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初三（上）中考圆习题
1 如图，⊙O 是Rt△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC =30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ， (1)判断△DCE 的形状；(2)设⊙O 的半径为1，且OF =
2
1
3-，求证△DCE ≌△OCB ．
2 如图，AB 是⊙O 的切线，切点为
A ，O
B 交⊙O 于
C 且C 为OB 中点，
4 如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，． （1）求证：直线AB 是O 的切线；
（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；
5 ⊙O 的半径OD 经过弦AB (不是直径)的中点C ，过AB 的延长线上一点P 作⊙O 的切线PE ，E 为切点，PE ∥OD ；延长
直径AG 交PE 于点H ；直线DG 交OE 于点F ，交PE 于点K ． （1）求证：四边形OCPE 是矩形；（2）求证：HK ＝HG ；
第1题图
(第5题) P E D K H G
C A
B
F O
6 如图，直角坐标系中，已知两点(00)(20)O A ，，，，点B 在第一象限且OAB △为正三角形，OAB △的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ．
（1）求B C ，两点的坐标；（2）求直线CD 的函数解析式；
（3）设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长．试探究：AEF △的最大面积？
8 如图，在ABC △中90ACB ∠=，D 是AB 的中点，以DC 为直径的O 交
ABC △的三边，交点分别是G F E ，，点．GE CD ，的交点为M
，且ME = :2:5MD CO =．
（1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O 的直径CD 的长．
．
9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 交x 轴于A 、B 两点，直线FA ⊥x 轴于点A ， 点D 在FA 上，且DO 平行⊙O 的弦MB ，连DM 并延长交x 轴于点C . （1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并给出证明；
（2）设点D 的坐标为（-2，4），试求MC 的长及直线DC 的解析式
.
（第6题）
10 如图，ABC △内接于O ，60BAC ∠=，点D 是BC 的中点．BC AB ，边上的高AE CF ，相交于点H ． 试证明：
（1）FAH CAO ∠=∠； （2）四边形AHDO 是菱形．
初三（上）中考圆习题答案
1 解：(1)∵∠ABC =30°，∴∠BAC =60°．
又∵OA =OC , ∴△AOC 是正三角形．又∵CD 是切线，∴∠OCD =90°，∴∠DCE =180°-60°-90°=30°． 而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED =90°-∠BAC =30°．故△CDE 为等腰三角形．
(2)证明：在△ABC 中，∵AB =2，AC =AO =1，∴BC =2212-=3． OF =
213-,∴AF =AO +OF =2
1
3+． 又∵∠AEF =30°,∴AE =2AF =3+1． ∴CE =AE -AC =3=BC ．
而∠OCB =∠ACB -∠ACO =90°-60°=30°=∠ABC ,故△CDE ≌△COB .
3 .⑴略；⑵
85
； 4 解：（1）证明：如图3，连接OC ． OA OB =，CA CB =，OC AB ∴⊥．AB ∴是O 的切线．
（2）2
BC BD BE =． ED 是直径，90ECD ∴∠=．90E EDC ∴∠+∠=．
又90BCD OCD ∠+∠=，OCD ODC ∠=∠，BCD E ∴∠=∠． 又
CBD EBC ∠=∠，BCD BEC ∴△∽△．BC BD BE BC
∴
=．2
BC BD BE ∴=． （3）1tan 2CED ∠=，12CD EC ∴
=．BCD BEC △∽△，1
2
BD CD BC EC ∴==． 设BD x =，则2BC x =．又2BC BD BE =，2
(2)(6)x x x ∴=+．
解之，得10x =，22x =．
0BD x =>，2BD ∴=．325OA OB BD OD ∴==+=+=．
5 解：(1)∵AC ＝BC ，AB 不是直径，∴OD ⊥AB ，∠PCO ＝90°(1分)
∵PE ∥OD ,∴∠P ＝90°，∵PE 是切线，∴∠PEO ＝90°，(2分)∴四边形OCPE 是矩形.(3分) (2)∵OG ＝OD ,∴∠OGD ＝∠ODG .∵PE ∥OD ,∴∠K ＝∠ODG .(4分) ∵∠OGD ＝∠HGK ,∴∠K ＝∠HGK ,∴HK ＝HG .(5分)
(3)∵EF ＝2，OF ＝1,∴EO ＝DO ＝3.(6分)∵PE ∥OD ，∴∠KEO ＝∠DOE ，∠K ＝∠ODG .
