第五章初中数学的逻辑基础
本章内容涉及初中数学的逻辑学基础，这些内容对多数人来说虽不是陌生的，但是，也不是系统学习过的，尤其是，数理逻辑初步是多数人陌生的。因而，相对系统地学习本章内容就变得十分重要。不仅如此，还需要结合初中数学中的概念、命题、推理、证明等具体内容加以学习、体会。
数学推理是数学的重要工具和思维形式，分析初中数学课程内容的学科内涵，需要依据初中数学逻辑基础。因此，理解与掌握本章的内容就显得十分重要。通过学习 ,领会概念、命题、推理、证明的基本概念和有关理论，领会逻辑思维的基本规律。识记概念的含义、内涵与外延、概念间的关系、概念的定义、概念的划分及概念的功能；识记数学判断、命题、简单命题、公理和定理的含义；识记复合命题的真值，领会数学命题的四种形式；识记逻辑思维的基本规律；初步识记数学推理的意义和结构；领会演绎推理、归纳推理、类比推理的意义和方法；初步识记证明的意义、结构和规则；领会数学证明的常用方法，能够应用逻辑学知识分析初中数学内容的逻辑问题。
逻辑学是由亚里士多德创立，是一门研究思维、思维的规定和规律的科学。自欧几里得将逻辑学引入数学以来，逻辑学是数学科学的重要基础。本章包含初中数学概念、数学命题、数理逻辑初步的基本介绍，旨在明晰数学概念的定义类型、定义方法、类型；数学命题的教育功能、类型；公理与定理的教学；证明的教学，在此理论基础上，促进教学质量的提高与教师数学专业理论的提升。
第一节理解数学概念
( 一 )如何理解数学概念？
客观事物都有各自的许多性质，或者称为属性。人们在实践活动中，逐渐认识了所接触对象的各种属性。在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，称为这种事物的本质属性。反映事物本质属性的思维形式叫做概念。数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系。反映数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念。
例如，一组对边平行“是平行四边形的属性，但不是本质属性；“对角线相等”是正方形的属性，但不是本质属性。
( 二 ) 数学概念的特点都有什么？
数学概念具有抽象化、形式化等鲜明的特点。
1. 抽象化
数学概念反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性。有些可以直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来，而大多数概念排除对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性，甚至在已有数学概念的基础上，经过多级的抽象过程才产生和发展而成。这种抽象可以脱离具体的实物模型，形成一种具有层次性的体系。
2. 形式化
使用特定的数学符号来表示数学概念，使概念形式化。特定的数学符号既反映数学概念的本质属性，又使数学概念表现形式简化、准确，而且使数学概念可以在符号体系这种纯形式化中得以抽象和发展。
3. 逻辑化
在一个特定的数学体系中，孤立的数学概念是不存在的，它们之间往往存在着某种关系，如相容关系、不相容关系等，这些关系称之为数学概念的逻辑关系。这种逻辑关系使得数学概念系统化、公理化。
4. 简明化
数学概念具有高度的抽象性，再借助数学符号语言，使得一定事物的本质可以用某种简明的形式表现出来，这种简明化使人们在较短时间内领会数学概念成为可能。如“ lim”、“y=f(x)”是极限概念和函数概念的简明形式。
( 三 )概念的外延与内涵应该如何理解？
概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物。
一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延。例如，“平行四边形”这一概念的外延是“所有平行四边形的集合”，“偶素数”这一概念的外延是“ 2”。
一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵。
概念的内涵是说明一个概念所反映的事物的本质属性。
例如 : 等腰三角形的内涵是 :三角形、两边相等；
平行四边形的内涵是 :四边形、两组对边互相平行；
无理数的内涵是 :无限小数并且这些小数是不循环的，即无限不循环小数。
概念的外延是指适合这个概念的一切对象，即符合这一概念所有对象的集合。换言之，是指这个概念的延用范围。
例如 :所有各种形状的三角形如直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、等腰三角形、等边三角形等等都包含在三角形这一概念的外延之内；
各种平行四边形如矩形、正方形、菱形、以及其它平行四边形等等都是平行四边形这一概念的外延。
概念的内涵和外延之间相互依存，二者是一对矛盾，共处于统一体的概念之中。它们之间有着相互依存、相互制约的关系。例如，如果在平行四边形这个概念的内涵之中增加一个本质属性——各边相等，那么，平行四边形这个概念的外延仅有菱形，它的外延缩小了。
再如，无理数这个概念的内涵是无限不循环小数。如果去掉“不循环”这个本质属性，只剩下一个本质属性“无限小数”；那么，无理数的外延把能化为分数的循环小数，也被包括在内 .它的外延扩大了。
通过以上例子，可以启示我们 :对于那些具有反变关系的两个概念而言，如果概念的内涵扩大，那么它的外延缩小；如果概念的内涵缩小，那么它的外延扩大。而这里的反变关系，就是指两个概念具有种属关系，例如，四边形与正方形。
( 四 ) 初中数学概念的特点是什么？
1. 初中数学概念并非都是通过定义给出的
许多数学概念都是在相应的公理体系下孕育而生的，其中，一些概念就具有公理性的特征。在初中数学中，考虑到学生认知因素等原因，一般不过分强调公理化思想方法，这就使得一些初中数学概念是不定义概念，如“直线”的概念，它的教学就不必非给出定义不可。此外，象“点”、“线”、“面”、“介于”等概念都不是通过定义给出的。
2. 初中数学概念的层次性
数学概念本身具有层次性。这种层次性使得一些数学概念之间具有较明显的体系特征。如实数系统根据定义比较有关概念的内涵。再由外延出发，一般就能够较容易地得到类似实数体系的有关体系结构。
3.数学概念是理想概念
从理论上讲，数学科学是以数学模型为研究对象的，但数学模型是从大量具体存在中抽象概括成的理想存在。数学概念是一类数学模型，为此具有理想性特征。存在不等于被感知，一些数学概念不存在能被感知的自然界原型，比如直线、平面等。
4.数学概念是“过程”与“对象”的统一体
国际数学教育心理学研究者在 20世纪 80年代提出，数学内容可以区分为过程和对象两个侧面。过程就是具备了可操作性的法则、公式、定理等，对象就是数学中定义的结构关系。数学概念往往既表现为过程操作，又表现为对象、结构，即所谓的概念的二重性。例如，函数 y=f(x)，既表示定义域中元素、 r按照对应法则、 f 与值域中元素 y对应的过程，又表示特定对应的关系结构。
( 五 )如何理解数学概念之间的关系？
1. 同一关系
两个外延完全相同的概念之间的关系，叫做同一关系。同一关系，叙述上常用连接词“即”、“就是”等表示。在一个判断过程中，具有同一关系的两个概念可以互相代替。
例如，等边三角形与正三角形，等腰三角形底边上的高与顶角的平分线、底边的中线都是同一概念，它们在判断中可以互相代替，相互为用。
2. 交叉关系
两个外延部分相同的概念之间的关系，叫做交叉关系 .叙述上常用“有的”、“有些”等表示。
例如，等腰三角形与直角三角形，自然数与正整数等都是交叉关系，一个方程组是否有解就是判别各个方程的解集是否有交叉关系。
3. 从属关系
两个外延具有包含关系的概念之间的关系，叫做从属关系。其中外延范围大的概念 A叫做上位概念或种概念，外延范围小的概念 B叫做下位概念或类概念。
4. 矛盾关系
两个概念的外延互相排斥，但外延之和等于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做矛盾关系。例如，有理数与无理数，直角三角形与非直角三角形。平面上的相交线与平行线等都是矛盾关系。
5. 对立关系
两个概念的外延互相排斥，但外延之和小于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做对立关系。
例如，正数与负数，锐角三角形与直角三角形，空间中的相交线与平行线等都是对立关系。
( 六 )数学概念的定义与要求是什么 ?
