a r X i v :n l i n /0606047v 1 [n l i n .S I ] 17 J u n 2006
Integrable dispersionless KdV hierarchy with sources
Zhihua Yang ?,Ting Xiao and Yunbo Zeng
Department of Mathematical Sciences,Tsinghua University,Beijing 100084,P.R.China
Abstract.An integrable dispersionless KdV hierarchy with sources (dKdVHWS)is https://www.doczj.com/doc/375200197.html,x pair equations and bi-Hamiltonian formulation for dKdVHWS are formulated.Hodograph solution for the dispersionless KdV equation with sources (dKdVWS)is obtained via hodograph transformation.Furthermore,the disper-sionless Gelfand-Dickey hierarchy with sources (dGDHWS)is presented.PACS number:02.03.Ik
1
Introduction
In recent years,research in the dispersionless hierarchies has become quite active (see,for example,[1]-[11]and references therein).Dispersionless hierarchies arise as the quasiclas-sical limit of the original dispersionfull hierarchies [2].The operators in the Lax equations for dispersionfull hierarchy are replaced by phase functions for dispersionless hierarchy,commutators are replaced by Poisson brackets and the role of Lax pair equations by disper-sionless Lax pair equations.The dispersionless hierarchies have Hamiltonian formulation [1,3]and many other aspects [4,5,6],and several methods of solutions of dispersionless hierarchies have been formulated [7,8,9,10,11].
The soliton equations with self-consistent sources (SESCS)are another type of inte-grable models and have important physical applications [12]-[28].There are some ways to derive the SESCS,for example,the Mel’nikov way [12,18,19,21,30]and the Leon approach [13,14,15].In recent years,SESCS were studied based on the constrained ?ows of soliton equations which are just the stationary equations of SESCSs[16,17].There are several methods for solving the SESCSs,for example,the inverse scattering method
[18,19,20],the matrix theory [21],the ˉ?
method and gauge transformation [22,23],
and
the Darboux transformation[17,24,25,26].By treating the variable x as the evolution pa-rameter and t as the’spatial’variable respectively,and introducing Jacobi-Ostrogradiski coordinates,the SESCS has a t-type Hamiltonian formulation[27,28].
This paper is devoted to the integrable dispersionless KdV hierarchy with sources (dKdVHWS).Considering the asymptotic expansion of the wave function,and taking the dispersionless limit of the KdV hierarchy with sources(KdVHWS),we can deduce the dKdVHWS.The Lax pair equations of the dKdVHWS can be deduced by the dispersion-less limit of the Lax pair equations of the KdVHWS.Similar to the dKdV hierarchy,the dKdVHWS has bi-Hamiltonian formulation and can be solved via hodograph transfor-mation.The Gelfand-Dickey hierarchy with sources(GDHWS)is the integrable general-ization of the Gelfand-Dickey hierarchy,and the corresponding integrable dispersionless hierarchy,i.e.the dGDHWS,can be deduced.
This paper is organized as follows:in Section2we review some de?nitions and re-sults about the KdVHWS.In Section3we derive the dKdVHWS as well as its Lax pair equations by taking the dispersionless limit of the KdVHWS.In Section4,we construct the bi-Hamiltonian formulation of dKdVHWS.Then we derive the hodograph solution for dispersionless KdV equation with sources(dKdVWS)in Section5.In Section6,we deduce the integrable dispersionless Gelfand-Dickey hierarchy with sources(dGDHWS). Some conclusion is made in Section7.
2The KdV hierarchy with sources
We?rst brie?y review some de?nitions and results about the KdV hierarchy with sources in the framework of Sato theory.Given a pseudo-di?erential operator(PDO)of the form [29]
L=?2+u(2.1) where?=?
2)+,m=1,2,3,...,and(A)+here standing for the di?erential part of A.The compatibility condition of(2.2a)and(2.2b)gives rise to
?L
which is the well-known KdV hierarchy[29].As was shown in[29],the KdV hierarchy could be written as bi-Hamiltonian systems
u t
2m?1=B0
δH2m+1
δu
,m=1,2,...,(2.4)
where H2m?1= h2m?1dx is a functional of u,B0=?,B1=12u x are Hamiltonian operators,andδH2m?1
δu =
δ
?u(k)
.(2.5)
Let us consider[16]
B2m?1=B2m?1+n k=1ψk??1φk,m=1,2,3,...,(2.6) whereψk=ψk(x,t)andφk=φk(x,t)satisfying
Lψk=λkψk,L?φk=λkφk,k=1,...,n,(2.7) here L?=(??)2+u=L is the adjoint operator of L,andλk is a constant,k=1,...,n. Then the KdV hierarchy with sources(KdVHWS)[16,20,24,30]can be de?ned as
?L
3Dispersionless limit
Following the procedure introduced in[2,3,9,10],we could derive the dispersionless hierarchy by taking the dispersionless limit of the initial system.Taking T=?t,X=?x, and thinking of u(x,t)=u(X
?
)=U(X,T)+O(?)as?→0,L in(2.1)changes into
L?=?2?2X+u(X
?
)=?2?2X+U(X,T)+O(?),(3.1)
where?X=?
?p ?B
?X
?B
2)+now refers to nonnegative powers of p.We de?ne(3.3)as the dispersionless KdV(dKdV)hierarchy[3],and the?rst few equations are expressed as
U T
1
=U X,(3.5a)
U T
3=
3
8
U2U X,(3.5c)
U T
7=
35
δU =D2
δH3
4D3
δH1
H1= UdX,H3=18 U3dX. For the general case,de?ne
H2m?1=2
2,(3.7)
where T rA= ResAdX,and ResA is the residue of the general Laurent polynomial of the form A= +∞i=?∞a i(X)p i,i.e.the coe?cient of the p?1term,then the Hamiltonians (3.7)are in involution with respect to any of the three Poisson brackets
{H2m?1,H2l?1}i= dXδH2m?1δU=0,i=1,2,3,(3.8) and dKdV hierarchy(3.3)have tri-Hamiltonian formulation
U T
2m?1=D1
δH2m+1
δU
=
(2m?1)(2m?3)
δU
,m=2,3,....(3.9)
It was also shown in[3]that the solution of(3.5b)can be described through the implicit form
U=f(X+
3
?,
T
?
