线性代数与几何试题集合
一、填空题(每小题4分,共16分)
(1). 若矩阵021032500?? ?
= ? ???A ,则det(2)*A A = .
(2). 已知(1,2,2)T =-α,则迹tr()T αα= .
(3). 若向量组123(0,1,),(
,1,0)
,(0,,1)T
T
T
λ
λ
λ
===ααα线性相关,则
λ= . (4). 设矩阵1
000
131
a a ??
?
? ?--?
?
A =为正定矩阵，则a 的取值范围 是 .
二、单项选择题(每小题4分,共16分) (1). 设B C =A ，则必有
(A) ()()()r A B r A r B +≥+. (B) ()()()r A r B r C +=.
(C) ()()r C r A ≤. (D) ()()r B r C ≤. 【 】 (2). 直线1112:
1
1
x y z L -+-==和直线21
:3x y L z +=??=?
(A) 重合. (B) 相交. (C) 平行. (D) 异面. 【 】
(3). 0Ax =
只有零解的充分必要条件是
(A) A 的列向量线性相关; (B) A 的行向量线性相关;
(C) A 是行满秩的; (D) A 是列满秩的; 【 】 (4).设矩阵*
1110
2300
2A -?? ?
= ? ??
?
，则1A -＝ (A)
*
12
A . (B)
12
A . (C)
14
A . (D)
*
14
A . 【 】
三、(12分) 写出以(0,0,0)为顶点，22221
1
x y z x y z ?++=?+=+?为准线的锥面方程。并
指出其在平面2z =上的投影曲线的名称。 四、(12分) ,a b 取何值时,线性方程组 1234102201101110011
1
21x a
x x a b x a b ?????? ? ? ?-- ? ? ?= ? ? ?
+ ? ? ? ? ? ?+?
????? 有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解. 五、(12分). 设二次型()f =T x x B x ，其中2
022
2002
2B ??
?= ? ??
?
(1) 写出二次型()f =T x x Ax 的矩阵A ;
(2) 求一个正交矩阵P ，使AP P 1-成对角矩阵;
(3) 求一个合同矩阵C ，写出f 在线性变换=x Cy 下的规范形.
六、 (12分) 向量组1(3,4,2,3)β=，2(4,2,6,3)β=,能否由向量组1(2,2,2,1)α=，2(1,0,2,1)α=，3(1,2,0,1)α=线性表示。若能，求出它们的表达式。
七、(10分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题) 设数域R 上的三维线性空间V 中定义的两个运算是⊕和 ，即V αβ⊕∈，k V α∈ ，且123,,εεε是V 的一个基，θ是V 的零元，若 1123(1)2αεεε=⊕-⊕ ,21233(2)5αεεε=⊕-⊕ ,31232αεεε=⊕⊕
(1) 求123span{,,}ααα的基与维数。 (2) 若V 中的线性算子T 的矩阵1321
2125
1??
?=-- ? ??
?
A ，求k e r ()T 和()T V 的一个基。
八、(10分) 设123(,,)T a a a α=，123(,,)T b b b β=,且2,T T
A αβαβ==， （1）求A 的特征值，
（2）求可逆阵P 及对角阵Λ，使1P AP -=Λ.
08年1月A 卷
一、填空题(每小题3分,共12分) (1). 若矩阵2
010
3050
3??
?
= ? ??
?
A ,则det(2)T A A = . (2). 若向量组123111,,111λλλ??????
? ? ?
=== ? ? ? ? ? ???????
ααα的秩为2,则λ= .
(3). 设矩阵121
20
1 101A a a a ??
?
= ? ???,已知齐次线性方程组0A x =的基础解系
含有两个向量，则a = .
(4). 设矩阵1030
1131
a ??
?
- ? ?-?
?
A =为正定矩阵，则a 的取值范围是 二、单项选择题(每小题3分,共12分)
(1). 设两个非零矩阵,B A ,满足0B =A ，则必有
(A) A 的列向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性无关.
(C) B 的列向量组线性相关. (D) B 的列向量组线性无关. 【 】 (2). 曲线2222
x y z ?-=?=?绕x 轴旋转一周所形成旋转面的名称是
(A) 单叶双曲面. (B) 双叶双曲面. (C)椭圆面. (D) 抛物面. 【 】
(3). 已知3阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则*A I -必相似于对角矩阵 (A)01
2?? ?
? ??
?; (B)12
5-?? ?
- ?
??
?; (C)5
1
2-?? ? ? ??
?; (D)1
2
5??
? ? ??
?
; (4).设矩阵1
110
2300
4A -??
?= ?
??
?
，则1
*12A -??
???
＝ (A)
12
A . (B)
14
A . (C)
18
A . (D)
116
A . 【 】
三、(12分) 设方阵B 满足22I =+*A B B ,其中1
111
1111
1A -??
?=- ? ?-?
?
，
求矩阵B . 四、(12分) 已知直线11
:232x y
z
L -==--，直线23
1
2
:212x y z L -++==-.
（1）记i L 的方向向量为(1,2)i a i = ，求过1L 且与12a a ?
