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高二圆锥曲线知识点总结与例题

高二圆锥曲线知识点总结与例题
高二圆锥曲线知识点总结与例题

高二圆锥曲线知识点总结与例题分析

一、椭圆 1、椭圆概念

平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a (大于21||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点,则有21||||2MF MF a

+=。 椭圆的标准方程为:22

221x y a b +=(0a b >>)(焦点在x 轴上)

或122

22=+b

x a y (0a b >>)(焦点在y 轴上)。 注:①以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中222b a c =-;

②在22221x y a b +=和22

221y x a b

+=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的

位置,只要看2x 和2y 的分母的大小。

例如椭圆

22

1x y m n

+=(0m >,0n >,m n ≠)当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆;当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。

2、椭圆的性质 ①范围:

由标准方程22

221x y a b

+=知||x a ≤,||y b ≤,说明椭圆位于直线x a =±,y b =±所围

成的矩形里;

②对称性:

椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;

③四个顶点:1(,0)A a - ,2(,0)A a ,1(0,)B b -,2(0,)B b

线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和2b ,a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ;在22Rt OB F ?中,2||OB b =,

2||OF c =,22||B F a =,且2222222||||||OF B F OB =-,即222c a b =-;

④离心率:椭圆的焦距与长轴的比c

e a

=叫椭圆的离心率。

3、点与椭圆的关系

点00(,)P x y 和椭圆122

22=+b

y a x (0a b >>)的关系:

(1)点00(,)P x y 在椭圆外?22

00

221x y a b

+>;

(2)点00(,)P x y 在椭圆上?220

220b

y a x +=1;

(3)点00(,)P x y 在椭圆内?2200

221x y a b

+<

二、双曲线

1、双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线12||||||2PF PF a -=。

注意: ① 式中是差的绝对值,在1202||a F F <<条件下;12||||2PF PF a -=时为双曲

线的一支;21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支(含1F 的一支)

; ②

当122||a F F =时,12||||||2PF PF a -=表示两条射线;

③ 当122||a F F >时,12||||||2PF PF a -=不表示任何图形; ④ 两定点12,F F 叫做双曲线的焦点,12||F F 叫做焦距。

注意:

要分清焦点的位置,由x 2

,y 2

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上

2、双曲线的性质 ①范围:

从标准方程122

22=-b

y a x ,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线a x ±=的

外侧。

②对称性:

坐标轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 ③两个顶点:)0,()0,(2a A a A -

实轴:线段2A A 叫做双曲线的实轴,它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。 虚轴:线段2B B 叫做双曲线的虚轴,它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。 ⑤

渐近线:x a =±,y b =±围成的矩形的两条对角线,称为双曲线的渐近线。

双曲线12222=-b

y a x 渐近线为x a b

y ±=。

⑤等轴双曲线:

1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:a b =; 2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:x y ±= ;(2)渐近线互相垂直(3)离心率为2=

e 。

3)注意到等轴双曲线的特征a b =,则等轴双曲线可以设为:)0(2

2≠=-λλy x ,

当0>λ时交点在x 轴,当0<λ时焦点在y 轴上。

三、抛物线

(1)抛物线的概念

平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线。

方程()022>=p px

y 叫做抛物线的标准方程。

注意:它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上,焦点坐标是F (2

p

,0),它的准线方程是2

p

x -

= ;

(2)抛物线的性质

一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:px y 22

-=,py x 22

=,py x 22

-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:

说明:

(1)焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

(2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;

(3)注意强调p 的几何意义:是焦点到准线的距离。

四、直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:0?>?直线与椭圆相交;

0?>?直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0?>,当直线与双曲线

的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0?>是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;

0?>?直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0?>,当直线与抛物线的

对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。

(2)相切:0?=?直线与椭圆相切;

0?=?直线与双曲线相切; 0?=?直线与抛物线相切;

(3)相离:0?

0?

特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。

五、弦长公式

直线与圆锥曲线相交所得的弦长

直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,

则它的弦长

12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ,运用韦达定理来进行计算.

当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题:

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆122

22=+b y a x 中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=-0202y a x b ;

在双曲线22

221x y a b -=中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

202y a x b ;

在抛物线2

2(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=

p

y 。 高二圆锥曲线例题分析

例1、12F F 、是椭圆2

214

x y +=的左、右焦点,点P 在椭圆上运动,则12||||PF PF ?的最大值是 .