,
T
?,
T
?
,
T
?,
T
?
,
T
2
?
)+.
Similar to the dispersionless KP case in[2,9,10],we consider the following WKB
asymptotic expansion ofψk(X
?)andφk(X
?
),k=1,2,...,n,
ψk(X
?
)～exp{
S(X,T,λ=λk)
φk(X
?
)～exp{?
S(X,T,λ=λk)
?
,
T
?
,
T
?X
S(X,T,λ=λk)+O(?))(??X)?2
+((
?
?
,
T
?
,
T
p?p k
,(3.13)
where
v k=eβk1+βk2,p k=
?
p?p k ,L}={B2m?1,L}+{
n
k=1v k
?X
(p k v k)=0.(3.16)
Under(3.16),it can be found that
{v k
?X
(p k v k)=0.(3.18c)
6
Integrating(3.18c)and takingλm k as the integral constants,then we can eliminate v k in (3.18a)and rewrite dKdVHWS in another form
U T
2m?1={B2m?1,L}?2
n
k=1 λm kλk?U X.(3.19)
If we take the dispersionless limit of(2.9),we will obtain the Lax pair equations of dKdVHWS(3.18)as
p2+U=λ,(3.20a)
p T
2m?1
= B2m?1+n k=1v k
p
√
2UU X?2
n
k=1 λ2kλk?U X,(3.22)
with Lax pair equations given by
p2+U=λ,(3.23a)
p T
3
= p3+3p√
8U2U X?2
n
k=1 λ3kλk?U X,(3.24)
7
with Lax pair equations given by
p2+U=λ,(3.25a)
p T
5
= p5+58U2p+n k=1λ3kλk?U?(λk?U) X.(3.25b) 4Hamiltonian formulation of dKdVHWS
It is well known that the KdV hierarchy has bi-Hamiltonian formulation[29],the dKdV hierarchy has tri-Hamiltonian formulation[3],or even further,quasi-Hamiltonian for-mulation[1],and the KdVHWS has bi-Hamiltonian formulation[27].Motivated by the Hamiltonian formulation of the dKdV case[3],we would construct the bi-Hamiltonian formulation of the dKdVHWS(3.19).
Let us?rstly consider dKdVWS(3.22).Set
A k=2λ2k λk?U dX,(4.1) then by direct computation we have
D1δA k√√
δU
=(U?X+?X U) ?λkλk?U =?λ2k U X√
4U2+2
n k=1λk
8U3+2
n k=1λ2k
δU =D2
δ H3
λk?U dX,(4.4)
8
we can directly prove(see Appendix)that the Hamiltonians H2m?1,m=1,2,...satisfy { H2m?1, H2l?1}i= dXδ H2m?1δU=0,i=1,2,(4.5) therefore,the dKdVHWS(3.19)have bi-Hamiltonian formulation
U T
2m?1=D1
δ H2m+1δU,m=1,2,....(4.6)
5Hodograph solution for dKdVWS
In this section,using the hodograph transformation[7,9,10],we will derive the hodograph solution for the the dKdVWS(3.22).Following[7]and let U T
3
=B(U)U X,we can?nd from(3.22)that
B(U)=3
(λk?U)3/2.(5.1)
Making the hodograph transformation with the change of variables(X,T3)→(U,T3)and let X=X(U,T3),we have
0=dX
?U
?U
?T3
=
?X
?T3
,(5.2)
which implies that
?X
2U+
n k=1λ2k
2U?
n
k=1λ2k
3T
.
When F=0and is convertible,then solution of dKdVWS(3.22)can be written through the implicit form
U=F?1(X+ 3(λk?U)3/2 T3),(5.5) which is similar to(3.10).
9
6The dispersionless Gelfand-Dickey hierarchy with sources The well-known Gelfand-Dickey hierarchy with sources(GDHWS)[16]is de?ned as
?L
N)m]+, L?=(??)N+(??)N?2u N?2+···+(??)u1+u0is the adjoint operator of L,λk is a constant,k=1,...,n,ψk=ψk(x,t)andφk=φk(x,t),and the Lax pair is given by
Lψ=λψ,(6.3a)
ψt
m= B mψ,(6.3b) namely,under(6.1b)and(6.1c),the compatibility condition of(6.3a)and(6.3b)gives rise to(6.1a).
Following the procedure given above,we can derive the dispersionless Gelfand-Dickey
hierarchy with sources(dGDHWS).Taking T=?t,X=?x,and let u k(X
?)=U k(X,T)+
O(?)as?→0,then(6.1)change into
?L?T
m=[B?m+
n
k=1ψk(X?)(??X)?1φk(X?),L?],(6.4a) L?ψk(
X
?
)=λkψk(
X
?
),(6.4b) L??φk(
X
?
)=λkφk(
X
?
),(6.4c)
where
L?=(??X)N+u N?2(X
?
)(??X)N?2+···+u1(
X
?
)??X+u0(
X
?
)
=(??X)N+(U N?2(X,T)+O(?))(??X)N?2+...
+(U1(X,T)+O(?))??X+U0(X,T)+O(?),(6.5)
10
and B?m=[(L1
?
,T ?
,T
?,
T
?
+βk1+O(?)},?→0,(6.6a)
φk(X
?