平行的平面π的方程. （2）求2L 与π的交点.并写出1L 与2L 的公垂线的方程. 五、(12分) a 、b 取何值时,线性方程组
12
3
4120201123
1011114
4
23x x x a x a b ??????
? ? ?
- ? ? ?= ? ? ?-- ? ?
? ? ? ?--+?
??
??? 有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.
六、(12分). 设二次型222
123123121223(,,)4()f x x x x x x x x x x x x =++++-, (1) 写出二次型123(,,)f x x x =T
x A x 的矩阵A ; (2) 求一个正交矩阵P ,使AP P 1-成对角矩阵; (3) 写出f 在正交变换Py x =下化成的标准形. 七、 (12
分) 设矩阵1231
4315a
-??
?
-- ? ??
?
A =的全部特征值之积为24.
(1) 求a 的值；
(2) 讨论A 能否对角化，若能，求一个可逆矩阵P 使1P AP D -=为对角阵。 八、(10分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题) (1) 在?22R 中所有2阶实对称矩阵所组成的集合构成?22R 的一个子空间W . 证明元素组1
22
141,211
315--??????=== ? ? ?---??????
123A ,A A 是W 的一个基.
(2) 设T
是2[]F x 上的线性算子，T 在2[]F x 的基（Ⅰ）：2
,,1x x 下的矩阵为 1231
03215??
?=- ? ??
?
A ,求T 在2[]F x 的基（Ⅱ）：222
,,1x x x x x +++下的矩阵 九、(6分) 设A 为n 阶方阵，0A ≠且A I ≠.证明:2A A =的充分必要条件是
()()r A r A I n +-=.
07年1月A 卷
一、(满12分) (1). 72. (2).-2 (3).1.(4).10a >. 二、(满12分) (1).(A) (2). (B) (3). (D); (4).(B)
三、(满12分)解 因||,(3)A I '=*A A ，两端同乘A ，||4A =,化简得
(2),(6)
I A B A '-= 1
(2)
I A --=1
101011,(9)21
1?? ?' ? ???， 1
010(2)001,(12)10
0B I A A -??
?
'=-= ? ??
?
. 四、(满12分)解 （1）12(4,0,4)(1,0,1)a a ?=
.（2分）， 平面π的法向量为(1,0,1)(2,3,2)(3,4,3)n =?--=--
，（4分）， 故平面方程为3(1)430x y z ---=.（6分）
（2）将2:2
3,1,22L x t y t z t =+=-=--代入π得2t =-，交点(1,3,2)--.（10
分）
故1L 与2L 的公垂线的方程
1321
1
x y z ++-==.（12分） 五、(满12分) 解 增广矩阵1
202
001211
(,)
,(4)0020000
21A b a a b ??
?
-- ?'→ ?
- ?
?-+?
? （1） 当2a ≠时，()()4r A r A ==，方程组有唯一解，（6分） （2） 当2a =，且1b ≠-时，()2,()3r A r A ==，方程组无解（8分） （3） 当2a =且1b =-时，,()()2r A r A ==该方程组有无穷多解，其结
构式通解为,12(2,1,0,0)(4,2,1,0)(4,1,0,1)T T T
x c c =-+-+-.(12
分)
六、(满12分)解 (1)4222
4222
4??
?
- ? ?-?
?
A =;（2分）(2) 特征值为1236,0λλλ===，（5分）当126
λλ==时特征向量为
12021,111e e ??????=-=??????，当30λ=时，3111e -??
?=???
，取123(,,)P e e e =为
正交矩阵，可,使-1P A P =diag(6,6,0);（11分），
07年1月A 卷 答案
一、填空题 (每小题3分，共12分)
(1) 设010100001A -??
??
=????-??
, B=
1
P AP -，其中P 为3阶可逆矩阵，则20082
2B A -=__ (2) 设A=33()ij a ?是实正交矩阵，且11a =1,b=()1,0,0T
,则线性方程组A X b =的解
是______
(3)设n
阶方阵1111a a a a a a
a
a a a a
a ??
??
?
?
??
??
?????
?
的秩为-1n ,则____a =
(4) 已知向量(1,2,3),(1,0,2)a b ==-,则与它们都垂直的一个单位向量是___
二、单项选择题 (每小题3分，共12分) (1)设矩阵
B=001110????
??
????
0０ ０，已知A B ，则(2)()r A E r A E -+- 等于
(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. 【 】
(2) 设4阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵的秩*
r(A )为
(A) 0. (B) 2. (C) 3. (D) 4. 【 】 (3)设向量组12r I: ,,,ααα 可由向量组12s II: ,,,βββ 线性表示，则
(A) 当r s <时，向量组II 必线性相关.
(B) 当r s >时，向量组II 必线性相关. (C) 当r s <时，向量组I 必线性相关.
(D) 当r s >时，向量组I 必线性相关. 【 】 (4) n 阶方阵A 有n 个两两不同特征值是A 与对角矩阵相似的 (A) 充分必要条件. (B) 充分而非必要的条件.
