中考数学重难点专题讲座
第四讲 一元二次方程与二次函数
【前言】
前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。
第一部分 真题精讲
【例1】2010，西城，一模
已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；
⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式；
②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；
⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，
，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数
23=++y ax bx c 的解析式．
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.
【解析】
解：（1）分两种情况：
当0m =时，原方程化为033=-x ，解得1x =， （不要遗漏） ∴当0m =，原方程有实数根.
当0≠m 时，原方程为关于x 的一元二次方程，
∵()()()2
22[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.
∴原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）
综上所述，m 取任何实数时，方程总有实数根.
（2）①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称， ∴0)1(3=-m .（关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0） ∴1=m .
∴抛物线的解析式为121-=x y .
②∵()()2
21212210y y x x x -=---=-≥，（判断大小直接做差） ∴12y y ≥（当且仅当1x =时，等号成立）. （3）由②知，当1x =时，120y y ==.
∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉） ∵对于x 的同一个值，132y y y ≥≥， ∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0. 又∵23y ax bx c =++经过()5,0-，
∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）
设)22(542
23---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=.
∵对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立， ∴320y y -≥，
图7
∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥. 又根据1y 、2y 的图象可得 0a >， ∴24(25)(42)04a a a y a
---=最小
≥.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）
∴2(42)4(25)0a a a ---≤. ∴2(31)0a -≤. 而2(31)0a -≥.
只有013=-a ，解得13
a =. ∴抛物线的解析式为3
5343123-+=x x y .
【例2】2010，门头沟，一模
关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=. （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点()11A --，
是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.
【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.
【解析】：
（1）由题意得[]2
2224(1)0m m ?=---->（）
解得5
4
m < 210m -≠
解得1m ≠± 当5
4
m <
且1m ≠±时，方程有两个不相等的实数根. （2）由题意得212(2)11m m -+-+=-
解得31m m =-=，
（舍） (始终牢记二次项系数不为0) 28101y x x =++ （3）抛物线的对称轴是5
8
x =
由题意得114B ??
-- ???， (关于对称轴对称的点的性质要掌握) 1
4
x =-与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏)
另设过点B 的直线y kx b =+（0k ≠）
把114B ??
-- ???
，
代入y kx b =+，得14k b -+=-，114b k =-
1
14
y k x k =+- 281011
14
y x x y kx k ?=++?
?=+-?? 整理得2
18(10)204
x k x k +--+=
有且只有一个交点，2
1(10)48(2)04
k k ?=--??-+=
解得6k = 162
y x =+
综上，与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14x =-，1
62
y x =+
【例3】
已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点． （1）求b 的值；
（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；
（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．
【思路分析】 拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组， 十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q 纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b 。 第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。
【解析】
(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．
所以，抛物线对称轴3142
b x -+=-
=，所以，4b =． （2）由（1）可知，关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0． 因为，24b ac =- =16－8=8>0． 所以，方程有两个不同的实数根，分别是
1122b x a -+=
=-+
，2122
b x a -==--
． （3）由（1）可知，抛物线2241y x x =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位后的解析式为2241y x x k =+++．
若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点，只需22410x x k +++= 无实数解即可．
由24b ac =- =168(1)k -+=88k -<0，得1k > 又k 是正整数，所以k 得最小值为2．
【例4】2010，昌平，一模
已知抛物线2442y ax ax a =-+-，其中a 是常数． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若2
5
a >
，且抛物线与x 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．
【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a 提出来,里面就是一个关于X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给2
5
a >
,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. （1）依题意，得0a ≠，
∴2442y ax ax a =-+- ()()22
4422 2.
a x x a x =-+-=--
∴抛物线的顶点坐标为(2,2)-
（2）∵抛物线与x 轴交于整数点， ∴24420ax ax a -+-=的根是整数．
∴2x =±
是整数． ∵0a >，
∴2x = ∴
2
a
是整数的完全平方数． ∵2
5
a >， ∴2
5a
<． (很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手) ∴2
a
取1，4， 当
21a =时，2a =； 当24a =时，1
2
a = ． ∴a 的值为2或
1
2
． ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+或2
122
y x x =-．
【例5】2010，平谷，一模
已知：关于x 的一元二次方程()()2
1210m x m x -+--=（m 为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线()()2
121y m x m x =-+--总过x
轴上的一个固定点；
（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程()()2
1210m x m x -+--=有两个不相等的
整数根，把抛物线()()2
121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．
【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式≥0就可以了，依然不能遗漏的是m －1≠0。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y 的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m 提出,对其进行因式分解得到y=(mx －x －1)(x+1)就可以看出当x=－1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X 轴上固定点.如果想不到因式分解,
由于本题固定点的特殊性(在X 轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.
