浅谈大数定律和中心极限定理
学生姓名：单清舒 学号：20085031219 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师：黄明湛 职称：讲师
摘 要：本文主要介绍了几种常见的大数定律和中心极限定理及其应用． 关键词：大数定律；中心极限定理；置信区间
Law of Large Numbers and Central Limit Theorem
Abstract ：This paper mainly investigates several common law of large numbers and central limit theorem and their applications ．
Key Words ：law of large numbers ；central limit theorem ；confidence interval
前言
概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律的一门数序学科，随机事件在一次实验中可能发生的也可能不发生，带有不确定性，但在多次重复实验中却呈现出明显的统计规律．大数定律和中心极限定理正是为这种统计规律性从理论上提供依据，但初学者掌握这部分内容时，常有茫无头绪，束手无策之感，为使初学者对大数定律和中心极限定律有个全面的了解，现分别就个别定理(仅叙述定律而不加证明)，定理间相互关系及其应用进行归纳总结．
1.预备知识
1.1切比雪夫不等式
定理1 设随机变量X 的期望和方差都存在，则对任意常数0ε>，有
2
()
()Var X P X EX εε
-≥≤
，
或者
2
()
()1Var X P X EX εε-<≥-
．
该不等式可以利用EX ，()Var X 的X 概率分布进行估计，同时还可以证明相应的大数定律．
1.2随机变量序列{}n X 的收敛性
定义1 设{}n Y 为一随机变量序列，Y 为一随机变量，如果对任意给的0ε>，有
{}lim 1N n P Y Y ε→+∞
-<=，
或
{}lim 0N n P Y Y ε→+∞
-≥=．
则称随机变量序列{}n Y 依概率收敛于随机变量Y ，记作P
n Y Y ??→．
2.大数定律
一般的大数定律都涉及一个随机变量序列{}n X ，大数定律的结论都是如下形式：对任意的0ε>有
1111lim ()1n n
i i n i i P X E X n n ε→+∞==??-<=????∑∑， (1)
或
1111lim ()0n n
i i n i i P X E X n n ε→+∞==??-≥=????∑∑， (2)
则称该随机变量序列{}n X 服从大数定律．
定理2 (伯努利大数定律) 设n μ是n 重伯努利实验中事件A 发生的次数，而p 是事件A 在每次实验中出现的概率，这对任意给定的0ε>，有(1)式或者(2)式成立．
该定律说明随着n 的增大，事件A 的频率
n n μ与其频率p 的偏差n p n
μ
-大于预先给定的ε的可能性愈来愈小，小到可以忽略不计．即频率稳定于概率．或者说
n
n
μ依概率收敛于概率P ，这也是用频率来估计概率的理论根据．该大数定律是独立同分布的大数定律的特例．
定理3 (独立同分布的大数定律) 设{}n X 是一列两两相互独立的随机变量序列，且()i E X μ=，2()i Var X σ=，1,2,i =…都存在，则对任何给的0ε>，有
11lim 0n i n i P X n με→+∞
=??
-≥=????
∑， 或
11lim 1n i n i P X n με→+∞
=??
-<=????
∑． 该定理说明随机变量的经验平均值接近于数序期望，这是对立同分布测量中取平均值的理论根据，该大数定律是切比雪夫大数定律的特例．
定理4 (切比雪夫大数定律) 设{}n X 为一列两两相互独立的随机变量序列，若每个i X 的方差存在，且有共同的上界，即()i Var X c ≤，1,2,i =…，则{}n X 服从大数定律，即对任给的0ε>，有(1)式或者(2)式成立．
该定理说明随机变量的经验平均值接近于理论平均值．切比雪夫大数定律只要求{}n X 互不相关，
并不要求他们是同分布的．假如{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且方差有限，则{}n X 必定服从大数定律．
定理5 (普安松大数定律) 设在一个独立的实验序列中，事件A 在K 次实验中出现的概率等于k P ，以μ表示前n 次实验中事件A 出现的次数，则对任给的0ε>，有
11lim 0n n k n k P P n n με→+∞
=??-≥=????