(C)必要而非充分的条件. (D) 既不是充分也不是必要条件. 【 】
三、(12分) 求向量组12345,,,,ααααα的秩及一个极大线性无关组.其中
1(1,1,1,1)T α=,2(1,1,1,1)T α=--,3(1,1,1,1)T α=--,4(1,1,1,1)T
α=--,
5(2,0,1,1)T
α=-
四、（12分）计算n 阶行列式D n 的值，其中(0,1,2)i a i n ≠=
111
1
12
3
2
2
2
2
1
1
22
3
3n 2
2
2
2
1122331111
1
2
3
D n n n n n
n n n n n
n
n n n n n n n n n n n
a a a a a
b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ----------------=
五、（12分）已知齐次线性方程组112233112233112233112233()0
()0()0()0
n n n n n n n n a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x +++++=??
+++++=??
+++++=???+++++=?? ,
其中1
0n
i i a =≠∑. 讨论12,,,n a a a 和b 满足何种关系时,
(1)方程组仅有零解；
(2)方程组有非零解。在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。
六、(13分) 已知两条直线的方程分别为
1111:
3
2
1
x y z L +++=
=
25
4
:432
y z L x +--=
=
-
(1) 两直线是否共面？ 如共面，求两直线所在平面的方程。
(2)两直线是否有交点？如有交点，求出交点的坐标。
七、（13分）设A=01010012y ???????
?????
０１００ ０００的一个特征值为3，
（1）求y 的值； (2)求可逆方阵P ，使()()T
AP AP 为对角阵。
八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）.
1、设54()2r A ?=,1(1,1,2,3)T α=,2(1,1,4,1)T
α=--和3(5,1,8,9)T α=-- 都是
0A x =的解.求0A x =的解空间的维数与一个标准正交基。 2、设()T L V ∈,T 在V 的基e 1, e 2, e 3下的矩阵为1511520158876A -?? ?
=- ? ?-?? ，求T
在基11232e +3e +e β=,21233e +4e +e β=,3123e +2e +2e β=下的矩阵. 九、（6分）证明：r (A )=1的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量b T , 使
A =ab T .
07年1月B 卷
一、填空题(每小题3分,共12分)
(1). 若向量组T
3T 2T 1)0,0,1(,),-1
2,(,)2,3,1(==-=αααt 线性相关,则常数t = .
(2). 若矩阵A 的伴随矩阵1
0003
100
45100
6
8????-?
?=??????
A *,则det(2)A = . (3). 已知T
),,(321αa a a =为3维向量, ???
?
?
?????----=42
2
211211T
αα
,则ααT = . (4). 已知21α,α是齐次线性方程组0A =x 的基础解系,则向量组
12222111ααβ,ααβt t +=+=也可作为0A =x 的基础解系的充要条件是常数21,t t 满足条件 . 二、单项选择题(每小题3分,共12分) (1). 设矩阵???
?
?
???
??--=12
2
212
221A ,则 (A) A 为正交矩阵. (B)
A 3
1为正交矩阵.
(C) det (A)=1. (D) T
13
A =
-1
A . 【 】
(2). 已知矩阵????????
??=60
022
082
a A 相似于对角矩阵???
?
?
??
??
?-26
6,则a
等于 (A) 0. (B) 2. (C) -2. (D) 6. 【 】
(3). 设矩阵???
?
????
??=a b b
b a b
b b a A 的伴随矩阵*A 的秩为1,则 (A) 20a b a b =+=且. (B) b a ≠且20a b +≠.
(C) 20a b a b =+≠且. (D) b a ≠且20a b +=. 【 】
(4).2
2?R 的子空间??
?
???????∈????
??+R b a b a b a ,0
的维数是 (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. 【 】 三、(12分) 设3阶方阵A 、B 满足AB B A =+,
(1) 证明矩阵I A -可逆; (2) 当???
?
?
???
??=30
063
022B 时,求A . 四、(13分) a 、b 取何值时,线性方程组
??
???
?
??????=????????????????????????+--b x x x x a a 110610
7
1
141231012314321 有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出方程组的结构式通解.
五、(12分)两直线???=-=2
3:1y z
x L 与?
??-=--=-+6273:2
z x z y x L 是否共面？若共面， 求它们所确定平面的一般式方程.
六、(12分) 设3阶矩阵A 的特征值为3,2,1-,123,,ααα是依次对应的特征向量，设方阵I A A B *32+-=，求1B －的特征值、特征向量及1det()-B .
七、 (13分) 设矩阵T
x x x ),,(50
022
042
321=????
?
???
??=x ,B , (1) 写出二次型Bx x T
=),,(321x x x f 的矩阵A ;
(2) 求一个正交矩阵P ,使AP P 1-成对角矩阵; (3) 写出在正交变换Py x =下f 化成的标准形.
八、(8分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)
(1) 设4R 的子空间V 由向量组=--==321ααα,)1,5,3,1(,)3,1,1,1(T
T
T
T )2,10,6,2(,)4,1,2,3(--=-4α生成,求V 的基与维数.
(2) 设321α,α,α为3维线性空间V 的基, V 上的线性算子T 在该基下的矩阵为
???
?
?
?????=53
2
221
311
A ,求T 的值域)(T R 的基与维数、T 的核)ker(T 的基. 九、(6分) 设A 、
B 均为n 阶正定矩阵.证明:关于λ的方程0)det(=-B A λ的根全大于零.
