2010年高考数学试题分析——立体几何（计算题型）
1.（2010年高考湖南文数第18题）如图所示，在长方体1111?ABCD A B C D 中，11,2,===AB AD AA M 是棱1CC 的中
点。
（1）求异面直线1A M 和11C D 所成的角的正切值； （2）证明：平面ABM ⊥平面11A B M 。
解：（1）因为11C D ∥11B A ，所以11MA B ∠为异面直线1A M 与11C D 所成的角。 因为11A B ⊥平面11BCC B ，所以1190A B M ∠=
而1111,A B B M ===
，故11111
tan B M
MA B A B ∠==
即异面直线1A M 和11C D
所成的角的正切值为 （2）由11A B ⊥平面11,BCC B BM ?平面11BCC B ，得11A B BM ⊥①由（1
）知，1B M =又
12,=
=BM B B 所以22211B M BM B B +=，从而1BM B M ⊥
②又1111A B B M B =∩，再由①，②得BM ⊥平面11A B M .而BM ?平面ABM ，因此平面ABM ⊥平面
11A B M
2.（2010年高考浙江理数第20题）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，2
43
AE EB AF FD ====
沿直线EF 将 AEF V 翻折成A EF ′V ，使平面A EF BEF ′⊥平面
（1）求二面角A FD C ′??的余弦值；
（2）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折， 使C 与
A ′重合，求线段FM 的长。
解法一：（1）取线段EF 的中点H ，连结A H ′，因为A E =A F ′′及H 是EF 的中点，所以A H EF ′⊥,
又因为平面A EF ′⊥平面BEF 及A H ′?平面A EF ′，所以A H ′⊥平面BEF 如图建立空间直角坐标系A xyz ?
则(2,2,(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0)A C F D ′
故(2,2,(6,0,0)FA FD ′=?=
设(,,)x y z =n 为平面A FD ′的一个法向量，
所以22060x y x ??++=?
?
=??
取z =
，则(0,=?n
又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)=m ，
故cos ,3???=
=?n m n m n m
。
（2）解：设,FM x =则(4,0,0)M x +，
因为翻折后，C 与A 重合，所以CM A M ′=，
故，
222222
(6)80=22x x ?++??++（）（，得214
x =
， 经检验，此时点N 在线段BC 上，
所以214
FM =
解法二：（1）取线段EF 的中点H ,AF 的中点G ,连,,A G A H GH ′′。 因为A E A F ′′=及H 是EF 的中点，
所以A H EF ′⊥ 又因为平面A EF
′⊥平面BEF ，
所以A H ′⊥平面BEF , 又AF ?平面BEF , 故A H ′⊥AF ，
又因为G 、H 是AF 、EF 的中点，
易知GH ∥AB ， 所以GH ⊥AF ， 于是AF ⊥面A GH ′，
所以A GH ′∠为二面角A DH C ′??的平面角， 在Rt A GH ′ 中，A H ′
=，GH =2，A G ′
=
所以cos A GH ′∠=
故二面角A DF C ′??
（2）解：设FM x =,
因为翻折后，C 与A ′重合，
1
题图
2
题图
2题图
所以CM A M ′=，
而2
2
2
2
2
8(6)CM DC DM x =+=+?，
2222222'''A M A H MH A H MG GH =+=++= +()2222++x
得214
x =， 经检验，此时点N 在线段BC 上， 所以214
FM =
3．（2010年高考陕西文数18题）如图，在四棱锥P ABCD ?中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面,,=ABCD AP AB
2,,==BP BC E F 分别是,PB PC 的中点.
