解直角三角形

解直角三角形

一、选择题

1．如图，在Rt △ABC ，∠

的垂直平分线DE 交

AB 于点D ，交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）

A ．

23 B ．67 C ．6

25 D ． 【答案】B

【解析】

试题分析：设AC 与DE 交于点F ，连接BF,因为DE 垂直平分AB ，所以AF=BF,设CF=x ，则AF=BF=4-x ，在Rt △BCF 中，由勾股定理可得：222BF BC CF =+,所以222(4)3x x -=+，解得x=

7

8

，又根据题意可证：△ABC ∽△EFC,所以BC FC AC CE =,所以7

3

84CE

=，所以CE=76,故选：B ． 考点：1． 线段垂直平分线的性质；2．勾股定理；3．相似三角形的判定与性质．

2．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点．若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ）

A ．

34 B ．43 C ．35 D ．45

【答案】B ．

【解析】

试题分析：连接BD ，∵E 、F 分別是AB 、AD 的中点，∴BD=2EF=4，∵BC=5，CD=3，∴△BCD 是直角三角形，∴tanC=

4

3

BD CD =，故选B ．

考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理的逆定理；3．三角形中位线定理． 3．如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， △ABD 是等边三角形，E 是AB 的中点，连结CE 并延长交AD 于F ，如图2，现将四边形ACBD 折叠，使D 与C 重合，HK 为折痕，则sin ∠ACH 的值为（ ）

A ．

17 B ．71 C ．61 D ．1

6

【答案】B ．

【解析】

试题分析：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，∴∠CAH=90°，在Rt △ABC 中，∠CAB=30°，设BC=a ，∴AB=2BC=2a ，∴AD=AB=2a ，设AH=x ，则HC=HD=AD ﹣AH=2a ﹣x ，在Rt △ABC 中，

2222

(2)3A C a a a =-=，在Rt △ACH 中，222AH AC HC +=，即2223(2)x a a x +=-，解得14

x a =，

即AH=14a ，∴HC=2a ﹣x=2a ﹣14a =74a ，∴sin ∠ACH=

1

7

AH HC =，故选B ． 考点：翻折变换（折叠问题）．

4．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落

在点1A 处，已知AB=1，则点1A 的坐标是（ ） A ．（

23，23） B ．（23

，3） C ．（

23，23） D ．（21，2

3） 【答案】A ． 【解析】

试题分析：∵AB=1，∴tan ∠AOB=

AB OA ==

，∴∠AOB=30°，

∵矩形OABC 对折后点A 落在点A 1处，∴∠A 1OB=∠AOB=30°，A 1

∴∠A 1OA=30°+30°=60°如图，过点A 1作A 1D ⊥OA 于D ，则OD=OA 1sin60°=

3

22

=，

A 1D=OA 1cos60°12=

所以，点A 1的坐标是（

2

3，23

）．故选A ．

考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．坐标与图形性质．

5．如图3，将Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端P 沿水平方向

打入木桩，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm （如箭头所示），则木桩上升了（ ） A ．6sin15°cm B ．

C ．6tan15° cm D

【答案】C

【解析】运用三角函数定义求解． 解：∵tan15°=

水平移动的距离

木桩上升的高度

．

∴木桩上升了6tan15°cm ． 故选C ．

考查三角函数的应用．

6．如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示αcos 的值，错误．．

的是（ ） A ．

BC BD B ．AB BC C ．AC AD D ．AC

CD

【答案】C ．

【解析】

试题分析：根据AC

CD

ACD AB BC BC BD =∠===

cos cos α，所以选项A 、B 、D 正确，选项C 错误． 故选：C ．

考点：锐角三角函数、余弦的定义．

7．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是（ ）

A B 、12 C 、13 D 【答案】D ．

【解析】

试题分析：作AC ⊥OB 于点C ，利用勾股定理求得AC 和AO 的长，根据正弦的定义即可求解．

试题解析：作AC ⊥OB 于点C ，则AC

=

则sin ∠AOB=

10

AC AO ==

故选D ．

考点：1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理．

8．如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC=BD ，连接AC ，若tanB=，则tan ∠CAD 的值（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】D 【解析】

试题分析：解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ， ∵tanB=，即

=，

∴设AD=5x ，则AB=3x ，

∵∠CDE=∠BDA ，∠CED=∠BAD ， ∴△CDE ∽△BDA ， ∴

， ∴CE=x ，DE=，

∴AE=

，

∴tan ∠CAD==． 故选D ．

考点：解直角三角形． 9．如图（1），点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s,设P ，Q 出发ts 时，△BPQ 的面积为ycm 2，已知y 与t 的函数关系的图象如图（2）则下列正确的是（ ）

A ．AE=6cm ；

B ．sin ∠EBC=

5

4 C ．当0＜t≤10时，25

2t y

D ．当t=12时，△BPQ 是等腰三角形

【答案】B

【解析】

试题分析：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5cm。∴AD=BE=5，故A错误；如图1，过点P作PF⊥BC于点F，

根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB=4，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF=∠EBC,

∴,所以B正确；

根据图（2）可知：当0＜t≤10时，y是t的分段函数，所以C错误；

因为AD=BC=5，AB=CD=4，所以运动5秒点Q到达点C即停止，

当t=12时，点P运动到边CD上，所以△BPQ是直角三角形，所以D错误，故选：B．

考点：1．矩形的性质；2．函数；锐角三角函数．

10．如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）

A．1

3

B

1C

．2D．

1

4

【答案】A．【解析】

试题分析：∵在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，

，又∵点D为边AC

的中点，∴AD=DC=1

2

AC，∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴

DE=EC=

2

DC=

4

AC，

∴tan∠DBC=DE

BE

AC

=

1

3

．故选A．

考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．

11．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF =（ ） A ．

43 B ．34 C ．53 D ．5

4 【答案】D ． 【解析】

试题分析：由翻折易知BE=EF,因为点E 是BC 的中点，故BE=EC=6，所以FE=EC=6，∠EFC=∠ECF,再由四边形内角和可求出∠EFC+∠ECF=∠BEF ，从而可得∠ECF=∠BEA ，进而求得答案． 试题解析：根据题意得：BE=EF=6，∠B=∠AFE, ∠BEA=∠FEA ∵E 是BC 的中点 ∴BE=EC=6 ∴FE=EC=6

∴∠EFC=∠ECF

又∵∠BAF+∠B+∠BEF+∠AFE=360° ∴∠BAF+∠BEF=180° 又∵∠FEC+∠BEF=180° ∠FEC+∠FCE+∠EFC=180° ∴∠ECF=∠BEA

在Rt △ABE 中，由勾股定理得：10=

sin ∠BEA=

84

150AB AE == ∴sin ∠ECF=4

5

故选D ．

考点：翻折问题．

12．如图，D 是等边△ABC 边AD 上的一点，且AD ：DB=1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 、BC 上，则CE ：CF=（ ）

A 、

34 B 、45 C 、56 D 、67

【答案】B ．

【解析】 试题分析：由折叠的性质可得，∠EDF=∠C=60o,CE=DE,CF=DF ．再由∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=120o,可得∠ADE=∠BFD ，又因∠A=∠B=60o，根据两角对应相等的两三角形相似可得△AED ∽△BDF,所以

BD

AE

BF AD DF DE ==，设AD=a ，BD=2a ，AB=BC=CA=3a ，再设CE==DE=x ，CF==DF=y ，则AE=3a-x ，BF=3a-y ， 所以

a

x a y a a y x 233-=-=，整理可得ay=3ax-xy ，2ax=3ay-xy ，即xy=3ax-ay ①，xy=3ay-2ax ②；把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax ，所以5ax=4ay ，5

454==a a y x ，即

54

=CF CE ,故答案选B ． 考点：相似三角形的判定及性质．

13．如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB=2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22．5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为（ ）