06年1月A 卷
一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设矩阵232
8A -??=
?-??
,则)det(T
AA 的值为 . 2.设A 、B 均为可逆方阵,则1
A
O O
B -??
???
= .
3.若线性方程组1231
2331
2681x x ax x x x ++=??+-=?无解,则常数=a .
4.已知向量???
? ??=11ξ是矩阵533A k -??
=
?-??
的属于特征值2λ=的特征向量, 则常数=k
5.方程组1230x x x +-=的基础解系是 二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1. 设向量(1,3,5,4)T α=-, ,矩阵T A αα=,则det()A 等于
()0a . ()1b . ()51c . (d 【 】
2.设A 为3阶方阵,则0)det(=A 的充分必要条件是
)(a A 的列向量组线性无关. )(b A 的行向量组线性相关.
)(c A 的秩为3. )(d A 中有两行对应成比例. 【 】 3.设3阶方阵123A ααα??
?
= ? ???,其中i α为3维行向量(3,2,1=i ),矩阵213
1,2B αααα??
?= ? ?-??
120
101001
00,01000
120
1P P ????
? ?
== ? ? ? ?-?
??
?
,则必有 B P AP a =21)(. B P AP b =12)(. B A P P c =21)(. B A P P d =12)(.
4. 设向量组12345,,,,ααααα线性相关,而向量组2345,,,αααα线性无关,则向量组12345,,,,ααααα的极大无关组是
)(a 123,,ααα. )(b 234,,ααα.
)(c 2345,,,αααα . )(d 1234,,,αααα. 【 】
5. n 阶方阵A 正定的充要条件是
()a 0||>A . ()b A 的n 个特征值均大于零. ()c A 有n 个线性无关的特征向量. ()d A 为对称阵. 【 】
三
、
(12
分)
求过三个平面
22x y z +
-
=3
1x y z -+
+=30x y z ++-=的交点，且平行于平面
220x y z ++-=的平面方程。
四、(12分)当a 、b 为何值时,线性方程组 ??
?
?
?
?
?
-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解、无解或有无穷多解？并在其有无穷多解时，求出结构式通解.
五、(12分) 求向量组1(2,1,4,3)α=，2(1,1,6,6)α=--，3(1,2,2,9)α=---，4(1,1,2,7)α=-，5(2,4,4,9)α=的极大线性无关组与秩，并将其余向量用极大
无关组线性表示.
六、(10分)已知矩阵???
?
?
?
?=21
0131
012A ，求50A . 七、(10分)判定下面的二次型是否正定
3231212
32
22
1321484525),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=
八、 (8分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题). (1)若三阶方阵A 有三个互不相等的特征值1,2,4，设22B A A I =--，求：
det(*)B .
(2)
设3
()
T L R ∈，
定义
为
T
T
12312323123(,)
(2,,2)T x x x x x x x x x x x =+-++-，T
3
123(,,)x x x R ?∈.求：
T 的值域与T 的秩，T 的核与T 的零度.
九、（6分）证明：n 阶实矩阵A 为正定矩阵的充要条件，是存在n 个线性无关的实
向量
12(,,),1,2,,i i i in m m m i n
α== ，使得
T
T
1122
n n A αα
αα
αα=+++
06年1月B 卷
一、填空题 (每小题3分，共12分)
(1) 若3阶方阵A 、B 的行列式分别为3)det(,2)det(==B A ， 则 =--)2det(*1B A __________.
(2) 设4阶可逆方阵A 按列分块为][4321αααα =A ，方阵
][2314αααα =B ，已知线性方程组b Bx =有唯一解为T ) , , 753,1(=x ，
则方程组b Ax =的解为x =__________ .
(4) (3) 设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,221-===3 λ
λλ，T
)3,2,1(1=α及 T )4,3,2(2=α均为A 的对应于特征值2的特征向量，则
A 的对应于特征值1-的特征值向量为_________________.
1. (4) 设矩阵A ??
?
?
?
?????=????????
??--=301,2
2
310
3
21
b t p ，已知线性方程组b Ax =无
解，则常数p 与t 满足的关系式是____________. 二、单项选择题 (每小题3分，共12分)
(1) 设m 阶方阵A 的秩为m ，n m ?矩阵B 的秩为s ，则 (A) (r AB s <). (B) (r AB s >). (C) (r AB s =). (D) (r AB
n >).
【 】
(2) 设方阵A 与B 相似，即存在可逆方阵P ，使B AP P =-1，已知ξ为A 的对应于特征值λ的特征向量，则B 的对应于特征值λ的特征向量为 (A) ξP . (B) ξT P . (C) ξ. (D) ξ1
-P . 【 】
(3) 设A 为实对称矩阵，则0)det(>A 是A 为正定矩阵的 (A) 充分而非必要条件. (B) 必要而非充分条件.
(C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要的条件. 【 】 (4) 设321 , ,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则向量组 (A) 133221 , , αααααα+++不能作为0=Ax 的基础解系. (B) 133221 , ,αααααα++-可作为0=Ax 的基础解系. (C) 133221 , , αααααα--+可作为0=Ax 的基础解系.
