量子力学教案
主讲周宙安
《量子力学》课程主要教材及参考书
1、教材：
周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979
2、主要参考书：
[1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993
[2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000
[3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003
[4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984
[5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999
[6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社
[7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999
[8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990
[9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999
[10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979）
[11]https://www.doczj.com/doc/394800538.html,ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980）
第一章绪论
量子力学的研究对象：
量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。
§1.1经典物理学的困难
一、经典物理学是“最终理论”吗？
十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明：
机械运动（v< 电磁现象←麦克斯韦方程→光现象（光的波动） 热现象←热力学、统计物理学（玻耳兹曼、吉布斯等建立） 有人认为：物理现象的基本规律已经被揭穿，剩下工作只是应用和具体的计算。 这显然是错误的，因为“绝对的总的宇宙发展过程中，各个具体过程的发展都是相对的，因而在绝对真理的长河中，人们在各个一定发展阶段上的具体认识只具有相对的真理性”。 二、经典物理学的困难 由于生产力的巨大发展，对科学实验不断提出新的要求，促使科学实验从一个发展阶段进入到另一个发展阶段。就在物理学的经典理论取得上述重大成就的同时，人们发现了一些新的物理现象无法用经典理论解释。 1.黑体辐射问题 2.光电效应问题 3.原子的线状光G谱和原子结构问题 4.固体在低温下的比热问题 三、量子力学的两个发展阶段 1.旧量子论（1900-1924） 以普朗克、爱因斯坦、玻尔为代表 2. 量子论（1924年建立） 以德布罗意、薛定谔、玻恩、海森堡、狄拉克为代表 四、学习上应注意的几点： 1. 牢记实验是检验真理的标准 2. 冲破经典理论的束缚 3. 建立创造性思维方法 4. 正确认识微观现象的基本特征 §1.2光的波粒二象性 1.光的波动性 最典型的实验是1802年的杨氏干涉实验和后来的单缝、双缝衍射实验。 相干条件：λδk = (k=0，1± ，2±，……)加强 2 )12(λ δ+=k 相消 或位相差 = λ πδ 2=2k π 加强 =(2k+1)π 减弱 2.黑体辐射 热辐射同光辐射本质一样，都是电磁波对外来的辐射物体有反射和吸收的作用，如果一个物体能全部吸收投射到它上面的辐射而无反射，这种物体为绝对黑体（简称黑体），它是一种理想化模型。例如：一个用不透明材料制成的开小口的空腔，可以看作是黑体，其开口可以看成是黑体的表面，因为入射到小孔上的外来辐射，在腔内经多次反射后几乎被完全吸收，当腔壁单位面积在任意时间内所发射的辐射能量与它所吸收的辐射能相等时，空腔与辐射达到平衡，研究平衡时腔内辐射能流密度按波长的分布（或频率的分布）是19世纪末人们注意的基本问题。 1）实验表明：当腔壁与空腔内部的辐射在某一绝对温度T 下达到平衡时，单位面积上发出的辐射能与吸收的辐射能相等，频率ν到dv 之间的辐射能量密度ννρd )(只与ν和T 有关，与空腔的形状及本身的性质无关。即 ννννρd T F d ),()(= 其中ννd T F ),(表示对任何黑体都适用的某一普通函数。当时不能写出它的具体解析表达式，只能画出它的实验曲线。见5P 图2 2）维恩（Wien ）公式 维恩在做了一些特殊的假设之后，曾用热力学的方法，导出了下面的公式： νννρd c d e v c T v 23 1)(- = 其中c 1，c 2为常数，将维恩公式与实验结果比较，发现两者在高频（短波）区域虽然符合，但在低频区域都相差很大。 3）瑞利-琼斯（Rglaigh-Jeans ）公式 瑞利-琼斯根据电动力学和统计物理也推出了黑体辐射公式： νπννρν kTd d c 3 2 8)(= 其中k 是玻耳兹曼常数（10 23 38.1-?=κJ/K ），这个公式恰恰与维恩公式相 反，在低频区与实验符合，在高频区不符，且发散。 因为： ∞→= =??∞ ∞ νπκννρμν d T d c 2 3 08)( 当时称这种情况为“紫外光灾难”。 由于经典理论在解释黑体辐射问题上的失败，便开始动摇了人们对经典物理学的迷信。 4）普朗克（Planck,1900）公式 1900年，普朗克在前人的基础上，进一步分析实验数据，得到了一个很好的经验公式： νπνρν ν d h d e c kT h v 1 1 ·83 3 -= 式中h 称为普朗克常数， S J h ??=-3410626.6 在推导时，普朗克作了如下假定：黑体是由带电的谐振子组成，对于频率为ν的谐振子，其能量只能是νh 的整数倍，即： νnh E n = 当振子的状态变化时，只能以νh 为单位发射或吸收能量。能量νεh =成为能量子，这就是普朗克能量子假设，它突破了经典物理关于能量连续性概念，开创了量子物理的新纪元。 3. 光电效应 在光的作用下，电子从金属表面逸出的现象，称为光电效应。自1887年Hertz 起，到1904年Milikan 为止，光电效应的实验规律被逐步揭露出来。其中，无法为经典物理学所解释的有： （1）对一定的金属，照射光存在一个临界频率0v ，低于此频率时，不发生光电效应。（不论光照多么强，被照射的金属都不发射电子） （2）光电子的动能与照射光的频率成正比（ν∝k E ），而与光的强度无关。 （3）光电效应是瞬时效应（s 910-≈） 爱因斯坦的光量X 子假设： 光就是光子流，在频率为ν的光子流中，每一光子的能量都是νh 。（这样就可解释光电效应），由此得到爱因斯坦方程： 02 2 1w h v m -=νμ 光子的动量： 2 2 2 01c v c E - = μ 对于光子c v =,00=∴μ 又 因为：2222 02p c c E +=μ （相对论中能量与动量的关系） 所以：cp E = 而 ων ==h E 所以： λ νh c h c E p === 或 k n h n c h p ===λ ν 其中n 表示该光子运动方向的单位矢量，πνω2=，n n c λ ππνκ22==成为波矢。 上式把光的两重性质——波动性和粒子性有机地联系了起来。 4.康普顿效应（略） 本节结论：光具有波粒两象性。 课外作业：（1）推导普朗克黑体辐射公式 （2）设计光电效应实验原理图 §1.3原子结构的玻尔理论 经典理论在原子结构问题上也遇到不可克服的困难。 玻尔理论的两个基本假设： （1）量子条件：π ?2h n mvr p == （且存在定态） （2）频率条件：h E E m n -= ν，有（1）、（2）可得)11(~2 22n m RZ -=ν 量子化通则：?=nh pdq n=1，2，3…… 玻尔理论不能解释多电子原子和谱线的强度。玻尔理论是半经典半量子的理论。 §1.4微粒的波粒二象性 一、德布罗意假设 德布罗意仔细分析了光的波动说及粒子说发展的历史，并注意到了十九世纪哈密顿曾经阐述的几何光学与经典粒子力学的相似性[集合光学的三条基本原 理，可以概括为费米原理——亦即最小光程原理，0=?B A ndl δ，n 为折射系数， 经典粒子的莫培督（Maupertius ）原理，亦即最小作用原理： 0)(2=-=??dl V E m pdl B A B A δδ，p 为粒子的动量]，通过用类比的方法分析，使他 认识到了过去光学理论的缺陷是只考虑光的波动性，忽视了光的粒子性。现在在关于实物粒子的理论上是否犯了相反的错误，即人们只重视了粒子，而忽视了它的波动性了呢？运用这一观点，德布罗意于1924年提出了一个具有深远意义的假设：微观粒子也具有波粒二象性。 具有确定动量和确定能量的自由粒子，相当于频率为ν或波长为λ的平面波，二者之间的关系如同光子与光波一样，即： ων ==h E （1） κλ == n h p （2） 这就是著名的德布罗意关系式，这种表示自由粒子的平面波称为德布罗意波或“物质波”。 设自由粒子的动能为E ，当它的速度远小于光速时，其动能μ 22P E =，由（2） 式可知，德布罗意波长为： E h p h μλ2== （3） 如果电子被V 伏电势差加速，则ev E =电子伏特，则： 0 25.122A V eV h ?= μλ （μ为电子质量） 当V=150伏特时，0 1A =λ，当V=10000伏时，0 122.0A =λ，所以，德布罗意波长在数量级上相当于晶体中的原子间距，它宏观线度要短得多，这说明为什么电子的波动性长期未被发现，若把电子改成其他实物粒子，情况是怎样的？ 二、平面波方程 频率为ν，波长为λ，沿x 方向传播的平面波可用下面的式子来表示： )](2cos[t x A νλ π-=ψ 如果玻沿单位矢量n 的方向传播，则： )cos()](2cos[t r A t n r A ωκνλ π-?=-?=ψ 写成复数的形式： )(ex p t r k i A ω-?=ψ 或 ?? ????-?=ψ)(e xp Et r p i A （量子力学中必须用复数形式） 这种波（自由粒子的平面波）称为德布罗意波。 三、德布罗意波的实验验证 德布罗意波究竟是一种什么程度的波呢？德布罗意坚信，物质波产生于任何物体的运动，这里所说的任何物体，包括大到行星、石头，小到灰尘或电子。这 些物质和物质波一样，能在真空中传播，因此它不是机械波；另一方面，它们都产生于所有物体——包括不带电的物体，所以它们不同于电磁波。这是一种新型的尚未被人们认识的波，就是这种波构成了量子力学的基础。 1. 电子的衍射实验 1927年美国科学家戴维孙（Davisson ）和革末（Germer ）用实验证实了德布罗意波的正确性。（注：介绍其发现过程、光强等），后来，汤姆逊又用电子通过金箔得到了电子的衍射图样。 2. 电子的干涉实验 它是由缪江希太特和杜开尔在1954年作出。后来又由法盖特和费尔特在1956年做出。 3. 其他实验表明：一切微观粒子都具有波粒二象性 4. 物质波的应用 电子显微镜 （α λ sin 61.0=d 分辨率的普遍表达式） 作业：p 16 ，1.2，1.3，1.5 第二章波函数的薛定谔方程 §2.1波函数的统计解释 一、经典力学对质点的描述（坐标和动量） 规律：),,()(22t r r F d t r m t d = 二、自由粒子的波函数（德布罗意假设） ων ==h E κλ ==n h p ?? ? ???-?=ψ)(exp Et r p i A 问：ψ的物理意义？ 错误的解释：（1）波是由它所描写的粒子组成，即它是一种疏密波。 （2）粒子是由波组成，一个粒子就是一个经典的波动。 三、波函数的统计解释 Born 首先提出了波函数意义的统计解释： 波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，即描写粒子的波可以认为是几率波。 分析：电子的衍射实验，见书18页 量子力学的一个基本原理：微观粒子的运动状态可用一个波函数),(t r ψ来描写。 四、波函数的性质 1. τφd t z y x c t z y x dw 2 ),,,(),,,(= 表示：在t 时刻,在r 点，在d τ = dxdy dz 体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描写的粒子的几率2.几率密度：2 ) ,,,(),,,(φτ ωc d t z y x dw t z y x == 3.粒子在全空间出现的几率（归一化）： 12 =?+∞ ∞ -τφd c 则：?∞ = τ φ d c 2 1 4.ψ?ψc ，描写的是同一态 5. 归一化波函数 令： φc =ψ τd dw 2 ψ= 2 ψ=ω 12 =ψ? ∞ τd 为归一化条件 满足上式的波函数称为归一化波函数，使φ变为?的常数称为c 称为归一化常数。 注意： 1）.波函数在归一化后也还不是完全确定的，还存在一个相因子?i e 的不确定。因为：12 =e i ? 2）.不是所有的波函数都可按上述归一化条件求一化，即要求τd 2 ?∞ ψ为 有限（平方可积的），如果是发散的，则无意义。 例如：自由粒子的波函数e Et r p i p A t r ) (),(-?=ψ ， 1222=∞?==ψ ??A d A d p ττ 0→A 注意：波函数是时间位置的函数，即),,,(),,,(),,,(t z y x iv t z y x u t z y x +=ψ 例题：曾书第13页 §2.2态迭加原理 回顾：（1）在量子力学中用波函数描写微观粒子的量子状态 （2）波函数的统计解释：当ψ确定时，粒子的力学量取各种可能值的几率确定。 一、经典波的态迭加原理 两个可能的波动过程21,φφ的线形迭加的结果21φφb a +也是一个可能的波动过程。 二、态迭加原理 以粒子的双狭缝实验为例，见书第14页，图6 如果21,ψψ是体系的可能状态，那么，它们的线形迭加2211ψψc c +=ψ也是这个体系的可能状态 三、两种迭加原理的区别 1.在状态2211ψψc c +=ψ中，对某力学量Q 进行测量，测到Q 值可能是1λ，也可能是2λ，但绝对不会是其他的值（和抛硬币的情形差不多）。 2.若21ψψ=，则() 121ψc c +=ψ，这时ψ与1ψ是同一态，这与经典波的迭加不同 3.当粒子处于态1ψ和态2ψ的线形迭加态时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ，例如抛正六面体的塞子。 四、态迭加原理的一般表达式 ∑=n n n c ψψ,21,c c ……为复数 物理意义：书第23页，学生回答。 五、态迭加原理的一个实例（电子在晶体表面衍射实验中的情形）2523-P 。同学们自学，并看一看数理方法中的傅立叶变换。下次课解答疑问。 以一个确定的动量p 运动的电子状态的波函数 ()()r p Et i p Ae t r ·,--=ψ （1） 由态迭加原理，在晶体表面上反射后，粒子的状态ψ可以表示为p 取多种可能值 的平面波的线性迭加： ()()()∑=p p t r p c t r ,, ψψ （2） 由于p 可以连续变化，求和改为积分： ()()()???∞ =z y x p dp dp dp r t p c t r ψψ,, （3） 式中 ()() r p i p e r ·2 3 21 πψ≡ （4） ()() ()???∞ -= z y x r p i dp dp dp e t r t p c ·2 3 ,21 ,ψπ （5） 把（4）式代入（3）式得： ()() ()???∞ = z y x r p i dp dp dp e t p c t r ·2 3 ,21 ,πψ （6） 显然（5）、（6）两式互为傅立叶变换式，且),(t p c 与),(t p ψ描写的是一个状态。是同一个状态的两种不同的描写方式。),(t r ψ是以坐标为自变量的波函数。),(t p c 则是以动量为自变量的波函数。 §2.3 薛定谔方程 简述经典力学中质点的状态及运动方程 类似地，详见曾书18P ，微观粒子状态的变化规律也应该遵循某一方程。 一、薛定谔方程应该满足的条件 1、方程应当是),(t r ψ对时间的一阶微分方程 这是由波函数),(t r ψ完全描写的基本假设所决定。 