定义是建立概念的逻辑方法。人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义。这就是说，定义的功能是为了明确讨论问题的对象。常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对象的本质属性。
常用的定义方法 :
1.“ 种 +类差”定义法
一般地，属概念加种差定义法就是，用被定义概念最邻近的属概念，连同被定义的概念与同一属概念下其它种概念之间的差别（即种差），来进行定义的方法。种差揭示了被定义概念相对于这个属概念来说特有的属性，它连同这个属概念的基本内涵一起，就构成了被定义概念的基本内涵。注意到被定义概念的属概念常常不止一个，显然，选择最邻近的属概念可使种差简单一些。
例如，上述平行四边形定义中，四边形就是它最邻近的种概念；类差是“两组对边分别平行”这个本质属性。由于类差不唯一，因此，这种方法所作出的定义一般也不唯一。例如，平行四边形还可用“两组对边分别相等”、“一组对边平行且相等”、“对角线互相平分”等作类差给出定义，且它们都是彼此等价的。
这种定义方法，使概念间的关系很明了，既准确又明了地揭示了概念的内涵，有助于建立概念之间的联系，使知识系统化，因此，在初中数学概念的定义中应用较多。
2. 发生式定义法
这是不直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法。
这是一种特殊的“种 +类差”定义法，是把只属于被定义的事物，而不属于其他事物的发生形成的特征作类差的定义。因而，发生式定义法是属概念加种差定义法的一个变异，这里的属概念不一定是被定义概念最邻近的属概念，种差也不是揭示被定义概念相对于属概念来说特有的属性，而是给出被定义概念所反映对象发生的过程。
例如，平面 (空间 )上与定点等距离的点的轨迹叫做圆 (球 )。此外，中学数学中对圆柱、圆锥、圆台、微分、积分、坐标系等概念也都是采用的发生式定义法。
3. 外延定义法
这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法。例如，整数和分数统称为有理数；正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等，都是这种定义法。
4. 约定式定义法
这是一种特殊的逆式定义法。由于某种特殊的需要，通过约定的方法来定义的。例如， a0=1(a≠0)， 0！ =1，
=l，形如 a+bi的数叫做复数等等，都是约定式定义法。在数学教学中，应明确这种定义法的必要性与合理性。
5 ．关系定义法
这是以事物间的关系作为种差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其他事物所不具有的特有属性。
例如，偶数的定义：能被２整除的整数叫做偶数。这是一个关于偶数的关系定义，它的种差是偶数与２的一种关系。
此外，中学数学中还有描述性定义法 (如现行中学数学中关于等式、极限的定义 )、递推式定义法 (如 n阶行列式、n阶导数、 n重积分的定义 )，借助另一对象来进行定义 (如借助指数概念定义对数概念 )等等。
定义数学概念的基本要求
为了正确地给概念下定义，定义要符合下列基本要求：
1. 定义应当相称。即定义概念的外延与被定义概念的外延必须是相同的，既不能扩大也不能缩小。即应当恰如其分，既不宽也不窄。例如，无限不循环小数，叫做无理数。而以无限小数来定义无理数 (过宽 )，或以不尽方根的数来定义无理数 (过窄 )，显然，都是错误的。
2. 定义不能循环。即在同一个科学系统中，不能以 A概念来定义 B概念，而同时又以 B概念来定义 A概念。例如，90°的角叫做直角，直角的九十分之一，叫做 l度，这就发生循环了。
3. 定义应清楚、简明。定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的。所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出。凡是可由列举的其它属性推出的，对于定义来说都是多余的条件，应删去。
定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点。例如，不能把“不是有理数的数叫做无理数”当作无理数的定义，因为这既没有揭示出无理数的基本内涵，也没有确定无理数的外延。当然也有例外的情形，如平行线的定义。不过，这个定义表面上看，是否定形式，但它揭示出了平行线“在同一平面内，没有公共点”的本质属性。
例如，笔直笔直的线，叫做直线 (不清楚 )；两组对边互相平行的平面平行四边形 (不简明 )；不是有理数的数，叫做无理数 (否定形式 )；对初中生来说，在复数以 a+bi中，虚部 b=0的数，叫做实数 (应用未知概念 )等，这些都是不妥的。
( 七 )如何理解数学概念的形成？
数学概念形成是从大量的实际例子出发，经过比较、分类，从中找出一类事物的本质属性，然后通过具体的例子对所发现的属性进行检验与修正，最后通过概括得到定义并用符号表达出来。
数学概念形成的过程有以下几个阶段：
1. 观察实例。观察概念的各种不同的正面实例，可以是日常生活中的经验或事物，也可以是教师提供的典型事物。例如，要形成平行线的概念，可以观察黑板相对的两条边，立在路边的两根电线杆，横格练习本中的两条横线等。
2. 分析共同属性。分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。
3. 抽象本质属性。从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。
例如，提出平行线的本质属性的假设是：在同一个平面内，两条直线间的距离处处相等，两条直线不相交。
4. 确认本质属性。通过比较正例和反例检验假设。确认本质属性。例如，举出平行直线、相交直线和异面直线的例子确认平行线的本质属性。
5. 概括定义。在验证假设的基础上，从具体实例中抽象出本质属性推广到一切同类事物，概括出概念的定义。例如，可以概括出“在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。
6. 符号表示。用习惯的形式符号表示概念。例如，平行线用符号“∥”表示。
7. 具体运用。通过举出概念的实例。在一类事物中辨认出概念。或运用概念解答数学问题，使新概念与已有认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性联系。把所学的概念纳入到相应的概念体系中。
第二节数学命题
( 八 )如何理解判断？
判断是人们对事物情况有所肯定或否定的比概念高一级的思维形式。判断是属于主观对客观的认识，因此，判断有真有假，其真假要由实践来检验，在数学中要进行证明。
其中，如实反映事物情况的判断，叫真判断；不符合事物情况的判断，叫假判断。例如，“正数大于零”是真判断，“两个无理数之和是无理数”是假判断。
1. 简单判断
在一个判断中，如果不包含其他的判断，叫做简单判断。简单判断又分为性质判断和关系判断。简单性质判断的结构可分为四种形式。
表 6.2-1 简单性质判断的结构形式
2. 复合判断
复合判断是由两个或两个以上的简单判断用连接词构成的判断。它有四种基本形式。
1.负判断。负判断是用连接词“非”构成的判断，一般记为┑ P ，读作“非P”，当 P真时， P假；当 P 假时， P真。例如，设 P表示“所有质数都是奇数”(假 )，则┑ P 表示“并非所有的质数都是奇数”，即“有些质数不是奇数”(真 )。
2.选言判断。选言判断是由两个或两个以上判断用连接词“或者”构成的判断，一般记成 A V B，读作“A或B”。例如，一个大于 1的自然数是质数或是合数；一个三角形为直角三角形，或为锐角三角形，或为钝角三角形等。
3.联言判断。联言判断是用连接词“且”构成的判断，表明几个事物情况都存在，一般记成A∧B，读作“A 且B”。例如， 6可被 2整除，且可被 3整除；正方形的四条边相等，且四个角也相等。
4.假言判断。假言判断又叫蕴含判断，它是判断 P为另一判断 Q存在条件的判断， P、 Q分别叫做该假言判断的前件和后件 (或题设和题断，条件和结论 )，一般用“若……，则……”，或“如果……，那么……”的形式表示，记成P→Q。例如，若两三角形相似，则对应边成比例。
(九) 如何理解命题的涵义？
关于数学对象及其属性的判断叫做数学判断。判断要借助于语句，表示判断的语句叫命题。在数学中，用来表示数学判断的陈述句或符号的组合叫做数学命题。数学中的定义、公理、定理、法则、性质等都是命题。命题既可用语言叙述，也可用符号进行表示。常用的连接词有“非”、“或”、“且”、“蕴含”、“等值”等等。它有真命题与假命题之分，结构上可分为简单命题与复合命题两种类型。
( 十 )如何理解命题的分类？
所谓性质命题，是指断定某事物具有（或不具有）某种性质的命题。例如
（１）一切矩形矩形都是平等四边形。
（２）自然数都是无理数。
（３）有些奇数是素数。
（４）有些一元二次方程没有实数根。
性质命题由主项、谓项、量项和联项四部分组成。
2. 关系命题
关系命题是断定事物与事物之间关系的命题 .例如，
(1) 一切正数都大于零 .
(2) 直线 a平行于直线 b.
关系命题由主项、谓项和量项三部分组成 .
主项又称关系项 ,是指存在某种关系的对象 .
谓项又称关系 ,是指各个对象之间的某种关系 .
量项表示主项的数量 .同性质命题一样 ,关系命题的量项也有单称、全称与特称三种 .
3. 复合命题
为便于说明，在此，我们首先介绍命题真值的概念。
对于命题 A、 B，如果 A是一个真命题，我们就说 A的真值等于 1，记成 A=1；如果 B是一个假命题，我们就说 B 的真值等于 0，记成 B=0。一个命题或真或假，而不能既真又假。因此，一个命题的真值只能是 1或 0，不能既为 1，又为 0，或非 l又非 0。
( 十一 )复合命题的分类是怎么样的？
复合命题由于所采用的连接词不同，可分为下列五种形式。
否定式。给定一个命题 A，用连接词“非”组成一个复合命题“非A”，记作，其真值可用下面的真值表来定义：
叫做命题 A的否定式。这里表明，若命题 A为真，则 A为假；若命题为假，则 A为真。
析取式。给定两个命题 A与 B，用连接词“或”组成一个复合命题“A或B”，记作A∨B，其真值可用下面的真值表来定义：
A∨B 叫做命题 A、 B的析取式。这里表明，若 A、 B中至少一个为真，则A∨B为真；只有 A、 B都假，才有A∨B 为假。
合取式。给定两个命题 A与 B，用连接词“且”组成一个复合命题“A且B”，记作A∧B，其真值可用下面的真值表来定义：
A ∧ B叫做命题 A、 B的合取式。这里表明，若 A、 B都真，则A∧ B为真，若 A、 B中至少有一个为假，则A∧
B 为假。
蕴含式。给定两个命题 A与 B，用连接词“若……，则……”组成一个复合命题“若 A则B”，记作 A ?B ，其真值可用下面的真值表来定义：
A→B 叫做命题 A、 B的蕴含式。这里表明，除去 A真 B假，则命题A→B为假外，其余情况A→B都真。
等值式。给定两个命题 A与 B，用连接词“等值”组成一个复合命题“A等值B”，记作“A ? B”，其真值可用下面的真值表来定义：
A ?