(D) 132121 , , αααααα++-不能作为0=Ax 的基础解系. 【 】 三、(12分) 已知方阵=A 33)(?ij a 的第1行元素分别为111=a ，212=a ，
113
-=a ，且知???
?
?
?????----=52
4
735
947
*
A ，求)det(A 及A .
四、（12分）设有向量组(I)：T 1)5 ,3 ,1 ,2(-=α，T 2)4,3 ,2 ,3(-=α，T
3)3,1,3 ,4(-=α，T 4)17 ,15 ,1 ,4(-=α.问向量T )0 ,7 ,6 ,7(-=β能否表示
成向量组(I)的线性组合？若能，求出此表示式.
五、（12分）求直线L ：z y x -==-11 在平面π：12=+-z y x 上的投影直线0l （即L 上各点在π上的垂足点全体所形成的直线）的方程.
六、(13分) 已知矩阵=A ?????
????
???a b 3
2
1
32143214321
相似于对角矩阵?????
????
?
?
?=00
10D .
(1) 求常数a 、b 的值；(2) 求一个可逆矩阵P ，使D AP P =-1.
七、（13分）求一个正交变换，将二次型323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=化
成标准形，并指出二次曲面0),,(321=x x x f 的名称.
八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）.
1. 设矩阵??????-=31211A ，???
???-=41102A ，??????--=101013A ，??????-=62734A . 证明：元素组321,,A A A 线性无关，而4321,,,A A A A 线性相关，并指出数域F 上线性空间1{k W = +1A +4k 4A |}4,,1 F, =∈i k i 的基与维数.
2. 设T 为3]F[x 上的线性算子，定义为 () )()1()(x f x f x f T -+=,3]F[)( x x f ∈?
求T 在3]F[x 的基：3
2 , , ,1x x x 下的矩阵，并指出T 的秩及T 的零度. 九、（6分）设n 阶方阵A 的秩为1-n . 证明：A 的伴随矩阵*A 相似于对角矩阵的充要条件是02211≠+++nn A A A ，其中ii A 为)det(A 的),(i i 元素的代数余子式.
05年1月A 卷
一、填空题 (每小题3分，共12分)
(1) 若3阶方阵A 的行列式为2)det(=A ，则 1*det(2)A A --=________. (2) 设A 为43?的矩阵，秩3)(=A r ，已知方程组b Ax =有两个不等的特
解21,ηη，则方程组0=Ax 的通解为x =__________ .
(3) 设3阶实对称矩阵A 的特征值为2,1321===λλλ，又T )0,0,2(1=α为
A 的对应于特征值1的特征向量，则A 为_________________.
2. (4) 设A ????
?
???
??--=t 2
2
310
321，已知非零矩阵B 满足0=AB ，则t =_______. 二、单项选择题 (每小题3分，共12分)
(1) 设m 阶方阵A 的秩为2-m ，则矩阵*A 的秩为
(A) 2-m . (B) 2. (C) 1. (D) 0. 【 】
(2) 设三阶方阵A 可逆，且各行元素之和均为2，则A 必有特征值 (A) 1. (B) 2. (C) -1. (D) -2. 【 】
(3) 2=a 是T 3T 2T 1),2,2,1( ,,0)(1,0, ,(1,1,-1,1)a a ===ααα线性无关的 (A) 充分而非必要条件. (B) 必要而非充分条件.
(C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要的条件. 【 】 (4) 设A 为n m ?矩阵且n m <，则下述结论正确的是
(A) )0(≠=b b Ax 必有解. (B) 0=Ax 必有无穷多组解.
(C) 0=Ax 只有零解. (D) )0(≠=b b Ax 必无解. 【 】 三、(12分) 已知???
?
?
??
???-=????????
??=10
000001
,41
530
602B A ，又三阶方阵X 满足 X AB B XA +=+，求101
X
.
四、（12分）已知方程组??
?
??=+-+=+++=+++1
22242432143214321x x x x ax x x x b
x x x x ，讨论b a ,为何值时方程组
（1） 有解？ （2）无解？并在有解时求出其通解.
五、（12分）求过点(1,2,3)且与直线L ：z y x -==-11垂直相交的直线方程. 六、(13分) 已知矩阵=A ?????
????
???21
1200320
4321t
可以相似于对角矩阵， (1) 求常数t 的值；(2) 求一个可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角阵.
七、（13分）求一个正交变换，将二次型3
1212
221321222),,(x x x x x x x x x f -++=化成标准形，并指出二次曲面1),,(321=x x x f 的名称.
八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）. 1. 设矩阵??????-=31211A ，??????-=41102A ，??????=70113A ，??????--=1231
4A . 试求数域F 上线性空间1{k W = +1A +4k 4A |}4,,1 F, =∈i k i 的基与维数. 2. 设T 为3]F[x 上的线性算子，定义为
() )()1()(x f x f x f T ++=,3]F[)( x x f ∈?
求T 在3]F[x 的基：3
2 , , ,1x x x 下的矩阵，并指出T 的秩及T 的零度. 九、（6分）设n 阶方阵A 满足A A =2， 证明：A 一定相似于对角矩阵.