)～exp{?
S(X,T,λ=λk)
?T m
={B m+
n
k=1v k
?X
S(X,T,λ=λk)are obtained by σ? ψk(X?)(??X)?1φk(X?) =v k
?X v k·?L
?T m
={B m+
n
k=1v k
?X v k·?L
p T
m= B m+n k=1v k
p?p k
,L}=a N?2p N?2+a N?3p N?3+···+a0,(6.13) where a N?2=?Nv k,X,a N?3=?N(v k p k)X,and for i=4,...,N,
a N?i=?v k i?3
j=1jp j?1k U N+1?i+j,X?i?2 l=2(N?l)(v k p i?2?l k)X U N?l?N(p i?2k v k)X.(6.14)
When N=2,we have L=p2+U,and(6.13)is the same as(3.17).
Similar to the dKdVHWS,the dGDHWS possess bi-Hamiltonian formation and their solutions can be obtained via hodograph transformation.
7Conclusion
We derive dKdVHWS by taking the dispersionless limit of KdVHWS,meanwhile,Lax pair equations of the dKdVHWS can be obtained by taking the dispersionless limit of the corresponding dispersionfull equations.We have constructed the bi-Hamiltonian formula-tion of the dKdVHWS,and have obtained the implicit solutions of the dKdVWS via the hodograph transformation.For the generalization case,we have deduced the dGDHWS which also possess bi-Hamiltonian formulation and can be solved via the hodograph trans-formation.
Acknowledgment
This work was supported by the Chinese Basic Research Project”Nonlinear Science”.
12
Appendix
Here we give the proof of involution relation of the Hamiltonians H
2m ?1(4.4).Since
{ H
2m ?1, H 2l ?1}1={ H 2m ?1, H 2l ?3}2=?{ H 2l ?3, H 2m ?1}2=?{ H 2l ?3, H 2m +1}1={ H
2m +1, H 2l ?3}1=···={ H 2m +2l ?3, H 1}1,it su?ces to prove that for any m ≥1,{ H
2m ?1, H 1}1=0.We can directly calculate that { H
2m ?1, H 1}1= δ H 2m ?1δU
dX
=
δH 2m ?1
√
√
δU
?
n k =1
λm ?1
k
1
λk ?U n
l =1
U X
λl ?U (λl ?U )
dX.
Since all
δH 2m ?1
√√
λl ?U (λl ?U )
dX =0,k,l =1,...,n.(II )
For (I ),let F l =
√√
F 2
l dF l ,
which are all zero for the reason that
(λl ?F 2l )s
F 2
l dF l are total di?erentials.
For (II ),when k =l ,then (II )obviously holds;when k =l ,let G l =λl ?U ,then
13
U X=?G l,X,and
U X
λk?U√
√G
l G l
dX
= ?G l,Xλk?λl
λk?λl
1λk?λl G l),
setλk?λl
G l
=sec2H kl,d(λk?λl
G l+1d(λk?λl secH kl=2d(secH kl),
which are total di?erentials,and this proves(II).
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15
第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1 234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y . (五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字 . 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相 对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…), 若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一 等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010;2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
第五章同余方程 本章主要介绍同余方程的基础知识，并介绍几类特殊的同余方程的解法。 第一节同余方程的基本概念 本节要介绍同余方程的基本概念及一次同余方程。 在本章中，总假定m是正整数。 定义1设f(x) = a n x n a1x a0是整系数多项式，称 f(x) 0 (mod m) (1)是关于未知数x的模m的同余方程，简称为模m的同余方程。 若a n≡/0 (mod m)，则称为n次同余方程。 定义2设x0是整数，当x= x0时式(1)成立，则称x0是同余方程(1)的解。凡对于模m同余的解，被视为同一个解。同余方程(1)的解数是指它的关于模m互不同余的所有解的个数，也即在模m的一个完全剩余系中的解的个数。 由定义2，同余方程(1)的解数不超过m。 定理1下面的结论成立： (ⅰ) 设b(x)是整系数多项式，则同余方程(1)与 f(x) b(x) b(x) (mod m) 等价； (ⅱ) 设b是整数，(b, m) = 1，则同余方程(1)与 bf(x) 0 (mod m) 等价； (ⅲ) 设m是素数，f(x) = g(x)h(x)，g(x)与h(x)都是整系数多项式，又设x0是同余方程(1)的解，则x0必是同余方程 g(x) 0 (mod m) 或h(x) 0 (mod m)