A ．4km B

．(2+km C

． D

．(4km

【答案】B 【解析】

试题分析：根据题意中方位角的特点，过点B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，由∠CAB=45°，AB=2km ，可知

，根据题意还可知∠BCA=∠BCD=22．5°，因此CB 是∠ACD 的角平分线，根据角平分线的性质可知

，因此CD=AD=AB+BD=（

km ． 故选

B

考点：解直角三角形的应用

14．如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°， △ABD 是等边三角形．如图②，将四边形ACBD 折叠，使D 与C 重合，EF 为折痕，则∠ACE 的正弦值为 （ ）

A

B ．17 C

D

【答案】B

【解析】

试题分析：设BC=1，则AB=2，

根据题意可得∠EAC=90°，设AE=x ，则CE=2－x ，则根据Rt △AEC

的勾股定理可得222AE AC CE +=，22

3(2)x x +=-，解得：x=

14，则CE=2－x=2－14=7

4

，则sin ∠ACE=1

474

AE CE ==1

7

．

考点：折叠图形的性质、三角函数的应用． 15．如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=60°，AC=3，点P 是边BC 上一点，点Q 是边AC 上一点（不与点A 、C 重合），且BP=PQ,则BP 的取值范围是（ ）

A ．3

2BP ≤ B BP ≤ C BP ≤< D 3BP ≤< 【答案】C 【解析】 试题分析：根据题意可得：①当PQ ⊥AC 时，PQ 最短，即BP 最短．在Rt △ABC 中，因为∠A=90°，∠ABC=60°，

所以∠C=30°，所以AB=

1

2

BC ，因为AC=3，所以所以在Rt △PCQ 中，

因为∠C=30°，所以PQ=BP=

12PC ，所以BP=13；②若点Q 与点A 或C 重合，则PQ 最长，此

时Q 不与点A 、C 重合，所以BP=PQ BP 的取值范围是

BP ≤

二、填空题

16．如图1为两个边长为1的正方形组成的12?格点图,点A,B,C,D 都在格点上,AB,CD 交于点P,则tan ∠BPD= ,如果是n 个边长为1的正方形组成的1?n 格点图,如图2,那么tan ∠BPD= ．

【答案】3，

1

1

n n +-． 【解析】

试题分析：根据题意通过平移，将角转化到直角三角形中，然后得出前面几个图形中∠BPD 的正切值的规律，然后得出结论． 考点：规律题．

17．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=6，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=60°，点M 、N 分别在AB 、AD 边上，若AM ：MB=AN ：ND=1：2，则tan ∠MCN=

【解析】

试题分析：连接AC ，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC 的长，然后根据勾股定理求得CM 的长，连接MN ，过M 点作ME ⊥CN 于E ，则△MNA 是等边三角形求得MN=2，设NE=x ，表示出CE ，根据勾股定理即可求得ME ，然后求得tan ∠MCN ． 试题解析：∵AB=AD=6，AM ：MB=AN ：ND=1：2， ∴AM=AN=2，BM=DN=4， 连接MN ，连接AC ，

∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=60°

(图2)

P

C

B

D

A

(图1)

P D C

B

A

在Rt △ABC 与Rt △ADC 中，

AB AD

AC AC

==??

?， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC （HL ） ∴∠BAC=∠DAC=1

2

∠BAD=30°，MC=NC ， ∴BC=

1

2

AC ， ∴AC 2=BC 2+AB 2，即（2BC ）2=BC 2+AB 2， 3BC 2=AB 2， ∴

在Rt △BMC 中，

==

∵AN=AM ，∠MAN=60°， ∴△MAN 是等边三角形， ∴MN=AM=AN=2，

过M 点作ME ⊥CN 于E ，设NE=x ，则

， ∴MN 2-NE 2=MC 2-EC 2，即4-x 2=（

2-（

）2，

解得：

∴

7

=7

， ∴

7

=

， ∴tan ∠

MCN=

ME EC =

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形的面积；3．角平分线的性质；4．含30度角的直角三角

形；5．勾股定理．

18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边AB 上，线段DC 绕点D 逆时针旋转，端点C 恰巧落在边AC 上的点E 处．如果m DB AD =，n EC

AE

=．那么m 与n 满足的关系式是：m ＝ （用含n 的代数式表示m ）．

A

B D E C

【答案】21n + 【解析】

试题分析：过点D 作DF ⊥AC 于点F ，因为DC=DE,所以EF=FC=

12EC,因为

n EC

AE

=，所以1

22112

n AF

n FC

+

==+，因为DF ⊥AC ，BC ⊥AC,所以DF//BC,所以AD AF m DB FC ==，所以m=21n +． 考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线分线段成比例定理．

19． 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C ． 则A′C 长度的最小值是 ．

1．

【解析】

试题分析：如图1，连接CM ，过M 点作MH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，

则由已知可得，在Rt △DHM 中，DM=1，∠HDM=60°

，∴1HD ,HM 2== ．∴ 15

HC 222

=+= ．

∴MC ==． 又∵根据翻折对称的性质，A′M=AM=1，

∴△CA′M 中，两边一定，要使A′C 长度的最小即要∠CM A′最小，此时点A′落在MC 上，如图2． ∵M A′=NA=1

，∴A C NC MA 1'=-'． ∴A′C

1．

考点：1．单动点和折叠问题；2．菱形的性质；3． 锐角三角函数定义；4．特殊角的三角函数值；

5．三角形边角关系；6．勾股定理；7． 折叠对称的性质． 20．如图（1），有两个全等的正三角形ABC 和ODE ，点O 、C 分别为△ABC 、△DEO 的重心；固定点O ，将△ODE 顺时针旋转，使得OD 经过点C ，如图（2）所示，则图（2）中四边形OGCF 与△OCH 面积的比为 ．

【答案】4:3 【解析】

试题分析：设三角形的边长是x ，则高长是x ．

四边形OGCF 是一个内角是60°的菱形， 2

OC ?3x x ==．

另一条对角线长是：1

1

122tan 302tan 302

2

3

MN OM OM x ==??=??= ．

则其面积是：

21123318

x x x ?= ；

△OCH 中，2

OC ?3

23

x x =?

=． △OCH 是一个角是30°的直角三角形．

则其面积=

2

111sin 30cos30222AD AD x x x ??=?= ．

两部分的面积比为：22

4318

24

x x =：

：． 考点：旋转的性质；等边三角形的性质．

21．如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线y 6=+分别与x 轴、y 轴相交于B 、A 两点．点C 在射线BA 上以3厘米/秒的速度运动，以C 点为圆心作半径为1厘米的⊙C ．点P 以2厘米/秒的速度在线段OA 上来回运动，过点P 作直线l ∥x 轴．若点C 与点P 同时从点B 、点O 开始运动，设运动时间为t 秒，则在整个运动过程中直线l 与⊙C 最后一次相切时t ＝ 秒．

