(2015·课标Ⅰ，2，易)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A ．－32 B.32 C ．－12 D.1
2
【答案】 D 原式＝sin 20° cos 10°＋cos 20° sin 10°＝sin 30°＝1
2.
1．(2013·重庆，9，易)4cos 50°－tan 40°＝( )
A. 2
B.2＋3
2 C.
3 D ．22－1
【答案】 C 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°
cos 40°
＝
2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin （120°－40°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°
cos 40°
＝
3cos 40°
cos 40°
＝3，故选C.
2．(2012·重庆，5，易)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
【答案】 A 由根与系数关系知???tan α＋tan β＝3，tan α2tan β＝2，
而tan(α＋β)＝
tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2
＝－3，故选A.
3．(2012·四川，4，易)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )
A.31010
B.1010
C.510
D.5
15
【答案】 B 方法一：由题意可得sin ∠AED ＝cos ∠AED ＝22，sin ∠AEC ＝112＋22＝5
5， cos ∠AEC ＝
212＋22
＝255，∴sin ∠CED ＝sin(∠AED －∠AEC )＝223255－22355＝
10
10. 方法二：在Rt △EAD 和Rt △EBC 中，易知ED ＝2，EC ＝5，在△DEC 中，由余弦定理得cos ∠CED ＝ED 2＋EC 2－CD 22ED 2EC ＝2＋5－123235
＝31010.∴sin ∠CED ＝10
10，故选B.
4．(2013·四川，13，易)设sin 2α＝－sin α，α∈? ??
??π2，π，则tan 2α的值是________．
【解析】 方法一：sin 2α＝－sin α?2sin αcos α＝－sin α，∵α∈? ??
??
π2，π，
∴sin α≠0，∴cos α＝－12，则sin α＝3
2， ∴tan α＝－3，而tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－23
1－3
＝ 3.
方法二：同方法一，得cos α＝－12，又α∈? ????
π2，π，则α＝2π3.∴tan 2α＝tan 4π3＝ 3.
【答案】
3
5．(2013·课标Ⅰ，15，中)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________． 【解析】 由辅助角公式得f (x )＝5? ??
??55sin x －25
5cos x
＝5sin(x －φ)， 其中sin φ＝255，cos φ＝5
5，由x ＝θ时，f (x )取得最大值得sin(θ－φ)＝1，
∴θ－φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即θ＝φ＋π2＋2k π，∴cos θ＝cos ? ?
???φ＋π2＝－sin φ＝－255.
【答案】 －25
5
6．(2013·课标Ⅱ，15，中)设θ为第二象限角，若tan ?
?
???θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________．
【解析】 tan θ＝tan ???????
????θ＋π4－π4＝
12－1
1＋12＝－13， ∴sin θ＝－13cos θ，将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1得109cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝9
10，易知cos θ<0， ∴cos θ＝－31010，sin θ＝1010，故sin θ＋cos θ＝－105.【答案】 －10
5
7．(2014·江西，16，12分，易)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈? ????
－π2
，π2.
(1)若a ＝2，θ＝π
4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若f ? ????
π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．
解：(1)f (x )＝sin ? ????x ＋π4＋2cos ? ????
x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x
＝sin ? ????π4－x ，因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈?
?????
－
3π4，π4. 故f (x )在[0，π]上的最大值为2
2，最小值为－1.
(2)由?????f ? ????
π2＝0，f （π）＝1得???cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈? ????
－π2，π2知cos θ≠0， 解得?
????a ＝－1，
θ＝－π6.
考向 三角函数式的化简与求值
1．两角和与差的三角函数公式
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(S α＋β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S α－β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(C α＋β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C α－β) tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β；(T α＋β)
tan(α－β)＝
tan α－tan β
1＋tan αtan β
.(T α－β)
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；(S 2α)
cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(C 2α) tan 2α＝2tan α
1－tan 2α.(T 2α)
3．公式的变形与应用
(1)两角和与差的正切公式的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． (2)升幂公式
1＋cos α＝2cos 2α
2；1－cos α＝2sin 2α
2. (3)降幂公式
sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2
α＝1＋cos 2α2.
(4)其他常用变形
sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α
1＋tan 2α；
1±sin α＝? ????sin α2±cos α22；tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.
4．辅助角公式
a sin α＋
b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b
a 2＋
b 2
. 5．角的拆分与组合
(1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＝? ????π4＋α－π4＝? ?
???α－π3＋π3.
(2)互余与互补关系
例如，? ????π4＋α＋? ????3π4－α
＝π，? ????π3＋α＋? ????π6－α＝π
2. (3)非特殊角转化为特殊角
例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.
(1)(2013·浙江，6)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43
(2)(2014·课标Ⅰ，8)设α∈? ????0，π2，β∈? ?
