昌平区2013年初三年级第二次统一练习
数
学 试 卷 2013.6
一、选择题(共8道小题,每小题4分,共32分)
下列各题均有四个选项,其中只有一个..是符合题意的. 1.3-的相反数是
A .13-
B .1
3
C .3-
D .3
2.中国公安部副部长3月6日表示,中国户籍制度改革的步伐已经明显加快,力度明显加大.2010年至2012 年,中国共办理户口“农转非”2 500多万人. 请将 2 500 用科学记数法表示为 A .25010? B .22510? C .32.510? D .4
0.2510? 3. 在水平的讲台桌上放置圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒(右图),则它的主视图是[来源:Z*xx*https://www.doczj.com/doc/385906671.html,]
A B C D 4.如右图所示,已知AB ∥CD ,EF 平分∠CEG , ∠1=80°, 则∠2的度数为 A .80°
B .60°
C .50°
D .40°
5.在一次学校田径运动会上,参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示:
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是
A. 1.40, 1.40
B. 1.45, 1.40
C. 1.425, 1.40
D. 1.40, 1.45 6.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为 A. 2
3(2)3y x =++ B.2
3(2)3y x =-+ C. 2
3(2)3y x =+- D.2
3(2)3y x =-- 7.如图,在△ABC 中,∠C =90°,BC =6,D ,E 分别在 AB ,AC 上,将△ADE 沿DE 翻折后,点A 落在点A ′处,若A ′为CE 的中点,则折痕DE 的长为 A. 1错误!未找到引用源。
B.6
C. 4
D. 2
成绩(m ) 1.30 1.35 1.40 1.45 1.47 1.50 人数
1
2
4
3
3
2
实物图
1 2
G B D
C
A
F E
A'
E
D A
B
C
A
B
C
P
8.正三角形ABC 的边长为2,动点P 从点A 出发,以每秒1个单位长度的速度,沿A →B →C →A 的方向运动,到达点A 时停止.设运动时间为x 秒,y =PC 2,则y 关于x 的函数的图象大致为
y
x
x
y
3
41246
O 3
41246
O x
y
3
41246
O y
x
O 3
41246
A B C D
二、填空题(共4道小题,每小题4分,共16分) 9.若分式
2
4
02
x x -=+,则x 的值为 . 10.有两名学员小林和小明练习射击,第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示,通常新手的成绩不太稳定,那么根据图中的信息,估计小林和小明两人中新手是 .
11.如图,□ABCD 中,E 是CD 的延长线上一点,BE 与AD 交于点F ,CD =2DE .若△DEF 的面积为1,则□ABCD 的面积为 .
12.如图,从原点A 开始,以AB =1为直径画半圆,记为第1个半圆;以BC =2为直径画半圆,记为第2个半圆;以CD =4为直径画半圆,记为第3个半圆;以DE =8为直径画半圆,记为第4个半圆;……,按此规律,继续画半圆,则第5个半圆的面积为 ,第n 个半圆的面积为 .
三、解答题(共6道小题,每小题5分,共30分)
13.计算: ()1
01124sin 6013π-??
-?-+- ???
.
14. 解分式方程:
23
13162
x x -=
--.
A
E
B
C
D
F
4
E D C B -5
-2
2
A 10
小林
小明
环数次数
1048
2
6
628410
15. 已知2
5140m m --=,求()()()2
12111m m m ---++的值.
16. 如图,AC //FE ,点F 、C 在BD 上,AC=DF , BC=EF .
求证:AB=DE .
17. 已知:如图,一次函数33
y x m =+与反比例函数3y x
=
的图象在第一象限的交点为(1)A n ,.
[来源学科网ZXXK]
(1)求m 与n 的值;
(2)设一次函数的图象与x 轴交于点B ,求ABO ∠的度数.
A
B
C
D
E
F
O
B
A
x
y
18. 如图,AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线,∠DAB =∠ABC =90°,BE ⊥BD 且BE =BD ,连接EA 并延长交CD 的延长线于点F . 如果∠AFC =90°,求∠DAC 的度数.
19. 某中学艺术节期间,向全校学生征集书画作品. 美术社团从九年级14个班中随机抽取了4个班,对征集到的作品的数量进行了分析统计,制作了如下两幅不完整的统计图.
4个班征集到的作品数量分布统计图
4个班征集到的作品数量统计图150°
D
C
B
A
12345A
B
C
D
2
5
2
班级
作品(件)
图1 图2
(1)直接回答美术社团所调查的4个班征集到作品共 件,并把图1补充完整;
(2)根据美术社团所调查的四个班征集作品的数量情况,估计全年级共征集到作品的数量为 ; (3)在全年级参展作品中有5件获得一等奖,其中有3名作者是男生,2名作者是女生. 现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会,用树状图或列表法,求恰好抽中一男生一女生的概率.