∑， 或
11lim 1n n k n k P P n n με→+∞
=??-<=????
∑． 该定理说明时间A 的频率n
n
μ依概率收敛于k P 的算术平均值，是伯努利大数定律的特例．
定理6 (辛钦大数定律) 设则{}n X 是一独立同分布的随机变量序列，若i X 的数学期望存在，则{}n X 服从大数定律即对任何给的0ε>，有(1)式或者(2)式成立．
该定理说明随机变量的经验平均值接近于数学期望，这是测量中取平均值的理论根据．该大数定律也是独立同分布的大数定律的特例．
定理7 (马尔可夫大数定律) 设{}n X 是一随机变量序列，且满足条件
21
1
()0n
i i Var X n =→∑，
则{}n X 服从大数定律，即对任给的0ε>，有(1)式或者(2)式成立．
该定理已没有任何关于对立性的假设，因此它是研究相依（不独立）随机变量序列的大数定律．由本大数定律还可以推的切比雪夫大数定律．
综上所述，概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理称为大数定律，它揭示了必然与偶然性之间的辩证规律．
3.中心极限定理
前面叙述了大数定律的各种形式，不管他们在形式上如何不同，都断定了各种各样的随机变量依赖概率收敛或几乎处处收敛于某一确定的常量．但在大数定律中都不出现随机变量的分布率．分布率的极限问题则构成了另一类极限定理——中心极限定理．中心极限定理有时成为“大数定律的数量形式”．
定理8 (棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理) 在n 重伯努利实验中，设事件A 在每次实验中，初相的概率为(01)P P <<， n μ为n 次实验中事件A
出现的次数，且记
*n Y =
，则
{
}2*2
lim t y
n n P Y y e dt -
-∞
→+∞
≤=
?
．
定理9 (林德贝格—勒维中心极限定理) 设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且()i E X μ=，2()0i Var X σ=>．记
*n Y =
…
则对任意实数y ，有
{
}2
*2
lim (t y
n n P Y y y e dt -
-∞
→+∞≤=Φ?
．
棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理是该中心极限定理的特例．独立同分布中心极限定理有广泛的应用，在实际工作中只要n 足够大时，便可以把独立同分布随机变量之和当作是正态变量，这种做法，在数理统计中用得很普遍．
注 以上两定理对复杂的数值计算用处很大．例如，对棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理中的n μ，当n 很大时，需计算{}k n k
n a k b n P a b p q k μ-≤≤??≤≤=
???
∑的值，它的计算量
是很大的，然而利用独立同分布中心极限定理却很容易解决．因为
{
}n P a b P μ??≤≤=≤≤，
又因n 很大，所以有
2
2
()t y
P y e dt y -
-∞
???
≤≈
=Φ???
，
于是
{
}22
t n P a b dt μ-
≤≤≈
=Φ-Φ 而这只需要查标准正态分布即()0,1N ，就可以容易地求出{}n P a b μ≤≤相当精确的近似值．
定理10 (林德贝格中心极限定理) 设诸i X 为连续随机变量，其中，密度函数为
()i P x ，2
21
n
n
i i B σ==∑，1,2,i =…，对任意的0τ>，有
2221
1lim ()()0i n n
i i x B n i n x p x dx B μτμτ->→+∞=-=∑?，
则称独立随机变量序列{}n X 满足林德贝格条件．
定理11 设独立随机变量序列{}n X 满足林德贝格条件，则当n →∞时，对任意给的X ，有
2
2
11
lim ()t n
x
i i
n i n
P X x e dt B μ-
-∞
→+∞
=??-≤=????
∑．
注 独立同分布中心极限定理中，随机变量序列有相同分布的假定太强，放宽这一假定，便引进林德贝格条件，它可以保证对任给的0τ>，有
lim max 0i i n n X P B μτ→+∞??-??>=??????
