用一次函数解决问题 一．选择题（共10小题） 1．甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y（km）与行驶时间t（h）的函数图象如图所示，下列说法正确的有（） ①甲车的速度为50km/h ②乙车用了3h到达B城 ③甲车出发4h时，乙车追上甲车④乙车出发后经过1h或3h两车相距50km． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．在一次自行车越野赛中，出发mh后，小明骑行了25km，小刚骑行了18km，此后两人分别以akm/h，bkm/h匀速骑行，他们骑行的时间t（单位：h）与骑行的路程s（单位：km）之间的函数关系如图，观察图象，下列说法： ①出发mh内小明的速度比小刚快； ②a=26； ③小刚追上小明时离起点43km； ④此次越野赛的全程为90km， 其中正确的说法有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校公用10分钟．下列说法： ①公交车的速度为400米/分钟；
③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟； ④小刚上课迟到了1分钟． 其中正确的个数是（） A．4个B．3个C．2个D．1个 4．明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：m2）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（） A．300m2B．150m2C．330m2D．450m2 5．如图，表示甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶的路程是（） A．0.5千米B．1千米C．1.5千米D．2千米 6．甲、乙两名自行车运动员同时从A地出发到B地，在直线公路上进行骑自行车训练．如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时乙在甲前10千米；④3小时时甲追上乙．其中正确的个数有（）
专题：一次函数 基础知识梳理 1、正比例函数 一般地，形如y = kx（k是常数，（k0））的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 2、正比例函数图象和性质 一般地，正比例函数y = kx（k为常数，（k0））的图象是一条经过原点和（1，k）的一条直线，我们称它为直线y = kx。当k>0 时，直线y = kx经过第象限，从左 向右上升，即随着x的增大，；当k<0时，直线y = kx经过第象限， 从左向右下降，即随着x 的增大. 3、正比例函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y = kx（k0）中的常数k，其基本步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式y = kx（k0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程；（3）解方程，求出待定系数k；（4）将求得的待定系数的值代回解析式. 4、一次函数 一般地，形如y = kx+ b（k,b 是常数，k≠0），那么y 叫做x 的一次函数.当b=0 时，y =kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 5、一次函数的图象 （1）一次函数y = kx+ b（k0）（的图象是经过（0，b）和（- b，0）两点的一条直 k 线，因此一次函数y = kx+ b的图象也称为直线y =kx+b. （2）一次函数y = kx+b的图象的画法. 根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），（- b，0）.即横坐标或纵坐标为0的点. k
利用一次函数解决实际问题 在利用一次函数解决实际问题时，会经常遇到这样的问题，在有的题目中，不论自变量x 怎样变化， y 和x 的关系始终保持一次函数关系，而有的题目中，当自变量x 发生变化时，随着x 的取值范围不同， y 和x 的函数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发生了变化.这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，我们把这类函数归类为分段函数.请同学们注意，这类函数在自变量的整个取值范围内不是一次函数，但把它适当分为几段后，每段内一般来说还仍然是一次函数。因此，解这类分段函数的基本思路是：首先按照实际问题的意义，把x 的取值范围适当分为几段，然后，根据每段中的函数关系分别求解. 请同学们完成下面的习题： 1.商店在经营某种海产品中发现，其日销量y(kg)和销售单价x （元）/千克之间的函数关系如图所示. ①写出y 与之间的函数关系式并注明x 的取值范围； ②当单价为32元/千克时，日销售量是多少千克？ ③当日销售量为80千克时，单价是多少？ 2 某城市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20cm 3时，按2元/立方米计费；月用水量超过20cm 3时，超过的部分按2.6元/立方米计费.设每户家庭的月用水量为x cm 3时，应交水费y 元， ①试求出0≤x≤20和x ＞20时，y 与x 之间的函数关系式. ②小明家第二季度交纳水费的情况如下： 第1题 第2题
