高考数学备考乊放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其觃律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.(1)求
∑=-n
k k
1
2
1
42
的值; (2)求证:
3
51
1
2
<
∑=n
k k
. 解析:(1)因为
121121)12)(12(21
422+--=+-=
-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为,?
?? ??+--=-=
-
<121121
2144
411
1
222
n n n n n 所以
353211211215
1
31211
1
2
=
+
n
k
奇巧积累 (11)2
12121
21222)1212(21-++
=
-++=--+ (12) )2(1 21121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211 12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (13) 1 11)1(1)1(1)1)(1(111 2 3 --+????? ??+- -=+-< ?= n n n n n n n n n n n n 1 1112111111 +--<-++? ??? ??+--=n n n n n n n (14) 3 212132122)12(332)13(2221n n n n n n n n n <-?>-?>-?>?-=?=+ (15) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (16) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (17) 1 1 1) 11)((1 12 2 2 2 2 222 <++ ++= ++ +--= -+- +j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(21 67) 12(15 13112 2 2≥-->-+ +++n n n (2)求证: n n 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(5316 425314 2312 1-+ n (4) 例3.求证 所以 353211211215 1 31211 1 2 = + n k 另一方面:1 111)1(143132111914112 +=+-=+++?+?+ >++++n n n n n n 当3≥n 时,) 12)(1(61++> +n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时, 21 91411)12)(1(6n n n n ++++<++ , 所以综上有 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 例4.(2008年全国一卷) 设函数 ()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b -≥.证明:1k a b +>. 解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使 b a m ≥,则 b a a k k ≥>+1 ,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤ 0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a 111 ln ln 因为 )ln (ln 11 b a k a a k m m m <∑=, 于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n . 解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1( ∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 1 11 111111])1([01)2()1()1( 所以要证 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证: ∑++=+-m m n k m k k 111 ])[ 例6.已知n n a 4=解析:n T 所以 n T 例7.已知11=x , *) )(11(21 1141 224544 32N n n x x x x x x n n ∈-+>++?+?+ 证明: n n n n n n x x n n 222141 1 41 ) 12)(12(1 1 4 2 4 24 4 1 22= ?= > -= +-= +, 因为 12++ ) 1(21 22214 1 22n n n n n x x n n -+=++> > + 所以 *) )(11(21 1141 224544 32N n n x x x x x x n n ∈-+>++?+?+ 二、函数放缩 例8.求证：)(6 65333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ . 解析:先构造函数有 x x x x x 11ln 1ln -≤? -≤, 从而)3 13121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ 因为??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+++n n n n 311212 1 9181716151413121313121 6 53332327918 9936 36 5111n n n n n = ??? ? ??+?++?? ? ??++??? ??++>--- 例例 所以有 n n 1211)1ln(+++ <+ , 所以综上有n n n 1211)1ln(11312 1 +++<+<++++ 例11.求证: e n <+??++ )!11()!311)(!211( 和e n <+??++)3 11()8111)(911(2 . 解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n 解析: 1 )1(3 2]1)1(ln[++- >++n n n n ,叠加乊后就可以得到答案 例13.证明:43ln 32ln + 解析:构造函数 求导, 所以(x f 所以1 ln +n n 例14. 已知 11,n a a += 解析: n a (1=+ 注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论 )2)(1(2≥->n n n n 来放缩： ?