， 粗略地讲，可表示当n 充分大后，参与构成组合
1
1
()n
i i i n
X B μ=-∑的每一被加项
i i
n
X B μ-要依赖概率“均匀地小”，因而任一被加载项对总和的极限分布不会产生显著的影响，
当随机变量序列满足林德贝格条件时，必服从中心极限定理，这说明若一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响下所起的作用是微小的，则这种量通常都服从或近似服从正态分布．
定理12 (李亚普诺夫中心极限定理) 设{}n X 是独立随机变量序列，又
()i i E X μ=，2
()i i
Var X σ=，1,2,i =…，记221
n
n
i i B σ==∑，若存在0δ>使得
221
0n
n
i
i i B E X
δ
δ
μ++=-???→∑(当n →+∞时)
对任意的X ，有
2
2
11
lim ()t n
x
i i
n i n
P X x e dt B μ-
-∞
→+∞
=??-≤=????
∑．
4.大数定律及中心极限定理的应用
4.1 利用大数定律求极限问题
定理13 （Lebesgue 控制收敛定理）若{}n X 为随机变量序列，n X Y ≤，Y 可积，且lim n n X X →∞
=存在，则lim n n EX EX →+∞
=．
例1 证明，对于 1
2
m <
时， 22211
1
121200012sin sin sin 1
lim 2
n n m m m n n y y y m dy dy dy y y y πππ→+∞++++=+++???…………． 证 设12,,,n ηηη…为独立同分布的随机变量序列，且服从()0,1U （设01n η≤≤，
1,2,n =…），则2212sin ,sin πηπη…，独立同分布，12,,ηη…并且
1
2
20
1
sin sin 2k E ydy πηπ==?，1,2,k n =…．
于是
2
2111
111sin sin 12121n
n k k n k k n
n m
m K K
k k m n m n πηπηηη→∞====+=???→=+∑∑∑∑，
因为12m ≤，所以当n 充分大时有，2211sin ++sin 01++n
m m
n
πηπηηη≤≤……． 由积分转化定理及控制收敛定理得
22211
1
121200012sin sin sin lim n
n m m m n n
y y y dy dy dy y y y πππ→+∞++++++??? (211)
1sin 1lim 12n
k k n n m
K k m n
n πηη=Ω→+∞=+==∑?∑（12m ≤）． 4.2利用中心极限定理求极限问题
例2 证明极限1lim 02!
k
n
n n k n k →+∞
==∑．
解 构造服从普阿松分布的随机变量序列{}n ξ，且1λ=，由再生性，1
n
n k k ηξ==∑服
从n λ=的普阿松分布．即
()!
i n
n n P i e i η-== （1,2i =…），
()()n n E Var n ηη==，由于{}n ξ独立同分布且方差有限，由中心极限定理可知
(
)
(
)2
2
010!
2
t k
n n n n
k n P P n e dt e k ηη-
-∞
=-≤=≤==
∑， 故002lim lim 02!
!
n
k k
n
n
n n
n n k k n n k e e k →+∞→+∞==??
== ???∑∑． 4.3求参数的置信区间
定理14 (Levy-lindeberg 定理) 若12,,n X X X …是相互独立且服从相同分布的随机变量，且()E X μ=,21()Var X σ=（1,2i =…），当n →+∞时，
21
~(,)n
i
i X
N n n μσ=∑，
即
~(0,1)
n
i
X n
N
μ
-
∑
（n→+∞）
定义2设总体分布含有一未知参数θ，若由样本确定的两统计量^
112
(,,)
n
X X X
θ…,及^
212
(,,)
n
X X X
θ…,，对于事先给定的一个(01)
αα
<<，使得
^^
112212
((,,)(,,,))1
n n
P X X X X X X
θθθα
<<=-
…,，
则称随机区间
^^
12
(,)
θθ是θ的置信区间．^
1
θ及^
2
θ成为置信区间的上下限，1α
-称为置信度，α称为显著性水平．
4.3.12
σ已知时，总体均值μ得区间估计
(1)设
12
,,
n
X X X
…服从总体
2
(,)
Nμσ的一样本。已知
1
1n
i
i
X X
n=
=∑是μ的无偏估计，
且统计量~(0,1)
N
μ=，因此，对于给定的显著水平α，可从附表中确定μ
的双侧α临界值
1
2
α
μ
-
，使得
1
2
1
P
α
μμα
-
??