B 叫做命题 A、 B的等值式。这里表明，若 A、 B同真或同假时，则 A ? B 为真，其余皆假。
( 十二 )如何理解命题的四种基本形式及其关系？
原命题；若 A则 B，即A→B；
逆命题：若 B则 A，即B→A；
否命题：若则，即→ ；
逆否命题：若则，即→ 。
它们之间的关系可用图解表示如图
(十三) 公理与定理
在数学中，对于命题的真实性，一般都需要加以证明，即要从一些已知为真的命题按逻辑规律推出。而这些为真的命题，其真实性又是通过另一些真命题证出的。如此追溯上去，必定要有一些命题，它们的真实性不能再用别的命题来证明，而它们却是证明其他真命题的依据。这些不加证明而被承认其真实性的命题叫做“公理”。恩格斯称“数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。”原始概念和公理是组成数学理论的主要基础。公理虽然不能加以证明，但有其合理性，它是从大量客观事物与现象中抽象出来的，符合客观规律。
按照现代数学的观点，在数学科学中，各专门分支研究各种特殊的结构，每一种结构由相应的公理体系确定。任何公理体系都必须满足相容性、完备性和独立性。相容性是指该体系的各公理之间没有矛盾。完备性是指该分支的形成除了相应的公理体系外，不依赖于任何别的东西。独立性是指该体系中各公理是相互独立的，没有一个可以由其他公理推出。独立性对整个公理体系而言，具有锦上添花的作用。
在数学发展史上，起重要作用的有两种思想，一种是源于西方的公理化思想，它偏重于论证；一种是源于我国的程序化思想，偏重于计算。而现在的初中数学，则受到了公理化思想与程序化思想的深刻影响。根据初中数学教学的严谨性与量力性相结合的原则，不能要求各分支都从给定的公理体系出发。即使对于从公理体系出发的初中平面几何，其公理体系也只满足相容性 (这是必须满足的 )而不满足独立性和完备性 (为了符合由易到难的认识规律，而适当增加了公理的数目；另一方面又缺少一些公理，而在一定程度上依赖于直观 )。
经过证明为真实的命题叫做定理，可由定理直接得出的真命题叫做推论。推论和定理的含义没有什么本质的区别。一个定理的逆命题、偏逆命题都未必为真，如果证明了是真实的，则分别称为原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。
第三节数学推理及其基础知识
( 十四 )如何理解形式逻辑的基本规律？
1. 同一律
同一律的内容是：在同一时间、同一地点、同一思维的过程中，所使用的概念和判断必须确定，且前后保持一致。
同一律的公式是：A→A，即 A是 A。
可见，根据同一律的内容，它有两点具体要求：
一是思维的对象应保持同一。这就是说，在思维的过程中所考察的对象必须确定，要始终如一，不能中途变更。
二是表示同一事物的概念应保持同一。这就是说，在思维的过程中，要以同一概念表示同一思维对象，不能用不同的概念来表示同一事物，也不能把不同的事物混淆起来用同一个概念来表示。
违反同一律的错误，在概念中主要表现为偷换概念或所使用的概念不明确等；在推理中主要表现为论题不明确或偷换论题等。
例如，设 x=3， a=2， n=2，则 x n-a n=5， a n-1(x-a)=2，而 2不能整除 5。其错误原因在于所引用的“整除”概念上。在推理的前一部分是关于多项式的，后一部分是关于自然数的，这两者并不相同。一个多项式被另一个多项式除尽而余式为零，并不意味着商的系数全是整数。
2. 矛盾律
矛盾律的内容是：在同一时间，同一地点，同一思维的过程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思维过程中的两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假。
矛盾律的公式是：A∧A，即 A不是 A。
矛盾律实为“不矛盾律”，它是同一律的引申，是用否定形式表达同一律内容的。矛盾律是否定判断的逻辑基础，其作用是排除思维中的自相矛盾，保持思维的不矛盾性。这里所说的思维矛盾，是人们思想陷入混乱状态或故意玩弄诡辩时所产生的逻辑矛盾。它与客观事物本身所存在的矛盾是不同的。
两个矛盾判断不能同真，但可能同假。例如，△ABC是锐角三角形与△ABC是钝角三角形是两个矛盾的判断，其中一个正确，另一个必错误；
3. 排中律
排中律的内容是：在同一时间、同一地点、同一思维的过程中，对同一对象，必须作出明确的肯定或否定的判断。即在同一思维过程中，两个互相矛盾的概念或判断不能同假，必有一真，而排除第三种可能。
排中律的公式是：A∨ ，即 A或。
排中律要求人们的思维有明确性，它是反证法的逻辑基础。例如，是无理数与是有理数，是两个互相矛盾的判断，但不能同时存在，其中必有且只能有一个是正确的。
从上面的例子及分析，我们看到，必须把握住实质，正确识记和运用排中律。特别要指出的是，对一个命题，要弄
清表示思维对象数量的词（称为量词），是全称量词“所有的”（），还是存在量词“有的”（）。在数学中，
为了表达的简便，全称量词常常省略，这时需要正确表达出命题的矛盾命题。
一般地，如果用表示思维对象，用表示具有性质，对命题作否定，有下述关系：
排中律和矛盾律既有联系，又有区别。其联系在于：它们都是关于两个互相矛盾的判断，都指出两个矛盾判断不能同时并存，其中必有一个是假。但如何进一步确定谁真谁假，它们本身都无能为力，只有借助其他知识，进行具体分析，才能正确地予以回答。其区别在于：矛盾律指出两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律则指出两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真。矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛盾律是否定判断的逻辑基础，而排中律是反证法的逻辑基础。
4. 充足理由律
充足理由律的内容是：任何一个真判断，必须有充足理由，即对于任何事物的肯定或否定，都要有充分的理由和根据。
充足理由律可表示为：若有 B，则必有 A，使得由 B可以推出 A。
充足理由律是进行推理和证明的逻辑基础，它与判断有着密切的联系。例如，在数学命题中，充分条件、充要条件都可以作为结论的充足理由，原定理可作为它的逆否命题的充足理由等等。
充足理由律和前面三个规律有着密切的联系。同一律、矛盾律和排中律是为了保持同一判断 (或概念 )本身的确定性和无矛盾性；充足理由律则是为了保持判断之间的联系有充分根据和说服力。因此，在思维过程中，如果违反了同一律、矛盾律和排中律，那么就必然导致违反充足理由律。
总之，数学推理、证明必须要求对象确定 (同一律 )，判断不自相矛盾 (矛盾律 )，不模棱两可 (排中律 )，有充分根据 (充足理由律 )。在数学教学中，我们应注意培养学生严格遵守这些逻辑规律进行思考的习惯，以培养学生的逻辑思维能力。
( 十五 ) 数学推理的类别有哪些？
1 ．归纳推理
归纳推理是一种由特殊到一般的推理，即从个别或特殊的事物所作判断扩大为同类一般事物的判断的思维过程，且根据前提与结论所作判断的范围是否相同，又分为完全归纳法与不完全归纳法。
（ 1）完全归纳法
如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和等于结论中判断的范围，这种归纳推理叫做完全归纳法。其表示形式是：
例如，证明三角形三条高或其延长线共点，可分别证明锐角、直角、钝角三角形三条高或其延长线共点，从而推出任意三角形三条高或其延长线共点的结论。又如，推导两点间的距离公式，可分别就两点在各个象限与坐标轴上的情况逐一进行讨论。以上推理的方法都是完全归纳法。
由于完全归纳法在前提判断中已对结论的判断范围作出了判断，如果皆是真实的，则所得结论是完全可靠的，所以完全归纳法可作为数学上的一种严格推理方法。但在应用时，须注意前提的判断范围既不能重复，也不能遗漏，即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围。
（ 2）不完全归纳法
如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范围，这种归纳推理叫做不完全归纳法。例如，初中数学中从具体实数的运算概括出实数的运算律以及指数运算性质等的推理都是不完全归纳法，一些气象谚语、农业谚语、人们的养生之道等也是根据不完全归纳法得到的。
必须注意，根据不完全归纳法推出的结论可能真，也可能假。因此，不完全归纳法不能作为数学上一种严格的推理方法使用，但是它在科学研究中可有助于提出假设或猜想，在解题中便于发现规律，启发思维。教学中，为了说明某些定理、公式、性质的正确性，也往往借助于个别特殊的例子来说明，其实质就是用实例来进行验证，也可以认为是用不完全归纳法来进行推理的。
2 ．类比推理
类比推理是一种由特殊到特殊的推理，即根据两个 (或两类 )事物的某些相同或相似的性质，判断它们在别的性质上也可能相同或相似。
例如，代数中根据分式与分数都具有分子、分母这个相同的形式，从而推测分式可以如同分数一样进行化简与计算；由平面上直线与直线之间的关系可以推测空间中平面与平面之间的关系等，这都是类比推理。
必须注意，类比推理所得出的结论未必真，它只有一定程度的可靠性。有些结论，还有待于实践和理论的证明。例如，不许用任何其他数学符号，将三个 l，三个 2，三个 3写成尽可能大的数分别是 111， 2 22， 3 33，而三个 4写
成尽可能大的数不能类比地写成 4 44，而是。一般说来，如果两类事物共有的性质和推出的性质是密切相关的，那么结论就比较可靠。两类事物共有的性质愈多，推出的结论的可靠程度就越大。
用类比推理所得结论，虽然不一定都真实，但在人们的认识活动中仍有着它的积极意义。例如，科学上有不少重要的假设，是通过类比推理提出来的；数学中有不少重大发现乃至有关解题方法是由类比推理提供线索的；生产实践和科学实验中的许多发明创造，也受到了类比推理的启发等。因此，类比推理仍不失为一种获取新知识的工具。
3 ．演绎推理
演绎推理是一种由一般到特殊的推理，即以某类事物的一般判断为前提，作出这类事物的个别、特殊事物判断的思维形式。
演绎推理的前提与结论之间有必然的联系，只要前提是真实的，推理是合乎逻辑的，就一定能得到正确的结论。因此。演绎推理可以作为数学中一种严格的推理方法使用。
简单的演绎推理往往是通过三段论的形式来实现的。三段论的结构包括大前提——反映一般原理的判断，小前提——反映个别对象与一般原理联系的判断，以及结论三个判断。如果大前提、小前提都正确，则结论一定正确 .