???0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )
A ．3α－β＝π2
B ．3α＋β＝π2
C ．2α－β＝π2
D ．2α＋β＝π
2
(3)(2014·广东，16，12分)已知函数f (x )＝A sin ? ????x ＋π4，x ∈R ，且f ? ????5π12＝3
2.
①求A 的值；
②若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈? ????0，π2，求f ? ????3π4－θ
. 【解析】 (1)(sin α＋2cos α)2＝52，展开得3cos 2α＋4sin α·cos α＝3
2，再由二倍角公式得
32cos 2α＋2sin 2α＝0，故tan 2α＝sin 2αcos 2α
＝－322＝－3
4，故选C. (2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin ? ????π2－α.∵α∈? ????0，π2，β∈?
?
???0，π2，
∴α－β∈? ????－π2，π2，π2－α∈? ????0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ? ??
??
π2－α，得α－β＝π2－α，
∴2α－β＝π
2，故选C.
(3)①f ? ????5π12＝A sin ? ????
5π12
＋π4＝A sin 2π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3. ②f (θ)＋f (－θ)＝3sin ? ????θ＋π4＋3sin ?
?
???－θ＋π4
＝3? ????sin θ·cos π4＋cos θ·sin π4＋3???
???sin （－θ）·cos π4＋cos （－θ）·sin
π4 ＝23cos θ·sin π4＝6cos θ＝3
2.
∴cos θ＝64，又θ∈? ?
???0，π2，∴sin θ＝104.
∴f ? ??
??
3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 【点拨】 解题(1)的关键是准确利用平方关系及诱导公式进行转化；解题(2)的关键是利用诱导公式进行转化或利用“切化弦”；解题(3)的思路是①由f ? ??
??
5π12的值直接求出A 的值；②化简f (θ)＋f (－θ)＝32可
得cos θ的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得sin θ，再化简f ? ??
??
3π4－
θ可得答案．
1.三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
2．三角函数求值的类型及方法
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定
关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”．
(2014·江苏，15，14分)已知α∈? ??
??
π2，π，sin α＝55.
(1)求sin ? ????
π4＋α的值；
(2)求cos ? ??
??
5π6－2α
的值． 解：(1)因为α∈? ????
π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2 α＝－255.
故sin ? ????
π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝223? ????－
255＋22355＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin α cos α＝23553? ????－
255＝－4
5， cos 2α＝1－2sin 2
α＝1－23? ??
??552＝35，所以cos ? ????5π6－2α
＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝? ??
??－32335＋123? ????
－45＝－4＋3310.
1．(2015·河南许昌一模，5)已知sin 2α＝13，则cos 2?
?
???α－π4等于( )
A.13 B ．－13 C.23 D ．－23
【答案】 C cos 2? ????α－π4＝1＋cos ? ?
??
?2α－π22＝1＋sin 2α2＝23. 2．(2015·安徽阜阳期末，7)化简
cos 40°
cos 25°1－sin 40°
＝( )
A ．1 B. 3 C. 2 D ．2
【答案】 C 原式
＝cos 220°－sin 220°cos 25°sin 220°－2sin 20°cos 20°＋cos 220°＝cos 220°－sin 220°
cos 25°（cos 20°－sin 20°） ＝
2sin 65°cos 25°＝2cos 25°
cos 25°
＝ 2.
3．(2014·江西新余三模，6)若α∈? ????π4，π，且3cos 2α＝4sin ? ??
??π4－α，则sin 2α的值为( )
A.79 B ．－19 C ．－79 D.19 【答案】 B 由已知得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，
∵α∈? ??
??
π4，π，∴cos α－sin α≠0，∴3(cos α＋sin α)＝22，
∴cos α＋sin α＝223，1＋sin 2α＝89，∴sin 2α＝－1
9.