A
B
C
D
F E
20. 如图,点A 、B 、C 分别是⊙O 上的点,∠B =60°, CD 是⊙O 的直径,P 是CD 延长线上的点,且AP =AC .
(1)求证:AP 是⊙O 的切线;
(2)若AC =3,求PD 的长.
21. 如图所示,等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB =15,AD =20,∠C =30°.点M 、N 同时以相同的速度分别从点A 、点D 开始在AB 、DA 上向点B 、点A 运动. (1)设ND 的长为x ,用x 表示出点N 到AB 的距离; (2)当五边形BCDNM 面积最小时,请判断△AMN 的形状.
P
O
D
C
B A
N M
D
C
B
A
22. (1)【原题呈现】如图,要在燃气管道l 上修建一个泵站分别向A 、B 两镇供气. 泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
解决问题:请你在所给图中画出泵站P 的位置,并保留作图痕迹;
(2)【问题拓展】已知a >0,b >0,且a +b =2,写出2
2
14m a b =+++的最小值;
(3)【问题延伸】已知a >0,b >0,写出以2
2
a b +、2
2
4a b +、2
2
4a b +为边长的三角形的面积.
B
A
l
五、解答题(共3道小题,第23题6分,第24题7分,第25题9分,共22分)[来源:学科网]
23. 已知点A (a ,1y )、B (2a ,y 2)、C (3a ,y 3)都在抛物线2
112
2
y x x =
-
上.
(1)求抛物线与x 轴的交点坐标; (2)当a =1时,求△ABC 的面积;
(3)是否存在含有1y 、y 2、y 3,且与a 无关的等式?如果存在,试给出一个,并加以证明;如果不存在,请说明理由.
-1-1
11
x
O
y
24.(1)如图1,以AC 为斜边的Rt △ABC 和矩形HEFG 摆放在直线l 上(点B 、C 、E 、F 在直线l 上),已知BC =EF =1,AB =HE =2. △ABC 沿着直线l 向右平移,设CE =x ,△ABC 与矩形HEFG 重叠部分的面积为y (y ≠0). 当x =
3
5
时,求出y 的值; (2)在(1)的条件下,如图2,将Rt △ABC 绕AC 的中点旋转180°后与Rt △ABC 形成一个新的矩形ABCD ,当点C 在点E 的左侧,且x =2时,将矩形ABCD 绕着点C 顺时针旋转α角,将矩形HEFG 绕着点E 逆时针旋转相同的角度. 若旋转到顶点D 、H 重合时,连接AG ,求点D 到AG 的距离;
(3)在(2)的条件下,如图3,当α=45°时,设AD 与GH 交于点M ,CD 与HE 交于点N ,求证:四边形MHND 为正方形.
M N
图3
H
G l
F
E
C
B A D
l
A
B
C
E
F
G
H
图1图2D G
l
F
E
C
B
A
(H )
25. 如图,已知半径为1的1O e 与x 轴交于A B ,两点,OM 为1O e 的切线,切点为M ,圆心1O 的坐标为(20),,二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ,两点. (1)求二次函数的解析式; (2)求切线OM 的函数解析式;
(3)线段OM 上是否存在一点P ,使得以P O A ,,为顶点的三角形与1OO M △相似.若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
A
B O 1y
x
M
O
昌平区2013年初三年级第二次统一练习
数学试卷参考答案及评分标准 2013.6
一、选择题(共8道小题,每小题4分,共32分)
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
B
C
B
A
D
A
二、填空题(共4道小题,每小题4分,共16分)
题 号 9 10 11 12
答 案
2
小林
12
32π, 252n π-(各2分)
三、解答题(共6道小题,每小题5分,共30分) 13.解:原式=3234312
-?
-+ …………………………………………………………… 4分
= -2. ……………………………………………………………………… 5分 14.解:方程两边同时乘以2(3x ﹣1),得
4﹣2(3x ﹣1)=3. ……………………………………………………………………… 2分 化简,得﹣6x=﹣3. ……………………………………………………………………… 3分
解得 x=. …………………………………………………………………………… 4分
[来源:学|科|网]
检验:x=时,2(3x ﹣1)=2×(3×﹣1)≠ 0. ………………………………………… 5分 所以,x=是原方程的解. 15.解:()()()2
12111m m m ---++
=22
221(21)1m m m m m --+-+++ ………………………………………………………2分 =22
221211m m m m m --+---+ …………………………………………………… 3分 =2
51m m -+. …………………………………………………………………………… 4分 当2
514m m -=时,
原式=2
(5)114115m m -+=+=. …………………………………………………………… 5分
16.证明:∵ AC //EF ,
∴ ACB DFE ∠=∠.…………………………………………………………… 1分
在△ABC 和△DEF 中,
[来源学*科*网]
??