05年1月A 卷
工程学院2011年度（线性代数）期末考试试卷样卷 一、填空题（每小题2分，共20分） 1.如果行列式233 32 31 232221 131211 =a a a a a a a a a ，则=---------33 32 31 232221 13 1211222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ，则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组??? ?? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则 =a 。 、B 均为5阶矩阵，2,2 1 == B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是 。
9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。
二、单项选择（每小题2分，共10分） 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ） A .1或2 B . －1或－2 C .1或－2 D .－1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-，则=A （ ） A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ） A .0=+ B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是 （ ） A ．21+ββ B ． ()21235 1 ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ- 5. 若二次型3231212 3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （ ） A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分，共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 25 分） 1 3 1 1.若0 5 x 0 ，则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。 x1x2x30 3．已知矩阵 A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4．已知矩阵A 为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。 5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。 二、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（） A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（） 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（） 1
x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 ．已知矩阵 A , 其特征值为（ ） 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 （每小题 10 分，共 50 分） 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ，求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？ 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时，线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明：若 A 是 n 阶方阵，且 AA A1， 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I ， 2
微 信 公 众 号 ： 学 习 资 料 杂 货 铺 同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第一学期 一、填空题（每空3分，共24分） 1、 设1α、2α、3α均为3维列向量，已知矩阵 123(,,)A ααα=, ()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3，且1A =，那么B = -12 . 2、 设分块矩阵A O C O B ?? =? ??? , ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为4 . (A).若,A B 均可逆, 则C 也可逆. (B).若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C).若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化. 3、 设23413 451 45617891 D = ，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0. 4、 设向量组(I):12,,,r αααL 可由向量组(II):12,,,s βββL 线性表示，则 D 成立.(注：此题单选) (A)．当r s <时，向量组（II）必线性相关 (B)．当r s >时，向量组（II）必线性相关 (C)．当r s <时，向量组（I）必线性相关 (D)．当r s >时，向量组（I）必线性相 关 5、 已知方阵A 满足2 23A A O +=, 则() 1 A E ?+= E+2A . 6、 当矩阵A 满足下面条件中的 ABC 时,推理“若AB O =， 则B O =”可成立. （注：此题可多选） (A).A 可逆(B).A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数） (C).A 的列向量组线性无关 (D).A O ≠7、 设矩阵,A B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1,2?为 A 的特征值， B 的所有对角元的和为5， 则矩阵B 的全部特征值为 1,-2,6 . 8、 设n J 是所有元素均为1的n 阶方阵(2n ≥)，则n J 的互不相同的特征值的个数为2 . 二、（10分）已知矩阵200011031A ????=??????，100052021B ????=??????, 112101030C ???? =??????? .
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号填“√”，错误的在括号填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ￡ s ￡ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示
渤海大学20 级 专科 (机电一体化技术专业) 第二学期《线性代数》试卷 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一、 填空：（每空2分，共20分） （1） _________3 412=。 （2）_________40 00 03000020 00011 =????? ???? ???- （3） _________4 00 083005 720604 1= （4）_________11211120122431210133=???? ??????-+??????????- （5）若__________ 5032==??? ? ??=A A A T 则 (6)=+-==-=32132127) ,5, 2( ,)1 ,2 ,4( , )2 ,1 ,1(αααααα则有=_______ (7)1 2111-??? ? ??=____________。 （8）若A=???? ??????333222321则A 的列向量组为____________若r(A)=2，则列 向量组的秩为________。 二、选择题： （每题2分，共10分） （1） 设==≠==2 2 2 333 1 1113 3 3 222 111 222222222D ,0c b a c b a c b a k c b a c b a c b a D 则（ ） (a)-2k (b)2k (c)-8k (d)8k （2）n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 和代数余子式ij A 的关系为（ ） ij ij A M a -=)( ij n ij A M b )1()(-= ij ij A M c =)( ij j i ij A M d +-=)1()( （3）E C B A 、、、为同阶矩阵，且E 为单位阵，若E ABC =，下式（ ）总是成立的。 E BCA a =)( E ACB b =)( E CBA c =)( E CAB d =)( （4）), (=κ下列方程组有唯一解。 ?? ?? ?? ?---=--=-=--=++)1)(3()1(32213332321k k x k k x k x x k x x x 2)(a 1)( 4)( 3)( -d c b （5）设A 是n m ?矩阵，0=AX 是非齐次线性方程组B AX =所对应的齐次线性方程组，则下列 结论正确的是（ ） 有唯一解。仅有零解，则若B AX AX a ==0)( 有无穷多解。非零解，则若B AX AX b ==0)( 仅有零解。有无穷多解，则若0)(==AX B AX c 有非零解。有无穷多解，则若0)(==AX B AX d 三、 简单计算（每题8分，共24分） （1）1 3 042 241 -- (2) ???? ? ??? ????????-021012 7011011 得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人