解：（1）()()2
2241m m m ?=-+-= ∵方程有两个不相等的实数根, ∴0m ≠ ∵10m -≠,
∴m 的取值范围是0m ≠且1m ≠.
（2）证明：令0y =得()()2
1210m x m x -+--=.
∴()()
()()
222121m m m x m m --±--±==
--.
∴()()12221
121211
m m m m x x m m m -+--++=
=-==---， (这样做是因为已经知道判别式是2m ,计
算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)
∴抛物线与x 轴的交点坐标为()11001m ??
-
?-??
，，，, ∴无论m 取何值，抛物线()()2121y m x m x =-+--总过定点()10-， （3）∵1x =-是整数 ∴只需1
1
m -是整数. ∵m 是整数，且01m m ≠≠，
, ∴2m =
当2m =时，抛物线为21y x =-．
把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 ()2
23168y x x x =--=-+
【总结】 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0或者不为0的
情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。
第二部分 发散思考
【思考1】. 2010，北京中考
已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线
()1
2
y x b b k =
+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.
【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k 为正整数的条件求k 很简单.第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.
【思考2】2009，东城，一模
已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= （1）若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值．
【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.
【思考3】2009，海淀，一模
已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2－bx+kc （c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；
（2）求代数式akc
ab
b k
c +-22)(的值；
（3）求证: 关于x 的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.
【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论K 的取值即可。第二问则需要将k 用a,b 表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.
【思考4】2009，顺义,一模
. 已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=． （1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根12x x ，满足122
11
m x x m +-=+-，求m 的值．
【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出12x x ，,
发现12x x ，都是关于m 的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
解：（1）由题意得，168(1)0k ?=--≥． ∴3k ≤． ∵k 为正整数， ∴123k =，，．
（2）当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零； 当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根；
当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根． 综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．
当3k =时，二次函数为2242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．
（3）设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于
A B 、两点，则(30)A -，
，(10)B ，． 依题意翻折后的图象如图所示．
当直线12y x b =
+经过A 点时，可得3
2b =； 当直线12y x b =+经过B 点时，可得1
2
b =-．
由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为13
22
b -<<
【思考2解析】
证明： []2
2
=2(23)-4414884m m m m ---++ （）=
0,m > 840.m ∴+>
∴方程有两个不相等的实数根。 （2）(23)x m -±
且m为整数．又∵12＜m＜40，
252181.
m
∴<+<
∴5
9．
35
6,.
2
7,24.
63
8,.
2
m
m
m
=∴=
=∴=
=∴=
∴m=24
【思考3解析】
解：由kx=x+2，得(k－1) x=2.
依题意k－1≠0.
∴
1
2
-
=
k
x.
∵方程的根为正整数，k为整数,
∴k－1=1或k－1=2.
∴k1= 2, k2=3.
（2）解：依题意，二次函数y=ax2－bx+kc的图象经过点（1，0），∴0 =a－b+kc, kc = b－a .
∴
2
2
2
2
2
2
2
22
a
ab
ab
b
a
ab
b
a
b
a
ab
b
a
b
akc
ab
b
kc
-
+
-
+
-
=
-
+
-
-
=
+
-
)
(
)
(
)
(
=.1
2
2
-
=
-
-
a
ab
ab
a
（3）证明：方程②的判别式为Δ=(－b)2－4ac= b2－4ac.
由a≠0, c≠0, 得ac≠0.
( i ) 若ac<0, 则－4ac>0. 故Δ=b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a－b+kc =0, 故b=a+kc.
Δ=b2－4ac= (a+kc)2－4ac=a2+2kac+(kc)2－4ac = a2－2kac+(kc)2+4kac－4ac
=(a －kc)2+4ac(k －1). ∵ 方程kx=x+2的根为正实数， ∴ 方程(k －1) x=2的根为正实数. 由 x>0, 2>0, 得 k －1>0. ∴ 4ac(k －1)>0. ∵ (a －kc)2≥0,
∴Δ=(a －kc)2+4ac(k －1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,
∵ 抛物线y=ax2－bx+kc 与x 轴有交点, ∴ Δ1=(－b)2－4akc =b2－4akc ≥0. (b2－4ac)－( b2－4akc)=4ac(k －1). 由证法一知 k －1>0, ∴ b2－4ac> b2－4akc ≥0.
∴ Δ= b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.
【思考4解析】
（1）[]2
2
(21)4(2)m m m ?=-+-+-
22441448m m m m =++--+ 90=>
∴不论m 取何值，方程总有两个不相等实数根
（2）由原方程可得12(21)(21)3
22
m m x ++±=
=
，
∴ 1221x m x m =+=-， －－ ∴ 123x x -=
又∵ 12211m x x m +-=+- ∴ 2
311
m m +=+
- ∴ 4m = －
m 符合题意．经检验：4
∴m的值为4．
https://www.doczj.com/doc/3e6784424.html,
中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 （） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.