【答案】

267

． 【解析】

试题分析：如图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，

∵直线AB 的解析式为y 6=+分别与x 轴、y 轴相交于B 、A 两点，

∴当x=0时，y=6，当y=0时，x= ∴点A 的坐标为：（0，6），点B 的坐标为：（0）．

∴OA=6，OB=

∴在Rt △AOB 中，AB tan ABO OB ∠=

=． ∴∠ABO=30°． ∴在Rt △BCD 中，BC=2CD ．

如图1，直线l 与⊙C 第一次相切，

由题意得：OP=2t ，BC=3t ，∴CD=2t 1-． ∴()3t 22t 1=-，解得：t=2． 如图2，直线l 与⊙C 第二次相切，

由题意得：OP=()62t 6122t --=-，∴CD=122t 1--． ∴()3t 2122t 1=--，解得：t=227

． 如图3，直线l 与⊙C 第三次相切，

由题意得：OP=()62t 6122t --=-，BC=3t ，∴CD=122t 1-+． ∴()3t 2122t 1=-+，解得：t=267

． ∴在整个运动过程中直线l 与⊙C 共有3次相切；直线l 与⊙C 最后一次相切时t=

267

．

考点：1．双动点问题；2．一次函数综合题；3．直线上点的坐标与方程的关系；4． 锐角三角函数定义；5．特殊角的三角函数值；6．直线与圆相切的性质．

22．如图，点B 1是面积为1的等边△OBA 的两条中线的交点，以OB 1为一边，构造等边△OB 1A 1（点O ，B 1，A 1按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B 2是△OBA 的两条中线的交点，再以OB 2为一边，构造等边△OB 2A 2（点O ，B 2，A 2按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n 次构造出的等边△OB n A n 的边OA n 与等边△OBA 的边OB 第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是 ．

【答案】

10

13 【解析】

试题分析：∵点B 1是面积为1的等边△OBA 的两条中线的交点，∴点B 1是△OBA 的重心，也是内心。 ∴∠BOB 1=30°。

∵△OB 1A 1是等边三角形，∴∠A 1OB=60°+30°=90°。 ∵每构造一次三角形，OB i 边与OB 边的夹角增加30°， ∴还需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OB n A n 的边OA n 与等边△OBA 的边OB 第一次重合。

∴构造出的最后一个三角形为等边△OB 10A 10。 如图，过点B 1作B 1M ⊥OB 于点M ，

∵11OM cos B OM cos30OB ∠=?=

=

，

∴

11OB 2OM OB OB =

，即1OB OB =。

∴

112

2OB A 1OBA

S OB 1

S OB 3????=== ???，即11OB A OBA 11S S 33??==。

同理，可得2211

2

2

OB A 2OB A 1S OB 1S OB 3????=== ??

?，即22112

OB A OB A 2

111S S 333????

=== ???。 …，

∴1010

9910

OB A OB A 10111S S 333????

=== ???

，即构造出的最后一个三角形的面积是1013。 23．已知等边三角形ABC 的边长是2，以BC 边上的高AB 1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形

AB 1C 1，再以等边三角形AB 1C 1的B 1C 1边上的高AB 2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB 2C 2，再以等边三角形AB 2C 2的边B 2C 2边上的高AB 3为边作等边三角形，得到第三个等边AB 3C 3；…，如此下去，这样得到的第n 个等边三角形AB n C n 的面积为 ．

【答案】n

34??

?

??

【解析】

试题分析：∵等边三角形ABC 的边长为2，AB 1⊥BC ，

∴BB 1=1，AB=2，根据勾股定理得：AB 1AB 132

=。

∴第一个等边三角形AB 1C 1的面积为133224??

= ?

??

∵等边三角形AB 1C 1AB 2⊥B 1C 1，

∴B 1AB 1AB 2=3

2

，根据锐角三角函数得AB 234。

∴第二个等边三角形AB 2C 2的面积为2

133224??

?= ?

??

…

依此类推，第n 个等边三角形AB n C n 的面积为n

34??

?

??

解答题 24．（12分）（2015?本溪）张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD 的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A 处测得大树顶端点C 的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B 处，又测得树顶端点C 的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD 的高度（结果精确到0．1米，参考数据：3≈1．732）

【答案】这棵大树CD 的高度大约为11．5米． 【解析】 试题分析：如图，过B 作BE ⊥CD 交CD 延长线于E ，由题意可得∠CAN=45°，∠MAN=30°，可得∠CAB=15°，再由∠CBD=60°，∠DBE=30°，即可得∠CBD=30°，根据三角形外角的性质可得∠CAB=∠ACB=15°，再由等腰三角形的性质可得AB=BC=20，在Rt △BCE 中，由CE=BCsin ∠CBE 求得CE ，在Rt △DBE 中，由DE=BEtan ∠DBE 求得DE ，再根据CD=CE ﹣DE 即可求得树高． 试题解析：解：如图，过B 作BE ⊥CD 交CD 延长线于E ， ∵∠CAN=45°，∠MAN=30°， ∴∠CAB=15° ∵∠CBD=60°，∠DBE=30°， ∴∠CBD=30°，

∵∠CBE=∠CAB+∠ACB ， ∴∠CAB=∠ACB=15°， ∴AB=BC=20，

在Rt △BCE 中，∠CBE=60°，BC=20， ∴CE=BCsin ∠CBE=20×

31023

=，

BE=BCcos ∠CBE=20×0．5=10， 在Rt △DBE 中，∠DBE=30°，BE=10， ∴DE=BEtan ∠DBE=10×

33

1033=

， ∴CD=CE ﹣DE=3

3

2033-

310=

≈11．5， 答：这棵大树CD 的高度大约为11．5米．

考点：解直角三角形的应用． 25．（12分）理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：

思路一 如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB 至点D ，使BD=BA ，连接AD ．设

AC=1，则BD=BA=2，tanD=tan15°

=2．

思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan （α±β）=

tan tan 1tan tan αβ

αβ

± ．假设α=60°，β=45°代入差

角正切公式：tan15°=tan （60°﹣45°）=tan 60tan 451tan 60tan 45-+ 2

思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …

请解决下列问题（上述思路仅供参考）． （1）类比：求出tan75°的值；

（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC 为30米，在地平面上有一点A ，测得A ，C 两点间距离为60米，从A 测得电视塔的视角（∠CAD ）为45°，求这座电视塔CD 的高度； （3）拓展：如图3，直线112y x =

-与双曲线4

y x

=交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，将直线AB 绕点C 旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P 的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）2（2）60；（3）能相交，P （﹣1，﹣4）或（4

3

，3）． 【解析】

试题分析：（1）如图1，只需借鉴思路一或思路二的方法，就可解决问题；

（2）如图2，在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB，由三角函数得出∠BAC=30°．从而得到∠DAB=75°．在Rt△ABD中，由三角函数就可求出DB，从而求出DC长；

（3）分类种情况讨论：①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．过点C作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F，可先求出点A、B、C的坐标，从而求出tan∠ACF 的值，进而利用和（差）角正切公式求出tan∠PCE=tan（45°+∠ACF）的值，设点P的坐标为（a，b），根据点P在反比例函数的图象上及tan∠PCE的值，可得到关于a、b的两个方程，解这个方程组就可得到点P的坐标；②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4，由①可知∠ACP=45°，

P（4

3

，3），则有CP⊥CG．过点P作PH⊥y轴于H，易证△GOC∽△CHP，根据相似三角形的性质可求

出GO，从而得到点G的坐标，然后用待定系数法求出直线CG的解析式，然后将直线CG与反比例函数的解析式组成方程组，消去y，得到关于x的方程，运用根的判别式判定，得到方程无实数根，此时点P 不存在．

试题解析：（1）方法一：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，

连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，

tan∠DAC=tan75°=

DC

AC

=

DB BC

AC

+

=2+

方法二：tan75°=tan（45°+30°）=

tan45tan30

1tan45tan30

+

-

1+

=2

（2）如图2，在Rt△ABC中，

=sin∠BAC=

301

602

BC

AC

==，即

∠BAC=30°．∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°．在Rt△ABD中，tan∠DAB=DB AB

，

∴DB=AB?tan∠

DAB=?

（2

=90，∴DC=DB﹣

BC=9030

-

=60．

答：这座电视塔CD

的高度为（60）米；

（3）①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．过点C作CD∥x轴，过点P

作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F．解方程组：

1

1

2

4

y x

y

x

?

=-

??

?

?=

??

，得：

4

1

x

y

=

?

?

=

?

或

2

2

x

y

=-

?

?

=-

?