小明家这个季度共用水多少立方米？ 3. 我国征收个人所得税的起点由1600元提高到2000元，即月收入超过2000元的部分为全月应纳税所得额.全月应纳税所得额的划分和相应的税率如下表所示.设某人的月工资收入为x（元），月缴纳个人所得税为y（元）， ①试求出y与x间的函数关系式并注明x的取值范围. ②如果某人月工资为3000元，问此人依法缴纳个人所得税后，他的实际收入是多少元？ 4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6 cm AD=10cm,动点M从点B出发，以每秒1cm 的速度沿BA-AD-DC 运动，当M运动到点C时，点M停止运动.设点M的运动时间为t(s)，△BMC的面积为S（cm2）. ①点M分别到达点A、点D、点C时，点M的运动时间； ②求S与t之间的函数关系式，并注明t的取值范围； ③当t=6s时，求△BMC的面积； ④当△BMC的面积是20cm2时，求点M的运动时间. B C M 第4题
5．3（1）一次函数 班级 组名 姓名 【课前尝试预习】 1．比较下列各个函数，它们有哪些共同特征？ （1）m=6t ；（2）y=-2x ；（3）y=2x+3；（4）Q=-312t+936。 2．一次函数的概念： 。 正比例函数的概念： 。 想一想：一次函数与正比例函数的关系是什么？ 3．下列函数中,哪些是一次函数?哪些是正比例函数?系数k 和常数项b 的值各是多少? C ＝2πr , y ＝ 20032 x , t ＝v 200, y ＝2(3-x ), s ＝x (50-x ). 4．例1尝试。求下列各题中x 与y 之间的关系式，并判断y 是否为x 的一次函数，是否为正比例函数。 （1）某农场种植玉米，每平方米种玉米5株，玉米株数y 与种植面积x （m 2）之间的关系； （2）等腰直角三角形的面积y 与斜边x 之间的关系； （3）等腰三角形ABC 的周长为12（cm ），底边BC 长为x （cm ），腰AB 长为y （cm ），则y 与x 之间的关系。 5．课内练习。 （1）已知正比例函数y ＝kx ,当x ＝-2时,y ＝6.求比例系数k 的值及y 与x 的函数关系式。 并求当x=3时的函数值。 （2）写出下列一次函数的一次项系数k 和常数项b 的值. (1)y ＝3x +7. (2)s ＝-t +4. (3)m ＝0.4n . (4)y ＝-2(x -1)+x . 朝晖初中八年级上数学导学案 主备人：杨伯才 使用时间：2014.12.4 星期四
【课中尝试提高】 6．按国家2011年9月1日起实施的有关个人所得税的规定，个人月工资中，扣除国家规定的免税部分3500元后的剩余部分为应纳税所得额。全月应纳税所得额不超过1500元的税率为3%，超过1500元至4500元部分的税率为10%。 （1）设全月应纳税所得额为x元，且1500 巩固练习 一、选择题： 1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（） （A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3 2．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（） （A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限 3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（） （A）4 （B）6 （C）8 （D）16 4．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析 式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（） （A）y1>y2（B）y1=y2 （C）y1 《用一次函数解决问题》解答题专题练习 1．星期天，李玉刚同学随爸爸妈妈回老家探望爷爷奶奶，爸爸8：30骑自行车先走，平均每小时骑行20km；李玉刚同学和妈妈9：30乘公交车后行，公交车平均速度是40km/h．爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同，路程均为40km．设爸爸骑行时间为x （h）．（1）请分别写出爸爸的骑行路程y1（km）、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2（km）与x（h）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）请在同一个平面直角坐标系中画出（1）中两个函数的图象； （3）请回答谁先到达老家． 2．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： （1）A、B两点之间的距离是米，甲机器人前2分钟的速度为米/分； （2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式； （3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为米/分； （4）求A、C两点之间的距离； （5）直接写出两机器人出发多长时间相距28米． 3．甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发 前往B地，甲出发1h后，y甲、y乙与x之间的函数图象如图所 示．