2、方程是线性的（只包含一次项） 即如果1ψ和2ψ是方程的解，那么它们的线性迭加2211ψψc c +也是方程的解，这是态迭加原理的要求。 3、这个方程的系数不应该包含状态的参量。如动量、能量等。但可含有()r U ，因为()r U 由外场决定，不是粒子的状态参量。 二、自由粒子波函数所满足的微分方程 ∵ ()()Et r p i p Ae t r -= ·,ψ （1） 将上式两边对时间t 求一次偏导，得： ()p Et r p i p E i EAe i t ψψ -=-=??-· 或 p p E t i ψψ=?? （2） ∵上式还包含状态参量——能量E ，故不是我们所要求的方程。 将（1）式两边对x 求二次偏导，得到： ()()() p x Et zp yp xp i x Et zp yp xp i Et r p i p p i Ae p i Ae x Ae x x z y x z y x ψψ = =????????=?? ??????=??-++-++-· p x p x P p p i x ψψψ22 2 22 -=??? ??=?? 同理： p y P p y ψψ2 2 2 2 - =?? p z P p z ψψ2 2 2 2 - =?? 上三式相加得： p p p z y x ψψ22 2 2 2222 -=??? ? ? ???+??+?? （3） 令 22 22222 z y x ??+??+??≡? ——Laplace 算符 则（3）式简化为： p p p ψψ22 2 -=? （4） 对自由粒子： E p p E E K μμ 2222 =? = = （5） 将（5）代入（4）得： p p E ψψμ =?-2 22 （6） 比较（2）、（6）两式得： p p t i ψμ ψ2 22?-=?? （7） 显然它满足前面所述条件。 三、薛定谔方程 1、能量算符和动量算符 由（2）式 p p E t i ψψ=?? 可看出E 与t i ?? 对波函数的作用相当： t i E ?? → （能量算符） （8） 将（4）式改写成： ()()()ψψ?-?-= i i p p ·· 由此知 ?-→ i p （动量算符） （9） z k y j x i ??+?? +??≡? （劈行算符） 问：?=x p （x i p x ?? -= ） 2、薛定谔方程 现在利用关系式（8）、（9）来建立在立场中粒子波函数所满足的微分方程。设粒子在力场中的势能为()r U ，则： ()r U p E +=μ 22 （10） 上式两边乘以波函数()t r , ψ得： ()ψψμ ψr U p E +=22 将（8）、（9）式代入得： ()ψψμ ψr U t i +?-=??2 22 （11） 这个方程为薛定谔方程。（()t r U U , =） 注：上面我们只是建立了薛定谔方程，而不是推导，建立的方式有多种。薛定谔方程的正确与否靠实验检验。 3、关于薛定谔方程（详见曾书2119-P ） 四、多粒子体系的薛定谔方程 ∵ ()N n I i i r r r U p E ?+=∑=,,22112 μ 上式两边乘以波函数()t r r r N ,,,21 ?ψ并做代换 t i E ?? → i i i p ?-→ ； 其中 i i i i z k y j x i ??+?? +??=? 则有： ψψμψU t i i N i i +?-=??∑=2 122 上式就是多粒子体系的薛定谔方程。 §2.4粒子流密度和粒子数守恒定律 一、几率随时间的变化 几率： 2|),(|),(),(),(t r t r t r t r ψ=ψψ=*ω （1） 则： ψψψψωt t t ?* ?+??*=?? （2） Sch-eq ： ()ψ+?- =ψ??]2[2 2r U t i μ ()ψψμψr U i i t 1 22+?=?? （3）及 ()***ψ-ψ?-=?ψ?r U i i t 1 22μ （4） （3）、（4）代入（2）式有： () **222ψψψψμ ω?-?=?? i t ()**·2ψψψψμ ?-??= i （5） 令： ][2ψ?ψ-ψ?ψ=**μ i J （6） 则（5）式可写成： 0·=?+??J t ω （7） 这方程具有连续性方程的形式 为了说明（7）式和矢量J 的意义，下面考察（7）式对空间任意的一个体积 V 的积分： ττωτωd J d t d t v v v ????-=?? =?? · 由高斯定理：??=?s v s d A d A ·· τ 可得到： ds J s d J d t s n v ???-=-=?? ·τ? （8） 面积分是对包围体积V 的封闭面S 进行的，（8）式左边表示单位时间内体积 V 中几率的增加，右边是矢量J 在体积V 的边界S 上法向分量的面积分，因而很 自然的可以把J 解释为几率流密度矢量。 n J 表示单位时间内流过S 面上单位体积的几率。（8）式也说明单位时间内体积V 中增加的几率，等于从体积V 的边界S 上而流进V 内的几率。 若0=∞ ψ ，则： ??∞∞==0*τψψτωd dt d d dt d （9） 若波函数ψ是归一的，即?∞=1*τψψd ，也有0=??t ω ，即ψ将保持归一的性 质，而不随时间改变。 二、质量密度和质量流密度（守恒定律） 1.质量密度：2|),(|t r ψ=≡μμωωμ 2.质量流密度：)(2 ψ?ψ-ψ?ψ=≡** i J J μμ 3.质量守恒定律：以μ乘以方程（5）得： 0·=?+??μμωJ t （10） 4.电荷守恒定律： 0·=?+??e e J t ω 其中： ωωe e ≡ J e J e ≡ 三、波函数的标准条件 单值，有限，连续（∵ω和J 满足连续性方程） §2.5定态薛定谔方程 一、定态sch-eq ： 如果()r U 不显含时间，则薛定谔方程的解可用分离变量法求之。 Sch-eq : ),()](2[),(2 2t r r V t r t i ψ+?-=ψ??μ （1） 设： )()(),(t f r t r ψ=ψ （2） 将（2）代入（1）式中： ())()(]2[)()(2 2r t f r U r t t f i ψμ ψ+?-=?? 上述方程两边除以)()(t f r ψ得： ())(]2)[()()(2 2r r U t f t f dt d r i ψμ ψ+?-= （3） （3）式恒成立的条件是左边和右边都等于同一个函数，设这个常数为E ，则有： )() (t Ef dt t df i = （4） ())()(]2[2 2r E r r U ψψμ =+?- （5） 方程（4）解为： /)(iEt Ce t f -= （6） C 为任意常数，将（6）代入（2）式得： Et i e r t r -=ψ)(),(ψ （7） 这个波函数与时间的关系是正弦式的，它的角频率 E =ω ，（7）式所示的波函数称为定态波函数。 定态的特点： 1）粒子的几率密度和几率流密度与时间无关 ∵ 2 22)()(),(r e r t r Et i ψ==ψ-ψ 显然， 0=??t ω 2）能量具有确定的值（可由自由粒子的波函数进行验证） 3）各力学量的平均值不随时间变化 二、哈密顿算符的本征方程 以()r ψ乘方程（4）两边，Et i e -乘方程（5）两边，可以看出定态波函数 )()(),(t f r t r ψ=ψ满足下列两方程 ψω E t i =?? （8） ()ψψμE r U =+?-]2[2 2 （9） 从上面方程可看出：t i ?? 与()]2[22r U +?-μ相当，它们都称为能量算符，又由于算符()]2[22r U +?-μ是由?-→ i p 代换而来，()r U p E +=μ 22 在经典力学中称为哈密顿函数，所以这种算符又称为哈密顿算符，通常以H 表示，这样（9）式可写为： ψψE H = （10） 这种类型的方程称为本征值方程，E 被称为算符H 的本征值，ψ称为算符的本征方程。 讨论定态问题，就是要求出),(t r ψ（或)(r ψ）和E ，含时间的薛定谔方程的 一般解，可以写成这些定态波函数的线性迭加： t E i n n n n e r C t r -∑=ψ)(),(ψ n C 为常数。 