∴△OFD ∽△EFK ，(7分)∴EF ∶OF ＝KE ∶OD ＝2∶1,∴KE ＝6.(8分) 6 （1）
(20)A ，，2OA ∴=．作BG OA ⊥于G ，OAB △为正三角形，
1OG ∴=
，BG =
B ∴．连A
C ，90AOC ∠=，60ACO ABO ∠=∠=，
23
tan 30OC OA
∴==
0C ?∴ ??
．
（2）
90AOC ∠=，AC ∴是圆的直径，又CD 是圆的切线，CD AC ∴⊥．
30OCD ∴∠=，2tan 303OD OC ==．203D ??
∴- ???
，．
设直线CD 的函数解析式为(0)y kx b k =
+≠，
则203b k b ?=?
??
?=-+??
，解得k b ???=
?
?∴直线CD
的函数解析式为y （3）
2AB OA ==，23OD =
，423
CD OD ==，BC OC =
=，∴四边形ABCD 的周长6． 设AE t =，
AEF △的面积为S ，则3AF t =+
-
，13sin 6032S AF AE t ??
==- ?
??
?
．
2
39734
34632S t t t ???
??=+-=--++ ? ? ???????
?
．∴当t =时，max 38
S =+． 点E F ，分别在线段AB AD ，上，02
20323
t t ??
∴?+??
≤≤≤≤
2t ≤≤． 9t +=
2t ≤，AEF ∴△3
8
． 7 解：（1）
以AB 为直径的圆过点C ，90ACB ∴∠=，而点C 的坐标为(02)，，
由CO AB ⊥易知AOC COB △∽△，2
CO AO BO ∴=，
即：4(5)AO AO =-，解之得：4AO =或1AO =．OA OB >，4AO ∴=，
A
B C
(第22题) （第6题）
（第6题）
即41A B x x =-=，．由根与系数关系有：2
1
A B A B x x m x x n +=+??
=-?，
解之5m =-，3n =-．
（2）如图（3），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ， 易知DE AC ⊥，且45ECD EDC ∠=∠=， 在ABC △
中，易得AC BC ==
AD AE
DE BC DB EC
∴
=∥，， AD AE DE EC BD DE =∴=，， 又AED ACB △∽△，有AE AC ED BC =，2AD AC
DB BC
∴==， 553AB DB ==
，，则23OD =，即203D ??- ???
，，易求得直线l 对应的一次函数解析式为：32y x =+．
解法二：过D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ，由ACD BCD ABC S S S +=△△△
，求得DE =又1122BCD S BD CO BC DF =
=△求得5233BD DO ==，．即203D ??- ???
，，易求直线l 解析式为：32y x =+． （3）过点D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ．CD 为ACB ∠的平分线，DE DF ∴=．
由MDE MNC △∽△，有
DE MD
CN MN
= 由DNF MNC △∽△， 有
DF DN CM MN =1DE DF MD DN CN CM MN MN ∴+=+
=， 即111CM CN DE +==
． 8 （1）连接DF
CD 是圆直径，90CFD ∴∠=，即DF BC ⊥
90ACB ∠=，DF AC ∴∥． BDF A ∴∠=∠．在O 中BDF GEF ∠=∠，GEF A ∴∠=∠． 2分
（2）D 是Rt ABC △斜边AB 的中点，DC DA ∴=，DCA A ∴∠=∠， 又由（1）知GEF A ∠=∠，DCA GEF ∴∠=∠． 又OME EMC ∠=∠，OME ∴△与EMC △相似OM ME ME MC
∴
= 2
ME OM MC ∴=?4分 又
4ME =，296OM MC ∴?==
:2:5MD CO =，:3:2OM MD ∴=，:3:8OM MC ∴=设3OM x =，8MC x =，3896x x ∴?=，2x ∴= ∴直径1020CD x ==．（3）Rt ABC △斜边上中线20CD =，40AB ∴=
在Rt ABC △中cos 0.6BC
B AB
∠==，24BC ∴=，32AC ∴=
设直线AB 的函数表达式为y kx b =+，
根据题意得(320)A ，，(024)B ，024320k b k b ?+=?∴??+=? 解得3424
k b ?=-?
??=?
图（3）
l '
第25题图
∴直线AB 的函数解析式为3
244
y x =-+（其他方法参照评分） ········ 9分
10 （1）答：直线DC 与⊙O 相切于点M .