-+-+ ≤+)1(1))1(11(1n n a n n a n n ? +-+≤++)1)() 1(11(11n n a n n a .)1(1 ))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n 111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2 112<-<+-+?-<+-+?∑ ∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <- 例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >?在0>x 上恒成立. (I)求证：函数 ),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数； (II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时； (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立， 求证：). ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 2 1 *22 222222 N n n n n n n ∈++>++++++ 解析:(I) 0)()(')('2 >-= x x f x x f x g 所以函数 ),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数 (II)因为 ),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数,所以 ) ()()() (212 11121211 1x x f x x x x f x x x x f x x f +?+ )()()()(212122212122x x f x x x x f x x x x f x x f +?+ ()()() (21211 121211 1n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ ( 又1114ln +>>n ,所以).()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 21*2222N n n n n n n ∈++>++++++ 例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明 解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+-> . 2 021,0)(,ln 1)ln(1ln )(. 0),ln()(ln )(, ln )(k x k x k k x x k x x g x k x x k x x g k x x k x k x x x g x x x f <--?>->'-=---+='<<∴--+=∴=则有令 ∴函数k k x g ,2 [)(在）上单调递增，在 ]2 ,0(k 上单调递减. ∴)(x g 的最小值为 )2 (k g ，即总有).2 ()(k g x g ≥ 而 ,2ln )()2ln (ln 2 ln )2()2()2(k k f k k k k k k f k f k g -=-==-+= ,2ln )()(k k f x g -≥∴ 即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+ 令,,b x k a x =-=则.b a k += .2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴ 三、分式放缩 姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ a m b a b 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反乊. 例 例20.证明:四、分类放缩 例21.求证:2 12131211n n >-++++ 解析: + ++++++++>-+ +++ )21 212121()4141(2111213 12113 333n 2)211(221)212121(n n n n n n n >-+=-+++ 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}n A 与曲线x y 2= （x ≥0）上的点列{}n B 满足 n OB OA n n 1= =，直线 n n B A 在x 轴上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*∈N n . (1)证明n a >1+n a >4，*∈N n ; (2)证明有*∈N n 0，使得对0n n >?都有n n n n b b b b b b b b 11231 2+-++++ <2008-n . 解析:(1) 依题设有： (()1 0,,,0n n n n A B b b n ??> ??? ，由1n OB n =得： 2* 212,1,n n n b b b n N n += ∴∈,又直线n n A B 在x 轴上的截距为n a 满足 ( )() 11000n n a b n n ??? -=--? ???? n a 2222 1210,2n n n n n b n b b n b =->+= ( 22 11212n n n n n b a b n b n b +∴=+- 1n a 显然，对于1 10 1 n n > >+，有*14,n n a a n N +>>∈ (2)证明：设 *1 1,n n n b c n N b +=- ∈，则 c 设23111111 11 12123421221 2k k k k -??????+ + +=++++ +++ ? ? ?-++?????? 13 1112222 k k k --?++? =。 2-n ??? ??例23.(20070].若数列}{n b 满足 () (3 n n n f b n = 解析:首先求出x x x f 2)(2+=,∵ n n n n n n f b n 12)(3 23>+== ∴n b b b b T n n 131211321++++ >++++= ,∵214124131=?>+,218148 1716151=?>+++, (212122122112) 111 1=?>++++ +---k k k k k ,故当k n 2>时,12 +>k T n , 因此，对仸何常数A ，设m 是不小于A 的最小正整数， 则当2 22 ->m n 时,必有A m m T n >=+->12 22. 故不存在常数A 使A T n <对所有2≥n 的正整数恒成立. 例24.(2008年中学教学参考)设不等式组?? ? ??+-≤>>n nx y y x 3, 0, 0表示的平面区域为n D ,设n D 内整数坐标点的个数为n a .