解:. 12||||PF PF ?≤2

212||||(

)42

PF PF a +==

例2、 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为

AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.

解:由题意,设椭圆方程为12

22=+y a x ,由?????=+=-+1

12

22y a x y x ,得()021222=-+x a x a ,

∴222112a

a x x x M +=+=,211

1a x y M M +=-=,

4

1

12===

a x y k M M OM ,∴42=a , ∴14

22

=+y x 为所求. 例3 设双曲线2

2

12

y x -=上两点A 、B ,AB 中点M (1,2),求直线AB 方程; 解:方法一:

显然AB 斜率存在设AB :y -2=k (x -1) 由22

212

y kx k y x =+-???-

=??得:(2-k 2)x 2-2k (2-k )x -k 2+4k -6=0 当△>0时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) 则122

(2)

22x x k k k +-==- ∴ k =1,满足△>0 ∴ 直线AB :y =x +1

法二:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)则2

21122221212

y x y x ?-=????-=??两式相减得:(x 1-x 2)(x 1+x 2)=21(y 1-y 2)(y 1+y 2)

∵ x 1≠x 2∴ 12121212

2()y y x x x x y y -+=

-+∴ 2112AB k ?== ∴ AB :y =x +1代入22

12y x -=得:△>0 评注:法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处理。

在利用点差法时,必须检验条件△>0是否成立。

例4. 椭圆中心是坐标原点O ,焦点在x 轴上,e =

2

3

,过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于P 、Q 两点,|P Q |=

9

20

,且OP ⊥O Q ,求此椭圆的方程. 解:设椭圆方程为22a x +22

b

y =1,(a >b >0)

⑴P Q ⊥x 轴时,F(-c ,0),|FP|=a b 2,又|F Q |=|FP|且OP ⊥O Q ,∴|OF|=|FP|,即c =a

b 2

∴ac =a 2-c 2,

∴e 2+e -1=0,∴e =

215-与题设e =2

3不符,所以P Q 不垂直x 轴. ⑵P Q ∶y =k (x +c ),P(x 1,y 1),Q (x 2,y 2),∵e =

2

3

,∴a 2=34c 2,b 2=31c 2,

所以椭圆方程可化为:3x 2+12y 2-4c 2=0,将P Q 方程代入,

得(3+12k 2

)x 2

+24k 2

cx +12k 2c 2

-4c 2

=0,∴x 1+x 2=2

212324k

c k +-,x 1x 2=22

22123412k c c k +- 由|P Q |=920得2

1k +·2

222222123)412(4)12324(k c c k k c k +--

+=920① ∵OP ⊥O Q,∴

1

1

x y ·22x y = -1即x 1x 2+y 1y 2=0,∴(1+k 2)x 1x 2+k 2c (x 1+x 2)+c 2k 2=0② 把21x x +,21x x 代入,解②得k 2

=

114,把11

42

=k 代入①解得c 2=3 ∴a 2

=4,b 2

=1,则所求椭圆方程为4

2x +y 2

=1.

例5. 双曲线3x 2-y 2=1上是否存在关于直线y=2x 对称的两点A 、B?若存在,试求出A 、B 两点的坐标;若不存在,说明理由. 解:设AB :y=-

2

1

x+m,代入双曲线方程得11x 2+4mx -4(m 2+1)=0, 这里△=(4m )2-4×11[-4(m 2+1)]=16(2m 2+11)>0恒成立,

设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点为M (x 0,y 0),则x 1+x 2=-

11m

4,∴x 0=-11

2m ,y 0=-21x 0+m=1112m ,

若A 、B 关于直线y =2x 对称,则M 必在直线y=2x 上,

∴1112m =-11

4m

得m=1,由双曲线的对称性知,直线y=-21x 与双曲线的交点的A 、B 必关

于直线y=2x 对称. ∴存在A 、B 且求得A (

11

2,-

11

1),B (-

11

2,

11

1)

例6、求椭圆13

22

=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值. 解:方法一: 方法二: 设椭圆上的点为

(

)

θθsin cos 3,,

则距离为2

63sin 226sin cos 3+???