证明如下：连OM ， ∵DO ∥MB ， ∴∠1=∠2，∠3=∠4 .
∵OB =OM ，∴∠1=∠3 . ∴∠2=∠4 . 在△DAO 与△DMO 中，
??
?
??DO=DO =∠∠AO=OM 42 ∴△DAO ≌△DMO . ∴∠OMD =∠OAD .
由于FA ⊥x 轴于点A ，∴∠OAD =90°.
∴∠OMD =90°. 即OM ⊥DC . ∴DC 切⊙O 于M . （2）解：由D （－2，4）知OA =2（即⊙O 的半径），AD =4 .
由（1）知DM =AD =4，由△OMC ∽△DAC ，知MC AC = OM AD = 24 = 1
2
. ∴AC =2MC .
在Rt △ACD 中，CD =MC ＋4. 由勾股定理，有(2MC )2＋42=(MC ＋4)2，解得MC = 8
3 或MC =0（不合，舍去）.
∴MC 的长为83 . ∴点C （10
3
，0）.
设直线DC 的解析式为y = kx ＋b . 则有?????+-=+=.b k b k 243
100 解得???
????
=-=.b k 254
3 ∴直线DC 的解析式为 y =－3
4 x ＋5
2
.
10
中考数学圆的综合-经典压轴题及答案 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD，
∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC． （1）若∠G=48°，求∠ACB的度数； （2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF； （3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若 tan∠CAF= 1 2，求1 2 S S的值． 【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4
圆中考试题集锦 一、(哈尔滨市)已知⊙O 的半径为35厘米，⊙O '的半径为5厘米.⊙O 与⊙O ' 相交于点Ｄ、E .若两圆的公共弦ＤE 的长是6厘米（圆心O 、O '在公共弦DE 的两 侧),则两圆的圆心距O O '的长为 ( ） （A)２厘米 (Ｂ）１０厘米 （C ）２厘米或10厘米 (D)4厘米 13．（陕西省)如图，两个等圆⊙O 和⊙O '的两条切线ＯA 、OB ,A 、Ｂ是切点，则∠AOB 等于 （ ) (A ） 30 （B) 45 (C ） 60 （D ） 90 14.（甘肃省）如图，AB 是⊙O 的直径，∠C = 30，则∠ABD ＝ （ ） （A) 30 (B) 40 （C ） 50 (D) 60 15．(甘肃省）弧长为６π的弧所对的圆心角为 60，则弧所在的圆的半径为 ( ) (A)6 (Ｂ）62 （C)12 （D ）18 １6.(甘肃省)如图，在△AB Ｃ中,∠BAC ＝ 90，AB =AC =2,以AB 为直径的圆交ＢC 于D ，则图中阴影部分的面积为 ( ） （A ）1 （B ）２ （C ）1+4π （D ）2－4 π 1７．(宁夏回族自治区)已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为 ( ) （A)1８π (Ｂ)9π （C ）6π （D)3π 18.(山东省)如图,点P 是半径为5的⊙Ｏ内一点，且OP =3，在过点P 的所 有弦中,长度为整数的弦一共有 （ ） (Ａ)2条 （B)3条 (C ）4条 (D)5条 19.（南京市)如图，正六边形A ＢCD ＥF 的边长的上a ，分别以C 、Ｆ为圆 心,a 为半径画弧，则图中阴影部分的面积是 （ ） （A ）261 a π (B ）231 a π （C ）232 a π (D ）2 34 a π
O B (1)(2)(3)C 18.如果圆弧的度数扩大2倍,半径为原来的 3 圆中考复习题 一、选择题(共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。每题3分,共24分)： 1.下列说法正确的是() A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.经过三点一定可以作圆VIP免费欢迎下载 14.如图(4),⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE∥AB，EC的度数是40°，则∠BOD＝. C.圆的切线垂直于圆的半径 D.每个三角形都有一个内切圆 2.在同圆或等圆中，如果AB＝2CD，则AB与CD的关系是()A E O A (A)AB＞2CD；(B)AB＝2CD；(C)AB＜2CD；(D)AB＝CD； 3.如图(1),已知PA切⊙O于B,OP交AB于C,则图中能用字母表示的直角共有()个 A.3 B.4 C.5 D.6D O C C B(5) B (6) A A 15.点A是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点A的切线长为__________. 16.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB长63,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是__________. O O C P100? B D B C A E 17.两圆相切,圆心距为10cm,已知其中一圆半径为6cm,则另一圆半径为____ 2,则弧长与原弧长的比为______. 19.如图(5),A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC∥OA,连结AC,则图中 阴影部分的面积为_________. 4.已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为() A.2cm B.14cm C.2cm或14cm D.10cm或20cm 5.在半径为6cm的圆中,长为2πcm的弧所对的圆周角的度数为() A.30° B.100 C.120° D.130° 6.