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空间向量与立体几何教案

空间向量与立体几何

一、知识网络：

二．考纲要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

第一课时空间向量及其运算

一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理；3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共

线与垂直。

1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等

长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2．向量运算和运算率

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量

叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b

。

注意：当我们说a 、b

共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当

我们说a 、b

平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa

（1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a

同向，

当λ<0时与a

反向的所有向量。

（3）若直线l ∥a

，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。

推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a

的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l

上的充要条件是存在实数t ，满足等式 =a t

+ ①

其中向量a

叫做直线l 的方向向量。

在l 上取a AB

=，则①式可化为 .)1(OB t OA t OP +-= ②

当21

t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(2

1OB OA OP += ③ ①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

4．向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a

在α平面内，我们就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。注意：向量a

∥α与直线a ∥α的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理如果两个向量a 、b 不共线，则向量p

与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数

对x 、y ，使.b y a x p

+=①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使

,y x +=④

或对空间任一定点O ，有.y x ++=⑤

在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。①式叫做平面MAB 的向量表示式。又∵.OM -=.,OM OB MB -=代入⑤，整理得

.)1(y x y x ++--= ⑥

由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。

5．空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c

不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的

有序实数组x , y , z , 使.c z b y a x p

++=

说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a 、b 、c

不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是

{}

z y x c z b y a x p p ∈++=、、,|

，这个集合可看作由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一

个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的

概念；⑷由于0

可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含

着它们都不是0

。

推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x 、、，使.OC z OB y OA x OP ++=

6．数量积

（1）夹角：已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作a OA

=，b =，则角∠AOB

叫做向量a 与b 的夹角，记作??b a ，

说明：⑴规定0≤??b a ，≤π,因而??b a

，=??a b ，；

⑵如果??b a ，=2

，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b ；

⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，

图（1）中∠AOB =??,，图（2）中∠AOB =-π??,,

从而有??-,=?-?,=-π??,.

（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

（3）向量的数量积：??b a b a ,cos 叫做向量a 、b 的数量积，记作b a

?。

即b a ?=??b a b a

,cos ，

向量AB 方向上的正射影在e

B A e a e a ''=??=?

,cos ||

（4）性质与运算率

⑴??=?e a e a

,cos 。 ⑴()()a b a b λλ?=? ⑵a ⊥b

?b a ?=0 ⑵b a ?=b a ?

⑶2||.a a a =? ⑶()a b c a b a c ?+=?+?

（三）．典例解析

题型1：空间向量的概念及性质

例1、有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b

的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC

不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；

③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-

，也是空间的一个基底。其中正确的命题是

（）。 ()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③

解析：对于①“如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b

的关系一定共线”；

所以①错误。②③正确。题型2：空间向量的基本运算

例2、如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的

交点。若AB a = ，AD b = ，1AA c =

，则下列向量中与相等的

向量是（）

()A 1122a b c -++ ()B 1122a b c ++ ()C 1122a b c --+ ()D c b a +-21

解析：显然=+-=+=111)(2

AA B BB BM 1122a b c -++ ；答案为A 。

点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几

何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。

例3、已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a

+++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b ,求y x ,的值.

解： a ∥b ,,且,,0a b a

λ=∴≠即.42328)1(p n m p y n m x λλλ--=+++

又p n m

,,不共面,.8,13,4

22831=-=∴-=-=+∴

y x y

x 点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.证明：记,,,1AA ===则

CC DC AB +=+=-

=-=+=2

,21,111∴11AB DC =+=+,∴1

1,,

DC AB 共面.∵B 1?平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.（四）强化巩固导练

1、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y x ++=，求x －y 的值.解：易求得0,2

1=-∴==y x y x 2、

在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A 1c ，则下列向量中与B 1相等的向量是

( A )。A ．-2

1a ＋2

1b ＋c B ．2

1a ＋2

1b ＋c C ．21a -2

1b ＋c

D ．-21a -2

1b ＋c 3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大是。解析：不妨设棱长为2，选择基向量},,{1BC BB BA ，则1112

,BB BC BM BA BB AB -

=-= A

D A

2202205

22)

()(,cos 111=?++-=?+

?->=

c os θ． 4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l 1、l 2，AB 为其公垂线段，C 、D

分别为l 1、l 2上的任意一点，为与共线的向量，则｜|

|n .5．设平面α的一个法向量

为，点P 是平面α外一点，且P o ∈α，则点P 到平面α的距离是d |

|n .

第二课时空间向量的坐标运算

),,(321a a a )

,,(321b b b

(1) a ±b ＝ (2) λa ＝．(3) a 2b ＝． (4) a ∥b ? ；a ⊥b ? ．

（5）模长公式：若123(,,)a a a a = ，

则||a == ．

),,(),,,(222111z y x B z y x A ==则＝，= ．AB 的中点M 的坐标为． 4、直线的方向向量的定义为。如何求直线的方向向量？ 5、平面的法向量的定义为。如何求平面的法向量？（二）典型题型探析题型1：空间向量的坐标

例1、（1）已知两个非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（） A. a ：|a |=b ：|b | B.a 12b 1=a 22b 2=a 32b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0 D.存在非零实数k ，使a =k b

（2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（） A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1

（3）下列各组向量共面的是（）

A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)

B. a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1)

C. a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)

D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1) 解析：（1）D ；点拨：由共线向量定线易知；

（2）A 点拨：由题知?????=++=++024*******x y x ????-==3,4y x 或???=-=.1,4y x ；

（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。

点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。

例2、已知空间三点A （－2，0，2），B （－1，1，2），C （－3，0，4）。设a =，b =，（1）求a 和b 的夹角θ；（2）若向量k a +b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值. 思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果. 解：∵A(－2，0，2)，B （－1，1，2），C(－3，0，4)，a =，b =，∴a =(1，1，0)，b =（－1，0，2）.

(1)cos θ|

|||b a 520

01?++-=－1010，∴a 和b 的夹角为－1010

。

(2)∵k +=k （1，1，0）+（－1，0，2）＝（k －1，k ，2），

k －2=（k+2，k ，－4），且(k +)⊥（k －2），

∴（k －1，k ，2）2（k+2，k ，－4）=(k －1)(k+2)+k 2－8=2k 2

+k －10=0。则k=－25

或k=2。

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（+）(k －2)=k 22－k 2－22=2k 2

+k －

10=0，解得k=－25