( 十六 ) 如何理解归纳推理及其在初中数学中的应用？
由特殊到一般的推理叫做归纳推理。即在研究事物的特殊情况所得到的结论的基础上，得出有关事物的一般结论的推理方法。归纳推理也简称为归纳法。
在归纳推理中，根据所研究的是否是事物的一切特殊情况，归纳推理一般又可分成完全归纳推理和不完全归纳推理，也称为完全归纳法和不完全归纳法。
1 ．完全归纳法
在研究事物的一切特殊情况所得的结论的基础上，得出有关事物的一般性结论的推理方法叫做完全归纳法。
例如，要证明定理：“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。”如图，在一个圆心为 O的圆中，对于给定弧 AC，用∠ ABC和∠ AOC分别表示对应的圆周角和圆心角，那么，命题 P就是：2∠ ABC=∠ AOC。
从图 5-4中可以看到，由于角的顶点 B所在位置不同，圆周角∠ ABC和圆心 O之间的位置关系可以分为三种情况，分别用 P(1)、 P(2)和 P(3)表示对应这三种情况的命题，即
P(1) ：圆心在圆周角的一条边上时的命题 P，如图 5-4(a)所示；
P(2) ：圆心在圆周角的内部时的命题 P，如图 5-4(b)所示；
P(3) ：圆心在圆周角的外部时的命题 P，如图 5-4(c)所示。
这样，我们就把问题的类分清楚了，根据完全归纳法的原则，只要验证了 P(1)、 P(2)和 P(3)这三个命题成立，就可以推断命题 P成立。
证明如下：
P(1) ：当圆心 O在∠ ABC的一条边上时，连接 AO，如图 a所示。这样，∠ AOC是等腰三角形△ ABO的一个外角，于是有∠ AOC=∠ ABC+∠ BAO=2∠ ABC。
P(2) ：当圆心 O在∠ ABC的内部时，过 B做直径 BE、并连接 AO和 CO，如图 b所示。此时，∠ ABE和∠ AOE 分别是弧 AE所对应的圆周角和圆心角；∠ EBC和∠ EOC分别是弧 EC所对应的圆周角和圆心角。这都可以转化为第一种情况，得到
2 ∠ ABC = 2∠ ABE + 2∠ EBC = ∠ AOE + ∠ EOC = ∠ AOC。
其中第二个等号用到了命题 P(1)的结论。
P(3) ：当圆心 O在∠ ABC的外内部时，过 B做直径 BE、并连接 AO和 CO，如图 c所示，类似 P(2)的情况可以得到
2 ∠ ABC = 2∠ ABE - 2∠ CBE = ∠ AOE - ∠ EOC = ∠ AOC。
这样，我们就完成了命题 P的证明。
因为完全归纳法是在考察事物的各种情形之后得出有关事物的结论的，所以只要考察各种情形得出的结论是真实的，则最后所得结论也必定是真实的。因此，完全归纳法可以作为数学的严格推理方法。用完全归纳法进行推理时，要注意对考察事物的各种特殊情形都要进行讨论，不要重复也不要遗漏。
容易看到，完全归纳法虽然简单，却是一种非常有力的推理方法，不仅仅在数学中就是在日常生活中这种推理方法也是有用的，因此，在中学数学有关内容的教学过程中，应当有意思地让学生感悟这种推理方法的核心和模式。利用完全归纳法最典型的数学例子是对“四色定理”的证明，在证明过程中把平面中相邻区域的可能的情况分为 1400多类，然后利用计算机逐类验证，最终把“四色猜想”变为“四色定理”，参见本书第二辑第九讲。在完全归纳法的实施过程中，分类是最为重要、往往也是最为困难的，关于分类问题的详细地讨论可以在附录中找到。
2 ．不完全归纳法
在研究事物的某些特殊情况所得到的结论的基础上，得出有关事物的一般性结论的推理方法叫做不完全归纳法。
例如，分别考察平行四边形和矩形，得出它们的对角线互相平分的结论，从而得出四边形的对角线互相平分的一般结论即是不完全归纳推理，显然这个结论是错误的。
又如，简单考察凸三边形和凸四边形，它们的内角和均等于其边数减去 2 所得的差与180 °的乘积，从而得出任意凸多边形的内角和均等于其边数减去 2 所得的差与180 °的乘积的一般性结论的推理也是不完全归纳推理。但这里所得结论是正确的。
上述两例说明，用不完全归纳法作为逻辑推理是不严密的，因而在数学证明中并不采用。但不完全归纳法在探索的过程中能帮助我们比较迅速地去发现事物的规律，给我们提供研究方向和线索的作用是不容忽视的。科学上的很多发现，往往就是通过观察、分析、归纳、猜想得出，然后又加以证明验证得到的。
(十七) 如何理解数学中的证明？
应用逻辑方法来判断数学命题真实性的过程叫做数学证明。这个有待判断真实性的命题叫论题；证明过程往往表述为一系列的推理；其依据叫论据，可作为论据的是本论题的题设，已建立的概念、公理和已证明了的真实命题。数学证明需要应用已经确定其真实性的公理、定理、定义、公式、性质等数学命题来论证某一数学命题，因而，数学证明的过程往往表现为一系列的推理。
任何逻辑证明都是由论题、论据、论证三个部分组成的。论题是需要证明其真实性的判断，论据是用来证明论题真实性所引用的那些判断，论证就是由论据出发进行一系列推理来证明论题的真实性的过程。
数学证明习惯上分成已知、求证、证明三个部分来写。其中论据是包括论题给定的条件和证明论题时所引用的那些论据，以及已知的公理、定理、公式、定义、法则、性质等命题；求证就是论题的结论，即有待于证明具有真实性的命题；证明就是论证，即证明论题真实性的推理过程。
关于证明格式，常用的有联用式与推进式两种。联用式是联用“因为、所以”表示推理关系的书写格式、推进式是借助符号“ ≥ ”表示蕴含关系或推理关系的书写格式，且都可分为横、竖两种基本形式。
(十八) 数学中常用的证明方法有哪些？
1. 分析法与综合法
在数学证明中，如果推理方向是从求证追溯到已知，或者是从未知到已知，这种思考方法叫做分析法，简谓“由果索因”。反之，如果推理的方向是从已知到求证，或者是从已知到未知，这种思考方法叫做综合法，简谓“由因导果”。
2. 直接证法与间接证法
在数学证明中，从正面证明论题真实性的证明方法，叫做直接证法。凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证法。它是初中数学中常用的证明方法。不是直接证明论题的真实性，而是通过证明论题的否定论题不真实，或者证明它的等效命题成立，从而肯定论题真实性的证明方法，叫做间接证法。间接证法主要有反证法与同一法。
反证法
欲证命题“A→B”为真，从反面人手，改证明其反命题“ →B”为假，从而肯定“A→B”为真；或改证明其等效命题“ → ”为真，这种证明的方法叫做反证法。
在使用反证法时，如果原论题的结论的矛盾方面（即否定方面）只有一种情况，只要把这种情况否定了，原论题即成立，这种反证法叫做简单归谬法，简称归谬法。当原论题结论的矛盾方面（即否定）不止一种情况时，需把它们逐个否定，原论题才得证。这种反证法又叫穷举归谬法，简称穷举法。
同一法
如前所述，两个互逆或互否的命题不一定是等效的，只有当一个命题的条件和结论都唯一存在，且它们所指的概念是同一概念时，该命题与其逆命题 (或否命题 )才等效，这个原理叫做同一原理。对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证与它等效的逆命题，这种证明方法叫做同一法。
反证法与同一法都是间接证法。它们的主要区别是：
① 方法不同。反证法先否定结论，然后再予以反驳；同一法先作出 (设定 )符合命题结论的图形 (或算式 )，然后推证所作图形 (或算式 )与已知图形 (或关系式 )相同。
② 根据不同。反证法的逻辑依据是排中律，利用原命题与其逆否命题的等价性来证明的；同一法的逻辑依据是同一律，利用原命题与其逆命题的等价性来证明的。
③ 适用范围不同。反证法是从否定命题的结论出发，只要能推出矛盾就行，而这个矛盾不一定是由于图形 (或关系式 )的“唯一存在性”引起的。因此，反证法可适用于各种命题，而同一法只适用于符合同一法则的命题。
第六章数学抽象
抽象是人类认识世界的一种科学的方法和思维活动，而数学的抽象是一种特殊的思维活动，除了具有抽象的一般共性外，数学的抽象又具有自己特殊的性质。抽象性通常被认为是数学的一个基本特征，一切数学对象都是抽象思维的产物。抽象是思维的基础，只有具备了一定的抽象能力，才可能从感性认识中获得事物的本质特征，从而上升到理性认识。
本章将就一般的抽象、科学的抽象和数学的抽象其含义进行说明，并阐述数学抽象的层次性、数学概念的抽象存在性、数学抽象的方法等问题，同时阐述在中小学数学教学中尤为重要的数量关系的抽象、空间形式的抽象、模型模式的抽象。
第一节数学抽象
一、如何理解抽象的一般含义？
抽象和具体是一对哲学范畴，是在实践过程中正确认识事物的部分与整体的处理具体和抽象的辩证关系的科学思维方法。
具体是指对客观存在着的各种事物或在认识中的整体的反映，是特定事物多方面属性、特点、联系和关系的统一。而抽象则是指从具体事物中被抽象出来的相对独立的各个属性、特征、联系和关系。抽象是正确反映客观事物本质，形成概念、范畴的一种思维方法。它是在对事物的属性进行分析、综合、比较的基础上，抽取出事物的本质属性，撇开非
本质属性，从而形成对某一事物的概念。例如，“人”这个概念，就是在对千差万别的人进行分析、综合、比较的基础上，撇开了他们的非本质属性（肤色、语言、国别、性别、年龄、职业等等），抽取出他们的本质属性（都是能够进行高级思维活动、能够按照一定目的制造和使用工具的动物）而形成的，这就是抽象。
抽象和具体是人们认识过程中的两个不同的方面，也是两种不同的方法，二者即是对立又是统一的，并在一定条件下相互转化。人类认识发展的历史证明，由感性具体进到理性抽象和再由理性抽象进到理性具体相结合的认识方法，既体现了认识过程的辩证法，又是人类认识世界的科学方法。
二、如何理解科学抽象？
科学的抽象必须具备客观性、实在性和可检验性，都是客观事物所具有的某种属性、关系的反映，不是空洞的、荒谬的、神秘的虚构。科学的抽象是借助于概念、范畴的运动所进行的思维活动。通过科学的抽象，我们才能从感性认识能动地飞跃到理性认识，透过现象揭示本质。通过科学的抽象所形成的概念和思想，都是更深刻、更全面、更正确地反映着客观事物的本质。正如列宁所说：“物质的抽象，自然规律的抽象，价值的抽象及其他等等，一句话，那一切科学的（正确的、郑重的、不是荒唐的）抽象，都更深刻、更正确、更无安全地反映着自然。”
广义的科学抽象是同感性事物、感性具体相对立的。在这个意义上说，凡是与感性认识、生动的直观或直接的直观相对立的认识形式，都可以看做是抽象。思维形式相对于它们所反映的客观事物是抽象，相对于反映事物的感性形式也是抽象。但是对自然界的认识，既要有感性形式，又要有抽象的思维形式，所以，对于人来说，“自然界既是具体的又是抽象的。”
三、如何理解数学抽象？
抽象并不为数学这一门科学所独有，其他科学都具有抽象的特性。但是，数学的抽象程度大大超过了其他科学，全部数学都具有抽象的特征。
上述抽象的一般含义是在哲学范畴中的，我们这里所说的数学的抽象，主要是指思维运动中的抽象。我们认为这种抽象不仅可以在感性具体和理性具体之间搭建思维的桥梁，也可以在此理性具体和彼理性具体之间搭建思维的桥梁，前者必须依赖于感性具体，而后者则不必依赖于感性具体。针对数学的发展所依赖的抽象而言，我们称前者为第一次抽象，后者为第二次抽象。虽然这两次抽象有着程度上的差异，但总体上可以认为，第一次抽象有利于发现新的知识，而第二次抽象有利于合理解释哪些发现了的知识。即数学的抽象具有明显的层次性，这也是数学抽象与一般抽象的本质区别。
（一）数学抽象的层次性
就数学抽象的深度而言，大体上分为三个层次：
（ 1）把握事物的本质，把繁杂问题简单化、条理化，能够清晰地表达，我们称其为简约阶段。
（ 2）去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物，我们称其为符号阶段。
（ 3）通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物，我们称其为普适阶段。
徐利治教授也曾就数学抽象的层次性在认识论上的意义进行过分析 ,同时他创造性地提出了“数学抽象度”的概
念来对数学抽象层次性进行了一种数量刻画。
（二）数学抽象的方法
通常认为数学发端于对三个苹果的感觉摆脱苹果而变为整数 3的时候，这是抽象过程的一个最为简单的实例。但抽象在数学中有着不同且相关的用法，我们有必要进行解释。