如图(2),已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是() A.80° B.100° C.120° D.130°20.如图(6),已知扇形AOB的圆心角为60°,半径为6,C、D分别是AB的三等分点,则阴影部分的面积 等于_______. 三、解答题(第21~23题，每题8分,第24~26题每题12分，共60分) 21.已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 试说明：AC=BD。 7.⊙O的半径是20cm,圆心角∠AOB=120°,AB是⊙O弦,则S ?AOB 等于() A.253cm2 B.503cm2 C.1003cm2 D.2003cm2 8.如图(3),半径OA等于弦AB,过B作⊙O的切线BC,取BC=AB,OC交⊙O于E,AC交⊙O于点D,则BD和DE 的度数分别为() A.15°,15° B.30°,15° C.15°,30° D.30°,30° 9.若两圆半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且R2+d2=r2+2Rd,则两圆的位置关系为() A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相交 10.圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是() A.180° B.200° C.225° D.216° 二、填空题:(每小题4分,共20分)： 11.一条弦把圆分成1∶3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为.22.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB=2,以AB为直径的圆交BC于D,求图形阴影部分的面积. B D.B n 12.如果⊙O的直径为10cm,弦AB=6cm,那么圆心O到弦AB的距离为______cm. 13.在⊙O中,弦AB所对的圆周角之间的关系为_________.C A
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G． （1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：AG2=AF·AB； （3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积. 【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3. 【解析】 试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切． （2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论. （3）连接BD，由AG2=AF?AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案． 试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下： 如答图1，连接CD， ∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°. ∴∠D+∠CAD=90°. ∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D. ∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA. ∵点A在圆上， ∴PA与⊙O相切．
（2）证明：如答图2，连接BG ， ∵AD 为⊙O 的直径，CG ⊥AD ，∴AC AD =.∴∠AGF=∠ABG. ∵∠GAF=∠BAG ，∴△AGF ∽△ABG. ∴AG ：AB=AF ：AG. ∴AG 2=AF?AB. （3）如答图3，连接BD ， ∵AD 是直径，∴∠ABD=90°. ∵AG 2=AF?AB ，55∴5 ∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°. ∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴ AE AF AB AD =545=，解得：AE=2. ∴221EF AF AE = -=. ∵224EG AG AE = -=，∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322 AFG S FG AE ?=??=??=．
学生： 科目： 数 学 教师： 知识框架 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为 半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平 分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 A
1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径②AB CD =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧 ⊥③CE DE