，∴点A（4，

1），点B（﹣2，﹣2）．对于

1

1

2

y x

=-，当x=0时，y=﹣1，则C（0，﹣1），OC=1，∴CF=4，AF=1﹣

（﹣1）=2，∴tan∠ACF=

21

42

AF

CF

==，∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan（45°+∠ACF）

=

tan45tan

1tan45tan

ACF

ACF

+∠

-∠

=

1

1

2

1

1

2

+

-

=3，即

PE

CE

=3．设点P的坐标为（a，b），则有：

4

1

3

ab

b

a

=

?

?

+

?

=

??

，

解得：

1

4

a

b

=-

?

?

=-

?

或

4

3

3

a

b

?

=

?

?

?=

?

，∴点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（

4

3

，3）；

②若直线AB 绕点C 顺时针旋转45°后，与x 轴相交于点G ，如图4．由①可知∠ACP=45°，P （

4

3

，3），则CP ⊥CG ．过点P 作PH ⊥y 轴于H ，则∠GOC=∠CHP=90°，∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH ，∴△GOC ∽△CHP ，∴

GO OC CH HF =．∵CH=3﹣（﹣1）=4，PH=43，OC=1，∴13

44

43

GO ==，∴GO=3，

G （﹣3，0）．设直线CG 的解析式为y kx b =+，则有：301k b b -+=??=-?，解得：131k b ?=-?

??=-?，∴直线CG 的

解析式为113y x =--．联立：113

4

y x y x ?

=--????=??

，消去y ，得：4113x x =--，整理得：23120x x ++=，

∵△=234112390-??=-<，∴方程没有实数根，∴点P 不存在．

综上所述：直线AB 绕点C 旋转45°后，能与双曲线相交，交点P 的坐标为（﹣1，﹣4）或（

4

3

，3）．

考点：1．反比例函数综合题；2．解一元二次方程-公式法；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．锐角三角函数的定义；6．阅读型；7．探究型；8．压轴题． 26．如图，在?ABCD 中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E 是边AB 上的一点，点F 是边CD 上一点，将?ABCD 沿EF 折叠，得到四边形EFGH ，点A 的对应点为点H ，点D 的对应点为点G ．

（1）当点H 与点C 重合时．

①填空：点E 到CD 的距离是 ； ②求证：△BCE ≌△GCF ； ③求△CEF 的面积；

（2）当点H 落在射线BC 上，且CH=1时，直线EH 与直线CD 交于点M ，请直接写出△MEF 的面积． 【答案】（1

）①

2；（2

）35

或

【解析】 试题分析：（1）①解直角三角形即可；

②由平行四边形的性质和折叠的性质有∠B=∠G ，∠BCE=∠GCF ，BC=GC ，再根据AAS 即可证明； ③过E 点作EP ⊥BC 于P ，设BP=m ，则BE=2m ，可以求得

，然后根据折叠的性质和勾股定理求得EC ，进而求得三角形的面积；

（2）分两种情况：①若H 在BC 的延长线上，过E 点作EQ ⊥BC 于Q ，可以求得

，然后根据折叠的性质和勾股定理求得EH ，再由三角形相似对应边成比例求得MH ，从而求得EM ，进而求得三角形的面积；

②若C 在线段BC 上，如图3，过E 作EQ ⊥BC 于Q ，设BQ=x ，则BE=2x ，

，QH=3－x ，EH=AE=62x -，在Rt △EQH

中，由勾股定理得到222)(3)(62)x x +-=-，解得3

2

x =

，得到BE=2x=3，可证得△BEH 和△MHC 都是等边三角形，得到HM=HG=1，故EM=4，而F 到EM 的距离= F 到AB 的距离

=

试题解析：（1）如图1，①作CK ⊥AB 于K ，∵∠B=60°，∴

C 到AB 的距离和E 到C

D 的距离都是平行线AB 、CD 间的距离，∴点

E 到CD

的距离是

②∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，∠D=∠B ，∠A=∠BCD ，由折叠可知，AD=CG ，∠D=∠G ，∠A=∠ECG ，∴BC=GC ，∠B=∠G ，∠BCD=∠ECG ，∴∠BCE=∠GCF ，在△BCE 和△GCF 中，∵∠B=∠G ，∠BCE=∠GCF ，BC=GC ，∴△BCE ≌△GCF （AAS ）； ③过E 点作EP ⊥BC 于P ，∵∠B=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP ，设BP=m ，则BE=2m ，∴

EP=BE?sin60°=2m×

，由折叠可知，AE=CE ，∵AB=6，∴AE=CE=6﹣2m ，∵BC=4，∴PC=4﹣m ，在RT △ECP 中，由勾股定理

得222(4))(62)m m -+=-，解得5

4

m =

，∴EC=6﹣2m=5624-?

=72，∵△BCE ≌△GCF ，∴CF=EC=72，∴S △CEF

=1722??

（2）①若C 在BC 的延长线上，如图2，过E 点作EQ ⊥BC 于Q ，∵∠B=60°，∠EQB=90°，∴∠BEQ=30°，∴BE=2BQ ，设BQ=n ，则BE=2n ，∴

EP=BE?sin60°=2n×

2

，由折叠可知，AE=HE ，FG ∥EH ，∴F 到EH 的距离等于F 到AB 的距离

=∵AB=6，∴AE=HE=6﹣2n ，∵BC=4，CH=1，∴BH=5，∴QH=5

﹣n ，在RT △EHQ

中，由勾股定理得222(5))(62)n n -+=-，解得1114n =，∴AE=HE=6﹣2n=31

7

，∵AB ∥CD ，∴△CMH ∽△BEH ，∴MH CH HE BH =，即1

3157

MH =，∴MH=

3135，∴EM=3131735-=12435，∴ΔMEF S

=

1124235??

35

．

解直角三角形教案(完美版)

在线分享文档地提升自我 By ：麦群超 解直角三角形 一、教育目标 (一)知识与技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的 两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角 三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感态度与价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、重、难点 重点：直角三角形的解法． 难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 三、教学过程 (一)明确目标 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sin ;cos ;t an ;cot b a b a B B B B c c a b ====； sin ;cos ;tan ;cot a b a b A A A A c c b a ==== 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． (二)整体感知 教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习巩固．同时，本课又为以后的应用举例打下基础，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的．综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课．

解直角三角形-单元测试题(基础题)--含答案

解直角三角形单元测试题 一、选择题： 1、在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC:CA:AB=5:12:13，则sinA的值是( ) A. B. C. D. 2、已知∠A为锐角，且sinA≤，则（） A.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90° 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值为（） A.1 B. C. D. 4、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） A． B． C． D． 5、如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上 的一点，则cos∠APB的值是（） A．45° B．1 C． D．无法确定 6、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到 △AC′B′，则tanB′的值为（） A． B． C． D． 7、如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那 么△AEF和△ABC的周长比为（） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 8、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大 树的方向前进4 m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6 m,则这棵树的高 度约为(结果精确到0.1 m,≈1.73)( ) A．3.5 m B．3.6 m C．4.3 m D．5.1 m 9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处， 测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向 上，则A，B之间的距离是( ) A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里

解直角三角形知识点

一、直角三角形的性质： 1、两个锐角互余 ∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∵∠C=90°∠A=30°∴ BC= 2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD= 2 1 AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ ：22 2 a b c +=还可以变形为2 2 2 a c b =-，2 2 2 b c a =-． 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数 1、锐角三角函数定义：在RT ABC ?中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则： sin A a A c ∠= =的对边斜边 cos A b A c ∠==的邻边斜边 tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边 c o t A b A A a ∠==∠的邻边的对边 常用变形：sin a c A = ；sin a c A =等，由同学们自行归纳 2、锐角三角函数的有关性质： （1）当 °<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A > （2）在0° 90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、cot ）的值，随角度的增大而减小。 3、同角三角函数的关系： A C B D