作业：第52页，2.1，2.2 补充作业：试判定下列波函数是否为定态波函数 （1）t i x u t x u t x ωωψsin )(cos )(),(-= （2）t x u t x u t x ωωψsin )(cos )(),(+= §2.6一维无限深势阱 从这一节起，我们将用薛定谔方程处理几个简单的定态问题，研究这些问题，不仅因为它们简单，容易得到严密的结果，而更重要的是因为这些问题具有典型性，处理方法带有一般性，是研究各种复杂问题的基础。此外，微观体系的许多特性，可以在这些问题中明显地表露出来，通过学习，可以进一步加深我们对微观现象所具有的特性的认识。 一、粒子的势能 在许多情况中，如金属中的电子、原子中的电子、原子核中的质子和中子等粒子的运动有一个共同点，即粒子的运动都被限制在有限的空间范围内，或者说，粒子处于束缚态。为了分析束缚态粒子的共同特点，我们可以将上述情况简单化、理想化，建立无限深势阱模型。粒子的势能为： ?? ?≥≤∞ <<=a x x a x x U ,00, 0)( 如下图所示： 二、粒子的能级和波函数 在势阱外： 0)(=x ψ [a x x ≥≤0 ] （1） 在势阱内：因为0)(=x U ，所以其定态薛定谔方程为： ψψ μE dx d =-2 222 a x <<0 （2） 令 2 2 E k μ= （3） 则方程（2）可化为标准形式： a x k dx d <<=+00 222ψψ （4） 其通解为： )sin()(δψ+=kx A x （5） 式中A ，δ为两个待定常数，单从数学上看，E 为任何值方程（2）都有解，然而，根据波函数连续性要求，在势阱边界上，有 0)0(=ψ （6） 0)(=a ψ （7） 由（5）式和（6）式得： 0sin =δa 令波函数不能恒为零，而A 不能为零，所以必须0=δ ，于是 kx A x sin )(=ψ （8） 再根据（7）式得 0sin )(==ka A a ψ 所以ka 必须满足： πn ka = ......3,2,1=n n 取负数给不出新的波函数。这告诉我们k 只能取下列值 a n k π = ......3,2,1=n (9) 由(3）式可知，粒子的能量只能取下列值： 2 2 222a n E n μπ = ......3,2,1=n (10) 这就是说，并非任何E 值对应的波函数都满足问题所要求的边值条件（6）、（7），而只有当能量值取（10）式所给出那些n E 值时对应的波函数才有满足边值条件，这样我们就能很自然地得到，被束缚在阱中的粒子的能量只能取一系列离散的数值，即能量是量子化的。 将（9）式代入到（8）式中，并把势阱外的波函数也包括在内，我们就得到 1光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 2光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v 0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 3爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= h ν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子 4康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律：射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ；波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大 5戴维逊-革末实验证明了德布罗意波的存在 6波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波 7波函数的归一化条件 1),,,( 2 ?∞=ψτd t z y x 8定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定 态波函数：描述定态的波函数称为定态波函定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变 9算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。 10厄密算符的定义：如果算符 F ?满足下列等式() ? ?dx F dx F φψφψ**??=，则称F ?为厄密算符。式中ψ和φ为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。 推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。 11厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。 12简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。 13量子力学中力学量运动守恒定律形式是： 01=??????+??=H F i t F dt F d ?,?η 量子力学中的能量守恒定律形式是01=??????=H H i dt H d ?,??η 14 15斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由 16黑体辐射揭示了经典物理学的局限性。 17玻尔的量子化条件：在量子理论中，角动量必须是h 的整数 的近似求解方法。 求出，由求出微扰论：由n n n n E E ψψ)0()0( 大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分 1能量量子化 辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,??? 对频率为ν 的谐振子, 最小能量ε为: νh =ε 2.波粒二象性 波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式h νmc E ==2 λ h m p = =v 3.波函数及其物理意义 在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程 0),()](2[),(2 2=-?+??t r r V m t r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅 表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。所以， 应 该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。 自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ 波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义 常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z ) 附件出现概率的描述是相同的。 相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )附 件出现概率的描述是相同的。 表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。 表示点(x,y,z )处的体积元 中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1 必然有以下归一化条件 5. 力学量的平均值 既然 表示 粒子出现在点 附件的概率，那么粒子2|(,,)|x y z ψ2 |(,,)|x y z x y z ψ???x y z τ?=?? ?2 |(,,)|1 x y z dxdydz ψ∞=? (,,)x y z ψ(,,)c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ22|()||(,,)| r x y z ψψ=),,(z y x r = 23*3+∞+∞ 量子力学基础知识总结 一．微观粒子的运动特征 1.