函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论,史上最全
函数是高中数学的重点与难点,在高考数学中占分比重巨大。高考中对函数的考查灵活,相关的结论众多,有奇偶性,对称性,还有周期性,这些结论及变形能否掌握,都影响着学生的最终成绩。本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结,希望对同学们有帮助。需要WORD 电子文档的同学,可以入群领取。 1.奇偶函数:
设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。 ①若为奇函数;则称)(),()(x f y x f x f =-=-()
()()0,
1()
f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。()
()-()0,
1()
f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义:
对于()f x 定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得()()f x T f x +=恒成立,则称函数()f x 具有周期性,T 叫做()f x 的一个周期,则kT (,0k Z k ∈≠)也是()f x 的周期,所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
《
分段函数的周期:设)(x f y =是周期函数,在任意一个周期内的图像为C:),
(x f y =
[]a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量
)()0,(x f y kT ==平移,即得在其他周期的图像:[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]??
?++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x
)()(kT x f x f x f
/
函数周期性的几个重要结论
2、()()f x a f x b +=+ ?)(x f y =的周期为a b T -=
3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2=
4、)
(1
)(x f a x f =+
?)(x f y =的周期为a T 2=
5、)
(1
)(x f a x f -=+
?)(x f y =的周期为a T 2=
6、)
(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 3=
"
7、 1
)(1
)(+-
=+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 2=
8、)
(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4=
9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2
, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则
推论:偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y = 周期a T 2=
推论:奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y = 周期a T 4=
、
函数的对称性:
(1)中心对称即点对称:
①点对称;关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称;关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--
③成中心对称;关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称;关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与(函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--=
(2)轴对称:对称轴方程为:0=++C By Ax 。
"
①))
(2,)(2(),(),(2
222//B
A C By Ax
B y B A
C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-
=与点关于直线成轴对称;0=++C By Ax
②函数))
(2()(2)(2
222B
A C By Ax A x f
B A
C By Ax B y x f y +++-=+++-
=与关于直线 0))
(2,)(2(0),(2
222=+++-+++-
=B
A C By Ax
B y B A
C By Ax A x F y x F 与0=++C By Ax 成轴对称。 ③关于直线
0=++C By Ax 成轴对称。
{
二、函数对称性的几个重要结论
、
(一)函数)
y=图象本身的对称性(自身对称)
(x
f
若()()
f x具有对称
+=±-,则()
f a x f b x
f x a f x b
+=±+,则()
f x具有周期性;若()()
性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。
推论1:)
x=对称
=
+?)
f-
y=的图象关于直线a
(x
f
)
a
(x
(
x
f
a
推论2、)
x=对称
=?)
f-
f
y=的图象关于直线a
(x
)
2(
(x
a
f
x
推论3、)
x=对称
-?)
(x
=
y=的图象关于直线a
f
(x
)
2(
a
f
x
f+
推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
/
推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称
4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称
推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
(三)抽象函数的对称性与周期性
'
1、抽象函数的对称性
性质1 若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称,则以下三个式子成立且等价:(1)f(a+x)=f(a-x) (2)f(2a-x)=f(x) (3)f(2a+x)=f(-x)
性质2 若函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价:(1)f(a+x)=-f(a-x)(2)f(2a-x)=-f(x)(3)f(2a+x)=-f(-x) 易知,y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当a=0时的特例。
2、复合函数的奇偶性
定义1、若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(-x)]=f[g(x)],则复数函数y=f[g(x)]为偶函数。
!
定义2、若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(-x)]=-f[g(x)],则复合函数y=f[g(x)]为奇函数。
说明:
(1)复合函数f[g(x)]为偶函数,则f[g(-x)]=f[g(x)]而不是f[-g(x)]=f[g(x)],复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]而不是f[-g(x)]=-f[g(x)]。
(2)两个特例:y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a);y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x)
(3)y=f(x+a)为偶(或奇)函数,等价于单层函数y=f(x)关于直线x=a轴对称(或关于点(a,0)中心对称)
~
3、复合函数的对称性
性质3复合函数y=f(a+x)与y=f(b-x)关于直线x=(b-a)/2轴对称
性质4、复合函数y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点((b-a)/2,0)中心对称
推论1、复合函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于y轴轴对称
推论2、复合函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)关于原点中心对称
4、函数的周期性
若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。
^
①f(x+a)=f(x-a) ②f(x+a)=-f(x) ③f(x+a)=1/f(x) ④f(x+a)=1/f(x)
¥
5、函数的对称性与周期性
性质5 若函数y =f(x)同时关于直线x =a 与x =b 轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T =2|a -b|
(
性质6、若函数y =f(x)同时关于点(a ,0)与点(b ,0)中心对称,则函数f(x)
必为周期函数,且T =2|a -b|
性质7、若函数y =f(x)既关于点(a ,0)中心对称,又关于直线x =b 轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T =4|a -b| 6、函数对称性的应用
(1)若k y y h x x k h x f y 2,2),)(//=+=+=对称,则关于点(,即
k x h f x f x f x f 2)2()()()(/=-+=+
nk x h f x h f x h f x f x f x f n n n 2)2()2()2()()()(1121=-++-+-++++-
(2)例题 1、1)1()(21
21)(=-++=
x f x f a
a a x f x
x
)对称:,关于点(; ·
2)()(10122
1
4)(1=-++--=+x f x f x x f x x )对称:,关于(
1)1
()2121)0,(1
1)(=+≠∈+=
x f x f x R x x f ()对称:,关于(αα
2、奇函数的图像关于原点(0,0)对称:0)()(=-+x f x f 。
3、若)(),()()2()(x f y x a f x a f x a f x f =+=--=则或的图像关于直线a x =对称。设
个不同的实数根,则有n x f 0)(=
na x a x x a x x a x x x x n n n =-+++-++-+=+++)2()2()2(2
2
221121 .