<=-
?
??
成立，即
11
22
1
P X X
αα
μμμα
--
??
-<<+=-
?
，
于是总体均值μ得置信度为1α
-
的置信区间为
11
22
X X
αα
μμ
--
??
-+
?
．例3调查了144名吸烟的人吸烟量的平均值为12(支)，假设吸烟人中的吸烟量服从正态分布2
(,4)
Nμ，试估计总体均值的μ的估计置信度为99%的置信区间．解本例是在已知总体方差的情况下对总体均值的估计，利用上式可得144
n=，12
X=， 1.5
σ=，0.01
α=
，12 2.58 2.58
?
-+
?
，
即置信区间为(11.14,12.86)
(2) 对一般总体若已知总体方差在大样本情况下仍可用公式对总体均值μ做区
间估计，依中心极限定理可知，不是正态分布的一般分布，当n充分大时，n个相互独立的随机变量的和是一个服从正态分布的随机变量，而由这些独立的随机变量组成
的样本，其样本的平均值也是一个服从正态分布的随机变量．
例4 已知男性婴儿头围的标准差 1.39σ=(cm)，今抽取152名男性婴测得平均头围为42.9(cm) ，试以置信度0.95估计总体均数μ的置信区间。
解 本例是在一般总体，若已知总体方差且在大样本的情况下对总体均值μ的区间估计．利用上式可得
42.9 1.96 1.96?
-+ ?
即置信区间为(11.14,12.86)．
4.3.22σ未知时，总体均值μ得区间估计
(1)设12,,n X X X …服从总体2(,)N μσ的一样本，因为2σ未知，所以用上式估计的
μ得不到结果，此种情形下可用样本方差2S 估计总体方差2σ，由统计
量
~(1)
t t n =
-．因此，对于给定的显著水平α，可据附表确定μ的双侧α临界值12(1)t n α-
-
，使得121P t αα-?
<=-???
，于是总体均值μ得置信度1α-的置信区间为
1122
X t X t αα
--??-+ ?． 例5 在一批中药片剂中随机抽取25片检查称得片重为0.5g ，标准差为0.08g ，已知片剂的重量服从正态分布，试求此中药平均片重的置信度为99% 的置信区间．
解 本例是在已知总体方差的情况下对总体均值μ的估计，利用上式可得
25n =，0.5x =，0.08s =，0.01α=
，0.5 2.797 2.797?
-+ ?，
即所求的置信区间为()0.46,0.54．
(2)对于一般总体在大样本情形下，总体方差未知，可用2S 来代替，由中心极限
12,,n X X X …，总体
均值μ的置信度为1α-的置信区间为
1122
X u X u αα
--??-+ ?． 例6 今调查了350名健康成年女性的血红蛋白含量(g%)的其均值为11.7 (g %)，标准差为1.5(g%)，试估计健康成年女陛的总体均值μ的置信度为99%的置信区间．
解 本例是在总体方差未知的情况下对总体均值μ的估计．350n =，
11.7x =， 1.5s =，0.01α=，代入上式可得置信区间
11.7 2.58 2.58?
-+ ?
，
即（11.49，11.91）． 4.3.3总体率的区间估计
(1)n 次独立重复试验中某事件出现的次数X 服从二项分布，由中心极限定理知， 当n 充分大时，二项分布以正态分布为极限，即总体X 近似服从(),N np npq ，因此，样本率X
p n
=
便近似服从正态分布(),N p pq n ． 令
μ=
μ服从标准正态分布()0,1N 对于给定的著性水平α，
可从附表中确定12
(1)n αμ--，使得
12
1P αμ
α-
?
?<=-?
?