黑体辐射和能量量子化 黑体：一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体 普朗克提出能量量子化假设：定温下黑体辐射能量只与辐射频率有关，频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能是hν的整数倍，称为能量量子化。 2.光电效应与光子学说 爱因斯坦将能量量子化概念用于电磁辐射，并用以解释光电效应。其提出了光子学说，圆满解释了光电效应。 光子学说内容： ①光是一束光子流，每一种频率的的光的能量都有一个最小单位，称为光子 光子能量ε＝hν/c ②光子质量m＝hν/c2 ③光子动量p=mc=hν/c= h/λ ④光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。光电效应： hν＝ W+E K ＝hν +2 1 mv2,W为脱出功,E k 为光电子的动能。 3.实物微粒的波粒二象性 德布罗意提出实物微粒也具有波性：E＝hν p＝h/λ 德布罗意波长：λ=h/p=h/(mv) 4. 测不准原理：?x?x p≥h?y?p y ≥h?z?p y ≥h?tE≥h 二、量子力学基本假设 1. 假设1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ(x,y,z,t)来描述，它包括体系的全部信息。这一函数称为波函数或态函数，简称态。 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。在本课程中主要讨论定态波函数。 由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于ψ*ψ，所以通常将用波函数ψ描述的波称为几率波。在原子、分子等体系中，将ψ称为原子轨道或分子轨道；将ψ*ψ称为几率密度，它就是通常所说的电子云；ψ*ψdτ为空间某点附近体积元dτ中电子出现的几率。 对于波函数有不同的解释，现在被普遍接受的是玻恩（M. Born）统计解释，这一解释的基本思想是：粒子的波动性（即德布罗意波）表现在粒子在空间出现几率的分布的波动，这种波也称作“几率波”。 波函数ψ可以是复函数， 合格（品优）波函数：单值、连续、平方可积。 2. 假设2：对一个微观体系的每一个可观测的物理量，都对应着一个线性自厄算符。 算符：作用对象是函数，作用后函数变为新的函数。 量子力学泛函计算 纪岚森 （青岛大学物理科学学院材料物理一班） 摘要：文章叙述了密度泛函理论的发展，密度泛函理论以“寻找合适的交换相关为主线，从 最初的局域密度近似，，从最初的局域密度近似、广义梯度近似到现在的非局域泛函、自相 互作用修正，多种泛函形式的出现，是的密度泛函在大分子领域的计算越来越精确。近年来 密度泛函理论在含时理论与相对论方面发展也很迅速。计算体系日臻成熟，而我所参加的创 新实验小组就是以密度泛函研究大分子体系。在量子力学泛函计算的产生，发展，理论，分 支，前景等方面予以介绍，本着科学普及的态度希望大家能够更加进一步的理解泛函计算。 关键字：量子力学泛函计算，发展，理论分支，前景，科普 1引言：随着量子理论的建立和计算机技术的发展，人们希望能够借助计算机对微观体系的量子力学方程进行数值求解【３】，然而量子力学的基本方程———Schirdinger 方程的求解是极其复杂的。克服这种复杂性的一个理论飞跃是电子密度泛函理论（DFT）的确立电子密度泛函理论是上个世纪60 年代在Thomas-Fermi 理论的基础上发展起来的量子理论。与传统的量子理论向悖，密度泛函理论通过离子密度衡量体系的状态，由于离子密度只是空间的函数，这样是就使得解决三维波函数方程转化为解决三维密度问题，使得在数学计算上简单了很多，对于定态Schirdinger 方程，我们只能解决三维氢原子，对于更加复杂的问题，我们便无法进行更为精确的计算，而且近似方法也无法是我们得到更为精确的结果。但是密度泛函却在这方面比较先进，是的大分子计算成为可能。【２】 ２．过程：第一性原理，密度泛函是一宗量子力学重头计算的计算方法，热播呢V啊基于密度泛函的理论计算成为第一性原理——first-principles。经过几十年的发展密度泛函理论被广泛的应用于材料，物理，化学和生物等科学中，Kohn也由于其对密度泛函理论的不可磨灭的先驱性贡献获得了诺贝尔化学奖。密度泛函理论体系包括交换相关能量近似，含时密度泛函。 ３．密度泛函理论的发展： １交换相关能，在密度泛函理论中我们把所有近似都归结到交换相关能量一项上，所以密度泛函的精确度也就是由交换相关能一项上。寻求更好的更加合适的相关近似，即用相同密度的均匀电子气交换相关泛函作为非均匀系统的近似值，或许这也出乎人们的意料，这样一个简单的近似却得到了一个极好的结论。直接导致了后来的泛函理论的广泛应用。由此获 量子力学期末复习完美总结 一、 填空题 1．玻尔-索末菲的量子化条件为： pdq nh =?，（n=1,2,3,....)， 2．德布罗意关系为：h E h p k γωλ == = =； 。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为： 21 2 mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2 r t ψ ，代表t 时刻，粒子在 空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。这 是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。 5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。 6． ， 为单位矩阵，则算符 的本征值为： 1± 。 7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。 8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。即 ()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-??或 。 9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写 的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。 10. i ； ?x i L ； 0。 11．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 _0__。 12．坐标和动量的测不准关系是： () () 2 2 2 4 x x p ??≥ 。 自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒 13．量子力学中的守恒量A 是指:?A 不显含时间而且与?H 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。 14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。 15． 为氢原子的波函数， 的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。 16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2 n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的 耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。 17．设体系的状态波函数为 ，如在该状态下测量 力学量 有确定的值 ，则力学量算符 与态矢量 的关系为：?F ψλψ =。 18．力学量算符 在态 下的平均值可写 为 的条件为：力学量算符的本征 值组成分立谱，并且()r ψ是归一化波函数。 19．希尔伯特空间：量子力学中Q 的本质函数有无限多 个，所以态矢量所在的空间是无限维的函数空间。 20．