（1）证明：EF ∥平面PAD ； （2）求三棱锥E ABC ?的体积V 。
解：（1）在PBC Δ中，,E F 分别是,PB PC 的中点，EF ∴∥BC 又BC ∥AD ，EF ∴∥AD 又∵AD 平面,PAD EF 平面PAD ,
EF ∴∥平面PAD
（2）连结,,AE AC EC 过E 作EG ∥PA 交AB 于点G , 则EG ⊥平面ABCD ，且12
EG PA =
在PAB Δ中，,90,2AP AB PAB BP =∠==
，
2
AP AB EG ∴===
11
222
ABC
S AB BC Δ∴=?==
1113323
E ABC ABC V S EG ?Δ∴=?== 4.（2010年高考辽宁文数第19题） 如图，棱柱111ABC A B C ?的侧面11BCC B
是菱形，11B C A B ⊥
（1）证明：平面1AB C ⊥平面11A BC ；
（2）设D 是11A C 上的点，且1A B ∥平面1B CD ，求11:A D DC 的值. 解：（1）证明：因为侧面11BCC B 是菱形，所以11B C BC ⊥ 又已知1111,B C A B A B BC B ⊥=∩且
所以1B C ⊥平面11A BC ，又1B C ?平面1AB C ， 所以平面1AB C ⊥平面11A BC
（2）设1BC 交1B C 于点E ，连结DE ，
则DE 是平面11A BC 与平面1B CD 的交线， 因为1A B ∥平面1B CD ，所以1A B ∥DE 又E 是1BC 的中点，所以D 为11A C 的中点.
即11:1A D DC =
5.（2010年高考辽宁理数第19题）已知三棱锥P ABC ?中，PA ⊥平面
1
,,,2
ABC AB AC PA AC AB N ⊥==
为AB 上一点，4,,AB AN M S = 分别为,PB BC 的中点.
（1）证明：CM SN ⊥；
（2）求SN 与平面CMN 所成角的大小.
证明：设1PA =，以A 为原点，射线,,AB AC AP 分别为,,x y z 轴正向建立空间直 角坐标系如图
则111(0,0,1),(0,1,0),(2,0,0),1,0,,,0,0,1,,0222P C B M N S ??????
????????????
（1）1111,1,,,,0222CM SN ????=?=??????????
因为11
0022
CM SN ?=?++=
所以CM SN ⊥
（2）1,1,02NC ??
=????? ，设(,,)x y z =a 为平面CMN 的一个法向量
则102102x y z x y ??+=?????+=?? 令2x =，得(2,1,2)=?a
因为cos ,SN =
a 所以SN 与平面CMN 所成角为45
6.（2010年高考全国卷2文数第19题）如图，直三棱柱111ABC A B C ?中，1,,AC BC AA AB D ==为1BB 的中点，E 为
1AB 上的一点，13AE EB =
（1）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；
（2）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B ??的大小 解：（1）连结1A B ，记1A B 与1AB 的交点为F ，因为面11AA B B 为正方形，
故11A B AB ⊥，且1AF FB =.又13AE EB =，所以1FE EB =，又
D 为1BB 的中点，故D
E ∥1,B
F DE AB ⊥作,C
G AB G ⊥为垂足
，由AC BC =知，G 为AB 中点.又由底面ABC ⊥面11AA B B ，得
CG ⊥面11AA B B
连结DG ，则DG ∥1AB ，故DE DG ⊥，由三垂线定理，得DE CD ⊥ 所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线
（2）因为DG ∥1AB ，故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，45CDG ∠=
3题图
3
题答案图
4题图
4题答案图 6题图
6题答案图
P
M
B
A N
C
S
5题图
设2AB =
，则1AB DG CG AC ==
==
作111,B H A C H ⊥为垂足，因为底面11111A B C AA C C ⊥,故1B H ⊥面11AA C C ， 又作1,⊥HK AC H 为垂足，连结1B K ，由三垂线定理，得11B K AC ⊥,
因此1B KH ∠为二面角111A AC B ??的平面角
111B H ==
1HC ==
1111AA HC AC HK AC ×=
==
=
11tan B H
B KH HK
∠=
= 所以二面角111A AC B ??
的大小为
7.（2010年高考江西理数第20题）如图BCD Δ与MCD Δ都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平
面BCD
，AB =。
（1）求点A 到平面MBC 的距离；
（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值。 解：（1）取CD 中点O ，连接,,OB OM
则,OB OM OB CD MO CD ==
⊥⊥
又平面MCD ⊥平面BCD ，则MO ⊥平面BCD ， ,M O 到平面ABC 的距离相等
作OH BC ⊥于H ，连接MN ，则MH BC ⊥
，求得sin 602
OH OC =?=
MH == 设点A 到平面MBC 的距离为d ，
由A MBC M ABC V V ??=得11
33
MBC ABC S d S OH ΔΔ??=
??
即112232?
??