??-=

+-=θπθθd . 当13sin -=??

?

??

-θπ时,22=最小值d .

例7、设x ,R ∈y ,x y x 63222=+,求x y x 222++的最大值和最小值.

分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致.

设m x y x =++222,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.

例8、已知椭圆15

92

2=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.

求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标;

由22AF PF PA +≤,∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA , 等号仅当22AF PF PA +=时成立,此时P 、A 、2F 共线.建立A 、2F 的直线方程

02=-+y x ,

解方程组???=+=-+4595,

022

2y x y x 得两交点 )214

15

75,2141579(1

+-P 、)214

1575,2141579(2-+P . 综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+

例9、设椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y -1=0相交于A 、B 两点,点C 是AB 的中点,若|AB |=22,OC 的斜率为

2

2

,求椭圆的方程. 解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),那么A 、B 的坐标是方程组?

???

?

ax 2+by 2=1,x +y -1=0的解.

由ax 21+by 21=1,ax 22+by 2

2=1,两式相减,得

a (x 1+x 2)(x 1-x 2)+

b (y 1+y 2)(y 1-y 2)=0, 因为y 1-y 2x 1-x 2

=-1,

所以y 1+y 2x 1+x 2=a b ,

2y C 2x C =a b ,y C x C =a b =2

2

,所以b =2a .① 再由方程组消去y 得(a +b )x 2-2bx +b -1=0, 由|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=2(x 1-x 2)2 =2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=22,

得(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4,即(2b a +b )2

-4·b -1a +b =4.②

由①②解得a =13,b =2

3

故所求的椭圆的方程为x 23+2y 2

3

=1.

例10、给定抛物线C :y 2=4x ,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,

记O 为坐标原点.

(1)求OA ·OB

的值; (2)设AF =λFB

,当△OAB 的面积S ∈[2, 5 ]时,求λ的取值范围.

解:(1)根据抛物线的方程可得焦点F (1,0), 设直线l 的方程为x =my +1,

将其与C 的方程联立,消去x 可得y 2-4my -4=0. 设A ,B 点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)(y 1>0>y 2), 则y 1y 2=-4.

因为y 21=4x 1,y 2

2=4x 2,

所以x 1x 2=116y 21y 22

=1,

故OA ·OB

=x 1x 2+y 1y 2=-3. (2)因为AF =λFB

所以(1-x 1,-y 1)=λ(x 2-1,y 2),

即?

????

1-x 1=λx 2-λ, ①-y 1=λy 2, ② 又y 21=4x 1, ③ y 22=4x 2, ④

由②③④消去y 1,y 2后,得到x 1=λ2x 2,将其代入①,注意到λ>0,解得x 2=1

λ.从而可

得y 2=-

2

λ

,y 1=2λ,

故△OAB 的面积S =12|OF |·|y 1-y 2|=λ+1

λ,

因λ+

1λ≥2恒成立,所以只要解λ+1

λ

≤5即可, 解之得3-52≤λ≤3+5

2

.

例11、已知O 为坐标原点,点A 、B 分别在x 轴,y 轴上运动,且|AB |=8,动点P 满足AP

=35

PB

,设点P 的轨迹为曲线C ,定点为M (4,0),直线PM 交曲线C 于另外一点Q . (1)求曲线C 的方程; (2)求△OPQ 面积的最大值. 解:(1)设A (a,0),B (0,b ),P (x ,y ),

则AP =(x -a ,y ),PB

=(-x ,b -y ),

∵AP =35

PB

,∴?

??

x -a =-3

5x ,

y =3

5

(b -y ).∴a =85x ,b =83

y .

又|AB |=a 2

+b 2

=8,∴x 225+y 2

9=1.

∴曲线C 的方程为x 225+y 2

9

=1.

(2)由(1)可知,M (4,0)为椭圆x 225+y 2

9=1的右焦点,

设直线PM 方程为x =my +4, 由?????

x 2

25+y 2

9=1,x =my +4,消去x 得 (9m 2+25)y 2+72my -81=0,

∴|y P -y Q |=(72m )2+4×(9m 2+25)×819m 2+25

=90m 2+19m 2+25

. ∴S △OPQ =1

2|OM ||y P -y Q |=2×90m 2+19m 2+25

=20m 2+1m 2+259=20m 2+1m 2+1+169=20

m 2

+1+

169m 2+1

≤20

8

3

15

2,

当m2+1=

16

9m2+1

即m=±

7

3时,△OPQ的面积取得最大值为

15

2,此时直线方程为3x±7y-12=0.