，即
11221P p p ααμμμα--
?-<<+=- ?．
于是总体均值μ的置信度为1
α-的置信区间为
1122p p ααμμ--?-+ ?． 例7 为了检查某药品降胆固醇的作用，作了150例临床观察，结果11例有效，试求总体有效率的置信度为99%置信区间．
解 150n =，011x =，11
0.073150p =
=，0.01α=，查表得12
2.58αμ-=．代入上
式得
(
-+，
0.073 2.58 2.58
则总体有效率的置信区间为（0.018，0.128）．
小结
本文就个别定理，定理间相互关系及其应用进行了归纳总结，这使我们对大数定律和中心极限定律有了更全面的了解，对我们以后的学习有很大帮助．
参考文献
[1] 魏宗舒．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教育出版社，1983．
[2] 汪嘉冈．现代概率论基础[M].上海：复旦大学出版社，1988．
[3] 林士美．应用数理统计[M]．北京：中国医药科技出版社，1996．
[4] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教育出版社，2004．
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中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。 于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
中心极限定理 中心极限定理（Central Limit Theorems） 什么是中心极限定理 大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。 中心极限定理的表现形式 中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理： （一）辛钦中心极限定理 设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则 随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时， 将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。 （二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理 设μ n是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n 无限大时，频率设μ n / n趋于服从参数为的正态分布。即：
该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。 （三）李亚普洛夫中心极限定理 设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方 差：。 记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时， ，则对任意的x有： 该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。 （四）林德贝尔格定理 设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有 。 中心极限定理案例分析 案例一：中心极限定理在商业管理中的应用 水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假
中心极限定理及其应用 [摘要] 在中心极限定理的基础上，通过实例介绍它的应用。 [关键词] 中心极限定理随机变量应用 中心极限定理是棣莫佛在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富。它不仅是概率论中的重要内容，而且还是数理统计中大样本统计推断的理论基础。一种随机现象可能会受到许多不确定因素的影响,如果这些彼此之间没有什么依存关系,且谁也没有特别突出的影响,那么,这些影响的“累积效应”将会使现象近似地服从正态分布。中心极限定理在很一般的情况下证明了，无论随机变量服从什么分布，个随机变量的和当时的极限分布是正态分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。在中心极限定理的教学中，通过列举一些用中心极限定理解决问题的实例，能使学生较深地理解中心极限定理的理论与实用价值。 一、两个常用的中心极限定理 根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。这里只介绍两个常用的中心极限定理。 定理1 列维—林德伯格（Levy-Lindeberg）定理（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差.则随机变量 的分布函数Fn（x）对于任意x满足 （5.7） 从定理1的结论可知，当n充分大时，有 或者说，当n充分大时，有 如果用表示相互独立的各随机因素。假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）。则（5.8）式说明，作为总和这个随机变量，当n充分大时，便近似地服从正态分布。 定理2（棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理） 设随机变量X服从参数为n，p （0＜p＜1）的二项分布，即，则
中心极限定理 从总体中抽取容量为n的一个样本时，当样本容量足够大时，样本均值x的抽样分布近似服从于正态分布。 eg:用R从0-10的均匀分布中产生100个样本量为n=2的随机样本，对每个样本计算，并画出100个的频数分布，对于n=5,10,30,50,重复这一个过程。 a=matrix(rep(0,200),nrow=100,byrow=T) set.seed(200) for(i in 1:100) a[i,]=runif(2,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100 个样本量n=2的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,1000),nrow=100,byrow=T) set.seed(1000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(10,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=10的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,3000),nrow=100,byrow=T) set.seed(3000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(30,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=30的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,5000),nrow=100,byrow=T) set.seed(3000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(50,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=50的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2)