1 ．理想化的抽象。即指抽象层次性的简约阶段，由实际的事物或现象引出抽象概念的方法，其中包括对于真实事物或现象的简化与完善化，从而得出的数学概念与现实原型未必完全符合。例如，“没有大小的点”、“没有宽度的线”、“没有厚度的面”等等几何概念都是简约化的结果。平面几何中已经证明任意三角形三个角的平分线交于一点，但真实世界的经验告诉我们，无论绘图员多么细心、采用多么精确的工具，他所画图形中的三条角分线也只是近似地相交。这种理性化的抽象已从空间经验推进到整个数学世界。亚里士多德曾描述这个过程：“数学家舍去一切感性的东西，如重量、硬度、热，只留下量和空间连续性。”
2 ．强抽象与弱抽象。弱抽象也可以称作“概念扩张式抽象”，即从原型（或已有概念）中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例。例如，由全等形的概念出发，借助弱抽象就可获得相似形及等积形的概念，它们分别保存了“形状相似”与“面积相等”的特性。相对于后者而言，全等形的概念就可以说是一个原型，而由全等形的概念出发去建立相似形及等积形的概念则就是弱抽象的过程。人们可以将一类或某种结构内容较为丰富的对象作为弱抽象的原型，并通过特征分离和规范化的定义方法去构造出更为一般的模式。
3 ．存在性抽象。作为人类思维能动性的一种重要表现形式，有时可以假设一个原先认为不存在的“对象”的存在性，也即引进所谓的“理想元素”，并由此而发展起一定的数学理论。例如，虚数 i以及无穷远点的引进就是这样的例子。
（三）数学研究对象的抽象性
关于“数学在本质上研究的是抽象的东西”这个命题，从古至今，无论是数学家还是哲学家几乎都没有异议。数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象，因为只有通过抽象才能得到抽象的东西，也就是数学研究所必须定义的最基本的概念。为了把抽象这个数学最为基本的思想讨论清楚，就必须涉及“数学概念的存在形式”这样的问题，因为数学概念的存在形式决定了数学概念的获得形式，从而决定了数学抽象的本质。
数学在本质上研究的是抽象的东西，因为只有通过抽象才能得到抽象的东西。那么，人们又是如何从日常生活和生产实践中抽象出数学所要研究的概念和法则的呢？以及人们是如何通过更高层次的抽象来合理地解释这些概念和法则呢？众所周知，恩格斯在《反杜林论》中阐述了“纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系，也就是说，以非常现实的材料为对象的。”因而有的学者（辞海中）将数学定义为“数学是一门研究现实世界中数量关系和空间形式的科学”。随着现代数学的发展，恩格斯的这一定义显然已经不能准确描述数学的本质。因此，史宁中教授认为这个定义是不准确的，而且这个定义也不是恩格斯给出的。他认为数学的定义可以概括为：“数学是研究空间形式和数量关系的一门科学”，不管是现实世界中的“数量关系和空间形式”，还是思维想象中的“数量关系和空间形式”都属于数学研究的范畴。
因此，对于数学的抽象而言，我们应重点关注数量关系的抽象、空间形式的抽象、论证形式的抽象和模型模式的抽象。
第二节数量与数量关系的抽象
一、如何理解数量的抽象？
数量的本质是多与少，数来源于对数量本质的抽象，而其过程可以分为计数和符号两个抽象过程。新石器时代，人类开始有意识地制造石刀、石斧来改善和创造生存环境。同时在这些生存的动作性的过程中，形成了有关数量和图形的意识。现存原始社会时期洞壁绘画中对动物形象的简单描述，已表明原始人具有了最初形状和数量的明确意识。 ,。
在人类进化中，数学的原始形态可能要追溯到动物具有的某些数与图形的意识。根据现代一些学者的观察和研究结果，许多动物具有数与图形的感觉。例如，有的鸟有数的感觉，当它的窝中有 4个蛋时，缺少一个它不会发现，但是如果你拿走两个蛋时，鸟就会感觉到危险弃窝而逃。
从现有的考古资料来看， ,尽管不同地域文明的进程存在明显差异，但是从原始数字符号中，人们可以感觉到不同民族创造数字符号时所具有的内在抽象一致性。这些文明很早就实现了计数，但数字符号的发明可能要比文字符号发明晚一些。因为，符号的表达必须脱离具体的内容，这是关于数量的第二步抽象。从数量本质“多少”这一概念出发，我们就可以得到能够由小到大进行排列的符号——数字。并在此基础之上抽象出各种数字符号记数系统，对人类认识的发展和文明的进步起到重要的推动作用。
二、如何理解数量关系的抽象？
数学抽象的第一步结果在数学的发展史上尤为重要，因为第一步抽象发现的是新知识，而在数量关系的第二步抽象其形式上是非常美妙的，合理地表达了新的知识。人们在日常生活和生产实践中抽象出数量的运算法则。
（一）加法的抽象过程
前面已经谈到，数量的本质是多与少，而多与少的量的简单形式是多一个或者少一个。正如《老子》中所说的：“道生一，一生二，二生三，三生万物”，因此，加法的核心是加 1.经过了几千年对加法运算的使用，人们才能够给出建立在符号意义上的运算律的严格表述。即加法运算在自然数集中的封闭性、交换律和结合律，然而这种形式化的运算也引起了一些数学家的不满。正如数学家勒贝格调侃的，你把一头狮子和一只兔子关在一个笼子里，最后笼子里绝不会还有两只动物。
（二）乘法、减法和除法法则的抽象过程
乘法在本质上是一类特殊的加法，是数自相加的缩写。乘法具有与加法类似的算律，即在自然数集中满足封闭性、交换律、结合律和分配律。减法是加法的逆运算，但是由于可能出现负数，所以需要把运算的集合从自然数集扩张到整数集。即减法通过加法来定义，在整数集中具有加法的类似算律。除法是乘法的逆运算，与减法一样需要把运算的集合从整数集扩张到有理数集才能使除法在有理数集中有类似加法的算律。我们可以看到，减法、乘法和除法都是基于加法的，且在一定的数集中运算封闭且满足一定的算律，这样就完成了数量关系也即四则运算法则的抽象过程。
（三）从算术到代数的抽象过程
人类学会从数字的具体运算到利用符号表示数进行抽象的运算，即完成算术到代数的抽象经历了漫长的岁月，但却是数学发展史上具有革命性意义的事情。这要归功于法国数学家韦达实现了一元二次方程从数字系数到字母系数的表达和根的研究。
对于具体的数字系数只要带入公式就可以了，由此可以看到，抽象到符号体系后的结果具有一般性，因而也就具有了广泛的适用性。韦达的符号表示告诉我们，可以像对“数”那样对“符号”进行运算，且结果具有一般性，我们也可
中学数学思想方法的教学研究 发表时间：2013-03-14T14:50:22.857Z 来源：《少年智力开发报》2012-2013学年21期供稿作者：盖玉顺 [导读] 美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理． 山东省东营市陈庄镇中学盖玉顺 １．数学思想方法教学的意义 美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理．”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的．”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分．第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解”．心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习．”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了．下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳 入到学生已有的认知结构中去．学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容． 第二，有利于记忆．布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记．”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来．高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具．”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的．无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生．” 第三，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”．布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识．”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移．”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中．”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力． ２．中学数学教学内容的层次 中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法． 表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识．学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识． 深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识．教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性．那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛．因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质． ３．中学数学中的主要数学思想和方法 数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识．由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高．我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想．其理由是： （１）这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容； （２）符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握； （３）在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多； ４．数学思想方法的教学模式 数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性．基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式： 操作——掌握——领悟。对此模式作如下说明： （１）数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的； （２）“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学．“操作”是数学思想、方法教学的基础； （３）“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握．学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提； （４）“领悟”是指在教师引导下，学生对掌握的有关表层知识的认识深化，即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟，有所体会；
