2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3） 姓名_______
一、
填空题，每题8分
1.设1
sin cos 2
+=x x ，则33sin cos +=x x
2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i
3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a
4. 集合
[][][]{}{}231,2,,100++∈ x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的
最大整数。
5.若关于x 的方程2=x x ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是
6.在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设
O 为正方体的中心，点,M N 分别在棱111,A D CC 上，112
,23
==A
M CN ,则四面体1OMNB 的体积等于
7.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于
二、 简答题
8.已知数列{}n a 满足211012
2391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。用数学归纳法证明：
223+=-n n a
9.证明：对任意的实数,,a b c ≥并
求等号成立的充分必要条件。
10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n
2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案
三、
填空题，每题8分
1.设1
sin cos 2
+=
x x ，则33sin cos +=x x 解答：由1sin cos 2+=
x x ，可得112s i n c o s 4+=x
x ，故3
sin cos 8
=-x x ，从而33sin cos +=x x 221311
(sin cos )(sin cos sin cos )(1)2816
+-+=
+=x x x x x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 解答：由2(1)2+=i i ，可得2016
1(1)2+=i ，同理可得20161(1)2-=i 故
201620161009(1)(1)2++-=i i
3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a 解答：设等差数列的公差为d ，则有11004950100+=a d ，1100949501000+=a d 解得
10.505=a
4. 集合
[][][]{}{}231,2,,100++∈ x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的
最大整数。
解答：设[][][]()23=++f x x x x 则有(1)()6+=+f x f x ，当01≤ 能 值 为 0,1,2,3. 由 此 () f x 得值域{}6 ,61, 62,6 3 =+++∈S k k k k k Z , [][][]{}{}231,2,,100417167++∈=?-= x x x x R 个元素。 5.若关于x 的方程2=x x ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是 解答：设2()-=x f x x e ，则2'()(2)-=-x f x x x e 当0≤x 时，2()-=x f x x e 单调递减，当 02≤≤x 时，2()-=x f x x e 单调递增，当2≥x 时，2()-=x f x x e 单调递减，(0)0=f ， 2(2)4-=f e ，当→+∞x 时()0→f x 因此，2()-==x f x x e a 有三个不同的实根当且仅 当2