青岛版八年级数学下册第九章解直角三角形单元测试题B卷

青岛版八年级数学下册第九章单元测试题B 卷 一选择题30 1.在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦 （ ） （A ） 都扩大2倍 （B ） 都扩大4倍 （C ） 没有变化 （D ） 都缩小一半 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA= 5 4 ，则cosB 的值等于（ ） A ．5 3 B. 5 4 C. 4 3 D. 5 5 3.在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B 的值为（ ） A ． 12 B C D 4.河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ） A ． B ．10米 C ．15米 D ． 5.等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ） 600 （B ） 900 （C ） 1200 （D ） 1500 6.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝是拉直的），则三人所放的风筝中( ) A 、甲的最高 B 、丙的最高 C 、 乙的最低 D 、丙的最低 7..如图，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60O 方向，这艘渔船以28km/时的速度

向正东航行，半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15O 方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（ ） Ａ．km 27 Ｂ．km 214 Ｃ．km 7 Ｄ．km 14 8.在Rt ?ABC 中，∠C=90o，∠A=15o，AB 的垂直平分线与AC 相交于M 点，则CM ：MB 等于（ ） （A ）2：3 （B ）3：2 （C ）3：1 （D ）1：3 9.如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°．公路PQ 上A 处距离O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为 A ．12秒． B ． 16秒． C ．20秒． D ．24秒． 10. 等腰直角三角形斜边为10，则它的直角边为（ ）． A ． ． ． ． 二填空题 28分 04sin 45(3)4?+-π+-= 12.在△ABC 中，∠A=30o，tan B= 1 3 ， AB 的长为 . 13.锐角A 满足2 sin(A-150 则∠A= . 14.已知tan B=3，则sin 2 B = . 15.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡度为 . 16.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为______米（保留根号）． ６０Ｏ Ａ Ｂ Ｍ 东

《解直角三角形》典型例题

《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B = tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4 cos =? == B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 13 3 330tan =? =?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ．

分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是 的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．

解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有 ，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有 ， 则有 说明还可以这样求：

(完整版)解直角三角形单元测试题

解直角三角形单元测试题 班级__________姓名__________ 分数__________ 一、填空题(每题3分，共30分) 1．若直角三角形两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为________. 2．若等腰直角三角形的一边长是2，则它的面积为___________. 3．△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，则sinA ＝_____________. 4．在△ABC 中，∠C ＝90°，13 5 sin =B ，则cosB ＝___________. 5．若2 3 sin = a ，则锐角a ＝__________度. 6．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，220,20==c a ，则∠B ＝_________度． 7．△ABC 中，∠C ＝90°，10,5 4 sin == AB A ，则AC ＝_________. 8．在离大楼15m 的地面上看大楼顶部仰角为65°，则大楼高约__________m(精确到lm)． 9．在电线杆离地面8m 的地方向地面拉一条缆绳以固定电线杆，如果缆绳与地面成60°角，那么需要缆绳__________m(忽略打结部分)． 10．一个斜坡的坡度是1：3，高度是4m ，则他从坡底到坡顶部所走的路程大约是___________m(精确到0.1m)． 二、选择题(每题3分，共15分) 11．直角三角形的两条边长分别为3、4，则第三条边长为 ( ) A ．5 B ．7 C ．7 D ．5或7 12．如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝a ，则下列结论正确的是 ( ) (12题) （13题） A ．54sin =a B ．53cos =a C ．34tan =a D ．3 4 cot =a 13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD ＝a ，则cos a 的值为 ( ) A ．54 B ．43 C ．34 D ．5 3 14．△ABC 中，∠C ＝90°，且a ≠b ，则下列式子中，不能表示△ABC 面积的是 ( ) A ．ab 21 B ．B ac sin 21 C ．A b tan 212 D ．B A c cos sin 2 1 2? 15．如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长23m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到C A '的位置，此时露在水面上的鱼线C B ''为33，则鱼竿转过的角度是 ( ) A ．60° B ．45° C ．15° D ．90° 三、解答题(共75分) 16．计算（每题5分，共10分） (1)2cos30°+cot60°-2tan45°·tan60°

解直角三角形2

s§28.2 《解直角三角形2》师生共用讲学稿 班级：_____ 学号： ________ 姓名：___________ 年级：九年级 学科：数学 主备人： 杨璇 主审人： 内容：解直角三角形 第二课时 课型： 新授课 时间： 年 月 日 学习目标 ： 解直角三角形与仰角、俯角等知识相结合，解决实际问题。 自学重点：构建数学模型 自学难点：将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系。 一.课前训练: 1.如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC 的长以及拉线下端点A 与杆底D 的距离AD(精确到0.01米 )． 分析：请审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD 是直角三角形．其中CD=5m ，∠CAD=60°，求AD 、AC 的长． 2.燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B 是55°，外口宽AD 是180mm ，燕尾槽的深度是70mm ，求它的里口宽BC(精确到1mm)． Sina55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43,cot55°≈0.70. 分析：将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD 中，上底AD=180mm ，高AE=70mm ，∠B=55°，求下底BC ． 二．请大家自学教材第92页的例4 1.用解直角三角形的的知识解决实际问题时，要善于将某些实际问题中的数量关 系归结为直角三角形中的边角关系（即构建数学模型：直角三角形） 2．仰角和俯角：如图，在测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫______;从上向下看,视线与水平线的夹角叫____________. 俯角仰角视线水平线 视线 注意：仰角和俯角是相对的，关键是看视线和水平线的位置。 3.解直角三角形的应用的一般步骤:

解直角三角形1

解直角三角形单元测试题 一、判断题 1、ctgl5°·ctg75°＝ctg45°（）； 2、（2sin3O°－1）2＝1（）； 3、sin75°＝sin（45°＋30°）＝sin45°＋sin30°（）； 4、在△ABC中，，则∶∶＝3∶6∶8（）； 5、锐角A＞B，则sinA＞cosB （）； 6、若α，β均为锐角，sinα－cosβ＝0，则α＋β＝90°（）； 7、三角形的一锐角A满足关系式，则A＝45°（）； 8、sinα的值随角α的不断增大而增大，cosα的值随角α的不断增大而减小（）； 9、直角三角形ABC中，sinA／sinB＝a／b，故直角三角形中，边长与其对角成正比（）； 10、在0°＜α＜90°时，tgα＜sinα（）。 二、填空题： 11、可用三角形内锐角的正弦表示成__________。 12、A为一锐角，若sinA＝，则cosA＝__________，又若cosA＝，则tgA ＝__________。 13、三边长分别为5、12、13的三角形的外接圆半径为________，内切圆半径为________。

14、顶角为锐角的正弦值为，周长为18cm的等腰三角形的底边长是 __________，腰长是__________。 15、A、B为直角三角形ABC的两锐角，sinA和sinB是方程的两个根，则＝__________，sin2A＋sin2B＝__________。 16、在直角三角形ABC中，∠C＝60°，斜边BC＝14 cm，则BC边上的高为 __________ cm 。 三、选择题 17、α为锐角，则＝（）。 （A）1－sinα－cosα（B）l＋sinα＋cosα （C）0 （D）sinα＋cosα－1 18、正六边形的两条对边相距12cm，那么这个正六边形的边长为（）。 （A）7.5 cm （B）cm （C）cm （D）cm 19、A、B为Rt△ABC的两锐角，∠C＝90°，则有（）。 （A）sinA＝sinB （B）cosA＝cosB （C）sinB＝cosC （D）sinA＝cosB 20、正三角形边长为，则其外接圆半径等于（）。 （A）（B）（C）（D） 21、若0°＜α＜90°，则的值等于（）。 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 四、计算和解答题 22、计算：

