2.1.1 指数与指数幂的运算(一)
(一)教学目标
1.知识与技能
(1)理解n次方根与根式的概念;
(2)正确运用根式运算性质化简、求值;
(3)了解分类讨论思想在解题中的应用.
2.过程与方法
通过与初中所学的知识(平方根、立方根)进行类比,得出n次方根的概念,进而学习根式的性质.
3.情感、态度与价值观
(1)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯;
(2)培养学生认识、接受新事物的能力.
(二)教学重点、难点
1.教学重点:(1)根式概念的理解;
(2)掌握并运用根式的运算性质.
2.教学难点:根式概念的理解.
(三)教学方法:
本节概念性较强,为突破根式概念的理解这一难点,使学生易于接受,故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手,由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念,在得出根式概念后,要引导学生注意它与n次方根的关系,并强调说明根式是n次方根的一种表示形式,加强学生对概念的理解,并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现,学生合作交流,自主探索的教学方法.
(四)教学过程:
一、引入课题
1.以折纸问题引入,激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性
2.由实例(见教材P48—49)引入,了解指数的意义是什么,指数概念提出的背景,体会引入指数的必要性;
3.初中根式的概念;
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根;
二、新课教学
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念
x n ,那么x叫做a的n次方根(n th root),其中n>1,且n∈N*.
一般地,如果a
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.此时,a的n次方根用符号n a表示.式子n a叫做根式(radical),这里n叫做根指数(radical exponent),a叫做被开方数(radicand).
当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示,负的n 次方根用符号-n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a (a >0).
由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
00=n . 思考:(课本P 50探究问题)
n n a =a 一定成立吗?.(学生活动) 结论:当n 是奇数时,a a n n =
当n 是偶数时,
???<≥-==)0()0(||a a a a a a n
n 三.例题讲解 例1.(教材P 50例1). 略
补充例题(按情况讲解)
例21,a =-a 求的取值范围.
例3
例4 四.巩固练习:
练习 计算下列各式的值.
(1)33)(a ;(2 (1n >,且n N *∈)(3)1n >,且n N *
∈) 五.归纳总结
1.根式的概念:若n >1且*
n N ∈,则n x a 是的次方根.
x n 为奇数时, n 为偶数时,x =
2.掌握两个公式:,n n 为奇数时
(0)||(0)
a a n a a a ≥?==?-
七.板书设计:(略)
八.课后反思:
2.1.2 指数与指数幂的运算(二)
(一)教学目标
1.知识与技能
(1)理解分数指数幂的概念;
(2)掌握分数指数幂和根式之间的互化;
(3)掌握分数指数幂的运算性质;
(4)培养学生观察分析、抽象等的能力.
2.过程与方法
通过与初中所学的知识进行类比,得出分数指数幂的概念,和指数幂的性质.
3.情感、态度与价值观
(1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想;
(2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯;
(3)让学生体验数学的简洁美和统一美.
(二)教学重点、难点
1.教学重点:(1)分数指数幂的理解;
(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质;
2.教学难点:分数指数幂概念的理解
(三)教学方法
发现教学法
1.经历由利用根式的运算性质对根式的化简,注意发现并归纳其变形特点,进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后,进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律,并由特殊推广到一般的研究方法.
(四)教学过程:
一.引入课题
1.n次方根的定义
记法
n
n
n
n
a
a ??
?
±
??
为奇数
为偶数
2.根式:n a
3. 3.
{,||,a n a n 为奇数为偶数
巩固强化知识点,为本节课的教学奠定知识基础
二.新课讲授
1.回顾正整数指数幂导出探究的问题
能否这样表示?
指出当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式,能否将这个结论推广到正数的正分数指数幂的形式上去?
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义 规定:
)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m
)1,,,0(1
1*>∈>=
=-n N n m a
a a a n m n m
n m
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.有理指数幂的运算性质
(1)r a ·s r r a a
+= ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)(
),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)(
),0,0(Q r b a ∈>>. 三.例题讲解
引导学生解决本课开头实例问题
例题.(教材P 51例2、例3、例4、例5)
补充例题
例1计算
(1).)01.0(41225325.02120-??? ???+??? ??--
==412510)2()1(a a 34432552)()(a a a a ==412510a a ==)0()0(>>a a ()43
15220a a
a a ===>
(1)5.121
3241
)91()6449()27()0001.0(---+-+; 例2.化简下列各式:
(1)31331538332
7
----÷÷a a a a a a ; (2)3332
332
313
4
)21(248a a
b a ab b b a a ?-÷++-. 说明:让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用.
巩固练习:(教材P 54练习1-3)
4. 无理指数幂
结合教材P 52实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义.
指出:一般地,无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.有理数指数幂推广到无理数指数幂,进而推广到整个实数范围,说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题.
四.课堂小结
1. 正数的正分数指数幂的意义
2. 正数的负分数指数幂的意义
3. 运算性质
五.课后作业
六.板书设计(略)
七.课后反思:
2.1.3 指数函数及其性质(一) (一)教学目标 1.知识与技能 了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象. 2.过程与方法
能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索指数函数图象特征.