圆中考试题集锦 一、（哈尔滨市）已知⊙O 的半径为35厘米，⊙O '的半径为5厘米．⊙O 与⊙O '相交于点D 、E ．若两圆的公共弦DE 的长是6厘米（圆心O 、O '在公共弦DE 的两侧），则两圆的圆心距O O '的长为 （ ） （A ）2厘米 （B ）10厘米 （C ）2厘米或10厘米 （D ）4厘米 13．（陕西省）如图，两个等圆⊙O 和⊙O '的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于 （ ） （A ）ο 30 （B ）ο 45 （C ）ο 60 （D ）ο 90 14．（甘肃省）如图，AB 是⊙O 的直径，∠C ＝ο 30，则∠ABD ＝ （ ） （A ）ο 30 （B ）ο 40 （C ）ο 50 （D ）ο 60 15．（甘肃省）弧长为6π的弧所对的圆心角为ο 60，则弧所在的圆的半径为 （ ） （A ）6 （B ）62 （C ）12 （D ）18 16．（甘肃省）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝ο 90，AB ＝AC ＝2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为 （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1+ 4π （D ）2－4 π 17．（宁夏回族自治区）已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为 （ ） （A ）18π （B ）9π （C ）6π （D ）3π 18．（山东省）如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有弦中，长度为整数的弦一共有 （ ） （A ）2条 （B ）3条 （C ）4条 （D ）5条 19．（南京市）如图，正六边形ABCDEF 的边长的上a ，分别以C 、F 为圆心，a 为半径画弧，则图中阴影部分的面积是 （ ） （A ）2 6 1 a π （B ）2 3 1a π （C ）2 3 2a π （D ）2 3 4a π
★例1、已知平行四边形OADB中，=,=,AB与OD相交于点C， 且|BM|=|BC|，|CN|=|CD|，用、表示、、和。 例2、求证；G为△ABC的重心的充要条件是：++=0 例3、已知AD、BE分别是△ABC的边BC、AC上的中线，=,=，则=____ 已知等差数列｛a n｝的前n项之和为S n,若M,N,,P三点共线，O为坐标原点，+a2(直线MP不过点O），则S32等于多少？ 31 ②（2006年江西高考）已知等差数列｛a n｝的前n项之和为S n,若=a1+a200, 且=A,B,C三点共线（该直线不过点O），则S200等于（） A 100 B 101 C 200 D 201 若的起点和终点坐标分别为（1，3），（4，7），则||=_____ 1 已知=(1,2),=(x,1),且+2与2-平行，则x之值为____ 2 已知=(3,4),⊥,且的起点坐标为(1,2)，终点坐标为 (x,3x)，则 等于_____ 3 已知点M（3，-2），N（-5，-1），且=，则点P的坐标是 ____（ 4 ★例1、 ① 已知=(3,5) =(2,3),=(1,-2),求（·)· 5 ②已知=(3,-1),=(-1,2),则-3-2的坐标为_____ ③已知||=4,||=3,(2-3)·(2+)=61,求与的夹角. ④已知||=2,||=9, ·=-54,求与的夹角. ★ 例2、①已知=(1,2),=(x,1)且+2与2-平行，则x=_____ ②已知||=2,||=1, 与的夹角为,求向量2+3与3-的夹角的余弦值.( ③已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且≠±,则+与-的夹角大小是 ____) ④已知向量与的夹角为120°,且||=3,|+|=,则||=_____ ★例3已知=(1,2),=(-3,2),当k为何值时,①k+与-3垂直?②k+与-3平行, 平行时它们是同向还是反向? ★例4:①若向量+3垂直于向量7-5,且向量-4垂直于向量7-2,求向量与的 夹角大小. ②已知向量=(2,7),=(x,-3),当与的夹角为钝角时，求出x的取值范围； 若与的夹角为锐角时，问x的取值范围又为多少？ ★例5、已知=(cos,sin),=(sin,cos),x∈[0,]，①求·；②求|+|，③设函数 （x)=·+|+|，求出(x）的最大值和最小值。 ★ 例6、已知向量a=(sin,1),b=(1,cos),-<<,①若a⊥b,求出之值， ②求出|a+b|的最大值。 ★例7、①已知向量=(cos,sin),向量=(,-1)，求|2-|的最大值。 ②已知向量=(3,1),向量=(x,-3),且⊥，求出x之值。
B y C x A O D B O C A 与圆有关的最值（取值范围）问题 引例1：在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限 内一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m ，则m 的取值范围是_________． 引例2：如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径 作⊙O ，C 为半圆弧?AB 上的一个动点（不与A 、B 两点重合） ，射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ，求a b 的最大值. 引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点， 以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A ．3 B ．6 C ．332 D ．33 一、题目分析： 此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用； 2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C 与两个定点A 、B 构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用； 3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D 、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE 、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE 与半径AP 之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用； 综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.