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式:2121 tan 1k k k k α-= + (3)弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =- = 或12AB y y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程: 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?

22 222b b p a a 椭圆:;双曲线:;抛物线: (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是( ) A 、双曲线; B 、双曲线的一支; C 、两条射线; D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时,S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时,S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?) (6)、记住焦半径公式:(1)00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为 “左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ,1342 22 2=+y x ;两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什 么?如果有两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,

双曲线知识点复习总结

双曲线知识点总结复习 1.双曲线的定义: (1)双曲线:焦点在x 轴上时1-2222=b y a x (222 c a b =+),焦点在y 轴上时2 222-b x a y =1(0a b >>)。双曲线方程也可设为: 22 1(0)x y mn m n -=>这样设的好处是为了计算方便。 (2)等轴双曲线: (注:在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了,他们之间有联系,可以类比。) 例一:已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点,且过(3,4)P 点,求双曲线C 的轨迹方程。(要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。) 思考:定义中若(1)20a =;(2)122a F F =,各表示什么曲线? 2.双曲线的几何性质: (1)双曲线(以)(0,01-22 22>>=b a b y a x 为例):①范围:x a x a ≥≤-且;②焦点: 两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点 (,0),(0,)a b ±±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ;④准线:两条准线2 a x c =±;⑤离心 率:c e a =,双曲线?1e >,e 越大,双曲线开口越大;e 越小,双曲线开口越小。⑥通 径22b a (2)渐近线:双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为: 等轴双曲线的渐近线方程为:,离心率为: (注:利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图) 例二:方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线,则k 的取值范围是___________________ 例三:双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点,它的一条渐近线为x y -=,则双曲线的方程为__________________ 例四:双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ,则b 的取值范围是___________________

圆锥曲线知识点整理

高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 (1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:? ?????>=0e ,e d |PF ||P ,其中 F 为定点,d 为P 到定直线的距离,如图。 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具有规律性。 当01时,点P 轨迹是双曲线;当e=1时,点P 轨迹是抛物线。 (2)椭圆及双曲线几何定义:椭圆:{P||PF 1|+|PF 2|=2a ,2a>|F 1F 2|>0,F 1、F 2为定点},双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ,|F 1F 2|>2a>0,F 1,F 2为定点}。 (3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的,固有的性质,不因为位置的改变而改变。 定性:焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中:中心为两焦点中点,两准线关于中心对称;椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称,关于中心成中心对称。 (4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变) 举焦点在x 轴上的方程如下: 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 1b y a x 2 22 2=+ (a>b>0) 1b y a x 2 22 2=- (a>0,b>0) y 2=2px (p>0) 顶 点 (±a ,0) (0,±b ) (±a ,0) (0,0) 焦 点 (±c ,0) ( 2 p ,0) 准 线 X=±c a 2 x=2 p - 中 心 (0,0) 焦半径 P(x 0,y 0)为圆锥曲线上一点,F 1、F 2分别为左、右焦点 |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=a-ex 0 P 在右支时: |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=-a+ex 0 P 在左支时: |PF 1|=-a-ex 0 |PF 2|=a-ex 0 |PF|=x 0+ 2 p

最新圆锥曲线题型总结

圆锥曲线题型总结

直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识: 1、中点坐标公式:1212,y 22 x x y y x ++= =,其中,x y 是点 1122(,)(,)A x y B x y ,的中点坐标。 2、弦长公式:若点 1122(,)(,)A x y B x y ,在直线(0)y kx b k =+≠上, 则 1122y kx b y kx b =+=+,,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一, AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直:则121k k =- 两条直线垂直,则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理:若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ,则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型: 题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点,求m 的取值范围 解:根据直线:1l y kx =+的方程可知,直线恒过定点(0,1),椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ≠(,且,如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠,且,即14m m ≤≠且。 规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的特点: :101l y kx =+?过定点(,) :(1)1l y k x =+?-过定点(,0) :2(1)1l y k x -=+?-过定点(,2)