（1）甲的速度是km/h； （2）当1≤x≤5时，求y乙关于x的函数解析式； （3）当乙与A地相距240km时，甲与A地相距km． 4．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系． （1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高 允许的1.0mg/L？为什么？ 一元一次不等式与一次函数1导学案 § 1.5.1 一元一次不等式与一次函数 课堂训练： 作出函数y = 2x-5的图象，观察函数图 象回答下列问题： 当x 时，2x - 5 = 0; 当x 时，2x - 5 > 0; 当x 时，2x - 5 V 0; 当x 时，2x - 5 > 3. 如果y =—2x - 6,当x取何值时， y > 0?y V 0?y V -3? 已知y仁-x+3,y2=2x-3 ，当x取何值时y1 > y2 ? 给出两直线的图像 、兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑3,然后自己才开始跑 已知弟弟每秒跑2,哥哥每秒跑3。 列出哥哥跑的距离y1与时间x秒之间的函数关系式， 列出弟弟跑的距离y2与时间x秒之间的函数关系式，在同一坐标系上作出函数图象，观察图象回答下列问题： ）何时哥哥追上弟弟？ ）何时弟弟跑在哥哥前面？ ）何时哥哥跑在弟弟前面？ ）谁先跑过8?谁先跑过50? ）你是怎样求解的？与同伴交流。 晚间训练： 作出函数y = 3x —3的图象，并根据图 象填空： 当x时，y = 0; 当x时，y>0; 当x时，y v 0; 当x时，y v 3. 两个一次函数y仁ax+b,y2=x+n的图 象如图所示，看图填空： y1 v y2时，x的取值范围是； y1>y2时，x的取值范围是. 当x=时，y1=y2 百舸竟渡，激情飞扬，端午节期间，某地举行龙舟比赛，甲、乙两支龙舟在比赛时路程y与时间x之间的函数图象如图所示。根据图象回答下列的问题： 8分钟时，哪支龙舟队处于领先位置？ 在这次龙舟赛中，哪支龙舟队先到达终点？先到达多少时 间？ 求乙队加速后，路程y 与时间x之间的函数关系式. 已知yi = 2-x, y2 = x+1，当x取何值 时，yi = y2?y1 > y2?y1 V y2? 书本23页第三题，每组1、2、3号必做。其他同学选做甲、乙两辆摩托车从相距20的A,B两地相向而行，图中分别表示甲、乙两辆摩托车离A地的距离s与行使时间t 之间的函数关系。 哪辆摩托车的速度较快？ 经过多长时间，甲车行驶到A、B两地的中点？ 本科毕业论文 论文题目：如何教好一次函数及其应用 指导老师：章绍辉 学生姓名：林少琼 学号：320017 院系：网络教育学院 专业：数学与应用数学（师范） 写作批次：2014秋 原创承诺书 我承诺所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。若本论文及资料与以上承诺内容不符，本人愿意承担一切责任。 毕业论文作者签名：林少琼 日期： 2014 年 10 月 18 日 摘要 函数是中学数学最重要的数学思想之一，是解决实际问题的一个有效的数学模型。将对一次函数的概念，图像，性质及其一次函数表达式的几种常见题型和一次函数在实际生活中的应用作一总结。 关键词：一次函数；概念；数学思想；数学模型；实际运用 I Abstract Function is one of the most important mathematical thought in middle school mathematics, is an effective mathematical model to solve practical problems. Will the concept of a function, image, nature and a function of several common topic and the application of a function in the real life make a summary Key words: a function; Concept; Mathematical thinking; Mathematical model; The practical application 《用一次函数解决问题》教案 教学目标 1、巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题． 2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力． 3、让学生认识数学在现实生活中的意义，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．教学重点 1.建立函数模型. 2．灵活运用数学模型解决实际问题. 教学难点 灵活运用数学模型解决实际问题. 教学过程 一、创设情境复习导入 做一件事情，有时有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的.方案选择的问题对于我们来说并不陌生，但是书写起来比较麻烦，事实上这类问题用一次函数来解决会更好理解，书写起来也更加简捷，这节课我们就来体会一下如何运用一次函数选择最佳方案问题. 二、尝试活动探索新知 例1一种节能灯的功率为10瓦（即0.01千瓦），售价为60元；一种白炽灯的功率为60瓦（即0.06千瓦），售价为3元.两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时以上）.