《圆》题型分类资料 一．圆的有关概念： 1.下列说法：①直径是弦②弦是直径③半圆是弧，但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧，正确的命题有（） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．下列命题是假命题的是（） A．直径是圆最长的弦B．长度相等的弧是等弧 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等 D．如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3.下列命题正确的是（） A．三点确定一个圆B．长度相等的两条弧是等弧 C．一个三角形有且只有一个外接圆D.一个圆只有一个外接三角形 4.下列说法正确的是( ) A．相等的圆周角所对的弧相等B．圆周角等于圆心角的一半 C．长度相等的弧所对的圆周角相等D．直径所对的圆周角等于90° 5.下面四个图中的角，为圆心角的是( ) A．B．C．D． 二．和圆有关的角： 1. 如图1，点O是△ABC的内心，∠A=50 ，则∠BOC=_________ 图1 图2 2.如图2，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为( ) A.116° B.64° C. 58° D.32° 3. 如图3，点O为优弧AB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC，则∠D的度数为
A 图3 图4 4. 如图4，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝_________度． 5. 如图5，在⊙O中， BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°，则∠AOD＝． A 图5 图6 6. 如图6，A，B，C，是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝°． 7.圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：7，则∠D的度数为。 8. 若⊙O的弦AB所对的劣弧是优弧的 1 3 ，则∠AOB＝ . 9.如图7，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=________ A 图7 图8 10.如图8，△ABC是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设OABα ∠=，Cβ ∠=（1）当35 α=时，求β的度数； （2）猜想α与β之间的关系为 11.已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E，求证：∠A+∠B C D=180°，∠DCE=∠A； 如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧，试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；
27、圆的有关计算 一、选择题 1、（2010·镇江中考）已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ） A ．8π B ．9π C ．10π D ．11π 答案：选A 2、（2010·桂林中考）一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ） A ．1 B ．34 C ．1 2 D ．13 答案：选C 3、 (2010·荆门中考)．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则P A ＋PB 的最小值为( ) (C)1 (D)2 答案：选B 4、（2010·济宁中考)已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为3 cm ，⊙O 2的半径为2 cm ，则O 1O 2的长是( ) A ．1 cm B ．5 cm C ．1 cm 或5 cm D ．0.5cm 或2.5cm 答案：选C 5、（2010·济宁中考)如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去1 3 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为( ) N
B A ．6cm B ． C ．8cm D ．答案：选B 6、（2010·咸宁中考）如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=?，则ACB ∠的度数为( ) A ．35? B ．40? C ．50? D ．80? 答案：选B 7、（2010·郴州中考）如图，AB 是O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于E ，则下列结论 中不成立的是．．．．． （ ） Ａ．A D ∠=∠ Ｂ．CE DE = Ｃ．90ACB ∠= Ｄ．CE BD = 答案：选D ８、（2010·兰州中考）现有一个圆心角为 90，半径为cm 8的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为 A ． cm 4 B ．cm 3 C ．cm 2 D ．cm 1 答案： C ９、（2010·无锡中考）已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是 （ ） A ．2 20cm B ．2 20cm π C ．2 10cm π D ．2 5cm π 剪去
1.如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴 上），抛物线y=1 4 x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形 CDEF的面积为1． （1）求B点坐标； （2）求证：ME是⊙P的切线； 2.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=1 2 BC． （1）求∠BAC的度数； （2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形； （3）若BD=6，CD=4，求AD的长．
3.如图1所示，以点M（-1，O）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A，B，C，D，直线y= 3 -x- 53 与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F． （1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长； （2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值； （3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M于点T，弦A T交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN?MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明 理由． 4.如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点 为劣弧?BC上一个动点，且A（-1，0），E（1，0）． （1）求点C的坐标； （2）连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化； 若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围； （3）连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），求证：PC PD PA 的值不变