高考圆锥曲线典型例题(必考)

椭 圆 典例精析 题型一 求椭圆的标准方程 【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为45 3 和 25 3 ,过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25+3y 2 10=1或3x 210+y 2 5 =1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时,常用待定系数法,但是当焦点所在坐标轴不确定时,需要考虑两种情形,有时也可设椭圆的统一方程形式:mx 2+ny 2=1(m >0,n >0且m ≠n );(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时,经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上,抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1,C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标(x ,y ).由于记录失误,使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上,也不在抛物线C 2上.小明的记录如下: 据此,可推断椭圆C 1的方程为 . x 212+y 2 6 =1.

题型二 椭圆的几何性质的运用 【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F 1PF 2=60°. (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)e 的取值范围是[12,1).(2)2 1 F PF S =12mn sin 60°=3 3 b 2, 【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形,求解有关问题时,要注意正、余弦定理,面积公式的使用;求范围时,要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用,如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2 ,|PF 1|≥a -c . 【变式训练2】 已知P 是椭圆x 225+y 2 9=1上的一点,Q ,R 分别是圆(x +4)2 +y 2 =1 4 和圆 (x -4)2+y 2=1 4上的点,则|PQ |+|PR |的最小值是 .【解析】最小值 为9. 题型三 有关椭圆的综合问题 【例3】(2010全国新课标)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的 左、右焦点,过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率;

双曲线知识点归纳总结

双曲线知识点归纳总结标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

第二章 2.3 双曲线

① 当|MF 1|-|MF 2|=2a 时,则表示点M 在双曲线右支上; 当a MF MF 212=-时,则表示点M 在双曲线左支上; ② 注意定义中的“(小于12F F )”这一限制条件,其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时,即2121F F MF MF =-,当2 12 1F F MF MF =-,动点轨迹是以2F 为端点向 右延伸的一条射线;当2112F F MF MF =-时,动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线; 若2a >2c 时,动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是: 如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上; 如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上. 对于双曲线,a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2 AB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01 B A ,双曲线的焦点在y 轴上; 当01 ,01 B A ,双曲线的焦点在x 轴上; 5.求双曲线的标准方程, 应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.

(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案

一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄,则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 (C ) I (D ) 2. 设F 为抛物线 c : y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= ( k>0)与C 交于点P , PF 丄x 轴,则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C : T a 2 y_ 1(a 0,b 0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为 '、3,贝U C 的 焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C : 0)的左右焦点为 F i ,F 2,离心率为 丄3,过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3,则 C 的方程为() 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0)的一条渐近线平行于直线 I : y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为( 也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧, c 3x 2 1 C.— 25 占 八、、 的焦点, uu uuu OA OB A 、2 (其中O 为坐标原点),则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是( ) x 1 (D)

(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点(限考)概要: 1、椭圆: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,两定点间距离是焦距,且定长2a大于焦距2c。用集合表示为: ; ②定义二:在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数是离心 率用集合表示为: ; (2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。 (3)参数方程:(θ为参数); 3、双曲线: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线,两定点是焦点,两定点间距离是焦距。用集合表示为: ②定义二:到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数e是离心率。 用集合表示为:

(2)标准方程和性质: 注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

4、抛物线: (1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,定点是焦点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 : (2)标准方程和性质: ①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反;②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像;

二、复习点睛: 1、平面解析几何的知识结构: 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线,一个三角形”,即六点:四个顶点,两个焦点;六线:两条准线,长轴短轴,焦点线和垂线PQ;三角形:焦点三角形。则椭圆的各性质(除切线外)均可在这个图中找到。

高考圆锥曲线解题技巧总结

第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学,用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题,如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等,在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分:基础知识 1.概念 特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F 1,F 2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,a b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中,a 最大,222 a b c =+,在双曲线中,c 最大,222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例):①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0), 四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2 a x c =±; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<,e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。 (2)双曲线(以22221x y a b -=(0,0a b >>)为例):①范围:x a ≤-或,x a y R ≥∈;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时, 称为等轴双曲线,其方程可设为22,0x y k k -=≠;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离 心率:c e a =,双曲线?1e >,等轴双曲线?e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大;⑥两条渐近线:b y x a =±。 (3)抛物线(以22(0)y px p =>为例):①范围:0,x y R ≥∈;②焦点:一个焦 点(,0)2 p ,其中p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线2p x =-; ⑤离心率:c e a =,抛物线?1e =。