如果电费价格为0.5元/（千瓦×时），消费者选用哪种灯可以节省费用？ 分析：1、指出问题中的常量、变量？ 2、变量之间存在着怎样的关系？ 总结：要考虑如何节省费用，必须既考虑灯的 售价又考虑电费.不同灯的售价分别是不同的常数，而电费与照明时间成正比例，因此，总费用与灯的售价、功率这些常数有关，而且与照明时间有关，写出函数解析式是分析问题的关键. 解：设照明时间为x小时，则: y=60+0.01×0.5x; 节能灯的总费用为 1 y=60+0.005x 即： 1 y=3+0.06×0.5x 白炽灯的总费用为 2 y=3+0.03x 即： 2 时） 函数研学案 主备：李玉女 副备 吕秋梅 周遇贤 袁常军 学习目标 1、能从实际问题中分清常量和变量、自变量与函数（因变量），并能理解常量、变量、函数以及函数图象的意义； 2、结合实例了解函数的三种表示方法，并会求自变量的取值范围； 3、理解函数的概念，培养识图能力，发展解决简单的实际问题的能力； 重点：函数的概念， 难点：解决实际问题的能力 一.课前热身 1．点P (3,-4)关于x 轴的对称点的坐标是 ，关于y 轴的对称点的坐标是 ，关于原点的对称点的坐标是 ． 2．点M (-5,-8)到x 轴的距离是 ，到y 轴的距离是 ，到原点O 的距离是 ． 3．若点A 和点B 的横坐标相同，则线段AB 一定平行于 轴，垂直于 轴． 二.自学提示： 阅读书177页至179页 1、回答下列问题： 一般地，在某个变化过程中，有______变量___和___，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称___是_____的函数，其中___是自变量，___是因变量. 概念解读： （a ） 在某个变化过程中，有两个变量 函数关系是指两个变量之间的一种特殊的对应关系，即变量x 与变量y 之间存在的对应关系.例如，y = 2x - 1中的对应关系是指：__________________ （b ）给定一个x 的值 这句话有两层含义：（1）自变量x 的取值不能使对应关系无意义，如y =1 1 x ，x 的取值不能为_____； （2）自变量x 的取值不能使某个变化过程（实际问题）无意义. 如圆的面积公式S=πR 2中R 不能为_____ （c ）给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值 值得注意的是“相应地就确定了一个y 值”的含义，即有一个而且只有一个值.因此，自变量x 在取值范围内的每一个确定的值，函数 y 都有一个而且只有一个值与它对应 . 如 y = ±x ，这里y 是不是 x 的函数？为什么？ 2、函数的表示方法 函数有三种表示方法： （1）______；（2）________；(3)________. 三.必做练习： 书179页至180页 四.当堂检测： 某人从甲地出发，骑摩托车去乙地，到达乙地时正好用了2小时，已知摩托车行驶的路程（S 千米）与行驶的时间t （小时）之间的函数关系由如图1的图象ABCD 给出，若这辆摩托车平均每行驶100千米的耗油量为2升，根据图中给出的信息，回答 下列问题： （1）行驶一小时，摩托车走了________千米 耗油________升，S 与t 的关系式________. （2）1小时到1.5小时这段时间，摩托车 走了________千米，猜想这段时间出现什么情况？____________________. （3）1.5小时到2小时这段时间，摩托车走了________千米，S 与t 的关系式________. （4）从甲地到乙地，这辆摩托车共耗油 升. 五.小结：本节课你掌握了那些知识 六.选作练习： 1、张大伯家养了很多小金鱼，每只金鱼卖2元钱，张大伯卖金鱼的收入y （元）与 金鱼的数量x （只）之间的关系式为__________自变量为______________ 因变量为_________ 2、汽车由甲地驶往相距400千米的乙地，如果汽车的平均速度是100千米/小时，那么汽车距乙地的路程S （千米）与行驶时间t （小时）的函数关系式为_____________自变量为_______因变量为_________ 3、电信公司规定：通话不超过3分钟，收费0.22元，超过3分钟部分，按每分钟0.1元计算（不足1分钟按1分钟收费）．求通话费P （元）与通话时间t （分钟）（t>3）之间的函数关系式为_____________自变量为_______因变量为_________ 6.4 一次函数的应用（1） 教学目标： 1、能根据实际问题中变量之间数量的关系，确定一次函数关系式； 2、能将简单的实际问题转化为数学问题（建立一次函数），从而解决实际问题，增强学生的应用意识和创新意识。 3、.初步体会方程与函数的关系。 重点;将实际问题转化成数学问题，建立一次函数关系式。 难点：理解实际问题中的数量关系，将实际问题转化成数学问题，建立一次函数关系式，并解决实际问题。 教学过程： 一、课前复习与预习：1、已知一次函数的图像经过（1,2）,(—1,4)求一次函数的关系式。 2、直线m上有两点A（—2，—3），B（—5，-9）,求直线m的关系式。 预习：1、某校办工厂现年产值是30万元，如果每增加1元投资，一年可增加2.5元产值。那么总产值y（万元）与增加的投资额x（万元）之间的函数关系式 为。 2、某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。 