3.情感、态度与价值观
在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型,激发学生学习数学的兴趣,努力培养学生的创新意识.
(二)教学重点、难点
1.教学重点:指数函数的概念和图象.
2.教学难点:指数函数的概念和图象.
(三)教学方法
采用观察、分析、归纳、抽象、概括,自主探究,合作交流的教学方法,通过各种教学媒体(如计算机或计算器),调动学生参与课堂教学的主动性和积极性.
(四)教学过程
一.复习引入
1. 在本章的开头,问题(1)中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤
与问题(2)中时间t 和C-14含量P 的对应关系]t 51301P=[()2
, 请问这两个函数有什么共同特征.
2. 这两个函数有什么共同特征
157301][()]2
t P =t 57301把P=[()变成2,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量为指数,即都可以用x y a =(a >0且a ≠1来表示).
二.新课讲授
1.指数函数的定义
一般地,函数x y a =(a >0且a ≠1)叫做指数函数(exponential function),其中x 是自变量,函数的定义域为R . 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?
(1)
22x y += (2)(2)x y =- (3)2x y =- (4)
x y π= (5)2y x = (6)24y x = (7)x y x = (8)(1)x y a =- (a >1,且2a ≠)
小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为a >0,x 是任意一个实数时,x a 是一个确定的实数,所以函数的定义
域为实数集R .
000,0x x a a x a ?>?=?≤??x 当时,等于若当时,无意义
若a <0,如
1(2),,8x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,x y == 是一个常量,没有研究的意义,只有满足(0,1)
x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数,5,,3,31x x x a y x y y +===+1x x 为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合
(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数
2.指数函数的性质
我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研究. 先来研究a >1的情况 下面我们通过用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数2x y =的图象
再研究,0<a <1的情况,用计算机完成以下表格并绘出函数1()2
x y =的图象.
指数与指数幂的运算 【知能点】 知能点1:有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂()n n a a a a a n N *=??? ?∈个 ; (2)零指数幂)0(10≠=a a ; (3)负整数指数幂()10,n n a a n N a -* = ≠∈ (4)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 (1)()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ (2)()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ (3)()()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ ① 引例:a >0 102 5 a a === → ?=; 3 23 3 3 23 2 )(a a a == → ?=. ① 定义分数指数幂: 规定* 0,,,1)m n a a m n N n =>∈> ;*1 0,,,1)m n m n a a m n N n a -= = >∈> ③ 练习:A.将下列根式写成分数指数幂形式: (0,,1)a m n N n *>∈>; ; 例 1:把下列各式中的a 写成分数指数幂的形式 (1)5 256a =;(2)4 28a -=;(3)765a -=;(4)()353,n m a m n N -+=∈ 解:(1)1 5 256a =;(2)1428a - =;(3)6 7 5a - =;(4)533 m n a - = 例 2:计算 (1)32 9; (2)32 16- 解:(1)() 3 3322 3 2 2 2 933 327? ====;(2)() 332312 2 116 4 464 - ---====
§2.1.1指数与指数幂的运算(2) 学习目标 1. 理解分数指数幂的概念; 2. 掌握根式与分数指数幂的相互转化; 3 掌握有理数指数幂的运算. 预习案 预习课本P 50—P 52 页内容 1.正数a 的正分数指数幂=n m a (),,0*N n m a ∈> 2.正数a 的负分数指数幂=- n m a (),,0*N n m a ∈> 3.s r a a ?= (其中),,0Q s r a ∈> 4.s r a )( = (其中),,0Q s r a ∈> 5.s b a )(?= (其中),0,Q s b a ∈> 预习自测 1. 求下列各式的值: (1)3 28 (2)2 1100- (3)2 39- 2.用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(式中字母都是正数): (1)a a ?2 (2)323a a ? (3)a a 3.计算下列各式(式中字母都是正数): (1)(2a 3 2b 2 1)(-6a 2 1b 3 1)÷(-3a 6 1b 6 5); (2)(m 4 1n 8 3- )8. 我的疑问
探究案 自主探究一: (1)观察以下式子,并总结出规律:a >0, ①510a =55 2)(a =a 2 =a 5 10; ②8a =2 4)(a =a 4 =a 2 8; ③4 12 a =44 3)(a =a 3 =a 4 12; ④210a =22 5)(a =a 5 =a 2 10. (2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗? 4 35,357,57a ,n m x (x>0,m,n∈+N ,且n>1). (3)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗? (4)0的正分数指数幂等于多少?0有负指数幂吗? (5)负整数指数幂的意义是怎样规定的? 合作探究 例1. 已知231 21 1322[()()] a b a b ab a ------==求的值. 变题1:已知31 =+-x x ,求下列各式的值:(1)2 12 1- +x x 例2. 比较63123,11,5的大小.