的解。 证明 留做习题。 下面，我们来研究一次同余方程的解。 定理2 设a ，b 是整数，a ≡/0 (mod m )。则同余方程 ax b (mod m ) (2) 有解的充要条件是(a , m )b 。若有解，则恰有d = (a , m )个解。 证明 显然，同余方程(2)等价于不定方程 ax my = b ， (3) 因此，第一个结论可由第四章第一节定理1得出。 若同余方程(2)有解x 0，则存在y 0，使得x 0与y 0是方程(3)的解，此时，方程(3)的全部解是 ??? ????-=+=t m a a y y t m a m x x ),(),(00，t Z 。 (4) 由式(4)所确定的x 都满足方程(2)。记d = (a , m )，以及 t = dq r ，q Z ，r = 0, 1, 2, , d 1， 则 x = x 0 qm r d m x r d m +≡0(mod m )，0 r d 1。 容易验证，当r = 0, 1, 2, , d 1时，相应的解 d m d x d m x d m x x )1(20000-+++，，，，Λ 对于模m 是两两不同余的，所以同余方程(2)恰有d 个解。证毕。 在定理的证明中，同时给出了解方程(2)的方法，但是，对于具体的方程(2)，常常可采用不同的方法去解。 例1 设(a , m ) = 1，又设存在整数y ，使得a b ym ，则 x a ym b +(mod m ) 是方程(2)的解。 解 直接验算，有 ax b ym b (mod m )。
研究生《数值分析》教学大纲 课程名称：数值分析 课程编号：S061005 课程学时：64 学时 课程学分： 4 适用专业：工科硕士生 课程性质：学位课 先修课程：高等数学，线性代数，计算方法，Matlab语言及程序设计 一、课程目的与要求 “数值分析”课是理工科各专业硕士研究生的学位课程。主要介绍用计算机解决数学问题的数值计算方法及其理论。内容新颖，起点较高，并加强了数值试验和程序设计环节。通过本课程的学习，使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据数学模型，提出相应的数值计算方法编制程序在计算机上算出结果。力求使学生掌握应用数值计算方法解决实际问题的常用技巧。 二、教学内容、重点和难点及学时安排： 第一章? 数值计算与误差分析( 4学时) 介绍数值分析的研究对象与特点，算法分析与误差分析的主要内容。 第一节数值问题与数值方法 第二节数值计算的误差分析 第三节数学软件工具----MATLAB 语言简介 重点：误差分析 第二章? 矩阵分析基础( 10学时) 建立线性空间、赋范线性空间、内积空间的概念，为学习以后各章打好基础。矩阵分解是解决数值代数问题的常用方法，掌握矩阵的三角分解、正交分解、奇异值分解，并能够编写算法程序。 第一节? 矩阵代数基础
第二节? 线性空间 第三节? 赋范线性空间 第四节? 内积空间和内积空间中的正交系 第五节矩阵的三角分解 第六节矩阵的正交分解 第七节矩阵的奇异值分解 难点：内积空间中的正交系。矩阵的正交分解。 重点：范数，施密特(Schmidt) 正交化过程，正交多项式，矩阵的三角分解, 矩阵的正交分解。 第三章? 线性代数方程组的数值方法( 12学时) 了解研究求解线性代数方程组的数值方法分类及直接法的应用范围。高斯消元法是解线性代数方程组的最常用的直接法，也是其它类型直接法的基础。在此方法基础上加以改进，可得选主元的高斯消元法、按比例增减的高斯消元法，其数值稳定性更高。掌握用列主元高斯消元法解线性方程组及计算矩阵的行列式及逆，并且能编写算法程序。掌握矩阵的直接三角分解法：列主元LU 分解，Cholesky分解。了解三对角方程组的追赶法的分解形式及数值稳定性的充分条件。掌握矩阵条件数的定义，并能利用条件数判别方程组是否病态以及对方程组的直接方法的误差进行估计。 迭代解法是求解大型稀疏方程组的常用解法。熟练掌握雅可比迭代法、高斯- 塞德尔迭代法及SOR 方法的计算分量形式、矩阵形式，并能在计算机上编出三种方法的程序用于解决实际问题。了解极小化方法：最速下降法、共轭斜量法。迭代法的收敛性分析是研究解线性代数方程组的迭代法时必须考虑的问题。对于上述常用的迭代法，须掌握其收敛的条件。而对一般的迭代法，掌握其收敛性分析的基本方法和主要结果有助于进一步探究新的迭代法。 第一节求解线性代数方程组的基本定理 第二节高斯消元法及其计算机实现 第三节矩阵分解法求解线性代数方程组 第三节? 误差分析和解的精度改进 第四节? 大型稀疏方程组的迭代法 第五节? 极小化方法 难点：列主元高斯消元法，直接矩阵三角分解。迭代法的收敛性，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，SOR 迭代法。
第 3 章 同余方程 （一） 内容： ● 同余方程概念 ● 解同余方程 ● 解同余方程组 （二） 重点 ● 解同余方程 （三） 应用 ● 密码学，公钥密码学 3.1 基本概念及一次同余方程 (一) 同余方程 （1） 同余方程 【定义3.1.1】（定义1）设m 是一个正整数，f(x)为n 次多项式 ()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ 其中i a 是正整数（n a ≠0（mod m ）），则 f (x)≡0（mod m ） （1） 叫做模m 的（n 次）同余式（或模m 的（n 次）同余方程），n 叫做f(x)的次数，记为deg f 。 （2） 同余方程的解 若整数a 使得 f (a)≡0（mod m ）成立，则a 叫做该同余方程的解。 （3） 同余方程的解数 若a 是同余方程（1）的解，则满足x ≡a （mod m ）的所有整数都是方程（1）的解。即剩余类
a C ＝{x ｜x ∈Z ，x ≡a （mod m ）} 中的每个剩余都是解。故把这些解都看做是相同的，并说剩余类a C 是同余方程(1)的一个解，这个解通常记为 x ≡a （mod m ） 当21,c c 均为同余方程(1)的解，且对模m 不同余时，就称它们是同余方程(2)的不同的解，所有对模m 的两两不同余的解的个数，称为是同余方程（1）的解数，记作()m f T ;。显然 ()m f T ;≤m （4） 同余方程的解法一：穷举法 任意选定模m 的一组完全剩余系，并以其中的每个剩余代入方程（1），在这完全剩余系中解的个数就是解数()m f T ;。 【例1】（例1）可以验证，x ≡2，4（mod 7）是同余方程 15++x x ≡0（mod 7） 的不同的解，故该方程的解数为2。 50＋0＋1＝1≡3 mod 7 51＋1＋1＝3≡3 mod 7 52＋2＋1＝35≡0 mod 7 53＋3＋1＝247≡2 mod 7 54＋4＋1＝1029≡0 mod 7 55＋5＋1＝3131≡2 mod 7 56＋6＋1＝7783≡6 mod 7 【例2】求同余方程122742 -+x x ≡0（mod 15）的解。 （解）取模15的绝对最小完全剩余系：－7，－6，…，－1，0，1，2，…，7，直接计算知x ＝－6，3是解。所以，该同余方程的解是 x ≡－6，3（mod 15）