),212(111a x x a x k n =?-=+=时,必有当
用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
|
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性,可巧妙的解答某些数学问题,它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。
1.求函数值
例1.(高考题)设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数,),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时,x x f =)(,则)5.7(f 等于(-0.5) (2)()(4)(2)f x f x f x f x +=-+=-+得 4T =
(A )0.5; (B )-0.5; (C )1.5; (D )-1.5.
例2.(竞赛题)已知)(x f 是定义在实数集上的函数,且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+,
,32)1(+=f 求)1989(f 的值.23)1989(-=f 。
1()1(2)
(2)(4)1()1(+2)1()
111()
(4)=8
1()()11()f x f x f x f x f x f x f x f x f x T f x f x f x ++++=
+=
--++
-+=→=+-
-得-
、
2、比较函数值大小
例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数,当[]1,0∈x 时,,)(1998
1
x
x f =试比较)19
98(
f 、)17101(f 、)15
104(f 的大小. 解:))((R x x f ∈ 是以2为周期的偶函数,又1998
1)(x
x f = 在[]1,0上是增函数,且
1151419161710<<<<
,).15
104()1998(17101(),1514()1916()171(f f f f f f <<<<∴即
3、求函数解析式
例4.(高考题)设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数,对Z k ∈,用k
I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时,.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式. 解:设1211212),12,12(<-<-?+<<-∴+-∈k x k x k k k x
(
0I x ∈ 时,有22)2()2(121,)(k x k x f k x x x f -=-<-<-∴=得由
)(x f 是以2 为周期的函数,2)2()(),()2(k x x f x f k x f -=∴=-∴.
例5.设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数,且)(x f 是偶函数,在区间
[]3,2上,.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时,)(x f 的解析式.
解:当[]2,3--∈x ,即[]3,2∈-x ,
4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f
又)(x f 是以2为周期的周期函数,于是当[]2,1∈x ,即243-≤-≤-x 时,
[]).
21(4)1(243)4(2)()
4()(2
2
≤≤+--=++--=?-=x x x x f x f x f 有
).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f
…
4、判断函数奇偶性
例6.已知)(x f 的周期为4,且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立,判断函数)(x f 的奇偶性.
解:由)(x f 的周期为4,得)4()(x f x f +=,由)2()2(x f x f -=+得
)4()(x f x f +=-,),()(x f x f =-∴故)(x f 为偶函数.
5、确定函数图象与x 轴交点的个数
例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+,=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.
解:由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称,又由函数的性质得
)(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上,
%
,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+==
故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点.
而区间[)30,30-有6个周期,故在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点.
6、在数列中的应用
例8.在数列{}n a 中,)2(11,31
1
1≥-+=
=--n a a a a n n n ,求数列的通项公式,并计算.1997951a a a a ++++
分析:此题的思路与例2思路类似. 解:令,1αtg a =则)4
(1111112απ
αα+=-+=-+=
tg tg tg a a a ?
?
?
?
???+-=-+=??????+?-=∴+?=---+=
-+=---απαπαπ
απ
απ4)1(11,4)1()
4
2()
4
(
1)
4
(11111122
3n tg a a a n tg a tg tg tg a a a n n n n 于是
不难用归纳法证明数列的通项为:)4
4
(απ
π+-=n tg a n ,且以4为周期.
于是有1,5,9 …1997是以4为公差的等差数列,
1997951a a a a ====∴ ,由4)1(11997?-+=n 得总项数为500项,
.350050011997951=?=++++∴a a a a a
7、在二项式中的应用
例9.今天是星期三,试求今天后的第9292天是星期几?