重庆三峡学院毕业设计（论文）大数定律与中心极限定理及其应用 分院数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 班级 10数本1班 学号201006034109 姓名张永东 指导教师陈飞翔 (讲师) 2014年5月10日
目录 摘要.................................................................................................................................................. I ABSTRACT. ..................................................................................................................................II １大数定律的应用 .. (3) 1.1引言 (3) 1.2预备知识 (3) 1.2.1相关定义 (3) 1.2.2切比雪夫不等式及其应用 (4) 1.3几类重要的大数定律的应用 (4) 1.3.1切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用 (4) 1.3.2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用 (6) 1.3.3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用 (6) 1.4大数定律的意义 (8) 2 中心极限定理的应用 (8) 2.1前言 (8) 2.2几类重要的中心极限定理的应用 (9) 2.2.1林德伯格定理及其在保险方面的应用 (9) 2.2.2列维定理及其在极限求解方面的应用 (10) 2.2.3棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用 (11) 2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用 (14) 3 大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 3.1大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)
中心极限定理的创立和发展 1141010113 万帅 关键词：中心极限定理，创立，严格证明，新的发展，三阶段。 引言：这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。 中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。 “中心极限定理”这一名称的来源有两种说法。波利亚认为这个定理十分重要，在概率论中具有中心地位，所以他加上了“中心”这一名称，于1920年引入这一术语。另一种说法是，现代法国概率论学派认为极限定理描述了分布函数中心的情况，而不是尾部的情况。 历史上有不少数学家对中心极限定理的研究做出了贡献。中心极限定理的发展主要分为三个阶段。 创立阶段：1733-----1853年 人们通常认为，法国数学家隶莫弗在1733年首次证明了，二项发布近似正态分布。然而，当时正态发布的概念，隶莫弗并不知道自己本质上证明了“中心极限定理” 法国数学家拉普拉斯写了很多论文，想推广棣莫弗的工作。他意识到需要一种新的数学技巧，并在1785年成功地发明了这个技巧：特征函数的简单形式和反演公式。拉普拉斯把他的两个主要研究方向结合起来得到了这个方法-----母函数和积分的监禁展开。通过把母函数中的t换成it e ，就得到了特征函数。然而，直到1810年他才发表了特征函数与反演公示的一般理论，并证明了中心极限定理。他之所以推迟到1810年，有一种解释是，从1786年开始，他就专注于《天体力学》的写作，这本书1805年才完成。1810年，拉普拉斯证明了中心极限定理，先是服从均匀发布的连续随机变量的情形，接着是服从任意分布的随机变量。拉普拉斯的证明显然对独立有界的随机变量和成立，证明过程使用了现在所谓的特征函数，或傅里叶变换，即itXEe(t为实数）。在1812年，他先后考虑了对称的、离散的均匀分布，对称的连续分布，任意分布情形。最后，拉普拉斯在他的名著《概率的分析理论》中对任意的p证明了如下中心极限定理：【1】 泊松完善和推广了拉普拉斯关于中心极限定理的证明。在所有考虑的情况里，都假设随机变量是独立的。泊松证明了服从相同分布的随机变量的情况，还推广到服从不同分布的随机变量的情况。1824年，泊松证明了连续随机变量的中心极限定理，并给出了三个反例，其中包括服从柯西分布的随机变量和，这时中心极限定理不成立。受当时传统的影响，泊松没有明确阐明中心极限定理成立的条件。但是，从他的证明和例子中，可以看到，他假设每个变量的方差都是有界的，且不等于零。其他数学家也做了这方面工作，比如贝塞尔和柯西。拉普拉斯等人给出证明的前提假设是，和的分布是有限的，因此所有的矩都存在。他们把结果推广到无限情形，但没有给出证明，并隐含假定了矩的存在。以现在的观点来看，只要沿着拉普拉斯的方向继续下去，法国数学家们是可以给出中心极限定理的严格证明的，比如柯西，他知道特征函数和稳定率。 从当时环境来看，大约1870年代，概率学家还处于心理上的劣势，苦于自己的研究领
中心极限定理的涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
题目：中心极限定理及意义 课程名称：概率论与数理统计 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。
关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，
大数定律与中心极限定理 应用题 1． 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg ，标准差 为0.1kg, 问（1）5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？(2)如果用一辆载重汽车运输这5000只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于0.975？ 解 设第i 只零件重为i X ，500,...,2,1=i ，则5.0=i EX ，21.0=i DX 设 ∑==500 1i i X X ，则X 是这些零件的总重量 250050005.0=?=EX ，5050001.02=?=DX 由中心极限定理 )1,0(~50 2500N X a - （1）)2510(≥X P =)50 25002510502500(-≥-X P )2(10Φ-≈=9213.01-=0.0787 (2) 设 汽车载重量为a 吨 )(a X P ≤=)502500502500(-≤-a X P 95.0)50 2500(0≥-Φ≈a 查表得 64.150 2500≥-a 计算得 59.2511≥a 因此汽车载重量不能低于2512公斤 2． 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，先从这批木柱中随 机的取100根，求其中至少有30根短于3m 的概率？ 解 设X 是长度小于3m 的木柱根数，则)2.0,100(~b X 由中心极限定理 )16,20(~N X a )30(≥X P =)16 20301620(-≥-X P )5.2(10Φ-≈=9938.01-=0.0062 3． 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种 蛋糕的价格是随机变量，它取1元，1.2元，1.5元的概率分别为0.3，0.2，0.5.若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率 （2）售价为1.2元蛋糕售出多于60只的概率。