线性同余方程组的解 学生：罗腾，江汉大学数计学院（数学与应用数学系） 指导老师：许璐，江汉大学 摘要 “孙子算经”一书中写于公元前三世纪，这个谜题如下：有堆东西不知道有多少，如果三个三地数，最后余下两个；五个五个的数，最后余下三个；七个七个的数，最后余下二个，问这堆东西共有多少？我们可以把这个问题用数学符号表示成同余式的形式： ()()().7mod 3,5mod 2,3mod 1≡≡≡x x x 定理1 设,,,,,a b c d e f 和m 均为整数，0m >，若(,)1m ?=，其中ad bc ?=-.则 线性同余方程组(mod ) (mod )ax by e m cx dy f m +≡??+≡? ，有唯一一组关于模m 的解为 ()(mod ) ()(mod ) x de bf m y af ce m ?≡?-?? ≡?-??， 其中?是?关于模m 的逆，即1(mod )m ??≡. 证 首先，将同余式(mod )ax by e m +≡两边都乘以d ，将同余式(mod )cx dy f m +≡两边都乘以b ，得到 (mod )(1) (mod )(2)adx bdy de m bcx bdy bf m +≡?? +≡? ()()12-得到 ()()mod ad bc x de bf m -≡- 令ad bc ?=-，则()mod x de bf m ??≡-.下面我们把同余式两边都乘以?，其中 1(mod ) m ??≡ ∴()()mod x de bf m ≡?- 同理，将同余式(mod )ax by e m +≡两边都乘以c ，将同余式(mod )cx dy f m +≡两边
第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指出它们就是 几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增加,而相对误 差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , 1 , 2 时, f(x)= 0 , 3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3.给出f(x)=ln x得数值表用线性插值及二次插值计算ln 0、54 得近似值、
《计算方法》教案 课程名称：计算方法 适用专业：医学信息技术 适用年级：二年级 任课教师：张利萍 编写时间：2011年 8月 新疆医科大学工程学院张利萍
教案目录 《计算方法》教学大纲 (4) 一、课程的性质与任务 (4) 二、课程的教学内容、基本要求及学时分配 (4) 三、课程改革与特色 (5) 四、推荐教材及参考书 (5) 《计算方法》教学日历.................................. 错误！未定义书签。第一章绪论 .. (6) 第1讲绪论有效数字 (6) 第2讲误差……………………………………………………………………………… 第二章线性方程组的直接法 (14) 第3讲直接法、高斯消去法 (14) 第4讲高斯列主元消去法 (22) 第5讲平方根法、追赶法 (29) 第三章插值法与最小二乘法 (31) 第6讲机械求积、插值型求积公式 (32) 第7讲牛顿柯特斯公式、复化求积公式 (37) 第8讲高斯公式、数值微分 (42) 第9讲 第10讲 第12讲 第四章数值积分与数值微分 (48) 第11讲欧拉公式、改进的欧拉公式 (48) 第12讲龙格库塔方法、亚当姆斯方法 (52) 第13讲收敛性与稳定性、方程组与高阶方程 (56) 第14讲 第15讲 第五章微分常微分方程的差分方法 (59) 第16讲迭代收敛性与迭代加速 (60) 第17讲牛顿法、弦截法 (64) 第18讲 第19讲 第20讲 第六章线性方程组的迭代法 (67) 第21讲迭代公式的建立 (68)
第22讲 第23讲 第24讲向量范数、迭代收敛性 (71) 第25讲
实验3.1 Gauss消去法的数值稳定性实验 实验目的：观察和理解高斯消元过程中出现小主元(即|a(k)kk|很小)时引起方程组解数值不稳 定性． 实验内容：求解方程组Ax=b,其中 实验要求： （1）计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的． （2）用高斯列主元消去法求得L和U及解向量x1,x2 ． （3）用不选主元的高斯消去法求得L和U及解向量x1,x2 ． （4）观察小主元并分析对计算结果的影响． 解：（1） cond(A1)=68.4296 cond(A2)=8.9939 A1矩阵条件数远大于1，A1矩阵为病态;A2矩阵条件数没有远远大于1，A2矩阵为良态。（2）高斯列主元消去法： 程序如下 Clear A1=[0.3*power(10,-15),59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1]; b1=[59.17;46.18;1;2];% A1=[1,2,-1,1;1,1,2,-1;3,-1,1,1;2,1,3,-1];% b1=[1;-2;6;-1];A2=[10,-7,0,1;-3,2.0999********,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2]; b2=[8;5.900000000001;5;1];A=A1; b=b1;n=input('n='); for k=1:n-1 [a,b3]=max(A(k:n,k)); A([k k-1+b3],:)=A([k-1+b3 k],:); b([k k-1+b3],:)=b([k-1+b3 k],:); if A(k,k)~=0 A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)./A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k )*A(k,k+1:n); else stop end endA; b; L=tril(A,-1);U=triu(A,0); for i=1:1:n L(i,i)=1;end L; for j=1:n-1 b(j)=b(j)/L(j,j); b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);end b(n)=b(n)/L(n,n); b; y=b; for j=n:-1:2 y(j)=y(j)/U(j,j); y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j); end y(1)=y(1)/U(1,1); 结果如下: 方程组一： L1： U1：
第 4 章 二次同余方程与平方剩余 4.1 一般二次同余方程 (一) 二次同余方程 2ax ＋bx ＋c ≡0（mod m ），（a 0（mod m ）） （1） (二) 化简 设m ＝k k p p p α αα 2 121，则方程（1）等价于同余方程 ??? ????≡++≡++≡++） （） （）（k k p c bx ax p c bx ax p c bx ax αααmod 0mod 0mod 0222 1221 问题归结为讨论同余方程 2ax ＋bx ＋c ≡0（mod αp ）， （p a ） （2） (三) 化为标准形式 p ≠2，方程（2）两边同乘以4a ， 422x a ＋4abx ＋4ac ≡0（mod αp ） ()22b ax +≡2b －4ac （mod αp ）