，解得d = （2）延长,AM BO 相交于E ，连接,,CE DE CE 是平面ACM 与平面BCD 的交线 由（1）知，O 是BE 的中点，则四边形BCED 是菱形 作BF EC ⊥于F ，连接AF ，则AF EC ⊥， AFB ∠就是二面角A EC B ??的平面角，设为θ 因为120,BCE ∠= 所以60BCF ∠=
2sin 60tan 2,sin 5
AB BF BF θθ===
==
8.（2010年高考安徽文数第19题）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，22,AB EF EF ==∥,AB
,EF FB ⊥90,BFC ∠= ,BF FC H =为BC 的中点
（1）求证：FH ∥平面EDB ；
（2）求证：AC ⊥平面EDB ； （3）求四面体B DEF ?的体积；
解：（1）证明：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连
,EG GH ,由于H 为BC 的中点，
故
GH
12AB 又
EF 12
AB ， EF
∴,GH ∴四边形EFHG 为平行四边形
EG ∴∥FH ， 而EG ?平面,EDB FH ∴∥平面EDB
（2）证明：由四边形ABCD 为正方形，有AB BC ⊥ 又EF ∥AB ，EF BC ∴⊥
而,EF FB EF ⊥∴⊥平面,BFC EF FH ∴⊥
AB FH ∴⊥
又,BF FC H =为BC 的中点，FH BC ∴⊥ FH ∴⊥平面ABCD ，FH AC ∴⊥,又FH ∥EG
AC EG ∴⊥,又,,AC BD EG BD G AC ⊥=∴⊥∩平面EDB （3）解：,90EF FB BFC ⊥∠= ∵
BF ∴⊥平面,CDEF BF ∴为四面体B DEF ?的高
又2,BC AB BF FC ==∴==
A
B
C
D
M
7题图
A
B
C D
O M
x
z
y 7题答案图
8题图
8题答案图
10题答案图
1111323
B DEF V ?=
??= 9.（2010年高考重庆文数第20题）如图，四棱锥P ABCD ?中，
底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD
，PA AB ==，
点E 是棱PB 的中点
（1）证明：AE ⊥平面PBC ；
（2）若1AD =，求二面角B EC D ??的平面角的余弦值 （1）证明：如图（1）,PA ⊥底面ABCD 得PA AB ⊥ 又PA AB =，故PAB Δ为等腰直角三角形，
而点E 是棱形PB 的中点，所以AE PB ⊥
由题意知BC AB ⊥，又AB 是PB 在面ABCD 内的射影，
由三垂线定理得BC PB ⊥，从而BC ⊥平面PAB ，故BC AE ⊥， 因,AE PB AE BC ⊥⊥，所以AE ⊥平面PBC
（2）由（1）知BC ⊥平面PAB ，又AD ∥BC ，得AD ⊥平面PAB ，故AD AE ⊥ 在Rt PAB Δ
中，1PA AB AE ==
=
= 从而在Rt DAE Δ
中，DE =
在Rt CBE Δ
中，CE =
=
，又CD =，所以CED Δ为等边三角形
取CE 的中点F ，连结DF ，则DF CE ⊥
因1BE BC ==，且BC BE ⊥，则EBC Δ为等腰直角三角形，连结BF ，则BF CE ⊥， 所以BFD ∠为所求的二面角的平面角 连结BD ，在BFD Δ
中，sin 3DF CD π=?=
1,22
BF CE BD =
===
所以222cos 2DF BF BD BFD DF BF +?∠==??
故二面角B EC D ??