中心极限定理及其意义
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题目：中心极限定理及意义 课程名称：概率论与数理统计 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。
关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，
本科生毕业论文（设计） 题目大数定律与中心极限定理的 关系及应用 姓名学号 院系数学科学学院 专业数学与应用数学 指导教师职称 2013年4 月16 日 曲阜师范大学教务处制
目录 摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Key words (3) 引言 (3) 1 大数定律与中心极限定理的关系 (4) 1.1预备知识 (4) 1.1.1大数定律 (4) 1.1.2中心极限定理 (5) 1.2大数定律与中心极限定理的关系 (6) 1.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子 (7) 1.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子 (8) 1.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子 (9) 2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 (10) 2.1 在误差分析中的应用 (10) 2.2 在数学分析中的应用 (11) 2.3 在近似计算中的应用 (13) 2.4 在保险业中的应用 (14) 2.5 在企业管理方面的应用 (15) 结论 (16) 致谢 (16) 参考文献 (17)
大数定律与中心极限定理的 关系及应用 摘要：本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外，叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系，同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。 关键词：大数定律中心极限定理随机变量应用 Relationship and Applications between the Law of Large Number and Central Limit Theorem Student majoring in mathematics and applied mathematics Bai Yanfei Tutor Liu Li Abstract: Based on the law of large numbers and central limit theorem in the independent distribution with the different distribution of both cases, it makes more systematic exposition, and reveals the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability. Through the central limit theorem discussion, it gives out the random variables and the distribution of the normal distribution. At the same time, it demonstrates the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally, it gives out several aspects of applications of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in error analysis, mathematical analysis, the approximate calculation, the insurance industry and business management to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value. Key words: Laws of large number; Central-limit theorem; Random variables; Applications 引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题，而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型的数学模型，比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。 而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分
毕业论文 题目中心极限定理的应用 学生姓名张世军学号1109014148 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师程小静 2015 年 5 月 25 日
中心极限定理的应用 张世军 （陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班，陕西汉中 723000） 指导教师：程小静 [摘要]中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发，给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明；其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用；最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。 [关键词]随机变量；中心极限定理；正态分布；概率论；近似计算 Central Limit Theorem of Application Zhang Shijun (Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty，Mathematics and computer scienceDept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi) Tutor: Cheng Xiaojing Abstract：The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Second central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the application. Keywords：Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory;Approximate calculation