写出每月电话费y (元)与通话次数x之间的函数关系 式； 二、新授 1、导入：在前几节课里，我们分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛，和我们日常生活密切相关，因此本节课我们一起来学习一次函数的应用. 2、新课讲解： 活动一 一辆汽车在普通公路上行驶了35km后，驶入高速公路，然后以105km/h的速度匀速前进。 1、你能写出这辆车行驶的路程s（Km）与它在高速公路上行驶的时间t（h）之间的关系吗？ 2、若从上高速公路开始记时，行驶了4小时到达目的地，则该车从出发点到目的地的路程有多远呢？ 3、高速公路上里程表显示行驶了175km，问车在高速公路上行了多长时间？ 问题一：车在高速公路上行驶的路程与哪些量有关系？ 问题二：车内里程表上记录的数据是汽车行驶在哪几段公路上的路程？ 活动二、 某班同学秋游时，照相共用3卷胶卷，秋游后冲洗3卷胶卷并根据同学需要加印照片，已知冲洗胶卷的价格是3.0元/卷，加印照片的价格是0.45元/张， （1）试写出冲印后的费用y（元）与加印张数x之间的关系式。 （2）如果本班共有学生40人，每人加印照片1张，共需费用多少元？ （3）如果秋游后尚结余49.5元，那么冲洗胶卷后还可以加印多少张照片？ 问题冲印合计费用的多少与什么有关？ 变式1：已知冲洗胶卷的价格是3元/卷，加印不超过100张，0.5元/张；加印超过100张可进行优惠，前100张按0.5元/张收费，超过部分按0.4元/张收费。 中考一次函数应用题 近几年来，各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题，这种类型的试题，由于条件多，题目长，很多考生无法下手，打不开思路，在考场上出现了僵局，在这里，我特举几例，也许对你有所帮助。 例1已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套。已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利润50元。若设生产N种型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？ 例2某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。 y（元）与通话次数x之间的函数关系式； （1）写出每月电话费 （2）分别求出月通话50次、100次的电话费； （3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数。 例3 荆门火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节，已知用一节A型货厢的运费是0.5万元，用一节B型货厢的运费是0.8万元。 y（万元），用A型货厢的节数为x（节），试写出y与x之间的（1）设运输这批货物的总运费为 函数关系式； （2）已知甲种货物35吨和乙种货物15吨，可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。 （3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？ 八年级数学上册第六章一次函数6.4用一次函数解决问题教案2 （新版）苏科版 用一次函数解决问题（2） 教学目标 【知识与能力】 能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式；能将简单的实际问题转化为数学问题（建立一次函数），从而解决实际问题． 【过程与方法】 在应用一次函数解决问题的过程中，体会数学的抽象性和应用的广泛性． 【情感态度价值观】 通过具体问题的分析，进一步感受“数形结合”的思想方法——从一次函数图像中读信息，发展解决问题的能力，增强应用意识． 教学重难点 【教学重点】 能结合一次函数表达式及其图像解决简单的实际问题 【教学难点】 能结合一次函数表达式及其图像解决简单的实际问题，体会分类 教学过程 一、例题 问题2 甲、乙两家公司的月出租汽车收取的月租费分别是 1y （元）和2y （元），它们都是用车里 程x （千米）的函数，图像如图所示， （1）每月用车里程多少时，甲、乙两公司的租车费相等？ （2）每月用车里程多少时，甲公司的租车费比乙公司少？ （3）每月用车里程多少时，乙公司的租车费比甲公司少？ 观察图像，可知x ＝2000时，两个图像相交于一点，即此时两个函数的自变量相同，函数值也相同，所以，每月用车里程为2000km 时，两家公司的租车费相同．当x ＜2000时，1y ＜2y ，所以每月用车里程小于2000km ，甲公司的租车费较少．当x ＞2000时，1y ＞2y ，所 以，每月用车里程大于2000km 时，乙公司的租车费较少． 引导学生先求函数表达式，再求交点，画图像，看图说话． 引导学生发现：两条直线上升的速度存在差异，它们有一个交点，设计问题引导学生“读图”．通过这一活动，让学生熟练掌握在解决实际问题中的决策性问题的方法．根据实际情况选择方案，进而理解一次函数与方程及不等式的联系． 交流 某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地， 有两种运输方式可供选择，主要参考数据如下： 运输 方式 速度 /（千米/时） 途中综合费用 / （元/时） 装卸费用 / 元 汽车 60 270 200 火车 100 240 410 （1）请分别写出汽车、火车运输总费用y1（元）、 2y （元）与运输路程x （千米）之间的函数表达式． （2）你认为用哪种运输方式好？ 独立思考：怎样从表格中提取信息？ 