的平面角的余弦值为3
10．（2010年高考浙江文数第20题）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB BC =，120ABC ∠=
。E 为线段AB 的中
点，将ADE Δ沿直线DE 翻折成A DE ′Δ，使平面A DE ′⊥平面,BCD F 为线段A C ′的中点。 （1）求证：BF ∥平面A DE ′；
（2）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A DE ′所成角的余弦值。 解：（1）证明：取A D ′的中点G ，连结,GF GE 由条件易知FG ∥1
,2
CD FG CD = BE ∥1
,2
CD BE CD =
所以FG ∥,EB FG BE =
故四边形BEGF 为平行四边形
所以BF ∥EG
因为EG ?平面,A DE BF ′?平面A DE ′ 所以BF ∥平面A DE ′ （2）在平行四边形ABCD 中，设BC a = 则2,AB CD a AD AE EB a =====
连结CE ，因为120ABC ∠= ，在BCE Δ
中，可得CE =
在ADE Δ中，可得DE a =
在CDE Δ中，因为222CD CE DE =+，所以CE DE ⊥ 在正三角形A DE ′中，M 为DE 中点，所以A M DE ′⊥ 由平面A DE ′⊥平面BCD 可知A M ′⊥平面,BCD A M CE ′⊥ 取A E ′的中点N ，连结,NM NF 所以,NF DE NF A M ′⊥⊥
因为DE 交A M ′于M 所以NF ⊥平面A DE ′
则FMN ∠为直线FM 与平面A DE ′所成角
在Rt FMN Δ
中，1
,,22
NF a MN a FM a =
== 则1cos 2
FMN ∠=
所以直线FM 与平面A DE ′所成角的余弦值为12
11.（2010年高考重庆理数第19题）
如图，四棱锥P ABCD ?中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，
PA AB ==，点E 是棱PB 的中点。
（1）求直线AD 与平面PBC 的距离；
（2
）若AD =，求二面角A EC D ??的平面角的余弦值。
解：（1）如图，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，从而AD ∥平面PBC ，
故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离
因PA ⊥底面ABCD ，故PA AB ⊥，由PA AB =知PAB Δ为等腰直角三角形，又点E 是棱PB 的中点，故
AE PB ⊥，又在矩形ABCD 中，BC AB ⊥，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理得BC PB ⊥，
从而BC ⊥平面PAB ，故BC AE ⊥.从而⊥AE 平面PBC ，故AE 之长即为直线AD 与平面PBC 的距离. 在Rt PAB Δ
中，PA AB ==
所以AE =
= （2）过点D 作DF CE ⊥，交CE 于F ，过点F 作FG CE ⊥，交AC 于G ，则DFG ∠为所求的二面角的平面角
由（1）知BC ⊥平面PAB ，又AD ∥BC ，得AD ⊥平面PAB ， 故AD AE ⊥
，从而DE =
=
P
E B
A D
C
9题图
P
E
B A
D
C
9题答案图
F
G 10题图
P
E B
A
D C
11题图
在Rt CBE Δ
中，CE ==
由CD =
，所以CDE Δ为等边三角形
故F 为CE
的中点，且sin
32
DF CD π=?= 因为AE ⊥平面PBC ，故AE CE ⊥，又FG CE ⊥，知
FG 1
2
AE
从而FG =
，且G 点为AC 的中点 连接DG ，则在Rt ADC Δ中
DG =
所以222cos 2DF FG DG DFG DF FG +?=
=?? 12.（2010年高考山东文数第20题）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面
ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的
中点，且2AD PD MA ==.
（1）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；
（2）求三棱锥P MAB ?与四棱锥P ABCD ?的体积之比. 解：（1）证明：由已知MA ⊥平面,ABCD PD ∥MA 所以PD ⊥平面ABCD 又BC ?平面ABCD 所以PD BC ⊥
因为四边形ABCD 为正方形 所以BC DC ⊥ 又PD DC D =∩ 因此BC ⊥平面PDC
在PBC Δ中，因为G F 、分别为PB PC 、的中点， 所以GF ∥BC 因此GF ⊥平面PDC 又GF ?平面EFG 所以平面EFG ⊥平面PDC
（2）解：因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设1MA = 则2PD AD == 所以18
33
P ABCD ABCD V S PD ?=
?=正方形 由于DA ⊥面MAB ，且PD ∥MA 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离 三棱锥112
122323
P MAB V ?=
××××= 所以:1:4P MAB P ABCD V V ??=
13.（2010年高考北京文数第17题）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF
∥,AC AB =
1CE EF ==
（1）求证：AF ∥平面BDE ；
（2）求证：CF ⊥平面BDE 证明：（1）设AC 与BD 交于点G
因为EF ∥AG ，且1
1,12
EF AG AC ==
= 所以四边形AGEF 为平行四边形
所以AF ∥EG
因为EG ?平面BDE ，AF ?平面BDE ， 所以AF ∥平面BDE （2）连结FG
因为EF ∥,1,CG EF CG ==且1CE = 所以四边形CEFG 为菱形 所以CF EG ⊥
因为四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥ 又因为平面ACEF ⊥平面ABCD 且平面ACEF ∩平面ABCD AC = 所以BD ⊥平面ACEF 所以CF BD ⊥ 又BD EG G =∩
所以CF ⊥平面BDE 14.（2010年高考北京文数第18题）
设函数3
2()(0)3
a f x x bx cx d a =
+++>，且方程()90f x x ′?=的两个根分别为1，4 （1）当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （2）若()f x 在(,)?∞+∞内无极值点，求a 的取值范围. 解：由3
2()3
a f x x bx cx d =
+++ 得 2()2f x ax bx c ′=++ 因为2
()9290f x x ax bx c x ′?=++?=的两个根分别为1，4，所以290
168360a b c a b c ++?=??