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用)

圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。

双曲线知识点归纳总结

第二章 2.3 双曲线

① 当|MF 1|-|MF 2|=2a 时,则表示点M 在双曲线右支上; 当a MF MF 212=-时,则表示点M 在双曲线左支上; ② 注意定义中的“(小于12F F )”这一限制条件,其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时,即2 12 1F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-,动点轨迹是以2F 为端点向

右延伸的一条射线;当2 112 F F MF MF =-时,动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一 条射线; 若2a >2c 时,动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是: 如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上; 如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上. 对于双曲线,a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2πAB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01φπB A ,双曲线的焦点在y 轴上; 当01 ,01πφB A ,双曲线的焦点在x 轴上; 5.求双曲线的标准方程, 应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解. 6. 离心率与渐近线之间的关系 22 2 22222 1a b a b a a c e +=+== 1)2 1?? ? ??+=a b e 2) 12-=e a b 7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程:22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22 22b y a x (0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上). (4)与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22 22b y a x 0(≠λ

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线 一、椭圆 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆. 即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<

二、双曲线 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于 12F F )的点的轨迹称为双曲线.即:|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210,0x y a b a b -=>> ()22 2 210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥,y R ∈ y a ≤-或y a ≥,x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称,关于原点中心对称 离心率 ()2 211c b e e a a ==+>,e 越大,双曲线的开口越阔 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 三、抛物线

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于( C ) (A (B )2 (C (D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直 线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是( ) A B .2 C .13 D .12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A .直线l 上的所有点都是“点” B .直线l 上仅有有限个点是“点” C .直线l 上的所有点都不是“ 点” D .直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有!)

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例):①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两 个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<, e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。 (2)双曲线(以22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)为例):①范围:x a ≤-或,x a y R ≥∈;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,双曲线?1e >,等轴双曲线 ?e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大;⑥两条渐近线:b y x a =±。 (3)抛物线(以2 2(0)y px p =>为例):①范围:0,x y R ≥∈;②焦点:一个焦点(,0)2 p ,其中p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);

圆锥曲线知识点总结(供参考)

圆锥曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a (大于21||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点,则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为:22221x y a b +=(0a b >>)(焦点在x 轴上)或122 22=+b x a y (0a b >>)(焦点在y 轴 上)。 注:①以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中2 2 2 b a c =-; ②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的位置,只要看2 x 和2y 的分 母的大小。例如椭圆 22 1x y m n +=(0m >,0n >,m n ≠)当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆;当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤,||y b ≤,说明椭圆位于直线x a =±,y b =±所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以y -代替y 方程不变,所以若点(,)x y 在曲线上时,点(,)x y -也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称,同理,以x -代替x 方程不变,则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ,y -代替y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令 0x =,得y b =±,则1(0,)B b -,2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±,即1(,0)A a -, 2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和2b ,a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

圆锥曲线基本题型总结

圆锥曲线基本题型总结:提纲: 一、定义的应用: 1、定义法求标准方程: 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题: 3、焦点三角形问题: 二、圆锥曲线的标准方程: 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程(已经性质求方程) 3、各种圆锥曲线系的应用: 三、圆锥曲线的性质: 1、已知方程求性质: 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题: 四、直线与圆锥曲线的关系: 1、位置关系的判定: 2、弦长公式的应用: 3、弦的中点问题:

4、韦达定理的应用: 一、定义的应用: 1. 定义法求标准方程: (1)由题目条件判断是什么形状,再由该形状的特征求方程:(注意细节的处 理) 1.设F1, F2 为定点,|F1F2| =6,动点M满足|MF1| + |MF2| = 6,则动点M的轨 迹是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注:2a>|F1 F2| 是椭圆,2a=|F1 F2|是线段】 2. 设 B - 4,0) , C4,0),且厶ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为) x2 y2 y2 x2 A.25+ -9 = i y z0) B.25^9 = 1 徉0) x2 y2 y2 x2 C.^+16= 1 y z 0) D£+_9 = 1 y z 0) 【注:检验去点】 3. 已知A0, - 5)、B0,5) ,|PA| - |PB| = 2a,当a= 3 或 5 时,P点的轨迹为) A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线 C. 双曲线一支或一条直线