分别写出汽车、火车运输总费用 1y （元）、2y （元）与运输路程x （千米）之间的函数表达 式， 1y ＝200＋4.5x ， 2y ＝410＋2.4x ． 根据函数表达式求出函数图像的交点坐标． 讨论：（1）x 为何值，y1＝ 2y ． （2）x 为何值， 1y ＞2y ． （3）x 为何值，1y ＜2y ． 合作讨论、分析探究、寻求结果，在教师指导下顺利完成活动． 通过学生的交流活动，使学生明确解决问题的基本思路和方法，是分别计算两种运输方式所需要的费用，然后再对相同的运输里程比较费用的大小．这就需要分别写出汽车、火车运输总费用1y （元）、2y （元）与运输路程x （千米）之间的函数表达式，然后对同一自变量的 北师大版八年级上册 §5.3 一次函数的图象（1）学案 【学习目标】 1．知道一次函数的图象是一条直线，会选取两个适当的点画一次函数的图象． 2．了解画函数图象的一般步骤及一次函数的表达式与图象之间的对应关系。 【预习案】 1.自学课本187-188页，思考什么是函数的图象？如何画一次函数的图象？ 2.一次函数y=kx+3的图象经过点（－1，5），则k=______，其图象经过点（0，）（，0）。【探究案】 例1：画出一次函数y=2x+1的图象 ①列表： 小结：作一次函数图象有哪些步骤：（1）；（2）；（3）。 1、有简单的画法吗？试画出一次函数y=－x+2的图象。 小结：一次函数的图象是一条直线，由直线的公理可知：作一次函数(0) y kx b k的图象时，只要确定两个点（0，）（，0），再过这两个点作直线就可以了。 2、同一坐标系中，画一次函数 y=3x－2、 y=3x+2 的图象， ⑴观察这两个函数的图象，你有什么发现？说 给大家听听. ⑵点(1,2)、(2,4) 是否在所画的图象上？如果 在，在哪一个函数的图象上？ ⑶如果（a,4) 在y=4x－4的图象上，求a 的值. ⑷你能求出y=4x-4的图像和坐标轴的交点坐标 及其与坐标轴围成的三角形的面积？ 【训练案】 1. 一次函数21 y x图象是（） A B C D 2.下列点中，不是一次函数21 y x的图象上的点是（） A (1，－1 ) B (0，1) C (2，0) D (－1，3) 3.一次函数y=-kx+4的图象经过点（－ 1，8），则k=___________. 4. 已知一次函数y=2x－4与y=－x+2. ⑴在同一坐标系中画出它们的图象； ⑵写出一次函数y=2x－4与y=－x+2的图像交点坐标及其和y轴围成的三角形的面积。 一次函数的应用 例题精讲 【例1】小红的爷爷饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里．图中表示小红爷爷离家的时间与外出的距离之间的关系是（） 分) 分) 分) 分) A B C D 【答案】D 【例2】小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、 下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（） A．12分钟 B．15分钟 C．25分钟 D．27分钟 【解析】由题上班是平路用时3分钟走1千米，所以平路的速度是1 3 千米/分，同理上坡路的速度为 1 5 千 米/分，下坡的速度为1 2 千米/分，所以下班先走上坡路用时 1 210 5 ÷=分，再走下坡路用时 1 12 2 ÷= 分，最后走平路用时 1 13 3 ÷=分，所以下班共用时15分钟。 【答案】B 【例3】 某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图， 1l 、2l 分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y （千米）与所用时间x （分钟）之间 的函数图象，则以下判断错误的是（ ） A ．骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟 B ．步行的速度是6千米/时 C ．骑车同学从出发到追上步行同学用了20分钟 D ．骑车的同学和步行的同学同时达到目的地 【答案】D 【例4】 某污水处理厂的一个净化水池设有2个进水口和1个出水口，三个水口至少打开一个．每个进水 口进水的速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出．某一天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示． 通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：⑴0点到3点只进水不出水；⑵3点到4点不进水只出水，⑶4点到6点不进水也不出水．其中正确的是（ ） A ．⑴ B ．⑶ C ．⑴⑶ D ．⑴⑵⑶ 甲 乙 丙 (小时) )) 【解析】由甲图可知进水口每小时进水10立方米，由乙图可知出水口每小时出水20立方米，看丙图，前3 小时蓄水量由0达到60，说明开了两个进水口，关闭出水口，所以⑴对；3点到4点的一个小时内蓄水量减少10立方米，必然是只开一个进水口，同时打开出水口，⑵错；4点到6点蓄水量不变可能是即不进水，也不出水，也可能同时打开3个水口，⑶错． 【答案】A 【例5】 如果等腰三角形的周长为16，那么它的底边长y 与腰长x 之间的函数图像为（ ） A B C D 【解析】由题意得函数关系式为y 216x =-+，根据三角形三边关系2x y >，即2216x x >-+，得4x > ， 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 利用一次函数解决实际问题. 