4．(2015·河北邯郸一模，9)已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝24
25，则cos θ2的值为( )
A.35
B.45 C ．±35 D ．±45
【答案】 C ∵θ为第二象限角，∴2k π＋π
2<θ<2k π＋π，k ∈Z ，
即k π＋π4<θ2 25， ∴cos θ 2＝± 1＋cos θ2＝±3 5.故选C. 5．(2015·山西运城质检，7)已知向量a ＝? ????sin ? ? ???α＋π6，1，b ＝(4，4cos α－3)，若a ⊥b ，则 sin ? ????α＋4π3＝( ) A ．－34 B ．－14 C.34 D.1 4 【答案】 B ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4sin ? ? ???α＋π6＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ? ????α＋π3－3＝0，∴sin ? ????α＋π3＝14.∴sin ? ????α＋4π3＝－sin ? ? ???α＋π3＝－14. 6．(2014·湖北鄂州期末，12)3tan 12°－3 （4cos 212°－2）sin 12° ＝________. 【解析】 原式＝3sin 12°cos 12°－32（2cos 212°－1）sin 12°＝23? ?? ? ?12sin 12°－3 2cos 12°cos 12° 2cos 24°sin 12° ＝ 23sin （－48°）2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24° ＝－23sin 48° 12sin 48°＝－4 3.【答案】 －4 3 7．(2015·河南商丘一模，14)已知α∈? ? ???0，π2，且2sin 2α－sin α2cos α－3cos 2α＝0，则 sin ? ? ?? ?α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1 ＝________． 【解析】 ∵α∈? ? ???0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝3 13 ， ∴sin ? ? ?? ?α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22（sin α＋cos α）（sin α＋cos α）2＋（cos 2α－sin 2α） ＝ 268.【答案】 26 8 8．(2015·山东东营二模，16，12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈? ? ???0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π 2，求cos φ的值． 解：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1， ∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45.又∵θ∈? ? ???0，π2，∴sin θ＝255，cos θ＝55. (2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，∴cos φ＝sin φ， ∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即 cos 2φ＝12.又∵0<φ< π 2， ∴cos φ＝2 2. 1．(2015·广东，11，易)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝1 2，C ＝π 6，则b ＝________. 【解析】 ∵sin B ＝12，C ＝π6，∴B ＝π6，∴A ＝2π3.由正弦定理得b sin B ＝a sin A ， ∴b ＝a ·sin B sin A ＝ 3·12sin 2π3 ＝1.【答案】 1 2．(2015·北京，12，易)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C ＝________． 【解析】 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝42＋52－6223435＝18，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－4223536 ＝34. ∴在△ABC 中，sin C ＝378，sin A ＝74.∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝237433 4 378＝1.【答案】 1 3．(2015·课标Ⅰ，16，中)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 【解析】 方法一：如图所示，过点C 作CE ∥AD 于点E ，则∠CEB ＝75°，∴CE ＝BC ＝2，∠BCE ＝30°. ∴BE 2＝BC 2＋CE 2－2BC ·CE ·cos ∠BCE ＝4＋4－8332＝8－4 3. 此时，BE ＝6－ 2. 延长CD 交BA 的延长线于点F ，则△BCF 为等腰三角形，且∠CFB ＝30°，FC ＝FB ， ∴cos ∠CFB ＝FC 2＋FB 2－BC 22FC ·FB ＝2FB 2－42FB 2＝32.解得FB ＝6＋ 2.由题意可知， 6－2＜AB ＜6＋ 2. 方法二：如图所示，延长BA ，CD 交于点E . 则可知在△ ADE 中，∠DAE ＝105°， ∠ADE ＝45°，∠E ＝30°. 设AD ＝12x ，CD ＝m ，在△AED 中，由正弦定理得，AE ＝2 2x ，DE ＝6＋24x . ∵BC ＝2，在△BCE 中，由正弦定理得，BC sin E ＝CE sin B ，即sin 30°·? ???? 6＋24x ＋m ＝2sin 75°， ∴6＋24x ＋m ＝6＋ 2.∵m ＞0，∴0＜x ＜4.而AB ＝6＋24x ＋m －22x ＝6＋2－2 2x ， ∴AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．【答案】 (6－2，6＋2) 4．(2015·湖北，13，中)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m. 【解析】在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝105°，∴∠ACB ＝45°.又∵AB ＝600 m ， 由正弦定理得 AB sin 45°＝BC sin 30° ，代入AB 解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中， CD ＝BC 3tan 30°＝300233 3＝1006(m)．【答案】 100 6 5．(2015·课标Ⅱ，17，12分，中)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求 sin ∠B sin ∠C ；(2)若AD ＝1，DC ＝2 2，求BD 和AC 的长． 解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝1 2AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC ，由正弦定理可得 sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝1 2 . (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝2DC ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知， AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6.由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 6.(2015·湖南，17，12分，中)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π 2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围． 解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ，所以sin B ＝cos A ， 即sin B ＝sin ? ????π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈? ?? ?? π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2. (2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－? ????2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈? ????0，π4. 于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ? ???? π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1 ＝－2? ????sin A －142＋98.因为0 ???sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是? ?? ??22，98. 1．(2014·江西，4，易)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π 3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932 C.33 2 D ． 3 3 【答案】 C c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π 3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，② 由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝1236332＝33 2，故选C. 2．(2014·课标Ⅱ，4，易)钝角三角形ABC 的面积是1 2，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( ) A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 【答案】 B 由三角形面积公式可知，S ＝12AB 2BC 2sin B ＝12. 又∵AB ＝1，BC ＝2，∴sin B ＝2 2，∴B ＝π4或B ＝3π4.由余弦定理可知，AC 2＝AB 2＋BC 2－ 2AB ·BC cos B ．当B ＝π4时，得AC ＝1，这时不符合钝角三角形的要求，故舍去；当B ＝3π 4时，得到AC ＝5，故选B. 3．(2014·广东，12，易)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则a b ＝________． 