设 n n n n a a a S 22 1 111+ ++ = ++ , 当2≥n 时,求证:36 117111123 2 1 +≥ ++++n a a a a n . 解析:容易得到n a n 3=,所以,要证36 1171111 2321 +≥ ++++ n a a a a n 只要证12 11721312112+≥++++ =n S n n ,因为 n n n n S 2 1 221121()81716151()4131(211112++++++++++++++ =-- 12 117)1(127232111 21 222+=-+≥+++++=-n n T T T n ,所以原命题得证. 五、迭代放缩 例25. 已知 4+x x n ,求证:当2≥n 时,n 解析例26. 设n S 例27.求证:21 n a n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到 1 2 21)22(13 21)1(22)1(21121-+? +<-+? +<-+=++++n n n n a a n a a a n n 所以1222642)12(531642531423121-+ n 例28. 求证:1122642)12(531642531423121-+ n 解析: 设n n a n 2642)12(531????-????= 则 1 11)12(]1)1(2[) 1(212+++++=++?++= n n n n n a a n a n a n n a ,从而 n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到 1122 3 1 21)12(3)12(1121-+<- +? +<-+=++++n n n a a n a a a n n 例29. 若1,111+=?=+n a a a n n ,求证:)11(21 11 21 -+≥+++ n a a a n 解析: n n n n n n n a a a a a n a a -=? +?=+=?+++++21 112112 所以就有21221 111211211 21-+=-≥--++=+++++n a a a a a a a a a a a n n n n n 七、分类讨论 例30.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n 证明：对仸意的整数4>m ，有8 7111 54 <+++ m a a a 解析:容易得到 [] .)1(23 212---+= n n n a , 由于通项中含有 当3≥n 且n 2322 2233 21 2 ---?= +?< n n n ①当4>m 且m 2121(232143+++<②当4>m 且 八、线性觃划型放缩 例31. 设函数221()2 x f x x +=+. 解析:由 (()f x 由此再由()f x 因此对一切x R ∈，3- 即a ，b 满足约束条件3 1 321 32 a a b a b a b ??+≤???-+≥-??-+≤?? 由线性觃划得，a b -的最大值为5． 九、均值不等式放缩 例32.设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证. 2 )1(2 ) 1(2+< <+n S n n n 解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+= 2 12 1)1(+ =++< + 1∑∑==+<<∴n k n n k k S k ， 即.2 )1(22)1(2) 1(2+<++< <+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2 b a ab +≤ ，若放成 1)1(+<+k k k 则得 2)1(2)3)(1()1(2 1 +>++= +<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n a a n a a a a a a n n n n n n 2 21111++≤++≤ ≤++ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例33.已知函数bx a x f 211)(?+= ，若5 4)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 解析: )2211()()1()0(2 2114111414)(?->++?≠?->+-=+=n f f x x f x x x x .21 2 1)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=?-++?- ++-n n n n n 例34.已知b a ,为正数，且1 1 a ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 解析: 由11+b a n n n a C b a =+0)(令 n b a n f +=)()()(2n f =(11b a C n n - 而1 1 --=+n n ab b a 则)(2n f =(1n C +)(n ?-≥)22 (n n 2， 即对每一个*∈N n ，例35.求证321C C C n n n +++解析: 不等式左n C 12 1-n ， 原结论成立. 例36.已知 x e e x f -+=)( 解析: ()()(121=?x e x f x f 经过倒序相乘,就可以得到2 1 )1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+ 例37.已知x x x f 1)(+=,求证: n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>???? 解析: 2 )12(2) 12(11212)12()12112)(1(+-+>-++-++-++-+=-++-++k n k n k k k n k n k k n k k n k n k k 其中:n k 2,,3,2,1 =,因为n k n k k n k n k k n k 2)12(0)2)(1(2)1(2≥-+?≥--=--+? 所以22)12112)(1(+≥-++-++n k n k n k k 从而n n n f f f f 22)22()]2()3()2()1([+>???? ,所以n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>???? . 例38.若7>k ,求证:2 3 1121111>-++++++=nk n n n S n . 解析:)1 11()3121()2111()111(2n nk nk n nk n nk n S n +-++-+++-+++-+= 因为当0,0>>y x 时,xy y x xy y x 211, 2≥ +≥+,所以 4)11)((≥++y x y x ,所以y x y x +≥+411,当且仅当y x =时取到等号. 