2.内容解析 一次函数是最基本的初等函数之一，是学习后续各类函数的基础.一次函数的核心内容是一次函数的概念、图象和性质以及应用.一次函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特征”以及它们之间相互转化关系，这也是一次函数的本质属性所在.一次函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体.通过对实际问题图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法. 本节课内容属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了一次函数的图象和性质的基础上,由一个贴近学生生活的中国渔政执法视频开始，利用问题串的形式，用一次函数的相关知识来解决实际问题.在具体的探究过程中，先由分析图象开始，并由分析所得的信息解决相关的实际问题，再利用几何画板将图象进行变化，由此分析其操作的实际意义并衍生处两个新的问题，最终利用一次函数的知识解决这两个问题.在解决实际问题的过程中，体会运用一次函数解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法. 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：分析实际问题的图象，利用一次函数解决具体问题. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）掌握并运用一次函数的图象和性质，体会数形结合思想和建立函数模型研究数学问题的基本方法. （2）通过对实际问题图象的分析，进一步加深对一次函数性质的理解. （3）能够从实际问题中抽象出一次函数关系，并运用一次函数及其性质解决实际问题，发展学生的应用意识. 2.目标解析 （1）从复习一次函数的图象和性质开始，不断渗透图象中k、b、交点坐标的实际意义，体会并利用数学结合的思想来解决问题。 （2）对于问题情境中给出的三个问题，以及衍生的两个变式，无一不是通过对函数图象的分析，结合一次函数的性质来解决。在这样的过程中，巩固对性质的理解。 183 1 一次函数导学案（一） 【学习目标】： 1、理解一次函数的概念和正比例函数的概念。 2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。 【学习重点】：掌握一次函数的概念，根据已知信息写出一次函数的表达式。 【学习难点】：由实际问题归纳出一次函数的概念。 【学习过程】： 一、自主学习课本第39页至40页，并完成下列问题： 1、根据题意写出下列函数的解析式： （1）某登山队大本营所在地的气温为15C,海拔每升高1km气温下降 6C.登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y °C .写出y?与x的关系为__________________________ . 2）有人发现，在20~25C时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t （单位：C）有关，即c的值约是t的7倍与35的差；_______________________ （3）—种计算成年人标准体重G （单位：千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值h，再减常数105,所得的差是G的值； （4）某城市的市内电话的月收费为y （单位：元）包括：月租22 元，拨打电话x分的计时费（按0.1元/分收取）; ____________________ （5）把一个长10cm宽5cm的长方形的长减少xcm,宽不变，长 方形的面积y （单位：cn l）随x的值而变化。_____________________ 2、一次函数概念： 1）一般地，_______________________________ 叫做一次函数， 特别地，当b 0时，y kx b即y kx，即正比例函数是一种特殊的一次函数。 2）一次函数与正比例函数的辨证关系可以用下图来表示： 二、跟踪练习： 1、下列函数中，是一次函数的有_________________ 是正比例函数 利用一次函数解决实际问题 ◆类型一费用类问题 一、建立一次函数模型解决问题 1．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含 14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元． (1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价； (2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式； (3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？ 二、分段函数问题 2．为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系． (1)求y与x的函数解析式； (2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用． 