分析:转化为二项式的展开式后,利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.
。
解:191919191)191(929192290929119292092
9292+?++++=+=C C C C
1
)137()137()137()137()1137(9291
92
2
90
9291192920929292+?+?++?+?=+?=∴C C C C
因为展开式中前92项中均有7这个因子,最后一项为1,即为余数, 故9292天为星期四. 8、复数中的应用
例10.(上海市高考题)设)(2
3
21是虚数单位i i z +-=,则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是()
(A ) 3 ; (B )4 ; (C )6 ; (D )7. 分析:运用i z 2
3
21+
-=方幂的周期性求值即可. [
解:10)1(,11=?=-∴=--n n n z z z z z ,
)
(.4)(,,1).
(13),(31,31,1min 3B n n k N k k n N k k n n z 故选择最小时即的倍数必须是=∴=∴∈+=∴∈=--∴=
9、解“立几”题
例11.ABCD —1111D C B A 是单位长方体,黑白二蚁都从点A 出发,沿棱向前爬行,每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是,111 →→D A AA 黑蚁爬行的路线是
.1 →→BB AB 它们都遵循如下规则:所爬行的第2+i 段所在直线与第i 段所在直线必须
是异面直线(其中)N i ∈.设黑白二蚁走完第1990段后,各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白蚁的距离是()
(A )1; (B )2;(C )3 ; (D )0.
解:依条件列出白蚁的路线→→→→→CB C C C D D A AA 111111
,1 →→AA BA 立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A 点.可验证知:黑白二蚁走
完六段后必回到起点,可以判断每六段是一个周期.
1990=64331+?,因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置,不难计算出在走完四段后黑蚁在1D 点,白蚁在C 点,故所求距离是.2
|
例题与应用
例1:f(x) 是R 上的奇函数f(x)=- f(x+4) ,x ∈[0,2]时f(x)=x ,求f(2007) 的值
例2:已知f(x)是定义在R 上的函数,且满足f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=2,求
f(2009) 的值 。故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2
例3:已知f(x)是定义在R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当[]0,2-∈x 时,f(x)=-2x+1,则当[]6,4∈x 时求f(x)的解析式
例4:已知f(x)是定义在R 上的函数,且满足f(x+999)=)
(1
x f -,f(999+x)=f(999-x), 试判断函数f(x)的奇偶性.
例5:已知f(x)是定义在R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当[]0,2-∈x 时,f(x)是减函数,求证当[]6,4∈x 时f(x)为增函数
例6:f(x)满足f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若f(a) =-f(2000),a ∈[5,9]且f(x)在[5,9]上单调.求a 的值.
(
例7:已知f(x)是定义在R 上的函数,f(x)= f(4-x),f(7+x)= f(7-x),f(0)=0,
求在区间[-1000,1000]上f(x)=0至少有几个根?
解:依题意f(x)关于x=2,x=7对称,类比命题2(2)可知f(x)的一个周期是10
故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在区间(0,10]上,方程f(x)=0至少两个根
又f(x)是周期为10的函数,每个周期上至少有两个根, 因此方程f(x)=0在区间[-1000,1000]上至少有1+10
2000
2?
=401个根.
例1、函数y=f(x)是定义在实数集R上的函数,那么y=-f(x+4)与y=f(6-x)的
图象之间(D )
A.关于直线x=5对称 B.关于直线x=1对称
C.关于点(5,0)对称 D.关于点(1,0)对称
解:据复合函数的对称性知函数y=-f(x+4)与y=f(6-x)之间关于
点((6-4)/2,0)即(1,0)中心对称,故选D。(原卷错选为C)
例2、设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于x=1对称,证明f(x)是周期函数。例3、设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时f(x)
=x,则f(7.5)等于(-0.5)(1996年理工类第15题)
例4、设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20
+x),则f(x)是(C )
A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数
C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数
六、巩固练习
1、函数y=f(x)是定义在实数集R上的函数,那么y=-f(x+4)与y=f(6-x)的图象()。
A.关于直线x=5对称B.关于直线x=1对称C.关于点(5,0)对称D.关于点(1,0)对称
2、设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时, f(x)=x,则f(7.5)=()。
A .0.5
B .-
0.5 C .1.5 D .-1.5
3、设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,且满足f(10+x)=f(10-x), f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是( )。
A .偶函数,又是周期函数
B .偶函数,但不是周期函数
C .奇函数,又是周期函数
D .奇函数,但不是周期函数 4、f(x)是定义在R 上的偶函数,图象关于x =1对称,证明f(x)是周期函数。
参考答案:D ,B ,C ,T =2。
5、在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===-∈{}中,已知,,求100x =-1.