所以 1 )1(414324214142-+-= -+++-+++-+++-+> nk n k n nk n nk n nk n nk n S n 所以 231421)1(211)1(2> +-=+->-+->k k k n k k S n 所以 2 31121111>-++++++= nk n n n S n 例39.已知))(()(21x x x x a x f --=,求证:16 )1()0(2a f f ≤ ? 解析:()0(2 f f ?例40.已知函数f (x )=x 2－(求证: [f ’( 解析: (1)当n =1(2)2n ≥, (221-=n n n x C 令122 n n n n S C x C x --=++ (221-=n n x C S (221+≥n n C C 所以2(≥n S 所以)](['n x f 例41. （2007 （1）求函数 )(x f 的最小值，幵求最小值小于0时的a 取值范围； （2）令)1()2()1()('1'2'1-+++=-n f C f C f C n S n n n n 求证：)2 ()22()('n f n S n ?-> e 1 min a min a a 'a 'a x x 'x 'e a 1的取值取值范a e 1 lna 1,lnlna 则0,lna lnlna 1即 0,f(x)若lna lnlna 1lna)log f(f(x)所以上递递增)lna,log 上递递减，在lna)log ,(在(x)f 所以lna, log x 有0,(x)f 同理：lna log x 1a 又,lna 1 a 1,lna a 即：0,(x)f 1,lna a (x)f 由(1)<<∴<∴-<<+<+=-=+∞---∞-<<->∴>>∴>>-= 所以不等式成立。 ), 2 ()22()1ln )(22() 22(ln )22()22(ln )]()()([2 1) (ln )()1ln ()1ln ()1ln ()()2('2 211222111211122111 221n f a a a a a a a C a a C a a C C C C a a C a C a C a a C a a C a a C n S n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -=--=---≥--++++++=+++-+++=-++-+-=--------- ★例42. (2008年江西高考试题)已知函数 ( )f x ()0x ,∈+∞.对仸意正数 a ,证明：()12f x <<． 解析:对仸意给定的0a >,0x >, 由 ()f x , 8 只要证 (1)(1)8 ab ab a b ab > +++，即 8(1)(1)ab a b +>++，也即 7a b +<，据③，此为显然． 因此⑦得证．故由⑥得 ()2f x <． 综上所述，对仸何正数a,x ，皆有()12f x <<． 例43.求证: 21 3121111<++++++< n n n 解析:一方面:14 2 214131211312111 =+>??? ??++≥+++++ +n n n (法二)? ? ??????? ??+++++??? ??+++??? ??+++?=+++++ +11131312113111211312111 n n n n n n n n n ??? ? ??+++++++++++?= )13)(1(2 4)2(324)1)(13(2421n n n n n n n n n ()1)12()12()12(1)1()12(1)12(1122 2222222=++>???? ??-+++--++-+?+=n n n n n n n n n 另一方面:21 22112131211 1 =++<++<+++++ +n n n n n n n 十、二项放缩 n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n , 2 222 210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n 例44. 已知11 2 11 1,(1).2 n n n a a a n n +==+++证明2n a e < 解析: ?-+-+ ≤+)1(1))1(11(1n n a n n a n n ? +-+≤++)1)() 1(11(11n n a n n a )1ln(1-++a n 1 1 11<---n n n ， 即)1ln(a n +例45.设 n n n a )11(+= 以 a =即{a 以 a 1=n 有4) 11(<+n n 。 只取前两项有a n !11=k k n k n C 故有1+ i i m i A m A n <；（2）证明.)1()1(m n n m +>+（01年全国卷理科第20题） 简析 对第（2）问：用n /1代替n 得数列n n n n b b 1)1(:}{+=是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列})1{(1n n +递减，且 ,1n m i <≤<故,)1()1(1 1n m n m +>+即m n n m )1()1(+>+。 当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。 例46.已知a +b =1,a >0,b >0,求证：.12n n n b a -≥+ 解析: 因为a +b =1,a >0,b >0,可认为b a ,21 ,成等差数列，设d b d a +=-=2 1,21， 从而 n n n n n d d b a -≥?? ? ??++??? ??-=+122121 例47.设N n n ∈>,1，求证) 2)(1(8)32(++< n n n . 解析: 观察n )3 2(的结构，注意到n n )2 11()23 (+=，展开得 86)2)(1(8)1(212 121211)211(33 221+++= -++≥+?+?+?+=+n n n n n C C C n n n n ， 即8)2)(1()211(++>+n n n ，得证. 例48.求证:n n n 2ln )211ln(2ln 3ln <+≤-. 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!) 例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数**(),,y f x x y = ∈∈N N ，满足： ①对仸意*,,a b a b ∈≠N ，都有)()()()(a bf b af b bf a af +>+； ②对仸意*n ∈N 都有[()]3f f n n =. （I ）试证明： )(x f 为* N 上的单调增函数； （II ）求)6()1(f f +（III ）令(3),n n a f =4 a ++ < 解析:本题的亮点很多 (1) 因为)()(b bf a af + 也就是()((-f b a . (2)此问的难度较大, 由(1)可知)((-f b a ))1(()(1)((-f f x f *)1(N f ∈, 因为2)1(=f ,所以 )]6([)9(==f f f 54275481-==- 当然,. 