三、两个一次函数图象结合的问题 3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴 滴快车”的行驶里程 x(公里)与计费 y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行 驶里程不超过 5 公里计费 8 元；②“顺风车”行驶里程超过2 公里的部分，每公里计费 1.2 元；③A 点的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是 15 公里，则“顺风 车”要比“快车”少用 3.4 元．其中正确的个数有( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 四、分类讨论思想 4．江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价 格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额 y 甲，y 乙 (单位：元)与原价 x(单位：元)之间的函数关系如图所示： (1)直接写出 y 甲，y 乙关于 x 的函数关系式； (2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？ ◆类型二 路程类问题 一、两个一次函数图象结合的问题 5．A ，B 两地相距 60km ，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l 1，l 2 表示 两人离 A 地的距离 s(km )与时间 t(h )的关系，请结合图象解答下列问题： (1)表示乙离 A 地的距离与时间关系的图象是________(填 l 1 或 l 2)；甲的速度是 ________km /h ，乙的速度是________km /h ； (2)甲出发多长时间两人恰好相距 5km? 数学精品复习资料 一次函数 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1. 一次函数的意义及其图象和性质 （1）一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成 (k、b为常数，k ≠0）的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b 时，称y是x的正比例函数． （2）一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经 过点( ， ),( ，）的一条直线，正 比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0）的一条 直线，如右表所示． （3）一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）当k ＞0时，y的值随x的值增大而；当k＜0时，y的值随x值的增大而． （4）直线y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系． ① k k >? ? ? >? 直线经过第象限（直线不经过第象限）； ② k k >? ? ? ? 直线经过第象限（直线不经过第象限）； ④ k k （3）一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用待定系数法，其中确定正比例 函数表达式，只需一对x 与y 的值，确定一次函数表达式，需要两对x 与y 的值。 （二）：【课前练习】 1. 已知函数：①y=－x ，②y= 3x ，③y=3x －1，④y=3x 2，⑤y= x 3 ，⑥y=7－3x 中，正比例函数有（ ） A ．①⑤ B ．①④ C ．①③ D ．③⑥ 2. 两个一次函数y 1=mx+n ．y 2=nx+n ，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ） 3. 如果直线y=kx+b 经过一、二、四象限，那么有（ ） A ．k ＞0，b ＞0； B ．k ＞0，b ＜0； C ．k < 0，b ＜0； D ．k ＜0，b ＞0 4. 生物学研究表明：某种蛇的长度y(㎝)是其尾长x(cm)的一次函数，当蛇的尾长为6cm 时，蛇长为4 5.5㎝；当蛇的尾长为14cm 时，蛇长为105.5㎝；当蛇的尾长为10cm 时，蛇长为_________㎝； 5. 若正比例函数的图象经过（－l ，5）那么这个函数的表达式为__________，y 的值随x 的减小而____________ 二：【经典考题剖析】 1.在函数y=－2x+3中当自变量x 满足______时，图象在第一象限． 解：0＜x ＜32 点拨：由y=2x+3可知图象过一、二、 四象限，与x 轴交于(32 ，0)，所以，当0＜x ＜32 时，图象在第一象限． 2.已知一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求字母a 、b 为何值时： （1）y 随x 的增大而增大；（2）图象不经过第一象限；（3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－4x+3；（5）图象与y 轴交点在x 轴下方． 3.杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息： （1）买进每份0．2元，卖出每份0．3元；一次函数同步练习题含答案
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