指数与指数幂的运算 课题:指数与指数幂的运算 课型:新授课 教学方法:讲授法与探究法 教学媒体选择:多媒体教学 学习者分析: 1.需求分析:在研究指数函数前,学生应熟练掌握指数与指数幂的运算,通过本节内容将指数的取值范围扩充到实数,为学习指数函数打基础. 2.学情分析:在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算,但是这对我们研究指数函数是远远不够的,通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入. 学习任务分析: 1.教材分析:本节的内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如推广思想,逼近思想,教材充分关注与实际问题的联系,体现了本节内容的重要性和数学的实际应用价值. 2.教学重点:根式的概念及n次方根的性质;分数指数幂的意义及运算性质;分数指数幂与根式的互化. 3.教学难点:n次方根的性质;分数指数幂的意义及分数指数幂的运算. 教学目标阐明:
1.知识与技能:理解根式的概念及性质,掌握分数指数幂的运算,能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化. 2.过程与方法:通过探究和思考,培养学生推广和逼近的数学思想方法,提高学生的知识迁移能力和主动参与能力. 3.情感态度和价值观:在教学过程中,让学生自主探索来加深对n 次方根和分数指数幂的理解,而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面. 教学流程图: 教学过程设计: 一.新课引入:
(一)本章知识结构介绍 (二)问题引入 1.问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量P 与死亡年数t 之间的关系: (1)当生物死亡了5730年后,它体内的碳14含量P 的值为 (2)当生物死亡了5730×2年后,它体内的碳14含量P 的值为 (3) 当生物死亡了6000年后,它体内的碳14含量P 的值为 (4)当生物死亡了10000年后,它体内的碳14含量P 的值为 122 12?? ???6000 5730 12?? ???100005730 12?? ? ??
2.1.1 指数与指数幂的运算(2课时) 第一课时根式 教学目标:1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念; 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质; 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教学重点:根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点:根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法:学导式 教学过程: (I)复习回顾 引例:填空 m n =(m,n∈Z); a+
(II )讲授新课 1.引入: (1)填空(1),(2)复习了整数指数幂的概念和运算性质(其中:因为m n a a ÷可看作m n a a -?,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +?=;又因为n b a )(可看作 m n a a -?,所以n n n b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =?(n ∈Z)),这是为下面学习分 数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂,先要学习n 次根式(*N n ∈)的概念。 (2)填空(3),(4)复习了平方根、立方根这两个概念。如: 分析:若22=4,则2叫4的平方根;若23=8,2叫做8的立方根;若25=32,则2叫做32的5次方根,类似地,若2n =a ,则2叫a 的n 次方根。由此,可有:
2.n 次方根的定义:(板书) 问题1:n 次方根的定义给出了,x 如何用a 表示呢?n a x =是否正确? 分析过程: 解:因为33=27,所以3是27的3次方根;因为5)2(-=-32,所以-2是-32的5次方根; 因为632a )a (=,所以a 2是a 6的3次方根。 结论1:当n 为奇数时(跟立方根一样),有下列性质:正数的n 次方根是正数,负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时,a 的n 次方根可表示为n a x =。 从而有:3273=,2325-=-,236a a = 解:因为4216=,16)2(4=-,所以2和-2是16的4次方根;
课题:指数与指数幂的运算(一) 课 型:新授课 教学目标: 了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念 教学重点:掌握n 次方根的求解. 教学难点:理解根式的概念,了解指数函数模型的应用背景 教学过程: 一、复习准备: 1、提问:正方形面积公式?正方体的体积公式?(2a 、3a ) 2、回顾初中根式的概念:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根;如果一 个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根. → 二. 讲授新课: 1. 教学指数函数模型应用背景: ① 探究下面实例,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数函数的必要性. 实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅,1990年人口数为a 万,则x 年后人口数为多少万? 实例2. 给一张报纸,先实验最多可折多少次(8次) 计算:若报纸长50cm ,宽34cm ,厚0.01mm ,进行对折x 次后,问对折后的面积与厚度? ② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析,我国未来20年GDP (国内生产总值)年平均增长率达7.3℅, 则x 年后GDP 为2000年的多少倍? 书P52 问题2. 生物死亡后,体内碳14每过5730年衰减一半(半衰期),则死亡t 年后 体内碳14的含量P 与死亡时碳14的关系为57301()2 t P =. 探究该式意义? ③小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 2. 教学根式的概念及运算: ① 复习实例蕴含的概念:2(2)4±=,2±就叫4的平方根;3327=,3就叫27的立方根. 探究:4(3)81±=,3±就叫做81的?次方根, 依此类推,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根. ② 定义n 次方根:一般地,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.( n th root ),其中1n >,n *∈N 例如:328=2= ③ 讨论:当n 为奇数时, n 次方根情况如何?, 例如: 33-, 记:x 当n 为偶数时,正数的n 次方根情况? 例如: 4(3)81±=,81的4次方根就是3±, 记: 强调:负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即. 0= ④ 练习:4b a =,则a 的4次方根为 ; 3b a =, 则a 的3次方根为 . ⑤ radical ), 这里n 叫做根指数(radical exponent ), a 叫做被开方数(radicand ). ⑥ 计算2→ 探究: n 、n n a 的意义及结果? (特殊到一般) n a =. 当n 是奇数时,a a n n =;当n (0)||(0)a a a a a ≥?==?- 3、例题讲解