初中数学老师教学工作总结 本学期我担任九(五)班的班主任工作和五班、七班的数学教学工作。开始，对于重难点，易错点及中考方向可以说毫无头绪。为不辜负校领导的信任，我丝毫不敢怠慢，认真学习，积极请教，努力适应九年级教学工作的要求，从各方面严格要求自己，结合学生的实际情况，勤勤恳恳，兢兢业业，使教学工作有计划，有组织，有效率地开展。为使今后的教学工作更好地进行，现对本学期教学工作做出总结，希望能发扬优点，克服不足，以促进教训工作更上一层楼。 一、认真备课，不但备学生而且备教材备教法，根据教材内容及学生的实际，选择教学方法，认真写好教案。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，课后及时对该课作出总结，写好教学后记，并认真按搜集每课书的知识要点，归纳成集。 二、增强上课技能，提高教学质量，做到线索清晰，层次分明，言简意赅，深入浅出。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主作用，让学生学得容易，学得轻松，学得愉快;注意精讲精练，在课堂上老师讲得尽量少，学生动口动手动脑尽量多;同时在
每一堂课上都充分考虑每一个层次的学生学习需求和学习能力，让各个层次的学生都得到提高。 三、虚心请教其他老师。在教学上，有疑必问。在各个章节的教学上都虚心听取其他老师的意见，学习他们的方法，同时，多听有经验的老师的课，做到边听边讲，学习别人的优点，克服自己的不足，征求他们的意见，改进工作。 四、认真批改作业：布置作业做到精选精练。有针对性，有层次性。同时对学生的作业批改及时、认真，分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题进行透切的评讲，并针对有关情况及时改进教学方法，做到有的放矢。 五、做好课后辅导工作，注意分层教学。在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求，避免了一刀切的弊端，同时加大了后进生的辅导力度。并认真细致地做好查漏补缺工作。后进生通常存在很多知识断层，这些都是后进生转化过程中的绊脚石，在做好后进生的转化工作时，要特别注意给他们补课，把他们以前学习的知识断层补充完整，这样他们就会学得轻松，进步也快，兴趣和求知欲也会随之增加。
学习资料收集于网络，仅供参考 初中数学课程标准（2011 版） 目录 第一部分前言 (2) 一、课程性质 (2) 二、课程基本理念 (2) 三、课程设计思路 (3) 第二部分课程目标 (4) 一、总目标 (4) 二、学段目标 (5) 第三部分内容标准 (6) 第三学段（7~9 年级） (6) 一、数与代数 (6) 二、图形与几何 (8) 三、统计与概率 (12) 四、综合与实践 (12) 第四部分实施建议 (13) 一、教学建议 (13) 二、评价建议 (17) 三、教材编写建议 (20) 四、课程资源开发与利用建议 (24) 附录 (26) 附录 1 有关行为动词的分类 (26) 附录 2 内容标准及实施建议中的实例 (26)
第一部分前言数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20 世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。 一、课程性质义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。 二、课程基本理念1．数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。 2．课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。 3．教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。 数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。 学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。 教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。 4．学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。 5．信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。 三、课程设计思路义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。 按以上思路具体设计如下。 （一）学段划分为了体现义务教育数学课程的整体性，统筹考虑九年的课程内容。同时，根据学生发展的生理和心理特征，将九年的学习时间划分为三个学段：第一学段（1~3 年级）、第二学段
初中数学新课程标准测 试题 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
初中数学新课程标准测试题 一、选择题（单项选择）多项选择） 1、数学教学活动是师生积极参与，（C ）的过程。 A、交往互动 B、共同发展 C、交往互动、共同发展 2、教师要积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，学会（B ）。 A、教教材 B、用教材教 3、“三维目标”是指知识与技能、（ B ）、情感态度与价值观。 A、数学思考 B、过程与方法 C、解决问题 4、《数学课程标准》中使用了“经历、体验、探索”等表述（A ）不同程度。 A、学习过程目标 B、学习活动结果目标。 5、评价要关注学习的结果，也要关注学习的（ C ） A、成绩 B、目的 C、过程 6、“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少（ A ）次。 A、一 B、二 C、三 D、四 7、在新课程背景下，评价的主要目的是（ C ） A、促进学生、教师、学校和课程的发展 B、形成新的教育评价制度 C、全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学 8、学生是数学学习的主人，教师是数学学习的（ C ）。 A 组织者合作者 B组织者引导者 C 组织者引导者合作者 9、学生的数学学习活动应是一个（ A ）的过程。 A、生动活泼的主动的和富有个性 B、主动和被动的生动活泼的 C、生动活泼的被动的富于个性
10、推理一般包括（ C ）。 A、逻辑推理和类比推理 B、逻辑推理和演绎推理 C、合情推理和演绎推理 11、义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，它不具有（ D ） A、基础性 B、普及性 C、发展性 D、连续性 12、对于教学中应当注意的几个关系，下列说法中错误的是（ D ） A、面向全体学生与关注学生个体差异的关系。 B、“预设”与“生成”的关系。 C、合情推理与演绎推理的关系。 D、使用现代信息技术与教学思想多样化的关系。 13、（ B ）是对教材编写的基本要求。 A、直观性 B、科学性 C、教育性 D、合理性 14、（ A ）是考查学生课程目标达成状况的重要方式，合理地设计和实施它有 助于全面考查学生的数学学业成就，及时反馈教学成效，不断提高教学质量。 A、书面测验 B、教师观察 C、学具制作 D、学生作业 15、评价不仅要关注学生的（ A ），更要关注学生在学习过程中的发展和变化。 A、学习结果 B、学习过程 C、学习评价 D、学习能力 16、实行启发式教学有助于落实学生的主体地位和发挥教师的（ B ）。 A、指导作用 B、主导作用 C、主要作用 D、辅助作用 17、模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的（ A ）。 A、基本途径 B、基本过程 C、基本方法 D、基本思想 18、数学课程资源是指应用于教与学活动中的各种资源。下列各资源不属于数学课 程资源的是（ D ）
初中教师数学教学方法1 初中教师数学教学方法1 结合初中数学大纲 就初中数学教材进行数学思想方法的教学研究,要通过对教材完整的分析和研究，理清和把握教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴。然后，建立各类概念、知识点或知识单元之间的界面关系，归纳和揭示其特殊性质和内在的一般规律。例如，在“因式分解”这一章中，我们接触到许多数学方法—提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法等。这是学习这一章知识的重点，只要我们学会了这些方法，按知识──方法──思想的顺序提炼数学思想方法，就能运用它们去解决成千上万分解多项式因式的问题。又如：结合初中代数的消元、降次、配方、换元方法，以及分类、变换、归纳、抽象和数形结合等方法性思想，进一步确定数学知识与其思想方法之间的结合点，建立一整套丰富的教学范例或模型，最终形成一个活动的知识与思想互联网络。 初中教师数学教学方法2 以数学知识为载体 将数学思想方法有机地渗透入教学计划和教案内容之中教学计划的制订应体现数学思想方法教学的综合考虑，要明确每一阶段的载体内容、教学目标、展开步骤、教学程序和操作要点。数学教案则要就每一节课的概念、命题、公式、法则以至单元结构等教学过程进行渗透思想方法的具体设计。要求通过目标设计、
创设情境、程序演化、归纳总结等关键环节，在知识的发生和运用过程中贯彻数学思想方法，形成数学知识、方法和思想的一体化。 应充分利用数学的现实原型作为反映数学思想方法的基础。数学思想方法是对数学问题解决或构建所做的整体性考虑，它来源于现实原型又高于现实原型，往往借助现实原型使数学思想方法得以生动地表现，有利于对其深人理解和把握。例如：分类讨论的思想方法始终贯穿于整个数学教学中。在教学中要引导学生对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级)，然后逐类讨论(即对各类问题详细讨论、逐步解决)，最后归纳总结。教师要帮助学生掌握好分类的方法原则，形成分类思想。 数学思想方法的渗透应根据教学计划有步骤地进行。一般在知识的概念形成阶段导入概念型数学思想，如方程思想、相似思想、已知与未知互相转化的思想、特殊与一般互相转化的思想等等。在知识的结论、公式、法则等规律的推导阶段，要强调和灌输思维方法，如解方程的如何消元降次、函数的数与形的转化、判定两个三角形相似有哪些常用思路等。在知识的总结阶段或新旧知识结合部分，要选配结构型的数学思想，如函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分数讨论思想体现了局部与整体的相互转化。在所有数学建构及问题的处理方面，注意体现其根本思想，如运用同解原理解一元一次方程，应注意为简便而采取的移项法则。 初中教师数学教学方法3 重视课堂教学实践
精心整理 初中数学教师个人教学工作总结三篇 篇一： 本学期，本人担任八年级两个班数学学科的教学工作。一学期来，本人以学校及各处组工作计划为指导；以加强 三、强化常规，提高课堂教学效率 本学期，本人能够强化教学常规各环节：在课前深入钻研、细心挖掘教材，把握教材的基本思想、基本概念、教材结构、重点与难点；了解学生的知识基础，力求在备课的过程中即备教材又备学生，准确把握教学重点、难点，不放过每一个知识点，在此基础上，精心制作多媒体课件（本学期本人共制作多媒体课件30个），备写每一篇教案；在课堂上，能够运用多种教学方法，利用多种教学手段，充分调动学生的多种感官，激发学生的学习兴趣，向课堂40分要质量，努力提高课堂教学效率；在课后，认真及时批改作业，及时做好后进学生的思想工作及课后辅导工作；在自习课上，积极落实分层施教的原则，狠抓后进生的转化和优生的培养；同时，进行阶段性检测，及时了解学情，以