?
??=∠=∠=,,,EF BC DFE ACB DF AC ∴ △ABC ≌△DEF .…………………………………… 4分
∴ AB=DE . …………………………………………… 5分 17.解:(1)∵点(1,)A n 在双曲线3
y x
=
上, ∴3n =. …………………………………………………………………………1分
又∵(1,3)A 在直线3
3
y x m =
+上, ∴ 23
3
m =
. ………………………………………………………………………2分 (2)过点A 作AM ⊥x 轴于点M .
∵ 直线3
3
233+
=
x y 与x 轴交于点B , ∴ 点B 的坐标为-20(,).
∴ 2=OB .…………………………………………3分 ∵点A 的坐标为(1,3), ∴1,3==OM AM .
∴ 3.BM = ………………………………………………………………………………… 4分 在Rt △BAM 中,∠90AMB =°, ∵tan ∠3
3
AM ABM BM =
=
, ∴∠30ABM =°. ……………………………………………………………………5分
18.解:∵∠DAB = ∠ABC = 90°,
∴∠DAB + ∠ABC = 180°,∠3 + ∠F AD = 90°. ∴ AD ∥BC ..
∴ ∠ADF = ∠BCF . ………………………………… 1分 ∵∠AFC = 90°,
∴ ∠F AD + ∠ADF = 90°.
∴ ∠3 = ∠ADF = ∠BCF . ① …………………… 2分 ∵BE ⊥BD ,
3E
F D
C
B
A
2
12
–1
–2
2
–1–2y
x
A
B
O M A
B
C
D
E
F
∴ ∠EBD =90°.
∴ ∠1 = ∠2. ② ………………………………………………………………… 3分 ∵BE =BD ,③
∴ △ABE ≌△CBD . ……………………………………………………………… 4分 ∴ AB = BC .
∴ ∠BAC = ∠ACB = 45°.
∴ ∠DAC = ∠BAD - ∠BAC = 45°. …………………………………………… 5分 四、解答题(共4道小题,每小题各5分,共20分)
19.解:(1) 12. …………………………………………………………………………… 1分
如图所示. ………………………………………………………………… 2分
4个班征集到的作品数量统计图作品(件)班级
2
3
5
2D
C
B
A
543210
(2)42. …………………………………………………………………………3分
(3)列表如下: …………………………………………………………………4分
共有20种机会均等的结果,其中一男生一女生占12种,
∴ P (一男生一女生)=
123
205 . …………………………………………………5分 即恰好抽中一男生一女生的概率为3
5
.
20.解:(1)证明:如图, 连接OA.
∵∠B=600,
∴∠AOC=2∠B=1200. …………… 1分 ∵OA=OC,
男1
男2
男3
女1
女2
男1 男1男2 男1男3 男1女1 男1女2
男2 男2男1
男2男3 男2女1 男2女2
男3 男3男1 男3男2
男3女1 男3女2
女1 女1男1 女1男2 女1男3
女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2男3 女2女1
P
O
D
C
B
A
∴∠ACP=∠CAO=300.
∴∠AOP =600
. 又∵AP=AC , ∴∠P=∠ACP=300. ∴∠OAP=900
.
即OA ⊥AP. …………………………………………………………………………… 2分 ∵ 点O 在⊙O 上,
∴AP 是⊙O 的切线. ………………………………………………………………… 3分 (2) 解:连接AD. ∵CD 是⊙O 的直径, ∴∠CAD=900.
∴AD=AC ?tan300=3.…………………………………………………………………4分 ∵∠ADC=∠B=600, ∴∠PAD=∠ADC-∠P=300. ∴∠P=∠PAD.
∴PD=AD=3.…………………………5分
21.解:(1)过点N 作BA 的垂线NP ,交BA 的延长线于点P .
由已知得,AM =x ,AN =20-x.
∵四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥DC ,AD =BC , ∴∠D =∠C =30°.
∴∠PAN =∠D =30°.………………………………………1分
在Rt △APN 中,1
sin (20)2
PN AN PAN x =∠=-. ………………………2分
即点N 到AB 的距离为
1
(20)2x -. (2)根据(1),2111
(20)5244
AMN
S AM NP x x x x ==-=-+△.…………………3分 ∵1
04
-
<, ∴ 当x =10时,AMN S △有最大值.…………………………………………………4分 又∵AMN BCDNM S S S =-△五边形梯形,且S 梯形为定值,
∴当x =10时,五边形BCDNM 面积最小.此时,ND =AM =10,AN =AD-ND =10, ∴AM =AN .