圆中考试题集锦 一、（哈尔滨市)已知⊙Ｏ的半径为35厘米,⊙O '的半径为５厘米．⊙O 与⊙O ' 相交于点D 、E .若两圆的公共弦DE 的长是6厘米(圆心O 、O '在公共弦ＤE 的两侧） ,则两圆的圆心距O O '的长为 （ ) （A)2厘米 (Ｂ）10厘米 （C)2厘米或10厘米 （Ｄ)4厘米 13．(陕西省)如图,两个等圆⊙O 和⊙O '的两条切线OA 、O Ｂ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于 （ ) （Ａ） 30 (B) 45 （C) 60 （D ） 90 14．(甘肃省)如图，AB 是⊙O 的直径，∠Ｃ＝ 30，则∠ABD = ( ） （A ） 30 （B ） 40 （Ｃ） 50 （Ｄ) 60 15.（甘肃省）弧长为6π的弧所对的圆心角为 60，则弧所在的圆的半径为 ( ) （A ）6 （Ｂ）62 (C)12 (Ｄ)18 １6.（甘肃省）如图,在△ABC 中，∠ＢAC = 90，AB ＝AC ＝２,以AB 为直径的 圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为 ( ） （A ）1 (B ）2 （Ｃ）1＋4π (D ）2-4 π 17．（宁夏回族自治区)已知圆的内接正六边形的周长为１８,那么圆的面积为 （ ） (A ）１８π （B)９π （C)6π （Ｄ)3π 1８.（山东省)如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点,且ＯP =3，在过点P 的 所有弦中，长度为整数的弦一共有 （ ） (A)2条 (B ）3条 （C)4条 （D ）5条 １９．（南京市)如图，正六边形ABCDEF 的边长的上ａ，分别以C 、Ｆ为圆 心，ａ为半径画弧，则图中阴影部分的面积是 ( ） (Ａ）261 a π （B)231 a π (C ）232 a π (D ）2 34 a π
2019年中考数学分类汇编一一与圆有关的压轴题 2019年与圆有关的压轴题，考点涉及：垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线性质；锐角三 角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理； 特殊四边形性质；等?数学思想涉及： 数形结合；分类讨论；化归；方程 ?现选取部分省市的2019年中考题展示，以飨读者? 【题1】(2019年江苏南京,26题)如图，在Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , AC=4cm BC=3cm OO ABC 的内切圆. (1 )求00的半径； (2)点P 从点B 沿边BA 向点A 以1cm/s 的速度匀速运动，以 (2)考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切?所以我们要分别讨论，当外切时，圆心 距等于 两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差?分别作垂线构造直角三角形，类似( 过表示边长之间的关系列方程，易得 t 的值. 【解】：(1)如图1，设OO 与AB BC CA 的切点分别为 贝U AD=AF BD=BE CE=CF TOO ABC 的内切圆， ? OF L AC OEL BC 即/OFC M OEC=90 . ???/ C=90 , ?四边形CEOF 是矩形， ?/ OE=OF ?四边形CEOF 是正方形. 设OO 的半径为 rcm ，贝U FC=EC=OE=rcm 在 Rt △ ABC 中, M ACB=90 , AC=4cm BC=3cm ? AB = =5cm ?/ AD=AF=AC FC=4- r , BD=BE=BC EC=3- r , ? 4 - r+3 - r=5 , 解得r=1，即OO 的半径为1cm. (2)如图2,过点P 作PGLBC 垂直为G. ???/ PGB M C=90 , ? PG/ AC ? △ PBG^A ABC ? ??? PG—, 9-. 若OP 与OO 相切，则可分为两种情况，OP 与OO 外切, ①当OP 与OO 外切时， 如图3,连接op 贝y 0P=1+t,过点P 作PH L OE 垂足为 ???/ PHE M HEG M PGE=90 , ???四边形PHEG 是矩形， 1)通 三角形性 P 为圆心，PB 长为半径作圆，设点 P 运动的时间
1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA． （1）求证：BC=CD； （2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长． 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为 G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE； （2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长． 4.
5.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且E M＞MC，连结DE，DE=。 （1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值。 6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知 ∠EAT=30°，AE=3，MN=2． （1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比． 7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q． （1）求证：△ABC∽△OFB； （2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长； （3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点
成都中考圆压轴题训练 一．选择题（共15小题） 1．如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在上取一点D，分别作直线CD，ED，交直线AB于点F、M． （1）求∠COA和∠FDM的度数； （2）求证：△FDM∽△COM； （3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M．试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论． 2．已知：如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD 的对角线AC、BD交于点E． （1）求证：△ABE∽△DBC； （2）已知BC=，CD=，求sin∠AEB的值； （3）在（2）的条件下，求弦AB的长． 3．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，
如果不存在，请说明理由； （3）设BD=x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域． 4．如图，⊙M 交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于A ，点M 的纵坐标为2．B （﹣3， O ），C （，O ）． （1）求⊙M 的半径； （2）若CE ⊥AB 于H ，交y 轴于F ，求证：EH=FH ． （3）在（2）的条件下求AF 的长． 5．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，BC 为直径，AD ⊥BC 于点D ，点E 为DA 延长线上一点，连接BE ，交⊙O 于点F ，连接CF ，交AB 、AD 于M 、N 两点． （1）若线段AM 、AN 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +n 2﹣mn +m 2=0的两个实数根，求证：AM=AN ； （2）若AN=，DN=，求DE 的长； （3）若在（1）的条件下，S △AMN ：S △ABE =9：64，且线段BF 与EF 的长是关于y 的一元二次方程5y 2﹣16ky +10k 2+5=0的两个实数根，求直径BC 的长．