设粒子处于态 ， 为 归一化波函数， 为球谐函数，则系数c 的取值为： 1 6 ， 的可能值为： 13 ， 本征值为 出现 的几率为： 1 2 。 1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即： 人教版高中物理选修3-5知识点总结 一．量子论的建立黑体和黑体辐射Ⅰ （一）量子论 1.创立标志：1900年普朗克在德国的《物理年刊》上发表《论正常光谱能量分布定律》的论文，标志着量子论的诞生。 2.量子论的主要内容： ①普朗克认为物质的辐射能量并不是无限可分的，其最小的、不可分的能量单元即“能量子”或称“量子”，也就是说组成能量的单元是量子。 ②物质的辐射能量不是连续的，而是以量子的整数倍跳跃式变化的。 3.量子论的发展 ①1905年，爱因斯坦奖量子概念推广到光的传播中，提出了光量子论。 ②1913年，英国物理学家玻尔把量子概念推广到原子内部的能量状态，提出了一种量子化的原子结构模型，丰富了量子论。 ③到1925年左右，量子力学最终建立。 4.量子论的意义 ①与量子论等一起，引起物理学的一场重大革命，并促进了现代科学技术的突破性发展。 ②量子论的革命性观念揭开了微观世界的奥秘，深刻改变了人们对整个物质世界的认识。 ③量子论成功的揭示了诸多物质现象，如光量子论揭示了光电效应 ④量子概念是一个重要基石，现代物理学中的许多领域都是从量子概念基础上衍生出来的。 量子论的形成标志着人类对客观规律的认识，开始从宏观世界深入到微观世界；同时，在量子论的基础上发展起来的量子论学，极大地促进了原子物理、固体物理和原子核物理等科学的发展。（二）黑体和黑体辐射 1．热辐射现象 任何物体在任何温度下都要发射各种波长的电磁波，并且其辐射能量的大小及辐射能量按波长的分布都与温度有关。 这种由于物质中的分子、原子受到热激发而发射电磁波的现象称为热辐射。 ①.物体在任何温度下都会辐射能量。 ②.物体既会辐射能量，也会吸收能量。物体在某个频率范围内发射电磁波能力越大，则它吸收该频率范围内电磁波能力也越大。 辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。此时温度恒定不变。 实验表明：物体辐射能多少决定于物体的温度（T）、辐射的波长、时间的长短和发射的面积。 2.黑体 物体具有向四周辐射能量的本领，又有吸收外界辐射 来的能量的本领。 黑体是指在任何温度下，全部吸收任何波长的辐射的 物体。 3．实验规律： 1）随着温度的升高，黑体的辐射强度都有增加； 2）随着温度的升高，辐射强度的极大值向波长较短方向移动。 二．光电效应光子说光电效应方程Ⅰ 1、光电效应 E*dv表示在频率范围（v,v+dv）中的黑体辐射能量密度。 λ—辐射波长(μm) T—黑体绝对温度(K、T=t+273k) C—光速(2.998×10^8m·s ) h—普朗克常数，6.626×10^-34 J·S K—玻尔兹曼常数(Boltzmann)，1.3806505*10^-23J/K基本物理常数 玻尔兹曼常数（Boltzmann constant）（k 或kB）是有关于温度及能量的一个物理常数。玻尔兹曼是一个奥地利物理学家，在统计力学的理论有重大贡献，波兹曼常数具有相当重要的地位。光量子即光子。能量的传递不是连续的，而是以一个一个的能量单位传递的。这种最小能量单位被称作能量子（简称量子）。 原始称呼是光量子（light quantum），电磁辐射的量子，传递电磁相互作用的规范粒子，记为γ。其静止质量为零，不带电荷，其能量为普朗克常量和电磁辐射频率的乘积，E=hv，在真空中以光速c运行，其自旋为1，是玻色子。 光子是光线中携带能量的粒子。一个光子能量的多少正比于光波的频率大小，频率越高, 能量越高。当一个光子被原子吸收时，就有一个电子获得足够的能量从而从内轨道跃迁到外轨道,具有电子跃迁的原子就从基态变成了激发态。 光子具有能量，也具有动量，更具有质量，按照质能方程，E=MC^2=hν，求出M=hν/C^2, 光子由于无法静止，所以它没有静止质量，这儿的质量是光子的相对论质量。光就既具有波动性（电磁波），也具有粒子性（光子），即具有波粒二象性 玻色子是依随玻色-爱因斯坦统计，自旋为整数的粒子。玻色子不遵守泡利不相容原理，在低温时可以发生玻色-爱因斯坦凝聚。玻色子包括：.胶子-强相互作用的媒介粒子，它们具有整数自旋（0，1，……），它们的能量状态只能取不连续的量子态，但允许多个玻色子占有同一种状态。，有8种；光子-电磁相互作用的媒介粒子，这些基本粒子在宇宙中的“用途”是构成实物的粒子(轻子和重子)和传递作用力的粒子（光子、介子、胶子、w和z玻色子）。在这样的一个量子世界里，所有的成员都有标定各自基本特性的四种量子属性：质量、能量、磁矩和自旋。如光子、粒子、氢原子等， Bose-Einstein condensation (BEC) 玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)是科学巨匠爱因斯坦在80年前预言的一种新物态。这里的“凝聚”与日常生活中的凝聚不同，它表示原来不同状态的原子突然“凝聚”到同一状态（一般是基态）。即处于不同状态的原子“凝聚”到了同一种状态。即当温度足够低、原子的运动速度足够慢时，它们将集聚到能量最低的同一量子态。此时，所有的原子就象一个原子一样，具有完全相同的物理性质。 磁光阱是一种囚禁中性原子的有效手段。它由三对两两相互垂直．具有特定偏振组态井且负失谐的对射激光束形成的三维空间驻波场和反向亥姆雹谊线圈产生的梯度磁场构成．磁场的零点与光场的中心重合，负失谐的激光对原子产生阻尼力．梯度磁场与激光的偏振相结合产生了对原子的束缚力．这样就在空间对中性原子构成了一个带阻尼作用的简谐势阱。 量子力学是描写微观物质的一个物理学理论，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱 普朗克常数记为h ，是一个物理常数，用以描述量子大小。在量子力学中占有重要的角色，马克斯·普朗克在1900年研究物体热辐射的规律时发现，只 第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出 现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为 E= h ν 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v 0：由上式明显看出，当h ν- W 0 ≤0时，即ν≤ν0 = W 0 / h 时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h 在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 ⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。 ???? ? ???? ======n k h k n h P h E λππλων2 ,2 一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E= kT 2 3（k 为 玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能 量E n = ，相应的波函数=)(x n ψ() a x a x n a n <<=0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6.132 -=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() ) +-'+'+∑ ≠0 2 0m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+ ∑ ≠00 2 0m m n n m mn n E E H ψ ψ ， 其中微扰矩阵元 ' mn H =()() ?'τψψ d H n m 00?； 而 ' nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条件是 本征值， 。 