解直角三角形练习题(二)及答案

解直角三角形数学测试题 一、填空题 1、如图：P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 则sin （900 - α）＝_____________. 2、3 2 可用锐角的余弦表示成__________. 3、在△ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，若AC ＝4，BD ＝7， 则sinA ＝ ， tanB ＝ . 4、若α为锐角，tan α＝ 2 1，则sin α＝ ，cos α＝ . 5、当x ＝ 时，x x x x cos sin cos sin -+无意义.（00＜x ＜900 ） 6、求值：=???45cos 2 260sin 21 . 7、如图：一棵大树的一段BC 被风吹断，顶端着地与地面成 300角，顶端着地处C 与大树底端相距4米，则原来大树高 为_________米. 8、已知直角三角形的两直角边的比为3:7，则最小角的正弦值为_______. 9、如图：有一个直角梯形零件ABCD 、AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10cm ，∠D ＝120°，则该零件另一腰AB 的长是__________cm. 10、已知：tanx=2 ，则 sinx+2cosx 2sinx －cosx ＝____________. 二、选择题 1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ＝1，c ＝4,则sinA 的值是（ ） A. 1515 B. 13 C. 14 D. 154

2、已知△ABC中，∠C=90°，tanA·tan 50°＝1，那么∠A的度数是（） A. 50° B. 40° C. ( 1 50 )° D. ( 1 40 )° 3、已知∠A+∠B=90°,且cosA=1 5 ，则cosB的值为( ) A. 1 5 B. 4 5 C. 26 5 D. 2 5 4、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a和A，则下列关系式中正确的是（） A. c＝α·sinA B. c＝ α sinA C. c＝α·cosB D. c＝ α cosA 5、如果α是锐角，且cosα＝4 5 ，那么sinα的值是（） A. 9 25 B. 4 5 C. 3 5 D. 16 25 6、1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；在同一时刻，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是( ) A．80米 B. 85米 C. 120米 D. 125米 7、化简(1－sin50°)2－(1－tan50°)2的结果为( ) A. tan50°－sin50° B. sin50°－tan50° C. 2－sin50°－tan50° D. －sin50°－tan50° 8、在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=3，AC等于10，则S△ABC等于( )

(人教版初中数学)解直角三角形题目

姓名： 学号： 成绩： 敬业中学初三上期单元检测题（二） （解直角三角形 A 卷） 满分：100分；考试时间：90分钟 一、填空题：（每空1分,共20分） 1、旗杆的上一段BC 被风吹断,顶端着地与地面成300角,顶端着地处B 与旗杆底端相距4米,则原旗杆高为_________米. 2、在Rt △ABC 中,∠ACB ＝900,CD ⊥AB 于D,BC ＝7,BD ＝5,则sinB ＝ ,cosA ＝ ,sinA ＝ ,tanA ＝ ,cotA ＝ . 3、在△ABC 中,∠ACB ＝900,CD ⊥AB 于D,若AC ＝4,BD ＝5 9 ,则sinA ＝ ,tanB ＝ . 4、若α为锐角,cot α＝ 21 ,则sin α＝ ,cos α＝ . 5、查正弦表得8474sin 0'＝0.9650,则2115cos 0'＝ ；若2'对应的修正值为0.0002,则0115cos 0 '＝ ；若3'对应的修 正值为0.0004,且cosA ＝0.9646,则A ＝ . 6、计算：（1）0 2 2 56cos 34cos 1--＝ ； （2）0 69sin 21cos 69cos 21sin +＝ . 7、计算：30 031 0)30cot 3 1()30tan 3(?＝ . 8、当x ＝ 时,x x x x cos sin cos sin -+无意义.（00＜x ＜900） 9、在△ABC 中,∠C ＝900,若sinA ＞cosA,则∠A 的取值范围是 . 10、已知△ABC 中,AB ＝24,∠B ＝450,∠C ＝600,AH ⊥BC 于H,则AH ＝ ；CH ＝ . 二、选择题：（每小题2分,共20分） 11、已知cotA ＝3,求锐角A （ ） A 、320 B 、300 C 、600 D 、500 12、在Rt △ABC 中,如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的5 1 ,那么锐角A 的各个三角函数值（ ） A 、都缩小 5 1 B 、都不变 C 、都扩大5倍 D 、无法确定 13、若α是锐角,且054sin cos 0 =-α,则α为（ ） A 、540 B 、360 C 、300 D 、600 14、在△ABC 中,∠C ＝900,CD 是AB 边上的高,则CD ∶CB 等于（ ） A 、sinA B 、cosA C 、tanA D 、cotA 15、在△ABC 中,∠C ＝900,CD ⊥AB 于D,∠ACD ＝α,若tan α＝2 3 ,则sinB ＝（ ） A 、553 B 、552 C 、13133 D 、13132 16、A 、B 、C 是△ABC 的三个内角,则2sin B A +等于（ ） A 、2 cos C B 、2sin C C 、C cos D 、2cos B A + 17、若00＜∠A ＜900,且5)90cot(0 =-A ,则A cot 的值为（ ） A 、5 B 、51 C 、34 D 、4 3 18、化简250tan 50cot 0202-+的结果是（ ） A 、0050tan 50cot - B 、0050cot 50tan - C 、250tan 50cot 0 0-- D 、0 050cot 50tan + 19、在Rt △ABC 中,∠C ＝900,3 2 cos =B ,则a ∶b ∶c 为（ ）A 、2∶5∶3 B 、2∶5∶3 C 、2∶3∶13 D 、1∶2∶3 20、在△ABC 中,若AB ＝AC,则sinB 等于（ ） A 、2sin A B 、2 cos A C 、A sin D 、A cos 三、计算下列各题：（每小题5分,共10分） 21、 00 00245tan 45cos 230cos 60tan 45sin +?+ 22、1000100 00 202)25tan 2() 65tan 2 1 (30cot 230tan ?-+- 四、解答下列各题：（每小题8分,共40分） 23、已知如图：AB ∥DC,∠D ＝900,BC ＝10,AB ＝4,C tan ＝ 3 1 ,求梯形ABCD 的面积. D C B A

(完整版)解直角三角形练习题(三)及答案

解直角三角形 一、 填空题： 1. 若∠A 是锐角，cosA ＝ 2 3 ，则∠A ＝ 。 2. 在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝2 1 ，则sinA ＝ ； 3. 求值：1sin 60cos 4522 ?? ?+2sin30°－tan60°＋cot45=__________。 4. 在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么，相邻两棵 树间的斜坡距离为 米。 5. 已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为3 2，那么该 等腰三角形的腰长等于 。 6. 如图：某同学用一个有60°角的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D 、B 的距离为5米，则旗杆AB 的高度约为 米。（精确到1米， 3取1.732） 7. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE ＝2AE ，已知 AD ＝33，tan ∠BCE ＝ 3 3，那么CE ＝ 。 8. 正方形ABCD 的边长为1。如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 延长线上的点D '处，那么tan ∠BA D '＝ 。 二、选择题 1. 在△ABC 中，已知AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，那么下列结论成立的是（ ） A 、SinA ＝ 45 B 、cosA ＝53 C 、tanA ＝43 D 、cotA ＝5 4 2. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则6cosB 等于 （ ） （A ）3 （B ）2 （C ）33 （D ） 32 3. 为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得楼顶B 的仰角 为α,则楼房BC 的高为（ ） E D C B A 四川03/3 D A B C α