变量代换， y ＝2ax ＋b （3） 有 2y ≡2b －4ac （mod αp ） （4） 当p 为奇素数时，方程（4）与（2）等价。即 ● 两者同时有解或无解；有解时，对（4）的每个解 ()p y y mod 0≡， 通过式（3）（x 的一次同余方程，且（p , 2a ）＝1，所以解数为1）给出（2）的一个解()p x x mod 0≡，由（4）的不同的解给出（2）的不同的解；反之亦然。 ● 两者解数相同。 结论 2x ≡a （mod αp ） （5） 【例】化简方程7x 2＋5x －2≡0（mod 9）为标准形式。 （解）方程两边同乘以4a ＝4×7＝28，得 196x 2＋140x －56≡0（mod 9） 配方 (14x ＋5) 2－25－56≡0（mod 9） 移项 (14x ＋5) 2≡81（mod 9） 变量代换 y ＝14x ＋5 得 y 2≡0（mod 9） （解之得y ＝0, ±3，从而原方程的解为 x ≡114-(y －5)≡15- (y －5) ≡2(y －5)≡2y －10≡2y －1 ≡－7, －1, 5≡－4, －1, 2（mod 9））
第 4 章 二次同余方程与平方剩余 内容 1. 二次同余方程，平方剩余 2. 模为奇素数的平方剩余 3. 勒让德符号、雅可比符号 4. 二次同余方程的求解 要点 二次同余方程有解的判断与求解 4.1 一般二次同余方程 (一) 二次同余方程 2ax ＋bx ＋c ≡0（mod m ），（a 0（mod m ）） （1） (二) 化简 设m ＝k k p p p α ααΛ2121，则方程（1）等价于同余方程 ??? ????≡++≡++≡++） （） （）（k k p c bx ax p c bx ax p c bx ax αααmod 0mod 0mod 0222 1221Λ Λ 问题归结为讨论同余方程 2ax ＋bx ＋c ≡0（mod αp ）， （p a ） （2） (三) 化为标准形式 p ≠2，方程（2）两边同乘以4a ， 422x a ＋4abx ＋4ac ≡0（mod αp ） ()22b ax +≡2b －4ac （mod αp ）
变量代换， y ＝2ax ＋b （3） 有 2y ≡2b －4ac （mod αp ） （4） 当p 为奇素数时，方程（4）与（2）等价。即 ● 两者同时有解或无解；有解时，对（4）的每个解 ()p y y mod 0≡， 通过式（3）（x 的一次同余方程，且（p , 2a ）＝1，所以解数为1）给出（2）的一个解()p x x mod 0≡，由（4）的不同的解给出（2）的不同的解；反之亦然。 ● 两者解数相同。 结论：只须讨论以下同余方程 2x ≡a （mod αp ） （5） 【例】化简方程7x 2＋5x －2≡0（mod 9）为标准形式。 （解）方程两边同乘以4a ＝4×7＝28，得 196x 2＋140x －56≡0（mod 9） 配方 (14x ＋5) 2－25－56≡0（mod 9） 移项 (14x ＋5) 2≡81（mod 9） 变量代换 y ＝14x ＋5 得 y 2≡0（mod 9） （解之得y ＝0, ±3，从而原方程的解为 x ≡114-(y －5)≡15- (y －5) ≡2(y －5)≡2y －10≡2y －1 ≡－7, －1, 5≡－4, －1, 2（mod 9））
一次同余方程 【教学目标】 1．掌握一次同余方程的概念。 2．熟练运用一次同余方程解决实际问题。 3．亲历解一次同余方程的探索过程，体验分析归纳得出一次同余方程解的个数规律，进一步发展学生的探究、交流能力。 【教学重难点】 重点：掌握一次同余方程的概念的运用。 难点：一次同余方程解的个数规律。 【教学过程】 一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习一次同余方程，这节课的主要的内容有一次同余方程的概念，解一次同余方程，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。 二、讲授新课 （1）教师引导学生在预习的基础上了解一次同余方程内容，形成初步感知。 （2）首先，我们来学习一次同余方程的概念，它的具体内容是： 通常我们把含有未知数的同余式叫做同余方程．一次同余方程的一般形式为 ，其中为正整数，为整数，且不等于零. ()mod ax b n ≡n ,a b a 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：判断是否是一次同余方程。 ()53mod 6x ≡解析：是 根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习：写出一个一次同余方程。 解：() 74mod 2x ≡（3）接着，我们再来看下一次同余方程解得个数内容，它的具体内容是： 若存在整数，使得同余式成立，则把叫做一次同余方程 c ()mo d ac b n ≡()mod x c n ≡
的解. ()mod ax b n ≡一次同余方程有解，则.反过来，当时，一次同余方程()mod ax b n ≡(),a n b |(),a n b |恰有个解. ()mod ax b n ≡(),a n 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。例：解一次同余方程. ()96mod15x ≡解析：注意到，且，故同余方程有3个解.原方程可化简为.由()9,153=36|()32mod5x ≡于，故，所以，原同余方程三个解分别为()321mod5?≡()224mod5x ≡?≡，，()4504mod15x ≡+?=()4519mod15x ≡+?=() 45214mod15x ≡+?=根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习：判断一次同余方程有几个解。 ()618mod 27x ≡解：注意到，且，故同余方程有3个解. ()6,27=33|18三、课堂总结 （1）这节课我们主要讲了一次同余方程概念以及解法。 （2）它们在解题中具体怎么应用？ 四、习题检测 1．判断一次同余方程有几个解。 ()1575mod 25x ≡2．解一次同余方程。 ()122mod 28x ≡
数值计算方法与算法第三版答案数值计算方法学习指导书 数值计算方法学习指导书是怎么样的?以下是小编分享给大家的数值计算方法学习指导书简介的资料，希望可以帮到你! 数值计算方法学习指导书内容简介 《数字信号处理学习指导》是浙江省高等教育重点建设教材、应用型本科规划教材《数字信号处理》(唐向宏主编，浙江大学出版社出版，以下简称教材)的配套学习指导书，内容包括学习要求、例题分析、教材习题解答、自测练习以及计算机仿真实验等。学习指导书紧扣教材内容，通过例题讲解，分析各章节的学习重点、难点以及需要理解、掌握和灵活运用的基本概念、基本原理和基本方法。全书共有66例例题分析、121题题解、2套自测练习和6个MAT1AB计算机仿真实验。 数值计算方法学习指导书目录 绪论 第1章离散时间信号与系统 1.1 学习要点 1.2 例题 1.3 教材习题解答 第2章离散系统的变换域分析与系统结构