线性代数 一. 单项选择题 1。设A 、B 均为n 阶方阵，则下列结论正确的是 . （a)若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 （b ）若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵 (d ）若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵，则()1-?? ????'AB 等于（ ） （a ）()1-'A ()1-'B (b ） ()1-'B ()1-'A （c ）() '-1B )(1'-A （d ）() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A ）=m 时，则方程组 。 （a ） 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 （d ）有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 (a ）A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根 （d) A 有n 个线性无关特征向量 5。A 为n 阶方阵,若02 =A ，则以下说法正确的是 。 (a ） A 可逆 (b ） A 合同于单位矩阵 (c ） A =0 (d ） 0=AX 有无穷多解 6．设A ,B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位矩阵， 则必有（ ） （A ）ACB E = (B)CBA E = (C ）BAC E = (D ） BCA E = 7．若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ( ） （A ）6- （B ）6 （C ）24 （D ）24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵，|A ｜=3,则|AA '｜= ，｜ 1 2A A -* -|= . 2．设???? ??????=300120211A ,则A 的伴随矩阵=*A ； 3．设A ＝? ? ?? ??--1112，则1 -A ＝ 。
线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关
线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a － 6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使 7．设a 为n m ?矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是 【 】 A ．A 的行向量组线性相关 B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组?? ?=++=++00 332 211332211x b x b x b x a x a x a 的基础解系含2个解向量，则必有 【 】 A. 03221= b b a a B.02121≠ b b a a C. 332211b a b a b a == D. 02 131= b b a a 9.方程组123123 12321 21 3 321 x x x x x x x x x a ++=? ?++=??++=+? 有解的充分必要的条件是 【 】 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组 B. 与η1，η2，η3等秩的向量组 C.η1－η2，η2－η3，η3－η1 D. η1，η1-η3，η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】 A. }0|),,,{(2121=a a a a a n B. }0|),,,{(121∑= =n i i n a a a a C. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈ D. }1|),,,{(121∑==n i i n a a a a 14.若2阶方阵A 相似于矩阵? ? ?? ??=3- 20 1B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵
枣庄学院线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ????? ???? ???=01 00 10000001 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
线性代数试题（附答案） 一、填空题（每题2分，共20分） 1.行列式0 005002304324321= 。 2.若齐次线性方程组?? ? ??=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12≠k ,则k 的值为 。 3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。 4.A 为n n ?阶矩阵，且ο=+-E A A 232，则1-A 。 5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基，且 32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=，若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ，则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。 7.设=?? ?? ? ?????---=??????????)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。 8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--?A A 。 9.二次型x x x x x x f 2 32 22 132123),,(--=的正惯性指数为 。 10.矩阵?? ?? ? ?????1042024λλA 为正定矩阵，则λ的取值范围是 。 二、单项选择（每小题2分，共12分）
1.矩阵()==≠≠???? ? ???????=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2. 齐次线性方程组???=--=++-020 23214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （ ） A 、-1 B 、-2 C 、0 D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+（ ） A 、B=E B 、A=E C 、A=B D 、AB=BA 5.已知=?? ?? ? ?????==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（ ） A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或2 6.下列矩阵中与矩阵合同的是??? ? ???? ? ?-50 00210 002 （ ） A 、??????????---200020001 B 、?? ??? ?????-500020003 C 、?? ?? ??????--100010001 D ????? ?????100020002 三、计算题（每小题9分，共63分） 1．计算行列式),2,1,0(00000 022 11 210n i a a c a c a c b b b a i n n n ΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中