∴当五边形BCDNM 面积最小时,△AMN 为等腰三角形.……………………………5分
P N M
D
C
B
A
A 'P
l
A
B
y
x
F
E O
C B
A 22.解:(1)如图所示. ……………………………………… 1分 (2)13. …………………………………………… 2分
(3)3
2
ab . ………………………………………… 5分
五、解答题(共3道小题,第23题6分,第24题7分,第25题9分,共22分) 23.解:(1)由211
22
y x x =
-=0,得01=x ,21x =. ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(0,0)、(1,0). ········································· 2分
(2)当a =1时,得A (1,0)、B (2,1)、C (3,3), ······································· 3分
分别过点B 、C 作x 轴的垂线,垂足分别为E 、F ,则有
ABC S ?=AFC S △ - AEB S △ - BEFC S 梯形
=
1
2
(个单位面积)…………………………………4分 (3)如:
)(3123y y y -=.
∵22111112222y a a a a =
?-?=-,()()2
221122222y a a a a =?-?=-, ()()2
231193332222
y a a a a =?-?=-,
又∵3(12y y -)=()()22111
13222
222a a a a ???????-?-- ? ?????????
=
293
22
a a -.··································································· 5分 ∴)(3123y y y -=. ···················································································· 6分
24.(1)解:如图1,当x =
3
5
时,设AC 与HE 交与点P . 由已知易得∠ABC =∠HEC =90°. ∴tan ∠PCE = tan ∠ACB .
∴
2PE AB
EC BC
==. ∴PE= 6
5. …………………………………… 1分
∴ 11639
225525
y EP CE =??=??=. …………… 2分
(2)如图2,作DK ⊥AG 于点K.
∵CD=CE=DE=2,
∴△CDE 是等边三角形. ………………………… 3分 ∴∠CDE=60°.
∴∠ADG=360°- 2错误!未找到引用源。90°- 60°=120°. ∵AD=DG=1,
∴∠DAG=∠DGA=30°. ………………… 4分
K 图2
D G
l
F
E
C
B
A
(H )
P
图1
H
G
F
E C B A l
∴DK=错误!未找到引用源。DG=错误!未找到引用源。. ∴点D 到AG 的距离为
1
2
. ……………………………………………………5分 (3)如图3,
∵α=45°, ∴∠NCE=∠NEC=45°. ∴∠CNE=90°.
∴∠DNH=90°. ∵∠D=∠H=90°, ∴四边形MHND 是矩形. ………………6分
∵CN=NE ,CD =HE.
∴DN=NH.
∴矩形MHND 是正方形. ……………………………………………………… 7分 25.解:(1)
圆心1O 的坐标为(20),
,1O 半径为1, (10)A ∴,,(30)B , . …………………………………………………………1分
二次函数2y x bx c =-++的图象经过点A B ,,
∴可得方程组10
930b c b c -++=??
-++=?
解得:43b c =??=-? . ∴二次函数解析式为243y x x =-+- ·
··························································· 2分 (2)如图,过点M 作MF x ⊥轴,垂足为F .
OM 是1O 的切线,M 为切点,
1O M OM ∴⊥.
在1Rt OO M △中,1111
sin 2
O M O OM OO ∠==,
1O OM ∠为锐角,
1
30OOM ∴∠= ······················································· 4分 13
cos30232
OM OO ∴==?
=, 在Rt MOF △中,33cos30322
OF OM ==?
=, 13
sin 30322
MF OM ==?=.
M N
图3H G
l
F E C B A D O
M
x
y
O 1B A
F
∴点M 坐标为3322??
? ???
, ·
······················································································· 5分 设切线OM 的函数解析式为(0)y kx k =≠,由题意可知
33
22
k =, 33
k ∴=
. ∴切线OM 的函数解析式为3
3
y x =
································································· 6分 (3)存在.
①如图,过点A 作1AP x ⊥轴于A ,与
OM 交于点1P . 可得11Rt Rt APO MOO △∽△.
113tan tan 303
P A OA AOP =∠==
, 1313P ??∴ ? ???,.·
······································································································ 7分 ②过点A 作2AP OM ⊥,垂足为2P ,过2P 点作2P H OA ⊥,垂足为
H . 可得2
1Rt Rt APO O MO △∽△. 在2Rt OP A △中,
1OA =, 23
cos302
OP OA ∴==
. 在2Rt OP H △中,22333cos 224OH OP
AOP =∠=?=, 222313sin 224
P H OP AOP =∠=
?=, 23344P ??∴ ? ???
,. ····································································································· 9分
综上所述,符合条件的P 点坐标有313?? ?
???,,3344??
? ???
, P 2
O
M
x
y
O 1B A P 1
H