2.1 学习要点 2.2 例题 2.3 教材习题解答 第3章离散时间傅里叶变换 3.1 学习要点 3.2 例题 3.3 教材习题解答 第4章快速傅里叶变换 4.1 学习要点 4.2 例题 4.3 教材习题解答 第5章无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计5.1 学习要点 5.2 例题
5.3 教材习题解答 第6章有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计6.1 学习要点 6.2 例题 6.3 教材习题解答 第7章数字信号处理中的有限字长效应 7.1 学习要点 7.2 例题 7.3 教材习题解答 第8章自测题 8.1 自测题(1)及参考答案 8.2 自测题(2)及参考答案 第9章基于MATLAB的上机实验指导 9.1 常见离散信号的MATLAB产生和图形显示 9.2 信号的卷积、离散时间系统的响应
2016计算方法复习 务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容： 1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组 2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项 3. 会Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性 4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速 5. 会用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题 6. 会最小二乘法多项式拟合 7. 会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式 第1章、数值计算引论 (一)考核知识点 误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。 (二) 复习要求 1.了解数值分析的研究对象与特点。 2.了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。 3.了解误差的定性分析及避免误差危害。 （三）例题 例1. 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有2位有效数字。 例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为 )1ln(2++-x x 。 例3. 3 *x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍. 第2章、非线性方程的数值解法 (一)考核知识点 对分法；不动点迭代法及其收敛性；收敛速度; 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法；Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法。 (二) 复习要求 1.了解求根问题和二分法。 2.了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。 3.理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。 4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形。 5.了解弦截法。 （三）例题 1.为求方程x 3―x 2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( ) (A) 11 ,1 1 12-=-= +k k x x x x 迭代公式 (B) 21211,11k k x x x x +=+ =+迭代公式
几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid
1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 0sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法 矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到S 的近似值.若 取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图1中所示,则∑=-=n i i x f n a b A 1 ).(
习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15，227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016()0.51103.14 r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085()0.27103.15 r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137 e x π=-=-=-≈-L L 相对误差： 3()0.0013()0.4110227 r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265...=0.314159265 (10) 22 3.1428571430.3142857143107 ==?，m=1。 而22 3.14159265 3.1428571430.0012644937 π-=-=-L L
本科实验报告 课程名称： 实验项目： 实验地点：机房 专业班级：采矿1206 学号：2012002896 学生姓名：康明月 指导教师： 2014年7 月3 日
一、求非线性方程的根。 1、 求方程()cos 0f x x x =-=在0 1.5x =附近的是根，要求精度满足 3110k k x x -+-<.