++?=?
（*）
（1）当3a =时，由（*）式得260
8120b c b c +?=??++=?
解得3,12b c =?=
又因为曲线()y f x =过原点，所以0d = 故32()312f x x x x =?+ （2）由于a>0,所以“3
2()3
a f x x bx cx d =+++在（,?∞+∞）内无极值点”等价于“2()20f x ax bx c ′=++≥在（,?∞+∞）内恒成立”。
12题图
13
题图
13题答案图 P
E B
A F G
C
D
11题答案图
由（*）式得295,4b a c a =?=。 又2(2)49(1)(9)b ac a a Δ=?=??
解0
9(1)(9)0
a a a >??
Δ=??≤? 得[]1,9a ∈
即a 的取值范围是[]1,9
15.（2010年高考北京理数第16题） 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面
互相垂直，,CE AC EF ⊥∥,
AC 1AB CE EF ===
（1）求证：AF ∥平面BDE ； （2）求证：CF ⊥平面BDE ； （3）求二面角A BE D ??的大小 证明：（1）设AC 与BD 交与点G
因为EF ∥AG ，且1
1,12EF AG AC === 所以四边形AGEF 为平行四边形. 所以AF ∥EG
因为EG ?平面BDE ，AF ?平面BDE 所以AF ∥平面BDE
（2）因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面相互垂直，且CE AC ⊥， 所以CE ⊥平面ABCD
如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz ?
则(0,0,0),(0,0,1),,22C A B D E F ?
????
所以(0,(CF BE DE ?===????
所以0110CF BE ?=?+= ，1010CF DE ?=?++=
所以CF BE ⊥,CF DE ⊥. 所以CF ⊥平面BDE
（3）由（2
）知，,122CF ?
=????
是平面BDE 的一个法向量. 设平面ABE 的法向量(,,)x y z =n ，则0BA ?= n ，0BE ?=
n .
即(,,)0(,,)(0,0
x y z x y z ??=??
?=??
所以0,x =
且,z =
令1,y =
则z =
，所以=n .
从而cos ,||||
CF
CF CF ???==
n n n 。
因为二面角A BE D ??为锐角， 所以二面角A BE D ??的大小为
6
π 16.（2010年高考四川理数第18题）已知正方体ABCD A B C D ′′′′?的棱长为1，点M 是棱AA ′的中点，点O 是对角线
BD ′的中点
（1）求证：OM 为异面直线AA ′和BD ′的公垂线； （2）求二面角M BC B ′′??的大小； （3）求三棱锥M OBC ?的体积
解：（1）连结AC ，取AC 的中点K ，则K 为BD 的中点，连结OK 因为点M 是棱AA ′的中点，点O 是BD ′的中点 所以
AM 12DD
′OK
所以
MO
AK
由AA AK ′⊥，得MO AA ′⊥
因为,AK BD AK BB ′⊥⊥，所以AK ⊥平面BDD B ′′ 所以AK BD ′⊥ 所以MO BD ′⊥
又因为OM 与异面直线AA ′和BD ′都相交， 故OM 为异面直线AA ′和BD ′的公垂线
（2）取BB ′的中点N ，连结MN ，则MN ⊥平面BCC B ′′.过点N 作NH BC ′⊥于H ，连结MH ，则由三垂线定
理得，BC MN ′⊥，从而，MHN ∠为二面角M BC B ′′??的平面角
设1AB =
，则11,sin 452MN NH BN ===
= 故二面角M BC B ′′??