《量子力学》考试知识点 第一章：绪论―经典物理学的困难 考核知识点： （一）、经典物理学困难的实例 （二）、微观粒子波－粒二象性 考核要求： （一）、经典物理困难的实例 1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。 2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。 第二章：波函数和薛定谔方程 考核知识点： （一）、波函数及波函数的统计解释 （二）、含时薛定谔方程 （三）、不含时薛定谔方程 考核要求： （一）、波函数及波函数的统计解释 1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波 2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程 1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理 2.简明应用：量子力学的初值问题 （三）、不含时薛定谔方程 1. 领会：定态、定态性质 2. 简明应用：定态薛定谔方程 第三章：一维定态问题 一、考核知识点： （一）、一维定态的一般性质 （二）、实例 二、考核要求： 1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振 2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、 第四章量子力学中的力学量 一、考核知识点： （一）、表示力学量算符的性质 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 （三）、连续谱本征函数“归一化” （四）、算符的共同本征函数 （五）、力学量的平均值随时间的变化 二、考核要求： （一）、表示力学量算符的性质 1.识记：算符、力学量算符、对易关系 2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性 2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。 （三）、连续谱本征函数“归一化” 1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系 1.爱因斯坦关系是什么什么是波粒二象性 答：爱因斯坦关系：?? ? ??========k n n h n c h n c E p h hv E ρηρηρρρρηηλπλνπω 22 其中 波粒二象性：光不仅具有波动性，而且还具有质量、动量、能量等粒子的内禀属性，就 是说光具有波粒二象性。 2.α粒子散射与夫兰克-赫兹实验结果验证了什么 答：α粒子散射实验验证了原子的核式结构，夫兰克-赫兹实验验证了原子能量的量子化 3.波尔理论的内容是什么波尔氢原子理论的局限性是什么 答：波尔理论： （1）原子能够而且只能够出于一系列分离的能量状态中，这些状态称为定态。出于定态时，原子不发生电磁辐射。 （2）原子在两个定态之间跃迁时，才能吸收或者发射电磁辐射，辐射的频率v 由式 12E E hv -=决定 （3）原子处于定态时，电子绕原子核做轨道运动，轨道角动量满足量子化条件：ηn r m = υ 局限性： （1）不能解释较复杂原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱； （2）不能给出光谱的谱线强度（相对强度）； （3）从理论上讲，量子化概念的物理本质不清楚。 4.类氢体系量子化能级的表示，波数与光谱项的关系 答：类氢体系量子化能级的表示：()2 2202 442n Z e E n ηπεμ-= 波数与光谱项的关系Λ,4,5.3,3,5.2,121 ?22=?? ? ??-=n n R v 5.索莫菲量子化条件是什么，空间取向量子化如何验证 答：索莫菲量子化条件是nh q p =?d 空间取向量子化通过史特恩-盖拉赫（Stern-Gerlach ）实验验证。、 6.碱金属的四个线系，选择定则，能级特点及形成原因 答：碱金属的四个线系：主线系、第一辅线系（漫线系）、第二辅线系（锐线系）、柏格曼系（基线系） 碱金属的选择定则：1,0,1±=?±=?j l 碱金属的能级特点：碱金属原子的能级不但与主量子数n 有关，还和角量子数l 有关；且对于同一n ，都比氢(H)能级低。 形成原因：原子实外价电子只有一个，但是原子实的极化和轨道的贯穿产生了影响，产生了与氢原子能级的差别 7.自旋假设内容，碱金属光谱精细结构特点 量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系 目录 三、目录 摘要 (1) 关键字 (1) 正文 (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论……………………………………………… 3 经典力学基本内容及理论 (3) 量子力学的基本内容及相关理论 (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系 (4) 微观粒子和宏观粒子的运动状态的描述 (4) 量子力学中微观粒子的波粒二象性 (5) 三、结论：量子力学与经典力学的一些区别对比 (5) 参考文献 (6) 第一章矩阵 1.1矩阵的由来、定义和运算方法 1.矩阵的由来 2.矩阵的定义 3.矩阵的相等 4.矩阵的加减法 5.矩阵和数的乘法 6.矩阵和矩阵的乘法 7.转置矩阵 8.零矩阵 9.矩阵的分块 1.2行矩阵和列矩阵 1.行矩阵和列矩阵 2.行矢和列矢 3.Dirac符号 4.矢量的标积和矢量的正交 5.矢量的长度或模 6.右矢与左矢的乘积 1.3方阵 1.方阵和对角阵 2.三对角阵 3.单位矩阵和纯量矩阵 4.Hermite矩阵 5.方阵的行列式，奇异和非奇异方阵 6.方阵的迹 7.方阵之逆 8.酉阵和正交阵 9.酉阵的性质 10.准对角方阵 11.下三角阵和上三角阵 12.对称方阵的平方根 13.正定方阵 14.Jordan块和Jordan标准型 1.4行列式求值和矩阵求逆 1.行列式的展开 https://www.doczj.com/doc/394800538.html,place展开定理 3.三角阵的行列式 4.行列式的初等变换及其性质 5.利用三角化求行列式的值 6.对称正定方阵的平方根 7.平方根法求对称正定方阵的行列之值 8.平方根法求方阵之逆 9.解方程组法求方阵之逆 10.伴随矩阵 11.伴随矩阵法求方阵之逆 1.5线性代数方程组求解 1.线性代数方程组的矩阵表示 2.用Cramer法则求解线性代数方程组 3.Gauss消元法解线性代数方程组 4.平方根法解线性代数方程组 1.6本征值和本征矢量的计算 1.主阵的本征方程、本征值和本征矢量 2.GayleyHamilton定理及其应用 3.本征矢量的主定理 4.Hermite方阵的对角化——计算本征值和本征矢量的Jacobi法1.7线性变换 1.线性变换的矩阵表示 2.矢量的酉变换 3.相似变换 4.等价矩阵 5.二次型 6.标准型 7.方阵的对角化 参考文献 习题 第二章量子力学基础 2.1波动和微粒的矛盾统一 1.从经典力学到量子力学 2.光的波粒二象性 3.驻波的波动方程 4.电子和其它实物的波动性——de Broglie关系式 5.de Broglie波的实验根据 6.de Broglie波的统计意义 7.态叠加原理 8.动量的几率——以动量为自变量的波函数 2.2量子力学基本方程——Schrdinger方程 1.Schrdinger方程第一式 2.Schrdinger方程第一式的算符表示 3.Schrdinger方程第二式 4.波函数的物理意义 5.力学量的平均值(由坐标波函数计算) 6.力学量的平均值(由动量波函数计算) 2.3算符 1.算符的加法和乘法 2.算符的对易 3.算符的平方 4.线性算符 5.本征函数、本征值和本征方程 前三章知识点总结 1、著名天文学家、自然科学先驱哥白尼用“日心说”否定了影响人类千年之久的托勒密的“地心说” 2、伽利略率先用望远镜观察天空，由此得到天体的运行的结果支持了哥白尼的日心说，后被判为终 生 监禁。牛顿奠定了具有划时代意义的经典物理学基础。