解直角三角形单元测试题

解直角三角形 单元测试 (时间：100分钟 满分：150分) 一、填空题(每题3分，共30分) 1．若直角三角形两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为________. 2．若等腰直角三角形的一边长是2，则它的面积为___________. 3．△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，则sinA ＝_____________. 4．在△ABC 中，∠C ＝90°，13 5sin =B ，则cosB ＝___________. 5．若2 3sin =a ，则锐角a ＝__________度. 6．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，220,20==c a ，则∠B ＝_________度． 7．△ABC 中，∠C ＝90°，10,5 4sin == AB A ，则AC ＝_________. 8．在离大楼15m 的地面上看大楼顶部仰角为65°，则大楼高约__________m(精确到lm)． 9．在电线杆离地面8m 的地方向地面拉一条缆绳以固定电线杆，如果缆绳与地面成 60°角，那么需要缆绳__________m(忽略打结部分)． 10．一个斜坡的坡度是1：3，高度是4m ，则他从坡底到坡顶部所走的路程大约是___________m(精确到0.1m)． 二、选择题(每题4分，共20分) 11．直角三角形的两条边长分别为3、4，则第三条边长为 ( ) A ．5 B ．7 C ．7 D ．5或7 12．如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝a ，则下列结论正确的是 ( ) A ．54sin = a B ．53cos =a C ．34tan =a D ．3 4cot =a 13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD ＝a ，则cos a 的值为 ( )

解直角三角形的知识点总结

解直角三角形 一、锐角三角函数 （一）、锐角三角函数定义 在直角三角形ABC 中，∠C=900，设BC=a ，CA=b ，AB=c ，锐角A 的四个三角函数是： (1) 正弦定义：在直角三角形中ABC ，锐角A 的对边与斜边的比叫做角A 的正弦，记作sinA ，即 sin A = c a , （2）余弦的定义：在直角三角行ABC ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做角A 的余弦，记作cosA ，即 cos A = c b , （3）正切的定义：在直角三角形ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做角A 的正切，记作tanA ，即 tan A =b a ， (4)锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA 即 a A A A b 的对边的邻边cot =∠∠= 锐角A 的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A 的锐角三角函数。 这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件： （1）锐角∠A 必须在直角三角形中，且∠C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系

注意:锐角三角函数的定义应明确(1) c a ， c b ，b a ，a b 四个比值 的大小同△ABC 的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的； （2）sinA 不是sinA 的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样； （3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等； （二）、同角三角函数的关系 （1）平方关系： 12 2 s i n =?+C O S α (2)倒数关系：tan ａ cota=1 (3)商数关系：? ? =???= sin cos cot ,cos sin tan 注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注 意它们的变形公式。 (2)()??sin sin 2 2 是 的简写，读作“?sin 的平方”，不能将 ??2 2 sin 写成sin 前者是a 的正弦值的平方，后者无意义； （3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cot tan ,12 2 3030 cos sin 2 2 =?=? +? ，而 1cos sin 2 2 =+ ?β就不一定成立。 （4）同角三角函数关系用于化简三角函数式。 （三）余角的函数关系式 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它

解直角三角形单元测试题含答案

解直角三角形 单元测试题 BC CA AB 满足 BC:CA:AB=5:12:13，贝U si nA 的值是（ B. sinA 三，则（ ° < A v 90° C. ） ° v AW 30° D. °W AW 90° 3、在 Rt △ ABC 中，/ C=90°,Z B=60°,那么 sinA+cosB 的值为（ ） B. C. D. 4、 已知在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, sinA=，贝U tanB 的值为( ) A . B . C . D 5、 如图，点A 、B 、O 是正方形网格上的三个格点，O O 的半径为OA 点P 是优弧上的一点，则 的值是( ) A . 45° B . 1 C . D .无法确定 6、如图，A 、B C 三点在正方形网格线的交点处， 若将△ ABC 绕着点A 逆时针旋转得到厶 AC B',则tanB ' 8、 如图，小敏同学想测量一棵大树的高度 .她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30° ,再往大树的方向前进 4 m 测得仰角为60 ° .已知小敏同学身高(AB)为m,则这棵树的高度约为(结果精确到m, ~( ) A . m B . m C . m D . m 9、 如图，有一轮船在 A 处测得南偏东30°方向上有一小岛 P ,轮船沿正南方向航行至 B 处，测得小岛P 在南偏东45°方向上，按原方向再航行 10海里至C 处，测得小岛P 在正东方向上，则 A , B 之间的距离是 ( ) A . 10 海里 B . (10 — 10)海里 C . 10 海里 D . (10 — 10)海里 10、 如图，在△ ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC 点D 为边AC 的中点，DE 丄BC 于点E ,连接BD,贝U tan / DBC 的值为( ) A. B. — 1 C . 2— D. 11、 如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1: 2，则斜坡AB 的长为() 米 米 米 D . 24米 12、 如图，在高度是 90米的小山A 处测得建筑物 CD 顶部C 处的仰角为30°,底部D 处的俯角为45 ° , 则这个建 筑物的高度。。是( )(结果可以保留根号) A . 30 (3+)米 B . 45 (2+)米 C. 30 (1+3)米 D . 45 (1+)米 二、填空题： 13、 求值：sin60 ° ?tan30 ° = _________ . 14、 如图，/ 1的正切值等于 ______________ . 15、 如图，在菱形 ABCD 中, DE 丄 AB,, BE=2,则 ___________ . 16、 如图，一人乘雪橇沿坡比 1:的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为 ____________________ 米. 、选择 题: 1、在厶 ABC 中，若三边 A. 2、已知/ A 为锐角，且 ° < AW 60° cos / APB 的值为( ) A . B . C . 7、如图，已知在厶 ABC 中, cosA=, BE 、CF 分别是 比为( ) A . 1: 2 B . .1 : 3 C . D . AG AB 边上的高，联结 EF,那么△ AEF 和厶ABC 的周长 4 D . 1: 9

解直角三角形知识点整理

在RT ABC ?中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则： sin A a A c ∠= =的对边斜边 cos A b A c ∠==的邻边斜边 tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边 c o t A b A A a ∠==∠的邻边的对边 常用变形：sin a c A = ；sin a c A =等，。 二、 锐角三角函数的有关性质： 1、 当0°<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A > 2、 在0°--90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、 cot ）的值，随角度的增大而减小。 三、 同角三角函数的关系： 22sin cos 1A A += t a n c o t 1A A = sin tan cos A A A = c o s c o t sin A A A = 常用变形：2 sin 1cos A A =- 2c o s 1s i n A A =- 四、 正弦与余弦，正切与余切的转换关系： 如图1，由定义可得：sin cos cos(90)a A B A c = ==?- 同理可得： sin cos(90)A A =?- cos sin(90)A A =?-tan cot(90)A A =?- c o t t a n (90A A =?- 五、 特殊角的三角函数值： 三角函数 sin α cos α tan α cot α 30° 12 32 33 3 45° 22 22 1 1 60° 32 12 3 33 六、 解直角三角形的基本类型及其解法总结： 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A = ，cos b c A = 60° 30° 32 1 B C A 45° 22 2 B C A