【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点 和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④ （为实数）；⑤当时，，其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A
2018中考数专题二次函数 （共40题） 1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值． 2．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D． （1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）； （2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值； （3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． 3．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C． （1）求直线y=kx+b的函数解析式； （2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值． 4．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1 （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标． （2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形． ②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限取一点C，作CD垂直X轴于点D，AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存
1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标． 2. 在直角坐标系xoy 中，(0,2)A 、(1,0)B -，将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，
若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴的另一个交点为B .⑴若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；⑶设点P 为抛物线的 图15.1 C D O B A x y
对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为 （－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；（2 ）试探究抛物线上是 第25题图
二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3） （1）求该二次函数所对应的函数解析式； （2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值； （3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为 2 4 ；（3）M点坐标为可以为（2， 3），（55 2 + ，3），（ 55 2 - ，3）． 【解析】 【分析】 （1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式． （2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值． （3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解． 【详解】 解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c）， ∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0）， ∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）． 又∵点D（4，3）在二次函数上， ∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3， ∴解得：a＝1． ∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．
初中数学二次函数复习专题 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1． 理解二次函数的概念； 2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法 画二次函数的图象； 3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2 ＋k 的图象，了解特殊与一 般相互联系和转化的思想； 4． 会用待定系数法求二次函数的解析式； 5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函 数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 （1）二次函数及其图象 如果y=ax 2 +bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。 （2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。 抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2 －m －2额图像经过原点， 则m 的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内 考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2 ＋bx －1的图像大致是（ ） 和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝5 3 ，求这条抛物线的解析式。 4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－32 （1） 确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 习题1: 一、填空题：（每小题3分，共30分） １、已知Ａ（３，６）在第一象限，则点Ｂ（３，－６）在第象限 ２、对于ｙ＝－１ ｘ ，当ｘ＞０时，ｙ随ｘ的增大而 ３、二次函数ｙ＝ｘ２ ＋ｘ－５取最小值是，自变量ｘ的值是 ４、抛物线ｙ＝（ｘ－１）２ －７的对称轴是直线ｘ＝ ５、直线ｙ＝－５ｘ－８在ｙ轴上的截距是 ６、函数ｙ＝ １ ２－４ｘ 中，自变量ｘ的取值范围是 ７、若函数ｙ＝（ｍ＋１）ｘｍ２＋３ｍ＋１ 是反比例函数，则m 的值为 ８、在公式１－ａ ２＋ａ ＝ｂ中，如果ｂ是已知数，则ａ＝ ９、已知关于ｘ的一次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋７，如果ｙ随ｘ的增大而减小，则ｍ的 取值范围是 １０、 某乡粮食总产值为ｍ吨，那么该乡每人平均拥有粮食ｙ（吨），与该乡人口 数ｘ的函数关系式是 二、选择题：（每题3分，共30分） １１、函数ｙ＝ｘ－５中，自变量ｘ的取值范围 （ ） (Ａ)ｘ＞５ (Ｂ)ｘ＜５ (Ｃ)ｘ≤５ (Ｄ)ｘ≥５ １２、抛物线ｙ＝（ｘ＋３）２ －２的顶点在 （ ） (Ａ)第一象限 (Ｂ) 第二象限 (Ｃ) 第三象限 (Ｄ) 第四象限 １３、抛物线ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）与坐标轴交点的个数为 （ ） (Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)３ １４、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) 15．平面三角坐标系内与点（3，－5）关于ｙ轴对称点的坐标为（ ） （A ）（－3,5） （B ）（3,5） （C ）（－3，－5） （D ）（3，－5） 16．下列抛物线，对称轴是直线ｘ＝1 2 的是（ ） （A ） ｙ＝12 ｘ2（B ）ｙ＝ｘ2＋2ｘ（C ）ｙ＝ｘ2＋ｘ＋2（D ）ｙ＝ｘ2 －ｘ－2 17．函数ｙ＝3ｘ 1－2ｘ 中，ｘ的取值范围是（ ） （A ）ｘ≠0 （B ）ｘ＞12 （C ）ｘ≠12 （D ）ｘ＜1 2
中考二次函数专题复习 知识点归纳： 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. y a x h =-的性质： 左加右减。 4. y a x h k =-+的性质：
1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取 的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当
中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.（2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 图2
2.（2010绵阳）如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标； （2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3．(2012铜仁)如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型二：构造直角三角形 【例2】（2010山东聊城）如图，已知抛物线y ＝ax 2 +bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，C E D G A x y O B F
第二十六章 二次函数 【知识梳理】 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0