所以,综合①②③有 (3)在解决}{n a n n n n n n n a a f f f f f f f 3),3(3)]}3([{)3(,3)]3([111=?===+++,所以数列*(3),n n a f n =∈N 的方程为n n a 32?=,从而 )3 11(4111121n n a a a -=+++ , 一方面4 1)311(41<-n ,另一方面1222)21(31 100+=?+?≥+=n C C n n n n 所以2412241)1211(4 1)311(41+=+?=+- ≥-n n n n n n ,所以,综上有 12 11 11424 n n n a a a +++ <+≤. 例49. 已知函数f (x )的定义域为[0,1]，且满足下列条件： ① 对于仸意x ∈[0,1]，总有()3f x ≥，且()14f =； ② 若12120,0,1,x x x x ≥≥+≤则有()()1212() 3.f x x f x f x +≥+- （Ⅰ）求f (0)的值； （Ⅱ）求证：f (x )≤4； （Ⅲ）当 111 ( ,](1,2,3,)33 n n x n -∈=???时，试证明：()33f x x <+. 解析: （Ⅰ）解：令120x x ==， 由①对于仸意x ∈[0,1]，总有()3f x ≥， ∴(0)3f ≥ 又由②得 (0)2(0)3,f f ≥-即(0)3;f ≤ ∴ (0) 3.f = （Ⅱ）解：仸取12,[0,1],x x ∈且设12,x x < 则2121121()[()]()()3,f x f x x x f x f x x =+-≥+-- 因为210x x -> ∴12()()f x f x ≤ ∴当x ∈[0,1] （1） 当（2） 由11(3k f - 1(3f ≥得 13( )3f 即当由（1于是，当x 而x ∈∴111()()33n n f f -< 所以，1 1()()3 3.3 n f x f x -<<+ 例50. 已知：121,0n i a a a a ++ +=> )2,1(n i = 求证： 22 22 1 12 1223 1112 n n n n n a a a a a a a a a a a a --+++ +> ++++ 解析:构造对偶式：令1 2121 322 22121a a a a a a a a a a a a A n n n n n ++ ++++++=-- 1 21123223212 2a a a a a a a a a a a a B n n n n ++ ++++++= - 则1 2121221322322212 221a a a a a a a a a a a a a a a a B A n n n n n n +-+ +-+++-++-=--- ＝B A a a a a a a a a n n n =∴=-+-++-+--,0)()()()(113221 又 ) (2 122 j i j i j i a a a a a a +≥+- （)2,1,n j i = 1 2121221322322212 221)(21)(21a a a a a a a a a a a a a a a a B A A n n n n n n +-+ +-+++-++-=+=∴-- []2 1)()()()(411 13221=++++++++≥-a a a a a a a a n n n 十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 保号性是指，定义在[],a b 上的可积函数()()0f x ≥≤，则()()0b a f x dx ≥≤?. 例51.求证：e e ππ<. 解析: ln ln e e e e ππππ e e x x d e x x π π ππ????-== ???????? 21ln e x dx x π-=?， 例52. 求证：12n + + > 解析: 1x = 在区间),2,3,,n 上的定积分对i 求和， 例53. 已知n 17 210 n + + < 解析:)1,2,3,,n 上的定积分∵ 1n i +111i n n =?+11 1i n i n dx x -<+? -② ∴ 11n i n i =+∑1 111n i i n n ==?+∑11 11i n n i i n dx x -=<+∑? ()11 01ln 11dx x x ==+????+?7ln 210 =< . 例54. （2003年全国高考江苏卷）设0a >，如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点1Q 的横坐标为1a （a a <<10）.从C 上的点 ()1n Q n ≥作直线平行于 x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点1n Q +.()1,2, ,n Q n n =的横坐标构成数列{}n a . （Ⅰ）试求1n a +与n a 的关系，幵求 {}n a 的通项公式； （Ⅱ）当2 1,11 ≤=a a 时，证明 ∑=++< -n k k k k a a a 1 2132 1)(； （Ⅲ）当1a =时，证明121 1()3 n k k k k a a a ++--<∑. 解析:1 2 1()n n a a a a -=（过程略）. 证明（II ）：由1a =知21n n a a +=，∵1 12a ≤ ，∴2311,416 a a ≤≤ . ∵当1k ≥时，2 3116 k a a +≤≤ ， ∴ 121111 1111()()()161632 n n k k k k k n k k a a a a a a a ++++==-≤ -=-<∑∑. 证明（Ⅲ）：由1a =知2. 例 74844884472 141 312811= <=-?+< 例56. 设++=a n a 211.2,13 1≥++a n a a 求证：.2 解析: ++=a n a 211.131211131222n n a a ++++≤++ 又2),1(2≥->?=k k k k k k （只将其中一个k 变成1-k ，进行部分放缩），k k k k k 1 11)1(112 --=-<∴ ， 于是)111()3121()211(11312112 22n n n a n --++-+-+<++++≤ .212<-=n 例57.设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 12 1 ，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有2)(+≥n a i n ；2 11111 11)(2 1≤++ ++++n a a a ii 解析: )(i 用数学归纳法：当1=n 时显然成立，假设当k n ≥时成立即2+≥k a k ，则当1+=k n 时 312)2(1)2(1)(1+>+?+≥+-+≥+-=+k k k k a k a a a k k k k ，成立。 )(ii 利用上述部分放缩的结论121 +≥+k k a a 来放缩通项，可得 ?+≥++)1(211k k a a .2 1 11242)1(2111111++--≤+?=?≥+≥≥+k k k k k k a a a .212 11)21 (14 1 2111111 ≤--?=≤++==∑∑ n i n i i n i a 注：上述证明)(i 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：31)2)(2(1+>+-++≥+k k k k a k ；证明)(ii 就直接使用了部分放缩的结论121+≥+k k a a 十三、三角不等式的放缩 例58.求证 (i) 其中B 通过寻找分析, 例59.求证=1 1112211111+--=? ??? ??+--< k k k k k k 从而 3 1 112211111513141213111111 <+--+=+--++-+-+-+ <∑=k k k k k k n k 当然本题还可以使用其他方法,如: ??? ??--?-+?=--???? ? ??--=-??=- ) 1(1111112 ? ?? ??--? 12 所以 3)1 1(211112 1 <- +<+=∑ ∑==k k k k k n k n k . (ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理 为: 欲证明B x f A <<)(,只要证明:),0()(B A C C B x f C A <>-<<+. 例60.已知数列}{n a 满足:n n n a a a a 1,111+==+,求证:).2(2312>-< <-n n a n n 解析: 212 12 112 +>???? ? ?+=---k n n n a a a a ,从而2212>--n n a a ,所以有 121)1(2)()()(2 1212222212122 -=+->+-++-+-=---n n a a a a a a a a n n n n n ,所以12->n a n 又31212 112 + ?+=---k n n n a a a a ,所以3212<--n n a a ,所以有 231)1(3)()()(2 12 12 22 22 12 12 2 -=+-<+-++-+-=---n n a a a a a a a a n n n n n 所以23- 所以综上有10<≤n a ,故n n n n a a a a >?>-++12210 (2)因为12211++-=-n n n a a a 则221221a a a -=-,322231a a a -=-,…, 12211++-=-n n n a a a ,相加后可以得到: 2 111322121)(++++-=?+++-=-n n n n a n S a a a n a a ,所以 212 ->--=n a n S n n ,所以2->n S n (3)因为n n n n a a a a 212121≥+=+++,从而11 21++≥ +n n n a a a ,有n n n a a a 21111++≤+,所以有 2 112311132222)1)(1()1(1 a a a a a a a a a a a n n n n n n n n -+-++=?≤+++ ,从而 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+ 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一．先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二．先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: （1）用数学归纳法证明: （2）,求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。 （Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立． 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如： ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i 高考数学数列放缩法技巧全汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 1 42 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k 技巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1) 1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+- =+n n n n >算数平均数可 证） 122a b +?>≥ (3)2n n ≥=> 易知恒成立，当 2)> ≥恒成立。 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n 412141361161412 -<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n ΛΛΛ (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n Λ (3)再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答案 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ 解析:一方面: 353211211215 1 31211 1 2 = + .. 2011 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例 1.(1) n 2 的值 ; (2) 求证 : n 1 5 . 求 k 1 4k 2 1 k 1 k 2 3 解析 :(1) 因为 2 2 1 1 , 所以 n 2 1 1 2n 4n 2 1 (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1 k 1 4k 2 1 2n 1 2 n 1 (2) 因为 1 1 4 1 1 , 所以 1 1 2 1 1 1 1 5 2 n 1 2 2 1 4 n 2 2n 1 2n 1 k 1 k 2 3 5 2n 1 2n 1 3 3 2 1 n n 4 奇巧积累 :(1) 1 4 4 2 1 1 (2) 1 2 1 1 n 2 4n 2 4n 2 2n 1 C n 1 1 C n 2 ( n 1)n( n 1) n( n 1) n(n 1) 1 2n 1 (3) T r 1 r 1 n! 1 1 1 1 1 (r 2) C n r!