的大小为arctan （3）易知，OBC OA D S S ′′ΔΔ=，且OBC Δ和OA D ′′Δ都在平面BCD A ′′内，
E
F
C
D
B
A
15题图
?D ′A
B
C
D M O
A ′
B ′
C ′
?16题图 ?D ′
A
B
C
D M O
A ′
B ′
C ′
?16题答案图
E
z F C
D
x
y A
B 15题答案图
高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ）
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
2020高考数学之立体几何解答題23題 一．解答题（共23小题） 1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点． （Ⅰ）求证：AN∥平面MEC； （Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由． 2．如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2 的菱形，AC⊥CB，BC=1． （Ⅰ）证明：AC1⊥平面A1BC； （Ⅱ）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小．
3．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°． （I）求点P到平面ABCD的距离， （II）求面APB与面CPB所成二面角的大小． 4．在正三棱锥P﹣ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值．
5．如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知． （1）求证：B1C1⊥平面OAH； （2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小． 6．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形． （1）求证：AD⊥BC． （2）求二面角B﹣AC﹣D的大小． （3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．
A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点， P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点， （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面； （2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线 2．已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β． 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求EF 和点G 的坐标； ②求异面直线EF 与AD 所成的角； ③求点C 到截面AEFG 的距离． 4. 如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD 平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； （III ）求二面角C-PA-B 的余弦值． 5. 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的余弦值． 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A
（Ⅰ）若P 为AC 的中点，M 为BB 1的中点，求证BP//平面AMC 1； （Ⅱ）若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο，试求BM 的长. 7. 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 8. 已知：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB = a ，AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证： （Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1； （Ⅱ）求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值． 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且60DAB ∠=，1AD AA =F 为 棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点． （Ⅰ）求证：直线MF //平面ABCD ； （Ⅱ）求证：直线MF ⊥平面11ACC A ； （Ⅲ）求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体，P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点，满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ??? E ， F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）? ?????CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C . 求证：（1）EF∥平面ABC （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC， 因为EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1， 又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D， 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD， 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E （2010年第16题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离． 证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ． 解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝ 2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2． （方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3 ． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ． 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝ 2 2 ． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3 ，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2．
2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC； --为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ ．
【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳 一、选择题 1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ． 643 π B ．8316π π+ C ．28π D ．8216π π+ 【答案】B 【解析】 【分析】 结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】 结合三视图，还原直观图，得到 故体积22221183242231633V r h r l πππππ=?+?=?+??=+，故选B ． 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等． 2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存 在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）
A ．7 B ．3 C ．1+3 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值， Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠o o o 221111111113 2cos 13223()72 MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??- ??= 故选A ． 【点睛】 本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题． 3．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）. A 10 B ．3:1 C ．2:1 D 102 【答案】A
2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ） A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（ ）[] A ．若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B ．若//αβm α?n β?则//m n C ．若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为
（ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B 8 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是
2015年高考理科数学试题汇编(含答案)：立体几何-小题
（新课标1）（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为 一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（） A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【答案】B 考点：圆锥的体积公式 （新课标1）（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C
试题分析：因为α，β是两个不同的平面，m是 直线且mα?．若“mβ∥”，则平面、 αβ可能相交 也可能平行，不能推出// αβ， αβ，反过来若// mα ?，则有mβ∥，则“mβ∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件. 考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件. （福建）7．若,l m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l m⊥”是“//lα的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．（湖南）10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用
1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 -
1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .
（一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
（一） 1.D 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，()1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{n AB n PB ?=?= 即 30 30x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,{PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27cos ,727 m n ==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27-
（二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1， DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .
高考中常见的立体几何题型和解题方法 黔江中学高三数学教师：付 超 高考立体几何试题一般共有2——3道(选择、填空题1——2道, 解答题1道), 共计总分18——23分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的 逻辑推理型问题, 而解答题着重考查立几中的计算型问题, 当然, 二者均应以正 确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多 一点思考,少一点计算”的方向发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体 的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过 程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与 距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行 与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能， 通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平 行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能 力和空间想象能力． 2． 判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3．两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平 面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过 程中均可直接作为性质定理引用。 4．空间角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间角主要研究射影以 及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角 和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解 决． 空间角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系 进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线 所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?????? ，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]．对于空间角的计算，总是通过一定 的手段将其转化为一个平面内的角，并把 它置于一个平面图形，而且是一个三
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .
3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D
5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P
历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解） （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ? ??? ?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）??????? ?? ?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上， A 1D ⊥ B 1 C . 求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ， 因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1， 又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ， 又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题）
立体几何 1、平面βα⊥，直线α?b ，m β?，且b m ⊥，则b 与β( ) A ．b β⊥ B ．b 与β斜交 C ．b //β D ．位置关系不确定 2、过三棱柱111ABC A B C -的任意两条棱的中点作直线，其中与平面11ABB A 平行的直线共有( )条 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 3、一条直线与一个平面所成的角等于3π，另一直线与这个平面所成的角是6 π 。则这两条直线的位置关系( ) A ．必定相交 B ．平行 C ．必定异面 D ．不可能平行 4、在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1:3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为( ) A ． B ．1:9 C ．1: D ．1:1) 5、正方体1111ABCD A B C D -中，,,P Q R 分别是11,,AB AD B C 的中点．那么，正方体的过,,P Q R 的截面图形是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形 D ．六边形 6、正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 7、已知平面α与β所成的二面角为80°，P 为,αβ外一定点，过点P 的一条直线与,αβ所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 8、如图所示，PAB ?所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥，BC α⊥，4AD =， 8BC =，6AB =。若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是( ) A ．椭圆的一部分 B ．线段 C ．双曲线的一部分 D ．以上都不是 9、如图所示，已知球O 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为( ) A ． 6 π B ． 3 π C D
2021年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试（十）理 新人教A 版 一、选择题 1．空间中四点可确定的平面有( ) A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．1个或4个或无数个 答案 D 解析 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面． 2．一个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图，如图所示，则这个几何体的体积为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 答案 C 解析 根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱；它的底面三角形的面积为S 底面＝1 2×2×1＝1，棱柱高为h ＝2，∴棱柱的体积为S 棱柱＝S 底面·h ＝1×2＝2. 3．下列命题中，错误的是( ) A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面 B ．平面α∥平面β，a ?α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥a C ．α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ所成的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥d D ．一条直线与两个平面成等角，则这两个平面平行
答案D 解析A正确，三角形可以确定一个平面，若三角形两边平行于一个平面，而它所在的平面与这个平面平行，故第三边平行于这个平面；B正确，两平面平行，一面中的线必平行于另一个平面，平面内的一点与这条线可以确定一个平面，这个平面与已知平面交于一条直线，过该点在这个平面内只有这条直线与a平行；C正确，利用同一平面内不相交的两直线一定平行判断即可确定C是正确的；D错误，一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，故应选D. 4．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．不能确定 答案B 解析作AE⊥BD，交BD于E， ∵平面ABD⊥平面BCD， ∴AE⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴AE⊥BC， 而DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DA⊥BC， 又∵AE∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD， 而AB?平面ABD，∴BC⊥AB， 即△ABC为直角三角形．故选B. 5．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )
2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.一个多面体的三视图如图4-1所示,则此多面体的表面积是() 图4-1 A.22 B.24- C.22+ D.20+ 2.如图4-2,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体积 是() 图4-2 A.+π B.+π C.4+π D.+π 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,若平面EFG截球O所得圆的半径为,则该正方体的棱长为() A. B. C.3 D.2 4. [数学文化题]如图4-3为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱 的底面正方形的边长为2,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器的表 面积的最小值为56π,则正四棱柱的高为()
A. B.2 C.6 D.2 5. [数学文化题]中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图4-4所示,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥形容器的底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥形容器高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为() 图4-4 A.2 cm B.cm C.cm D.cm 6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为 AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为() 图4-5 A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积 为. 8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0 （2018 文 I ）在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． ⑴证明：平面平面； ⑵为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积． （2018 文 I I ）如图，在三棱锥中，， ，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． ABCM 3AB AC ==90ACM =?∠AC ACM △M D AB DA ⊥ACD ⊥ABC Q AD P BC 2 3 BP DQ DA ==Q ABP -P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC 2MC MB =C POM A B C P O M （2018 文 III ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． ⑴证明：平面AMD ⊥平面BMC ； ⑵在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． （2017 文 I ）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA=PD=AB=DC,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为8 3 ，求该四棱锥的侧面积. （2017 文 II ）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD , 1 ,2 AB BC AD BAD == ∠90.ABC =∠=? （1）证明：直线BC ∥平面PAD ; （2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积. （2017 文 III ）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD ． （1）证明：AC ⊥BD ； （2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．立体几何 高考真题全国卷
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