求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。 例1.求函数y = 的定义域。 （二）抽象函数 1.有关概念 定义域：函数y=f(x)的自变量x 的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x 轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变量x 的取值范围； 2.四种类型 题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？ 例题2.已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域 强化训练： 1.已知函数y=f(x)的定义域[-1,5]，求函数y=f(3x-5)的定义域； 2.已知函数y=f(x)的定义域[1/2,2]，求函数y=f(log 2x)的定义域； 3.已知(x)f 的定义域为［－2，2］，求2(x 1)f -的定义域。 题型二：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？ 例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域. 强化训练： 1.已知函数y=f(x 2-2x+2)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域. 2.已知函数y=f[lg(x+1)]的定义域[0,9]，求函数y=f(x)的定义域.
题型三：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域？ 例题5.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+x)的定义域. 强化训练： 1.已知函数y=f(x+1)的定义域[-2,3]，求函数y=f(2x-1)的定义域. 2.已知函数y=f(2x)的定义域[-1,1]，求函数y=f(log 2x)的定义域. 3. 已知f(x+1)的定义域为[-1/2，2]，求f(x 2)定义域。 题型四：已知f(x)的定义域，求与f(x)相关四则运算型函数的定义域。 例6.已知f(x)的定义域为[-3，5]，求φ（x ）=f(-x)+f(2x+5)定义域。 强化训练： 1.已知f(x)的定义域为（0，5]，求g(x)=f(x+a)f(x-a)定义域，其中-1﹤a ≦0。 二、与函数定义域相关的变形题型 （一）逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例7.已知函数的定义域为R ，求实数m 的取值范围。 例8.已知函数27 (x)43 kx f kx kx += ++的定义域是R ，求实数k 的取值范围。 （二）参数型 对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。 例9.已知(x)f 的定义域为［0，1］，求函数(x)(x )(x a)F f a f =++-的定义域。
基本图形:一线三等角，相似两边找 “一线三等角”这个基本图形性质虽然不同，就就是可以得到一组相似三角形而已，但因为这组相似三角形得对应关系较难瞧出,因此根据这个基本图形先判断存在着一组相似三角形，就有其价值了。 例1：在等腰△ABC中，ＡB＝AC，D就是BC上得一点，作∠ADE=∠B,问：△AＢD与△DC Ｅ相似吗？如果相似，请写出这组相似三角形顶点与边得对应关系。 例2：在等边△ＡBＣ中，将角A翻折，使点A落在ＢＣ边得D点上，EF为折痕,求证：△ＢED∽△CDF、并写出对应线段比例式。 讲评:从这个例子,我们可以提炼出如下基本图形:“三个相等得顶点在一直线上,就有两个三角形相似”这个结论。这就成为一个基本图形,简称“一线三等角”。 如图,当∠A=∠B=∠EDC时,就有△ADE∽△CDB; 其证明只要用到外角知识。“一线三等角”不能作为定理直接引用,因此在书写证明时,还得用外角知识重新证明。 数学上特别注意得就是,这对相似三角形得对应关系不太“顺眼”,要把其中一个三角形转过一个角度后,才比较容易瞧出顶点得对应关系与对应边。比较好得记忆方法“逆时针比例法”:从图中得点E出发,沿逆时针沿外周绕,得比例EA:AD=DB:BC、 例3、在矩形ABＣD中，AD=4，ＣD＝5,点F在AD上,将角D沿CＦ翻折，使点D落在ＡＢ边得点Ｅ处，求得值. 例4：如图，在等腰梯形ABCD中，AＤ∥BC,ＡＢ＝DC=５,AD= ２，ＢC=8，∠MEN=∠B、∠MＥＮ得顶点E在边BＣ上移动， 一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F，连接ＡF.设BE=， ＤF=,试建立关于得函数关系式,并写出函数定义域。 例5：如图，在RｔABC中，∠C=９0°,ＢＣ＝６，AＣ=8，O 就是AB上一点,AO=4,P就是AＣ上动点,过点P做OP得垂线交 边BＣ于点Ｑ,设AＰ=，ＣQ=,试求关于得函数解析式，并写出 定义域。
一、选择题 1．已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()() 2200x x x h x x x x ?-+>?=?+≤??， 则()(),f x h x 的奇偶性依次为（ ） A ．偶函数，奇函数 B ．奇函数，偶函数 C ．偶函数，偶函数 D ．奇函数，奇函数 2．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数， 则)2 52()23(2+ +-a a f f 与的大小关系是（ ） A ．)23(-f >)252(2++a a f B ．)23(-f <)2 52(2++a a f C ．)23(-f ≥)252(2++a a f D ．)23(-f ≤)2 52(2++a a f 3．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ） A .2a ≤- B .2a ≥- C .6-≥a D .6-≤a 4．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=， 则()0x f x ?<的解集是（ ） A ．{}|303x x x -<<>或 B ．{}|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}|3003x x x -<<<<或 5．已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( ) A ．2- B ．4- C ．6- D ．10- 6．函数33()11f x x x =++-,则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是（ ） A ．(,())a f a -- B ．(,())a f a - C ．(,())a f a - D ．(,())a f a --- 二、填空题 1．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞ 时，()(1f x x =， 则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________。 2．若函数()2f x a x b =-+在[)0,x ∈+∞上为增函数,则实数,a b 的取值范围是 。 3．已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝_____。 4．若1()2 ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。 5．函数4()([3,6])2 f x x x =∈-的值域为____________。
考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y=3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B. y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C. y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D. y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例1. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） A. y=x B. y = C. 2 y = D.y=t 变式1.下列函数中哪个与函数y = ） A. y = B. y =- C. y =- D. y x = 变式2. 下列各组函数表示相等函数的是（ ） A. 29 3 x y x -=- 与 3y x =+ B. 1y = 与 1y x =-