【解析】 由余弦定理可得 b cos C ＋ c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a ＝2b ，所以a b ＝2. 【答案】 2 4．(2013·福建，13，易)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝ 3，则BD 的长为________． 【解析】 cos ∠BAD ＝cos ? ? ???∠BAC －π2＝sin ∠BAC ＝223.故在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝AB 2 ＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝3，故BD ＝ 3.【答案】 3 5．(2014·天津，12，易)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝1 4a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________． 【解析】 由2sin B ＝3sin C 得2b ＝3c ，即b ＝32c ，代入b －c ＝14a ，整理得a ＝2c ，故cos A ＝ b 2＋ c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22·32c ·c ＝－14.【答案】 －14 6．(2014·课标Ⅰ，16，中)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________． 【解析】 ∵a ＝2，(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，∴(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C . 由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ 1 2， ∴A ＝60°且b 2＋c 2－4＝bc ，∴b 2＋c 2－4＝bc ≥2bc －4，当且仅当b ＝c 时等号成立,． ∴bc ≤4，∴S △ABC ＝1 2bc sin A ≤3，∴△ABC 面积的最大值为 3.【答案】 3 7．(2014·陕西，16，12分，中)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为 1 2. 8．(2014·安徽，16，12分，中)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ? ? ???A ＋π4的值． 解：(1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B ·cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 2 2ac . 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，所以a ＝2 3. (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－ 1 3. 由于0 3. 故sin ? ? ???A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223322＋? ????－13322＝4 －26. 考向1 利用正、余弦定理解三角形 1．正、余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A ＝ b sin B ＝c sin C ＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径) a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形形式 a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ； sin A ＝ a 2R ，sin B ＝ b 2R ，sin C ＝ c 2R ； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； a sin B ＝ b sin A ，b sin C ＝ c sin B ，a sin C ＝c sin A ； a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ； cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ； cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 2．利用正、余弦定理解三角形 (1)已知两角一边，用正弦定理，只有一解． (2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况． 在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下： A为锐角A为钝角或直角 图形 关系式a＝b sin A b sin A 解的个数一解两解一解一解上表中A为锐角时，a A为钝角或直角时，a＝b，a (3)已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解． (4)已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解． 在利用正、余弦定理求解三角形中的三角函数问题时，要注意角的范围与三角函数符号之间的联系．(2014·湖南，18，12分)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7. (1)求cos∠CAD的值； (2)若cos∠BAD＝－ 7 14，sin∠CBA＝ 21 6，求BC的长． 【思路导引】(1)由于△ADC的三边已知，因此可以直接利用余弦定理求解；(2)根据同角三角函数关系式以及两角差的正弦公式求出∠BAC的正弦，然后利用正弦定理求出BC. 【解析】(1)在△ADC中，由余弦定理，得 cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD2 2AC·AD .故由题设知，cos∠CAD＝ 7＋1－4 27 ＝ 27 7. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD .因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－7 14， 所以sin ∠CAD ＝1－cos 2 ∠CAD ＝ 1－? ?? ??2 772＝217， sin ∠BAD ＝1－cos 2 ∠BAD ＝ 1－? ?? ??－7142＝321 14.于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD ) ＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝3211432 77－? ???? －7143217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin α＝AC sin ∠CBA ，故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA ＝7 332 21 6 ＝3. 解三角形的常见题型及求解方法 (1)已知两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可先求出角C 及b ，再求出c . (2)已知两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C . (3)已知三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C . (4)已知两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B 可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝b sin B 求角B 时，可能有一解或两解或 无解的情况． (2014·北京，15，13分)如图，在△ABC 中，∠B ＝π 3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝1 7. (1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长． 解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝43 7， 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437312－17332＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝83 3314 43 7 ＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2383531 2＝49.所以AC ＝7. 考向2 利用正、余弦定理判定三角形形状 三角形中常见的结论 (1)A ＋B ＋C ＝π. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)三角形内的诱导公式： sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ； tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2； cos A ＋B 2＝sin C 2. (5)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A 2tan B 2tan C . (6)△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60°. (7)△ABC 为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列． (1)(2013·陕西，7)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 (2)(2015·陕西榆林质检，16，12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . ①求A 的大小； ②若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 【解析】 (1)由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ， 即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π 2，故选B. (2)①由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ， 由余弦定理得a 2 ＝b 2 ＋c 2