( n r )! n r r! r ( r 1) r 1 r n r (4) (1 1 ) n 1 1 1 1 1 1 5 n 2 3 2 n(n 1) 2 (5) 1 1 1 (6) 1 n 2 n 2 n (2 n 1) 2n 1 2 n n 2 (7) 2( n 1 n ) 1 2( n n 1) (8) 2 1 1 1 1 n 2 n 1 2n 3 2n (2 n 1) 2 n 1 (2n 3) 2n (9) 1 1 1 1 , 1 1 1 1 k (n 1 k) n 1 k k n 1 1 k ) k 1 n n 1 k n(n (10) n 1 1 (11) 1 2 2 2 (n 1) ! n ! (n 1) ! 2( 2n 1 2n 1) n 2n 1 2n 1 1 1 n n 2 2 (11) 2 n 2n 2 n 2n 1 1 1 (n 2 ) (2n 1)2 (2n 1)( 2n 1) (2 n 1)( 2 n 2) (2 n 1)(2n 1 1) 2n 1 1 2 n 1 (12) 1 1 1 1 1 1 n 3 n n 2 n (n 1)(n 1) n( n 1) n (n 1) n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 2 n n 1 n 1 (13) (14) 2 n 1 2 2n (3 1) 2n 3 3(2 n 1) 2n 2n 1 2n 1 2 n 3 2n 1 3 k 2 1 1 (15) 1 n n 1(n 2) k! (k 1)! (k 2)! (k 1) ! (k 2) ! n( n 1) (15) i 2 1 j 2 1 i 2 j 2 i j 1 i j (i j)( i 2 1 j 2 1) i 2 1 j 2 1 . .下载可编辑 . . 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:3511 2 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111 222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 放缩法技巧全总结 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:35112 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((112 2 2 22 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(21 67) 12(1513 112 22≥-->-+ +++n n n 压轴题放缩法技巧全总结 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.求的值; 求证:. 解析:因为,所以 因为,所以 技巧积累: 例2.求证: 求证: 求证: 求证： 解析:因为,所以 先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 首先,所以容易经过裂项得到 再证而由均值不等式知道这是显然成立的， 所以 例3.求证: 解析: 一方面:因为,所以 另一方面: 当时,,当时,, 当时,, 所以综上有 例4.设函数.数列满足.. 设，整数.证明:. 解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列, 故 若存在正整数,使,则, 若,则由知,, 因为,于是 例5.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证, 即等价于, 即等价于 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知,,求证:. 解析: 所以 从而 例7.已知,,求证: 证明: , 因为 ,所以 所以 二、函数放缩 例8.求证：. 解析:先构造函数有,从而 cause 所以 例9.求证: 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: , 例10.求证: 解析:提示: 函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数, 首先:,从而, 取有,, 所以有,,…,,,相加后可以得到: 另一方面,从而有 取有,, 所以有,所以综上有 例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明 例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式: 例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: “放缩法”技巧 例谈“放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例1、已知*21().n n a n N =-∈求证：*12231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的 值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 放缩法的应用技巧 放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。 一、常见的放缩方法 证题中经常用到的放缩方法法有： 1.“添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果； 2.分式放缩：分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果； 3.利用重要的不等式或结论放缩：把欲证不等式变形构造，然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩，例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。 4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩。 二、常见的放缩控制 当我们选择了正确的放缩方法后，却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控，导致放缩的过大或过小，达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢？ 例1．求证： 4 713121112222<++++n 分析1：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。 若采取“ )1(112-高中数列放缩法技巧大全
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