便对症下药，调整教学策略。认真参加教研活动，积极参与听课、评课，虚心向同行学习，博采众长，提高教学水平。一学期来，本人共听课32节，完成了学校规定的听课任务。 四、加强研讨，努力提高教研水平 本学年，本人参加省级教研课题“开放性问题学习的研究”的子课题及县级课题开放性教学课型的研究的子课题的 研究工作，积极撰写课题实施方案，撰写个案、教学心得体会，及时总结研究成果，撰写论文，为课题研究工作积累 方面： 1 2 3 4、教学中投入不够，没能深入研究教材及学生。 下学期改进的措施： 1、进一步加强对新课改的认识，在推广先进教学方法、利用多媒体调动学生学习积极性的同时，努力提高课堂 教学的效率。
初中数学新课程标准 (全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称《标准》)第一部分前言 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域。研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展。数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断，伺时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。 义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。 一、基本理念 、义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性。普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现。 ——人人学有价值的数学； ——人人都能获得必需的数学； ——不同的人在数学上得到不同的发展。 、数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。 、学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同、学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 、数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想
原平市初中数学2011版课标测试题(卷） 一、填空题（每空1分，共35分） 1、义务教育阶段数学课程目标分为总目标和学段目标，从、、 、等四个方面加以阐述。 2、数学课程目标包括 和。 3、在各学段中，安排了四个部分的课程内容： “” “” “” “”。 “”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。 4、在数学课程中，应当注意发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、、 和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的和。 5、教学活动是师生积极参与、、 的过程。 6、有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，应体现“”的理念，促进学生的。 7、数学课程标准包括前言、、 、四部分内容。 8、好的教学活动，应是学生和教师的和谐统一。 9、数学知识的教学，要注重知识的“”与 “”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好 的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。 10、评价结果的呈现应采用 与相结合的方式。11、学生的现实主要包括生活现实、、其他学科现实三个方面。 12、2011年版稿在总体目标中突出了 “ ”的改革方向及目标价值取向。 13、对学生的培养目标在具体表述上作了修改，提出了“两能”，即 的能力、 的能力。 14、教材一方面要符合数学的，另一方面要符合学生的。 二、选择题（每题2分，共20分） 1、义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，它不具有（） A、基础性 B、普及性 C、发展性 D、连续性 2、对于教学中应当注意的几个关系，下列说法中错误的是（）
初中数学教学方法之10大环节教学法 教学有法，但无定法。“无定法”是说数学教学没有永恒的一成不变的教学方法，即使人们公认的某种行之有效的教学法，教师在实践中也必须因校因人（指教师）、因时、因学生、因教材而异，这就是所谓“无定法”。下面是我在教学中常采用的环节教学法。不过并不是说在每一节数学课中每个环节都要用到。一节课抓住几个环节也就够了。所有环节中每一环节所占时间，哪一环节需强化或减弱，则须因内容、因学生而定，不可强求一律。 数学教学的环节是预、题、读、听、思、问、记、议、练、结。 1.预 即预习。在有些同学中，有忽视预习的现象。他们说，光复习已学过的东西时间就不够，哪来的时间预习。其实，如果课前预习好，准备充分，增加了不听课的效率，课后复习时间大大减少了。预习有什么作用？其一，课前准备充分，为课堂专心听讲奠定基础。其二，熟悉将要学习的内容，找出新内容的重点、难点、趣点，及不理解的内容。明确了这些之后，听课的目的就更清楚了。由于找出了“趣点”，对听课的兴趣也就更浓厚了。明确了重点难点，可避免“45分钟”平均使用注意力，以免过早产生疲劳。课堂上，大脑处于高度兴奋状态，思维敏捷、记忆力强学习效劳就高。其三，预习可以在新旧知识间架立桥梁。因为新旧知识之间联系越紧，学习起来就更容易。常说的“温故而知新”就是这个道理。 2.题 题有两层意思，即解题，有些题目需教师引导学生梳理、细解。题另一层含义是教师课前向学生出几个自学题或思考题，目的是为学生学习新课指路。 3.读 数学教学中常常是重讲轻读，重练轻读。其实“读”也是数学教学中特别重要的一环节，一个题目读通了，读懂了，自然也就理解了，会做了。常有学生在做题时，漏掉关键字而做错了，如就有板有眼30%的同学拿着这样一道题来问我：“-1×2×(-3)×4×(-5)×6×(-7)×......×(-2003)＝？”我咋一看，这题目确实太难了，特别又是七年级的习题，我糊涂了。细一看题目，只需判断这题的符号，学生和我都把题目的前半句甩了，没读。 4.听 现代数学课堂重练，重讨论，重交流，重探索，而淡化了讲，即要求精讲。精讲不等于不讲，既有讲便有听。当然有时学生不爱听，教师也得进行一点反省。如由于教师备课不充分，讲得缺乏条理性、艺术性，一类问题重复啰嗦，激不起学生听课的兴趣。 怎样听课呢？一是会神专心（即不分心、不打花杂，专心致志的听课）。二是连绵思活，即保证思路的连绵而不间断。思路，包括教材内容的思路和教师讲课的思路。三是抓住关键，即讲课时要抓住所讲内容的重点、难点、趣点，让学生听得轻松，学得愉快。
初中数学教学工作总结 ——孙利可本学期，从各方面严格要求自己，结合本班学生的实际情况，有计划、有组织、有步骤地开展教育教学工作。立足现在，放眼未来，为使今后的工作取得更大进步，现对本期数学教学进行工作总结。并发扬优点，克服缺点，总结经验，继往开来，以促进教育工作更上一层楼。 一、精心准备，认真备课 因材施教因人施教，备课时，不但备学生而且备教材备教法，根据教材内容及学生的实际，设计授课类型，拟定教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都作了详细的记录，认真写好教案。让每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，并制作各种利于吸引学生注意力的有趣教具，课后及时对该课作出评价与总结，写好教学后记，并认真按搜集每节课的知识要点，归纳成集。 二、增强上课技能，提高教学质量 力求讲解清晰化、条理化、准确化。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主作用，让学生学得容易，学得轻松，学得愉快;注意精讲精练，在课堂上老师讲得尽量少，学生动口动手动脑尽量多;同时在每一堂课上都充分考虑每一个层次的学生，关注学生的学习需求和学习能力，让各个层次的学生都得到提高。 三、虚心请教其他老师
教学上有疑必问。在各个章节的学习上都积极征求其他老师的意见，学习他们的方法，同时，多听老师的课，做到边听边讲，学习别人的优点，克服自己的不足，并常常邀请其他老师来听课，征求他们的意见，改进工作。 四、认真批改作业 布置作业做到精读精练。有针对性，有层次性。同时对学生的作业批改及时、认真，分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题作出分类总结，进行透切的评讲，并针对有关情况及时改进教学方法，做到有的放矢。 五、做好课后辅导工作，注意分层教学 课后为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求，避免了一刀切的弊端，同时加大了后进生的辅导力度。对后进生的辅导，并不限于学习知识性的辅导，更重要的是学习思想的辅导。要提高后进生的成绩，首先要解决他们心结，让他们意识到学习的重要性和必要性，使之对学习萌发兴趣。要通过各种途径激发他们的求知欲和上进心，让他们意识到学习并不是一项任务，也不是一件痛苦的事情，而是充满乐趣的。从而自觉的把身心投放到学习中去。这样，后进生的转化，就由原来的简单粗暴、强制学习转化到自觉的求知上来。使学习成为他们自我意识力度一部分。在此基础上，再教给他们学习的方法，提高他们的技能。并认真细致地做好查漏补缺工作。这样，他们就会学得轻松，进步也快，兴趣和求知欲也会随之增加。我就帮助他们找出适合自己的学习方法，分析原因，鼓励他们不
2013年人教版初中数学教学大纲目录（最新 版）
初中数学课程标准 目录 第一部分前言 (3) 一、课程性质 (3) 二、课程基本理念 (3) 三、课程设计思路 (4) 第二部分课程目标 (7) 一、总目标 (7) 二、学段目标 (8) 第三部分内容标准 (9) 第三学段（7--9年级） (9) 一、数与代数 (9) 二、图形与几何 (12) 三、统计与概率 (17) 四、综合与实践 (18) 第四部分实施建议 (19) 一、教学建议 (19) 二、评价建议 (25) 三、教材编写建议 (30)
四、课程资源开发与利用建议 (35) 附录 (38) 附录1 有关行为动词的分类 (38) 附录2 内容标准及实施建议中的实例 (39) 第一部分前言 数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造 价值，推动着社会生产力的发展。 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。 一、课程性质 义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。 二、课程基本理念 1．数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学 生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。
最新中小学数学课程标准知识考试试题 一、填空 1、学生的数学学习内容应当是（现实）的、（有意义）的、（富有挑战性）的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、(实验)、猜测、验证、（推理）与交流等数学活动。 2．数学教学活动必须建立在学生的(认知发展水平)和(已有的知识经验基础)之上。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的(组织者)、(引导者)与（合作者）。3．第一学段，学生将学习万以内的数、简单的（分数）和（小数）、常见的（量），体会数和运算的意义，掌握数的（基本运算），探索并理解简单的数量关系。初步建立数感；应重视（口算），加强（估算），提倡算法多样化；认识（简单几何体）和（平面图形），感受平移、（旋转）、对称现象，进行简单的测量活动，建立初步的（空间观念）。对数据统计过程有所体验，学习一些简单的（收集）、（整理）和（描述数据）的方法。通过实践活动初步获得一些（数学活）的经验，了解数学在日常生活中的简单应用，初步学会与他人合作交流，获得积极的数学学习情感。 二、选择。 1. 新课程强调在教学中要达到和谐发展的三维目标是( B ) ①知识与技能②过程与方法 ③教师成长④情感、态度、价值观 2. 下列对“教学”的描述正确的是( D ) A. 教学即传道、授业、解惑 B. 教学就是引导学生“试误” C. 教学是教师的教和学生的学两个独立的过程 D. 教学的本质是交往互动 3. 各科新教材中最一致、最突出的一个特点就是( C ) A. 强调探究性学习 B. 强调合作学习 C. 内容密切联系生活 D. 强调STS课程设计思想 4. 新课程倡导的学生观不包括( B)