中考几何证明题 1、如图：A 是⊙O 外一点，B 是⊙O 上一点，AO 的延长线交⊙O 于C ，连结BC ，∠C ＝22.50，∠BAC ＝450。 第 1 题图 C 2. 如图，割线ABC 与⊙O 相交于B 、C 两点，D 为⊙O 上一点，E 为BC 的中点，OE 交BC 于F ，DE 交AC 于G ，∠ADG ＝∠AGD . ⑴求证：AD 是⊙O 的切线； ⑵如果AB =2，AD =4，EG =2，求⊙O 的半径． . 3．，正三角形ABC 的中心O 恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形内．要使扇形ODE 绕点O 无论怎样转动，△ABC 与扇形重叠部分的面积总等于△ABC 的面积的3 1 ，扇形的圆心角应为多少度？说明你的结论。 4、如图：已知在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AC ＝13，AB ＝5，O 是AB 上的点，以O 为圆心，0B 为半径作⊙O 。 （1）当OB ＝2.5时，⊙O 交AC 于点D ，求CD 的长。 （2）当OB ＝2.4 时，AC 与⊙O 的位置关系如何？试证明你的结论。 第 4 题图 C B D E 第3 题图 第2题 ⌒
5、如图：已知A 、D 两点分别是正三角形DEF 、正三角形ABC 的中心，连结GH 、AD ，延长AD 交BC 于M ，延长DA 交EF 于N ，G 是FD 与AB 的交点，H 是ED 与AC 的交点。 （1）写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论（不要求写出证明过程）； （2）问FE 、GH 、BC 有何位置关系？试证明你的结论。 第 5 C M B D H G A E N F 6．如图（a ），已知直线AB 过圆心O ，交⊙O 于A 、B ，直线AF 交⊙O 于F （不与B 重合），直线l 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连结AC 、AD ． 求证：①∠BAD ＝∠CAG ；②AC ·AD ＝AE ·AF ． （2）在问题（1）中，当直线l 向上平行移动，与⊙O 相切时，其他条件不变． ①请你在图（b ）中画出变化后的图形，并对照图（a ），标记字母； ②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 7． 如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，⊙O 过点A ，且和BC 切于D ，和AB 、AC 分别交于E 、F 。 设EF 交AD 于G ，连结DF 。 （1） 求证：EF ∥BC ； （2） 已知：DF =2 ，AG =3 ，求 EB AE 的值。 8、 已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，且BC ＝a ，AB ＝c ，CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p 。 求证：q p h ?=2 ，c p a ?=2 8 题 · B D C F E A G O 图(a) B O A F D C G E l · B O A 图(b) 第6题·
与圆有关的综合题 知识考点?对应精练 【知识考点】 （1）圆与三角函数； （2）圆与函数； （3）圆与点、线、三角形； （4）圆与多边形. 【方法总结】 （1）看到求圆的切线，想到：有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证半径；（2）看到圆中的三角函数，想到三角函数一般在直角三角形中使用，直径所对的圆周角是直角； （3）看到过圆外的同一点的两条切线，想到切线长定理； （4）看到垂直于弦的直径，想到垂径定理. 【失分盲点】 （1）易忽视圆中的两条半径构成等腰三角形这个条件； （2）在证明一条直线是圆的切线时，若直线与圆的公共点未确定时，易犯证明直线与半径垂直的错误； （3）在圆中的三角形，易犯不说明其为直角三角形就应用三角函数解决问题的错误. 【对应精练】 例.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB 垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF． （1）求证：PB与⊙O相切； （2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明； （3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值 、
真题演练?层层推进 1.如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若∠AOB=120°，AB= ，求⊙O的面积． 2.如题24图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC 交DC的延长线于点E. (1)求证：∠BCA=∠BAD; (2)求DE的长; (3)求证:BE是⊙O的切线. 3.(2014广东)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF. （1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π） （2）求证：OD=OE； （3）PF是⊙O的切线。
中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD，
∵CD 是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B 为弧CD 中点， ∴BD=BC= ， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB ， ∵∠DBE=∠DBA ， ∴△DBE ∽△ABD ， ∴ ， ∴BE?AB=BD?BD= ． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重 合），且四边形BDCE 为菱形． （1）求证：AC=CE ； （2）求证：BC 2﹣AC 2=AB?AC ； （3）已知⊙O 的半径为3． ①若AB AC =5 3 ，求BC 的长； ②当 AB AC 为何值时，AB?AC 的值最大？ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；② 32
圆中考试题 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的4 1 ，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数 学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ） 2 25 寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交 ⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为 10厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交 BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）
初中数学中考试题集锦（圆相关试题） 一、选择题： 1、（2009·浙江温州·模拟1） 图①、图②、图③是三种方法将6根钢管用钢丝捆扎的截面图，三种方法所用的钢丝长分别为a,b,c, （不记接头部分），则a, b, c,的大小关系为（ ）。 A 、a=b >c B. a=b=c C. a