解直角三角形的方法与技巧

解直角三角形常用解题方法与技巧 解直角三角形所涉及的知识面较广，题目灵活性、综合性较强，因而学习起来可能会有一定的困难，为帮助大家理解并掌握其中的解题方法与解题技巧，现结合实例归纳总结如下： 一、巧妙应变，走出解题陷阱 例1 如图①，在Rt △ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠A =90°， ⑴、若a =15，b =12，求c ；⑵、若b =8，c=15，求a ． 简析 由∠A =90°知，本题a 才是斜边，故应运用勾股定理 222b c a +=求解． 解 ⑴、∵∠A =90°，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∴222b c a +=， 又∵c ＞0，∴9c ===． ⑵、由⑴知222b c a +=，∴17a ==． 评注 解直角三角形问题，审题很重要，有时候稍一疏忽就有可能导致错解或者漏解的产生．本例在求解时正是注意到了斜边这一特殊边长的变化从而避免了解题错误的发生． 二、巧设参数，化繁难为简易 例2 如图②，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =45 ，求tan B 的值． 简析 要算tan B ，必须先求出直角边AC 、BC 的长，注意到题中只 有“sin A =35 ”而没有给出相应线段的长，故考虑采用设参数的办法进行解决． 解 设BC =4k ，则AB =5k （k ＞0）． ∵在△ABC 中，∠C =90°，∴AC 3k ==， ∴tan AC B BC ==3344 k k =． 评注 对于已知特殊角而求三角函数值（或线段比值）的解直角三角形问题，有时候适当引入参数可以帮助我们在解题过程中少走不少弯路． 三、巧建模型，以不变应万变 例3 如图③所示，某小岛周围40海里内布满暗礁，一艘船由西向 东航行，起初在A 处测得小岛在北偏东60°方向，航行30海里后在B 处 又测得小岛在东北方向，如果该船不改变航行方向而继续向前航行，那 么它会有触礁危险吗？ 简析 过O 作OH ⊥AB 于H ，将实际问题转化为解直角三角形问

《解直角三角形》单元测试题

《解直角三角形》单元测试题 一、选择题 1. 在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦（ ） A. 都扩大2倍 B. 都扩大4倍 C. 没有变化 D. 都缩小一半 2. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，sinA= 5 4 ，则cos B 的值等于（ ） A ．5 3 B. 5 4 C. 4 3 D. 5 5 3. 在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ） A ． 1 2 B ． 2 C ． 3 D ． 3 4. 在Rt ?ABC 中，∠C =90o，∠A =15o，AB 的垂直平分线与AC 相交于M 点，则CM ：MB 等于（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 3：1 D. 1：3 5. 式子() 2 60tan 145tan 30cos 2 -- -的值是（ ） A. 232- B. 0 C. 32 D. 2 6. 等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为（ ） A ．600 B. 900 C. 1200 D. 1500 7. 在△ABC 中，若()0tan 12 1cos 2 =-+- B A ，则∠ C 的度数是( ) A ．45° B. 60° C ．75° D ．105° 8. 河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比3:1，则AC 的长是（ ） A ．35米 B ．10米 C ．15米 D ．310米 9. 如图，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60O 方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15O 方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（ ） Ａ．km 27 Ｂ．km 214 Ｃ．km 7 Ｄ．km 14 10. 身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝是拉直的），则三人所放的风筝中( ) ６Ａ Ｂ Ｍ 东 (第9题)

《解直角三角形》单元测验

《解直角三角形》单元测验 班级：____________ 姓名：_____________ 一、选择题(每题3分，共30分) 1．如图，在ABC ?中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,则tan B 的值 是（ ） A ．34 B ．43 C ．35 D ．45 2．在Rt ABC ?中，90C ∠=，13 AC AB =， 则cos A 等于（ ） A ．223 B ．13 C ．22 D ．24 3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足．若AC ＝4， BC ＝3，则sin ∠ACD 的值为（ ） A ．34 B ．43 C ．54 D ．5 3 4．已知∠A ＋∠B ＝90°且cos A ＝5 1，则cos B 的值为（ ） A ．51 B ．54 C ．562 D ．5 2 5．已知tan a ＝3 2，则锐角a 满足（ ） A ．0°＜a ＜30° B ．30°＜a ＜45° C ．45°＜a ＜60° D ．60°＜a ＜90° 6．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，则tan C ＝（ ） A ．53 B ．54 C ．34 D ．4 3 7．如图，从山顶A 望到地面C ，D 两点，测得它们的俯角分别是45° 和30°，已知CD ＝100m ，点C 在BD 上，则山高AB 等于 （ ） A ．100 m B ．350m C ．250m D ．50（13+）m 8．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植 草皮，已知这种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种 草皮至少需要 （ ） A ．450a 元 B ．225a 元 C ．150a 元 D ．300a 元 9．如图,水库大坝的横断面积为梯形,坝顶宽6米、坝高24米、斜坡AB 的坡角为45°， 斜坡CD 的坡度i ＝1∶2，则坝底AD 的长为 （ ） A ．42米 B ．（32430+）米 C ．78米 D ．（3830+）米 （第8题图） （第9题图）

第24章解直角三角形单元测试卷

新华师大版九年级上册数学摸底试卷（十三） 第24章 解直角三角形单元测试卷 B 卷 姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分） 1. 在Rt △ABC 中,5,13,90==?=∠AC AB C ,则A sin 的值为 【 】 （A ）135 （B ）1312 （C ）125 （D ）5 12 2. 如图,在Rt △ABC 中,3,5,90==?=∠BC AB C ,则B cos 的值是 【 】 （A ）53 （B ）54 （C ）43 （D ）3 4 第 2 题图 A C B 第 4 题图 3. ?60sin 的值为 【 】 （A ）3 （B ） 23 （C ）22 （D ）2 1 4. 如图,在Rt △ABC 中,斜边AB 的长为m ,?=∠35A ,则BC 的长为 【 】 （A ）?35sin m （B ）?35cos m （C ） ? 35sin m （D ）?35cos m 5. 拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB 的坡比是1 : 3,坝高10=BC m,则 坡面AB 的长度是 【 】 （A ）15 m （B ）320m （C ）310m （D ）20 m 第 5 题图 第 6 题图 6. 某日,正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情,相关部门接到求救信号后,立即调遣一架直升机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援,如图,当飞机到达距离海面3000 m 的高空C 处时,测得A 处渔政船的俯角为45°,测得B 处发生险情渔船的俯角为?30,此时渔政船和渔船的距离AB 是 【 】 （A ）33000 m （B ）() 133000+ m （C ）() 133000- m （D ）31500 m 7. 如图,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知13 12 cos =α,则 小车上升的高度是 【 】 （A ）5米 （B ）6米 （C ）6. 5米 （D ） 12米 第 7 题图第 8 题图 N M Q P C B 8. 如图上升,某超市从一楼到二楼有一自动扶梯,已知自动扶梯AB 的坡度为1 : 2. 4,AB 的长度是13米,MN 是二楼楼顶,PQ MN //,C 是MN 上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点,MN BC ⊥,在自动扶梯底端A 处测得C 点的仰角为?42,则二楼的层高BC 约为 【 】 （精确到0. 1米,90.042tan ,67.042sin ≈?≈?） （A ）10. 8米 （B ）8. 9米 （C ）8. 0米 （D ）5. 8米 9. 如图,一艘轮船位于灯塔P 的北偏东?60方向,与灯塔P 的距离为30海里的A 处.轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的南偏东?30方向上的B 处,则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为 【 】 （A ）60海里 （B ）45海里 （C ）320海里 （D ）330海里 10. 如图,为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度）,把一根长5 m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁,量出竿长1 m 处的D 点离地面的高度6.0=DE 米,又量得竿底与坝脚的距离3=AB m,则石坝的坡度为 【 】 （A ） 43 （B ）3 （C ）5 3 （D ）4 北 第 10 题图 D A C B 二、填空题（每小题3分,共15分） 11. 计算:=?+?60sin 45cos 22_________. 12. 已知βα,均为锐角,且满足()01tan 2 1 sin 2=-+- βα,则 =+βα_________. 13. 如图所示,?=∠=∠90ADC ABC ,M 、N 分别是AC 、BD 的中点,8,10==BD AC ,则=MN _________. 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 14. 如图,一山坡的坡度为3:1=i ,小辰从山脚A 出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了________米. 15. 如图,在小山的东侧A 点有一个热气球,由于受西风的影响,热气球以30米/分的速度沿与地面成?75角的方向飞行,25分钟后到达C 处,此时热气球上的人测得B 点的俯角为?30,则向上东西两侧A 、B 两点间的距离为_________米. 三、解答题（共75分）