A. 学生是发展的人 B. 学生是自主的人 C. 学生是独特的人 D. 学生是独立的人 5. 在学习活动中最稳定、最可靠、最持久的推动力是(A ) A.认知内驱力 B. 学习动机 C. 自我提高内驱力 D. 附属内驱力 6. 遗忘的规律是先快后慢，所以学习后应该( A ) A. 及时复习 B. 及时休息 C. 过度复习 D. 分数复习 7. “稳重而富有毅力，但往往又表现出缓慢与固执”属于哪种气质类型。( C ) A. 胆汁质 B. 多血质 C. 粘液质 D. 抑郁质 8. 下列关于中学教育的高中阶段的性质表述有误的是(D ) A. 普通教育性质 B. 基础教育性质 C. 社会主义性质 D. 义务教育性质 9. “道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”体现了教学的( B ) A. 直观性原则 B. 启发性原则 C. 巩固性原则 D. 循序渐进原则 10. 上好一堂课的基本要求是( D ) ①有明确的教学目的②恰当地组织教材 ③选择和运用恰当的教学方法④精心设计教学环节和程序 A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④ 、三、判断 1、内容标准是内容学习的指标。指标是内容标准的全部内涵。（×） 2、提倡有教育价值的数学，学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。（√） 3、《标准》提倡让学生经历“数学化”与“再创造”的过程，形成自己对数学概念的理解。（√） 4、新课标只提倡关注知识获得的过程，不提倡关注获得知识结果。（×） 5、《标准》提倡采取开放的原则，为有非凡需要的学生留出发展的时间和空间，满足多样化的学习需求。（√） 四、简答
初中数学教学工作总结 本人在学校的工作安排下，担任了初一(1)、(3)班数学教学工作。一学年以来，在学校领导的关心、支持下，尽职尽责做好各项工作。 现具体总结 一、班主任工作 在班主任工作中，我做到认真完成学校布置的各项工作，重视班风、学风的培养，深入了解每个学生的思想动态。严格管理，积极与 家长配合，研究教育学生的有效方法。及时发现问题及时处理。在担 任班主任工作期间，针对学生常规工作常抓不懈，实施制度量化制度 的管理。培养学生养成学习、清洁卫生等良好的习惯。努力创造一个 团结向上，富有朝气的班集体。 二、教学工作 在教学工作中，我根据学校的工作目标和教材的内容，了解学生 的实际情况通过钻研教材、研究具体教学方法，制定了切实可行的学 期工作计划，为整个学期的教学工作定下目标和方向，保证了整个教 学工作的顺利开展。在教学之前，认真贯彻《九年义务教育数学教学 大纲》的精神，认真细致地研究教材，通过钻研教学大纲和教材，不 断探索，尝试各种教学的方法。积极参加市教研室及学校组织的教研 活动，通过参观学习，外出听课等教学活动，吸取相关的教学经验， 提高自身的教学水平。在教学工作中，有意识地以学生为主体，教师 为主导，通过各种游戏、比赛等教学手段，充分调动他们的学习兴趣 及学习积极性。让他们的天性和个性得以自由健康的发展。 三、其它工作 除了日常的教学工作之外，我还负责校内部分的德育工作，为了 能做好学校的德育工作，不计酬劳，任劳任怨、加班加点，按时保质 完成学校安排的工作。
总之，在这一学年的工作中，我通过努力提高了自己的数学教学水平，并取得了一定的成绩。但在教学工作中，自身尚有不足之处，还需继续虚心向各位老教师和优秀教师学习先进的教学经验，努力提高自身的能力。
初中数学课程标准及解读 初中数学 第一部分数学课程标准及解读 一、数学课程标准的性质： 《标准》是国家课程的基本纲领性文件，是国家对基础教育数学课程的基本规范和质量要求。 数学课程标准规定的是国家对国民在数学方面的基本素质要求，它对数学教材、数学教育和评价具有重要的指导意义，是其出发点和归宿，也是其灵魂。 二、课程标准的特点： （1）体现素质教育观念（2）突破学科中心（3）引导学生改革学习方式（4）加强评价改革的指导（5）拓展课程实施空间 三、数学课程的基本理念： （1）义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性、发展性，使数学面向全体学生。实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。（2）数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行运算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思考和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽
象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化。它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。 （3）学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容有利于学生主动地进行观察、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖于模仿与记忆。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。 （4）数学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识、经验的基础之上。教师应激发学生的学习积极性、向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是组织者、引导者与合作者。 （5）评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生学习数学的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感和态度。帮助学生认识自我、建立信心。
中学数学教学及学习方法 中学数学教学及学习方法 “数学是一切科学之母”、”数学是思维的体操”，它是一门研究数与形的科学，它不处不在。要掌握技术，先要学好数学，想攀登科学的高峰，更要学好数学。 ; 数学，与其他学科比起来，有哪些特点？它有什么相应的思想方法？它要求我们具备什么样的主观条件和学习方法？本讲将就数学学科的特点，数学思想以及数学学习方法作简要的阐述。 ; 一、数学的特点（一） ; 数学的三大特点严谨性、抽象性、广泛的应用性所谓数学的严谨性，指数学具有很强的逻辑性和较高的精通性，一般以公理化体系来体现。 ; 什么是公理化体系呢？指得是选用少数几个不加定义的概念和不加逻辑证明的命题为基础，推出一些定理，使之成为数学体系，在这方面，古希腊数学家欧几里得是个典范，他所著的《几何原本》就是在几个公理的基础上研究了平面几何中的大多数问题。在这里，哪怕是最基本的常用的原始概念都不能直观描述，而要用公理加以确认或证明。 ; 中学数学和数学科学在严谨性上还是有所区别的，如，中学数学中的数集的不断扩充，针对数集的运算律的扩充并没有进行严谨的推证，而是用默认的方式得到，从这一点看来，中学数学在严谨性上还是要差很多，但是，要学好数学却不能放松严谨性的要求，要保证内容的科学性。 ; 比如，等差数列的通项是通过前若干项的递推从而归纳出通项公式，但要予以确认，还需要用数学归纳法进行严格的证明。 ; 数学的抽象性表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象。它在抽象过程中抛开较多的事物的具体的特性，因而具有十分抽象的形式。它表现为高度的概括性，并将具体过程符号化，当然，抽象必须要以具体为基础。 ; 至于数学的广泛的应用性，更是尽人皆知的。只是在以往的教学、学习中，往往过于注重定理、概念的抽象意义，有时却抛却了它的广泛的应用性，如果把抽象的概念、定理比作骨骼，那么数学的广泛应用就好比血肉，缺少哪一个都将影响数学的完整性。高中数学新教材中大量增加数学知识的应用和研究性学习的篇幅，就是为了培养同学们应用数学解决实际问题的能力。 ; 二、高中数学的特点 ; 往往有同学进入高中以后不能适应数学学习，进而影响到学习的积极性，甚至成绩一落千丈。为什么会这样呢？让我们先看看高中数学和初中数学有些什么样的转变吧。 1、理论加强 2、课程增多 3、难度增大 4、要求提高三、掌握数学思想高中数学从学习方法和思想方法上更接近于高等数学。学好它，需要我们从方法论的高度来掌握它。我们在研究数学问题时要经常运用唯物辩证的思想去解决数学问题。数学思想，实质上就是唯物辩证法在数学中的运用的反映。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，初步公理化思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。 ; 例如，数列、一次函数、解析几何中的直线几个概念都可以用函数（特殊的对应）的概念来统一。又比如，数、方程、不等式、数列几个概念也都可以统一到函数概念。 ; 再看看下面这个运用”矛盾”的观点来解题的例子。 ; 已知动点Q在圆x2+y2=1上移动，定点P（2，0），求线段PQ中点的轨迹。
数学教师个人工作总结 为了更好的总结经验教训使自己迅速成长,成为一名合格的“人民教师”,无愧于这一称号,我现将这一学期工作情况总结如下： 一、师德方面：加强修养，塑造师德 我始终认为作为一名教师应把“师德”放在一个重要的位置上，因为这是教师的立身之本。“学高为师,身正为范”，这个道理古今皆然。从踏上讲台的第一天，我就时刻严格要求自己，力争做一个有崇高师德的人。我始终坚持给学生一个好的师范，希望从我这走出去的都是合格的学生，都是一个个大写的“人”。为了给自己的学生一个好的表率，同时也是使自己陶冶情操，加强修养,课余时间我阅读了大量的书籍,不断提高自己水平。今后我将继续加强师德方面的修养,力争在这一方面有更大的提高。 二、教学方面：虚心求教,强化自我 担任初一两个班的数学教学的工作任务是艰巨的，在实际工作中，那就得实干加巧干。对于一名数学教师来说,加强自身业务水平,提高教学质量无疑是至关重要的。随着岁月的流逝，伴着我教学天数的增加，我越来越感到我知识的匮乏，经验的缺少。面对讲台下那一双双渴望的眼睛，每次上课我都感到自己责任之重大。为了尽快充实自己，使自己教学水平有一个质的飞跃,我从以下几个方面对自身进行了强化。 首先是从教学理论和教学知识上。我不但自己订阅了三四种教学杂志进行教学参考，而且还借阅大量有关教学理论和教学方法的书籍,对于里面各种教学理论和教学方法尽量做到博采众家之长为己所用。在让先进的理论指导自己的教学实践的同时,我也在一次次的教学实践中来验证和发展这种理论。 其次是从教学经验上。由于自己教学经验有限,有时还会在教学过程中碰到这样或那样的问题而不知如何处理。因而我虚心向老教师学习，力争从他们那里尽快增加一些宝贵的教学经验。我个人应付和处理课堂各式各样问题的能力大大增强。 最后我做到“不耻下问”教学互长。从另一个角度来说，学生也是老师的“教师”。由于学生接受新知识快，接受信息多，因此我从和他们的交流中亦能丰富我的教学知识。 为了不辜负领导的信任和同学的希望,我决心尽我最大所能去提高自身水平，争取较出色的完成教学任务。为此,我一方面下苦功完善自身知识体系,打牢基础知识,使自己能够比较自如的进行教学；另一方面，继续向老教师