(牛顿切线法) f=inline('x-cos(x)'); % f(x) df=inline('1+sin(x)'); %f'(x) n=1; x0=input('x0='); del=input('del='); N=input('N='); fprintf('\n k x(k)'); fprintf('\n %2d %f ',0,x0); F0=f(x0); dF0=df(x0); while n 唐山学院 信号仿真分析实践课程设计 题目基于matlab的仿真分析 系 (部) 智能及信息工程学院 班级 姓名时雨 学号 指导教师 年月日至月日共周 年月日 信号仿真分析实践任务书 课程实践成绩评定表 目录 1 引言 (1) 1.1MATLAB的发展历史 (1) 1.2MATLAB的系统结构 (1) 1.3MATLAB的主要特点 (1) 1.4MATLAB的影响 (2) 2 总体设计 (3) 2.1设计框图 (3) 2.2设计思想 (4) 3 详细设计 (5) 3.1基础运算 (5) 3.2连续时间LTI系统时域仿真分析 (8) 3.2.1设计方法及步骤 (8) 3.2.2连续时间系统零状态响应的数值求解 (8) 3.2.3卷积的计算 (9) 3.2.4连续时间系统冲激响应和阶跃响应的求解 (10) 3.3连续时间LTI系统频域仿真分析 (14) 3.3.1实验目的 (14) 3.3.2设计框图 (15) 3.3.2系统的频率特性 (15) 3.3.3连续时间信号傅里叶变换的数值计算方法 (16) 3.3.4涉及的MATLAB函数 (16) 3.4连续时间LTI系统复频域仿真分析 (18) 3.4.1实验目的 (18) 3.4.2利用MATLAB进行部分分式展开 (19) 3.4.3连续时间信号的拉普拉斯变换 (19) 3.4.4连续系统的复频域分析 (19) 3.4.5系统频率特性分析 (20) 4 总结 (25) 5 参考文献 (26) 1引言 MATLAB是一种面向科学及工程计算的高级语言 ,由于其集成了许多领域的工具箱 ,因此又被称之为“巨人肩上的工具”。本文以该软件的MATLAB7.0为例,在简单介绍MATLAB的基础上,详细阐述了其仿真功能在信号处理中的应用。 1.1 MATLAB的发展历史 MATLAB语言是由美国的Clever Moler博士于1980年开发的；设计者的初衷是为解决“线性代数”课程的矩阵运算问题；取名MATLAB即Matrix Laboratory 矩阵实验室的意思；1984年，MathWorks公司成立，MATLAB以商品形式出现，随着市场的推广，以其良好的开放性和运行的可靠性，成功地应用于各工程学科的研究领域。 1.2 MATLAB的系统结构 MATLAB系统结构有三个层次、八个部分构成，每一个部分完成不同的功能，主要包括： （1）MATLAB主包 （2）工具箱（Toolboxes） （3）编译器（Compiler） （4）建模仿真（Simulink） （5）模块集（Blockset） （6）实时仿真（Real-Time Worksho） （7）状态流程（Stateflow） （8）状态代码生成（Stateflow Coder） 1.3 MATLAB的主要特点 （1）简单易学：及C语言几乎一致。 （2）编程简洁、效率高；语言规则不强，无需编译。 （3）强大而简单的绘图功能；二、三维绘图，直观展示结果。 （4）扩展性强——丰富的工具箱：MATLAB主工具箱、符号数学工具箱、SIMULINK仿真工具箱、控制系统工具箱、信号处理工具箱、图象处理工具箱、通信工具箱、系统辨识工具箱、神经元网络工具箱、金融工具箱等。 1.4 MATLAB的影响 （1）matlab在教学中的应用 在大学里，诸如应用代数、数理统计、自动控制、数字信号处理、动态系统 电子科技大学2011年硕士研究生招生参考书目 2010-09-23 来源：电子科技大学 考试科目参考书目 101思想政治理论全国统考 111单独考试政治理论 《毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想 概论(2008年修订版)》高等教育出版社 2008年201英语一全国统考 204英语二全国统考 211翻译硕士英语 213翻译硕士日语 241法语(二外)《公共法语(上下册)》吴贤良上海外语教育出版社 1997年/《法语语法练习精选》冯百才外语教学与研究出版社 2002年 242德语(二外) 《德语(上下册)》吴永年上海外语教育出版社2001 年 243日语(二外)《中日交流标准日本语》(初级下册、中级上册)大河内康宪中国人民教育出版社、日本光村图书出版株式会社 244英语(二外) 《21世纪大学英语》学生用书及练习册1-4册复旦 大学出版社高等教育出版社 288单独考试英语《21世纪大学英语》1-4册学生用书及练习册 301数学一全国统考 302数学二全国统考 303数学三全国统考 312心理学专业基础综合全国统考 334新闻与传播专业综合能力 357英语翻译基础 359日语翻译基础 399管理类联考综合能力全国联考 408计算机学科专业基础综合全国统考 440新闻与传播专业基础 448汉语写作与百科知识 601数学分析 《数学分析》(上下册)欧阳光中复旦大学出版社/ 《数学分析》(上下册)陈记修高等教育出版社602高等数学《高等数学》同济大学高等教育出版社 613分子生物学 《现代分子生物学》(第3版) 朱玉贤高等教育出 版社 615日语水平测试《大学专业日语教材》上海外语教育出版社 616公共管理综合《社会保障概论》(第三版) 孙光德中国人民大学出版社 2008年/《教育经济与管理》(第二版) 娄成武中国人民大学出版社 2008年/《土地行政学》李元中国人民大学出版社 2007年 621英语水平测试 《高级英语》张汉熙外语教学与研究出版社 1995年 623新闻传播理论 《传播学教程》郭庆光中国人民大学出版社1999年 /《新闻学概论》李良荣复旦大学出版社2001年625宪法学《宪法学》张千帆法律出版社2004年 626思想政治教育原理《思想政治教育学原理》邱伟光高等教育出版社 《数值分析》课程教学大纲 适用专业信息与计算科学 总学时72 学分 4 一、编写说明 （一）本课程的性质、地位和作用 随着计算机的迅速发展，在科学、技术、工程、生产、医学、经济和人文等领域中抽象出来的许多数学问题可以应用计算机计算、求解，本课程详细、系统地介绍了计算机中常用的数值计算方法及有关理论。通过学习使学生掌握数值分析的基本知识，学会使用数值分析方法解决实际问题的技能技巧，并为后继应用型课程奠定基础。本课程是信息与计算科学专业的一门重要的专业课程。 （二）本大纲制定的依据 数值分析是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身体系的课程，既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程。因此学习本课程时，要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及与计算机的结合，重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。 （三）大纲内容选编原则与要求 1．要学好计算方法课程必须掌握高数、线性代数和算法语言的基本内容，还需能熟练应用计算机。任课教师在讲授每章之前，可用少量时间把涉及到的学过的内容复习一下。 2．为掌握好本课内容，学生应做一定数量的理论分析与计算练习。 3．各章的上机时间可调整，也可讲完几章后再上机，任课教师可灵活掌握。 （四）实践环节 1．实践环节主要分为习题课、上机、问题讨论、课后辅导和课后作业几部分。其中习题课12学时，上机16学时，问题讨论可在辅导课或课后完成，课后辅导每周2学时（不占总学时）。 2．上机主要内容与要求： 插值法、函数逼近、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法、方程求根、解线性方程组的直接方法、解线性方程组的迭代法、矩阵的特征值与特征向量计算。 要求把以上章节学过的主要算法编程，上机求解问题，其中每章2学时。信号仿真实践课程设计资料
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