教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请想一下有哪些美? 对于对称美,请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢? 生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?若给它适当地建立直角坐标系,那么会发现什么特点? 数学中对称的形式也很多,这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数
二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用
三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个.
考点2 周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y =f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg 1-x 1+x ;(2)f(x)= ? ? ?x2+x(x>0), x2-x(x<0); (3)f(x)= lg(1-x2) |x2-2|-2 .
函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +2)为偶函数,则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. -2 B.-1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中,最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-,则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()f x =2(1)x x -,则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 (A )3y x = (B) 1y x =+ (C )21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是() A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数,则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 .
函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利用奇偶函数图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求函数值,根据函数奇偶性求参数值等. 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题. 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意: 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 1
2 3.奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 若f (x )是奇函数,且在x =0处有定义,则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数,则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点? (1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (2)判断函数f (x )的奇偶性时,必须对定义域内的 每一个x , 均有f (-x )=-f (x )、f (-x )=f (x ), 而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)、f (-x 0)=f (x 0). (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0=f . (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2.判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法: 1)首先要研究函数的定义域,
1.10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点:①能够正确判断函数的奇偶性和周期性;②运用基本初等函数的性质解题。 一.基础练习 1. 写出下列函数中,奇函数是________;偶函数是________;非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2. 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++,系数,,,a b c d 满足__________时,()f x 是奇函数; 满足___________时,它是偶函数. 3. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,则(2)f =________. 4. 函数sin 2y x =的周期是________;tan y x π=的周期是________. 5. 已知函数()f x 是定义在(-3,3)上的奇函数,当03x << ()f x 图象如右,则不等式 ()0f x x >的解集是____________. 二、例题讲解 例1:判断下列函数的奇偶性 (1)2 ()2||3f x x x =-- (2)22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--? (3)()|3|f x x x =+- 例2:含有字母的函数性质问题. (1)设函数()(),()x x f x x e ae x R -=+∈是偶函数,则实数a=____________. (2)函数2 ()(2)3f x ax b x =+-+是定义在[,34]a a --上的偶函数,则log a b =__________. (3)定义在(1,1)-上的奇函数()f x ,满足在(1,1)-上单调递减,若2 (1)(1)0f a f a -+-<,则实数a 的范围是____________. (4)若函数2 ()cos ,[, ]22f x x x x ππ =-∈- ,且(2)()63 f a f ππ ->,实数a 的范围是____________.
精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号11sh11sx00 学员编号: 年级:高二课时数:3 学员姓名:辅导科目:数学学科教师: 课题函数的奇偶性和周期性 授课日期及时段 教学目标 1、理解函数的周期性与奇偶性的概念 2、能根据函数的周期性求函数值或在相关区间上的函数解析式 3、会判断函数的奇偶性,并会结合周期性与奇偶性解决相关问题 教学内容 一、知识点梳理及运用 知识点一、函数的奇偶性 1、定义:设() y f x =,x A ∈,如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为奇函数;如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为偶函数 2、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称 3、() f x是偶函数?() f x的图象关于y轴对称 () f x是奇函数?() f x的图象关于原点对称 4、若奇函数() f x的定义域包含0,则(0)0 f= 5、判断函数奇偶性的方法: ①定义法:首先判断其定义域是否关于原点对称 若不对称,则为非奇非偶函数 若对称,则再判断()() f x f x =-或()() f x f x =-是否成立 ②性质法:设() f x,() g x的定义域分别是 12 , D D,那么在它们的公共定义域 12 D D D =?上: 奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇?奇=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 典型例题 例1、(判断奇偶性)判断下列函数的奇偶性 (1)35 ()35 f x x x =+(2)2 ()3||1 f x x x =-+(3) 2 2 (0) () (0) x x x f x x x x ?+< ? =? -+> ?? (4)()|1||1| f x x x =+--
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性:对于函数 )(x f y =,如果存在一个不为零的常数 T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有 )()(x f T x f =+都成立,那么就把函数)(x f y =叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义(略),请用图形来理解。 3、 对称性: 我们知道:偶函数关于y (即x=0)轴对称,偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的 探讨:(1)函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证:设点),(11y x 在 )(x f y =上,通过)2()(x a f x f -=可知,)2()(111x a f x f y -==, 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上,而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成:)()(x b f x a f -=+,函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 (2)函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证:设点),(11y x 在 )(x f y =上,即) (11x f y =,通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知, b x f x a f 2)()2(11=+-,所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-,所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上,而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成:c x b f x a f =-++)()(,函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 (3)函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称,即关于任一个x 值,都有两个 y 值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0,则 有可能会出现关于 b y =对称,比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性: (1)函数 )(x f y =满足如下关系系,则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+(等式右边加负号亦成立)