D. 双曲线一支或一条射线【注:2av|F1 F2|是双曲线,2a=|F1 F2|是射线,注意一支与两支的判断】

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题型 一.选择题(共10小题) 1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离 心率的范围是() A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是() A.B.C. D. 3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为() A.B. C.D. 4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D. 5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此 双曲线的离心率的取值范围是() A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞) 6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()

A.B.C.D.2 7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x 8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心 率的取值范围是() A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2) 9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是() A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为() A.B.C.D. 二.填空题(共2小题) 11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是. 12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为. 三.解答题(共4小题)

经典双曲线知识点

双曲线:了解双曲线的定义、几何图形和标准方程;了解双曲线的简单几何性质。 重点:双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及简单的几何性质. 难点:双曲线的标准方程,双曲线的渐进线. 知识点一:双曲线的定义在平面内,到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数(大于0且)的动点 的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意:1. 双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件:,这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解; 2. 若去掉定义中的“绝对值”,常数满足约束条件:(),则动点轨迹仅表示双曲线中 靠焦点的一支;若(),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支; 3. 若常数满足约束条件:,则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点); 4.若常数满足约束条件:,则动点轨迹不存在; 5.若常数,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二:双曲线的标准方程 1.当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,其中; 2.当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,其中. 注意: 1.只有当双曲线的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程; 2.在双曲线的两种标准方程中,都有; 3.双曲线的焦点总在实轴上,即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时,焦点在轴上,双曲线的焦点 坐标为,;当的系数为正时,焦点在轴上,双曲线的焦点坐标为,. 知识点三:双曲线的简单几何性质 双曲线(a>0,b>0)的简单几何性质 (1)对称性:对于双曲线标准方程(a>0,b>0),把x换成―x,或把y换成―y,或把x、y同时换成―x、― y,方程都不变,所以双曲线(a>0,b>0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为双曲线的中心。 (2)范围:双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧,是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a。(3)顶点:①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线(a>0,b>0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点,坐标分别为A1(―a,0),A2(a,0),顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴;设B1(0,―b),B2(0,b)为y轴上的两个点,则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长。 注意:①双曲线只有两个顶点,而椭圆有四个顶点,不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。

(完整版)高三圆锥曲线知识点总结

第八章 《圆锥曲线》专题复习 一、椭圆方程. 1. 椭圆的第一定义: 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ 2.椭圆的方程形式: ①椭圆的标准方程: i. 中心在原点,焦点在x 轴上: ) 0(12 22 2φφb a b y a x =+ . ii. 中心在原点,焦点在y 轴上: )0(12 22 2φφb a b x a y =+ . ②一般方程:)0,0(12 2 φφB A By Ax =+.③椭圆的参数方程: 2 22 2+ b y a x ?? ?==θ θsin cos b y a x (一象限θ应是属于20π θππ). 注意:椭圆参数方程的推导:得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3.椭圆的性质: ①顶点:),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴:对称轴:x 轴,y 轴;长轴长a 2,短轴长b 2.③焦点:)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距:2 2 21,2b a c c F F -==.⑤准线:c a x 2 ±=或 c a y 2±=.⑥离心率:)10(ππe a c e =.⑦焦半径: i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a b y a x =+ 上的一点,21,F F 为左、右焦点,则: 证明:由椭圆第二定义可知:)0()(),0()(0002 200201φπx a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起 来为“左加右减”. ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a a y b x =+ 上的一点,21,F F 为上、下焦点,则: ⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径: 2 22b d a =;坐标:22(,),(,)b b c c a a - 4.共离心率的椭圆系的方程:椭圆)0(12 22 2φφb a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ,方程 t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数,)0φφb a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5.若P 是椭圆: 12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ?的面积为 2 tan 2θ b (用余弦定理与a PF PF 221=+可得). 若是双曲线,则面积为2 cot 2θ ?b . 1020 ,PF a ex PF a ex =+=-1020 ,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α)

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