本科生2010——2011学年第 一 学期《线性代数》课程期末考试试卷（B 卷） 草 稿 区 专业： 年级： 学号： 姓名： 成绩： 一 、选择题（本题共 28 分，每小题 4 分） 1．设n 阶方阵A 为实对称矩阵，则下列哪种说法是错误的 ( B ) (A) A 的特征值为实数； (B) A 相似于一个对角阵； (C) A 合同于一个对角阵； (D) A 的所有特征向量两两正交。 2．设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充要条件是 ( D ) (A)向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示； (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示； (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价； (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价。 3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，则 ( C ) (A) *A 为可逆矩阵； (B) 若0||=A ，则0||*=A ； (C) 若2)(*-=n A r ，则2)(=A r ； (D) 若0||≠=d A ，则d A 1||*= 。 4．设A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，30A =则 ( ) (A)()E A -不可逆，()E A +不可逆； (B) ()E A -不可逆，()E A +可逆； (C) ()E A -可逆，()E A +可逆； (D) ()E A -可逆，()E A +不可逆. 第 1页，共 6 页
5．实数二次型T f X AX =为正定二次型的充分必要条件是 ( ) (A) 负惯性指数全为零； (B) ||0A >； (C) 对于任意的0X ≠，都有0f >； (D) 存在n 阶矩阵U ，使得T A U U =. 6．设12,λλ为A 的不同特征值，对应特征向量为12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充要条件为 ( ) (A)10λ≠； (B) 20λ≠； (C) 10λ=； (D) 20λ=. 7．设211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ，则 ( ) (A) A 与B 合同，但不相似；(B) A 与B 相似，但不合同； (C) A 与B 既合同又相似； (D) A 与B 既不合同也不相似. 二 、填空题（本题共 24分，每小题 4 分） 1．二次型2221231231213(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围是 . 2．设01000 01000010 000A ?? ? ? = ? ? ?? ，则3A 的秩3()r A 为 . 3．设三阶矩阵A 的特征值为,2,3λ，若|2|48A =-，则λ= . 4．设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T T a ααα=-==，若123,,ααα构成的向量组的秩为2， 则a = . 5．设3阶矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，且已知||1A =，则||B = . 第 2页，共 6 页
大学生校园网—https://www.doczj.com/doc/314931505.html,线性代数综合测试题 ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 131 1.若0 05x，则__________。 122 x 1 x 2 x 3 2．若齐次线性方程组x 1 x 2 x 3 0只有零解，则应满足。 x 1 x 2 x 3 3．已知矩阵A，B，C(c ij)sn，满足ACCB，则A与B分别是阶矩阵。 a 11 a 1 2 4．矩阵A aa的行向量组线性。 2122 a 31 a 3 2 2AE 5．n阶方阵A满足30 A，则 1 A。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1.若行列式D中每个元素都大于零，则D0。（） 2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3.向量组a1，a2，，a中，如果a1与a m对应的分量成比例，则向量组a1，a2，，a s线性相关。 m （） 0100 4. 1000 1。（）A，则AA 0001 0010 5.若为可逆矩阵A的特征值，则 1 A的特征值为。() 三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1.设A为n阶矩阵，且A2，则 T AA（）。 ① n 2② 2n③2n1④4 1 2.n维向量组1（3sn）线性无关的充要条件是（）。 s ，2，， ① 1，2，中任意两个向量都线性无关 ，
②1，2，，s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③1，2，，s中任一个向量都不能用其余向量线性表示 共3页第1页
大学生校园网—https://www.doczj.com/doc/314931505.html,线性代数综合测试题 ④1，2，，s中不含零向量 2.下列命题中正确的是()。 ①任意n个n1维向量线性相关 ②任意n个n1维向量线性无关 ③任意n1个n维向量线性相关 ④任意n1个n维向量线性无关 3.设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的是()。 ①若A，B均可逆，则AB可逆②若A，B均可逆，则AB可逆 ③若AB可逆，则AB可逆④若AB可逆，则A，B均可逆 4.若1，，，是线性方程组A0的基础解系，则1234是A0的（） 234 ①解向量②基础解系③通解④A的行向量 四、计算题(每小题9分，共63分) xabcd 6.计算行列式a xbcd abxcd 。abcxd 解· xabcdxabcdbcd axbcdxabcdxbcd abxcdxabcdbxcd abcxdxabcdbcxd 1bcd1bcd 1xbcd0x00 3 (x abcd)(x abcd)(xabcd)x 1bxcd00x0 1bcxd000x 301 7.设ABA2B，且A,求B。 110 014 211522 解.(A2E)BA ( 1 A2E)221，B(A2E) 1A 432 111223
大学线性代数期末考试试 题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
a 0 0 一、选择题 线性代数测试 a 1 b 1 c 1 c 1 b 1 + 2c 1 a 1 + 2b 1 + 3c 1 1. 设行列式 D = a 2 b 2 c 2 ，则 D 1 = c 2 b 2 + 2c 2 a 2 + 2b 2 + 3c 2 = （ ） A. - D a 3 b 3 c 3 B. D c 3 C. 2D b 3 + 2c 3 a 3 + 2b 3 + 3c 3 D. - 2D 2. 下列排列是偶排列的是 ． （A ）13524876； （B ）51324867； （C ）38124657； （D ）76154283． 3. 设 A m ?s ， B t ?n ， C s ?t ，则下列矩阵运算有意义的是（ ） A. ACB ; B. ABC ; C. BAC ; D. CBA . 4. 设 A 是n 阶方阵， A 经过有限次矩阵的初等变换后得到矩阵 B ，则有（） A. A = B ； B. A ≠ B ； C. R ( A ) = R (B ) ； D. R ( A ) ≠ R (B ) . 5. 设 A 是 4×5 矩阵， A 的秩等于 3，则齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中所含解向量的个数为（ ） A. 4 B.5 C.2 D.3 6. 向量组a 1 , a 2 , , a m （ m ≥ 2 ）线性相关，则（ ）． A. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均可由其余向量线性表示； B. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均不可由其余向量线性表示； C. a 1 , a 2 , , a m 中至少有一个向量可由其余向量线性表示； D. a 1 , a 2 , , a m 中仅有一个向量可由其余向量线性表示． ? a b + 3 0 ? ? 7. 矩阵 A = a - 1 a 0 ? 为正定矩阵，则 a 满足 ． ? ? ? 1 1 （1） a > 2 ； （B ） a > ； （C ） 2 a < ； （D ）与b 有关不能确定． 2 8. 设 A , B 均为 n 阶方阵，并且 A 与 B 相似，下述说法正确的是 ． （A ） A T 与 B T 相似； （B ） A 与 B 有相同的特征值和相同的特征向量； （C ） A -1 = B -1 ； （D ）存在对角矩阵 D ，使 A 、 B 都与 D 相似． 二、判断题 1、如果n (n > 1) 阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行元素对应成比例。 2、设向量组的秩为 r ，则向量组中任意 r 个线性无关的向量都是其极大无关组。 3、对 A 作一次初等行变换相当于在 A 的右边乘以相应的初等矩阵。 4、两个向量α1 ,α2 线性无关的充要条件是α1 ,α2 对应成比例. 5、若 A 是实对称矩阵，则 A 一定可以相似对角化. 三、填空题