普朗克、波尔等量子力学主要奠基人发现了微观世界和宏观世界有很大差异。 3、物理学是研究自然界的物质，相互作用和运动规律的自然科学 4、科学探究的七个环节：提出问题、猜想与假设、设计实验与制定计划、进行实验与搜集证据、分析与讨论、评估、交流与合作。 5、机械运动：在物理学中，把一个物体相对于另一个物体位置的改变称为机械运动，简称运动，被选作参照标准的物体叫做参照物 6、判断物体是运动还是静止①选取参照物②看研究物体与参照物是否发生位置变化 7、参照物选取说明 ①参照物是任意选择的，既可以是运动的也可以是静止的，要视具体情况、研究方便而定 ②同一物体由于选择不同的参照物，其运动状态的描述结果往往不同 ③参照物的选择并不唯一，但是参照物一旦被选定，就认为它是静止的 ④参照物不能选择对象本身，因为以研究对象本身为参照物，则物体永远是静止的 ⑤地面常作为参照物 注：一般以题目给的物体作为参照物 8、长度测量的工具是刻度尺，长度的国际基本单位是米，符号是m；常用单位还有千米(km)、分米(dm)、厘米(cm)、毫米(mm)、微米(μm)、纳米(nm)等。换算关系： 1km=1000m 1m=10dm 1dm=10cm 1m=1000mm 1mm=1000μm 1μm=1000nm 9、进行单位换算的步骤：1、数字不变 2、 乘以进率 3、加上目标单位 10、刻度尺是学习和生活中常用的测量长度的工具，常用刻尺的分度值是1mm和1cm 分度值为1mm时估读到0.1mm也就是0.01cm（百分位），分度值为1cm估读到0.1cm（十分位） 11、测量时间的工具是停表或者秒表，时间的国际基本单位是秒，符号是s；常用的单位还有小时(h)、分(min)等。它们之间的换算关系是 量子力学2012复习题 一、 简答题： 1. 试简述Bohr 的量子理论。 2. 试给出测不准关系的数学表达式，并说明其意义。 3. 简述量子力学的态叠加原理及其与测量概率的关系。 4. 写出在任意态|ψ?下测量力学量F 所得平均值的一般表达式。 5. 设粒子在势场V (r )中运动，写出相应的含时薛定谔方程和定态薛定谔方程；或给定态函 数求势能表达式。 6. 简述束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 7. 在坐标表象中写出自由粒子哈密顿量的表达式及其本征波函数，指出其本征值及其特征。 8. 下列函数哪些函数是算符 2 2dx d 的本征函数，其本征值是什么？ ①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin + 9. 简述一维谐振子粒子数表象的意义，并在该表象中写出谐振子的哈密顿量表达式和相应 的本征态、本征值和本征方程。对三维谐振子，情况又怎样？ 10. 力学量F 的平均值随时间变化满足 d 1[,]d F F F H t i t ?= + ? ，由此可得出力学量F 为守恒量 的条件，试写出相应条件。 11. 简述量子力学表象变换的意义、幺正变换矩阵满足的条件及幺正变换的特征。 12. 全同粒子有何特点？对波函数有什么要求？ 13. 中心力场中粒子处于定态，试讨论轨道角动量是否有确定值。 14. 写出中心力场中粒子的所有守恒量。 15. 力学量完全集2(,)z L L 的共同本征函数是什么？写出相应的本征值及本征方程。 16. 写出氢原子哈密顿算符的本征值（能级）和本证态，简要描述各量子数的意义。 17. 简要描述自旋算符与泡利矩阵的关系以及泡利矩阵的对应关系；在z σ表象中写出泡利矩 阵,,z x y σσσ的具体表示。 18. 简述微扰论的基本思想，写出非简并微扰论的能量公式（至二级修正）及波函数（至一 级修正），并能计算相关问题。 19. 简述变分法的基本思想及选取试探波函数的一般原则。 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?， 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对 第十七章量子力学基础知识 量子力学是研究微观粒子（如电子，原子和分子等）运动规律的学科 量子力学的建立经历了由经典物理学到旧量子论，再由旧量子论到量子力学两个历史发展阶段。 微观粒子运动的特征 1 、几个代表性的实验 经典物理学发展到19世纪末，在理论上已相当完善，对当时发现的各种物理现象都能加以理论上的说明。它们主要由牛顿的经典力学，麦克斯韦的电、磁和光的电磁波理论，玻耳兹曼和吉布斯等建立的统计物理学组成。19世纪末，人们通过实验发现了一些新的现象，它们无法用经典物理学解释，这些具有代表性的实验有以下3个。 （1）黑体辐射 黑体是指能全部吸收各种波长辐射的物体，它是一种理想的吸收体，同时在加热它时，又能最大程度地辐射出各种波长的电磁波。 绝热的开有一个小孔的金属空腔就是一种良好的黑体模型。进入小孔的辐射，经多次吸收和反射，可使射入的辐射实际上全部被吸收，当空腔受热时，空腔会发出辐射，称为黑体辐射。 实验发现，黑体辐射能量与波长的关系主要与温度有关，而与空腔的形状和制作空腔的材料无关。在不同温度下，黑体辐射的能量（亦称辐射强度）与波长的关系如图所示。 许多物理学家试图用经典热力学和统计力学方法解释黑体辐射现象。瑞利（Rayleigh J W）和金斯(Jeans J H)把分子物理学中能量按自由度均分的原理用于电磁辐射理论，得到的辐射能量公式在长波处接近实验结果，在短波处和实验明显不符。特别是瑞利-金斯的理论预示在短波区域包括紫外以至x射线、γ射线将有越来越高的辐射强度，完全与事实不符，这就是物理学上所谓的“紫外灾难”。维恩(Wien W)假设辐射按波长分布类似于麦克斯韦的分子速度分布，得到的公式在短波处和实验结果接近，在长波处相差很大。 1900年普朗克(Planck M)在深入研究了实验数据，并在经典力学计算的基础上首先提出了“能量量子化”的假设，他认为黑体中原子或分子辐射能量时做简 第一讲 量子力学的诞生 ★重点与难点解析 一、经典物理碰到的严重困难（不能解释的典型物理现象） 1. 无法解释黑体辐射问题 （1）一些基本概念 黑体；热辐射；单色辐出度；辐射出射度。 （2）单色辐出度的一些理论公式与实验结果的差异 维恩（Wien ）公式只在短波波段（高频部分）与实验符合，而在长波波段（低频部分）与实验差别较大。 瑞利—金斯（Rayleigh-Jeans ）公式只在长波波段（低频部分）与实验符合，而在短波波段（高频部分）与实验有明显差异，历史上称为“紫外灾难”。 普朗克通过改进维恩公式，得到了一个辐射公式（后称为普朗克公式），其与实验符合的很好。但无法用经典物理来解释这个公式 2. 无法解释光电效应 （1）什么是光电效应；什么是光电子 （2）光电效应的特点 A ）对于一定的金属材料做成的（表面光洁的）电极，有一个确定的临界频率0ν，当照射光频率0νν<时，无论光的强度多大，都不会观测到光电子从电极上逸出； B ）每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强度无关。光强度只影响到光电流的强度，即单位时间从金属电极单位面积上逸出的电子的数目； C ）当入射光频率0νν>时，不管光多微弱，只要光一照上，几乎立刻观测到光电子。这与经典电磁理论计算结果不一致。 以上三个特点中，C ）是定量上的问题，而A ）和B ）在原则上无法用经典物理学来解释。 3. 无法解释原子结构 经典理论无法解释原子的线状光谱和稳定性等： （1）根据经典理论，原子向外辐射电磁波，随电子运动轨道的半径不断减小，辐射电磁波的频率将连续变化。而实验发现，原子光谱是离散的线状光谱，并非连续； （2）原子的核型结构是不稳定的，绕核旋转的电子最终将落到原子核上，但实际原子是稳定的，电子不会落到原子核上。 4. 无法解释极低温下固体与分子的比热问题 在极低温下，由经典统计力学的能量均分定理等得到的固体与分子的比热与实验不符。 二、能量量子化思想对上述问题的解释 1. 普朗克（Planck ）能量子假说 1900年，普朗克发现：如作下列假设，就可以根据玻尔兹曼分布律从理论上导出与实验结果相符合的普朗克黑体辐射公式。量子力学知识点总结(精.选)
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