中心极限定理及其应用 【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。 【关键词】：中心极限定理 正态分布 随机变量 一、概述 概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn 、…的部分和的分布律：当n →∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。 二、定理及应用 1、定理一（林德贝格—勒维定理） 若 ξ 1 ，ξ 2 ，…是一列独立同分布的随机变量，且 E k ξ=a, D k ξ = σ 2 ( σ 2 >0) ,k=1,2,…则有 dt e x n na p x t n k k n ? ∑∞ -- =∞ →= ≤-2 1 221)(lim π σξ 。 当n 充分大时， n na n k k σξ ∑=-1 ~N （0,1），∑=n k k 1 ξ ~N （2 ,σn na ） 2、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理） 在n 重伯努利试验中,事件A 在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。, 错误！未 找到引用源。为n 次试验中事件A 出现的次数,则dt e x npq np p x t n n ?∞ -- ∞ →= ≤-2 2 21 )( lim π μ 其中1q p =-。这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n 充分大时，可
中心极限定理证明)题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地 位。参考文献 [1]邓永录著应用概率及其理论基础.清华大学出版社。 [2]魏振军著概率论与数理统计三十三讲.中国统计出版社。 [3]程依明等著概率论与数理统计习题与解答.高等数学出版社。 第五篇：中心极限定理 中心极限定理 中心极限定理（central limit theorems） 什么是中心极限定理 大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。 中心极限定理的表现形式 中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理： （一）辛钦中心极限定理 设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则 随机变量，在n无限增大时，服从参数为a 和的正态分布即n→∞时， 将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理 设μn是n次独立试验中事件a发生的次数，事件a在每次试验中发生的概率为p，则当n无限大时，频率设μn / n 趋于服从参数为的正态分布。即： 该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。 （三）李亚普洛夫中心极限定理 设 差：是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方 。 记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞ 时， ，则对任意的x有： 该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。 （四）林德贝尔格定理 设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x ，有 。 中心极限定理案例分析 案例一：中心极限定理在商业管理中的应用 水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假
中心极限定理论文：中心极限定理及其简单应用 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极pH定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。关键词：中心极限定理正态分布随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。二、定理及应用中心极限定理有多种形式：1、独立同分布下的中心极限定理定理 1[1]，设x1，X2，…，Xn，…是独立同分布随机变量，EXi=μDXi=σ2（i=1，2，…，n)则它表明当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的 随机变量之和近似服从正态分布。定理1也称为林德伯格定理或列维——林德伯格定理。其中上下同除n，分子中有xi，其在数理统计中可表示样本的均值，可见独立同分布的样本均值近似地服从正态分布。这使得中心极限定理在数理统计中有着广泛而重要的作用。而上述定理应用到伯努利实验序列的情形，我们可以得到如下定理。定理2[1](拉普拉斯定理)，在n重伯 努利试验中，事件A在每次实验中出现的概率P(0 2、同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。 例1[3]，设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少? 解：设Xi(i=1，2，…，5000)表示第i个零件的重量X1， X2，…，X5000独立同分布且E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12。由独立同分布的中心极限定理可知=I-φ（1.414）=1-0.9215 =0.0785 例 2[3]，一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的且同分布，设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重为50吨的汽车承运，每辆车最多可以装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977？解：设Xi(i=1，2，…，n)是装运第i箱的重量，n为所求箱数。由条件可把X1，X2，…，Xn看作独立同分布的随机变量，而n箱的总重量为Tn=X1+X2+…+Xn，是独立同分布的随机变量之和。由E(Xi)=50、D(Xi)=52得：E(Tn)=50n，D(Tn)=52n 根据独立同分布的中心极限定理：即最多可以装98箱。例3[2]，报名听 心理学课程的学生人数K是服从均值为100的泊松分布的随机变量，负责这门课的教授决定，如果报名人数不少于120，就分成两班，否则就一班讲授。问 该教授讲授两个班的概率是多少? 分析：该教授讲授两个班的情况出现当且仅当报名人数x不少于120，精确解为P（x≥120）=e-100100i/i！很难求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值为100的泊松分布随机变量等于 100个均值为1的独立泊松分布随机变量之和，即X=Xi，其中每个Xi具有参数1的泊松分布，则我们可利用中心极限定理求近似解。解：可知 E(X)=100，D(X)=100 ∴P（X≥120）=1-φ（）=1-φ（2）=0.023 即教授讲授两个班的概率是0.023。例4[1]，火炮向目标不断地射击，若每